SKKN: Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải bài toán xác suất ở trường THPT Đức Hợp

Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh tiếp cận
và giải bài toán xác suất ở
trường THPT Đức Hợp

1


PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.

Toán xác suất là một ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác suất đã được đưa vào
chương trình tốn lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ
bản về ngành toán học quan trọng này.

Để có thể học tốt tốn xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các
công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để
giải quyết các bài tốn về tính xác suất . Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học
sinh lớp 11 mơn Tốn ở trường THPT Đức Hợp tôi nhận thấy: đa số các em chưa
hiểu sâu sắc các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập,
biến cố xung khắc, biến cố đối,…các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một
số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc
cộng, quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất.

Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn
khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động
trong việc chiếm lĩnh kiến thức.Thầy đóng vai trị là người điều khiến để các em
tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2010-2011 và 20112012 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh

hiểu được bản chất của vấn đề, các em khơng cịn lúng túng trong việc giải các bài
toán xác suất, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải tốn nói chung và các
bài tốn xác suất nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tơi sẽ có một phương
pháp giảng dạy có hiệu quả cao hơn trong các giờ lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi
“Vì sao nghĩ và làm như vậy”.

2


Với mong muốn ấy Tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải
bài toán xác suất ở trường THPT Đức Hợp”. Nội dung đề tài gồm ba bài toán:
Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài tốn tính xác suất.
Bài 2: Sử dụng quy tắc cộng, qui tắc nhân giải các bài tốn tính xác suất.
Bài 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài tốn tính xác suất.

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì thời gian có hạn, rất mong
được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn
trong nhà trường. Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên
quan đến xác suất trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các
em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học.

2. Mục đích yêu cầu

-Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất
đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn về tính xác
suất
- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm do ban chuyên môn
trường phát động
- Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp.
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc tính xác suất, các bài
tốn tính xác suất.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình
SGK mơn tốn lớp 11.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
3


a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất bằng sơ đồ tư duy
b) Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tính xác suất .

5.Phương pháp nghiên cứu

a) Kết hợp hợp lý các phương pháp dạy học tích cực
b) Đánh giá trình độ nhận thức, kỹ năng giải tốn của học sinh.
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết
các bài toán.

4


PHẦN II: NỘI DUNG
Bài toán 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC
BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT
1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có khơng gian mẫu được mơ
tả cụ thể :
u cầu học sinh tư duy lại các kiến thức cơ bản về xác suất theo sơ đồ:

Phép thử ngẫu nhiên: Là
một thí nghiệm hay hành
động mà kết quả của nó
khơng đốn trước được
nhưng có thể xác định được
tập hợp tất cả các kết quả
có thể xảy ra của phép thử
đó. Ký hiệu T

Xác suất

Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép
thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của
phép thử T. Tập hợp các kết quả thuận lợi
của A ký hiện là A. Số kết quả thuận lợi
của biến cố A ký hiện là n(  A )

Không gian mẫu: Là tập
hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử. Ký
hiệu: . Số phần tử của
không gian mẫu ký hiệu:
n()

Các biến cố đặc biệt:
 Biến cố không: Tập hợp  được gọi
là biến cố không
 Biến cố chắc chắn: Tập hợp  được

gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất: Gỉa sử
phép thử T có khơng gian mẫu  là một tập
hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng
khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan
đến phép thử T và  A là tập hợp các kết
quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến
cố A là một số ký hiệu là P(A)

Xác suất của biến cố

P ( A) 

5

n( A )
n(  )


Bài 1: Đại học Đà Nẵng 1997
Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai con súc sắc.
1. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
2. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết
cho 3.
Hướng dẫn học sinh:
Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) 

(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) 

Mô tả không gian mẫu:   
 => n()=6.6=36 phần tử
...................................................
(6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) 

1. Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.”
Tập  A các kết quả thuận lợi của A :

 A  (2, 6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4)  n( A )  5
Xác suất của biến cố A: PA 

n ( A ) 5

n() 36

2. Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc
chia hết cho 3.”

