Đề KSCL học sinh giỏi môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Tam Dương (Lần 2)

TRƢỜNG THCS TAM DƢƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 LẦN 2
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: Tốn 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Học sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay.
Bài 1 (1,5 điểm). Phân tích đa thức f ( x)  x3 ( x 2  7)2  36 x thành nhân tử.
Bài 2 (2,0 điểm).
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn abc  2017 . Tính giá trị của biểu thức:

P

2017a 2bc
ab2c
abc 2


ab  2017a  2017 bc  b  2017 ca  c  1

b) Cho số x khác 0 thỏa mãn x 2  5x  1  0 . Tính giá trị của Q  x 7  x5 

1 1
  1.
x 7 x5

Bài 3 (2,0 điểm).
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x 2  3xy  2 y 2  7 .
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên dƣơng đôi một khác nhau thỏa mãn:
2a  b

ab



2b  c
bc



2c  d
cd



2d  a
d a

 6 . Chứng ming rằng: P  abcd là một số chính phƣơng.

Bài 4 (3,0 điểm). Lấy một điểm M M bất kì trên đoạn thẳng AB cho trƣớc, vẽ về một phía của
AB các hình vng AMCD, BMEF .
a) Chứng minh: AE vng góc với BC .
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh: Ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng: Đƣờng thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn
thẳng AB.
Bài 5 (1,5 điểm). Cho a  0; b  0 thoả mãn 2a  3b  6 và 2a  b  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  2a  b .
====== HẾT =====
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ tên học sinh: ………………………………… SBD: ………… Phịng thi số: ………….

Bài
1 (1,5)

2(2đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung cần đạt
3 2
2
Phân tích đa thức f(x)=x (x -7) -36x ra nhân tử.
f(x)=x[x2(x2-7)2-36]=x(x3-7x-6)(x3-7x+6)
=x[(x3-x)-(6x+6)][ (x3-x)-(6x-6)]
=x[x(x-1)(x+1)-6(x+1)][x(x-1)(x+1)-6(x-1)]
=x(x-1)(x+1)(x2-x-6)(x2+x-6)
=x(x-1)(x+1)(x2+2x-3x-6)(x2-2x+3x-6)
=x(x-1)(x+1)[x(x+2)-3(x+2)][x(x-2)+3(x-2)]
=x(x-1)(x+1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2 x 2 x
4 x2   2

x3 
Cho phân thức đại số P  

 2

:
2 
 2  x 2  x x  4   2  x 2x  x 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên dƣơng x để P nhận giá trị là số nguyên.

a(1đ)

ĐK: x≠2; x≠-2

0,25

2 x 2 x
  2
4x2
x3 
P


:

 

 2  x 2  x (2  x)(2  2)   2  x x(2  x) 
 (2  x)2

  2x
(2  x)2
4 x2
x3 
P


:

 

 (2  x)(2  x) (2  x)(2  x) (2  x)(2  2)   x(2  x) x(2  x)  0,25

 4  4 x  x2  4  4 x  x2  4 x2   2 x  x  3 
P
:

(2  x)(2  x)

  x(2  x) 
 4 x2  8x   x  3 
P
:

 (2  x)(2  x)   x(2  x) 

b(1đ)

 4 x( x  2)   x  3 
P

:

 (2  x)(2  x)   x(2  x) 
4 x2
P
x3
4( x 2  9)  36
36
P
 4( x  3) 
x3
x3
P nguyên khi

x  3 U (36)  36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1,1,2,3,4,6,9,12,18,36

0,25

0,25

0,25
0,25

Vì x nguyên dƣơng nên

x 1,2,4,5,6,7,9,12,15,21,39

Vì x≠2 nên x 1,4,5,6,7,9,12,15,21,39 .
3(2,5đ) a) Tìm các số nguyên dƣơng x, y thỏa mãn phƣơng trình x2+xy+y2-x2y2=0.
b) Cho số x khác 0 thỏa mãn x2-5x+1=0. Tính giá trị của

