Tài liệu Hình học không gian về giải toán vectơ docx

Bài giảng của thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học
Chương I
Véc tơ trong khơng gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------1.Ðịnh nghĩa véc tơ.
Véc tơ là một đoạn thẳng có quy định một chiều.Chiều của véc tơ là thứ tự hai đầu
mút của đoạn thẳng.Ðầu mút thứ nhất được gọi là điểm đầu hoặc điểm gốc, đầu mút
thứ hai được gọi là điểm cuối hoặc điểm ngọn.Ðộ dài của đoạn thẳng là độ dài véc
tơ.Ðường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc tơ được gọi là phương của véc
tơ.
Véc tơ được ký hiệu bằng một trong hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền
nhau
→
và phía trên hai chữ đó ta đặt một mũi tên,chẳng hạn AB (đọc là véc tơAB), chữ A chỉ
→
gốc, chữ B chỉ ngọn của véc tơ.Ðộ dài véc tơ đó được ký hiệu AB hoặcAB.Một
cách
→
khác là dùng một chữ thường và phía trên đặt một mũi tên, chẳng hạn U (đọc là véc tơ
→
U ).Ðộ dài của véc tơ đó được ký hiệu là U hoặc U.
Véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc tơ không.Véc tơ khơng
→
có độ dài bằng 0, phương và chiều khơng xác định.Véc tơ không được ký hiệu AA
hoặc
→
0.
2.Quan hệ của các véc tơ trong không gian.
Hai véc tơ đồng phương hoặc không đồng phương
→ →
→
Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là đồng phương,nếu chúng nằm trên cùng một

đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V.
→→
→
Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là không đồng phương,nếu chúng nằm trên hai
→ →
đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.Ta ký hiệu U // V.
→
Hiển nhiên nếu hai véc tơ (khac 0) cùng đồng phương với một véc tơ thứ ba (khác
→
→
0 ), thì hai véc tơ đó đồng phương.Ta quy ước một véc tơ 0 luôn cùng phương với
một véc tơ khác không.

1


Hai véc tơ cùng chiều hoặc ngược chiều
→
→ →
→→
Cho hai véc tơ khác 0 và đồng phương U , V.Khi đó tồn tại một mặt phẳng P chứa U,
V.
→ →
Nếu trong P cả hai véc tơ đó cùng chiều, thì ta nói U và V cùng chiều trong khơng
gian.
→ →
Nếu trong P cả hai véc tơ đó ngược chiều, thì ta nói U và V ngược chiều trong khơng
gian.
→
→

Hiển nhiên hai véc tơ khác 0 cùng chiều với một véc tơ thứ ba (khác 0), thì hai véc
tơ đó cùng chiều.Nếu một trong hai véc tơ cùng chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ còn lại
ngược chiều với véc tơ thứ ba, thì hai véc tơ ngược chiều.
→ →
→ →
Ta ký hiệu hai véc tơ U , V cùng chiều là U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ đó ngược chiều,
thì
→
→
được ký hiệu là U ↑↓ V. Ta quy định một véc tơ không luôn cùng chiều với một véc tơ
khác không.
Hai véc tơ bằng nhau hoặc hai véc tơ đối nhau
→ →
→ →
Hai véc tơ U, V được gọi là bằng nhau và được ký hiệu U = V, nếu chúng cùng
chiều và cùng độ dài.
→ →
→ →
Hai véc tơ U, V được gọi là đối nhau và được ký hiệu U = - V, nếu chúng ngược
chiều và cùng độ dài.
Ba véc tơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng
→ → →
Cho các véc tơ khác không : U , V , W. Nếu chúng cùng nằm trong một mặt
phẳng
→ →→
hoặc nằm trong các mặt phẳng song song, thì ta nói U , V, W đồng phẳng. Nếu ba véc
tơ khơng có các tính chất đó, thì ta nói ba véc tơ không đồng phẳng.
→→ →
Từ định nghĩa ta suy ra rằng, nếu U, V, W đồng phẳng, thì ln tồn tại một mặt
→ → →

phẳngP mà trong đó ta dựng được các véc tơ U’, V’, W’ bằng các véc tơ đã cho. Nếu
→ →
→
các véc tơ đó không đồng phẳng và nếu P chứa các véc tơ U’, V’ thì P khơng chứa W’
→
2


hoặc song song với W’.
3.Các phép toán véc tơ.
Phép cộng véc tơ.
Ðịnh nghĩa.
→ →
→ →
→
Cho hai véc tơ U, V.Tổng của U và V là véc tơ a được xác định theo quy tắc
sau(quy tắc tam giác).Từ một điểm A bất kỳ trong không gian ta đặt liên tiếp các véc tơ
→ → → →
→
→ → →
AB = U và BC =V. Véc tơ AC là tổng của hai véc tơ đã cho và ta ký hiệu a = U + V.
Tính chất
→ → →
→ → →
→ → → →
→ → → → → →
i) U + 0 = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W).
Trường hợp tổng của nhiều véc tơ
→→ →
→

Cho n véc tơ U1,U2,..,Un.Tổng của n véc tơ đó là một véc tơ U’ được xác định theo
quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc):
→
→ →
→
Từ một điểm A0 bất kỳ ta dựng liên tiếp các véc tơ A0A1, A1A2, A2A3,…, AnA
1 n.Véc
→
→ → → →
→
tơ A0An là tổng của n véc tơ đã cho và được ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 +…+ Un.
Phép trừ hai véc tơ.
Ðịnh nghĩa.
→ →
→
→ → →
→ → →
Hiệu của U và V là một véc tơ W và được ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U.
→
→ →
Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ một điểm A bất kỳta dựng các véc tơAB =U,
→ →
→ →
AC = V. Khi đó W = CB.
Nhân một véc tơ với một số thực
Ðịnh nghĩa
→ →
→
→
Cho U ≠ 0 và số thực k ≠ 0.Tích của U với k là một véc tơ V có độ dài bằng

→
→
→
|k|.| U | và cùng chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k <0.Ta ký hiệu phép tốn
→ →
đó V=k.U.
→ →
→ →
→ →
Nếu U = 0, thì k.U = 0 ; Nếu k = 0, thì 0.U = 0.
Tính chất.
→ →
→
→
→ →
→ →
→
→ →
3


i). 1.U = U ; ii). m.(n.U) = (m.n).U ; iii). m(U + V) = m U+ m.V ; (m+n) U = mU+ nU
(m , n là các số thực).
Hệ quả
→ → →
→
→
i)
U+ U+ U +…+ U = n. U
→ →

→ →
ii)
Nếu U // V , thì tồn tại một số thực k sao cho V = k.U và k là duy nhất thỗ
mãn điều kiện đó.
4.Ðiều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ.
→ → →
→ →
Cho U , V , W khác không và U // V.Ðể ba véc tơ đó đồng phẳng cần và đủ là tồn
→
→
→
tại hai số thực m , n sao cho W = m. U + n. V.Cặp số m , n là duy nhất thỗ mãn điều
kiện đó.
Hệ quả.
→→ →
→
→ → →
i) Nếu U, V , W không đồng phẳng và m.U + n.V + k.W = 0 , thi m = n = k = 0.
→
ii) Với mọi véc tơ a tồn tại duy nhất một bộ 3 số thực x,y,z sao cho
→ → → →
a = xU + yV + zW
→→ →
→
→
Các véc tơ U, V , W được gọi là cơ sở của a. Bộ sô (x,y,z) được gọi là toạ độ của a.
→
→
Véc tơ a có biễu diên như vậy được gọi là phân tích a theo một cơ sở.
5.Góc tạo bởi hai véc tơ trong khơng gian.