(1, 2); (1, 4);(1,5); (1, 6) 
(2,1); (2,3); (2, 4); (2,5) 


(3, 2); (3,3); (3, 4); (3, 6) 
B  

(4,1); (4, 2); (4,3); (4,5) 
(5,1);(5, 2);(5, 4); (5,6) 



(6,1); (6,3);(6,5); (6, 6) 

 n( B )  24
 P( B ) 

n( B ) 24 2


n() 36 3

Bài 2:
Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau. Máy bay rơi khi có 2
viên đạn trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn.
6


Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp:
a/ 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn
b/ Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và
máy bay trúng hai viên đạn
Hướng dẫn học sinh: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
a/ Đánh số 4 bộ phận A,B,C,D là 1,2,3,4
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
(1,1), (1, 2), (1,3),(1, 4) 
Không gian mẫu:   ....................................   n(  )= 4.4=16 phần tử
(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) 



Xét biến cố A: máy bay rơi.
Tập  A các kết quả thuận lợi của A :

 A  (1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4),(1, 2), (2,1),(2,3),(3, 2), (3, 4),(4,3)


n( A )  10

Xác suất của A: P( A) 

n ( A ) 5

n ( ) 8

Hướng dẫn học sinh: mô tả không gian mẫu dưới dạng khái quát để cho các
em tiếp cận với các không gian mẫu trừu tượng hơn
Chia bộ phận A thành 2 phần A1, A2 có diện tích bằng các phần B, C, D.
b/ Đánh số 4 bộ phận A1, A2 ,B,C,D là 1,2,3,4,5
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
Không gian mẫu:   ( x, y) :1  x  5;1  y  5; x  N , y  N 

 n ()  5.5=25

phần tử
Xét biến cố A: máy bay rơi.
Tập  A các kết quả thuận lợi của A :

 A  ( x, x) :1  x  5, x  N   ( x, x  1) :1  x  4, x  N 
 ( x  1, x) :1  x  4, x  N   (1,3), (3,1)
7



n( A )  5  2.4  2  15

Xác suất của biến cố A: P ( A) 

15 3

25 5

Bài học kinh nghiệm: Để giải các bài toán về tính xác suất có khơng gian mẫu
được mơ tả cụ thể cần:
- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu, đếm số phần tử của không gian mẫu
- Liệt kê các khả năng thuận lợi của biến cố, tính số khả năng thuận lợi của
biến cố
- Thay vào cơng thức tính xác suất.

2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài tốn tính xác suất có khơng gian mẫu
được mơ tả trừu tượng hơn :
Bài 3:
Một tổ có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Chọn một nhóm lao động gồm 6 học
sinh. Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn.

Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 12 học sinh’’
 Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 6 của 12 phần tử

n( )  C106

Xét biến cố A: “Có 4 nam và 2 nữ được chọn.”. Để chọn được 4 nam và 2 nữ ta
phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp:
Cơng đoạn 1: Chọn 4 nam từ 8 nam có

C84

Cơng đoạn 2: Chọn 2 nữ từ 4 nữ

C42

 có

có

C64 .C42 cách chọn ra 4 nam và 2 nữ  n( A )  C64 .C42

Xác suất của A: P ( A) 

C84 .C42 5

C126
17
8


Cho học sinh giải bài tập sau :
Bài 4:
Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau
và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2
toa cịn lại khơng có ai.

Hướng dẫn học sinh: Tìm số phần tử cua khơng gian mẫu:
Phép thử T: ‘‘Xếp 4 hành khách lên một đồn tàu 4 toa’’
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có
toa  khơng gian mẫu: gồm

4 4 cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4

4
4 4 phần tử  n()  4

Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa cịn lại khơng có ai.”
Xét 2 cơng đoạn liên tiếp:
 Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa
3
1
đó 3 hành khách vừa chọn  C4 .C4  16

 Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách
 C31  3 (Cách)

 n( A )  16.3  48
 P ( A) 

48 3

4 4 16

Bài 5: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5
chữ số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số

đứng trước.
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu: Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau:

ai  a j với i  j
a1  0  Có 9 cách chọn a1
9

a1a2 a3a4 a5 trong đó


Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2
Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3
Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4
Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5
 n()  9.9.8.7.6 

Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
đứng trước”. Vì chữ số 0 khơng thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp:
X= 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách
5

sắp xếp theo thứ tự tăng dần  n(A )  C9
 P ( A) 

126
1

27216 216

Bài học kinh nghiệm: Để tính được số phần tử của không gian mẫu được mô tả
trừu tượng hơn cần phân tích đề bài và vận dụng toán Tổ hợp.
Yêu cầu học sinh về nhà giải các bài tập:
Bài 1: Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất
hiện của ba con súc sắc bằng 10.
Bài 2: Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 2 quả cầu đen. Chọn
ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu lấy ra cùng màu.