P  x 7  x5 

1 1
  1.
x 7 x5

0,25
0,25


a(1,25) a) +) Nếu x=y=1 pt  1=0(vơ lí)
+) Nếu một trong hai số bằng 1, giả sử x=1 pt  1+y=0(vơ lí vì y ngun
dƣơng)
+) Vậy x, y≠1, suy ra x, y≥2

1
1
1
 2
 1(1)
2
x
y
xy

Chia cho x2, y2 pt 

b(1,25)

0,25

0,25

+)Do vai trị x, y nhƣ nhau do đó: giả sử x≥y≥2
VT(1)=

0,25

1
1
1
1
1
1
1 1 1 3
 2  2 2
    1
2
x
y
xy y
y
y.y 4 4 4 4

0,25

Không thỏa mãn (1), do đó phƣơng trình vơ nghiệm.

0,25

1
 5 (Do x khác 0)
x

0,25

x2-5x+1=0  x2+1=5x  x 
2

1
1

2
 x    25  x  2  23
x
x

1 
1 
1

x3  3   x   x 2  2  1  5.(23  1)  110
x 
x 
x


0,25

2

1 
1
x  4   x 2  2   2  232  2  527
x 
x 
1 
1
P  x 7  7   x5  5   1
x 
x 

0,25

4

4(2đ)

1 
1 
1  
1 
1 
1 

P   x 4  4  x3  3    x     x3  3  x 2  2    x     1
x 
x  
x  

x 
x  
x 


0,25

=527.110-5-(110.23-5)+1=110.(527-23)+1=110.504+1=55441

0,25

Cho tam giác nhọn ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với
M qua AB, gọi E là điểm đối xứng với M qua AC. Gọi I, K là giao điểm của DE
với AB, AC.
a) Chứng minh rằng: MA là tia phân giác của góc IMK.
b) Tìm vị trí của M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.

a(1,25)

E
1

A
K
1 I
12

D
B

M

C

+) Do tính chất đối xứng nên ta chứng minh đƣợc M1  D1; M 2  E1

0,5

+) Ta lại cm đƣợc AD=AE (Cùng bằng AM), nên D1  E1  M1  M 2
Do đó: MA là tia phân giác của góc IMK.

0,75


b(0,75) +) Ta có:  ADE cân tại A có DAE  2BAC (không đổi),
Nên DE nhỏ nhất  AM nhỏ nhất  AM vng góc BC.
5(1đ)
Cho tứ giác ABCD có AB=a, CD=c, AD=BC, ADC  DCB  90o . Gọi M,

0,25
0,5

N, P, Q là các trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, CD và BD.

A

M

K

B
N

Q
D

C

P

+) CM đƣợc MNQP là hình vng  QN=PM.
+) Khi đó: S MNPQ

QN .PM QN 2
.


2
2

0,25

+) Gọi K là trung điểm AD, ta có KQ là TB tam giác ABD nên

KQ 

AB
và KQ//AB.
2

+) Ta lại có KN là TB tam giác ACD nên

KN 

0,25

CD
và KN//CD.
2

+) Xét ba điểm K, Q, N ta có: QN  KN  KQ

QN 2 KN  KQ
(a  c) 2


Vậy S MNPQ 
.
2
2
8
2

0,25

Dấu (=) khi K, Q, N thẳng hàng hay AB//CD. Lúc đó ABCD là hình thang cân
với ADC  DCB  45o .

0,25

Bài 6.
*Tõ 2a + b ≤ 4 vµ b ≥ 0 ta cã 2a ≤ 4 hay a ≤ 2
Do ®ã A=a2 - 2a - b 0

0,25

Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2vµ b=0
* Tõ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 Do ®ã A ≥

a2 – 2a – 2 +

0,25

0,25
0,25

2
a
3

2
2
22
22
a = ( a  )2 ≥ 3
9
9
3

0,25

22
khi a =
9

0,25

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là -

2
2
vµ b =
3
3