SKKN: Phân loại, chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản của phân số

- 1 -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MƠN TỐN
Đề tài

“Phân loại, chọn phương pháp giải
những bài tốn về phân số và tính
chất cơ bản của phân số ”

Giáo viên thực hiện
Nguyễn Thị Mai Phương


- 2 -

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1. Mơn tốn ở trường tiểu học là một mơn học quan trọng cùng với những mơn
học khác hình thành và phát triển nhân cách cũng như trí tuệ của học sinh.
2. Mơn tốn là mơn học phổ thơng, trong đó phân số được dạy ở tiểu học thơng
qua các ví dụ cụ thể. Học xong học sinh mơ hồ trong “cái gọi”là đơn vị. Các em có thể
hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất
lúng túng kể cả những bài tốn mang tính đại trà.
Ví dụ: Bài tốn viết số a dưới dạng phân số có mẫu số cho trước, bài tốn tìm x
dạng

x b
= . Cao hơn nữa là những bài toán về chuyển động, những bài toán tính diện
a c

tích, thể tích có chứa đựng yếu tố phân số, những bài toán chia phần thực tế.
Những hạn chế nói trên có nhiều nguyên nhân khách quan và chủ quan. Thiết
nghĩ để khắc phục tình trạng này khơng có nghĩa là đưa những lý thuyết cao xa vào
giảng dạy. Dựa trên thực tế hiện nay có các loại hình lớp học nhiều buổi/tuần, 2
buổi/ngày, giáo viên có thể củng cố khắc sâu có thể nâng cao kiến thức phân số cho
học sinh bằng cách giới thiệu các bài tốn có nội dung phân số theo một hệ thống và
có chủ định. Qua từng bài tốn ấy học sinh củng cố, nâng cao kiến thức phân số. Cũng
qua những bài toán ấy các em phát huy được tư duy tốn học, tổng hợp những kiến
thức đã biết xử lí (giải) bài toán phân số tốt hơn.
Trên cơ sở những lí luận và thực tiễn nói trên tơi mạnh dạn đưa ra ý tưởng
“Phân loại, chọn phương pháp giải những bài tốn về phân số và tính chất cơ bản của
phân số ” để đồng nghiệp cùng tôi nghiên cứu áp dụng bồi dưỡng nâng cao chất lượng
học sinh giỏi.


- 3 -

2. Mục đích nghiên cứu
- Điều tra những khó khăn sai lầm của học sinh trong q trình giải các bài tốn có
cấu tạo phân số từ đó hệ thống các dạng bài có cấu tạo số thập phân và định hướng
phương pháp giải
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể : Những bài tốn có cấu tạo phân số
3.2 Đối tượng : Các bài toán về cấu tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp điều tra
+ Phương pháp phân tích tổng hợp
+ Phương pháp đàm thoại

+ Phương pháp thực nghiệm.
6. Phạm vi giới hạn nghiên cứu:

+ Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong sách
giáo khoa lớp 4,5.

+ Tìm phân dạng những bài tốn liên quan đến phân số tính chất cơ bản phân số.
+ Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài tốn nói trên.
+ Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh giải hay
những bài tốn nói trên.

+ Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng.


- 4 -

Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Mục tiêu giáo dục toán học ở Tiểu học
Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở lớp 5.
Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương đúng một
phép chia hai số tự nhiên. Phân số ghi một giá trị được so sánh với một đơn vị nào đó.
Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các tình huống, các bài
tốn có ý nghĩa thực tế. Chính vì thế phát huy tối đa tư duy toán học giúp các em nắm
chắc phần này cần phải có những bài tốn cụ thể trên cơ sở kiến thức cơ bản về phân
số. Mặt khác thực tế cho thấy nếu học sinh nắm chắc về phân số sẽ có khả năng học tốt
các bài tốn về diện tích, bài tốn thực tế, có kỹ năng thực hành những yếu tố chứa
đựng kiến thức phân số.
2.Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học
Việc học phân số ở tiểu học là một chủ đề quan trọng trong chương trình lớp 4và