Bài 3: ( Đại học Tài chính kế tốn Hà Nội 1997)
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3
quả bóng. Tính xác suất để lấy được :
a. 3 bóng tốt ?
b. Ít nhất 2 bóng tốt ?
c. Ít nhất 1 bóng tốt ?
Bài 4: Một đợt xổ số phát hành 20000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200
giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một người mua 3
vé, trúng 1 giải nhì và 2 giải khuyến khích

10


Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, trong đó gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh
khá và 7 học sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi
dự Đại hội. Tính xác suất để chọn được :
a. Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi ?
b. Có ít nhất 1 học sinh giỏi ?
c. Khơng có học sinh trung bình ?

11

Bài tốn 2: SỬ DỤNG CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI
TỐN TÍNH XÁC SUẤT
Trước hết u cầu học sinh tư duy lại các loại biến cố hợp, biến cố giao các
biến cố xung khắc, biến cố độc lập, biến cố đối , và quy tắc tính xác suất theo sơ
đồ tư duy :
Biến cố hợp

Biến cố xung
khắc
Quy tắc cộng
xác suất
Biến cố đối

Quy tắc cộng
xác suất

Quy tắc tính
xác suất

Biến cố giao

Quy tắc nhân
xác suất

Biến cố độc lập

Quy tắc nhân
xác suất

12


1. Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc cộng xác suất trong các bài tốn tính
xác suất:
Bài 1:
Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiờn 8 học
sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu gồm

C198

phần tử

8
Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó n (  A )  C8  1

8
Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và B khi đó n( B )  C14  1

8
Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và C khi đó n ( C )  C13  1

8
Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C và B khi đó  B  C 11

A,B,C,D là các biến cố xung khắc

A  B  C  D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong

3 lớp .
Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:

P( A  B  C  D)  P( A)  P( B)  P(C )  P( D) 
1 C148  1 C138  1 C118
131
 8 
 8  8 
8
C19
C19
C19
C19 2223

13


Bài 2: Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2
thẻ. Tính xác suất kết quả nhận được ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn?
Học sinh vận dụng giải bài tốn, giáo viên đưa ra thơng tin phản hồi đề học sinh
so sánh:
Không gian mẫu: n()= C92
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”
 n (  A )  C 51C 41  20  P ( A ) 

20 5

36 9

Gọi B là biến cố “ Rút được hai thẻ đề chẵn”  n( B )  C42  P ( B ) 

C 42
6 1


2
C9 36 6

Nhận xét: hai biến cố A và B là xung khắc và A  B biến cố “ kết quả nhận được
ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn”
5
9

1
6

Theo qui tắc cộng xác suất ta có : P( A  B)  P ( A)  P( B)   

13
18

Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của
biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các
biến cố A1 , ….., An xung khắc tương ứng . Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất
để tính xác suất của biến cố A
2. Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc nhân xác suất trong các bài tốn tính
xác suất:

Bài 3:
Xạ thủ An bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của An trong một

lần bắn là

7
. Xạ thủ Bình bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của
10

Bình trong một lần bắn là

9
. Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
10

Hướng dẫn học sinh:

14


Gọi A1 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ nhất thì P ( A1 ) 

3
10

Gọi A2 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ hai thì P ( A 2 ) 

3
10

 A1, A2 là hai biến cố độc lập
A  A1  A2 là biến cố An bắn trượt cả hai lần bắn

P ( A )  P ( A1 ). P ( A2 )  (

3 2
)
10

Tương tự: B  B1  B2  B3 là biến cố Bình bắn trượt cả ba lần bắn
P ( B )  P ( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 )  (

1 3
)
10

A, B là độc lập. A  B là biến cố cả An và Bình đều bắn trượt hay:
A  B là biến cố “Mục tiêu không trúng đạn”

P ( A  B )  P ( A).P ( B ) 

32
105

Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của
biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể
coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , ….., An độc lập tương ứng . Sau
đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A

3. Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối trong các bài toán tính xác suất:
Bài 4:
Có 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 4
học sinh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3

lớp .
15


Hướng dẫn học sinh:
4

Không gian mẫu : n()= C12 phần tử
Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn thuộc cả lớp A, lớp B, lớp C

n ( A )  C 52 C 41C31  C 51C 42 C31  C 51C 41C32
A là biến cố :“ 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp” .

