Giai tich 11 Nang cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.87 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ch¬ng 3:

D·y Sè. Cấp số cộng và cấp số nhân

A. Mục tiêu:

Trên cơ sở những kiến thức về hàm số đã học ở lớp 10, giới thiệu về dãy số, tiếp đến là
hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Giới thiệu phơng pháp chứng minh
bằng quy nạp toán học

B. Nội dung và mức độ:

- Phơng pháp quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề chứa biến là số tự nhiên và dùng
quy nạp khơng hồn tồn để phát hiện quy luật của dãy số

- Dãy số trình bày theo quan điểm hàm số với đối số là số tự nhiên

- Hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Các định nghĩa, số hạng tổng quát,
tính chất các số hạng, tổng của n số hạng đầu. áp dụng phơng pháp quy nạp toán học
trong chứng minh.

- Bổ sung một số kiến thức để học sinh tự học: phơng pháp suy luận, dãy Phi-bô-na-xi,
dãy số trong hình bơng tuyết Vơn - kốc của hình học Fractal

C. Yờu cu v mc t c:

- Nắm vững nội dung các bớc tiến hành của phơng pháp quy nạp toán học. Biết cách
chứng minh các bài toán bằng quy nạp toán học

- Nắm vững các khái niệm về dÃy số: Định nghĩa, cách cho dÃy số, biểu diễn hình học
của dÃy số, tính tăng, giảm, bị chỈn cđa d·y sè.

- Nắm vững định nghĩa, tính chất các số hạng, các công thức về số hạng tổng quátm
tổng của n số hạng đầu của của cấp số cộng và cấp số nhân. Biết vận dụng các cơng
thức và tính chất để giải các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân.

- Tự đọc và tự học các mục “ Bạn có biết “ và bài đọc thêm ở cuối chơng

TiÕt 47 : §1

Phơng pháp quy nạp toán học ( 2 tit)

A - Mơc tiªu:

- Nắm đợc nội dung của phơng pháp quy nạp toán học
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài 
học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ: * HS: Xét tính đúng sai của mệnh đề: a) Nếu a > b thì an > bn, b)

NÕu a > b > 1 thì an > bn

3. Bài mới

Hot ng ca hc sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt

- TRả li cõu hi ca giỏo

viên.

- Dùng máy tính bỏ tói tÝnh 3n

và 100n + 7 để so sánh và đa
ra kết luận với n = 1, 2, 3, 4,
5.

- Nêu đợc: Phép thử không
phải là chứng minh muốn
chứng tỏ một mệnh đề chứa
biến là đúng thì phải chứng
minh đợc nó đúng trong mọi
trờng hợp, ngợc lại để chứng
tỏ mệnh đề sai, thỡ ch cn ch

- Nêu bài toán:

+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Có thể kiểm tra (1) đúng với
mọi n không?

Cho mệnh đề chứa biến: p(n)
= “ 3n < 100n + 7 “ Chứng

minh rằng mệnh đề đúng với
n = 1, 2, 3, 4, 5.

- Hớng dẫn học sinh lập bảng
và dùng máy tính bỏ túi tính
tốn so sánh, đa ra kết luận
- ĐVĐ: Có thể khẳng định
p(n) đúng với mọi giá trị n 

I - Ph¬ng pháp quy nạp 
Toán học:

* Các bớc chứng minh b»ng
quy n¹p:

- Để chứng minh mệnh đề
chứa biến A(n) là đúng với
mọi n nguyên dơng ta thực
hiện nh sau:

+ Chứng minh A(n) là một
mệnh đề đúng khi n = 1

+ Với k là số nguyên dơng tuỳ
ý, xuất phát từ giả thiết A(n)
là mệnh đề đúng khi

n = k. chøng minh A(n) còng

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ra mt trng hợp là sai là đủ.
- Đọc sách giáo khoa.

- Nêu đợc các bớc chứng
minh.

- Thực hiện yêu cầu của GV
+ Ta thấy (3) đúng khi n = 1
+ Với n = k + 1 thì ta có (3):
13 + 23 + ... + k3 + (k + 1)3=

4
)
2
(
)
1

( 2 2


 k
k

Tiếp tục đọc SGK.

N* hay không ? Tại sao ?
Để chứng minh một mệnh đề
chứa biến n  N* là đúng với
mọi n mà không thể trực tiếp
đợc, ta phải làm nh thế nào ?
- Tổ chức cho học sinh đọc

sách giáo khoa phần “Phơng 
pháp quy nạp Toán học “
- Nêu các bớc chứng minh
bằng phơng pháp quy nạp
Toán học ?

+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Giả sử (3) đúng khi n = k
Hãy thiết lập công thức khi n
= k + 1 và chứng minh cơng
thức đó?

là mệnh đề dúng khi
n = k + 1

2. VÝ dơ ¸p dơng
* VÝ dơ 1:

Chøng minh rằng với mọi số
nguyên dơng n ta luôn có:
13 + 23 + ... + n3 =

4
)
1

( 2

2 n

n

4. Củng cố: + Cách chứng minh bằng quy nạp toán học?
+ Làm các bài tập sau:

* Bài 1: Chứng minh r»ng Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n 1)

2 

víi n  N*

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Với n = 1 ta có S1 =

1(1 1)

1

2 



đúng
- giả sử đúng với n = k  1, tức là:
Sk = 1 + 2 + 3 + ... + k =

k(k 1)

2 

là đẳng thức đúng.

Ta ph¶i chøng minh Sk + 1 =

(k 1)(k 2)

2 

. ThËt vËy,
ta cã: Sk + 1= 1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1 )

= Sk + ( k + 1 )

k(k 1)

2 

+ ( k + 1 ) =

(k 1)(k 2)

2 

Híng dÉn häc sinh thùc hiƯn
tõng bíc quy n¹p:

- Thư víi n =1 ?

- Thế nào là đúng với n = k ?
- Phải chứng minh đúng với
n = k + 1 có nghĩa là chứng
minh đẳng thức nào ?

- Cđng cè c¸c bíc chøng minh
bằng phơng pháp quy nạp

5. Về nhà: Học bài. Làm bài tập trong SGK.
Ngày soạn:

Tiết 48 :

Phơng pháp quy nạp toán học (

tt

)

A - Mơc tiªu:

- áp dụng đợc phơng pháp quy nạp toán học vào giải toán
- Hiểu rõ bản chất của phơng pháp

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài 
học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. KiĨm tra bµi cị:

* HS1: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n  N*:
a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 =

n(3n 1)

2 

n n

1 1 1

1

2

1 2 4 8

2 



 



c) 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1)(2n 1)

6 

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n = 1, ta có đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với n = k  1, tức là:

2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) =

k(3k 1)

2 

là một
đẳng thức đúng.

Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức
là phải chứng minh:

2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + [ 3( k + 1 ) - 1 ]
=

(k 1)(3k 4)

2 

ThËt vËy: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + ( 3k + 2 )
=

k(3k 1)

2 

+ ( 3k + 2 ) =

k(3k 1) 2(3k 2)

2 

3k

7k 4

2 



(k 1)(3k 4)

2 

( ®pcm )

- Gọi học sinh lên bảng thực hiện
bài tập đã chuẩn b nh.

- Nêu câu hỏi:

Nội dung của phơng pháp chứng
minh quy nạp Toán học ?

- Hớng dẫn học sinh giải bài tập 1
phần b, c.

3. Bài míi:

* Bµi 1: Chøng minh r»ng 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1 ) = n2 víi n  N*

( Tỉng của n số lẻ đầu tiên )

Hot ng ca hc sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Đặt Sn = 1+3+5+...+(2n-1)

Thư víi n = 1: S1 = 1 = 12

đúng

- Giả sử đúng với n = k 
1, tức là:Sk = 1+3+5+...

+(2k-1) = k2 là một đẳng

thức đúng. Ta phải chứng
minh

Sk + 1 = ( k + 1 )2

- Trả lời câu hỏi cđa GV:
+ Víi n = 1 th×:

12 = 1 =

3
)
1
1
.
4

(

1 2



+ Víi n = k + 1 th× ta cã:

Hớng dẫn học sinh thực
hiện bài toán bằng phơng
pháp quy nạp, nêu đợc các
bớc quy nạp

Viết đợc các đẳng thức:
S1 = 12, Sk = k2,

Sk + 1 = ( k + 1 )2

+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức

+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh công thức đó?

2. Mét sè vÝ dơ ¸p dơng
* H2:

Chøng minh r»ng

1+3 + 5 + ... + (2n -1)=n2

với mọi số nguyên dơng n.
* H3:

Chứng minh r»ng
12 + 32 + ... + (2n - 1)2 =

3
)
1
4
( 2


n

n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

12+32+...+(2k-1)2+

(2(k+1)-1)2=

1
)
1
(
4
(
)
1

( 2

k

- Lên bảng chứng minh
tiếp.

+ Trình bày đợc:
Với n = 3 thì (*) đúng.
Giả sử công thức đúng với
n = k tức 2k > 2k + 1.

Ta chứng minh công thức
đúng với n = k + 1:

ThËt vËy:

2k + 1 = 2. 2k > 2.k (do gt).

Mặt khác 2.k = k + k nªn:
2k + 1 =2. 2k >2.k =k+k

k+1

- Trình bày đợc:

+ Với n = 1 ta có 12 chia
hết 6 là một mệnh đề đúng
+ Giả sử mệnh đề đúng với
n = k 1 tức là k3 + 11k

chia hết cho 6 ta phải c/m
mệnh đề đúng với n = k +1
tức là:

( k + 1 )3 + 11( k + 1 )

 6.

ThËt vËy:

( k + 1 )3 + 11( k + 1 ) = k3

+ 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 =

( k3 + 11k ) + 3( k2 + k + 4 )

=(k3+11k)+3[k(k+1)+2]

6
do giả thiết quy nạp

k3+11k

 6, k( k + 1)+2  2
a) Lập bảng tính và so sánh
để kết luận đợc: 3n > 8n

với n  N* và n  3.
b) Dùng PP quy nạp để
chứng minh nhận định trên.
- Thử với n = 3, thấy đúng.
- Giả sử mệnh đề đúng với
n = k  3, tức là: 3k > 8k

Ta phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1, tức
là 3k + 1 > 8(k + 1 ). Thật

vËy:

Ta cã 3k + 1 = 3.3k > 3.8k =

8( k + 1 ) + 16k - 8

= 8( k + 1 ) + 8( 2k - 1 ) >

8( k + 1 ) do 8( 2k + 1 ) > 0
víi mäi k  3.

+ Xét tính đúng sai của
công thức với n = 3.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức

+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh công thức đó?

- Phát vấn: Nêu các bớc
chứng minh quy nạp ?
+ Xét tính đúng sai của
cơng thức với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức

+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh cơng thức đó?

