BAI TAP VECTO

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đại cương về vectơ</b>

<b>1</b>.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng
AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành

<b>2</b>.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác
a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC
b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh
OK = IH

<b>3</b>.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB
và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng :
DM = MN = NB

<b>4</b>.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB
Chứng minh rằng GE = 0

<b>5</b>.Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O).
Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1
điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF |

<b>Các phép toán vectơ</b>

<b>1</b>.Rút gọn các biểu thức sau:

a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD
b)+ – + + +

c) + + – + – +

<b>2</b>. Chứng minh rằng

a) + = +

b) + = +
c) + + = +

d) + + = + + = + +
e) + + + = + +

<b>3</b>.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng :
+ = +

<b>4</b>.Cho tam giác ABC, Bên ngồi của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ
,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + =

<b>5</b>.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao
cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng

+ + +

<b>6</b>.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + ,
+ , –

<b>7</b>.Cho hai vectơ và  .Tìm điều kiện của và để:
a) = + b) =

<b>8</b>.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + nằm trên
đường phân giác của góc AOB

<b>9</b>. Chứng minh rằng : =  trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng
nhau

<b>10</b>.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các
đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và
N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng :

a) + = +
b) = +

<b>11</b>.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O
a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho:
= + ; = + ; = +

b)Chứng minh rằng + + =

<b>12</b>.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối
xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một
điểm O bất kỳ ta có : + + = + +

<b>13</b>.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn

Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn.

Chứng minh rằng : ++...+=

<b>14</b>.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD
a)Chứng minh rằng + = 2

b)Xác định điểm M sao cho + + 2=
c)Xác định điểm N sao cho +++=

<b>15</b>.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là
trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành

<b>16</b>.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn:
=

<b>17</b>.Cho tam giác ABC

a)Xác định điểm I sao cho : + 2 =
b)Xác định điểm K sao cho : + 2 =

<b>18</b>.Cho tam giác ABC

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + =
d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 =
e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 =
f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 =

<b>19</b>.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn:
4= + +

<b>20</b>.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn :
+++ ++ =

<b>21</b>.Cho tam giác ABC

a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4 – = ; + 2=
b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2|

<b>22</b>.Cho hai điểm phân biệt A,B

a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả:
2 + 3 = ; – 2 + = ; – 3 =

b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng :
= + ; = 2– ;= – +

<b>23</b>.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho
+ + = ;2+ + = ;+ 3+ 2 =

– + = ; 5– 2– =

<b>24</b>.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng + = +

<b>25</b>.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
+ + = + +

<b>26</b>.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB
Chứng minh rằng : + + =

<b>27</b>.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ

Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE

<b>28</b>.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’
a)Chứng minh rằng : + + = 3

b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm

<b>29</b>.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng
trọng tâm

<b>30</b>.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh
rằng :

a) + + =

b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

<b>31</b>.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau:
= 3 ; = 3 ; = 3

a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – O

b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

<b>32</b>.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : = +

<b>33</b>.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K
là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK

a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và

b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng

<b>34</b>.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C.

a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho

= t+ (1 – t) thì  điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)

b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t)  A, B, C thẳng hàng

<b>35</b>.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng
minh rằng điểm M d  có số  sao cho: = + (1 – )

Với điều kiện nào của  thì M  đoạn thẳng AB

<b>36</b>.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC,
CA theo các tỉ số m, n, p  1. Chứng minh rằng :

a)M, N, P thẳng hàng  m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt)

b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song  m.n.p = – 1(định lý Xêva)

<b>37</b>.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao
cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN

a)Chứng minh rằng : = +

b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = +

<b>38</b>.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ
= – 3+ 2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

<b>39</b>.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho
BM = MC , CN = NA , AP = BP

a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ )

= (2+ )

b)Chứng minh rằng : + + =

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ + + + =

<b>41</b>*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính các vectơ ; ; theo các vectơ và

