Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

Mục lục
1 Mở đầu

3

1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Phạm vi của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Điểm mới của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Một số kiến thức lý thyết

5

2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp . . . . . . .

5

2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.4 Định lí cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.6 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . .

8

2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

9

2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.3 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.5 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.6 Phương trình đường trịn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . 12
3 Các bài toán

13

3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước . . 13
3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước . . . . . . 13
3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng
góc cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết . . . 20
3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng, diện tích tam giác vuông . . . 24
3.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Kĩ thuật tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2


Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

Chương 1
Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Đề thi đại học các năm gần đây thường có bài tốn hình học toạ độ trong mặt phẳng. Kì thi
quốc gia năm 2015 sắp đến cũng sẽ có bài tốn này. Ở chương 3 hình học lớp 10, học sinh
đã được học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, các bài toán mà học sinh gặp
ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc sử dụng toạ độ như toạ độ của điểm, vectơ, phương trình đường
thẳng, phương trình đường trịn, góc, khoảng cách. Bài tốn trong đề thi thì khác hẳn, đó là
bài tốn tổng hợp địi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm ở

cấp 2 (trung học cơ sở). Nhiều bài tốn địi hỏi phải vận dụng linh hoạt các tính chất hình
học để đi đến lời giải nhanh hơn, còn nếu chỉ sử dụng thuần tuý toạ độ thường được lời giải
sẽ dài dịng, có khi khơng thể giải được. Đây là một khó khăn thực sự của học sinh trong
việc ơn thi kì thi quốc gia năm 2015 sắp tới. Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập
cho kiểu bài tốn này, giáo viên có tài liệu tham khảo, chúng tôi viết chuyên đề “sử dụng
tính chất hình học trong bài tốn toạ độ”.

1.2 Mục đích của đề tài
Chuyên đề này nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, và
cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lại
các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường trịn mà có thể các em đã quên, sử
dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài tốn. Đây cịn là một tài liệu tham khảo
cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân
chia các dạng bài tốn hình học toạ độ trong mặt phẳng.

1.3 Phạm vi của đề tài
Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp
toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ở
cấp 2 như: tam giác, đường trịn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình
vng, định lý Thales, tiếp tuyến của đường trịn, góc nội tiếp,...

3


Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

1.4 Điểm mới của đề tài
Chúng ta thường thấy bài toán toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi đại học các năm

trước, các để thi thử đại học của các trường. Tuy nhiên đó là các bài toán riêng lẻ trong một
đề thi tổng hợp. Tài liệu hệ thống hoá các dạng bài, các phương pháp giải rất hiếm. Điểm
mới của chuyên đề là cố gắng phân loại (chỉ tương đối) các bài toán. Một điểm mới nữa là
trước khi giải bài tốn, chúng tơi phân tích các tính chất hình học để định hướng việc tìm
lời giải. Việc này theo chúng tơi nghĩ là cần thiết, việc phân tích này sẽ giúp cho học sinh
biết tại sao ta lại giải như vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng từng loại giả thiết về tính chất
hình học khi giải bài toán khác.

4


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Chương 2
Một số kiến thức lý thyết
Phần này nhắc lại cho học sinh một số kiến thức lí thuyết hình phẳng ở cấp 2 và kiến thức
phương pháp phương pháp toạ độ trong mặt phẳng hình học lớp 10.

2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn
2.1.1 Định lý Thales
A

N

M
B

C

Định lý thuận. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC của
tam giác ABC lần lượt tại M và N. Khi đó ta có các tỉ số bằng nhau sau
AM AN MN
=
=
AB
AC
BC
và các tỉ số tương ứng khác.
Định lý đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại của
tam giác.
Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC tại
AM AN
M, N. Nếu
=
(hoặc tỉ số bằng nhau khác tương ứng) thì MN BC.
AB
AC
2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
1. Trọng tâm:

5


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
A

N

P
G

B

C

M

• Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng qua đỉnh và trung điểm của cạnh

đối diện.
• Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
• Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì

−→ 2 −→
AG = AM
3
2. Trực tâm:
A
H

B

C

• Đường cao của tam giác là đường thẳng qua một đỉnh và vng góc với cạnh đối

diện.
• Giao điểm 3 đường cao gọi là trực tâm của tam giác.