lớp 5. Nội dung dạy học phân số gồm 3 phần chính:
+ Phân số và tính chất cơ bản của phân số
+ Bốn phép tính về phân số
+ Giải tốn về phân số
Trong đề tài này tơi chỉ xin tìm hiểu một phần nhỏ đó là
2.1. Bài tốn về phân số và tính chất cơ bản là một trong các dạng tốn khó đối
với học sinh xoay quanh về khái niệm phân số và vận dụng tính chất cơ bản của phân
số.
2.2. Yêu cầu đối với học sinh khi giải bài tốn về phân số và tính chất phân số đó
là hiểu được khái niện phân số vận dụng nhuần nhuyễn các ứng dụng của tính chất cơ
bản của phân số đã được học như: rút gọn phân số, quy đồng mẫu số, so sánh phân số...
2.3. Các bài tốn về phân số và tính chất cơ bản của phân số
+ Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
+ Các bài toán về cấu tạo phân số.
+ Các bài toán về so sánh phân số.
Chương 2: Thực trạng giải những bài tốn về phân số và tính chất cơ bản phân số
1. Nhận định chung
Giải bài tốn có cấu tạo, khái niệm phân số có một số lượng khá lớn trong chương
trình lớp 4&5. Kết quả của hoạt động giải toán cũng là cơ sở để đánh giá kết quả môn


- 5 -

học tốn . Song các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào
giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài tốn mang tính đại trà. Tơi
thiết nghĩ các bài tốn có cấu tạo phân số là một trong những dạng khó.
- Đối với giáo viên: còn nhiều vấn đề tranh luận về nội dung và phương pháp giải
các bài toán về cấu tạo, khái niệm phân số.
- Đối với học sinh ở lứa tuổi tiểu học: hoạt động nhận thức chủ yếu dựa vào hình
dạng bên ngồi, chưa nhận rõ thuộc tính đặc trưng của vật. Do đó học sinh rất khó khăn

trong việc nhận thức khái niệm phân số khá trừu tượng. Dẫn đến giải các bài tốn có
cấu tạo phân số chưa đạt kết quả cao.
- Đối với sách giáo khoa mới chỉ giới thiệu trẻ những lý thuyết về phân số khái
niệm, cấu tạo chưa quan tâm đến những bài toán. Điều này sẽ rất là thiếu sót đối với
những học sinh có khả năng muốn tìm hiểu sâu hơn về phân số ngay ở bậc Tiểu học.
Chính vì thế tơi dành nhiều thời gian nghiên cứu, tham khảo tài liệu. Trong q trình
nghiên cứu tơi đã tiến hành khảo sát chất lượng giải các bài tốn có cấu tạo phân số cho
học sinh khá giỏi tại lớp 5 của trường Tiểu học Nghĩa Đô kết quả thu được như sau:
Điểm 9-10

Điểm 7- 8

Điểm 5-6

Điểm 3 - 4

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

10

28%

12

33%

12

33%

2

6%

2. Những khó khăn sai lầm của học sinh khi giải toán về cấu tạo phân số.
Trước kết quả khảo sát chất lượng bài tập về cấu tạo phân số cịn q thấp , tơi
tiến hành đi tìm hiểu ngun nhân thì được biết lí do chủ yếu sau :
+ Học sinh chưa hiểu hết về khái niệm phân số.
+ Nhiều dạng bài có tính trừu tượng dẫn đến không phân loại nhận dạng được
cách giải.
Nên học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi giải những bài tốn có cấu tạo phân số.


