Trung Thu 2013 - 2014

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (203.86 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải

mở rộng mặt phẳng để tìm điểm chung

+) Nếu biết một điểm chung thì ta lấy mặt phẳng thứ ba (R) không
qua điểm chung và qua một đường thẳng  thuộc (P) hoặc (Q) , giả sử

là( P). Sau đo tìm giao tuyến của (R) và (Q) là d . Giao của d và  sẽ

thuộc P,Q

+) Nếu chưa biết điểm chung nào thì ta làm như trên hai lần

Muốn dựng  qua M và d,d’ trong không gian chéo

nhau ta làm như sau:

Ta tìm giao điểm của d (hoặc d’) với mặt phẳng P qua đường
thẳng d’ (hoặc d) và chứa M, bằng cách tìm giao tuyến  của P và mặt

phẳng qua d ,  sẽ cắt d tại N cũng thuộc P nên MN cũng cắt d’. Suy ra

MN là đường thẳng cân dựng

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian, và

đường thẳng c.Cách dựng đường thẳng  // c đi qua a, b như

sau:

+) Tìm hoặc dựng mặt phẳng (P) qua a ( hoặc b ) và //c ( Tìm d
cắt a hoặc b và // c thì (P) là (a,d) hoặc (b,d))

+) Lấy giao của b (hoặc a ) với (P)

+) Từ giao điểm đó dựng đường thẳng // c sẽ cắt a (hoặc b)

Ta được đường thẳng cần dựng

Cho mặt phẳng (b) cố định và đường thẳng d thuộc (b) cố

định. Muốn dựng mặt phẳng (a) qua d và hợp với (b) một góc

x nào đó ta làm

như sau

:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

qua điểm cố định đó ta dựng đường thẳng  vng góc với mặt phẳng

(b) . Khi đó d sẽ vng góc với (d’, )

+) Mặt phẳng (a) qua d sẽ cắt  tại K ,thì góc giữa hai mặt phẳng

(a) ,(b) là góc KIO

+) Ta chi việc dựng K sao cho góc KIO=x , thì mặt phẳng (d,K)
chính là (a)

Muốn dựng (P) qua d và tạo với  một góc ỏ ta làm

như sau:

+) Chọn (Q) qua  và //d hoặc trùng d

+) Lấy d’ là hình chiếu của d trên (Q)

+)  giao d’ tại O, dựng (R) vng góc với d’ cắt  tại A

+) Giả sử giao của (P’) ( là mặt phẳng qua d’ //d) , (R) tại

’, qua A dựng đường vng góc với ’ , dựa vào các dữ kiện của của

bài toán ta xác định ’ qua điểm cố định nào đó và hợp với d’ góc nào

đó, từ đó dựng ngược trở lại (P).

Hoặc ta tính khoảng cách từ một điểm trên  tới (P) để suy ra

những điều cần thiết để dựng thiết diện

Nếu (P) vng góc với đường thẳng hay mặt phẳng nào đó thì quy
về dựng qua đường thẳng nào đó

Bài 1:

Cho tứ diện ABCD; X,Y,Z thuộc AB,AC,AD , M (BCD). Gọi N

=AM (XYZ). Tìm N

Bài 2 :

Cho tứ diện ABCD,M[CD], K (ABC),L (ACD) ,N =KL 

(ABM).vẽ N

Bài 3 :

Cho tứ diện ABCD, K (ABC),L (ACD). Tìm KL (BCD)

Bài 4 :

Cho tứ diện ABCD, M nằm trong tứ diện . A’,B’,C’,D’ là giao của
AM,BM,CM,DM với (BCD),(ACD),(ABD),(ABC).CMR:

DD 1

MD
CC

MC
BB

MB
AA

MA







'
'
'

'
'

'

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Gợi ý:a) Dùng bài toán : cho M trong ABC , A’,B’,C’ là giao
của AM,BM,CM với BC,CA,AB. Khi đó  1

AA
MA

'
'

Gọi K ,L là giao của AA’ và BB’; CC’ và DD’ sau đó áp dụng bài trên
b)MAAA''  maxMAAB,'AK maxABMA,AC' ,AD  maxAB,AC,MAAD',BC,CD,BD

Bài 5 :

Cho tứ diện S.ABC,G là trọng tâm ABC; A’,B’,C’ bất kì trên

cạnh SA,SB,SC , AG giao (A’B’C’) tại G’. CM: 

'
' SG

SG
3
SA

SA

Gợi ý:Gọi A1,B1,C1 là trung điểm BC,CA,AB. A2,B2,C2 là giao SA1

và B’C’;SB1 và A’C’;SC1 và A’B’. A3,B3,C3 là giao AA1 và A’A2; BB1

và B’B2;CC1 và C’C2.

Dùng menelauyt cho A3GG’ và A3AA’ với S,A1,A2 thẳng

hàng. Sau suy ra . 22 ''
'

' A A
G
A
SG
SG
SA

SA



Tương tự có các đẳng thức cịn lại,cộng vào có dpcm

Bài 6 :

Cho tứ diện ABCD,A’,B’,C’,D’ là trọng tâm

BCD,ACD,ABD,ABC.CM:AA’,BB’,CC’,DD’ động quy tại

một điểm

Bài 7:

Cho hình chóp SABCD. M,N,P thuộc SA,SB,SC .Tìm thiết diện
của (MNP) và hình chóp

Bài 8:

Cho tứ diện ABCD,M (ABC),N (ACD),P (ADB). Vẽ thiết

diện của (MNP) và ABCD

Bài 9:

Cho hình chóp tứ giác SABCD,M [SA],N: B[SN],P [ CD].

Tìm thiết diện của (MNP) và hình chóp

Bài 10:

Cho hình chóp SABCD, N [SD], P (ABCD), lấy M:B[SM].