3. Tâm đường trịn ngoại tiếp:
A

M
I
B

C

• Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của

AB và vng góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực của AB đều có IA = IB.
• Gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC thì ta có IA = IB =

IC, điểm I gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác đó.

6


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
4. Tâm đường trịn nội tiếp:

A

H3
H1
K

B

H2

C

• Mọi điểm K thuộc đường phân của góc ABC cách đều BA và BC. Nghĩa là nếu

gọi H1 , H2 là hình chiếu vng góc của K lên BA, BC thì ta có KH1 = KH2 .
• Nếu gọi K là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC thì khoảng

cách từ K đến 3 cạnh của tam giác bằng nhau. Khi đó K là tâm đường trịn nội
tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường trịn tiếp xúc với 3
cạnh của tam giác đó.
2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH.
A

B

C

H

• Định lí Pitago:

BC2 = AB2 + AC2
• Nếu biết 2 cạnh góc vng thì có thể tính được đường cao AH bởi cơng thức:

1
1
1
=
+
AH 2 AB2 AC2
• Tích 2 cạnh góc vng bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng:

AB.AC = BC.AH
• Nếu biết 1 cạnh góc vng và cạnh huyền thì có thể tính được hình chiếu của cạnh

góc vng đó lên cạnh huyền nhờ công thức:
AB2 = BH.BC;

7

AC2 = CH.BC


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
2.1.4 Định lí cosin
Cho tam giác ABC, ta có
BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC. cos A

Hệ quả
AB2 + AC2 − BC2
cos A =
2.AB.AC
Hoán vị 3 đỉnh A, B,C ta có cơng thức cho các góc cịn lại.
2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến
A

B

C

M

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, ta có:
AM 2 =

2.AB2 + 2.AC2 − BC2
4

2.1.6 Định lí sin
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R, ta có
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sinC
Trong đó a = BC, b = CA, c = AB. Tỉ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2 lần bán kính

đường trịn ngoại tiếp.
2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
A

x

I

B

C

Cho đường tròn tâm I và dây cung AB, C là một điểm trên đường tròn. Ax là tiếp tuyến của
đường trịn tại A sao cho xAB là góc nhọn. Khi đó:

8


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

1
2

• Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó, nghĩa là ACB = AIB.
• Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó, nghĩa là xAB =

ACB

2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ
→
−
−
1. Hai vectơ bằng nhau: Cho các vectơ →
a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 .
→
−
→
−
a = b ⇔

a1 = b1
a2 = b2

2. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng:
• Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng là hai đường thẳng song song

hoặc trùng nhau.
→
−
→
− →
−
−
• Hai vectơ →
a và b (với b = 0 ) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho
→
−

→
−
a =kb.
• Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B,C thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho

−
→
−
→
AB = kAC.

3. Trung điểm đoạn thẳng: Cho A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ). Trung điểm của đoạn thẳng AB
là
xA + xB yA + yB
;
2
2

M

4. Trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có A(xA ; yA ), B(xB ; yB ), C(xC ; yC ). Trung
tâm của tam giác ABC là
G

xA + xB + xC yA + yB + yC
;
3
3

2.2.2 Tích vơ hướng của hai vectơ và ứng dụng

B
→
−
b

→
−
a

O

9

A


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

→
−
−
→ −
−
1. Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ →
a và b . Gọi O là điểm tuỳ ý, vẽ OA = →
a và
−
→

−
→
−
−→ →
→
−
→
−
OB = b . Khi đó góc AOB gọi là góc giữa hai vectơ a và b kí hiệu là a ; b .
→
−
−
Nhận xét 0◦ ≤ →
a ; b ≤ 180◦ .
2. Định nghĩa tích vơ hướng:
→
−
→
−
→
−
−
−
→
−
a; b
a . b . cos →
a.b = →
3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các
→

−
→
−
−
−
vectơ →
a = (a ; a ), b = (b ; b ). Tích vơ hướng của →
a và b được tính bởi
1

2

1

2

→
−
→
−
a . b = a1 b1 + a2 b2
−
4. Độ dài của vectơ →
a = (a1 ; a2 ) là
→
−
a =

a21 + a22

5. Cho hai điểm A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ).
−
→
• Toạ độ vectơ AB = (xB − xA ; yB − yA )
• Độ dài đoạn thẳng AB là

−
→
AB = AB =

(xB − xA )2 + (yB − yA )2

2.2.3 Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng đi
→
−
−
qua điểm M(x ; y ), có một vectơ chỉ phương →
u = (a; b) = 0 là
0