- 6 -

Chương 3: Giải pháp

Trước những thực trạng giải tốn có cấu tạo phân số của học sinh như đã nêu trên
tôi tiến hành biện pháp phân loại chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và
cấu tạo phân số cho học sinh để giúp học sinh học tốt hơn khi dạy dạng toán này.
Biện pháp 1: Giúp học sinh hệ thống kiến thức về phân số và tính chất cơ bản
của phân số .
1. Phân số
+ Viết

a
được gọi là một phân số gồm:
b

- b: (dưới dấu gạch ngang) mẫu số chỉ số phần bằng nhau được chia ra của một đơn
vị (một cái bánh, một hình vuông, một mảnh ruộng)
- a: Tử số (viết trên dấu gạch ngang) chỉ số phần lấy đi trong b phần bằng nhau
được chia ra. Đọc
+ Phân số

a
3
(a trên b). Nếu đọc là “Ba phần tư”
b
4

a
a
là thương đúng của phép chia a cho b (a: b = ). Vậy có thể coi dấu “
b
b

–’’ là dấu chỉ phép chia.
+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn số.
Ví dụ:

7
1
= 2 đọc “hai một phần ba”
3
3

+ Các phân số có mẫu số là 10, 100, 1000, ... được gọi là các phân số thập phân
2.Các tính chất về phân số:
- Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên khác
khơng thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Ví dụ:

3
3× 2
6
=
=
7
2×2
4

20 20 : 2 10
=
=
12 12 : 2 6

3.ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số:
3.1.Rút gọn phân số
Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số thì ta chia cả tử
số và mẫu số cho số ấy được một phân số mới bằng phân số ban đầu. Việc ấy gọi là rút
gọn phân số.
Ví dụ:

46 46 : 2 23
=
=
36 36 : 2 18

* Một phân số không rút gọn được gọi là phân số tối giản. (Không cùng chia
hết cho một số nào)


- 7 -

Ví dụ:

23
18

3.2.Quy đồng mẫu số
- Quy đồng mẫu số là làm cho các phân số ấy có mẫu số bằng nhau (chung)
- Quy đồng mẫu số:
+ Bước 1: Tìm mẫu số chung
+ Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số được một giá trị gọi là thừa số phụ
+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số phụ tương
ứng

- Cách tìm mẫu số chung: Nhân tất cả các mẫu số lại với nhau.
3.3. So sánh phân số
3.3.1. Quy tắc 1:
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn một
- Phân số có tử số bằng mẫu số thì bằng một.
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì bé hơn một
3.3.2. Quy tắc 2:
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
3.3.3. Cách so sánh hai phân số:
- Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2.
4. Các kiến thức bổ sung
4.1. Cách tìm mẫu số chung
- Cách 1: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy ln mẫu số
ấy làm mẫu số chung.
- Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4... cho đến khi được số chia
hết cho tất cả các mẫu số cịn lại thì lấy đó làm mẫu số chung.
4.2. Các cách so sánh phân số khơng qui đồng
- Phân số a, b, c có a > b và b > c thì a > c
- Các phân số a và b là những phân số nhỏ hơn 1.
a + x =1
b + y =1
x, y gọi là phần bù của phân số a, b
+ Nếu x > y thì a < b
x < y thì a > b
- Các phân số a và b là những phân số lớn hơn 1.
a - 1= x
x, y được gọi là phần hơn của các phân số a và b
b - 1= y
+ Nếu x > y thì a > b

x < y thì a < b
- So sánh phân số bằng cách đưa các phân số về hỗn số.
+ Tách phần nguyên nếu phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn.


- 8 -

+ Tách phần nguyên: Nếu phần nguyên bằng nhau so sánh phần phụ(chọn một
trong các cách so sánh ở trên) phân số nào có phần phụ lớn hơn thì lớn hơn.
- So sánh bằng cách rút gọn các phân số.
4.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số
- Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị
và bớt ở số hạng kia đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng khơng thay đổi.
- Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở các số bị trừ và số trừ một số đơn vị như nhau
thì hiệu số không thay đổi.
-Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó (mẫu số
lớn hơn khơng) và giữ ngun mẫu số thì giá trị của phân số tăng thêm một đơn vị.
- Khi bớt ở tử số một phân số lớn hơn một, một số bằng mẫu số của phân số đó giữ
ngun mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị.
- Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ ngun mẫu
số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần.
Biện pháp 2: Các bài tốn về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số
*Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
Bài 1: Viết số tự nhiên 6 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 5;11;12;100.
Giải: 6 viết thành

6
6×5
30
=

=
1
1× 5
5

Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết:
Giải:

tương tự có :