Tìm thiết diện của (MNP) và hình chóp

Bài 11:

Cho tứ diện ABCD,có các cạnh đối bằng nhau .CM: các mặt của tứ diện
là các tam giác nhọn và bằng nhau

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 12 :

Cho S.ABC, M N,P thuộc SA,SB,SC
I=(BCM) (CAN) (ABP)

J=(NAP) (PMB) (MNC)

CM:a) S,I,J thẳng hàng
b) 1 AMSM BNSN CPSP

IJ
SJ




Gợi ý:

a) Gọi A’,B’,C’ là giao của BP và CN;AP và CM;BM và AN
I = AA’ giao BB’ giao CC’

J= MA’ giao NB’ giao PC’

Suy ra: I= (SBB’) giao (SCC’) giao (SAA’)
J= (SMA’) giao (SNB’) giao (SPC’)
a) Gọi Q = SA’ giao BC

H=SI giao AQ
K = MA’ giao AQ
Ta có (AQHK)=-1

 1
HS
HI
JI
JS

. (1)

C1:Menelauyt cho SIC với C’,J,P thẳng hàng

 . ' '
AA
I
A
JI
JS
PC
SP


Tương tự có các đẳng thức khác; cộng vào có

 













HS
HI
1
JI
JS
MA
SM
CC
I
C
BB
I
B
AA
I

A
JI
JS
PC
SC
NB
SB
MA
SA
)
'
'
'
'
'
'
.(

Kết hợp với (1) ta có dpcm

C2:Dùng bổ đề cho ABC, M thuộc ; A’,B’,C’ là giao của
Am,BM,CM và BC,AC,AB. Khi đó BBAB'' CCAC'' MAAM' (cm:qua A kẻ đường

thẳng //BC)

Ta có: MASM MASM ASAQIHSI

'
'

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

HI
HS
JI
JS

IH
SI
1
IJ
SJ








Bài 13:

Cho tứ diện ABCD ; M,N,P,Q,R,S là trung điểm của
AB,CD,AC,BD,AD,BC.CM:

a)MN,PQ,RS đồng quy tại trung điểm mỗi đường
b) Điểm đồng quy đó là trọng tâm của tứ diện

Bài 14:

Cho tứ diện ABCD, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),

(SAC),(SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC
CMR:  MASA' =1

Bài 15:

Cho tứ diện ABCD, A’,B’,C’,D’ là trọng tâm của (BCD),(ACD),
(ABD),(ABC) ; M bất kì; Lấy A’:

MA

"



3

.

MA

'

.Tường
tự có B”,C”,D”.CMR:

a)AA”,BB”,CC”,DD” đồng quy tại trung điểm của mỗi đường gọi
là N

b)MN đi qua trọng tâm tứ diện

Bài 16:

Cho tứ diện S.ABC , G là trọng tâm của ABC,M thuộc ABC;
M và  // SG cắt (SBC),(SCA),(SAB) tại A’,B’,C’.CMR:

MA’+MB’+MC’+MD’=3SG

Gọi ý: Dùng talet

Bài 17:

Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC;A,B,C qua A,B,C //SM

cắt (SBC),(SAC),(SAB) tại A’,B’,C’,

a) CM: 

'

AA
1
SM

1

b) Gọi M’=SM (A’B’C’).Tính SM : SM’

Gợi ý :b) Để ý giao điểm I của BC’ , CB’ và S,A thẳng hàng.Gọi L
=A’I SM’,P=A’M’B’C’, N=IPBC .Ta có IP=IN 
SL=LM’,SL=SM.Suy ra SM’=2SM

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b .M,N di chuyển trên a,b.Tìm quỹ
tích trung điểm I của MN

Gọi ý:Lấy hai điểm cố định A.B trên a,b.Gọi O là trung điểm AB, qua
O kẻ ,’lần lượt //a,b; trên ,’ lấy M’,N’ sao cho MM’,NN’ //AB

Bài 19:

Tứ diện ABCD M thay đổi thuộc AC ,(ỏ)M và // AB,CD cắt

AD,BD,BC tại N,P,Q .

a) CMR:MNPQ là hình bình hành

b) Tìm điều kiện của M để MNPQ là hình thoi

c) Tìm quỹ tích của tâm I của MNPQ

d) Tìm điều kiện của ABCD để MNPQ có chu vi khơng đổi

Gợi ý:b) MN= CD
AC
AM

MQ= AB
AC
CM

MNPQ là hình thoi <=> MN=MQ

c)Gọi E,F là trung điểm của AB,CD khi đó I thuộc EF. áp dụng bài 18

d) MN+MQ=

 

AC

AB
CD
CD
AB
AM
AC

AB

AM
AC
CD
AM
AC

AB
CM
CD

AM. . . (  ) .









Chu vi =const KHI và chỉ khi AB=CD do AM thay đổi.
*) Trong chương quan hệ song song có hai loại thiết diện là:

+) Thiết diện qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo
nhau.

+) Thiết diện qua một đường thẳng và song song với một đường
thảng khác

Thường thì các thiết diện này được dựng qua các hình chóp ...

Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại trên

a) Giả sử thiết diện qua M và song song với d,d’ chéo nhau:

+) Ta dựng giao tuyến  của (M,d) với (P) qua d’
+) Dựng đường thẳng song song d qua M cắt  tại O
+) Trong (P) dựng đường thẳng //d’

Cách hai áp dụng cho bài tốn có hình lăng trụ hoặc hình hộp:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+) Qua M dựng mặt phẳng song song với (Q)

b) Giả sử thiết diên qua d và song song d’:

+) Chọn hai điểm A,B trên d ( thường thì sẽ có trong hình bài ra)
+) Dựng giao tuyến  của (A,d’) với (P) chứa B

+) Trong (A,d’) dựng đường thẳng qua A //d’ ,Giả sử cắt giao
tuýên trên tại C ,khi đó (ABC) là mặt phẳng cần tìm

+) Cuối cùng dựng thiết diện của (ABC) với hình bài ra.
Ta có thể lấy các điểm bất kì và thử tìm thiết diện

Sau đây là một số bài tập

Bài 20:

Cho hình chóp S.ABCD.M,N là trung điểm của AB,SB. Mặt
phẳng (P) M và (P)// CN,SD. Dựng thiết diện của (P) với S.ABCD.

Bài 21:

Cho S.ABC, MABC .Dựng thiết diện của hình chóp với mặt

phẳng (P) M và (P)// SB,AC

Bài 22:

Cho S.ABCD , N,P là trung điểm của SB,AD .Lấy M sao cho B là
trung điểm của MN. Dựng thiết diện của mặt phẳng (P)MP và (P)

//CN với S.ABCD

Bài 23:

Cho hình chóp S.ABCD ,N là trung điểm của BC ,P[SC]

:SP=2CP ,MSA:S là trung điểm của AM. Dựng thiết diện của mặt

phẳng (P) MN, (P)// DP với S.ABCD

Bài 24:

Cho S.ABCD , P là trung điểm của SD, M thuộc BC sao cho B là
trung điểm của CM , N thuộc [SB] sao cho SN=2NB. Dựng thiết diện
của mp (P) NP và (P)//AM với S.ABCD.