Ðịnh nghĩa.
→ →
→
Cho hai véc tơ U , V khác 0. Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian và từ
đó
→ → → →
∧
→ →
ta dựng OA = U, OB = V, khi đó góc AOB là góc tạo bởi U và V.Ta thấy rằng nếu O’
là
→
→ → →
→
→
→
một điểm khác O và từ O’ ta dựng O’A’ = U, O’B’ = V, thì ta có OA = O’A’ , OB =
→
→
→
∧
∧
O’B’ và AB = A’B’.Từ đó ta suy ra AOB =A’O’B’.Chứng tỏ góc tạo bởi hai véc tơ

4


không phụ thuộc cách chọn điểm O.Ta ký hiệu ( U , V ) là góc tạo bởi hai véc tơ U ,
V.
Góc tạo bởi một véc tơ khơng và một véc tơ khác khơng khơng xác định.
Tính chất.

→
→ →
→
→ →
→ →
i) Nếu U’ ↑↑ U và V’ ↑↑ V, thì ( U’ , V’ ) = ( U , V ).
→ →
→ →
→ →
ii) Nếu ( U , V ) = α , thì ( - U , V ) = ( U , - V ) = 1800 - α.
→
→
→ →
→
→
→ →
iii) Nếu U ↑↑ V , thì ( U , V ) = 0. Nếu U ↑↓ V , thì ( U , V ) = 1800.
Ðộ dài hình chiếu của một véc tơ trên một trục toạ độ
→
Cho AB và trục toạ độ Ox.Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B
trên Ox. Ta gọi A’B’ là hình chiếu của AB trên Ox .Ta có hệ thức sau A’B’=
AB.cosα, trong đó α là góc tạo bởi AB và véc tơ đơn vị trên Ox, A’B’ là độ dài đại số
của A’B’ trên Ox.
6.Tích vơ hướng của hai véc tơ trong khơng gian.
Ðịnh nghĩa.
→ →
→
Cho hai véc tơ U và V khác 0.Tích vơ hướng của hai véc tơ đó là một số thực
bằng tích độ dài hai véc tơ nhân với cosα ; α là góc tạo bởi hai véc tơ đó.
→

Nếu một trong hai véc tơ bằng 0, thì tích vơ hướng của chúng bằng 0.Ta ký hiệu
Tính chất.
→ → → →
• U.V = V .U.
→ → → →→ →→
• U.( V + W ) = U. V + U. W.
→ →
→→
• (k.U). V = k.( U .V ), k là số thực.
→ →
→
→
2
• U . U = ( U ) = | U |2.
→ →
→ →
→ →
• | U . V | ≤ | U | . | V |. Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi U // V.
Hệ quả: Các hằng đẳng thức về tích vơ hướng trong mặt phẳng vẫn cịn hiệu lực trong
khơng gian.
→→
→ →
→→
→ →
→→
→ →
0
0
U. V = 0 ⇔ (U , V ) = 90 ; U. V > 0⇔ (U , V ) < 90 ; U . V < 0⇔ (U , V ) > 900.
→ →

tích vơ hướng của hai véc tơ là U . V.

5


Chương II.
Các phép biến hình trong khơng gian
--------------------------------------------------------------------------------------------------------A. Ðại cương về biến hình trong khơng gian
1.Ðịnh nghiã. Trong khơng gian cho một quy tắc f.Với mỗi điểm M bất kỳ theo
quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M’.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép
biến đổi f và được ký hiệu f : M → M’(đọc là f biến M thành M’).Ðiểm M được gọi là
tạo ảnh của M’, f là một phép biến đổi hình học .
Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu M1’, M2’ tương ứng là ảnh của của M1,M2 trong
phép biến đổi f và M1’ khác M2’, thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt.
Nếu f được xác định cho mọi điểm trong khơng gian, thì ta nói f là phép biến đổi
trong không gian.
2. Phép biến đổi 1-1.
Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh
khác M.Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép
biến đổi 1-1.
3.Phép biến đổi đồng nhất.
Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất , nếu f biến mọi điểm M trong khơng gian thành
chính M.
4. Phép biến đổi ngược.
Gỉa sử f : M → M’ với mọi điểm M trong không gian. Nếu tồn tại một phép biến
đổi g biến M’ thành M, thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f và f là phép biến đổi
có ngược.
5.Tích của hai ( hoặc nhiều ) phép biến đổi
Cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M bất kỳ f : M→ M’ và g :M’→ M’’.
Phép biến đổi biến M thành M’’ được gọi là tích của hai phép biến đổi f và g và ta ký

hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g•f : M → M’’ hoặc g(f) : M→ M’’.
Tóm lại tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từ việc thực hiện
liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho.
Cho n phép biến đổi (n > 2) f1,f2,..,fn.Tích của n phép biến đổi đã cho là một phép
biến đổi F bằng cách thực hiện liên tiếp theo một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó
và ta viết F =fn•fn-1•..f2•f1.
6.Hai phép biến đổi trùng nhau.
Cho hai phép biến đổi f và g.Ta nói f và g trùng nhau (hoặc bằng nhau) và được ký
hiệu f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của hai phép biến đổi đó trùng
nhau . Nghĩa là với mọi điểm M , f : M → M’ và g : M → M’.
Cho một tập hợp điểm X.Ta nói f và g trùng nhau cục bộ trên X , nếu f và g trùng
nhau trên tập hợp X.
7.Ðiểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép
biến đổi.
Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f , nếu f biến O thành O.
Ta nói đường thẳng d là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc d là
điểm bất động của f.
6


Ta nói mặt phẳng P là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc P là
bất động của f.
Ta nói đường thẳng d( mặt phẳng P) là bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến
đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) thành chính nó.
Rõ ràng nếu đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) là bất động của phép biến đổi f, thì
d (hoặc mặt phẳng P) là bất biến đối với f.
8.Ảnh của một hình qua một phép biến đổi .
Cũng như hình học phẳng, trong hình học khơng gian ta xem mỗi hình khơng gian
là một tập hợp điểm .Cho một hình không gian F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F
qua một phép biến đổi f lập thành một hình F’ được gọi là ảnh của F qua phép biến đổi

đó.
Ta ký hiệu f : F → F’ hoặc F’ = M’/ f : M→ M’ với mọi M∈F
9.Hai hình trùng nhau.
Ta nói hai hình khơng gian F1 và F2 trùng nhau, nếu mọi điểm của hình này thuộc
hình kia và ngược lại .Hai hình trùng nhau được ký hiệu là F1≡ F2.
Nếu mọi điểm của F1 thuộc F2, thì ta nói F1 là hình con của F2.