- Híng dÉn häc sinh lập
bảng so sánh trong các
tr-ờng hợp

n = 1, 2, 3, 4, 5

n 3n ? 8n

1 3 < 8

2 9 < 16

3 27 > 24

4 81 > 32

5 243 > 40

* VÝ dơ 2:

Chøng minh r»ng víi mäi
số nguyên dơng n 3 ta
luôn có:

2n > 2n + 1 (*)

Bµi 1: Chøng minh r»ng 
víi n  N* th× n3 + 11n chia

hÕt cho 6.

Bµi 2:

Cho 3n vµ 8n víi n  N*

a) So sánh 3n và 8n khi n =

1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng
quát và chứng minh bằng
phơng pháp quy nạp.

4. Củng cố:

+ Cách chứng minh bằng quy nạp toán học?
+ Làm bài 4, 5, 6, 7 (SGK – T100)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc, nghiờn cu v tho lun theo nhúm c

phân công.

- Trả lời câu hỏi của giáo viên
- Trình bày lời giải của bài toán

- Phõn nhúm hc sinh, c nghiờn
cứu bài toán

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu ca
hc sinh.

- Củng cố phơng pháp chứng minh
bằng quy n¹p

* Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:

1 n 1 n 2



 

3n 1





với n  N*
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Đặt Sn =

1 n 1 n 2



 

3n 1



th× ta cã:
S1 =

1 1 1 13

1 2 3 4 12







là một bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  1, tức là ta có:
Sk =

1 k 1 k 2



 

3k 1





là bđt đúng ta
chứng minh

Sk + 1=

1 (k 1) 1 (k 1) 2



 

3(k 1) 1





là bất đẳng thức đúng. Thật vậy:

Sk + 1=

1 k 2



k 3



 

3k 3 3k 4



= Sk -

1 k 1 3k 2 3k 3 3k 4



= Sk +

2 (3k 2)(3k 3)(3k 4)



> 1

- Hớng dẫn học sinh thực hiện
giải toán bằng phơng pháp quy
nạp

- Hng dn hc sinh vit ỳng
S1. Sk, Sk+1.

* Bµi 3: Chøng minh r»ng víi n  N* ta cã:
a) n3 + 3n2 + 5n

 3

b) 4n + 15n - 1



9

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n =1 ta có n3 + 3n2 + 5n = 9

 3

Gi¶ sư víi n = k  1, ta cã k3 + 3k2 + 5k  3. Ta

chøng minh víi n = k + 1, tøc lµ:
( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 )

 3. ThËt vËy:
( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 ) = k3 + 3k2 + 5k

+ 3k2 + 9k + 9 = ( k3 + 3k2 + 5k ) + 3( k2 + 3k +

3) chia hÕt cho 3
[ v× k3 + 3k2 + 5k

 3 vµ 3( k2 + 3k + 3)

 3 ]

b) §Ỉt Sn = 4n + 15n - 1 víi n = 1, S1 = 18  9

Gi¶ sư víi n = k  1, ta cã Sk = k4 + 15k - 1  9.

Ta ph¶i chøng minh Sk + 1 = 4k + 1 + 15( k + 1) - 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ThËt vËy Sk + 1 = 4(k4 + 15k - 1) - 45k + 18

= 4Sk - 9( 5k - 2 ) 9 ( đpcm )

* Bài 4:

Chứng minh bất đẳng thức x1 + x2 + ... + xn  n, n  N*; x1, x2,,,,xn > 0 và x1.x2...xn

=

1.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Với n = 1 thì x1 = 1, bất đẳng thức xảy ra dấu “ =

“

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  1, tức là:
x1 + x2 + ... + xk  k, k  N*; x1, x2,,,,xk > 0 và

x1.x2...xk = 1. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng

với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
x1 + x2 + ... + xk + xk + 1 k + 1 víi k  N*;

x1, x2,,,,xk, xk + 1 > 0 vµ x1.x2...xk xk + 1= 1. ThËt vËy:

+ NÕu x1 = x2 = ... = xk = xk + 1 = 1 th×:

x1 + x2 + ... + xk + xk + 1 = k + 1 > 1 đúng

+ NÕu k + 1 sè nói trên khác 1 thì tồn tại hai số
sao ch một số lớn hơn 1 còn một số nhỏ hơn 1.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử xk > 1 cßn

xk + 1 < 1, ta cã:

x1.x2...xk xk + 1=(x1.x2...xk - 1) (xk xk + 1) = 1

áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dơng: x1, x2, ...

xk - 1, và (xk xk + 1) ta có bất đẳng thức:

x1 + x2 + ... + xk.xk + 1 > k hay

x1 + x2 + ... + xk - 1 > k - xk.xk + 1. Từ đó:

x1 + x2 + ... + xk + xk + 1 > k - xk.xk + 1 + xk + xk + 1

= ( k + 1 ) + ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > k + 1

do ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > 0

- Hớng dẫn học sinh giải bài toán
- Phân biệt đợc các bớc quy nạp

5.C ủng cố :

- Nhắc lại phương pháp chứng minh bằng quy nạp
- Häc bµi. Lµm hoµn thành bài tập trong SGK và SBT>
- Đọc trớc bài: DÃy số.

E. Rỳt kinh nghim:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tun 19
Ngày soạn:

Tiết 49

D·y sè ( 2 tiết)

A - Mơc tiªu:

- Nắm đợc định nghĩa, cách cho và cách biểu diễn hình học của dãy số
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài 
học, m¸y tÝnh bá tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiÓm tra bµi cị:

HS: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3n > 3n + 1 b) 2n - n > 3

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n = 2, ta có 32 = 9 > 3.2 + 1 = 7 là một bất

đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  2, tức là:
3k > 3k + 1 là một bất đẳng thức đúng k  2

Ta chøng minh víi n = k + 1 th×:

3k + 1 > 3( k + 1 ) + 1 =3k + 4. ThËt vËy, ta cã:

3k + 1 = 3.3k > 3( 3k + 1 ) ( theo gt quy n¹p )

= 9k + 3 = 3k + 4 + ( 6k - 1 ) > 3k + 4
( do k là số tự nhiên  2 th× 6k -1  11 > 0 )
b) Víi n = 2, ta cã 22 - 2 = 2 > 3

2 là một bất đẳng
thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k 
2, tức là: 2k - k > 3

2 là một bất đẳng thức đúng
k 2

Ta chøng minh víi n = k + 1 th×:
2k + 1 - ( k + 1 ) > 3

2. ThËt vËy, ta cã:

2(2k - k ) = 2k + 1 + 2k > 3 ( theo gt quy n¹p )

Hay 2k + 1 - ( k + 1 ) - k + 1 > 3

 2k + 1 - ( k + 1 ) > k + 2 > 2 > 3

2 do k 2.

- Uốn nắn cách trình bày của học
sinh.

- Củng cố về phơng pháp quy nạp
toán học.

- Hớng dẫn thực hiện phần b)

3. Bài míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Tính tốn và ghi kết quả vào

b¶ng:

n 1 2 3 4 5

f(n) 1
2

1
5

1
10

1
17

1
26

- Hớng dẫn học sinh dùng
máy tính bỏ túi để tính tốn
và ghi kết quả vào bảng cho
sẵn.

- Nhận xét tập xác định của
hàm đã cho. Đặt yn = f(n)

( hay un = f(n) ) ta có các giá

trị y1, y2, y3, y4, y5.

I. Định nghĩa và ví dụ:
Cho hàm số f(n) = 21

n 1 víi
n  N*. H·y tính f(1), f(2),

f(3), f(4), f(5).

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Đọc, nghiên cứu phần định
nghĩa về dãy số của SGK. Cho
ví dụ về dãy số và đọc đợc số
hạng tổng quát của dãy số đã
cho.

- Tớnh c:

;
1000

;
100

1
;

10
1

999

99
9

u

u
u

- Thực hiện yêu cầu của giáo
viên.

- Đọc nghiên cứu VD2 (SGK
T102) và trả lời câu hỏi
của giáo viên.

Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dÃy số bằng công thức
của số hạng tổng quát SGK.
Cho ví dụ về cách cho này.

- Tnh c:

;
225

83
25

333
3 u

u

Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dÃy số bằng công thức
truy hồi ë trang 103 - SGK.
Cho vÝ dơ vỊ c¸ch cho này.
- Trả lời câu hỏi của GV?
Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dÃy số bằng mô tả ở trang
104 - SGK. Cho ví dụ về cách
cho này.

- Trỡnh by c:

+ BAMnvuông tại Mn

un = AMn = ABsinABMn

= 2OAsin

n

AOMn 

sin
2
2 

- Cho học sinh đọc, nghiên
cứu định nghĩa về dãy số ở
trang 101 - SGK.

- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh

- Nêu VD1 sau đó cho HS
thực hiện VD1?

+ H·y nêu và xác đinh số
hạng thứ 9, 99, 999?

+ Hãy nêu VD về dãy số cho
dới dạng khai triển và tổng
quát và tìm số hạng thứ 10,
100 ca dóy ú?

- HÃy nêu sự khác nhau giữa
dÃy số hữu hạn và dÃy số vô
hạn?

- Hóy đọc và nghiên cứu VD2
và nêu số hạng đầu và cuối
của dãy số đó.

- Một dãy số đợc xác định khi
nào? Cho VD

- Cho học sinh đọc, nghiên
cách cho dãy số bằng cho
công thức của số hạng tổng
quát ở trang 103

- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh

- Yêu cầu HS thực hiện H2?
Hãy xác định số hạng thứ 33,
333?

- Cho học sinh đọc, nghiên
cách cho dãy số bằng công
thức truy hồi ở trang 103
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh

- Thùc hiÖn H3?

- Cho học sinh đọc, nghiên
cách cho dãy số bằng mô tả ở
trang 104

- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh

- Thực hiện H3?

+ Nhận xét gì về tam giác
BAMn?

+ Tìm công thức của số hạng
tổng quátcủa dÃy số (un)

* Định nghĩa:

Mt hm s u xỏc nh trên
tập hợp các số nguyên dơng
đ-ợc gọi là mt dóy s vụ

hạn(hay gọi là dÃy số)
- Mỗi số hạng của hàm số u
gọi là một số hạng của dÃy số,
u(1): là số hạng thứ nhất, u(2)
là số hạng thứ hai....

+ Kí hiệu: u = u(n)

un: số hạng tổng quát của dÃy.

+ Khai triển: u1, u2, u3...

* Chú ý: DÃy số có hữu hạn số
hạng: u1, u2, u3..., um

u1: Số hạng đầu

um: Số hạng cuối.