0

x = x0 + at
y = y0 + bt
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Khi a và b đồng thời khác 0 thì đường
thẳng trên có phương trình chính tắc là
x − x0 y − y0
=
a

b
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng của đường thẳng đi
→
−
−
qua điểm M(x ; y ), có một vectơ pháp tuyến →
n = (A; B) = 0 là
0

0

10


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0

−
−
Chú ý: Vectơ chỉ phương →
u và vectơ pháp tuyến →
n của cùng một đường thẳng vng
−
−
−
góc nhau, khi đó →
u .→
n = 0. Nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương là →

u = (a; b)
−
−
thì nó có một vectơ pháp tuyến là →
n = (−b; a) hoặc →
n = (b; −a).
2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 là
d(M, ∆) =

|Ax0 + By0 +C|
√
A2 + B2

2.2.5 Góc
−
−
1. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ →
u = (u1 ; u2 ) và →
v = (v1 ; v2 ) được tính bởi
cơng thức
→
−
−
u .→
v
→
−
→
−

cos( u , v ) = →
=
−
−
u .→
v

u1 v 1 + u2 v 2
u21 + u22 . v21 + v22

−
−
Chú ý: 0◦ ≤ (→
u ,→
v ) ≤ 180◦
−
→ −
→
2. Góc của tam giác: Góc A của tam giác ABC là góc giữa hai vectơ AB và AC.
−
→−
→
AB.AC
−
→−
→
cos A = cos AB; AC = −
→ −
→
AB . AC

3. Góc giữa hai đường thẳng:
• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo ra bởi

chúng.
• Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì người ta quy ước góc tạo bởi

chúng bằng 0◦ .
• Gọi α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì 0◦ ≤ α ≤ 90◦ .
• Cho hai đường thẳng ∆1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 và ∆2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 có vectơ

−
−
pháp tuyến lần lượt là →
n1 = (A1 ; B1 ), →
n2 = (A2 ; B2 ). Khi đó góc α tạo bởi ∆1 và
∆2 được tính bởi cơng thức
→
−
−
n1 .→
n2
cos α = →
=
−
−
n .→
n
1

2

11

|A1 A2 + B1 B2 |
A21 + B21 . A22 + B22


Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

2.2.6 Phương trình đường trịn
• Phương trình đường trịn tâm I(a; b) bán kính R là

x − a)2 + (y − b)2 = R2
• Phương trình đường trịn cịn có dạng

x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0
trong đó a2 + b2 − c > 0. Đường trịn này có tâm I(a; b), bán kính R =

√
a2 + b2 − c.

2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường trịn
Cho đường trịn (C) có tâm I bán kính R và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vng góc
của I lên ∆. Khi đó IH = d(I, ∆). Ta có:
• Nếu IH > R thì đường trịn và đường thẳng khơng cắt nhau.
• Nếu IH = R thì đường trịn và đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Khi đó người ta

nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ∆ gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại H và

H gọi là tiếp điểm.
• Nếu IH < R thì đường trịn và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm A, B, H là trung điểm

AB và ta có định lí Pitago trong tam giác IHA như sau: R2 = IH 2 + HA2 .

12


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Chương 3
Các bài toán
3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng
Trước khi giải quyết bài toán cụ thể liên quan đến việc sử dụng định lý Thales ta tìm hiểu 2
kĩ thuật tìm toạ độ điểm sau đây.
3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước
M

A

B

Cho trước 2 điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) phân biệt và số k = 1. Nếu M là điểm trên đường
−→
−→
thẳng AB thoả MA = kMB thì ta có thể tìm được toạ độ điểm M. Thật vậy, giả sử M(xM ; yM ).

x − k.xB


 xM = A
xA − xM = k(xB − xM )
−→
−→
1−k
MA = kMB ⇔
⇔
yA − k.yB

yA − yM = k(yB − yM )
 yM =
1−k
3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước
Tổng quát hoá kĩ thuật ở trên ta có kĩ thuật “tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
cho trước”. Nếu trong đẳng thức vectơ cho trước chỉ còn duy nhất một điểm M chưa biết
toạ độ (các điểm khác có mặt trong đẳng thức này đã biết toạ độ) thì ta có thể tìm được toạ
độ điểm M.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vng góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có
M(3; −1) là trung điểm AB. Trọng tâm các tam giác ABC và ABD lần lượt là G(2; 1) và
H(4; 0). Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành.
M(3; −1)