66 72 600
,
,
11 12 100

x 12
4
28
=
;
=
5 25 x
21

4 4 × 5 20
=
=
, Vậy x = 20
5 5 × 5 25
12 28

28 28 : 7 4
=
mà
=
=
Vì :
x 21
21 21 : 7 3
4 4 × 3 12
= , Vậy x=9
Mà =
3 3× 3 9

Bài 3: Có 7 cái bánh chia đều cho 12 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái bánh
không cắt quá 5 phần.
Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau. Lấy 4 cái bánh cắt mỗi
cái thành 3 phần bằng nhau. Mỗi ngươi lấy

1
1
cái bánh và cái bánh.
3
4

*Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
17
. Hỏi phải bớt ở tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu số
28
1
bấy nhiêu đơn vị thì được phân số mới, rút gọn phân số mới ta được phân số .

2

Bài 1: Cho phân số

Giải:Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới khi chưa rút gọn là: 17 + 28 = 45
Tổng của tử số và mẫu số khi rút gọn là: 1 + 2 = 3
Vậy số lần giản ước: 45 : 3 = 15 lần


- 9 -

Phân số khi chưa giản ước :

1 × 15
15
=
2 × 15
30

Số cần tìm là: 17 – 15 = 2.
Đáp số 2.
Bài 2: Cho phân số:

23
. Hỏi:
83

a) Cùng phải bớt ở tử số và mẫu số của phân số đã cho bao nhiêu đơn vị để được
1
4

Giải: Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 83 - 23 = 60 cùng thêm, cùng bớt ở cả tử số và
mẫu số nên hiệu phân số mới chưa giản ước là: 60.
Hiệu giữa tử số và mẫu số khi giản ước là: 4 – 1 = 3
Số lần giản ước là : 60 : 3 = 20 lần.
Vậy phân số mới chưa giản ước là:

1 × 20 20
=
4 × 20 80

Số cần tìm là: 23 - 20 = 3
Đáp số 3.
a
giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu:
b
a+b
).
a. Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b (
b
a+a
).
b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a (
b
a
c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b
b
a −b
).
(

b
a
một số chính bằng b mà mẫu số giữ
Giải a. Khi ta thêm vào tử số của phân số
b
a b a+b
a
a+b
. Vậy phân
nguyên, chứng tỏ ta đã thực hiện phép cộng: + =
hay + 1 =
b b
b
b
b
a
số tăng lên một đơn vị
b

Bài 3: Cho phân số

b. Thêm vào tử số a một số chính bằng a ta có:

a a a+a a
+ =
= ×2
b b
b
b
a

Vậy phân số tăng lên 2 lần
b
a
a b a−b a
= −1
c. > 1 hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: − =
b
b b
b
b


- 10 -

Vậy phân số

a
giảm đi 1 đơn vị.
b

Bài 4: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:
a. Nhỏ hơn đơn vị
b. Lớn hơn đơn vị
c. Bằng đơn vị
Giải:
a.

1 11 3
;
;

2 14 4

b.

7 5 99
; ;
4 3 11

c.

3 4 111
; ;
3 4 111

Bài 5: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là phân
số thập phân.
5 9 113
131
60 51 363
; ;
;
;
;
;
2 4 50
125
48 12 250

Giải:
5 25

5
9 225
25
=
=2 ;
=
=2
;
2 10
10
4 100
100
131 524 1048
48
=
=
=1
125 500 1000
1000

113 226
26
=
=2
50
100
100
303
1425
425

=
=1
250
1000
1000

*Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui
đồng.
Bài 1: Không qui đồng mẫu số so sánh các cặp phân số sau:
3737
37
và
4141
41
9
7
d) và ;
5
6

a.