II - Cách cho dÃy số:
1 - DÃy số cho bằng công 
thức của số hạng tổng quát:

2. DÃy số cho bằng c«ng 
thøc truy håi:

2. Diễn đạt bằng lời cách xác
đinh mỗi số hạng của dãy 
số:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1
2

3

5

3

2



2 ,

2 















 





n n n

u

n N n

a) TÝnh u9 vµ u33 ?

b) Tính tổng của 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên của dãy đã

cho ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Học sinh thực hiện:

Sau đó ấn = khi thấy xuất hiện D = 9 thì đọc:
u9 = 19, S9 = 99 và P9 = 654729075 ấn tiếp =

cho đến khi hiện D = 33 thì đọc u33 = 67, S33 =

1155

Chú ý: Có thể dùng dãy phím lặp đẻ giải bài tập
này: Gán A = 3, B = 5 rồi ghi vào màn hình:
C = 3B - 2A - 2: A = 3C - 2B - 2: B = 3A - 2C - 2

và ấn: = = = ... = ta đợc các giá trị của
các số hạng u1, u2, ... , un.

- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy
tính để tính tốn:

G¸n A = 3 ( sè h¹ng u1). B = 5 ( số

hạng u2 )

C = 8 ( Tổng của u1 và u2 )

D = 2 ( Biến đếm )

E = 15 ( Tích của u1 và u2 )

Ghi vào màn hình: D = D + 1: A =
3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D
= D+1: B = 3A - 2B -2: C = C+B: E
= EB.

- Cđng cè kh¸i niƯm vỊ d·y sè
5.Củng cố:

- Nhắc lại các nội dung vừa học
- Các cách thành lập dãy số.

-Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SGK, SBT.
E. Rút kinh nghiệm:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tuần 20
Ngày soạn:

Tiết 50 :

D·y sè (

TIẾP THEO

)

A - Mục tiêu: - Nắm đợc k/n dãy số tăng, giảm, bị chặn
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viên, sách bài tập, thiết kế bài 
học, máy tính bá tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiĨm tra bµi cị: HS1 lµm bµi tËp: Cho d·y ( un), biÕt r»ng:





1 2

1

5

2

1

3 ,

3

2

 

















 







n n n

u

n N n

a) ViÕt 5 số hạng đầu tiên của dÃy số ?

b) Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát un ?

HD: a) Tính 5 số hạng đầu và ghi vào
bảng

b) Dự đoán un =

1
1

2

3

2

n

n = 4 - 1

3

2

n

và dùng PP chứng minh quy nạp để chứng minh:

Với n = 1, ta có u1 = 4 - 1 1

3

2

 = 4 - 3 = 1 hệ thức đúng

Giả sử hệ thức đúng với n = k  1, tức là ta có: uk = 4 - 1

3

2

k là một dẳng thức đúng

k1 Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh: uk + 1 = 4

3

2

k ThËt vËy, theo công thức của dÃy số và theo gt qui nạp, th×: uk + 1 =





1 2

1

3 3 4

4

2 u

k

u

k

2

k

2

k















































1 2 1

1

9

3

1

3

12

4

8

2

k

2

k

2

k

































3

4

2

k



( đpcm )
3. Bài mới:

Hot ng ca hc sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
Xét hiệu un + 1- un = 1 - - Gọi mt hc sinh lờn bng

thực hiện bài toán. III. DÃy số tăng, dÃy số giảm

Lớp Ngày dạy Sĩ số

11A

n 1 2 3 4 5

un 1

5

2

13

4

29

8

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1 n 

- 1 +

1 n

1 (

1)

n n 

0 víi mäi n * nªn ta cã
un < un + 1 víi mäi n  N*

XÐt hiƯu vn - vn + 1 = ( 2

-3n ) - [ 2 - 3( n + 1 ) ]
= - 1 < 0

Nªn vn >vn + 1 víi mäi nN*

- TRả lời đợc câu hỏi của
GV.

- Trao đổi thảo luận và lên
bảng trình bày lời giải.

- Trả lời đợc:

Khẳng định đúng: b, c, d, e.

- Thuyết trình về định nghĩa
dãy số tăng, dãy số giảm :

Dãy số đơn điệu

- Dãy (un) là dãy đơn điệu

tăng, dãy ( vn) là dãy đơn

®iƯu giảm.

- Nhận xét về sự tăng giảm
của dÃy số sau: (un) = n + 1

vµ (un) = - n + 1

- Nếu dãy số khơng tăng thì
giảm. Nếu dãy số khơng
giảm thì tăng đúng hay sai?

- Hãy đọc và nghiên cứu
VD6 và thực hiện H5?

- Đặt vấn đề: Cho dãy số:
(un) =

n
1

. Tính u1 đến u9

Từ đó chứng minh un 1

- Nêu VD7 và yêu cầu HS
lấy thêm một số VD khác?

- Thc hin H6
+ Nhc li định nghĩa dãy

số và chọn khẳng định
đúng?

Cho c¸c d·y sè ( un) víi un

= 1 -

1 n

vµ (vn) víi vn=2-3n.

Chøng minh r»ng: un < un + 1

vµ

vn > vn + 1 với mọi n N*

* Định nghĩa:

- DÃy số (un) gọi là tăng nếu

với mọi n ta có:
un < un+1

- DÃy số (un) gọi là giảm

nÕu víi mäi n ta cã:
un >un+1

* Chó ý:

- DÃy số (un) gọi là tăng nếu

với mọi n ta có: 1

n
n
u

u

- DÃy số (un) gọi là giảm

nếu với mọi n ta có:

n
n
u

u

IV DÃy số bị chặn:
* Định nghĩa:

- DÃy số (un) gọi là dÃy số

bị chặn trên nếu tồn tại một
số M: n

N* ta có: un 

- D·y sè (un) gäi lµ d·y sè

bị chặn dới nếu tồn tại một
số m: n

N* ta cã: un 

- D·y sè (un) gäi là dÃy số

bị chặn nếu nó vừa bị chặn
trên và vừa bị chặn dới hay
tồn tại một số M, một sè m:

n



N* ta cã: m  un 

M
4. Củng cố:

- Thế nào là dÃy số tăng, dÃy số giảm? dÃy số bị chặn trên, bị chặn dới? dÃy số bị
chặn?

* Bài tập 1: Chứng minh rằng dÃy ( un) víi un = n - 2n lµ d·y giảm còn dÃy ( vn) với

vn = nan ( a 1 ) là dÃy số tăng.

Hot ng ca học sinh Hoạt động của giáo viên
- Xét hiệu un + 1- un = n + 1 - 2n + 1 - n + 2n

= 1 - 2n < 0 do n  N*

- XÐt

(

1)

(

1)

n
n

u

n

a

n

a

u

na

n











> 1

do a  1 cßn n  N*. Suy ra: vn + 1 > vn n  N*

Gäi 2 học sinh thực hiện giải
bài toán

( mỗi học sinh giải một
phần )

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

* Bµi tËp 2: Cho d·y sè ( un) víi un =

2 n

1 n



. Chøng minh r»ng 0 < un < 2 n 

N*

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- n  N* thì 2n - 1 > 1 > 0, nên un > 0 n  N*

- XÐt hiÖu un - 2 =

2 n

1 n



- 2 =

1 n



< 0 n  N*
nªn ta cã 0 < un < 2 n  N*

- Gọi một học sinh lên bảng thực
hiện bài tập. Các học sinh còn lại
thực hiện giải bài tập tại chỗ
- Thuyết trình định nghĩa về dãy
số bị chặn trên, chặn dới và dãy
số bị chặn

5. VỊ nhµ: - Häc bµi. Lµm bµi tËp: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (SGK – T106, 109)
E. Rỳt kinh nghim:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ngày soạn:

Tiết 51 Luyn tp

D·y sè

A - Mơc tiªu:

- Rèn luyện kĩ năng tính tốn và chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài häc, m¸y tÝnh bá tói fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiĨm tra bµi cị:

- HS1: ThÕ nµo lµ d·y sè tăng, dÃy số giảm? dÃy số bị chặn trên, bị chặn dới? dÃy số bị
chặn?

- HS2: Làm bài tập: Chứng minh r»ng d·y sè ( un) víi un =



1 n

n N* là một dÃy

bị chặn

Hot ng của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Do n  N* nên un =



1 n

> 0  un bị chặn dới

- Lại có















2 2

2 2 2

1

2

1 (

1)

0

2

1 n

n N* nên dÃy un bị chặn trên.

- Do ú dóy ó cho l dóy b chn

- Gọi một học sinh lên bảng
thực hiện bài tập. Các học sinh
còn lại thực hiện giải bài tập
tại chỗ

- Củng cố về dÃy bị chặn

3. Bài mới:

Hot động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cu cn t
- Tr li c:

.- DÃy số (un) tăng nÕu víi
n th× un < un+1 hay





n
n
u

u

- D·y sè (un) giảm nếu với
n thì: un > un+1 hay

n
n
u

u

- Trình bày đợc:
Với n N*

 ta cã:

un+1 = An+1Bn+1 =

2
1
2

1 ) ( )

(AnBn  BnBn =
1

)
1

(  2

n
nB

A =

1
)
1

(  2 

n

u

- Trình bày đợc:

+ Víi n=1 th× u1=1= 21+1- 3

cơng thức đúng với n = 1.

- Yêu cầu HS hệ thống lại
kiến thức: dÃy số là tăng,
giảm, bị chặn

- Trao i tho lun v lập
dãy số?

- Lên bảng trình bày bài
tốn đã chuẩn bị ở nhà?

+ Xét tính đúng sai của
cơng thức với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức?

+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng minh
cơng thức đó?

A. KiÕn thøc: 
1. DÃy số tăng, giảm
2. DÃy số bị chặn trên, bị

chặn dới, bị chặn?

B. Bài tập:

* Bài 11: ( SGK – T106 )

* Bài 12: ( SGK – T106 )
Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 1, un = 2un-1 +3 víi
 n  2. B»ng phơng
pháp quy nạp chứng minh
với n  1 ta cã: un =

2n+1– 3 (1)

Líp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

+ Gi s cơng thức đúng
khi n = k. Ta có:

uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1– 3)

= 2(k+1)+1 – 3

Vậy (1) đúng với n



- Trình bày đợc:

un-1–un= 











 3 2

1
5
3

n
n

Mµ: un = 3(3 2)

5
3




n suy
ra

1
,

1
3





un n . VËy d·y

số giảm và bị chặn.
- Trình bày đợc:

un-1–un = (n+1).2n > 0,n

1 nên dÃy số là tăng.
+ Với n=1 th×

u1 = 1 = 1 + (1 - 1)21

cơng thức đúng với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Ta có:

uk+1 = uk + (k + 1)2k

= 1 + (k – 1)2k + (k + 1)2k

= 1 + k.2k+1

Vậy (1) đúng với n



- Trình bày đợc:

+ Víi n = 1 ta cã u1 = 1.

+ Bàng quy nạp chứng minh
đợc un = 1 với  n  1.

- Trình bày đợc;

a) sn + 3 = sin(4(n + 3) – 1)

6


= sin((4n - 1)

6


+ 2



)
= sin(4n – 1)

6


= sn

VËy sn = sn + 3 víi  n  1.

b) Cã: S15 = 0

- Dựa vào định nghĩa dãy số
tăng, giảm, bị chặn.