A

H(4; 0)

B

G(2; 1)

C

D

MG 1
=
MC 3
nên tìm được toạ độ điểm C. Tương tự, có toạ độ các điểm M, H, điểm D thuộc đường thẳng

Phân tích. Có toạ độ các điểm M, G, điểm C thuộc đường thẳng MG, đã biết tỉ số

13


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

MH 1
−→ 3 −→
= nên tìm được toạ độ điểm D. Vì MB = HG nên tìm được toạ
MD 3
2
độ điểm B. Vì M là trung điểm AB nên tìm được toạ độ điểm A.

MH, đã biết tỉ số

−→
−−→

Lời giải. Gọi C(xC ; yC ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MC = 3MG. Do đó
xC − 3 = 3(2 − 3)
yC + 1 = 3(1 + 1)

⇔

xC = 0
yC = 5

Suy ra C(0; 5).

−−→
−−→
Tương tự, gọi D(xD ; yD ). Vì H là trọng tâm tam giác ABD nên MD = 3MH. Do đó
xD − 3 = 3(4 − 3)
yD + 1 = 3(0 + 1)

⇔

xD = 6
yD = 2

Suy ra D(6; 2).
MH MG 2
=
= nên HG CD. Do đó HG cũng song song với AB.
MD MC 3
DH
2
HG

2
−→ 3 −→
Xét tam giác MDB có HG MB và
= nên
= . Suy ra MB = HG. Gọi
DM
3
MB
3
2
B(xB ; yB ) ta có
xB − 3 = 32 (2 − 4)
xB = 0
⇔
yB + 1 = 32 (1 − 0)
yB = 12
Tam giác MCD có

Suy ra B(0; 21 ).
Vì M là trung điểm AB nên tìm được A(6; − 25 ).
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là
trung điểm cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vng góc của B trên AD và điểm G( 43 ; 3)
là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm toạ độ các điểm B và D. (Đề thi đại học khối B năm
2014).
B

E

M(−3; 0)

A

F

I

C

G( 43 ; 3)

D

H(0; −1)

Phân tích. Ta sẽ sử dụng những đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cho sẵn toạ độ là
M, H, G để tìm dần dần toạ độ những điểm khác. Gọi E là giao điểm của MH với BC thì
có thể chứng minh được M là trung điểm của EH. Từ đó tìm được toạ độ E. Gọi F là giao
FG
điểm của GH và BC thì có thể tính được tỉ số
. Từ đó có thể tìm được toạ độ của F. Ta
FH

14


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

viết được phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm đã tìm được toạ độ là E và F. Điểm

B là hình chiếu vng góc của H lên BC nên tìm được toạ độ của B. Muốn tìm toạ độ D
phải tìm toạ độ của I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. Muốn tìm I thì cần
tìm A mà M là trung điểm của AB nên có thể tìm được A.
Lời giải. Gọi E là giao điểm của MH và BC. Xét

MAH và

AMH = BME (đối đỉnh); MAH = MBE (so le trong). Suy ra

MBE có: MA = MB;
MAH =

MBE (góc -

cạnh - góc). Suy ra MH = ME hay M là trung điểm HE. Từ đó ta có E(−6; 1).
2
Gọi F là giao điểm của GH và BC. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = CI. Mà
3
1
2 1
1
CI = AC nên CG = . AC = AC. Suy ra GA = 2GC.
2
3 2
3
−→
−→
−→
AGH CGF nên GH = 2GF. Từ đó HG = 2FG. Ta có HG = ( 34 ; 4). Gọi F(xF ; yF ) ta
có:

4
3

= 2(xF − 43 )

4 = 2(yF − 3)

⇔

xF = 2
yF = 5

Suy ra F(2; 5).
−→
Đường thẳng BC qua E(−6; 1) có vectơ chỉ phương EF = (8; 4) nên có vectơ pháp tuyến
(1; −2). Phương trình của BC là BC : x − 2y + 8 = 0. Đường thẳng d qua H vng góc với
BC có phương trình d : 2x + y + 1 = 0. B(x; y) là giao điểm của BC và d nên ta có hệ
x − 2y + 8 = 0
2x + y + 1 = 0

⇔

x = −2
y=3

Suy ra B(−2; 3).
−
→ 1 −→
−→
Vì M là trung điểm AB nên A(−4; −3). AG = (− 16

3 ; −6). Gọi I(xI ; yI ). Vì GI = 4 GA nên:
xI − 43 = 14 .(− 16
3)
yI − 3 = 41 .(−6)

⇔

xI = 0
yI =

3
2

Suy ra I(0; 23 ). Vì I là trung điểm BD nên tìm được D(2; 0). Vậy B(−2; 3) và D(2; 0).