Bài 25: ( phần mặt phẳng song song)

Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),

(SAC),(SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC

Gọi M’=SM(A’B’C’). CMR:M’ là trọng tâm của A’B’C’, tính tỉ số

SM : SM’

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 26:

Cho tứ diện S.ABC, G là trọng tâm của tứ diện. M bất kì thuộc

ABC. A’,B’,C’thuộc (SBC),(SAC),(SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ //

GA,GB,GC. CMR: GM đi qua trọng tâm của A’B’C’

Gợi ý : Gọi A”,B”,C” là giao của MA’,MB’,MC’ với (GBC),
(GCA),(GAB),khi đó A”,B”,C”, chia GA’,GB’,GC’ theo tỉ số 3:1 do
tính chất của trọng tâm tứ diện . Theo bài 25 thì MG sẽ đi qua trọng tâm
A”B”C”, vị tự A”B”C” thành A’B’C’ ,suy ra GM đi qua trọng
tâm A’B’C’

Bài 27:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b ; (P) qua a // b ; (Q) qua b // a.
M (P)  (Q) .CMR: Tồn tại duy nhất đường thẳng qua M cắt a,b

Bài 28:

Hai đường thẳng chéo nhau a,b cắt (P). M,N di chuyển trên a,b
sao cho MN // (P). Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Gợi ý : tương tự bài 18, chú ý M’N’ luôn tự song song

Bài 29:

Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau, mặt phẳng (P) di chuyển
luôn song song với chính mình và cắt a,b,c tạ A,B,C .Tìm quỹ tích trong
tâm G của ABC

Gợi ý: Theo bài 27 thì quỹ tích trung điểm M của BC là đường
thẳng d nào đó xác định, điểm G chia đoạn AM theo tỉ số 2, mà AM
luôn song song (P), từ đó theo cách làm bài 18,lấy O chia AM theo tỉ số
2. Ta được quỹ tích G

Bài 30:

Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, M là điểm bất kỳ thuộc AB1,

Gọi I= (MCD1) BC1, J =(MCD1)A1D. CMR:M,I,J thẳng hàng

Gợi ý : Dùng Talet

Bài 31:

Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 ,gọi N là trung điểm của AA1, G1 là

trọng tâm của A1B1C1

a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (P) M và (P)//

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b) Gọi E là giao của (P) với A1B1. Tính BE
E
A

1
1

Gợi ý: Dùng cách 2 bí kíp (a) ở trên.

Bài 32:

Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1. M thuộc [BA1] sao cho

5
4



MA
MB

.Gọi (Q) M và (Q) // AC1,CB1.

a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với (Q)

b) Gọi E =(Q)  CC1. Tính C E

CE

Gợi ý : như bài trên

Bài 33:

CMR: Thiết diện bất kì của tứ diện bất kì có chu vi nhỏ hơn max
của chu vi các mặt của tứ diện

Bài 34:

Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, gọi XYZTUV là thiết diện

của (P) với hình hộp, có XT,YU,ZV đồng quy tại O. CMR :O là giao
của các đường chéo của hình hộp

Gợi ý: Giao tuyến

Bài 35:

Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. I,K,G là trọng tâm của

ABC,A’B’C’ ACC’.CMR: (IKG)//(BB’CC’) ,(A’KG)//(AIB’)

Bài 36: ( Đề kiểm tra )

Cho diện ABCD, gọi I1,I2,I3,I4 là tâm đường tròn nội tiếp của
BCD, ACB, DAB, ABC. CMR:AI1, BI2, CI3, DI4 đồng quy
AC.BD = AB.CD = AD.BC

Gợi ý: làm từng chiều một

Bài 37: ( Đề kiểm tra )

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O là giao của DC1 và CD1, M

thuộc tia AA1 sao cho MA=3MA1

a)Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)MO và (P)//BD

b)Gọi L là giao của (P) với CC1. Tính LC:LC1
Bài 38: ( Đề kiểm tra )

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tứ diện. M là điểm bất kì
thuộctứdiện,MG(BCD)=A1,MG(ACD)=B1,MG(DAB)=C1,

MG(ABC)=D1 .CMR:



1
1
GA
MA

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Gợi ý: Gọi giao AM,BM,CM,DM với các mặt phẳng đối diện, sau
dùng melaúyt.

Bài 39: ( Đề kiểm tra A1 )

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O =DC1 CD1, M[A1B1] sao

cho MB’=2MA’

a) Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)MO và (P)//

b) Gọi L =(P) CC1. Tính LC:LC1
Bài 40: ( Đề kiểm tra A1 )

Cho tứ diện ABCD . CMR: AB.CD, AC.BD, AD.BC là ba cạnh
một tam giác

Gợi ý: Lấy trên AB,AC, AD các điểm B’,C’,D’ sao cho
AB’.AB=AC’.AC=AD’.AD. Sau đó dùng tam giác đồng dạng

Cách dựng đường thẳng



vng góc với (P):

Trong (P) chọn a,b cắt nhau

C1: dựng hai mặt phẳng lần lượt vng góc với a,b ,khi đó 
là giao tuyến của hai mặt phẳng trên

C2: dựng mặt phẳng vng góc với a (hoặc b). khi đó  là
đường thẳng trong mặt phẳng đó và vng góc với a (hoặc b)

Trong chương quan hệ vng góc thì có hai loại mặt phẳng:

+) Qua một điểm A và vng góc với một đường thẳng



cho trước

+) Qua một đường thẳng



cho trước vuông góc với mặt

phẳng (P) cho trước

Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại mặt phẳng trên:

Loại 1:

+) Tìm hai đường thẳng vng góc với  ( thường lấy đường
thẳng cắt đường nào đó trên hình chữa A)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Loại 2 :

+) Tìm đường thẳng d vng góc (P) (có thể cắt  thì càng
tốt)