+ XÐt hiƯu: un-1 – un?

+ Từ đó kết luận?

- XÐt hiƯu: un-1 – un?

+ Từ đó nhận xét và kết

luận?

- Hãy c/m bằng quy nạp.
+ Xét tính đúng sai của
công thức với n = 1?
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức?

+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng minh
công thức đó?

- Với n = 1 cơng thức có
đúng khơng?

- H·y chøng minh un = 1

víi mäi n?

- TÝnh sn + 3 so s¸nh víi s1

- Từ đó lết lun bi tp?

- Trong 15 số hạng đầu
những số hạng nào bằng
nhau?

- Tớnh tng 15 s hng u
tiên của dãy số đã cho?

* Bµi 14: ( SGK – T106 )
Chøng minh d·y sè (un) víi

un =

2
3

3
2

n
n

là một dÃy số
giảm và bị chặn.

* Bài 16: ( SGK – T106 )
Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 1, un+1=un+(n+1).2n

víi  n  1.

a) Chøng minh d·y sè (un)

lµ một dÃy số tăng.

b) Chứng minh với n 
1 ta cã: un = 1 + (n - 1).2n

(1)

* Bµi 17: ( SGK – T106 )
Cho d·y sè (un) víi: u1 = 1,

un+1 =

1
2



n

u víi  n  1.

Chøng minh d·y sè (un) lµ

một dãy số khơng đổi (dãy
số có tất cả các số hạng đều
bằng nhau)

* Bµi 18: ( SGK – T106 )
Cho d·y sè (sn) víi

sn = sin(4n – 1)

6


a) Chøng minh: sn = sn + 3 víi
 n  1.

b) Hãy tính tổng 15 số hạng
đầu tiên của dãy số đã cho?

4. Củng cố: - Cách sử dụng phơng pháp chứng minh quy nạp để tìm số hạng tổng quát 
của dãy số.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

* Bài tập:Dãy số ( un) xác định bởi:





















3

1 (

1)

*

2

n n

u

n

N

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dÃy. Chứng minh dÃy ( un) giảm và bị chặn

b) Chứng minh un =

1

2

1

2

n

bằng phơng pháp quy n¹p.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a)

n 1 2 3 4 5

un 3 2

3

2

5

4

9

8

Chøng minh dÃy giảm bằng quy nạp:

Với n = 1, ta cã u2 = 2 < u1 = 3

Giả sở khẳng định đúng với n = k + 1, tức là ta có:
uk > uk + 1  k  1

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1
Thật vậy, theo công thức của dãy số và theo giả thiết
quy nạp, ta có: 1



1 



1 



1 

1



1 



2

2

k k k k

u

Nªn uk + 1 > uk + 2 . suy ra dÃy ( un) là dÃy giảm.

Ta thấy un > 0 với n N* nên ( un) bị chặn dới.

Mặt kh¸c un  u1 = 3 n  N* ( do dÃy giảm ) nên

dóy b chn trên. vậy dãy đã cho bị chặn.
b) Với n = 1: u1 = 1 +


1 2

1

2

= 3, công thức đúng.
Giả sử công thức đúng với n = k  1, tức là ta có:

uk =





1

2

1

2

k k  1

ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là:
uk + 1 =

1

1

1

2

k

Thật vậy: Theo công thức dÃy số và theo công thức
quy nạp, ta có:



















 





1 2 1

1

2

1

2

k k k k

u

- Gọi một học sinh lên bảng

thực hiện bài tập. Các học
sinh còn lại thực hiện giải bài
tập tại chỗ

- Hớng dẫn học sinh giải bài
tập

- Củng cố về dÃy bị chặn, dÃy
tăng, dÃy giảm và phơng pháp
chứng minh quy nạp toán học

5. VỊ nhµ: Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SBT.

E. Rút kinh nghiệm:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Tuần 20

Ngày soạn:

Tiết 52 CÊp sè céng (

2 tiết

)

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc định nghĩa, số hạng tổng quát và tính chất các số hạng của cấp số cộng.
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiĨm tra bµi cị:

HS1: Ngời ta dùng các khối lập phơng giống nhau để xếp thành những cái tháp. Giả sử
tháp có n tầng khi đó đặt un là khối lập phơng ở phần đáy của thỏp v Sn l tng s khi

lập phơng của tháp.

a) TÝnh un vµ Sn theo n

b) BiÕt r»ng sè khèi lập phơng của tháp gấp 77 lần số tầng. Hỏi tháp có bao nhiêu
tầng?

Hot ng ca hc sinh Hot động của giáo viên
a) Số khối lập phơng ở đáy tháp là:

un = 1 + 2 + 3 + ... + n =

(



1)

2 n n

1 (



)

2 n

Suy ra tổng số các khối lập phơng cđa th¸p:

Sn = u1 + u2 + ... + un





 



















2 2 2

1 1 2 ...

1

2 ...

2 n















1 (

1)

(

1)(2

1)

2

6 n n

n

(

1)(

2)

6 n n

n

b) Theo giả thiêt Sn = 77n hay ta cã:



(

1)(

2)

6 n n

n

= 77n 

(



1)(



2)

6 n

= 77
Hay ta có phơng trình n2 + 3n - 460 = 0  n = 20

- Hớng dẫn học sinh vẽ hình chiếu
của phần đáy của tháp n tầng trên
mt phng.

- Ôn tập các công thức:

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =

(



1)

2 n n

Tn=12+22+...+n2=



(

1)(2

2)

6 n n

n

§· chøng minh trong bài về phép
quy nạp toán học

- Hng dẫn cách viết tổng cần tính
về dạng các tổng đã biết cách tính:







(

1)

2

n

k

k k

 

















1 1

1

2

n n

k k

k

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Nhận xét: - 1 + 3 + 7 + 11

= 20

nªn u5 + u6 + u7 + u8 = 20 ,

cßn u9 tïy ý.

Kết quả là vô số

- Nhn xột: Hiu cỏc số liên
tiếp khơng đổi, nên các số

- Ph¸t vÊn, gäi 3 häc sinh
ph¸t hiƯn quy lt råi viÕt
các số hạng tiếp theo

- Xỏc nh tinhd quy lut để
đa ra cách viết duy nhất
- Nêu định nghĩa về cấp số
cộng và đa ra công thức

I - §Þnh nghÜa:

* VD: Biết 4 số hạng đàu
của một dãy số là: - 1, 3, 7,
11, ...

Hãy chỉ ra một quy luật rồi

viết tiếp 5 số hạng theo quy
lut ú.

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

viết thêm cũng có quy luật
đó: u5 = 15, u6 = 21, ... cách

viết này là duy nhất
- Trả li c H1:

a) DÃy số là cấp số cộng với
công sai nbằng 3.

b) DÃy số không là cấp số
cộng

- Trình bày đợc:

- Ta cã: uk - 1 = u1 + (k - 2)d;

uk=u1+(k-1)d vµ uk + 1=u1+kd

víi k  2, k  N*

- Suy ra đợc: uk - 1 + uk + 1 =

2u1 + 2( k - 1 )d
2

1
1 
  k

k u

u

= u1+(k–1)d =

- Trả lời đợc: u2 = 1, u4 = 5

- Víi n =1: u2 =u1+d=(2-1)d

công thức đúng

- Giả sử công thức đúng với
n=k1, tức là: uk=u1+(k-1)d

là một đẳng thức đúng.
- Với n = k + 1 ta có:
uk + 1=uk+d=u1+(k-1)d+d

= u1 + kd ( ®pcm )

- Tính đợc: u31 = - 37 nhờ áp

dụng định lí 2.

truy håi:

un = un-1 + d

- Nêu trờng hợp d = 0,
- Một cấp số cộng có hai
cơng sai đợc khơng?
- Hãy thực hiện H1?
+ Hãy so sánh u2 – u1,

u3–u2, u4 – u3...

Cho cÊp sè céng ( un) cã sè

hạng đầu u1 và công sai d.

HÃy viết công thức của các
số hạng: uk - 1; uk ; uk + 1 vµ

tìm mối liên hệ giữa chúng?
- Uốn nắn cách biểu đạt của
HS: Ngôn ngữ diễn đạt,
cách trình bày lời giải
- Phát biểu thành định lí
- Hãy thực hiện H2?
+ Cách tính u2, u4?

- Tổ chức cho học sinh
dùng phơng pháp quy nạp

chứng minh định lí

- Tổ chức cho học sinh đọc
và nghiên cứu sách giáo
khoa phần chứng minh định
lí

- H·y thùc hiện H3?
+ Để tính u31 ta áp dụng

nh lớ no? T ú tớnh u31?

* Định nghĩa: 
(un) là cấp sè céng 



n 2, un = un-1 + d

d: gọi là công sai.

II. Tính chất các số hạng 
của cÊp sè h¹ng:

* Định lí 2: Cho cấp số 
cộng (un) khi đó:

uk =

1
1 
  k

k u

u

, k 2, k



III. Sè h¹ng tổng quát:
* Định lí 2: Cho cấp số 
cộng (un) có số hạng đầu u1

v cụng sai d thỡ s hạng
tổng quát un xác định bởi

c«ng thøc:

un = u1 + ( n - 1 )d

4. Củng cố: - Nhắc lại định nghĩa và các định lí?
* Bài 1: Cho (un) là một số cấp số cộng có u1

=-1

3

, d=3. H·y viÕt d¹ng khai triĨn cđa
nã?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
u1= -

1

3

, u2 =

8

3

, u3 =

17

3

, ... , un = un -1 = 3

Củng cố định nghĩa về cấp số
cộng. Cách xác định cấp số cộng
* Làm bài tập 19, 22 (SGK T114)

5. Vê nhà:- Học bài và làm bài tập trong SGK và SBT.

Ngày soạn:

Tiết 53 CÊp sè céng ( tt)

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc cơng thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
- áp dụng đợc vào bài tập

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiĨm tra bµi cị:

* HS1: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách 
xếp đợc thể hiện nh trong hình:

Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Gọi u1, u2, ... u100 lần lợt là số que diêm của tầng 1,

tÇng 2, ... , tÇng 100. DÉy sè ( un) lµ mét cÊp sè

céng cã u1 = 3, d = 4.

NhËn xÐt:

u2 = u1 + 4, u3 = u1 + 2.4, ... , u100 = u1 + 99.4

Suy ra đợc tầng thứ 100 có: 3 + 396 = 399 que diêm

- Hớng dẫn: Cho học sinh vẽ
hình, tính một vài tầng từ đó phát
hiện ra quy luật để tính đợc số
que diêm ở tầng thứ 100

- Đặt vấn đề:

Cho cÊp sè céng ( un) víi u1 vµ

d, biĨu diƠn un theo u1 vµ d ?