Giải:
a.
b)
c)
1d)

e)

g)

b)
e)

12
13
và
13
12

2000
2
và
10000
5

g)

c)
17
9
và
5
4

13
27
và
;

27
47
10
13
f.
và
3
4

3737 3737 : 101 37
37 37 ×101 3737
=
=
hoặc
=
=
41 41× 101 4141
4141 4141 : 101 41
2000 2
2 1000 × 2 2000 2000
=
=
>
. Vậy
<
5 1000 × 5 5000 10000
10000 5
13
27
và

Nhận xét có: 27 - 13 = 41 - 27 = 14
41
27
14 14
13 14
27 14
13 27
<
=
và 1- =
. Do
nên
<
27 27
41 41
27 21
27 41
9
7
9 9
9 7
và Có >
Vậy
>
5
6
5 6
5 6
9 7
>

6 6
12
13
13
13 12
và . Ta có
>1
Vậy . >
13
12
12
12 13
12
1>
13
17
2 9
1
17
9
1
2
17 9
= 3 ; = 2 . Mà 3 > 2 Vậy: 3 > 2 hay
và . Ta có
>
5 4
5
4
5

5 4
4
4
5


- 11 -

10
13
10
1 13
1
1
1
10 13
và . Ta có.
=3 ;
= 3 . Mà 3 > 3 . Vậy
>
3
4
3
3 4
4
3
4
3
4
1

1
Bài 2: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau: và
2
3
1 6
1 4
6
5
4
1 5 1
mà
Ta có = ;
=
>
> . Vậy >
>
2 12
3 12
12 12 12
2 12 3

f.

Biện pháp 3: Giúp học sinh tìm ra những thủ thuật nhận dạng để giải các bài
toán về cấu tạo, so sánh phân số.
1. Các bài toán về cấu tạo phân số đưa về dạng toán điển hình.
- Một số bài tốn về cấu tạo phân số mà khi giải bài tốn đó thực chất là giải các
bài tốn.
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số.

- Trước khi thực hiện giải bài toán người giải tốn cần phân tích, thực hiện các
bước trung gian để chuyển bài tốn có “hình thức phân số” sang giải các bài tốn điển
hình.
17
. Hãy tìm một số sao cho đem tử số trừ đi số đó, đem
3
1
mẫu số cộng với số đó ta được phân số mới bằng phân số tối giản .
3
17 − a 1
Nhận xét: Tìm số a sao cho
= . Thực chất là tìm a, nhưng muốn tìm được
3+ a 3
17 − a
a thì phải tìm được phân số
. Mặt khác ta có 17 + 3 = (17 - a) + (3 + a) = 20. Vậy
3+ a
1
bài tốn đưa về là tìm 2 số (17 - a ) và (3 + a) biết tổng của chúng là 20 và tỉ số là .
3

Ví dụ 1: Cho một phân số

Giải: Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 17 + 3 = 20.
Khi trừ ở tử số đi bao nhiêu đơn vị và cộng thêm vào mẫu của nó đi bấy nhiêu
đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi nên vẫn là 20.
Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:
Tử số mới:
20
Mẫu số mới:

Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)
Tử số mới là: 20 : 4 = 5
Mẫu số mới là: (20 : 4) × 3 = 15
Phân số mới

5 1
=
15 3

Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12
Đáp số 12:


- 12 23
. Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị
21
5
để được một phân số mới có giá trị bằng .
3

Ví dụ 2:

Cho phân số

Nhận xét. Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A- C) - (B - C) có nghĩa là khi
cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng khơng thay đổi. Đưa
A
thì hiệu của tử số và mẫu số khơng thay đổi. Vậy bài tốn
B
A 5

thực chất là tìm 2 số A, B sao cho hiệu A - B = 33 – 21 = 12 và tỉ số = .
B 3
33
đi cùng một số thì hiệu
Giải: Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số
21

A, B về dạng một phân số

giữa chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12. Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết
hiệu chúng là 12 và tỉ số là

5
. Theo đề bài ra ta có sơ đồ sau:
3

Tử số mới:
Hiệu số mới:
Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần)
Mẫu số mới: (12: 2) × 3 = 18
Phân số mới:

1
2

30 5
=
18 3

Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3

2. Một số thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về so sánh các phân số.
Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng cách
quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song trong
phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra phương
pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng mẫu số.
(Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài tốn dạng này ngồi việc rèn cho học
sinh kĩ năng còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực, nhân cách mỗi học
sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn.
2.1. Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian
Ví dụ 1: Khơng quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
1999
2002
1999
2000
và
b)
và
2000
2001
2000
2001
1999
2002
Giải: a.
và
2000
2001
1999
Nhận xét:
có 1999 < 2000

2000
2002
có 2002 > 2001
2001

a)

Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh.