+) Nếu cắt  thì song rồi, nếu khơng thì qua  dựng mặt
phẳng song song d

Dựng đoạn vng góc chung AB của hai đường thẳng a,b

chéo nhau

a) a,b vng góc với nhau:

 Qua a dựng mặt phẳng vng góc với b, cắt b tại B
 Qua B dựng đường vng góc với a

b) a,b khơng vng góc:

 Tìm (P) qua a song song với b

 Dựng hình chiếu b’ của b trên (P) cắt a tại A
 Qua A kẻ đương thẳng vng góc với b

Tổng quát :

 Tìm (P) a, (P)a=H

 Dựng hình chiếu vng góc b’ của b

 Dựng HKb’, Kb’

 Dựng KB//a,Bb

 Dựng BA//HK,Aa

Trên đây chỉ là lí thuyết cịn trong thực tế thì phải linh động với
từng bài tốn

Chương song song và vng góc có quan hệ chặt chẽ với

nhau , thay bằng việc tìm trực tiếp yếu tố vng góc thì ta có thể

tìm các hình khác sau đó dựng song song

Bài 41:

Cho tứ diện ABCD, có AC BD,AB CD.CMR: AD BC.

Gợi ý: C1: Gọi trung điểm của các cạnh ta được các hình chữ nhật

C2: Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện có bốn đỉnh là bối đỉnh

của tứ diện. Khi đó ta có các mặt hình thoi

Bài 42:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Gợi ý : làm tương đương và dùng công thức trung tuyến hoặc lấy
trung điểm của AC,BD,BC,AD

Bài 43:

Cho tứ diện ABCD có:
AB2 + CD2 = AC2 + DB2

CMR: BC AC

Bài 44:

Cho tứ diện ABCD có: AC= BD; AD=BC
Tìm M : (MA + MB + MC + MD) min

Bài 45:

Cho tứ diện ABCD.M di chuyển trên AC, (P)M và (P)//AB,CD.

Tìm M sao cho thiết diện của hình chóp với (P) có diện tích max

Gợi ý: Gọi thiết diện là MNPQ, MNPQ là hình bình hành. Diện
tích = MN.MQ. sin ( AB,CD). Tính MN,MQ theo AB,CD sau dùng cơsi

Bài 46:

Cho tứ diện ABCD. CMR: 6 mặt phẳng trung trực của tứ diện
đồng quy.

Bài toán tương đương với việc chứng minh 4 trục của các tam giác
đồng quy

Bài 47:

Cho ABC , A,(ABC), M chạy trên  .H,K là trực tâm

của ABC, MBC.

a) CMR: HK (MBC)

b) CMR: HK cắt  , Gọi N=HK

CMR:AM.AN = const

Bài 48:

Cho (O) ,đường kính AB. A(O) , M di chuyển trên (O), S là

điểm cố định trên  . AH SM (H thuộc SM) . CMR: AH vng góc

SB, và H thuộc một đường tròn cố định

Gợi ý : Chứng minh H thuộc mặt phẳng cố định là mp qua A
vng góc SB, và thuộc đường trịn cố định trong mp dó

Bài 49:

Cho góc xOy. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho góc MOx = MOy

Gợi ý : Là mặt phẳng vng góc ( xOy) qua đường phân giác của
góc xOy

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cho hình bình hành ABCD. Điểm S thoả mãn góc
ASB=BSC=CSD=DSA, O=ACBD. CMR: SO( ABCD)

Gợi ý : B,D thuộc mặt phẳng phân giác của AC, SO là phân giác của góc
ASC, suy ra SO AC; A,C thuộc mặt phẳng phân giác của BD,tương tự

Bài 51:

Hình thang ABCD có BC=CD=DA=a. SA(ABCD).(P)A,(P)

SC ;B’=(P)SB,C’=(P)SC,D’=(P)SD .

a) CMR: Thiết diện nội tiếp được một đường tròn
b) CMR: B’C’, D’C’, D’B’ đi qua điểm cố định.

c) Cho SA= 3a tính diện tích thiết diện

Bài 52:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành, SA(ABCD) , M

di chuyển trên cạnh BC, SK DM(KDM). Tìm quỹ tích của K

Bài 53:

Cho mặt phẳng (P), A cố định trong (P),  quay quanh A. S cố

định nằm ngồi (P), SH (H) .Tìm quỹ tích của H

Bài 54: (kiểm tra học kì)

Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AC,BC. Lấy K
thuộc tia đối của DC và gọi P =BD NK,Q=ADMK, E =MP NQ

a)CMR: DE đi qua trọng tâm của ABC

b)Tính tỉ số KC/KD, biết rằng S(KMN)=4S(KPQ)

Khi gặp hai đương thẳng chéo nhau (có thể vng góc với

nhau) thì phải nghĩ ngay đến đường vng chung dựng các

đường song song thích hợp

Bài 55:

Cho hai tia Ax,By chéo nhau, M,N di chuyển trên Ax,By sao cho
AM=kBN, I thuộc đoạn MN sao cho IM=mIN. Tìm quỹ tích I

Bài 56:

Cho hai tia Ax,By chéo nhau , AB vng góc với Ax,By .M trong
khơng gian . MH, MK vng góc với Ax,By. AH + BK=AB; MH=MK.
Tìm quỹ tích của M

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có thể thay AH+BK=kAB ( k là số thực) thì ta bài tốn chỉ khác
là dựng hình hộp chữ nhật có 1 cạnh là AB và hai cạnh kia bằng nhau và
bằng kAB.