<b>42</b>* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n.
Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và

<b>43</b>*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b

a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ
và

b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a + b+ c=

<b>44</b>*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB
cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên
cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng = . Suy ra hai tam giác ADE và
BFG có diện tích bằng nhau

<b>45</b>*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu
cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên
cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB

<b>46</b>*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’,

B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’BB’;

N = AA’CC’; P = BB’CC’

a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’
b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP

<b>47</b>*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác.
Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng :

+ + =

<b>48</b>*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý

a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 khơng phụ thuộc vị trí điểm M
b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng
+ 2 = và = 3

<b>49</b>*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam
giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O

a) Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành
b) Chứng minh rằng + + = 2

và + + =

c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3

Kết luận gì về ba điểm O, H ,G

<b>50</b>*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng

minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng

<b>51</b>*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi :
= + 3

Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định

<b>52</b>*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi:
= k ; = k ; = k (k  1)

a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3

b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý
c)Chứng minh rằng  k  1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

<b>53</b>*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định
bởi + k = ; + k = (k  – 1).Gọi O là trung điểm MN

a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + )

b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ?
c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k =

Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ

<b>54</b>.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ
= + + 2có độ dài nhỏ nhất

<b>55</b>*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho
= kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN

<b>56</b>.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng :
a) + + = b) = (+ )

<b>57</b>.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và
+ + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA

<b>58</b>.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’
a)Chứng minh rằng : + + = 3

b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , =

Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm

<b>59</b>.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng
AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k  1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và
MNP có cùng trọng tâm

<b>60</b>.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>61</b>.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t  R,lấy các điểm A’,
B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t
thay đổi

<b>62</b>.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng điểm M ta
ln ln tìm được 3 số , ,  sao cho:  +  +  = 1 và

= + + .Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số , , 

bằng bao nhiêu?

<b>63</b>.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần

lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’
Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3

<b>64</b>.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích
theo và

<b>65</b>.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi:
= 2 ; 5 = 2

a)Tính và theo và

b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng

c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x
Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng

<b>66</b>. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và
K là các điểm đối xứng với A qua B

a)Chứng minh rằng: 3= 5 –
b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2

c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng

<b>67</b>.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là
điểm sao cho = x . Xác định x để M,N,L thẳng hàng

<b>68</b>.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x –
a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số

<b>69</b>.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa
= –

a)Chứng minh rằng : = –

b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng
c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài tốn

<b>70</b>.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F là
điểm trên cạnh AC sao cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng hàng

<b>71</b>.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng
minh rằng :

a) tanB. + tanC. = 0
b) tanA. + tanB. + tanC. =

<b>72</b>.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3 = ,
2 =

a) Tính theo và

b) Gọi I và J là hai điểm thỏa =  , = 
Tính , theo ,  , 

<b>73</b>.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho = ,G là trọng tâm tam giác
ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính

<b>74</b>.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa
a) = b) + 2 – 3 =

<b>Toạ độ trên trục</b>

<b>1</b>.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 2,– 3,1
a)Tính , – 2 ,

b)Tìm toạ độ trung điểm I của AB

c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A .Tìm N

<b>2</b>.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 1,– 3,5
a)Tìm toạ độ điểm D sao cho = 3

b)Tìm toạ độ điểm M sao cho + + = 0
c)Tìm toạ độ điểm N sao cho 2 – + 5 = 0

<b>3</b>.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh rằng :
a) + = 2

b) . = 2_–2

c) 2₊2_{= 2(}2₊2 ₎

d) 2_–2_{= 2.}

<b>4</b>.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C,D , chứng minh rằng :
a) . + . + . = 0

b) AB2_{. + AC}2_{. + AD}2_{. + .. = 0}

<b>5</b>.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B lần lượt có toạ độ là – 1, 2
a)Tìm toạ độ các điểm C,D sao cho : = – 2 và = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

