Tài liệu phat huy tinh sang tao ...

Phần I: Đặt vấn đề
I/ Lí do chọn đề tài:
1/ C s lý lu n :
T duy là một hình thức nhận thức lí tính của con ngời. Về mặt tâm lí thì t duy
là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ bên
trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan mà trớc đó
con ngời cha biết.
T duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn t duy
phát triển cần đợc rèn luyện thờng xuyên, thông qua các hoạt động học tập nói chung
trong môn Toán nói riêng, đặc biệt là môn Hình học nó giúp học sinh phát triển t duy
rất tốt. Học sinh Trung học cơ sở là lứa tuổi đang phát triển t duy mạnh mẽ do
đó giáo viên cần quan tâm, coi trọng việc phát triển t duy cho học sinh thông qua
hoạt động học tập.
Mỗi bài tập Hình có những phơng pháp giải khác nhau, tuy nhiên khi cho các
em làm bài tập Hình, nếu giáo viên chú ý rèn cho học sinh có đợc cái nhìn ở các góc
cạnh khác nhau, biết cách lật đi lật lại một vấn đề, khái quát hoá, tơng tự hoá đồng
thời biết liên hệ kết quả của bài toán đã làm cho các bài toán tơng tự thì các em sẽ
hiểu sâu sắc kiến thức hơn, t duy sẽ linh hoạt hơn, sẽ tìm đợc cách giải nhanh chóng
hơn. Thông qua đó phát triển t duy cho học sinh dần dần hình thành những phẩm
chất, năng lực giải quyết vấn đề sâu sắc hơn cho một sự vật, hiện tợng nào đó. Đặc
biệt học sinh thấy đợc mối liên hệ lô gíc giữa các đơn vị kiến thức, qua đó thấy đợc
cái hay điều thú vị của Hình học, tạo lên tâm lí hứng thú khi học tập. Khi làm đợc
nh vậy ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn,
quan trọng nhất là học sinh có đợc tự tin khi giải bài tập. Mà trong định hớng đổi mới
phơng pháp học tập bậc Trung học cơ sở thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với
học sinh, tự học giúp học sinh phát huy đợc tính sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế
nào có thể giúp học sinh tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học bộ
môn Toán. Để làm đợc nh vậy giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập
từ dễ đến khó phù hợp với nhận thức của từng đối tợng học sinh, cho học sinh thấy
những bài toán khó đều bắt đầu từ các bài toán cơ bản. Học sinh cảm thấy thông qua
các bài toán cơ bản cũng dễ dàng tìm đợc lời giải cho bài toán khó. Khi có cơ hội

phải biết khai thác triệt để những ý tởng sáng tạo của học sinh để tìm tòi thêm lời
giải hoặc lật ngợc vấn đề.
2/ Cơ sở thực tế:
Thực tế giảng dạy trong nhiều năm qua tôi nhận thấy học sinh cha có kĩ năng
liên kết các bài toán mới với bài toán đã làm để tìm ra mối tơng đồng, khi giải một
bài toán rất ít học sinh nghiên cứu tìm tòi các vấn đề khác xung quanh bài toán, rất ít
khi học sinh tự đặt ra vấn đề nh còn cách giải khác không ; nếu ngợc lại thì sao hoặc
đề ra các bài toán tơng tự để giải quyết. Hiện tợng này có nguyên nhân chủ quan và
nguyên nhân khách quan; về phía học sinh các em cha có ý thức tìm tòi khám phá,
tính tự giác, tích cực cha cao. Đặc biệt học sinh cha có kĩ năng thực hiện những công
việc nh trên.... Về phía giáo viên cha thờng xuyên hớng dẫn và rèn cho các em kĩ
năng nghiên cứu bài toán sau khi đã hoàn tất việc giải quyết nó. Để phát triển t duy,
tính tích cực sáng tạo cho học sinh trong hoạt động giải bài tập hình học ngời giáo
viên phải thờng xuyên tạo cho các em thoi quen nh: Biết khai thác tốt kết quả của bài
toán cơ bản biến nó thành phơng tiện hữu ích để giải các bài toán khác; nên khai thác
tối đa các cách giải một bài tập nếu có thể; lật ngợc vấn đề để xây dựng bài toán đảo;
mở rộng bài toán... Làm đợc nh vậy ngoài việc khắc sâu đợc kiến thức cơ bản mà góp
phần không nhỏ vào việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh. Đào tạo ra con ngời
mới năng động, sáng tạo, ham khám phá tìm tòi đáp ứng nhu cầu của phát triển công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc. Do đó trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm này
tôi viết lại một số cách làm mà tôi đã thực hiện và thấy có hiệu quả, đợc các em yêu
thích đó là " Một số phơng pháp phát triển t duy học sinh thông qua hoạt động
giải bài tập Hình học" giúp học sinh biết khai thác kết quả của bài toán , áp dụng
vào giải bài tập linh hoạt. Thay đổi t duy học tập cho phù hợp với lứa tuổi. Phát huy
tính sáng tạo của học sinh, đáp ứng đợc yêu cầu hiện tại và trong tơng lai.
II/ Mục đích nghiên cứu.
Đây là đề tài không mới tuy nhiên vẫn còn nhiều điều cần trao đổi, khám phá
trong quá trình dạy và học. Nó chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn
Hình học và đặc biệt nó giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo, làm cho việc tìm
lời giải bài toán mới trở lên đơn giản, thuận lợi, dễ hiểu hơn và phong phú hơn. Nếu