C52 C41C31  C51C 42 C31  C51C41C32 5
P ( A)  1 
=
C124
11
Bài 5:
Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích
máy bay. Máy bay rơi khi có hoặc 1 viên trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B,
hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay trúng 3 viên
đạn.
Hướng dẫn học sinh:
Gọi A là biến cố máy bay không rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn.
A chính là biến cố có 1 viên trúng B, 2 viên trúng C

A  ( B1  B2  C )  ( B1  C  B2 )  (C  B1  B2 )

P ( A)  3P ( B1 ).P ( B2 ) P (C )  3.0, 552.0, 3

A là biến cố máy bay

rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn

P ( A)  1  3.0, 55 2.0, 3 = 0,728
Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố
A chia thành quá nhiều nhóm khác nhau ta nên sử dụng biến có đối để lời giải đơn
16


giản

Bài toán 3: SỬ DỤNG KẾT HỢP CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT
Cùng học sinh phân tích bài tốn để đưa biến cố cần xem xét thành biến cố hợp
của các biến cố con có cùng xác suất
Bài 1:
Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ
ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học khơng đủ ánh sáng .
Hướng dẫn học sinh:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
4

Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của C6 biến cố con,
P ( A1 )  C 64 .0, 75 4.0, 25 2
5

Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của C6 biến cố
con, P ( A2 )  C65 .0, 755.0, 251

Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng P ( A3 )  C66 .0, 756
A  A1  A2  A3 là biến cố lớp học đủ ánh sáng
A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng

P( A)  1  P( A)  0,8305

Bài 2:
17


Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất
để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vịng dưới 8 là 0,4. Tính
xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Hướng dẫn:
Gọi A1 là biến cố 1 viên trúng vòng 10, 2 viên trúng vòng 9, A1 là biến cố hợp của

C31 biến cố con, P ( A1 )  C31.0, 2.0, 252
Gọi A2 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 9, A2 là biến cố hợp của

C31 biến cố con, P ( A2 )  C31.0, 2 2.0, 25
Gọi A3 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 8, A3 là biến cố hợp của

C31 biến cố con, P ( A3 )  C31.0, 22.0,15
Gọi A4 là biến cố 3 viên trúng vòng 10, P ( A4 )  0, 008
A  A1  A2  A3  A4 là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
P ( A )  0, 0935

Yêu cầu học sinh giải các bài tập tương tự, giáo viên đưa ra thông tin phản hồi để
học sinh so sánh:
Bài 3:

Tại một thành phố tỉ lệ người thích bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiờn 12 người.
Tính xác suất để có đúng 5 người thích bóng đá
Đáp số: P  C125 0, 655.0, 357  0, 0591
Bài 4:
Gieo đồng thời 3 con súc sắc . Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất 2 lần ra 6 chấm.
Tính xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 3 ván
18


3
Đáp số: P  C5 (

2 3 25 2
2
25
2
) .( )  C54 ( ) 4 .( )  ( ) 5
27
27
27
27
27

Bài 5
Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có 1
phương án đúng . Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1
điểm. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để anh ta bị
điểm âm.

4

5

1
5

4
5

1
5

4
5

0
12
1
11
2
2
10
Đáp số: P  C12 ( )  C12 ( ).( )  C12 ( ) .( )  0, 5583

19


PHẦN III: THỰC NGHIỆM - GIẢI PHÁP

1. Khảo sát thực tế:
Trước khi thực hiện đề tài , năm học 2010- 2011 tôi đá khảo sát chất lượng của

học sinh lớp11ở hai lớp 11B5, 11B6 Trường THPT Đức Hợp, có trình độ nhận
thức và sĩ số là tương đương nhau,thông qua kiểm tra viết gồm ba bài toán xác
suất:
Bài toán 1: Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng cơng thức xác suất cổ điển
Bài tốn 2: Sử dụng các qui tắc tính xác suất để giải các bài tốn tính xác suất
Bài tốn 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài tốn tính xác suất.
Kết quả số học sinh làm đạt được như sau:
Lớp

Sĩ số

Bài toán 1

Bài toán 2

Bài toán 3

11B5

48

43

19

7

90%

40%

15%

39

5

1

87%

11%

2%

11B6

45

Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu, kỹ năng
trình bày lời giải rất hạn chế. Sau khi khảo sát thấy được thực trạng như vậy đến
năm học 2011- 2012 tôi áp dụng đề tài này với hai lớp 11A2, 11A3 năm học 20112012 của nhà trường, với trình độ và sĩ số tương đương với hai lớp tôi đã dạy ở
năm học 2010- 2011.