3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác
Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thơng thường là sử dụng 2 góc bằng nhau. Cách này
thường thu được những phương trình phức tạp, giải được nhiều nghiệm và phải tìm cách
loại nghiệm. Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng như sau:

15


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
y

N
A

H

t
M
x

Cho At là đường phân của góc xAy. Cho M là một điểm trên Ax, gọi N là điểm đối xứng với
M qua At. Khi đó N thuộc tia Ay.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm
G(1; 1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc BAC là d : x − y − 1 = 0. Tìm
toạ độ đỉnh C.

A

N
G(1; 1)

E

H
C

M

B(−4; 1)

d : x−y−1 = 0

−→
−→

Phân tích. Gọi N là trung điểm AC. Vì BG = 2GN nên tìm được toạ độ điểm N. Gọi E là
điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC và tìm được toạ độ E. Ta lập được phương
trình đường thẳng AC là đường thẳng qua 2 điểm N, E. Vì A là giao điểm của d và AC nên
−→
−−→
tìm được toạ độ của A. Gọi M là trung điểm BC, từ AG = 2GM tìm được M. Vì G là trọng
tâm tam giác ABC, áp dụng công thức toạ độ trọng tâm ta tìm được toạ độ điểm C.
−→
−→
−→
Lời giải. BG = (5; 0). Gọi N(xN ; yN ) là trung điểm AC. Vì BG = 2GN nên
5 = 2(xN − 1)
0 = 2(yN − 1)

⇔

xN =

7
2

yN = 1

Suy ra N( 72 ; 1). Gọi E là điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC. Gọi ∆ là đường
thẳng qua B và vng góc với d, ta có ∆ : x + y + 4 = 0. Gọi H(x; y) là giao điểm của ∆ với
d, ta có:
x−y−1 = 0
x+y+4 = 0

16

⇔

x = − 32
y = − 52


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Suy ra H(− 32 ; − 52 ). Vì H là trung điểm BE nên E(1; −6). Đường AC qua E(1; −6) nhận
−→
−
EN = ( 52 ; 7) làm vectơ chỉ phương, hay có một vectơ pháp tuyến là →
n = (14; −5). Từ
đó phương trình AC là AC : 14x − 5y − 44 = 0. Vì A là giao điểm của d : x − y − 1 = 0
30
và AC : 14x − 5y − 44 = 0 nên tìm được A( 39
9 ; 9 ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

C(xC ; yC ) thoả
39
9
30
9

− 4 + xC = 3
+ 1 + yC = 3

⇔

xC =

8
3

yC = − 43

Vậy C( 38 ; − 43 ).
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ
1
đỉnh A là H( 17
5 ; − 5 ), chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của

cạnh AB là M(0; 1). Tìm toạ độ đỉnh C. (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7b).
A

N
M(0; 1)

B

K

1 D(5; 3)
H( 17
5 ;−5)

C

Phân tích. Đường thẳng AH qua H và vng góc với HD nên ta viết được phương trình
AH. Tam giác ABH vng tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA = MH. Kết
hợp A thuộc đường thẳng DH và MA = MH tìm được toạ độ điểm A. Ta viết được phương
trình đường phân giác AD. Gọi N là điểm đối xứng với M qua phân giác AD thì ta tìm được
toạ độ N. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua 2 điểm A và N. Đường thẳng BC
qua hai điểm D và H nên viết được phương trình BC. Vì C là giao điểm của hai đường thẳng
AC và BC nên tìm được toạ độ của C.
Lời giải. Dành cho độc giả.

3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một
đường thẳng góc cho sẵn
Bài 5. Cho đường thẳng d : 3x − 2y + 1 = 0 và điểm A(2; 4). Viết phương trình đường thẳng
∆ biết ∆ đi qua A và tạo với d một góc 45◦ .