việc phát hiện những bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán khác,
tìm ra nhiều lời giải cho một bài tập; tìm ra mối quan hệ thuận nghịch, tập hợp thành
các chuyên đề nhỏ để dạy học sinh một cách thờng xuyên thì sẽ mang lại hiệu quả rất
lớn trong dạy và học. Từng bớc trang bị cho học sinh tri thức về phơng pháp học tập
biết quy lạ về quen, biết nhìn một sự việc dới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra ph-
ơng án giải quyết vấn đề tốt nhất giúp các em thấy đợc cái hay cái đẹp từ đó tạo tâm
lí hứng thú trong học tập mà điều đó là tiền đề cho việc tự học.
III/ Kết quả cần đạt đ ợc.
Các bài tập dù khó đến đâu thì cũng bắt nguồn từ những kiến thức cơ bản và từ
những bài toán đơn giản trong Sách giáo khoa và sách bài tập nên cần cho học sinh
nắm vững kiến thức cơ bản và cách làm, kết quả của từng bài tập đó. Trên cơ sở nắm
vững kiến thức cơ bản các bài toán đơn giản mà giáo viên đa ra hệ thống bài tập phù
hợp với từng đối tợng học sinh để giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức giúp học
sinh giải các bài tập khó một cách đơn giản dễ hiểu, dễ tiếp thu từ đó tạo cho học sinh
sự tự tin vào khả năng của mình khắc phục tâm lí ngại học môn Hình học .
IV/ Ph ơng pháp nghiên cứu.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần quan tâm đến các bài toán cơ bản từ đó
nghiên cứu kĩ nó theo nhiều cách khác nhau nh tìm nhiều cách giải, lật ngợc vấn đề,
sắp xếp chúng theo một trật tự lôgíc, su tầm nghiên cứu tài liệu tham khảo để thấy hết
vai trò, tác dụng của các bài toán cơ bản. Tập hợp, sáng tạo ra các bài toán có liên
quan sắp xếp thành các chuyên để nhỏ để phụ vụ việc dạy và học.
* Kết quả thực nghiệm
Sau một số năm giảng dạy tôi thấy nếu làm tốt theo kinh nghiệm sáng kiến này
thì chất lợng học sinh tăng rõ rệt, góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện trí thông
minh, kỹ năng và t duy học tập linh hoạt, sáng tạo của học sinh qua từng bài toán có
những đặc thù chung.
Kết quả kiểm tra đối chứng 40 em học sinh lớp 9
Có 20 em đợc áp dụng sáng kiến 20 em không áp dụng sáng kiến
Điểm
KT

<5 5 - 7,5 8 - 10
SL % SL % SL %
1. Kết quả trớc khi áp dụng đề tài
20 12 60 8 40 0 0
2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài
20 4 20 12 50 4 20
Phần II: Giải quyết vấn đề:
I) Phát triển t duy cho học sinh thông qua khai thác, vận dụng kết quả của bài
toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9:
Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ hai cát
tuyến MAB và MCD với đờng tròn. Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD
D
C
O
B
A
M
Chứng minh:
Xét MAD và MCB có:
M là góc chung; MBC = MDA

MAD ~ MCB
MDMCMBMA
MB
MD
MC
MA
..
==

(đpcm)
Bài 2:( Bài 33-sgk-trang 80-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ tiếp
tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh rằng MT
2
= MA.MB.
O
B
A
T
M
Chứng minh:
Xét MTA và MBT có
M chung;
MTA = TBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia
tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AT)

MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==

Đây là hai bài toán khá đơn giản song kết luận của bài toán khá quan trọng
giúp chúng ta giải quyết đợc mộp số bài toán có liên quan đến kết luận của hai bài
toán này. Sau đây là các bài toán mà trong quá trình giải sử dụng kết quả của hai

bài toán trên.
Bài 3:
Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ
cát tuyến MAB với đờng tròn.
Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.
Chứng minh:
Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT với đờng tròn (O)
Theo kết quả của bài toán 2. Ta có:
MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==
Do độ dài đoạn thẳng MT không đổi

MA. MB không phụ thuộc vào vị trí của cát
tuyến MAB.
O
B
A
T
M
Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá nếu
học sinh cha biết đến hai bài toán trên.
Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung MN
của hai đờng tròn ( M (O); N (O'); đờng thẳng AB cắt MN tại I.

Chứng minh rằng: I là trung điểm của MN.
Chứng minh:
Sử dụng kết luận của bài toán 2 .Ta có:
Xét (O)

IM
2
= IA . IB
Xét (O')

IN
2
= IA . IB

IM
2
= IN
2


IM = IN

I là trung điểm của đoạn MN.
Nhận xét: Bài toán 4 đợc tạo ra từ bài toán 2 song mức độ khó hơn nếu học sinh
không có t duy linh hoạt sáng tạo thì rất khó tìm ra ngay lời giải của bài toán 4.
Tuy nhiên nếu biết khai thác kết luận của bài toán 2 thì lời giải thật đơn giản.
Bài 5:
Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn.
Gọi BD là dây của đờng tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đờng
tròn, I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.

Hớng dẫn HS dựa vào bài toán 2 tìm cách chứng
minh .
Ta cần chứng minh: IC = IA
Theo bài toán 2 ta có: IC
2
= IE . IB
Vậy ta chỉ cần chứng minh: IA
2
= IE . IB.
Để có IA
2
= IE. IB ta chứng minh IAE ~ IBA
Chứng minh:
Theo kết quả của bài toán 2 ta có: IC
2
= IE. IB (1)
Có : AC // BD

BDA = IAE ( so le)
Mà BDA = ABI ( Góc nội tiếp và góc tạo bởi 1tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)


IAE = IBA.
Xét IAE và IBA có I chung; IAE = IBA.

IAE ~ IBA


IA
IE

IB
IA
=


IA
2
= IE . IB (2)
Từ (1) và (2)

IC
2
= IA
2


IC = IA

I là trung điểm của AC.
Nhận xét: Trong bài toán này nhờ có kết quả của bài toán 2 nên con đờng tìm đến
lời giải dễ dàng mạch lạc hơn.
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính của đờng tròn đi qua
A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đờng tròn đó bằng 4cm.
Chứng minh:
Gọi F là giao điểm của DA với đờng tròn (O)
Có FAB = 90
0

FB là đờng kính.
áp dụng bài toán 2 ta có:
DE
2
= DA. DF = DA( DA + AF )

16 = 2.( 2 + AF ) => AF = 6 (cm)
ABF có A = 90
0
Ta có:
BF
2
= AB
2
+ AF
2
= 2
2
+ 6
2
= 40

BF = 2
10
Vậy bán kính đờng tròn là
10
cm.
O
F
E

D C
BA
Bài 7:
Qua điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn. Các
tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng vuông góc với
AO, cắt AO tại H và cắt đờng tròn (O) tại E và F ( E nằm giữa K và F ). Gọi M là
giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng tứ giác EMOF nội tiếp đờng tròn.
Hớng dẫn học sinh tìm lời giải.
Để tứ giác EMOF nội tiếp ta cần chứng minh
F
1
= M
1
muốn vậy ta chỉ ra KME ~
KFO
cần có thêm KE . KF = KM . KO
theo bài toán 2 thì KE . KF = KC
2
nên ta chỉ
cần chứng tỏ
KM . KO = KC
2

Chứng minh:
1
1
H
M
K
O

F
E
C
B
A
Từ kết luận của bài toán 2 ta có : KC
2
= KE . KF (1)
KCO có C = 90
0
, CM OK

KC
2
= KM. KO (2)
Từ (1)(2)