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Đọc trao đổi và thảo luận

vÝ dơ nµy.
Ta cã:

Sn = u1 + u2 + ... + un

Sn = un + un-1 + ... + u1

Suy ra: 2Sn=(u1 + un) + ( u2

+ un - 1) + ... + ( un + u1)

Do u2+un - 1=( u1+d)+(un-d)

= u1 + un

u3 + un - 2 = (u2+d) + (un - 1

-d) = u2 + un - 1 = u1 + un ...

do đó 2Sn = n(u1 + un) suy

ra: 1 n

(u u )n

2



- Đọc trao đổi và thảo luận
ví dụ này.

- Trả lời đợc: áp dụng định
lí 3 tính đợc: S17 = 238

- Trình bày đợc:
+ T1 =

2
)
23
(
3n n

+ T2 =

)
5
,
0
).
1
4
(
7
.
2
(

4n n

- Nêu VD2 và hớng dẫn
HS giải vÝ dơ nµy?
Cho cÊp sè céng ( un).

TÝnh Sn = u1 + u2 + ... + un

theo

- Híng dÉn häc sinh tÝnh
theo tõng bíc:

- TÝnh u2 + un - 1, u3 + un -

2, ...

- TÝnh 2Sn

- Phát biểu nội dung định
lí 3u1, un, n ?

- Nêu VD2 và hớng dẫn
HS giải ví dụ này?
- HÃy thực hiện H4?
+ Để tính S17 ta áp dơng

định lí nào? Từ đó tính
S17?

- H·y thùc hiện H4?
+ Theo phơn án 1 hÃy tính
lơng tổng trong n năm?
+ Theo phơn án 2 hÃy tính
lơng tổng trong n năm?
+ So sánh hai phơng án?

IV. Tổng n số hạng đầu 
của một cấp số cộng
* Định lí:

Cho cấp sè céng (un). Khi

đó tổng n số hạng đầu tiên
của nó là:

Sn = u1 + u2 + ... + un
1 n

(u u )n

2


 víi n

*


Z

* Chó ý: - Víi n *


Z





1
n

2u

n 1 d n

S

2 













Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

= 2n(2n + 13,5)
+ T1 – T2 =

2
5n

(3 – n)
T1 – T2  0  n3

T1 – T2  0  n3

+ KL.

4. Cđng cè: - C«ng thøc tÝnh tỉng n sè hạng đầu tiên của cấp số cộng?

* Bài tập 1: Cho cÊp sè céng: ( un) víi:

u = - 5

1 d =

2 









a) số 45 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho.
b) Số

1

3 có phải là số hạng của cấp số cộng đã cho không ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Theo CT của số hạng TQ, ta có: un=-5+

1

2

(n-1)
Giả sử un=45 thì ta có: 45 = -5 +

1

2

(n - 1)  n =
101

Vậy số 45 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng đã
cho.

b) Gi¶ sư sè

1

3

là số hạng thứ n của cấp số cộng đã
cho thì ta phải có:

1

3

=-5+

1

2

(n-1 ) , n  N*
Suy ra đợc: n =

35

3

 N* nªn sè

1

3

không phải là
số hạng của cấp số cộng ó cho

- Gọi một học sinh lên bảng thực
hiện giải bµi tËp

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh:

Ngơn ngữ diễn đạt, cách trình
bày lời giải

- Cđng cố khái niệm cấp số
cộng, công thức số hạng tổng
quát

* Bài 2: Cho dÃy số ( un) với un = 3n - 1.

a) chøng minh ( un) lµ mét cÊp sè céng.

b) TÝnh tỉng cđa 50 sè h¹ng đầu tiên của ( un).

c) Cho biết un

= 260. T×m n ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Ta có u1 = 2. Với n  1, xét hiệu:

un + 1 - un = 3( n + 1 ) - 1 -( 3n - 1 ) = 3 khụng i,

nên ( un0 là một cÊp sè céng cã u1 = 2, d = 3

b) Ta cã S50 = u1 + u2 + ... + u50 víi u1 = 2, u50 = 149

S50 = 1 n

(u

u )n

2 

(2 149)50

2 

= 3775

c) Theo gi¶ thiÕt: Sn =



(2u

(n 1)d n



260

2 





Hay [2.2 + ( n - 1).3].n = 520

 3n2 + n - 520 = 0 víi n  N*

 n = 13 hoặc n = -

40

3

( loại )

- Gọi một học sinh lên bảng thực
hiện bài tập.

- Củng cố công thức tính Sn. Tính

chất các số hạng cña cÊp sè
céng

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Do đó khi Sn = 260 thì n = 13

* Bài 3:

Viết chín số xen giữa các số -3 và 37 để đợc một cấp số cộng có 11 số

hạng?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Tta có u11 = 37 = - 3 + 10d  d = 4, nên cấp số

céng lµ:  - 3 ; 1 ; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33; 37
ChÝn số hạng xen giữa: 1; 5; 9; 13; 17; 31; 25; 33

- Gọi một học sinh lên bảng thực
hiện bài giải đã chuẩn bị ở nhà.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh:

Ngôn ngữ diễn đạt, cách trình bày
lời giải

- Cđng cè kh¸i niƯm cÊp sè céng,
công thức số hạng tổng quát
* Làm bài tập 24, 25, 27 ( SGK – T115)

5. VỊ nhµ: - Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SGK vµ SBT
- Đọc trớc bài: Cấp số nhân.

E. Rỳt kinh nghim:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ngày soạn:

Tiết 54 CÊp sè nh©n

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát của cấp số nhân.
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:

* HS1: Lên bảng chữa bài tập:

Trong cỏc bi toỏn v cp s cng ta thờng gặp 5 đại lợng u1, n, d, un, Sn

Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lợng đó? Cần phải biết ít nhất mấy đại lợng để
có thể tìm đợc các đại lợng cịn lại?

+ HD: Cần biết 3 trong 5 đậi lợng u1, d, n, un, Sn thì có thể tính đợc 2 đại lợng cũn li.

- Củng cố các công thức: 1 n
n

(u

u )n

S

2 



vµ 1





2u

n 1 d n

S

2 













3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Đọc trao đổi, thảo luận

và tìm đợc:

un = un – 1 +un – 1 .0,004

= un – 1 .1,004 víi n  2

- Đọc, nghiên cứu phần
định nghĩa cấp số nhân
của SGK

- Tr li c:

a) DÃy số là cấp số nhân
với công bội q =

2
3

b) DÃy số không là cấp số
nhân

c) DÃy số là cấp số nhân
với c«ng béi q = 0

a) u1 = - 5, u2 = 10, u3 = -

0, u4 = 40, u5 = - 80

b) 2
2

u = 100 = u1.u3,

2
3

u = 400 = u2. u4

Nhận xét đợc: Với k  N*

k k 1 k 1

u u  u  víi k2,

Sư dơng c«ng thøc:

un= u1qn-1 víi k  2, ta cã:

uk - 1 = u1qk - 2, uk + 1 = u1qk

Suy ra: uk - 1 uk + 1 =

- Nêu bài toán và thiết lập
công thức tổng quát của
dÃy số?

- Nêu đ/nghĩa cấp số
nhân?

- Nêu một số ví dơ vỊ cÊp

sè nh©n?

- Nêu các trờng hợp đặc
bit: q = 0, q = 1

- Nêu VD1 và KL các dÃy
số trong VD1 là cấp số
nhân

- H·y thùc hiƯn H1?
+ TÝnh

1
2

u
u

2
3

u
u

3
4

u
u

từ đó
KL

- Nªu và cho học sinh thực
hiện VD2.

Cho cấp số nhân ( un) víi

u1 = - 5, q = - 2.

a)ViÕt 5 số hạng đầu của
nó

b) So sánh 2
2

u víi tÝch
u1u3, u23 víi u2u4 ?

- Tỉ chøc cho học sinh
thực hiện giải bài tập tại
chỗ

I - Định nghĩa:
* Định nghĩa:
(un) là cấp số nhân

 2, un = un – 1.q

q: gäi lµ công bội.

II. Tính chất các số hạng
của cấp số nhân:

* Định lí 1:

Cho cấp số nhân ( un), ta

luôn cã:

k k 1 k 1

u u  u  víi k2

k N*

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>



2 2 k 2 2 k 1 2

1 1 k

u q   u q  u

- Tính đợc:
u2

100 = (-99).101 < 0 nên
không tồn tại cấp số nh©n.
- Víi n = 1, ta cã u1 = u1

cơng thức đúng

- Giả sử công thức đúng
với n = k  1, tức là: uk =

u1qk - 1

- Ta cÇn chøng minh:
uk + 1 = u1qk. ThËt vËy, theo

định nghĩa về cấp số nhân
thì uk + 1= uk.q = u1qk - 1. q

= u1qk ( ®pcm)

- Trình bày đợc:

+ un = 3.106.(1 + 0,002)n

+ u2 = 3012012 (ngêi)

- Nêu nội dung của định
lí:

- Gäi mét häc sinh lªn
b¶ng thùc hiƯn phÐp
chøng minh

- Củng cố định lí

- Uốn nắn cách biểu đạt
của học sinh

- Hãy thực hiện H2?
+ Tính u1002 ? Từ đó kết
luận?

- Nªu VD2, cho HS tự
giải.

- Dùng phơng pháp quy
nạp chøng minh c«ng
thøc: un = u1qn - 1 víi ( un)

là một cấp số nhân ?
- Gọi một học sinh lên
bảng thực hiện phép
chứng minh công thøc
b»ng quy n¹p.

- Cho HS thùc hiƯn VD4.

TÝnh u6, u12?

- Hãy thực hiện H3?
+ Hãy xác định công thức
tổng quát của cấp số
nhân?

TÝnh u2?

III - Sè hạng tổng quát:
* Định lí 2:

Cho cấp số nhân ( un) víi

c«ng béi q, ta lu«n cã:
un = u1qn -1 víi n  N*

vµ n  2

4. Củng cố: - Định nghĩa và định lí về cấp số nhân?

* Bài tập: Viết 5 số hạng xen giữa các số 3 và 192 để đợc một CSN gồm 7 số

hạng

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Ta có u1 = 3, u7 = 192 nên theo định lý 1, ta có:

u7 = 3.q6 = 192  q6 = 64  q =  2.

Víi q = - 2, ta cã: 3; - 6; 12; - 24; 48; -96; 192

Víi q = 2, ta cã: 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192

- Gäi mét học sinh lên bảng thực
hiện giải bài tập

- Un nắn cách biểu đạt của học
sinh

* Lµm bµi 29, 31, 32, 33 (SGK – T121)

5. VỊ nhµ: - Häc bµi vµ lµm bµi tËp trong SGK, SBT.

Ngày soạn:

Tiết 55 Cấp số nhân

A - Mục tiêu:

- Bit c cụng thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- áp dụng đợc vào bài tập

B. Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, m¸y tÝnh bá tói fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2. KiÓm tra bài cũ:

Gọi học sinh lên bảng làm bài tập: Cho c©p sè nh©n ( un).

a) BiÕt u1 = 2, u6 = 486. T×m q ?

b) BiÕt q = , u4 =

8

21

. T×m u1 ?

c) BiÕt u1

= - 3, q = - 2. Hái sè - 768 là số hạng thứ mấy ?