Bài 57:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vng góc với nhau, AB là
đường vng góc chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho AM
+BN=MN; O là trung điểm của AB, OH MN (HMN). Tìm quỹ tích

của H

Gợi ý : AM=MH,BN=NH

Bài 58:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, vng góc với nhau, AB là
đường vng góc chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho 2AM.BN=AB2

. O là trung điểm của AB, OH MN (HMN). Tìm quỹ tích của H

Bài 59:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vng góc với nhau. AB là
đường vng góc chung . M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const.
Tìm quỹ tích của trung điểm I của MN

Gợi ý: qua B vẽ đường thẳng a’// a O là trung điểm của AB, OI=
const, quỹ tích là đường tròn

Bài 60:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vng góc với nhau. AB là
đường vng góc chung . M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const. I
là trung điểm của MN, O là trung điểm của AB. Tính OI

Bài 61:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b vng góc với nhau, AB là
đương vng góc chung, O là trung điểm của AB, M trong không gian
sao cho với H,K là hình chiếu của M lên a,b thì MO=MH=MK. Tìm
quỹ tích của M

Gợi ý: Vẽ hình lập phương

Bài 62:

a) Cho tứ diện ABCD đều, M,N nằm trong BC,AD sao cho
BM=2MC, DN=2AN. Dựng và tính đường vng góc chung của :
MNvà CD, MN và AC

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 63:

Cho (P),(Q) cắt nhau tại  . Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai

mặt phẳng trên

Gợi ý : Làm tương đương

Bài 64:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, M,N chạy trên a,b sao cho
(a,MN)=(b,MN). Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Gợi ý: Lấy đường vng góc chung AB, O là trung điểm của AB,
qua O lấy a’,b’ song song với a,b . Từ I vẽ các đường vng góc với
a,a’,b,b’. Quỹ tích là hai phân giác của góc tạo bởi a’,b’

Bài 65:

Cho tứ diện bất kì ABCD, K thuộc AD sao cho (KBC) là mặt
phẳng phân giác của (BCA) và (BCD). CMR:  S(BCD)S(BCA)

KD
KA

Gợi ý: Từ A,D vẽ các đường vng góc với (BCK) hoặc
Chiếu vng góc lên (P) vng góc với BC

Bài hệ quả: tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh
BC,AD,AB,CD cắt các cạnh đối diện tại M,N,P,Q sao cho MDAM NCBN và

PD=nPC . Tính QBAQ

Bài 66:

Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a,
AB=2a, AC’=3a . Dựng và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)O và

(P) AC’ với hình hộp.

Bài 67:

Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a,
AB=2a, AD=3a . Dựng và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)O và

(P) AC’ với hình hộp.

Bài 68:

CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có một thiết diện là lục giác đều thì
hình hộp đó là hình lập phương.

Bài 69:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Gợi ý: Vẽ hình hộp chữ nhật tại A. áp dụng bài toán phẳng : Tam
giác ABC. MH,MK,MI vng góc BC,CA,AB. Tìm
min( MH2+MK2+MI2).

Bài 70:

Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là hình chiếu của

A,B trên  . CMR:A’B’= ABcosỏ

Gợi ý : Qua B’ vẽ ’ , lấy A” sao cho AA” song song BB’

Hệ quả: a) Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là

hình chiếu của A,B trên , M là trung điểm AB, M’ là hình chiếu của M

trên  . CMR: M’ là trung điểm của A’B’

b) Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là

hình chiếu của A,B trên ; M,M’ lần lượt là trung điểm của AB,A’B’.

CMR: MM’ 

Bài 71:

1) Cho hình lăng trụ đều cạnh a ABC.A’B’C’. K là trọng tâm của
tam giác ABC, M,N là trung điểm của BB’,CC’ . Đường thẳng qua G cắt
MN, AB’ tại P,Q. Tính PQ

2) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ .
AB=a,BC=b,AA’=c(c2>a2+b2)

ABC vuông tại B. (P)A: (P) CA’.

Tính diện tích thiết diện của lăng trụ vơi (P)

Bài 72:

Cho tứ diện ABCD, HK là đoạn vng góc chung của AB,CD.
CMR: KC=KD  S(CAB)= S(DAB)

Bài 73:

CMR: Tứ diện là gần đều  các mặt có diện tích bằng nhau

Gợi ý: Dùng bài 72

Bài 74:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M di chuyển trên cạnh
AD. Tìm M sao cho thiết diện tạo bởi hình lập phương và (CA’M) có
diện tích nhỏ nhất

Gơi ý: Vẽ đường cao của tam giác MCA’ ,dùng đoạn vng góc
chung có độ dài ngắn nhất

Bài 75:

Cho hình chóp S.ABC có SBC,ABC là các tam giác đều cạnh

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) (P)  D và (P)// BC, ((P),BD)= 300 . Tính diện tích thiết diện của

(P) với S.BCD.

Gợi ý : Dùng bí kíp

Bài 76:

Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC) , nhị diện cạnh SB bằng 900.

Góc BSC bằng 450 , góc ASB=ỏ.

a) CM : BC SB

b) Tìm ỏ để nhị diện cạnh SC bằng 600
Bài 77:

Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC) và ABC vng tại C. D là

trung điểm của AB.

a) Tính góc giữa SD và AC

b) Tính khoảng cách giữa SD,AC
c) Tính khoảng cách giữa SD,BC

Bài 78:

Cho S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SAB đều, SCD

vuông cân tại S. I,J là trung điểm của AB,CD

a) CMR: SI (SCD), SJ (SAB)

b) H la hình chiếu của S trên IJ. CM:SH AC

Bài 79:

Cho S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SC=a 2, ASB đều.
H,K là trung điểm của AB,AD

a) CM:SH (ABCD)

b) CM: AC SK, CK SD

Bài 80:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a,AA’=a,
M thuộc [AD] sao cho MA=3MD. Tính dM/(AB’C)

Gợi ý: Tính khoảng cách từ D sau dùng tales

Bài 81:

Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi một vng góc và cùng
bằng a. M,N,K là trung điểm BC,CA,AB . ĐK(O)=E, I= CE(CMN)

a) CM: CE (OMN)

b) Tính diện tích tứ giác OMIN.

Bài 82:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a) CM: AC’ (MNP)

b) Tính nhị diện (P,AC,M)

Gợi ý : a) (MNP) // (BDA’) // (D’B’C)( dùng tales trong không
gian) b) (P,AC,M) = 1800 – (M,AC,B) – (P,AC,D).

Bài 83:

Cho Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc, A,A’;B,B’;C,C’ thuộc

Ox,Oy,Oz sao cho OA.OA’=OB.OB’=OC.OC’. G là trọng tâm của

ABC.