B. Một số phép biến đổi hình học cơ bản trong khơng gian
--------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Phép đối xứng qua tâm
Ðịnh nghĩa. Cho trước một điểm O.Với mỗi điểm M khác O ta xác định điểm M’
→
→
sao cho OM’ =- OM. Nếu M trùng với với O, thì M’ trùng với O.Khi đó ta nói M’ là
ảnh của M trong phép đối xứng qua tâm O ( hoặc đối xứng tâm O) và được ký hiệu ZO
: M → M’ .Ðiểm O được gọi là tâm đối xứng.
Cho một hình F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép biến đổi ZO lập thành
một hình F’ được gọi là ảnh của F hoặc hình đối xứng với F qua O.Nếu F và F’ trùng
nhau, thì ta nói F là hình có tâm đối xứng.Ta ký hiệu ZO : F → F’.
Tính chất.
1. ZO có một điểm bất động duy nhất là điểm O.
2. ZO là phép biến đổi 1-1 và có ngược.Phép biến đổi ngược chính là ZO.
→
→
3. Nếu A’,B’ là ảnh của A,B trong phép biến đổi ZO , thì A’B’ = - AB.
4. Nếu A,B,C,D là 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng và A’,B’,C’,D’ là các ảnh
tương ứng của các điểm đó trong phép biến đổi ZO, thì 4 điểm A’,B’,C’,D’ cũng nằm
trong một mặt phẳng.
Chứng minh
Gọi P là mặt phẳng chứa 4 điểm A,B,C,D.Ta xét trường hợp tồn tại 3 trong 4 điểm
khơng thẳng hàng chẳng hạn A,B,C .Khi đó A’,B’,C’ không thẳng hàng và tồn tại các

→ → →
→
→
→
→ →
→
7


số thực x, y sao cho AD =xAB +yAC.Vì A’D’ = -AD , A’B’=- AB , A’C’= - AC, nên
→
→
→
A’D’= xA’B’+ yA’C’.Hệ thức đó chứng tỏ D’ thuộc mặt phẳng đi qua 3 điểm
A’,B’,C’.
Hệ quả. Phép biến đổi ZO biến
i)
Mặt phẳng P thành mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ trùng với P.Nếu O
thuộc P , thì Zo là phép đối xứng qua tâm O xác định trong P.
ii)
Nửa mặt phẳng P thành nửa mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ và P lập thành
một mặt phẳng.
Chứng minh
Bổ đề. Cho mặt phẳng P và đường thẳng d chia P thành hai nửa mặt
→
→
phẳng P1 và P2.Trên d ta lấy một điểm O và dựng các véc tơ OA nằm trên d ,OB
→
→
→

thuộc P1(các véc tơ đó khác 0).Với điểm M bất kỳ thuộc P ta có OM = xOA +
→
yOB (*) , trong đó x,y là một cặp số thực.Ðể M thuộc nửa mặt phẳng P1 điều
kiện cần và đủ là trong hệ thức (*) y >0.
Thật vậy nếu M thuộc P1, thì M khơng thuộc d.Ta dựngM1, M2 là hình chiếu
→
→
→
→
của M theo phương d và OB tương ứng, khi đó OM2↑↑ OB .Ðảo lại nếu OM2↑↑
→
OB, thì M thuộc P1.Từ nhận xét đó ta suy ra điều cần chứng minh.
iii)
iv)

Góc nhị diện (P,Q) thành nhị diện (P’,Q’) và số đo các góc phẳng của hai
nhị diện bằng nhau.
Mặt cầu (S,R) thành mặt cầu (S’,R),hình nón N thành hình nón N’có bán
kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng của N, hình trụ
T thành hình trụ T’ có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố
tương ứng của T.

5.Tích của 3 phép đối xứng qua 3 tâm phân biệt là một phép đối xứng qua tâm .
Chứng minh
Ta ký hiệu ZA, ZB, ZC là các phép đối xứng qua 3 điểm phân biệt A,B,C.Ta đặt Z =
ZC•ZB•ZA và chứng tỏ rằng Z có điểm bất động.Gọi O là điểm bất động của Z, theo
→
→ →
→
định nghĩa ta có ZA : O→ O’, ZB :O’→O’’, ZC : O’’→ O và -AO’ = AO ,-BO’’= BO’,

→
→
→
→
→ →
→ →
→ → → →
CO’’= - CO.Từ BO’ = -BO’’⇔ (BA+AO’) = -(BC +CO’’) ⇔BA+BC =O’A+ O’’C =
→ → → → → →
→ →
→ → → →

8


AO+CO= AB +BO+BO-BC ⇔ 2(BA+BC) = 2BO⇔ BO = BA+BC.Hệ thức đó chứng
tỏ điểm cố định O tồn tại .Với điểm M bất kỳ khác O, ta có ZA : M→M’ và O→O’, do
đó
→
→
→
→
O’M’ =- OM. ZB : M’→M’’ và O’→ O’’, do đó O’’M’’= - O’M’.ZC : M’’→M’’’ và
→
→
→
→
O’’→O , do đó OM’’’= - O’’M’’.Từ các kết quả trên ta suy ra OM’’’ = - OM.Ðây là
điều cần chứng minh.
Bài tập.

Chứng minh các tính chất hình học.
1.Cho một hình hộp (H).CMR giao điểm các đường chéo của (H) là tâm đối xứng của
nó.
Hướng dẫn : Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp và O là giao các đường chéo
của nó. Theo tính chất của hình hộp ta có Zo : A→ C’, B→ D’,C →A’.vì vậy miền
bình hành ABCD → miền bình hành A’B’C’D’ (mỗi miền bình hành là phần chung
của 4 nửa mặt phẳng mà bờ là các đường thẳng chứa các cạnh hình bình hành).
2.CMR phép biến đổi ZO biến hai đường thẳng chéo nhau thành hai đường thẳng chéo
nhau.
Hướng dẫn:Ký hiệu x, y là hai đường thẳng chéo nhau; x’,y’ là ảnh của hai
đường thẳng đó.Gọi P là mặt phẳng chứa x và cắt y tại O không nằm trên x.Phép biến
đổi Zo biến P →P’chứa x’ và không chứa y’, O→ O’ thuộc P’không nằm trên x’.
3.CMR phép biến đổi ZO biến một tứ diện đều thành một tứ diện đều có cạnh bằng
cạnh tứ diện ban đầu.
Hướng dẫn :Ký hiệu ABCD là tứ diện đều.Phép biến đổi Zo biến
A→A’,B→B’,C→C’, D→D’.Vì A,B,C,D khơng cùng nằm trong một mặt phẳng, do
đó A’,B’,C’,D’ khơng cùng nằm trong một mặt phẳng.A’B’C’D’ là một hình tứ diện có
các cạnh bằng nhau.
4.CMR phép biến đổi ZO biến một hình lập phương thành một lập phương mà cạnh
bằng cạnh lập phương ban đầu.
5.Cho tứ diện ABCD và G là trọng tâm của tứ diện.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện và O’ là ảnh của O trong phép đối xứng qua G.CMR mặt phẳng đi qua AB và O’
song song hoặc chứa đường thẳng đi qua O và trung điểm của cạnh CD.
Hướng dẫn .Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, P là mặt phẳng đi qua
AB và O’.Ta biết rằng G là trung điểm của đoạn MN, vì vậy GM// ON.Ðó là điều cần
chứng minh.
6.CMR một hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng.
Hướng dẫn: giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O.Nếu O thuộc một mặt
phẳng chứa một mặt nào đó của tứ diện, thì mặt đó là hình có tâm đối xứng.Ðiều đó
khơng thể xảy ra vì mặt của tứ diện là tam giác mà tam giác là hình khơng có tâm đối

xứng.Vậy O khơng thuộc các mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Gọi A’,B’ lần lượt là ảnh
của A,B qua phép đối xứng đó.Thế thì A’,B’thuộc các mặt đối là (BCD) và (ACD).Vì