17


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
A
∆
45◦
d

Phân tích. Dựa vào hình vẽ ta có thể dự đốn có 2 đáp số đường thẳng ∆ cần tìm.
−
Lời giải. Gọi →
n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của ∆ (với a2 + b2 = 0). Phương trình

−
đường thẳng ∆ đi qua A(2; 4) nhận →
n = (a; b) làm một vectơ pháp tuyến có dạng:
a(x − 2) + b(y − 4) = 0
⇔ax + by − 2a − 4b = 0

(1)

Vì góc giữa d và ∆ bằng 45◦ nên
|3a − 2b|
cos 45◦ = √ √
13. a2 + b2
√
⇔ 2|3a − 2b| = 13(a2 + b2 )
⇔2(9a2 − 12ab + 4b2 ) = 13(a2 + b2 )
⇔5a2 − 24ab − 5b2 = 0 (2)
−
Nếu b = 0 thì a = 0 khi đó →
n = (0; 0) khơng thể là vectơ pháp tuyến. Do đó b = 0. Chia 2
vế của phương trình (2) cho b2 ta được
5
⇔

a
b

2

a
b

a
b

=5

− 24

a
−5 = 0
b

= − 51

• Trường hợp ab = 5 hay a = 5b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là

5bx + by − 10b − 4b = 0
⇔5x + y − 14 = 0
• Trường hợp ba = − 51 hay a = − 15 b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là

1
2
− bx + by + b − 4b = 0
5
5
⇔ − x + 5y − 18 = 0
Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là 5x + y − 14 = 0 hoặc −x + 5y − 18 = 0.

18

Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn
3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M là trung điểm
đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng
CD, biết rằng M(1; 2), N(2; −1). (Đề thi đại học khối A năm 2014).
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc có
sẵn.
F

E α C

D

N(2; −1)

A

B

M(1; 2)

Phân tích. Có sẵn toạ độ 2 điểm M, N nên đường thẳng MN là cố định. Nếu gọi E là giao
ME
điểm của hai đường thẳng MN và CD thì ta sẽ tính được tỉ số
. Từ đó có thể tìm được
MN

toạ độ điểm E. Đề bài yêu cầu lập phương trình đường thẳng CD mà CD đi qua điểm E đã
biết. Dùng kiến thức hình học tổng hợp tính được cosin của góc giữa hai đường thẳng CD
và MN (tính cos α). Viết phương trình đường thẳng qua E tạo với MN một góc α đã có, đó
là phương trình đường thẳng CD cần tìm.
NC
1
4
NE
−−
→
−−→
=
= . Suy ra ME = MN. Mà ME và MN cùng
AM nên
NM
NA
3
3
−−→ 4 −−→
hướng nên ta có ME = MN. Gọi E(xE ; yE ) ta có:
3

Lời giải. Vì EC

xE − 1 = 43 (2 − 1)
yE − 2 = 43 (−1 − 2)

⇔

xE =

7
3

yE = −2

Từ đó ta có E( 73 ; −2).
Ta tính góc giữa hai đường thẳng MN và CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng MN và
1
r
EC FC
đường thẳng BC. Đặt cạnh hình vng ABCD là r. Ta có EC = AM = . Từ
=
=
3
6
MB FB

19


Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

√
√
1
r
r

1
10
suy ra FC = BC = . Tam giác FCE vuông tại C nên EF = FC2 + EC2 =
.
3
2
2
6
EC
1
Đặt α = FEC thì cos α =
=√ .
EF
10
−
Gọi →
n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD (với a2 + b2 = 0). Vì CD qua
E nên phương trình của CD có dạng
7
+ b(y + 2) = 0
3
7
⇔ax + by − a + 2b = 0 (1)
3
a x−

→
−
−−→
MN = (1; −3) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng MN là n = (3; 1). Vì hai đường

1
thẳng CD và MN tạo với nhau góc α có cos α = √ nên
10
|3a + b|
1
√ =√ √
10
10. a2 + b2
⇔|3a + b| =

a2 + b2

⇔9a2 + 6ab + b2 = a2 + b2
⇔8a2 + 6ab = 0
⇔

a=0
a = − 3b
4

• Trường hợp a = 0 thì b = 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là

by + 2b = 0 ⇔ y + 2 = 0
• Trường hợp a = − 3b
4 thì b = 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là

−

3b
7b

x + by + + 2b = 0 ⇔ −3x + 4y + 15 = 0
4
4

Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm là y + 2 = 0 hoặc −3x + 4y + 15 = 0.
3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết
Cách 2. Khai thác toạ độ hai điểm cho sẵn để tìm thêm một điểm nào đó trên đường thẳng
CD.