- 13 2002
1999
<1 <
2001
2000
1999 2000
b)
<
2002 2001

1999 2002
<
2000 2001

Ỉ

Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ hơn 1 (1999 < 2002,
2000 < 2001). Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm ra
yếu tố, dấu hiệu so sánh. Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân số. Ví
dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2…

Nhận xét: Tử số 1: 1999 < Tử số 2: 2000
Mặt khác MS1 2002 > MS2 2001 chọn phân số trung gian là:
1999
2001

hoặc

TS 2
2000 TS1
(
hoặc
)
2002 MS 2
MS1

Giải:
Do

1999 1999
<
2002 2001
1999
2000
<
2001
2001

nên Ỉ

1999 2000

<
2002 2001

* Vậy những cặp phân số như thế nào có thể áp dụng cách so sánh qua trung
gian?
a
c
và nếu a > b và c > d thì yếu tố trung gian là 1
b
d
a
c
c
a
+ và nếu a < c và b > d thì yếu tố trung gian là và
d
b
b
d

+

* Xét thấy học sinh đã thành thạo đối với những bài tốn cụ thể này giáo viên có
thể bồi dưỡng học sinh qua bài toán tổng quát để giúp học sinh có thể tự ra đề tốn cho
bạn bè.
Ví dụ 2: Cho phân số

a
thêm 1 vào tử số và bớt 1 ở mẫu số ta được phân số lớn
b

hơn hay nhỏ hơn phân số ban đầu, giải thích cách làm khơng dùng quy đồng mẫu số.
a
a
<
b
b −1
a
a +1
<
b −1 b −1

Giải: Do:

nên:

a
a +1
<
b
b −1

* Từ bài tốn này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi hoặc
cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp phân số
cần so sánh.
2.2. Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần hơn
Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua việc so
sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử số, mẫu số
phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng. Từ đó chọn phương
pháp so sánh hợp lí nhất.

Ví dụ 1: Khơng quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:


- 14 -

a)

19
11
và
17
25

19
11
và
17
25
11 6
Có 1=
17 17
19
6
1=
25
25
501
212
và
b)

399
110
501
102
Có
−1=
399
399
212
102
−1=
110
110

b)

501
212
và
399
110

Giải: a)

Do:

6
6
19
11

nên:
<
>
17
25
25
17

Do:

102 102
nên:
<
399 110

501 102
<
399 110

* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thơng qua
phần bù hay phần hơn ?
- Sử dụng cách so sánh phần bù nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa
mẫu số và tử số của hai phân số ấy đều bằng nhau.
- Sử dụng cách so sánh phần hơn cả hai phân số đều lớn hơn 1 và hiệu giữa tử số
và mẫu số của hai phân số ấy đều bằng nhau
* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:
- Chọn một phân số

a
tối giản.

b

- Tìm hiệu a – b hoặc b – a giả sử hiệu là e.
c
tối giản có hiệu (c - d) hoặc (d – c) là e
d
a
c
Ta có: Cặp 2 phân số
và
cần so sánh khơng quy đồng bằng cách so sánh
b
d

- Chọn một phân số

phần bù hoặc phần hơn.
2.3. Những bài tốn về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần
nguyên).
* Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số?
- Những cặp phân số lớn hơn 1.
Ví dụ: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
13
18
17
21
…
b)
…
3

4
5
6
1
13
1
18
1
1
Giải: a)
hay 4 < 4
= 4 và
=4
3
3
4
2
3
2
2
17
2
21
3
1
2
2
b) = 3 và
= 3 = 3 = 3 .Vậy 3 < 3
5

5
6
6
2
4
4
5

a)

* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần nguyên
bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã đề cập ở trên.