KE . KF = KM . KO


KF
KM
KO
KE
=
KEM và KOF có K là góc chung;
KF
KM
KO
KE

=

KEM ~ KOF

M
1
= F
1
mà M
1
+ EMO = 180
0


F
1
+ EMO = 180
0


Tứ giác EMOF nội tiếp đợc đờng tròn.
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H. Gọi AM, AN là các tiếp
tuyến với đờng tròn (O) đờng kính BC ( M, N là các tiếp điểm ) Chứng minh
a/ AMDN là tứ giác nội tiếp.
d/ M,H,N thẳng hàng.
Hớng dẫn tìm cách chứng minh M,H,N thẳng
Ta cần chứng tỏ AHN + AHM = 180
0
trong khi biết AND + AMD = 180
0

Ta cần chứng tỏ: AHN =AND;
AHM = AMD
Để chứng tỏ: AHN =AND; ta cần chứng
minh
AHN ~ AND cần có thêm AN
2
= AH.AD
Theo bài toán 2 ta có: AN
2
= AE. AC
Ta cần chỉ ra AH. AD = AE.AC điều này có đợc
từ bài toán 1 do DHEC là tứ giác nội tiếp.
N
H
M
O
E
D
C
B
A
Chứng minh:
a/ Dễ chứng minh đợc các điểm A,M,D,N thuộc đờng tròn đờng kính AO.
b/ Có AN là tiếp tuyến; AEC là cát tuyến của đờng tròn (O) nên theo bài toán 2
ta có : AN
2
= AE. AC (1)
Dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp (E + D =180
0
) nên AHD và AEC là hai cát tuyến

theo bài toán 1 ta có: AH.AD = AE.AC (2)
Từ (1) và (2) ta có: AN
2
= AH. AD hay
AN
AD
AH
AN
=
Xét AHN và AND có : A là góc chung ;
AN
AD
AH
AN
=


AHN ~ AND (c.g.c)

AHN =AND (3)
Tơng tự ta có: AHM ~ AMD

AHM = AMD (4)
Từ (3) (4)

AHN +AHM = AMD + AND
Mà AMDH là tứ giác nội tiếp

AMD + AND = 180
0

AHN +AHM = 180
0


M, H, N thẳng hàng.
Bài 9:
Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AM, đờng phân giác AD . Đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng BE = CF.
Chứng minh:
áp dụng kết quả bài toán 1 ta có:
BE.BA = BD.BM

BE =
BA
BDBM .
(1)
CF.CA = CM.CD

CF =
CA
CDCM .
(2)
Mặt khác AD là tia phân giác của A

CA
CD
BA

BD
CA
BA
CD
BD
==
(3); MB = MC (4)
Từ (1)(2)(3)(4)

BE = CF.
F
E
D
M
C
B
A
Bài 10:
Cho đờng nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, điểm C thuộc bán kính OA.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn tại D. Đờng tròn tâm I tiếp xúc với
nửa đờng tròn và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm trên AC
của đờng tròn (I). Chứng minh BD = BE .
Chứng minh:
Gọi K là tiếp điểm của (O) và (I) ; kẻ IH CD mà
CD AB

IH // AB

KIH = KOB mặt
khác KIH cân tại I; KOB cân tại O

IKH = OKB

K,H,B thẳng hàng
Do BE là tiếp tuyến, BHK là cát tuyến của (I) theo
bài toán 2 ta có: BE
2
= BH.BK (1)
ADB có D = 90
0
; DC AB


BD
2
= BC.BA (2)
Có: AKHC là tứ giác nội tiếp (AKH +HCA = 180
0
)
Theo bài toán 1 ta có: BH.BK = BC.BA (3)
Từ (1)(2)(3)

BE
2
= BD
2


BE = BD.
Bài 11:

Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Dây BC của đờng tròn (O)
tiếp xúc với đờng tròn (O') tại B. Gọi I là trung điểm của BC. Đờng thẳng AI cắt các
đờng tròn (O);(O') theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh rằng BDCE là hình bình hành.
Chứng minh:
Có IB là tiếp tuyến; IAE là cát tuyến của (O')
theo bài toán 2 ta có:IB
2
= IA.IE
AIC ~ DIB

IB.IC = IA.ID mà IB = IC

IA. IE = IA. ID

IE = ID
Tứ giác BDCE có IB = IC; IE = ID

tứ giác
BDCE là hình bình hành.
O'
O
I
E
D
C
B
A
II) Phát triển t duy cho học sinh bằng cách phát triển bài toán từ dễ đén khó.
Bài1.1:( sgk hình học lớp 8)

Cho hai điểm A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đờng thẳng d.
Xác định một điểm trên d sao cho khoảng cách từ A đến d rồi đến B ngắn nhất.
K
H
E
I
O
D
C
BA