20


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
D

I

E

C

N(2; −1)

A

M(1; 2)

B

Phân tích. Muốn viết phương trình đường thẳng CD thì bắt buộc phải tìm toạ độ một điểm
nào đó trên đường thẳng CD. Điểm đó có thể là C hoặc D, hoặc “khôn ngoan” hơn nữa là
trung điểm I của CD. Trong đáp án chính thức của Bộ Giáo dục thì người ta đi tìm toạ độ
điểm I. Ta sẽ tìm điểm I vì nếu tìm được I thì CD sẽ là đường thẳng qua I và vng góc với
IM. Muốn tìm toạ độ điểm I ta đi cần biết khoảng cách từ I đến 2 điểm mà đề cho sẵn toạ độ
là M và N, nghĩa là tính IM và IM. Sau đó đặt ẩn cho toạ độ điểm I đi giải hệ phương trình.
Tuy nhiên, cần biết cạnh của hình vng thì mới tính được IM và IN. Việc tính cạnh của
hình vng buộc phải dùng đến độ dài cho sẵn MN. Ta sẽ đưa đoạn MN vào một tam giác
nào đó rồi áp dụng định lý cosin để tính cạnh hình vng. Tam giác được chọn là
(hoặc

IMN

AMN đều được).

√
Lời giải. Gọi I là trung điểm CD.√Ta có MN = 10. Đặt cạnh hình vng là r. Tam giác
1
r 2
IMN có IM = r, IN = BD =
, MIN = 45◦ . Áp dụng định lý cosin trong tam giác
4
4
IMN ta có
MN 2 = IM 2 + IN 2 − 2.IM.IN. cos 45◦
√ √
2
r
2 2

r
.
⇔10 = r2 + − 2.r.
8
4
2
2
5r
⇔10 =
8
⇔r = 4

21


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ
Từ đó ta có IM = 4, IN =

√
2. Gọi I(x0 ; y0 ) ta có
IM 2 = 16
IN 2 = 2
(x0 − 1)2 + (y0 − 2)2 = 16

⇔

(x0 − 2)2 + (y0 + 1)2 = 2

⇔

x02 + y20 − 2x0 − 4y0 = 11

⇔

x02 + y20 − 2x0 − 4y0 = 11

x02 + y20 − 4x0 + 2y0 = −3
2x0 − 6y0 = 14

⇔

(7 + 3y0 )2 + y20 − 2(7 + 3y0 ) − 4y0 = 11

⇔

10y20 + 32y0 + 24 = 0

x0 = 7 + 3y0
x0 = 7 − 3y0




⇔



x0 = 1

y0 = −2
x0 =

17
5

y0 = − 65
−
→

• Trường hợp x0 = 1; y0 = −2 ta có I(1; −2) và IM = (0; 4). Đường thẳng CD qua I

−
→
nhận IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình y + 2 = 0.
−
→

12 16
6
17
6
• Trường hợp x0 = 17
5 ; y0 = − 5 ta có I( 5 ; − 5 ) và IM = (− 5 ; 5 ). Đường thẳng CD

−
→
qua I nhận IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x − 4y − 15 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm là y + 2 = 0 hoặc 3x − 4y − 15 = 0.

3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường trịn và dây cung
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác
trong của góc A là điểm D(1; −1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − 9 = 0, tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − 7 = 0. Viết
phương trình đường thẳng BC. (Đề thi đại học khối D năm 2014).

22


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

A
∆

d
H
E

B
D(1; −1)

C

Phân tích. Đặt d : x + 2y − 7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x + 2y − 9 = 0 và d nên tìm được toạ độ điểm
A. Ta đã biết đường thẳng BC đi qua D(1; −1). Muốn viết phương trình đường thẳng BC thì
cần tìm thêm toạ độ một điểm nào đó (khác D) trên đường thẳng BC. Để sử dụng giả thiết