CMR: OG ( A’B’C’)

Trong phần mặt cầu thì:

-) Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng cùng nội tiếp một

mặt cầu bằng nhau thì có thể chứng minh khoảng cách từ chúng

tới tâm bằng nhau

-) Một mặt phẳng qua 1 đường thẳng cố định nếu cách 1 điểm cố

định thì mặt phẳng đó cố định

-) Chứng minh tâm mặt cầu thuộc 1 đường thẳng cố định thì có

thể chứng minh:

+) các cách như hình học phẳng

+) Mặt cầu qua 1 đường trịn cố định

Bài 84:

CMR: có duy ngất 1 mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện

Bài 85:

CMR: Có duy ngất một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện

Bài 86:

Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng; M,N; P,Q;R,S lần lượt
thuộc Ox,Oy,Oz sao cho OM.ON=OP.OQ=OR.OS. CMR: M,N,P,Q,R,S
cùng thuộc 1 mặt cầu

Bài 87:

Cho (P) cố định , trong (P) có đường trịn tâm O đường kính AB,
AB quay quanh O. S cố định nằm ngồi (P). Tìm quỹ tích của tâm
đường trong ngoại tiếp ABC.

Gợi ý: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua S và (O) , I cố định, H là tâm
(ABC), SH2-HO2=IS2-IO2=const. H thuộc mặt phẳng cố định

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tứ diện ABCD. Tồn tại mặt cầu tiếp xúc với các cạnh 

AB+CD=AC+DB=AD+BC.

Bài 89: Đề 122 bộ đề tuyển sinh

Mặt cầu (O) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. M di chuyển trên mặt
cầu, hai tiếp tuyến của mặt cầu tại M cặt (P) tại A,B.

a) CMR: Góc AMB=góc AIB.

b) I’ là điểm đối xứng với I qua AB. CMR: O,I,I’,M đồng phẳng
và MI’ đi qua điểm cố định trên mặt cầu.

c) M di chuyển trên mặt cầu sao cho AM BM; A,B di chuyển

trên hai đường thẳng d,d’ thuộc (P) ( d’,d bất kì và cố định trên
(P)) và d,d’ vng góc với nhau tại K.CMR: Mặt cầu đường
kính AB ln đi qua 1 đường tròn cố định, I’ di chuyển trên
đường thẳng cố định, M di chuyển trên đường tròn cố định

Gợi ý:

b) Các điểm cùng thuộc phặt phẳng vng góc với AB, MI’ đi qua
điểm J đối xứng với I qua O

c)Đi qua đường trịn đường kính IK trong (OIK). I’ di chuyển trên
 qua K sao cho d,d’ là hai phân giác của góc tạo bởi  và IK, M thuộc
( ,J ) và mặt cầu ( cố định) nên thuộc đường tròn cố định

Bài 90:

Cho tứ diện ABCD , mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện và tiếp xúc với
(BCD), (ABC) tại K,H. CMR: Góc AHB= góc CKD.

Gợi ý: Gọi các tiếp điểm cịn lại, cộng các góc có đỉnh là các tiếp
điểm của mặt (ABC), (ABD) bằng (ACD),(BCD). 2 góc AHB=2 góc
CKD.

Bài 91:

Cho tứ diện ABCD, mặt cầu bàng tiếp đỉnh A tiếp xúc với (BCD)
tại K, (ABC) tại H. CMR: Góc CKD= góc AHB.

Gợi ý: Chú ý các góc bằng nhau

Bài 92:

Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O, mp(P) vng góc với
AO cắt AB,AC,AD tại M,N,P.

a) CMR: B,C,D,M,N,P cùng thuộc một mặt cầu

b) CMR: AB.CDNP  AC.DBPM  AD.BCMN

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b) Chú ý các tam giác đồng dạng

Bài 93:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M,N di chuyển trên tia
A’B’, A’D’ sao cho (AMN) tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập
phương ( tiếp xúc với các cạnh), A’B cắt AM tại K, A’D cắt AN tại L.
CMR: KL tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Gợi ý: Gọi O1,O2,O3 là tâm A’B’C’D’, AA’B’B,ADD’A’, dùng bài

91 chứng minh MO1N=900, suy ra A’M+A’N bằng cạnh hình lập

phương. Gọi H là tiếp điểm của (AMN) với mặt cầu . Đặt
A’M=x,A’N=y, tính LK bằng định lý hàm cos, tính KH +LH=
KO2+LO3, Suy ra H thuộc LK. Hoặc góc AHK = AO2K=900,

AHL=A03L=900 suy ra KL đi qua H

Bài 94:

CMR: giao của hai mặt cầu là một đường tròn

Bài 95:

Cho tứ diện SABC có diện tích xung quanh =3s, chu vi đáy là 3a.
Một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh đáy tại các trung điểm của chúng và đi
qua ba trung điểm của ba cạnh bên.

a) CM : Hình chóp SABC là hình chóp tam giác đều.
b) Tính bán kính mặt cầu nói trên.

Bài 96:

Cho hình chóp SABC có SC tạo (ABC) một góc 600, M,N,P lần

lượt là trung điểm của SA,SB,SC.Biết các điểm A,B,C,M,N,P cùng
thuộc một mặt cầu bán kính R. Tính đường cao SH của hình chóp.

Bài 97:

Cho mặt phẳng (P) , góc xOy bằng 900 quay quanh O luôn cắt

đường thẳng d cố định , S cố định :SA (P), d(O,d)= a.
a) Giả sử SO= 38a,SA=65 OA. Tính góc OAB

b) OE SA,OF  SB. Tìm quỹ tích E,F

Bài 98:

Cho (P), góc xOy cố định thuộc (P), SO (P), SO=a; M,N chạy

trên Ox,Oy sao cho OM+ON=a.

a) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp SOMN

b) Chứng minh tổng các góc phẳng tại đỉnh S của hình chóp
SOMN bằng 900

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 99:

Cho (P) cố định ,đường thẳng (d) cố định và O(d), O cố định.