AB2_{+ CD}2_{= 4IJ}2_{; IA}2_{= . ; .= .}

<b>Tọa độ Oxy</b>

<b>1</b>.Cho = (1;3), = (2;– 5), = (4;1)
a)Tìm tọa độ vectơ = 2 – + 3
b)Tìm tọa độ vectơ sao cho + = –
c)Tìm các số k và h sao cho = k + h

<b>2</b>.Cho = 2– 3 và = k + 4. Tìm các giá trị của k để hai vectơ và cùng phương

<b>3</b>.Cho các vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo và

<b>4</b>.Cho 3 vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4).
Tìm m để + cùng phương với

<b>5</b>.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương khơng?Nếu cùng phương thì có
cùng hướng khơng?

a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15)
c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3)

e) = (0;5) , = (3;0)

<b>6</b>.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1)
Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 =

<b>7</b>.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2).
a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành

<b>8</b>.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1)
a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình
hành

<b>9</b>.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng
tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C

<b>10</b>Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1),
trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C

<b>11</b>.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng

<b>12</b>.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng

<b>13</b>.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng

<b>14</b>.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường

thẳng AB và CD song song

<b>15</b>.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai
đường thẳng AB và CD song song

<b>16</b>.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)

a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho = – 3 +

c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE

<b>17</b>.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 2;1)
,N(1;– 3) ,P(2;2)

a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C

b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau
<b>Đề kiểm tra</b>

<b>Đề 1(CB)</b>

1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau:
a) + + + b) + + c) –

2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
,BC ,CD ,DA. Chứng minh rằng:

a) = b = +

3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB ,BC ,CA. Chứng minh rằng: + + =

4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng khơng: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5)

<b>Đề 2(CB)</b>

1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O
a) Chứng minh rằng: =

b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = + 0

2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI
Chứng minh rằng: = +

3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB
song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh
rằng :

a) + =

b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A
và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN

<b>Đề 4(NC)</b>

1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; =
a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và

b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng

2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A  Ox và điểm B 
Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB

<b>Tích vơ hướng</b>

<b>1</b>.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :

.= 







 _ 2_ 2 _ 2

b
a
b

a    = 








 2_ 2_ _ 2

b
a
b

a   



= 







_a__b2 _ _a_ _b2

<b>2</b>.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vơ hướng .( + ) và suy ra góc
giữa hai vectơ và +

<b>3</b>.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính
a) . b). c) .

<b>4</b>.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính:
a). b). c) .

<b>5</b>. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o_{,tính .}
<b>6</b>. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o

a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .

<b>7</b>. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8
a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính .

c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .

<b>8</b>.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o

Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvng góc nhau

<b>9</b>. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o_{.Trên tia AC lấy điểm M}

và đặt = k.Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD của tam giác ABC

<b>10</b>.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN
vng góc nhau . Tính cosA

<b>11</b>. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11
a)Tính .

b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho

AN = 4.Tính .

<b>12</b>.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
. = OM2_{– OA}2

<b>13</b>.Cho hình vng ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .
và .

<b>14</b>.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :
a) . = IA2_{– IB}2

b) . = (AB2_{+ AC}2_{– BC}2₎

c) . = (AD2_{+ BC}2_{– AC}2_{– BD}2₎

<b>15</b>.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :
MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{= 3MG}2_{+ GA}2_{+ GB}2_{+ GC}2

<b>16</b>.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
a) . b). c) . + . + .

d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2_{+ b}2_{+ c}2₎

e)Tính AG theo a ,b ,c

<b>17</b>.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
. + . + .= 0

<b>18</b>.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên
(O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :

a) . = .
b) . = .
c) . + .= 4R2

<b>19</b>.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý
a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0

b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui

<b>20</b>.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu
của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM BD

<b>21</b>.Cho hình vng ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD.
Chứng minh rằng : AN  DM