đề cho phương trình hai đường thẳng AB và d thì ta nên tìm điểm B hoặc giao điểm E của
d với BC; khơng nên tìm toạ độ điểm C vì khơng có thêm giả thiết gì liên quan đến C.
Cịn giả thiết D(1; −1) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC chưa
được dùng. Khi sử dụng tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung kết hợp với giả
thiết phân giác ta có thể chứng minh được tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc đường
trung trực ∆ của AD. Vì viết được phương trình của ∆ nên tìm được E chính là giao điểm
của d và ∆. Vậy BC là đường thẳng đi qua hai điểm D và E.
Lời giải. Đặt d : x + 2y − 7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x + 2y − 9 = 0 và d nên A(x; y) thoả mãn:
x + 2y − 7 = 0
3x + 2y − 9 = 0

⇔

x=1
y=3

Suy ra A(1; 3).
Ta có EAB = ACB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó). Ta
lại có BAD = CAD (AD là phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC). Suy ra
ADE = CAD + ACB

(góc ngồi tam giác ACD)

= EAB + BAD
= EAD
Suy ra tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc trung trực ∆ của AD. Gọi H là trung điểm
−→
AD ta có H(1; 1). Đường thẳng ∆ qua H nhận AD = (0; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có

23


Phan Tấn Phú

Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

phương trình ∆ : y − 1 = 0. Vì E là giao điểm của d và ∆ nên E(x; y) thoả mãn:
x + 2y − 7 = 0
y−1 = 0

⇔

x=5
y=1

−→
−
Suy ra E(5; 1). DE = (4; 2). Đường thẳng BC qua D(1; −1), nhận →
n = (2; −4) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình BC : x − 2y − 3 = 0.
Vậy BC : x − 2y − 3 = 0.

3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng, diện tích tam
giác vng
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 2x. Tam
giác ABC vng tại A có AC là tiếp tuyến của (C) trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao
kẻ từ A là H(2; 0). Tìm toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện
2
tích tam giác ABC bằng √ . (Đề thi thử lần 1 năm 2015 tạp chí Tốn học và tuổi trẻ).

3
A

C

I(1; 0)
H(2; 0)

B

Phân tích. Đường trịn (C) có tâm I(1; 0) và bán kính R = 1. Trước tiên ta chứng minh AB
là đường kính của (C). Để tìm toạ độ điểm B ta tính khoảng cách từ B đến 2 điểm cho sẵn
là I và H. Thứ nhất, IB = R = 1. Thứ hai, để tính BH phải sử dụng giả thiết diện tích tam
giác ABC và hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH. Có diện tích tam
giác ABC và có AB = 2R = 2 nên tính được AC. Dùng hệ thức lượng AB2 = BH.BC, trong
đó BC có thể tính được nhờ định lý Pitago nên ta tính được BH. Đặt ẩn cho toạ độ điểm H
và dùng độ dài 2 đoạn thẳng IB, HB đã biết sẽ có hệ phương trình để giải tìm toạ độ điểm
B.
Lời giải. Đường trịn (C) có tâm I(1; 0), bán kính R = 1. Tam giác ABC vuông tại A và
AC là tiếp tuyến vng góc với bán kính AI nên 3 điểm A, I, B thẳng hàng (1). Nhận xét
H ∈ (C). Vì H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên AHB = 90◦ (2). Từ (1)

24


Sử dụng tính chất hình học trong bài tốn toạ độ

Phan Tấn Phú

và (2) suy ra AB là đường kính của (C). Ta có IB = 1 (3). AB = 2, diện tích tam giác ABC

2
bằng √ nên:
3
2
1
2
AB.AC = √ ⇒ AC = √
2
3
3
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABC, ta có:
BC =

4
AB2 + AC2 = √
3

Tam giác ABC vng tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng
ta có

√
AB2
4
= 4 = 3 (4)
√
BC
3
√
Gọi H(x0 ; y0 ). Từ (3) và (4): IB = 1 và HB = 3 nên ta có:
AB2 = BH.BC ⇒ BH =

IB2 = 1
HB2 = 3
(x0 − 1)2 + y20 = 1

⇔

(x0 − 2)2 + y20 = 3
x02 + y20 − 2x0 = 0

⇔

x02 + y20 − 4x0 = −1
x0 =

⇔

y20 =




⇔



Vì B có tung độ dương nên B( 12 ;

1
2

3
4

1
2
√
y0 = 23
x0 = 12
√
y0 = − 23

x0 =

√
3
2 ).

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường trịn
√
√
(C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 2. Tiếp tuyến của (C)
tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường trịn (C). (Đề thi
đại học khối A năm 2013, câu 7b).

25