Góc xOy quay quanh O cắt (d) tại A,B.  (P),  A, S cố định,

S . SHSA,SKSB(HSA,KSB).

a) CMR: A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu

b) Tính bán kính mặt cầu khi góc AOB bằng 900, OA=2,OB=3

c) Giả sử góc AOB vng, chứng minh mặt cầu trên ln qua một
đường trịn cố định

Gợi ý: a)Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC thì I là tâm mặt cầu
c)Mặt phẳng (Q):(Q) (d) , (Q) mặt cầu bằng đường
tròn cố định

Bài 100:

Cho (O,R) cố định (P) cố định, AH là đường kính cố định , I

nằm ngoài đoạn AH sao cho HI=R.   I AH. M di chuyển trên

(O), AM =B,HM =C . S là điểm sao cho S.ABC là tứ diện

vuông tại S( các góc phẳng tại S bằng 900).

a) Tính SH,IB.IC

b) Tìm quy tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Bài 101:

Cho (O,R) (P). A(O,R), A cố định, BC là đường kính thay đổi,

góc ABC bằng a. AH BC ( HBC). SA  (P) và SA=2R.

a)Tìm quỹ tích của H
b)Tìm a để S(SBC) max

c) Lấy A’SA,B’SB,C’SC : SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’ =3R2

CMR:(SB’C’) cố định và đường trịn qua S, B’,C’ ln qua 1 điểm cố
định thứ 2 khác S

Bài 102:

Cho đường tròn (O)  (P), M nằm trong (O) , AB của (O), (O)

M. S là điểm cố định sao cho SA (P).

CMR: tg . 2

ASM BSM

tg = const

Gọi ý: Kẻ OI  AB

Hoặc vẽ mặt cầu tâm S bán kính SA, Lấy giao (SAB) với mặt cầu

Bài 103:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22></div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Phần thể tích thì chỉ cần nhớ cơng thức , tỉ số thể tích

bằng tỉ số đường cao và tỉ số diện tích đáy

Bài 104:

Cho bốn đường thẳng d1, d2, d3, d4 đôi một song song và

không có ba đường thẳng nào đơng phẳng. (P), (Q) lần lượt cắt bốn
đường thẳng trên tại A,B,C,D và A’,B’,C’,D’. Chứng minh
D.A’B’C’ và D’.ABC có thể tích bằng nhau

Bài 105:

Cho tứ diện ABCD; M AB,NAC : BM=2AM, AM=2CM.

(P) MN : (P)//AD. (P) chia tứ diện thành hai phần có tỉ lệ thể tích

bằng bao nhiêu ?

Bài 106:

Trong (P) cho nửa đường trịn đường kính AB, C là điểm di
chuyển trên nửa đường tròn , H AB: CHAB, I CH:IC=IH, 
 I :   (P). S   : góc ASB =900.

a) CMR: khi C di động thì (SAB) cố định
b) Đặt AH=x. Tính thể tích SABI

c) O là tâm mặt cầu ngồi tiếp SABC. CMR: O   là 1 đường

thẳng cố định

Gợi ý: CM góc (P) và (SAB) khơng đổi

Bài 107:

Cho tứ diện ABCD.

CMR:VABCD .AB.CD.dAB,CD.sinAB,CD

6
1



Gợi ý:Vẽ hình bình hành ABCA’

Bài 108:

Cho tứ diện ABCD.

CMR:  

     

AB

CD
AB
S

S

V ABC ABD

ABCD

,
sin
.
.
.


Bài 109:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 110:

Cho hình lăng trụ bất kì .CMR: Thể tích lăng trụ bằng cạnh
bên nhân với thiết diện phẳng

Bài 111:

Trong các tứ diện có cạnh nhỏ hơn hoặc bằng 1 hãy tìm tứ
diện có thể tích mhỏ nhất

Gợi ý: Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Đường vng góc
chung của AB,CD nhỏ hơn hoặc bằng MN,dùng đẳng thức
4MN2+AB2+CD2=AC2+AD2+BC2+BC2,  MN nhỏ hơn hoặc

bằng bao nhiêu .Dùng bài 107

Bài 112:

Cho trứơc mặt cầu (O,R). ABCD là tứ diện nội tiếp mặt cầu .
Tìm tứ diện có thể tích lớn nhất

Gợi ý: x=d(O,(DBC)),

  R dABCD R x

S
x
R

RBCD   BCD  BCD , ,  

4
3
3
, 2
)
(
2
2
2
)
(
Bài 113:

Cho tứ diện ABCD có các góc phẳng tại A vng ,r là bán
kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.

CMR:      

AD
AC
AB
S
S
S

S

r ABC ACD ABD BCD






 ( )

Gợi ý : Dùng Stp
V
r 3

VECTO TRONG KHÔNG GIAN

(chứng minh các bài toán bằng vecto )

Bài 114:

Cho tứ diện ABCD.

CMR: AB  CD AC2+BD2=AD2+BC2

Bài 115:

Cho tứ diện ABCD có AB  CD,AC BD

CMR: AD  BC

Bài 116:

Cho tứ diện ABCD.G là trọng tâm ABCD
CMR: 2   2

4
1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 117:

Cho tứ diện ABCD.G là trọng tâm BCD. Hãy biểu diễn AG theo

các cạnh của tứ diện

Bài 118:

Cho hai tứ diện ABCD,A’B’C’D’ có : AB  C’D’;AC

B’D’;AD B’C’; BD  A’C’; CD A’B’ .CMR: BC  A’D’

Gợi ý:Biến đổi bằng vecto

Bài 179

Trong các tứ diện nội tiếp mặt cầu cho trước hãy tìm mặt cầu
có diện tích tồn phần max

Gợi ý : Dùng a2+b2+c2 ≥ 4 3S(ABC)

Bài 120:

Cho tứ diện ABCD có M nằm trong tứ diện.
Đặt:V1=V(MBCD),V2=V(MACD),V3=V(MABD),V4=V(MABC) ,V=V(ABCD).

CMR:V1.MA+V2.MB+V3.MC+V4.MD=0 ( MA,MB,MC,MD
là các vcto)

Gợi ý: Gọi N,P là giao của (ABM) với CD và (CDM) với
AB,

MP
MN

MP
MD

V
4
V
MC
V
V

MN
NP
MN
MB

V
MA
V
V

1
1





(áp dụng bài toán phẳng)

(MA.MB,MC,MD,MN,MP là các vécto)
Bài 121:

Cho tứ diện OABC , M thuộc  ABC. CMR:

S(ABC).OM=S(MBC).OA+S(MAC).OB+S(MAB).OC
 ( OM,OA,OB,OC là các vecto)

Bài 122:

Cho tứ diện ABCD, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện;
A’,B’,C’,D’ lần lượt là hình chiếu của I lên (BCD),(ACD),(ABD),
(ABC).