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>E</b>
<b>D</b>

<b>I</b>

<b>H</b>

<b>A</b>

<b>B</b> <b>_C</b>

<b>23</b>.Cho hình thang ABCD vng tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b
Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để

a) AC  BD b) IA  IB với I là trung điểm CD

<b>24</b>.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o_{. Gọi L là chân đường}

phân giác trong của góc A
a)Tính .

b)Tính theo và  độ dài của AL

c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL  BM

<b>25</b>.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o

a) Tính BC và .

b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x
c)Tìm x để AN  BM

<b>26</b>.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng:
AB2_{– BC}2_{+ CD}2_{– DA}2_{= 2.}

<b>27</b>.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng : . = BC2

<b>28</b>.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực
tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.

Chứng minh rằng HK  IJ

28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc nhau tại S. Gọi

M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM  A’B’

<b>29</b>.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn :
a) . = .

b) MA2_{+ . + . = 0}

c) MA2_{= .}

d) (+ ).(+ ) = 0
e) ( – ).(2 – ) = 0

<b>30</b>.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H là hình chiếu của A trên
.Với mỗi điểm M trên , ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2_{. Tìm quĩ}

tích các điểm N

<b>31</b>.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau tại M,gọi P
là trung điểm đoạn thẳng AD.

Chứng minh rằng MP  BC  .= .

<b>32</b>*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
(.) + (.) +(.) =

<b>33</b>.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =
N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân

<b>34</b>.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên dây
cung đó. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’)

<b>35</b>.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các
góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o_{.Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt}

đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng:
MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’

<b>36</b>*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua
đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB

a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vng tại
D.Tính diện tích tam giác đó.

b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vng tại
M.Tính diện tích tam giác đó.

c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD

<b>37</b>.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
a) + = +

b) . = .

c) MA2_{+ MC}2_{= MB}2_{+ MD}2

d) MA2_{+ . = 2.}

<b>38</b>.Cho tam giác ABC và các hình vng ABED, ACHI ,BCGH
Chứng minh rằng :

a) (+ ).= 0
b) (+ + ).= 0
c) + + =

d) + + =

<b>39</b>.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh
BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN

a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và

b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM  CN

<b>40</b>.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một
điểm tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{= 6R}2

b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh

<b>41</b>*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

a) cosMOˆA1 + cosMOˆA2 + …+ cosMOˆA6= 0

b) MA12 + MA22+ …+ MA62 là một hằng số ( = 12R2)

<b>42</b>*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất
kỳ trên đường tròn

a)Chứng minh rằng : MA2_{+ MB}2_{+ MC}2 _{= 6R}2

b)Chứng minh rằng : MA2_{+ 2. = 3R}2

c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC

<b>43</b>.Cho tam giác ABC có A = 60o_{,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC}

a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A

<b>44</b>*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng:
(.)+ (.)+ (.) =

<b>45</b>.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o_{nội tiếp trong đường}

tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC
a)Tính .

b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và
c)Chứng minh rằng IE  CD

<b>46</b>.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
AC, BD, BC và AD. Đặt = , = , =

a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – )

b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB  CD.Điều ngược lại có đúng
khơng?

<b>47</b>.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là
điểm thỏa + 3 – 2 =

a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành

b)Tính . theo a ,b ,c

c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng :

MA2_{+ 3MB}2_{– 2MC}2_{= 2MI}2_{+ IA}2_{+ 3IB}2_{– 2IC}2

d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức
MA2_{+ 3MB}2_{– 2MC}2_{nhỏ nhất}

<b>48</b>.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý

a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 khơng phụ thuộc vị trí điểm M

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
2MA2_{+ MB}2_{– 3MC}2_{= 2.}

c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2_{+ MB}2_{= 3MC}2

<b>49</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)

Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A

<b>50</b> .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H

<b>51</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và
D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân

<b>52</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác

b)Tính góc B của tam giác ABC

<b>53</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M
thay đổi trên trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ nhất của

<b>54</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng
minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn

<b>55</b>.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5).
Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn

</div>

<!--links-->