Hot ng ca hc sinh Hoạt động của giáo viên
áp dụng công thức un= u1qn-1 ta có:

a) 486 = 2q5 suy ra q5 = 243  q = 3

8

21

= u1. ( )

3  u
1 =

8

9 :

21 27



7

c) - 768 = - 3. ( - 2 )n - 1  ( - 2 )n - 1 = 256  n = 9

- Cñng cè c«ng thøc: un= u1qn-1

- Biết 2 trong 4 đại lợng:
un, u1, q, n

Tính 2 đại lợng cịn lại

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Tổng cần tính là:

S11 = 1+2+22 + 23 + ... +

210

= 2047

- Chứng minh đợc:

Ta cã Sn = u1 + u2 + ... + un

= u1 + u1q+ ... + u1qn - 1

hay qSn=u1q+u1q2+ ... +

u1qn

Trừ từng vế của các bất
đẳng thức trên, ta đợc:

( 1 - q )Sn = u1( 1 - q )

NÕu q1 th× Sn =

n
1

u (1 q )

1 q



NÕu q=1 th×

Sn = u1 + u1 +... + u1 = nu1

- Đọc và nghiên cứu VD5
- Trao đổi thảo luận và đa

ra kết quả?

- Trình bày đợc:
- Ta có u3 = u1q2 

q2 = 18 : 2 = 9  q =  3.

- Víi q = 3 th×
S10 =

2(1 3 )

59048

1 3







Víi q = - 3 th×
S10=





2 1

3 29524

1 ( 3)



 





 

 

Cho cÊp sè nh©n (un) biÕt

u1 = 1, q = 2. TÝnh tæng S11

= u1 + u2 + ... + u11 ?

ĐVĐ: Có cách nào tính
nhanh đợc tổng mà khơng
qua cách tính trực tiếp
tổng các số hạng ?
- Hớng dẫn tính tổng:
Dùng phơng pháp nhân
thêm 2 vế của tổng

Củng cố định lí: Nếu q 
1: Sn =

n
k
k 1

u





n
1

u (1 q )

1 q



NÕu q = 1: Sn = nu1

- Nêu VD5 và cho HS thùc
hiÖn?

- Cho HS trao đổi thảo
luận phần đố vui theo
nhóm và cho đại diện mỗi
nhóm nờu kt qu?

Để tính tổng Sn cần xác

nh cỏc yếu tố nào ?
- Tổ chức cho học sinh
thực hiện giải bài tập
- Củng cố cơng thức tính

IV - Tổng của n số hạng 
đầu của một cấp số 
nhân:

Định lý 3:

Cho cấp số nhân (un) với

công bội q

1 thì tổng n
số hạng đầu tiên của cấp
số nhân là:

Sn = u1 + u2 + ... + un =

n
k
k 1

u





n
1

u (1 q )

1 q



* Chó ý: NÕu q = 1 th×
Sn = n.u1

VD: Cho cÊp sè nh©n ( un)

biÕt u1 = 2, u3 = 18.

TÝnh S10 = u1 + u2 + ... +

u10

Líp Ngµy dạy Sĩ số

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

4. Củng cố: - Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số céng?
* Bµi tËp: TÝnh tỉng: S =

n 1

1

5

25

5





 

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nhận xét: các số hạng của tổng là n số hạng đầu

tiªn cđa cÊp sè nh©n cã u1 = 1, q =

1

5

- Nªn S =

1 1. 1

5

1

5

1 4

5

1

5 















 













- HD: + Nhận xét xem các số
hạng của tổng là các số hạng của
cấp số cộng hay cấp số nhân.
+ Xác định các đậi lợng cần tính
và áp dụng cơng thức tính tổng
Sn tơng ứng.

- Cñng cè: + TÝnh chÊt cña các
số hạng của cấp số nhân

+ Công thức Sn =

n
k
k 1

u





5. VỊ nhµ: - Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SGK , SBT.

Ngày soạn:

TiÕt 56 Bài tập

A - Mục tiêu:

- Gii thnh tho loi toỏn về cấp số nhân: Xác định cấp số nhân, tìm số hạng của cấp
số nhân và áp dụng cấp số nhân giải các bài tốn mang tính thực tiễn

- Cđng cố và khắc sâu kiến thức cơ bản
B. Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, m¸y tÝnh bá tói
fx -500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiÓm tra bài cũ:

* HS1: Gọi một học sinh chữa bài tập: Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu

là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Hot ng ca hc sinh Hoạt động của giáo viên
- Theo gt: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 ( 1 )

vµ u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 ( 2 )

Nhân cả hai vế của ( 1 ) với q ta đợc:

u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

Hay theo định nghĩa của cấp số nhân, ta có:

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q  62 = 31q hay q=2

- L¹i do: S5 =

5
1

u (1 2 )

31 u

1 1 2







Nên ta có cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32

- Củng cố định nghĩa cấp số nhân,
công thức của số hạng tổng qt,
cơng thức tính tổng của n số hạng
đầu tiên của cấp số nhân:

un + 1 =qun, un + 1 = u1qn

Sn =

n
1

u (1 q )

1 q



- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

Líp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

* HS2: Trả lời câu hỏi 38 và làm bài 37 ( SGK T121)

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Tự hệ thống kin thc theo

yêu cầu của giáo viên và
trình bày vµo vë.

- Trình bày đợc:
+ Từ giả thiết ta có:















)

3 )(

1 (

)2

(

3 x

y

y

x

hay















2

6 y

x

- Trình bày đợc:

+ Do cấp số cộng có cơng
sai khác 0 nên u1, u2, u3 ụi

một khác nhau suy ra q

1
và q

0, u

 0

+ u1 = q.u2, u3 = u2.q2 vµ

u1 + u3 = 2u2

Từ đó ta có: q=-2 (Vì q



1)
- Trình bày đợc:

a) Víi mäi n  1 ta cã:
un + 1 + 2 = 5(un + 2) + 8

hay vn + 1 = 5vn . Do đó (vn) là

cÊp sè nh©n víi v1 = 3 và q =

+ Số hạng tổng quát:
vn = 3.5n – 1

b) un = vn = 3.5n – 1 – 2 với

mọi n 1

- Yêu cầu học sinh tù hƯ
thèng c¸c kiÕn thøc vỊ cÊp
sè nh©n?

- Hãy xác định cơng thức về
mối quan hệ giữa x và y?.
- Từ tính chất của cấp số
nhân hãy tìm x, y?

- Các số u1, u2, u3 ụi mt cú

khác nhau không?

- Tìm mối quan hệ giữa u1,

u2 và q?

- T ú hóy tớnh q?

- Cách chøng minh d·y sè
(vn) víi vn = un + 2 là một

cấp số nhân.

- Xỏc nh s hng u v
cụng bi?

- HÃy tìm số hạng tổng
quát?

A. KiÕn thøc:

- Định nghĩa và các định lí
về cấp s nhõn?

- Tổng của n số hạng đầu
của cấp số nhân?

B. Bài tập:

* Bi 39 ( SGK T122 )
Tìm x, y biết các số x + 6y,
5x + 2y, 8x + y theo thứ tự
đó lập thành một cấp số
nhân và các số x – 1, y + 2,
x – 3y theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân?
* Bài 41 ( SGK – T122 )
Số hạng thứ hai, số hạng đầu
và số hạng thứ ba của một
cấp số cộng với công sai
khác 0 theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Hãy
tìm cơng bội của cấp số
nhân đó?

* Bài 43 ( SGK – T122 )
Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 1 vµ un + 1 = 5un + 8

víi mäi n  1

a) Chøng minh d·y sè (vn)

víi vn = un + 2 lµ mét cÊp sè

nhân. Hãy tìm số hạng tổng
quát của cấp số nhân đó?
b) Dựa vào kết quả phần a)
hãy tìm số hạng tổng quát
của dãy số (un)

4. Củng cố: - áp dụng định nghĩa, định lí và cơng thức tính tổng của n cấp số nhân để 
giải bài tốn.

* Bµi tËp1: CÊp số nhân gồm 4 số hạng, tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 27, 
tích của hai số hạng còn lại là 72. Tìm các số hạng cña nã.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Từ giả thiết, suy ra: 1 4

2 3

u

27 u u

72 











Hay:

1 1

2
1 1

u

u q

27 u qu q

72 

















- Phân tích giả thiết của bài tốn.

- Lập chơng trình giải bài tốn.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

- Củng cố: Phơng pháp giải bài tập
xác định cấp số nhân.

+ Sự xác định của cấp số nhân:
Cần biết u1 và q

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

3
1

2 3
1

u (1 q )

27 (1)

u q

72 (2)

















Tõ (2)  q3=

2
1

72 u

(3) thay vào (1), đợc:

1 1

u  27u 720  u1 = 3 hoặc u1 = 24

- Với u1=3 ta có q=2 nên cÊp sè nh©n: 3; 6; 12; 24

- Víi u1=24 ta có q=

1

2

nên cấp số nhân: 24;12;
6;3

phơng trình có 2 Èn lµ u1 vµ q

* Bài 2: Tỷ lệ tăng dân số của một tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay 
là 1,8 triệu ngời. Hỏi với mức tăng nh vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là
bao nhiêu ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Gọi số dân của tỉnh đó là N ( N nguyên dơng )

Sau 1 năm số dân của tỉnh đó tăng thêm 1,4%N
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là:

N + 1,4%N = 101,4N

Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một
cấp số nhân: N ;

101, 4

N

100

;

101, 4

N

100 











; ...
- Theo giả thiết N = 1, 8 triệu nên:

+ Sau 5 năm số dân của tỉnh đó là:

101, 4

1,8 1,9

100 















triệu ngời
+ Sau 10 năm số dân của tỉnh đó là:

101, 4

1,8

2,1

100 















triƯu ngêi

- Phân tích giả thiết của bài tốn.
- Lập chơng trình giải bài tốn.
- Un nn cỏch biu t ca hc
sinh.

Phát vấn: Công thức của số hạng
tổng quát của cấp số nhân thiết lập
đ-ợc trong bài toán ?

un + 1 = = u1qn

Hay un + 1 = 18000000.

507

500 











- Giới thiệu công thức tính lÃi kép
dùng trong ngân hµng:

un + 1 = V.

L

1 t















V: Vèn ( số tiền gừi vào ban đầu )
L: phơng án tính l·i ( % )

t: thêi gian gưi tiỊn
* Bµi 3: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Chia các c¹nh

của hình vng thành 4 phần bằng nhau và nối các
điểm chia một cách thích hợp để có hình vng C2

lại tiếp tục làm nh trên để có hình vng C3,

... Tiếp tục q trình trên, ta nhận đợc dãy các hình

vng C1, C2, C3, ... , Cn.

Gọi an và Sn lần lợt là cạnh và diện tích của

hình vuông Cn. Tìm công thức truy hồi và số hạng tổng

quát của các dÃy số ( an) và ( Sn).