CMR:SBCD.IA'0 (IA’,IB’,IC’,ID’ là các vécto)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 123:

Cho tứ diện ABCD .

CMR: (AB,CD)=(AC,BD)=(AD,BC) (1)

 (AB,CD)=(AC,BD)=(AD,BC)=900

Gợi ý: Vẽ hình lăng AMBN.QCPD ngoại tiếp tứ diện. Giả sử

MC
MB

MA  thì góc giữa hai cạnh của hình tứ diện bằng góc giữa

hai vecto nào. Viết (1) tương đương với cos của góc hai vecto ,sau
biểu diễn cos của góc hai vecto bằng tích vơ hướng của chúng trên
độ dài đại số .Chú ý các tích vơ hướng trên các tử cộng hoặc trừ
với nhau bằng 0 vì vậy dùng tỉ lệ thức

Bài 124:

Giải lại bài 18 bằng phương pháp vecto, và chỉ dùng quan hệ
song song

Bài 125:

Cho tứ diện ABCD .

CMR: cos(AB)+ cos(AC) +cos(AD)+ cos(BC)+ cos(BD)+
cos(CD) ≤ 2

Gợi ý: I là tâm mặt cấu ngoại tiếp tứ diện, A’,B’,C’,D’
lần lượt là hình chiếu của I lên (BCD),(ACD),(ABD),(ABC).Khi
đó cos(CD)=-cosA’IB’… Sau đó biến đổi IA'2 0.Dùng bài 122

để xét dấu bằng , khi và chỉ khi tứ diện là gần đều

Bài 126:

Cho tứ diện OABC .
CMR: M thuộc (ABC) 

















OA

OM

1 :,

,















(OM,OA,OB,OC là các vecto)
Bài 127:

Cho góc tam diện Oxyz , và 3 số dương a,b,c. A,B,C chạy
trên Ox,Oy,Oz sao cho 1

OC
c
OB

b
OA





CMR: (ABC) luôn qua 1 điểm cố định

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Lấy M sao cho OM=OX+OY+OZ,sau chuyển
OX,OY,OZ về các vecto OA,OB,OC (OX,OY,OZ,OM là các
vecto)

Bài 128:

Cho tứ diện OABC, M bất kì . Tìn điều kiên để M thuộc mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bài 129:

Cho hai hình chữ nhật ABCD,ABEF có AB=a,AD=BE=a 2
khơng đồng phẳng sao cho AC  BF.

a) Tính góc DAF
b) Tính d(AC,EF)

Gợi ý : a)Có AC  BF thì hãy biến đổi các vecto AC về
AB,AD và BF về BA,AF

b)M là trung điểm BE,(ACE)  EF.Hoặc gọi HK là đường

vng góc chung thì

HK=mCA+AB+nBF

Mà HK.AC=0;HK.BF=0. Suy ra m,n ( HK,AB,BF là các vecto)
Bài 130:

Cho tứ diện ABCD, M thuộc tứ diện.

MA(BCD)=A’,MB(ACD)=B’,MC(ABD)=C’,MD(A

BC)=D’. (P)M, (P) // (BCD); X,Y,Z là giao của A’B’,A’C’,A’D’

với (P).

CMR: M là trọng tâm XYZ.

Gợi ý: Tính vecto MX theo MA’,MB’… sau cộng các số hạng
chung MA’, rồi áp dụng bài 120 thay thể tích bằng dạng tỉ số

Bài 131:

Cho góc tam diện Oxyz, và 3 số dương a,b,c. A,B,C chạy
trên Ox,Oy,Oz sao cho aOA+bOB+cOC=1

</div>

Trung Thu 2013 - 2014

<i>HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11</i>

<i><b>Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải</b></i>

<i><b>mở rộng mặt phẳng để tìm điểm chung</b></i>

<i><b>Muốn dựng  qua M và d,d’ trong không gian chéo</b></i>

<i><b>nhau ta làm như sau:</b></i>

<i><b>Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian, và</b></i>

<i><b>đường thẳng c.Cách dựng đường thẳng  // c đi qua a, b như</b></i>

<i><b>sau:</b></i>

<i><b>Cho mặt phẳng (b) cố định và đường thẳng d thuộc (b) cố</b></i>

<i><b>định. Muốn dựng mặt phẳng (a) qua d và hợp với (b) một góc</b></i>

<i><b>x nào đó ta làm</b></i>

<i><b>như sau</b></i>

<b>Muốn dựng (P) qua d và tạo với  một góc ỏ ta làm</b>

<b>như sau:</b>

<b>MA</b>

<i>"</i>

<sub></sub>

<b>3</b>

<i>.</i>

<b>MA</b>

<i>'</i>

<b>a) Giả sử thiết diện qua M và song song với d,d’ chéo nhau:</b>

<b>b) Giả sử thiết diên qua d và song song d’:</b>



Cách dựng đường thẳng



vng góc với (P):

+) Qua một điểm A và vng góc với một đường thẳng



cho trước

+) Qua một đường thẳng



cho trước vuông góc với mặt

phẳng (P) cho trước

Loại 1:

Loại 2 :

Dựng đoạn vng góc chung AB của hai đường thẳng a,b

chéo nhau

Tổng quát :

Chương song song và vng góc có quan hệ chặt chẽ với

nhau , thay bằng việc tìm trực tiếp yếu tố vng góc thì ta có thể

tìm các hình khác sau đó dựng song song

Khi gặp hai đương thẳng chéo nhau (có thể vng góc với

nhau) thì phải nghĩ ngay đến đường vng chung dựng các

đường song song thích hợp

Trong phần mặt cầu thì:

-) Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng cùng nội tiếp một

mặt cầu bằng nhau thì có thể chứng minh khoảng cách từ chúng

tới tâm bằng nhau

-) Một mặt phẳng qua 1 đường thẳng cố định nếu cách 1 điểm cố

định thì mặt phẳng đó cố định

-) Chứng minh tâm mặt cầu thuộc 1 đường thẳng cố định thì có

thể chứng minh:

+) các cách như hình học phẳng

+) Mặt cầu qua 1 đường trịn cố định

Phần thể tích thì chỉ cần nhớ cơng thức , tỉ số thể tích

bằng tỉ số đường cao và tỉ số diện tích đáy

VECTO TRONG KHÔNG GIAN





















OA

OM

1

:,

,