2. Các bước thực hiện đề tài:

Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: không gian
mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các quy tắc cộng và
quy tắc nhân xác suất
20

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải
bài tốn. Từ đó rút ra cho học sinh các bài học kinh nghiệm khi giải các bài tốn
tính xác suất.

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài
tập bổ sung nâng cao và các đề thi. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển,
mở rộng bài toán.

3. Kết quả sau khi thực hiện đề tài:

Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 11A2, 11A3 trường THPT Đức Hợp năm học
2011- 2012 Tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 3
bài toán xác suất tương đương với đợt khảo sát của năm học 2010- 2011:
Bài toán 1: Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng cơng thức xác suất cổ điển
Bài tốn 2: Sử dụng các qui tắc tính xác suất để giải các bài tốn tính xác suất
Bài tốn 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất.
Kết quả như sau:

Lớp

Sĩ số

Bài tốn 1

Bài tốn 2

Bài tốn 3

11A2

46

46

45

44

100%

97%

96%

44

44

43

100%

100%

98%

11A3

44

Chất lượng bài giải và kĩ năng trình bày bài giải các dạng tốn về tính xác suất này
rất tốt.

4. Giải pháp đề nghị :

21


Bài tốn xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp 11 THPT , hầu
hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài tốn này. Để giúp học sinh nắm
vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt
các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải
pháp đề nghị sau:

1. Hệ thống hóa các khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp
các kết quả thuận lợi của biến cố, các phương pháp tìm số khẩ năng thuận
lợi của biến cố, cơng thức tính xác suất cổ điển bằng sơ đồ tư duy. Sau đó
hướng dẫn học sinh tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng công thức
xác suất cổ điển .
2. Hệ thống lại các qui tắc tính xác suất , hướng dẫn học sinh phân tích đề bài
tiếp cân bài tốn sử dụng các cơng thức này để tính xác suất trong một số bài
tốn điển hình, phân tích cho học sinh khi nào sử dụng qui tắc cộng khi nào
sử dụng qui tắc nhân xác suất. Từ đó ruta ra cho học sinh nhận xét về cách
sử dụng các qui tác này một cách linh hoạt và hợp lý trong từng bài toán cụ
thể.
3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập tính xác suất nâng cao cho học sinh. Gợi
mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài tốn thơng qua đó học
sinh giải một cách sáng tạo và thích thú hơncacs bài tốn tính xác suất trong

chương trình THPT và làm nền tảng để học sinh học lên Đại học .

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tơi qua q trình giảng dạy Bài tốn
tính xác suất lớp 11 THPT Đức Hợp. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy
cơ giáo và các em học sinh để đề tài này được hoàn thiện hơn nữa.
Xin chân thành cảm ơn.

22


Đức Hơp, tháng 5 năm 2012

MỤC LỤC
TT

Mục

Trang

1

Phần I: Mở đầu

1

2

Lý do chọn đề tài

1

3

Mục đích yêu cầu

2

4

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

2

5

Nhiệm vụ nghiên cứu

2

6

Phương pháp nghiên cứu

3

7

Phần II: Nội dung

4

8

Bài toán 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài

4

tốn tính xác suất
9

Bài tốn 2: sử dụng qui tắc tính xác suất giải các bài tốn tính xác

11

suất
10

Bài tốn 3: Sử dụng kết hợp các qui tắc tính xác suất để giải các

16

bài tốn tính xác suất
11

Phần III: Thực nghiệm, giải pháp

19

12

Khảo sát thực tế

19

13

Các bước thực hiện đề tài

19
23


14

Kết quả sau khi thực hiện đề tài

20

15

Giải pháp đề nghị

21

24