9


ABB’A’ là hình bình hành, do đó AB’//BA’⇒ AB’//CD và BA’//CD⇒ A’trùng với B
và B’ trùng với A.Ðiều đó chứng tỏ O là trung điểm của AB và O thuộc mặt phẳng
chứa mặt tứ diện.Mâu thuẫn đó chứng minh kết luận bài tốn.
7.CMR một hình chóp khơng có tâm đối xứng.
Hướng dẫn:Trước hết ta thấy rằng nếu một hình chóp có tâm đối xứng O , thì số
mặt chẵn.Thật vậy nếu M là điểm bất kỳ thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm
M’ đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành
mặt, cạnh thành cạnh và đỉnh thành đỉnh) .Ðiều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp
ứng với một đoạn thảng MM’.Vì số các đoạn như vậy là ngun, nên số mặt là
chẵn.Vậy đáy của hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh.Vì đáy lẻ, nên O
không thuộc mặt phẳng đáyvà không thuộc các mặt bên.Gọi T là thiết diện của hình
chóp đi qua O và song song với đáy(T tồn tại vì Phép đối xứng qua O biến đỉnh hình
chóp thành điểm thuộc đáy chóp), khi đó T là đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh
(vì các cạnh của T chỉ nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp).Mâu thuẫn đó
chứng minh bài tốn.
8.CMR mọi thiết diện của một hình hộp đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp
là hình bình hành hoặc hình lục giác có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Hướng dẫn.Gọi O là giao các đường chéo hình hộp (H). P là mặt phẳng thiết diện
.Rõ ràng O là tâm đối xứng chung của P và (H), do đó nó là tâm đối xứng của phần
chung hai hình đó.
9.CMR nếu thiết diện của một hình hộp là tam giác hoặc ngũ giác, thì thiết diện đó
khơng chứa giao điểm các đường chéo hình hộp.
10.Cho tứ diện ABCD.Tìm ảnh của tứ diện đã cho qua phép biến đổi Z = ZC•ZB•ZA.
11.Cho mặt cầu (O,1) và tập hợp n điểm trong không gian A1,A2,…,An (n >2).CMR

trên mặt cầu đã cho ln tìm được điểm M sao cho MA1+MA2+..+MAn > n.
12.CMR ảnh của một đa giác phẳng lồi n- cạnh qua phép đối xứng Zo là một đa giác
phẳng lồi n- cạnh và hai đa giác đó có các cạnh tương ứng bằng nhau, số đo các góc
tương ứng bằng nhau.
13.CMR nếu một hình đa diện (T) có tâm đối xứng, thì số mặt của (T) chẵn, số cạnh
chẵn và số đỉnh chẵn.
Hướng dẫn.Gọi O là tâm đối xứng của (T) và X là điểm bất kỳ thuộc một mặt M
nào đó của T.Gọi X’ là ảnh của X qua phép đối xứng đó .Hiển nhiên X’ thuộc một mặt
M’ của (T).Vậy thì mỗi một cặp mặt M và M’ của T ứng với một đoạn XX’.Số đoạn đó
là số nguyên, nên số mặt của (T) chẵn .Ta biết rằng mỗi điểm bất kỳ thuộc một cạnh
nào đó của T, điểm đối xứng với nó qua O cũng thuộc đúng một cạnh của T.Vì vậy hai
cạnh của T ứng với cùng một đoạn thẳng nối một điểm của cạnh này với một điểm của
cạnh kia.
14.CMR một hình hộp có đúng một tâm đối xứng.
Hướng dẫn.Gỉa sử O và O’ là hai tâm đối xứng của một hình hộp (H).Với mỗi điểm
X thuộc hình hộp , phép đối xứng Zo và Zo’ biến X, thành X’ và X’’ thuộc hình
hộp.Ta xét thiết diện của hình hộp đi qua 3 điểm X,X’,X’’.Thiết diện đó là một đa giác
nhận O và O’ là tâm đối xứng.Ta biết rằng một đa giác phẳng bất kỳ có khơng q một
tâm đối xứng.Mâu thuẫn đó chứng tỏ O và O’ trùng nhau.
10


15.CMR nếu thiết diện của một hình hộp là một lục giác có tâm đối xứng, thì thiết diện
đó đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp.
Hướng dẫn.Nếu thiết diện của hình hộp là lục giác, thì mặt phẳng thiết diện cắt tất
cả 6 mặt hình hộp.Vì vậy tâm đối xứng của thiết điện cũng biến mỗi mặt hình hộp
thành mặt hinh hộp, nghĩa là biến hình hộp thành hình hộp.Ta biết rằng hình hộp chỉ có
một tâm đối xứng duy nhất là giao các đường chéo,nên mặt phẳng thiết diện chứa nó.
16.Cho tứ diện ABCD có các đường cao cắt nhau tại H.Gọi O và G lần lượt là tâm mặt
cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện . CMR G là trung điểm của đoạn OH.

Hướng dẫn. Hiển nhiên mặt phẳng đi qua AB và H vng góc với CD, vì nó chứa
AH và BH cùng vng góc với CD.Gọi I là trung điểm của CD, khi đó OI vng góc
với CD.Hãy dùng lại kết quả bài tập 5.
17.CMR một hình lăng trụ có đáy là một đa giác lồi với số lẻ cạnh, thì nó khơng có
tâm đối xứng.
Hướng dẫn :dùng kết quả bài 13.
18.CMR nếu một hình lăng trụ mà đáy có tâm đối xứng,thì lăng trụ đó có tâm đối
xứng.
Hướng dẫn .Ta ký hiệu A1A2…An và B1B2…Bn là các đỉnh thuộc hai đáy , trong đó
A1B1//A2B2//…AiBi//…//AnBn.Gọi O1 và O2 tương ứng là tâm đối xứng của các đa giác
A1A2…An và B1B2…Bn. O là trung điểm của O1O2.Ta chứng minh rằng O là tâm đối
xứng của lăng trụ.Với đỉnh bất kỳ Ai ta xét đoạn AiAj nhận O1là trung điểm .Gọi O’ là
trung điểm của BiBj , khi đó O1O’// AjBj.Tương tự ta xét đoạn Ai+1Aj+1 nhận O1 là
trung điểm.Gọi O’’ là trung điểm củaBi+1Bj+1 , khi đó O1O’’// Ai+1Bi+1//AiBi .Vì vậy O’
và O’’ trùng nhau.Cứ tiếp tục như vậy ta suy ra O1O2// AiBi.Như vậy với đỉnh Ai bất
kỳ Z = ZO2•ZO •ZO1 biến nó thành đỉnh Bj.
19.CMR hình chóp cụt khơng có tâm đối xứng.
Hướng dẫn.Nếu chóp cụt có tâm đối xứng, thì mọi đỉnh của đáy thứ nhất biến thành
đỉnh của đáy tứ hai và các cạnh tương ứng của hai đáy bằng nhau.Ðiều đó mâu thuẫn
với các cạnh tương ứng của hai đáy khác nhau.
20. CMR hình trụ trịn xoay có tâm đối xứng.
Hướng dẫn.Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đáy .Hãy chứng minh
rằng O là tâm đối xứng của hình trụ.
21.CMR hình nón trịn xoay khơng có tâm đối xứng.
Hướng dẫn.Xét một thiết diện của hình nón đi qua đỉnh và tâm đối xứng.Thiết diện
đó là một tam giác có tâm đối xứng .Mâu thuẫn đó chứng minh bài tốn.
22. Cho hai đường thẳng chéo nhau (x) và (y).CMR không tồn tại một phép đối xứng
qua tâm biến đường này thành đường kia.
Hướng dẫn.Gọi O là tâm của phép đối xứng đó và (x’) là ảnh của (x) qua phép đối
xứng, khi đó (x’)//(x).Gọi P là mặt phẳng chứa (x) và (x’).Vì (y) chéo với (x), nên (y)