- 15 -

2.4. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc
biệt.
Ví dụ: So sánh những phân số sau:
- Có

171 171 × 1001 171171
=
=
623 623 × 1001 623623

171171
171
và
623623

623

- Những bài tốn dạng này đã theo một quy tắc nhất định có:
ab ×101 = abab
abc x 1001 = abc abc
abc x10101= abab
3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần
* Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài tốn kiểu
này ta cần tìm ra quy tắc ra đề tốn từ đó đi ngược lại có cách giải.
- Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao cho
số lần cắt là ít nhất. ( dạng bài 3 trang 8)
- ở dạng toán này người ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia (Ví
dụ: Cái bánh, quả cam, …). Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: như 5, 7, 9, 11,
… Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng số lượng trên sao cho các số là nhỏ nhất. Ví
dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6 = 11; …từ đó mới định ra số người cần chia
bằng cách nhân 2 số đã chọn. Ví dụ: 3 × 2 = 6; 4 × 3 = 12, … Cuối cùng định số phần
chia ít nhất cho một yếu tốt phải chia.
Ví dụ: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái
bánh không cắt quá 6 lần.
Giải: Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau. 6 cái bánh còn lại mỗi
cái cắt thành 5 phần bằng nhau. Chia mỗi người

1
1
và cái bánh.
5
6

4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính ngược từ
cuối trong giải các bài toán về phân số

* Những bài toán đưa ra một số lượng của một yếu tố thực tế ( quả cam, quả
táo, hòn bi, số người, …). Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu cầu
tính số lượng ban đầu.
- Từ số lượng cịn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt
đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu (bước làm này là tính ngược từ cuối). Để dễ diễn
giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để minh hoạ.
Ví dụ1 : Một phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo “Trong lớp thầy có bao nhiêu học
sinh?”. Thầy cười trả lời: “ Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một
nửa số đố rồi lại thêm

1
số đó rồi thêm cả con q vị nữa thì vừa đúng 100”. Em tính
4

giúp vị phụ huynh học sinh?
- Phân tích:
Nếu trừ con của phụ huynh thì theo lời thầy giáo ta có 100 -1 = 99 (em). Vậy theo
đầu bài ta có sơ đồ sau:
? em
Số học sinh của lớp:

99 em


- 16 -

Thêm số học sinh hiện có:
1
số học sinh:
2

1
Thêm số học sinh:
4

Thêm

Giải: Nếu coi số học sinh của lớp là 4 phần bằng nhau thì
phần,

1
số học sinh sẽ là 2
2

1
số học sinh sẽ là 1 phần như thế.
4

Theo sơ đồ ta có phần bằng nhau là:
4 + 4 + 2 + 1 = 11 (phần)
Số học sinh của lớp là: (99:11) × 4 = 36 (em)
Đáp số: 36 em
Ví dụ 2: (Bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”)
Bà nội có một số cam
Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần
Số cam còn lại đem phân
Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm
Số cam còn lại tặng Lâm
Lâm chia đơi để biếu Ơng một phần
Bổ ra một quả Lâm ăn
Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung

Đố các bạn nhỏ tính cùng
Số cam Bà đã chia chung cả nhà?
1
3
cịn chia 3 cho Tâm
4
4
3
1
2
2
1
1phần; Tâm nhận : 3 = (số cam) cịn
tặng Lâm. Ơng nhận : 2 = số cam còn
4
4
4
4
4
1
số cam Lâm ăn 1 quả còn phần Nhung 2 quả.
4

* Phân tích: Bà có một số cam chia làm bốn. Lan nhận

Giải: Theo đề bài ra ta có sơ đồ:
Lan

Tâm

Ơng

1qu 2qu

Lâm
1
số cam cịn lại của Lâm: Lâm ăn 1 quả còn Nhung 2quả.
4
Tổng cộng: 1 + 2 = 3 (quả)
Vậy số cam của Bà là 3 × 4 = 12 (quả)
Đáp số: 12 quả
* ở những bài toán dạng này khi tiến hành giải toán người giải đi từ những dữ kiện ban
đầu dẫn đến số đã cho ở cuối bài tốn bước này ta gọi là phân tích và trên thực tế là bước vẽ sơ đồ. Sau khi phân tích xong từ sơ đồ kết hợp với số liệu đã biết bài tốn được
tính ngược từ cuối (bước … tổng hợp). Tồn bộ những bài tốn được tiến hành như