3 a

4

1 a

4 a

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nhận xét đợc an + 1 là độ dài cnh huyn ca tam

giác vuông có 2 cạnh góc vuông là

1 a

n

4

và n

3 a

4

Suy ra c: an + 1 =

2 2

n n n

1

3

10 a

4 



























VËy c«ng thøc truy håi cđa d·y ( an) lµ:

n 1 n

a

4

10 a

4

















n 1 và n N

( an) là cấp số nhân cã a1 = 4, q =

10

4

nªn sè

hạng tổng quát là an = 4.

n 1

10

4 









n1, n N

Từ đó suy ra: S1 = 16, Sn + 1= a2n 1 =

10 a

2n

16

= n

5 S

8

nên ( Sn) có công thức truy håi lµ:

n 1 n

S

16

5 S

8

với n 1 và n N

Công thức số hạng tổng quát: Sn = 16.

n 1

5

8 

n 
1

- Híng dÉn:

- Phân tích giả thiết của bài tốn.
- Lập chơng trình giải bài tốn.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

Tính độ dài cạnh an + 1 của hình

vu«ng Cn + 1 bằng cách tìm mối

liên hệ giữa an và an + 1.

- Củng cố định nghĩa cấp số nhân,
công thức của số hạng tổng qt,
cơng thức tính tổng của n số hạng
đầu tiên của cấp số nhân:

un + 1 = qun un + 1 = u1qn

Sn =

u (1 q )

1 q



* Bµi 4: Cho sè xn =

n ch ÷ sè 9

0,999...9

  

. HÃy tìm công thức biểu thị x

theo n ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Ta có xn = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... +

n ch ÷ sè 0

0, 000...0 9

   

2 n 1

1 0,9

10











 



1 0,9 1

1

10

1 10

1

10 











  



- Tổ chức chia nhóm để học sinh
thảo luận đa ra li gii

- Nhận xét lời giải và đa ra trờng
hợp tổng quát:

xn =

n ch ữ số a

0, aa...a

=

a

1

9

10 













</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––

Ngµy soạn:

Tiết 57 Câu hỏi và bài tập ôn ch¬ng 3

A - Mục tiêu: - Ơn tập và khắc sâu đợc kiến thức về dãy số, cấp số
- Kĩ năng giải toán về phơng pháp quy nạp toán học tốt

B. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài 
học, máy tính bỏ túi fx -500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ: Cho trong bảng với các nội dung:

Kiến thức Cấp số cộng Cấp số nhân

Định nghĩa
Số hạng
tổng quát

Tính chất
các số hạng

Tổng của n
số hạng đầu

HÃy hệ thống các kiến thức và ghi các nội dung vào bảng trên

Hot ng ca hc sinh Hot ng ca giỏo viên
- Thảo luận theo nhóm và cử đại diện ghi ni

dung vào bảng

- Ghi c ni dung ( theo bảng trình bầy ở dới )

- Tổ chức học sinh thành nhóm,
thảo luận và ghi kết quả đợc lựa
chọn vào bảng.

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

Kiến thức Cấp số cộng Cấp số nhân

Định nghĩa un + 1 = un + d víi n  N* un + 1 = unq víi n  N*

Sè hạng

tổng quát un = u1 + ( n - 1 ) d víi n  2 un = u1qn - 1 với n 2

Tính chất
các số

hạng uk =

k 1 k 1

u

víi k

2







k k 1 k 1

u u  u  víi k2

Tỉng của n
số hạng

đầu

Sn =

n(u

u )

2

với n N*

Sn =

n 2u



(n 1)d



2 





Sn =

n
1

u (1 q )

víi q

1,n

N*

1 q









Sn = nq víi q = 1

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- T h thng kin thc

theo yêu cầu của giáo viên
và trình bày vào vở.

- Trả lời câu hỏi của GV.
- Với n = 1 thì u1 =

1
1
1
1

2
1
2

- Yêu cầu học sinh tự hệ
thống các kiến thức trong
ch¬ng?

- Trả lời câu hỏi trắc
nghiệm từ 52 đến 57?
- Chứng minh công thức (*)
đúng với n = 1?

A. Kiến thức:

1. Phơng pháp quy nạp toán

học

2. DÃy số.

3. Cấp số cộng và cấp số
nhân

B. Bài tập:

* Bi 45 ( SGK – T123 )
Cho dãy số (un) xác nh

Lớp Ngày dạy Sĩ số

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

do ú cơng thức đúng khi
n = 1. Ta có: uk +1 =

2
1


k
u

k
k
k

k

2
1
2
2

1
2

1
1









nªn

(*) đúng với n = k + 1.
- Trình bày đợc: pn+1 – pn =

4(un + 1 un) = 4d nên (pn)

là một cấp sè céng.
Sn+1–Sn = (un + 1–un)(un +
1+un) = d(un + 1+un))

nên (Sn) không là cấp số

cộng.

b) Tơng tự pn và Sn là các

cấp số nhân.

- Lờn bng làm bài tập đã
chuẩn bị ở nhà và chỉ ra
đ-ợc (un) là cấp số cộng với d

= 0, vừa là cấp số nhân với
q = 1.

a) Với n =1 ta có 0 3
khẳng định đúng

Giả sử khẳng định đúng với
n = k 1, tức là k3-k

Ta phải chứng minh với n =

k + 1 thì: ( k +1)3 - (k+1)

3


ThËt vËy: (k +1)3 - ( k + 1 )

= ( k + 1 )( k2 + 2k ) = k3-

k+3( k2 + k )

do gt quy

nạp và do 3(k2+k)

3


b) Víi n=1, ta cã 13-1=12
chia hÕt cho 3

Giả sử khẳng định đúng với
n=k1 tức 13k – 1  6

ta phải chứng minh khẳng
định đúng với n = k + 1 tức
là: 13k + 1 - 1 chia hết cho 6

ThËt vËy: 13k + 1 -1=13.13k

-13+12=13(13k-1)+12

 6
do 13(13k-1)

6 theo gt quy

n¹p

- Chøng minh c«ng thøc:
un = 1

2
1
2






n
n

- Hãy xác định pn+1 – pn?

- Hãy xác định Sn+1 – Sn?

- áp dụng quy nạp hÃy
chứng minh un = 3?

- Từ đó chứng minh (un)

võa lµ cÊp sè cộng vừa là
cấp số nhân?

- Hng dn hc sinh sử
dụng máy tính để tính tốn.
- Uốn nắn cách biu t
ca hc sinh.

- áp dụng quy nạp hÃy
chøng minh

bëi: u1 = 2 vµ un =

2
1

1


n
u

víi mäi n  2

Chøng minh r»ng víi mäi
sè nguyên dơng n thì:
un = 1

2
1
2

n
n

(*)

* Bài 49 ( SGK – T123 )

* Bài 50 ( SGK – T123 )
Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 3 vµ un+1 = un6

víi mäi n  1. Chøng
minh (un) võa lµ cÊp sè

céng vừa là cấp số nhân.
* Bài tập 1: Cho dÃy sè 
(un) biÕt u1 = 1, un = 2un - 1 +

3 víi n  2

a) viÕt 5 sè h¹ng ®Çu cđa
d·y ?

b) Chøng minh r»ng:
un = 2n + 1 - 3.

4. Cñng cè:

- Cách áp dụng phơng pháp quy nạp để chứng minh một dãy số là cấp số cộng hay cấp
số nhân.

* Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng víi mäi n  N* ta cã:

a) n3 - n chia hÕt cho 3 b) 13n

- 1 chia hÕt cho 6

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n =1 ta có 0 chia hết cho 3 khẳng định

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Giả sử khẳng định đúng với n = k  1, tức là ta
có: k3 - k

3


Ta ph¶i chøng minh víi n = k + 1 th×:
( k + 1 )3 - ( k + 1 )

3


ThËt vËy: (k +1)3 - ( k + 1 ) = ( k + 1 )( k2 + 2k )

= k3- k+3( k2 + k )

 do gt quy nạp và do
3(k2+k)

b) Vi n = 1, ta có 13 - 1 = 12 chia hết cho 3
Giả sử khẳng định đúng với n=k1 tức 13k – 1 

ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k +
1 tức là: 13k + 1 - 1 chia hết cho 6

ThËt vËy: 13k + 1 -1=13.13k-13+12

= 13( 13k - 1 ) + 12

 6 do 13(13k-1)

 6 theo gt
quy n¹p

häc.

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

5. VỊ nhµ:

- TiÕp tơc «n tËp vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SGK vµ SBT.
- Bµi tËp vỊ nhµ:

1. Cho d·y sè ( un): biÕt u1 = 1, un = 2un - 1 + 3 víi n  2

a) viÕt 5 sè h¹ng ®Çu cđa d·y ?
b) Chøng minh r»ng: un = 2n + 1 - 3.

2. Xét tính tăng giảm, bị chặn cđa c¸c d·y sau:
a) un = n +

1 n

b) un = ( - 1 )

n - 1sin

1 n

c) u1 = 2, un + 1 = 2un

Ngày soạn:

Tiết 58 Câu hỏi và bài tập ôn chơng 3

A - Mơc tiªu:

- Ơn tập và khắc sâu đợc kiến thức về dãy số, cấp số
- Kĩ năng giải toán về phơng pháp quy nạp toán học tốt
B. Ph ơng tiện thực hiện :

- S¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, m¸y tÝnh bá tói fx
-500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C. Cách thức tiến hành:

Phi kt hp cỏc phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện
chữa.

D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. KiÓm tra bài cũ:

HS1:

Khi nào thì cấp số cộng là dÃy số tăng ? DÃy số giảm ?

Hot ng ca học sinh Hoạt động của giáo viên
Theo định nghĩa của cấp số cộng: un + 1 - un = d

nªn suy ra:

- NÕu d > 0 ta cÊp số cộng tăng
- Nếu d < 0 ta có cấp sè céng gi¶m.

- Củng cố khái niệm dãy số tăng,
giảm và định nghĩa cấp số cộng.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

HS2: Lµm bµi tËp sau:

Cho d·y sè ( un): biÕt u1 = 1, un = 2un - 1 + 3 víi n  2

a) viÕt 5 số hạng đầu của dÃy ?

Lớp Ngày dạy Sĩ sè

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Chøng minh r»ng: un = 2n + 1

- 3.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) 5 số hạng đầu tiên của dãy đã cho là:

1; 5; 13; 29; 61
b) Chøng minh b»ng quy n¹p:

Với n = 1 ta có: u1 = 22 - 3 = 1 khẳng định đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1, tức là ta có
uk = 2k + 1 - 3 là một đẳng thức đúng.

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức
là phải chứng minh: uk + 1 = 2k + 2 - 3 là một đẳng

thức đúng. Thật vậy, theo công thức xác định dãy
số và theo gt qui nạp, ta có:

uk + 1 = 2uk + 3 = 2( 2k + 1 - 3 ) + 3 = 2k + 2 - 3

( ®pcm )

- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy
tính để tính tốn.

- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh.

3. Bµi míi:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
a) Xét hiệu un + 1 - un = 1

-1

n(n 1)



> 0 n N* nên
dÃy tăng. Lại có n +

1 n

 2 
n  N* nªn d·y bị xhặn
d-ới

b) Dóy khụng th n iu
vỡ cỏc số hạng đan dấu. Lại
có

n 1
n

1 u

( 1)

sin

1 n



 





n  N* nªn dÃy bị chặn.
c) Chứng minh bằng quy
nạp cho kết quả dÃy số tăng
và bị chặn trên bởi 2, chặn
dới bởi 2

a) Nếu q > 0 thì do un + 1 =

u1qn nªn un < 0 n

b) NÕu q < 0 th× do un + 1 =

u1qn nên un < 0 nếu n chẵn

và un > 0 nếu n lẻ

- Trỡnh by c:

+ Giả sử cấp số cộng ( un)

có công sai d1 còn cấp số

cộng (vn) có công sai d2, ta

cã:

un = u1 + ( n -1 )d1

vn = v1 + ( n - 1 )d2

Suy ra: wn =un + vn = (u1 +

v1 ) + ( n - 1)( d1 + d2) nªn

( wn) cịng lµ mét cÊp sè

céng cã

- Củng cố về dãy số đơn
điệu, dãy bị chặn.

- Phơng pháp chứng minh
dãy số đơn điệu, bị chặn.
HD học sinh giải phần c):
Với n=1 thì u1= 2<

2 2

Giả sử đúng với n =k1 tức
là: uk + 1 >ukuk + 1-uk>0

đúng. Ta có:
uk + 2 - uk + 1 =

k 1 k

2u   2u

= k 1 k

k 1 k

u

0

2 u










( do gt quy nạp )
- Uốn nắn cách biểu đạt của
học sinh.

- Củng cố về định nghĩa và
số hạng tổng quát của cấp
số nhân

- Uốn nắn cách biểu đạt của
học sinh.

- Tổ chức chia nhóm để học
sinh thảo luận đa ra lời giải
- Củng cố khái niệm dãy số
tăng, giảm và định nghĩa
cấp số cộng.

- Uốn nắn cách biểu đạt của

học sinh.

* Bµi 1:

Xét tính tăng giảm, bị chặn
của các dÃy sau:

a) un = n +

1 n

b) un = ( - 1 )n - 1sin

1 n

c) u1 = 2, un + 1 =

2u

* Bµi 2:

Cho cÊp sè nhân có u1 < 0

và công bội q. hỏi các số
hạng khác sẽ mang dấu gì
trong các trêng hỵp sau:
a) q > 0 ?
b) q < 0 ?

* Bµi 3: Cho hai cấp số 
cộng có cùng số các số
hạng: ( un) vµ ( vn )

Ta thiÕt lËp mét d·y sè míi:
( wn) víi wn = un + vn th×

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

w1 = u1 + v1 và công sai

d = d1 + d2

Ví dụ: ( un): 2; 5; 8; ... ; -1 +

3n ( u1 = 2, d1 = 3 )

(vn): - 1; 3; ... ; -5 + 4n ( v1

= - 1, d2 = 4 ) Th× (wn) = 1;

11; ... ; -6 + 7n ( w1 = 1, d =

7 )

a) Ta cã hÖ:

1 1

u 2d u 6d 6

(u 2d)(u 6d) 8

   


  

ha
y
1
1 1

u

4d

3 (1)

(u

2d)(u

6d)

8 (2)















Tõ (1) có u1=3-4d thay vào

(2) thì: ( 3 - 2d )( 3 + 2d ) =

8  d2 =

1

4

 d =

1

2 

NÕu d=

1

2

th× u1 = 3 - 4.

1

2

= 1

NÕu d=-

1

2

thì u1=3+4.

1

2

=
5

b) Làm tơng tự câu a) cho:
u1=0, d=3 hoặc d =-12, d=

21

5

a) §a vỊ hƯ:

5
1

6
1

u q

292 u q

384 













và tìm đợc q = 2, u1 = 6

b) §a hƯ vỊ d¹ng:

1 1

4 2

1 1

u q

72 u q

144 


















2
1
2 2
1

u q(q

1)

72 (1)

u q (q

1) 144 (2)



















Chia từng vế của ( 2 ) cho
( 1 ) đợc: q = 2 và u1 = 12

Cñng cè:

- TÝnh n,u1, un, Sn, d khi biÕt

3 trong 5 đại lợng trên ?
- Các công thức về cấp số
cộng

- Uốn nắn cách biểu đạt của
học sinh.

Dùng bài tập phần c) để
củng cố, luyện tập:
Đa hệ về dạng

1 1

(u d)(u 4d) 52

4u 10d 34

  




 



Giải hệ trên bằng phép thế,
ta đợc: u1 = 1, d = 3

u1 = 16, d = - 3

Củng cố:

- Định nghĩa cấp số nhân, 
công thức của số hạng tổng
quát, công thức tính tổng
của n số hạng đầu tiên của
cÊp sè nh©n: un + =qun=u1qn

Sn =

n
1

u (1 q )

1 q



- Dùng bài tập phần c) để
củng c, luyn tp

* Bài 4: Tìm u1 và d của cÊp

sè céng, biÕt:
a) 3 7

3 7

u

6 u u

8 











b) 7 15

2 2

4 12

u

60 u

1170



















c) 2 5

2 3 4 5

u u 52

u u u u 34






 

* Bài 5:

Tìm u1 và q của cấp sè

nh©n: a) 6

u

192 u

384 









b) 4 2

5 3

u u 72

u u 144

4. Củng cố: - Cách xét tính tăng, giảm và bị chặn của một dÃy số?

- Vn dng định nghĩa, tính chất và các định lí của cấp số cộng và nhân để giải toán?

* Bài tập: Ba số có tổng bằng 15 lập thành một cấp số cộng. Nếu cộng ba số đó

lần lợt với 1; 4; 19 thì nhận đợc 3 số tạo thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó ?

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

cã:

u1 + u2 + u3 = 15. Theo tÝnh chÊt, ta cã: u1 + u3 = 2u2

nªn suy ra: u1 + u2 + u3 = 3u2 = 15 hay u2 = 5. gäi d lµ

cơng sai của cấp số cộng đó thì u1 = 5 - d, u3 = 5 + d

Víi d = 3 cho u1 = 2 và 3 số cần tìm lµ: 2 ; 5 ; 8.

Víi d = - 21 cho u1 = 26 và 3 số cần tìm là: 26 ; 5 ; -

16.

- TÝnh n,u1, un, Sn, d khi biÕt 3

trong 5 đại lợng trên ?
- Cỏc cụng thc v cp s
cng

- Định nghĩa cấp số nhân, 
công thức của số hạng tổng
quát, công thức tính tổng của
n số hạng đầu tiên của cấp số
nhân:

5. Về nhà: - Tiếp tục «n tËp vµ hoµn thµnh bµi tËp trong SGK, SBT.

-

Chn bÞ kiĨm tra 1 tiÕt.

Ngày soạn:

Tiết 59 Bµi kiĨm tra 1 tiÕt.

A - Mơc tiªu:

- KiĨm tra kiÕn thøc vỊ d·y sè, cấp số cộng, cấp số nhân. Kĩ năng vận dụng phơng
pháp chứng minh quy nạp toán học

- K nng biu đạt trong giải toán
B - Nội dung và mức độ :

- Bài toán tự luận về áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học
- Toán về cấp số cộng, cấp số nhân

- Có thể cho thêm phần toán trắc nghiệm ( 2 điểm )

Đề bài:

Bài 1:( 3 điểm )

Cho dãy số xác định bởi công thức:
1

n 1 n

u

1 u



3u

1 với n

1

Dùng phơng pháp chứng minh quy n¹p, h·y chøng minh d·y ( un) tăng.

Bài 2: ( 3 điểm )

Mt hi trng cú 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trớc 20 chỗ
ngồi và dãy sau cùng có 280 chỗ ngồi. Hỏi hội trờng đó có bao nhiờu ch ngi ?

Bài 3: ( 4 điểm )

Tìm một cấp số nhân có 5 số hạng, biÕt r»ng:

3 1

4 2

16 u

9

16 u

27

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ( 3 điểm )

Đáp án Thang điểm

Với n = 1 ta cã: u1 = 1 vµ u2 = 3.1 1  2 0,5

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Giả sử khẳng định trên đúng với n = k  1, tức là ta có: uk + 1 > uk là

một bất đẳng thức đúng. 0,5

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1, tức là phải chứng

minh uk + 2 > uk + 1. 0,5

Thật vậy, ta có: uk + 2 = 3uk 1  1 ( theo công thức xác định dãy s ) 0,5

Mà theo gt quy nạp: uk + 1 > uk nªn suy ra:

uk + 1 = 3uk 1  1 > 3uk  1= uk + 1 ( đpcm ) 0,5

Bài 2:

( 3 điểm )

Đáp án Thang điểm

Gọi u1, u2, ... , u10 lần lợt là số chỗ ngồi của dÃy ghế số 1, 2, ... , 10

cđa héi trêng. Theo gi¶ thiÕt, ta cã ( un) lµ mét cÊp sè céng cã d = 20,

u10 = 280 ( n = 10 )

1,0
Ta cã: u10 = u1 + ( 10 - 1 ).20 = 280  u1 = 100 1,0

Suy ra đợc S10 =

10(100

280)

1900

2 



. vậy hội trng ú cú 1900
ch ngi.

1,0

Bài 3:

( 4 điểm )

Đáp án Thang điểm

a c h ó cho v dng:

1 1

16 u q

u

9

16 u q

27 



















1.0

Hay:

2
1

16 u (q

1)

9

16 u q(q

1)

27 



















1,0

Giải ra đợc: q = -

1

3

vµ u1 = 2 1,0

Tìm đợc cấp số nhân: 2 ; -

2

3

;

2

9

; -

2

17

;

2

</div>

Giai tich 11 Nang cao

<b>Ch¬ng 3: </b>

<b>D·y Sè. Cấp số cộng và cấp số nhân</b>

<b> Phơng pháp quy nạp toán học ( 2 tit)</b>

n(n 1)

2



1(1 1)

1

2





k(k 1)

2



(k 1)(k 2)

2





k(k 1)

2



(k 1)(k 2)

2





<b> Phơng pháp quy nạp toán học (</b>

<b>)</b>

n(3n 1)

2



1 1 1

1

2

1

2 4 8

2

2







 



n(n 1)(2n 1)

6





k(3k 1)

2



(k 1)(3k 4)

2





k(3k 1)

2



k(3k 1) 2(3k 2)

2







3k

7k 4

2







(k 1)(3k 4)

2





( Tỉng của n số lẻ đầu tiên )

1

1

1

1

n 1 n 2