khơng nằm trong P, do đó (y) và (x’) khơng thể trùng nhau.
Tìm tập hợp điểm
1.Cho mặt phẳng P và tam giác ABC.Với mỗi điểm M thuộc P ta dựng điểm M1 đối
xứng với M qua A; M2 đối xứng với M1 qua B và M3 đối xứng với M2 qua C.Tìm tập
hợp điểm M3 , khi M biến thiên trong P.
11


2.Cho nhị diện (P,Q) và điểm O cố định nằm trong nhị diện.Tìm tập hợp M trong P sao
cho tồn tại trong Q điểm M’ mà O là trung điểm của đoạn MM’ .
Hướng dẫn :Gọi Q’ là ảnh của Q qua phép biến đổi ZO, khi đó M là ảnh của M’ qua
phép biến đổi Zo.Vậy M thuộc giao tuyến x của hai nửa mặt phẳng Q’ và P.Tập M’
hoặc là x hoặc tia thuộc x hoặc rỗng.
3.Cho trước một mặt cầu(O), một mặt phẳng P và điểm Q khơng thuộc P và khơng nằm
trên mặt cầu.Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt cầu sao cho tồn tại trong P điểm M’ đối
xứng với M qua Q.
Hướng dẫn : Tập hợp M hoặc là đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng.
4.Cho hai mặt phẳng P,Q và điểm O không nằm trên cả hai mặt phẳng đó.Tìm điểm M
thuộc P và N thuộc Q sao cho O là trung điểm của đoạn MN.
Hướng dẫn : Gọi P’ là ảnh của P qua phép biến đổi Zo, x là giao tuyến của Q và
P’(nếu có), khi đó ảnh x’ của x qua phép biến đổi Zo thuộc Q.Các điểm M ,N cần tìm
lần lượt trên x và x’.
5.Cho mặt phẳng P và tập hợp gồm 4 điểm A,B,C,D.Với mỗi điểm M thuộc P ta xác
→ → → →
→
định điểm N theo cơng thức MA+ MB+MC+MD= 2MN.Tìm tập hợp N, khi M biến
thiên trong P.
→
→
→

→
Hướng dẫn .Gọi G là trọng tâm của 4 điểm đã cho , ta có 4MG = 2MN⇔ MG =
GN
→
→
⇔ GM = -GN. Hệ thức đó chứng tỏ tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với P qua G.
6.Cho mặt cầu (O) và 4 điểm A,B,C,D.Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu ta xác định
điểm
→
→ →
→ →
N theo cơng thức 7MN = 2MA+3MB+4MC+5MD.Tìm tập hợp điểm N , khi M biến
thiên trên mặt cầu.
→ → → → →
→
Hướng dẫn .Gọi G là điểm sao cho 2GA+3GB+4GC+5GD = 0, khi đó ta có 7MN
→
→
→
→
→
→
=14MG ⇔ 7 MG + 7GN = 14MG ⇔ GN = -GM.Tập hợp N là mặt cầu đối xứng với
(O) qua G.
Dựng hình.
1.Cho 4 điểm A,B và C,D lần lượt nằm trên các đường thẳng chéo nhau (x)và (y).Hãy
dựng một hình hộp sao cho các đoạn thẳng AB và CD là hai đường chéo thuộc hai mặt
song song của hình hộp.

12

Hướng dẫn. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.Gọi O là trung điểm của
đoạn IJ.Phép đối xứng qua O biến A→ A’, B→B’,C →C’,D→D’.Hình hộp gồm hai
mặt song song chứa AB và CD là AD’BC’B’CA’D.
2.Cho 4 điểm A,B,C,D không nằm trong một mặt phẳng.Hãy dựng một hình hộp sao
cho một trong 4 điểm đã cho là giao điểm các đường chéo hình hộp.Các điểm cịn lại là
đỉnh hình hộp.
3.Cho hai mặt cầu tiếp xúc ngồi với nhau tại A.Hãy dựng một mặt phẳng đi qua A cắt
đồng thời hai mặt cầu đó thành hai đường trịn có bán kính bằng nhau.
Hướng dẫn. Dựng mặt cầu đối xứng với một trong hai mặt cầu đã cho qua tâm A.
Mặt cầu vừa dựng cắt mặt cầu thứ hai theo một đường tròn (K).Mặt phẳng chứa (K) là
mặt cần dựng.
4.Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’(AA’//BB’//CC’//DD’).Gọi G,G’ là trọng tâm tam
giác AB’D’ ,BC’D.Người ta giữ lại các điểm G, G’,B , A.Các đỉnh cịn lại được xố
đi.Hãy chỉ ra cách phục hồi các đỉnh bị xoá.
Hướng dẫn.Gọi O là trung điểm của GG’, khi đó O là tâm đối xứng của hình hộp đã
cho.Dùng O ta sẽ phục hồi các đỉnh đã xoá.
2. Phép đối xứng qua một đường thẳng.
Ðịnh nghĩa. Cho trước một đường thẳng d.Với mỗi điểm M không thuộc d ta xác
định điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’. Nếu M thuộc d, thì M’ là
M.Khi đó ta nói M’ là điểm đối xứng với M qua d hoặc M’ là ảnh của M qua phép đối
xứng đó và được ký hiệu Ð(d) : M → M’.Ðường thẳng d được gọi là trục đối xứng.Nếu
quy tắc đó được xác định cho mọi điểm trong khơng gian, thì ta có một phép đối xứng
qua một đường thẳng d trong khơng gian.
Cho một hình H.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H qua phép biến đổi Ð(d) lập
thành một hình H’ được gọi là hình đối xứng với H qua d hoặc ảnh của H trong phép
biến đổi đó.Nếu H và H’ trùng nhau, thì H là hình có trục đối xứng.
Tính chất.
1.Phép biến đổi Ð(d) có một đường thẳng bất động duy nhất là d và Ð(d) có phép biến

đổi ngược.Phép biến đổi ngược của Ð(d) là chính nó.
2.Nếu A’,B’ là ảnh của hai điểm A,B qua phép biến đổi Ð(d), thì A’B’=AB.
Chứng minh
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’,ta có KH⊥AA’ và KH⊥BB’.Ta có
→ → →
→ →
AB 2= (AH +HK +KB )= AH2+KH2 +KB2+2AH.KB ; A’B’2 =(A’H+HK+KB’)2 =
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
2
2
2
+A’H +KH +KB’ +2A’H.KB’.Vì (AH, KB) = (A’H,KB’), nên AH.KB = A’H.KB’ .
Từ các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh.
Hệ quả.
Phép biến đổi Ð(d) biến :
i) 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.
ii)đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆’; tia Ox thành tia O’x’;đoạn AB thành
∧
∧
∧
∧
13


đoạn A’B’ và A’B’=AB; góc xOy thành góc x’O’y’ và x’Oy’=xOy.
iii) Mặt cầu (O,R) thành mặt cầu (O’,R)

3.Phép biến đổi Ð(d) biến 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng thành 4 điểm cùng
nằm trong một mặt phẳng.
Chứng minh
Gỉa sử A,B,C là 3 điểm không thẳng hàng trong 4 điểm A,B,C,D .Gọi A’,B’,C’ là
ảnh của 3 điểm đó trong phép biến đổi Ð(d).Hiển nhiên A’,B’,C’ khơng thẳng hàng,Vì
vậytồn tại duy nhất mặt phẳng P’ đi qua qua 3 điểm đó . Gọi P là mặt phẳng đi qua
A,B,C, D’ là ảnh của D qua phép biến đổi Ð(d).Ta chứng minh rằng D’ thuộc P’.
Ta xét trường hợp D thuộc vào một trong các đường thẳng chứa 3 cạnh tam giác,
chẳng hạn D thuộc BC, khi đó D’ cũng thuộc B’C’.Vì B’C’ thuộc P’, nên D’ thuộc P’.
Trường hợp D không thuộc các đường thẳng chứa 3 cạnh tam giác ABC.Ta nối M
với các điểm A,B,C và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N.Gọi N’ là ảnh của N, khi
đó N’ thuộc P .Do AN’ thuộc P’, nên D’ cũng thuộc P’.
Hệ quả. Phép đối xứng Ð(d) biến
i)Một mặt phẳng P thành một mặt phẳng P’và P trùng với P’,khi d thuộc P;P//
P’, khi d//P ; nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; Miền đa giác lồi thành miền
đa giác lồi ; hình trịn (I;ρ) thành hình trịn (I’,ρ).
Chứng minh.
Nếu d thuộc P và M là điểm bất kỳ thuộc P, M’ là ảnh của M, khi đó MM’ cắt
d. Do đó MM’thuộc P và M’ thuộc P.Nếu d// P và giả sử P cắt P’ theo một giao
tuyến d’, thế thì d’// d .Với mỗi điểm X thuộc d’, phép đối xứng qua d biến nó
thành điểm X’.Vì X thuộc P ,nên X’ thuộc P’ và X thuộc P’, nên X’ thuộc
P.Vậy
X’là điểm chung của P và P’.Ðiều đó chứng tỏ P và P’trùng nhau hay d thuộcP
Mâu thuẫn đó chứng tỏ P//P’
Ta xét nửa mặt phẳng P với bờ là đường thẳng∆ và điểm O thuộc ∆.Ta kẻ tia
Ox thuộc P.Ký hiệu ∆’ và O’x’ là ảnh của ∆ và Ox qua phép biến đổi Ð(d).Khi
đó O’x và ∆’ xác định một nửa mặt phẳng với bờ là ∆’.Gỉa sử M là điểm bất kỳ
thuộc P và M’ là ảnh của M.Nếu M nằm trên Ox, thì M’ nằm trên O’x’ và do đó
M’ thuộc P’.Nếu M khơng thuộc Ox, thì ta xét đoạn AB chứa M có các đầu mút
thuộc tia Ox và ∆ .Gọi A’,B’ là ảnh của của A,B, khi đó A’,B’ thuộc P’ và ∆’.

Vì M thuộc AB, nên M’( ảnh của M) thuộc A’B’.Ðiều đó chứng tỏ M’ thuộc P’.
Mỗi miền đa giác lồi là phần chung của các nửa mặt phẳng mà bờ là các
đường thẳng chứa các cạnh đa giác, vì vậy ảnh của các phần chung đó là một đa
giác lồi
Mỗi hình trịn là thiết diện của một mặt cầu và một mặt phẳng.Vì vậy ảnh của
thiết diện là một thiết diện tạo bởi ảnh của mặt cầu và mặt phẳng.
ii) Góc nhị diện biến thành một góc nhị diện và số đo các góc phẳng của hai
nhị diện đó bằng nhau.
iii)hình nón N thành hình nón N’ và hai hình nón đó có độ dài đường sinh
bằng nhau , bán kính đáy bằng nhau;Hình trụ T thành hình trụ T’có độ dài đường
sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau.
14


Bài tập.
1.Cho tứ diện đều ABCD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.
i)
CMR MN là trục đối xứng của tứ diện đó.
ii)
Gọi O là trung điểm của đoạn MN.CMRvới mọi điểm K nằm trong tứ diện ta
có KA+KB+KC+KD ≥ OA+ OB + OC+OD.
Hướng dẫn. Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK’ và MN.Ta
có KA+KB =AK+AK’> 2AH và KC+KD = CK+CK’> 2CH.Ta chứng minh rằng
AH+CH > OA+ OC.Xét trong mặt phẳng(MCD) điểm A’ sao cho tia MA’ vuông góc
với MN và ngược chiều với tia NC .Ðộ dài MA’= MA.Rõ ràngHA’=HA, vì vậy
HA+HC = HA’+HC > A’C.Mà A’C đi qua O.
2.Cho tứ diện ABCD có AB=CD,AC=BD,AD=BC.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các
cạnh AB và CD.Gọi A’,B’ là chân các đường vng góc hạ từ A và B xuống CD;
C’,D’ là chân các đường vng góc hạ từ C và D xuống AB.CMR A’C’=B’D’ và
A’D’=B’C’.

3.Trong không gian cho hình bình hành ABCD.
i)CMR đường thẳng đi qua giao điểm các đường chéo hình bình hành và vng góc với
mặt phẳng hình bình hành là trục đối xứng của nó.
ii)CMR nếu tồn tại một đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng chứa nó sao cho
phép đối xứng Ð(d) biến ABCD thành chính nó , thì d phải đi qua giao điểm các đường
chéo của hình bình hành và vng góc với mặt phẳng chứa nó.
Hướng dẫn:Nếu Ð(d) biến ABCD thành chính nó, thì biến mặt phẳng (ABCD)
thành chính nó. Vì vậy d vng góc với (ABCD).Gọi O là giao điểm của d và mặt
phẳng (ABCD), Nếu M là điểm bất kỳ thuộc hình bình hành ABCD và M’là ảnh của
M thì O là trung điểm của MM’.Vậy O là tâm đối xứng biến M thành M’hay là tâm đối
xứng của hình bình hành và d vng góc với mặt phẳng (ABCD)
4.Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD và SA=SC,SB=SD.CMR
đường thẳng đi qua S và giao điểm các đường chéo hình bình hành là trục đối xứng của
hình chóp đó.
5.Cho tứ diện ABCD có AC=AD=BC=BD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB và CD.Trên cạnh AC ta lấy điểm K.Mặt phẳng đi qua K,M,N cắt BD tại L.CMR tứ
giác MKNL có hai đường chéo vng góc.
Hướng dẫn : MN là trục đối xứng biến A thành B, C thành D.Vì vậy K thành K’
thuộc cạnh BD và AK = BK’.Mặt khác MN cũng là trục đối xứng của mặt phẳng đi
qua 3 điểm (K,M,N), nên K’ thuộc mặt phẳng đó.Vậy K’ là giao của BD với (KMN)
hay K’ trùng với L.
6.Cho hai đường thẳng x,y cắt và vng góc với nhau tại O.Ta đặt Ð =
Ð(y)•Ð(x).CMR Ð là phép đối xứng qua một đường thẳng z, trong đó z vng góc với
mặt phẳng chứa x,y tại O.
Hướng dẫn :Ta tìm đường thẳng bất động của Ð.Gọi z là đường thẳng bất động của
Ð và M là điểm bất kỳ thuộc z.Theo định nghĩa Ð(x) : M→ M’, khi đó MM’ vng góc
với x tại trung điểm của nó.Ð(y) : M’→ M, khi đó M’M vng góc với y tại trung điểm
của nó.Vậy thì x, y cùng đi qua trung điểm của MM’ và vng góc với nó.Ðiều đó

15

chứng tỏ giao điểm O của x và y là trung điểm của MM’và MM’ vng góc với mặt
phẳng chứa x,y.MM’ là đường thẳng z .
Gỉa sử X là điểm bất kỳ không thuộc z , X’ là ảnh của X qua phép biến đổi Ð(x),
khi đó XX’ vng góc với x tại trung điểm H của nó. X’’ là ảnh của X’ qua phép biến
đổi Ð(y), khi đó X’X’’ vng góc với y tại trung điểm K của nó.Ta cần chứng minh
rằng z là đường trung trực của XX’’.Gọi I là giao điểm của đường thẳng kẻ qua X’ và
song song với z.Hiển nhiên mặt phẳng (IXX’)//y và (IX’X’’)//x, do đó tứ giác OHIK là
hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm của XX’’, khi đó X’N đi qua giao điểm các đường
chéo hình chữ nhật OHIK và nhận giao điểm đó là trung điểm. Vì vậy ON//X’I.Ðiều
đó chứng tó N thuộc z.Mặt khác XX’’//KH , do đó XX’’⊥ z.Ðó là điều cần chứng
minh.
7.Tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD, BCD bằng nhau và ABC,ABD bằng
nhau .Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.CMR MN là trục đối xứng
của tứ diện.
Hướng dẫn:Từ A ,B,M ta hạ các đường vng góc xuống CD và ký hiệu H,K,M’
lần lượt là chân các đường vng góc đó.Nếu 2 trong 3 điểm đó trùng nhau, thì cả 3
điểm trùng nhau.Vì vậy tam giác AM’B cân tại M’.MM’ là đường vng góc chung
của AB và CD.Tam giác MCD cân tại M, vì CM và DM là hai đường cao của hai tam
giác ABC và ABD.Do đó MM’ là trung tuyến của tam giác MCD và M’ trùng với N.
Trường hợp H,K,M’ khác nhau, khi đó tồn tại 3 mặt phẳng cùng vng góc với CD
và chứa các đường thẳng BK,AH,MM’.Theo định lý Ta lét ta có M’K=M’H.Do đó
M’B =M’A.Tam giác M’AB cân tại M’ và MM’ là đường vng góc chung của AB và
CD. Tương tự ta cũng có NN’ là đường vng góc chung của AB và CD.
8.Cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau .CMR tồn tại một phép đối xứng biến a
thành (a) và biến (b) thành (b).
Hướng dẫn : Gọi (c) là đường vng góc chung của (a) và (b).Phép đối xứng
qua(c) biến các đường thẳng đó thành chính nó
9.CMR nếu một hình tứ diện có trục đối xứng, thì trục đối xứng đó khơng đi qua đỉnh

của tứ diện.
Hướng dẫn.Ta xét tứ diện ABCD có trục đối xứng là d đi qua A.Với mỗi điểm M
thuộc tứ diện tồn tại điểm M’ thuộc tứ diện đối xứng với M qua d.Ta dựng mặt phẳng
P đi qua MM’ và d, khi đó P cắt tứ diện theo một thiết diện tam giác có một đỉnh là
A.Vì d cũng là trục đối xứng của P, nên d là trục đối xứng của thiết diện.Thiết diện tam
giác có trục đối xứng , thì tam giác đó cân tại A.Vậy d vng góc với mặt BCD tại
H.Do d là trục đối xứng của tam giác BCD khơng nằm trong mặt phẳng chứa tam giác
đó , nên H là tâm đối xứng của tam giác đó.Ðiều này khơng thể xảy ra, vì tam giác
khơng có tâm đối xứng.
10.CMR đường chéo của một hình lập phương khơng thể là trục đối xứng của nó.
Hướng dẫn.Ta xét lập phương ABCDA’B’C’D’ và giả sử AC’ là trục đối xứng của
nó.Ta xét thiết diện ABC’D’ của lập phương.Thiết diện đó là phần chung cuat lập
phương và mặt phẳng P đi qua AC’.Ta biết rằng AC’ là trục đối xứng của P, do đó AC’
là trục đối xứng của phần chung hai hình.Vậy AC’ là trục đối xứng cỉa chính thiết diện

16


ABC’D’.Nếu một đường chéo tứ giác lồi là trục đối xứng , thì đường chéo đó là phân
giác chung của hai góc tứ giác mà đỉnh là các đầu mút đường chéo. Vì vậy AB=AD’
Mâu thuẫn đó chứng minh bài tốn.
11.Cho hình lập phươngABCDA’B’C’D’.Ta xét một hình (F) gồm các đường thẳng
AB,
CC’ và A’D’.CMR (F) là hình có trục đối xứng.
Hướng dẫn. gọi I , J lần lượt là trung điểm của A’D’ và BC.Ðường thẳng IJ là trục
đối xứng của (F).
12.CMR nếu một hình chóp có trục đối xứng đi qua đỉnh , thì đáy của hình chóp là một
đa giác có số chẵn cạnh.
Hướng dẫn.Gọi S là đỉnh của hình chóp và d là trục đối xứng của nó đi qua S .
Nếu d song song với đáy hình chóp, thì ảnh của đáy thuộc một mặt phẳng song song

với đáy của nó.Ðiều này khơng thể xảy ra vì các ảnh đó khơng thuộc hình chóp.Bởi
vậy d phải cắt mặt phẳng đáy.Ta xét một thiết diện bất kỳ của hình chóp đi qua d.Thiết
diện đó là một tam giác có trục đối xứng, nên tam giác đó cân tại đỉnh S.Vậy d vng
góc với cạnh đáy tam giác và do đó d vng góc với đáy.Ðường thẳng d là trục đối
xứng của đáy ,nên giao điểm của d với đáy là tâm đối xứng của đáy.Một đa giác có tâm
đối xứng, thì số cạnh là chẵn.
13.CMR nếu một hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng, thì lăng trụ đó có cạnh bên
vng góc với đáy.
Hướng dẫn.Ta ký hiệu ABCA’B’C’ là hình lăng trụ có tính chất đã nêu trong bài
toán (AA’//BB’//CC’) và d là trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d khơng thể nằm trong
mặt phẳng đáy lăng trụ, chẳng hạn d thuộc mặt phẳng (ABC),vì phép đối xứng qua d
biến các đỉnh A’,B’,C’ nằm trong mặt phẳng song song với (ABC) và khác phía với
(A’B’C’).Ðiều đó chứng tỏ ảnh của A’,B’,C’ khơng thuộc lăng trụ.Ta cũng thấy rằng d
khơng cắt đáy của lăng trụ, vì nếu d cắt (ABC) tại O, thì ảnh của mỗi cạnh bên là một
cạnh bên, điều đó chứng tỏ d phải thuộc một mặt bên.Ðiều đó khơng thể xảy ra.Vậy thì
d song song với đáy của lăng trụ.Phép đối xứng qua d biến (ABC) thành (A’B’C’),mặt
bên chứa A thành mặt bên chứa A’, vì vậy A thành A’.Ðiều đó chứng tỏ d vng góc
với AA’ hay AA’ vng góc với đáy lăng trụ.
14.CMR một hình nón trịn xoay có duy nhất một trục đối xứng.
15.CMR hình trụ trịn xoay có vơ số trục đối xứng.
16.CMR một hình hộp chữ nhật khơng có q 3 trục đối xứng.
Hướng dẫn.Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật (AA’//BB’//CC’//DD’)
và d là một trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d khơng nằm trong mặt phẳng chứa mặt
hình hộp, vì vậy d cắt hai mặt song song của hình hộp khơng thuộc cạnh hình
hộp.Chẳng hạn d cắt ABCD tại I và A’B’C’D’ tại I’ là các điểm trong của hình chữa
nhật(nếu I và I’ trùng với hai đỉnh nào đó, thì II’ là đường chéo hình hộp ,chẳng hạn đó
là đường chéo AC’.Ðường chéo đó là trục đối xứng của các tứ giác ABC’D’ và
AB’C’D.Ðiều này không thể xảy ra).Ta xét thiết diện tứ giác của hình hộp đi qua
II’.Thiết diện đó là hình bình hành có trục đối xứng, nên nó là hình chữ nhật.Có ít nhất
hai thiết diện khác nhau như thế, nên d vng góc với ABCD và d// BB’.Xét thiết diện

17


đi qua BB’ và II’.Vì nó nhận II’ là trục đối xứng, do đó ảnh của BB’ là CC’.Ðiều đó
chứng tỏ d đi qua giao điểm các đường chéo của hai mặt ABCD và A’B’C’D’.
17.Một đa giác đều n- cạnh trong khơng gian có bao nhiêu trục đối xứng ?
Hướng dẫn. Với n chẵn số trục đố xứng của đa giác nằm trong mặt phẳng chứa nó
bằng n.Vì đa giác có một tâm đối xứng, nên đường thẳng đi qua tâm đối xứng và
vng góc với mặt phẳng đa giác là một trục đối xứng nữa.Vậy só trục đối xứng là
n+1.
Với n lẻ, số trục đối xứng nằm trong mặt phẳng bằng n.Ða giác khơng có tâm đối
xứng, nên trục đối xứng của đa giác không nằm trong mặt phẳng chứa nó là khơng tồn
tại.
18.Một hình thang cân trong khơng gian có bao nhiêu trục đối xứng?
Trả lời : 1 , vì hình thang cân khơng có tâm đối xứng.
19.Hình thoi trong khơng gian có bao nhiêu trục đối xứng ?
Trả lời : 3.Nếu một đa giác phẳng trong không gian có trục đối xứng khơng thuộc
mặt phẳng chứa nó, thì đa giác đó có tâm đối xứng.
Dựng hình
1.Cho mặt phẳng P và hai đường thẳng (x), (y) chéo nhau khơng thuộc P .Hãy tìm
trong P điểm A và trên (y) điểm B sao (x) là đường trung trực của đoạn AB.
Hướng dẫn.Gọi (y’) là ảnh của (y) qua phép biến đổi Ð(x).Giao điểm của (y’)nếu
có là điểm A.B là ảnh của A qua phép biến đổi đó
2.Cho hai mặt phẳng P, Q và một đường thẳng (x) không nằm trong cả hai mặt phẳng
đó.Hãy tìm điểm A trong P sao cho tồn tại trong Q điểm B đối xứng với A qua (x).
3.Cho đường thẳng d và điểm A khơng thuộc d.Hãy dựng một tứ diện đều có một đỉnh
là A và đường thẳng d đi qua trung điểm hai cạnh chéo nhau của tứ diện.
Hướng dẫn. Gọi B là điểm đối xứng của A qua d, M là giao của AB và d.Dựng
điểm N trên d sao cho MN = AM 2 .Dựng đường thẳng d’ đi qua N vng góc đồng

thời với d và AB.Trên d’ dựng các điểm C và D sao cho NC=ND = AM.
4.Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A.Hãy dựng một hình lập phương sao
cho A là một đỉnh, d là đường thẳng đi qua tâm hai mặt song song của nó.
Tìm tập hợp điểm
1.Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.Trên đoạn AC và B’D’ ta lấy lần lượt các
điêm M,N sao cho AM = D’N.Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN, khi M và N biến
thiên.
Hướng dẫn : Gọi I, J lần lượt là trung điểm các đoạn AD’ và B’C.Khi đó IJ là trục
đối xứng biến A thành D’ và C thành B’.Vì vậy M thành M’ thuộc đoạn D’B’ và AM =
D’M’. Theo giả thiếtAM = D’N, do đó M’ và N trùng nhau.Vậy trung điểm của MN
thuộc đoạn IJ.Nếu AC =B’D’ , thì tập hợp cần tìm là đoạn IJ.Nếu AC ≠ B’D’, thì tập
hợp cần tìm là một tập hợp con thuộc đoạn IJ.
2.Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác cân ABC (AB=AC).Trên các cạnh
AC và A’B’ ta lấy các điểm tương ứng M và M’ sao cho AM =A’M’.Tìm tập hợp
trung điểm của đoạn MM’.

18


Hướng dẫn. Gọi I,J là trung điểm cạnh bên AA’ và giao các đường chéo hình chữ
nhật BCC’B’.Hiển nhiên IJ là trục đối xứng của hai đoạn AC và A’B’.Vậy M và M’
cũng đối xứng với nhau qua IJ.Trung điểm của MM’ thuộc đoạn IJ.
3.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD và các cạnh bên SA=SC, SB
= SD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC.Trên các đoạn BM và DN ta
BK DH
lấy các điểm tương ứng K và H sao cho BM = DN .Tìm tập hợp trung điểm của đoạn
KH.
Hướng dẫn. Gọi O là giao điểm các đường chéo đáy, khi đó SO là trục đối xứng
của hai đoạn BM và DN.

19