- 17 -

vậy là đã sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trên cơ sở phương pháp cơ bản là
phân tích tổng hợp.
5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải tốn – Phạm
Đình Thực) vào giải những bài tốn về phân số
* Muốn tìm một giá trị chưa biết ta gán cho nó một giá trị cụ thể nào đó trên cơ sở
của đề tốn. Sau đó tính tốn ra một giá trị sai khác theo điều kiện của bài tốn, rồi tìm
cách chỉnh cho đúng với điều kiện bài toán giá trị chỉnh được đó là đáp số của bài tốn.
* Đối với những bài tốn về phân số áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối
(mục 4) đều có thể áp dụng thủ thuật này:
- Chẳng hạn ở ví dụ 2 trang 18
+ Theo bài ra: Tổng số học sinh hiện có và thêm bằng số học sinh có và
học sinh và

1
số
2

1
số học sinh thì bằng 100 -1 = 99 (em)
4

+ ở đây ta cần tìm số học sinh của lớp. Vậy ta gán cho nó một giá trị tuỳ ý. Để
dễ tính toán ta chọn số chia hết cho 4. Giả sử số học sinh là 12:
1
số học sinh là: 12 : 2 = 6 (em)
2
1
- số học sinh là: 12 : 4 = 3 (em)
4

-

Vậy theo bài ra ta tính được tổng như sau: 12 + 12 + 6 + 3 = 33 (em). Nhưng
thực tế tổng ấy là 9 em gấp 3 lần 33. Vậy ta chỉnh giá trị 12 cho đúng. Giá trị này sẽ
phải tăng 3 lần thì đúng.
Vậy số học sinh của lớp là: 12 × 3 = 36 (em)
Đáp số 36 em
* Chú ý: Có thể chọn bất kì giá trị nào khác 12. Xong ta để ý đây là số học sinh
nên không thể là số thập phân vậy chọn số chia hết cho 4 tuỳ ý. Ví dụ: 16; 20; 24; …
Ví dụ: (Bài 7 trang 17 sách “vui học tốn 5”)
- Thưa ơng Pi - ta - go lỗi lạc, trường ơng có bao nhiêu môn đồ?
Nhà hiền triết trả lời:

- Một nửa học toán, một phần tư học nhạc, một phần bẩy ngồi suy nghĩ và ngồi
ra có 6 phụ nữ.
Em hãy tính số mơn đồ của nhà hiền triết Pi - ta - go.
* Nhận xét:
ở đây số cần tìm là môn đồ của Pi - ta - go theo lời của ơng thì số mơn đồ là số
chia hết cho cả 4 và 7:
Giải:
Giả sử chọn số môn đồ là: 28 người ( vì 4 × 7 = 28)
Một nửa học toán là:
28 : 2 = 14 (người)
Một phần tư học nhạc là: 28 : 4 = 7 (người)
Một phần bẩy suy nghĩ là: 28 : 7 = 4 (người)
Vậy số người còn lại là phụ nữ là: 28 - 14 - 7 - 4 = 3 (người)
Thực tế phụ nữ còn lại là 6 người gấp 2 lần 3 người.


- 18 -

Vậy số môn đồ của Pi - ta - go là: 28 × 2 = 56 (người)
Đáp số 56 người


- 19 -

Chương 3: Kết quả thực nghiệm
Sau khi học sinh được học xong về cấu tạo và khái niệm phân số để khắc sâu về
các kiến thức này bằng cách cho học sinh làm các bài tập dạng 1, dạng 2. ở từng dạng
toán tiếp theo các em được nhận dạng, được định vị phương pháp. Các dạng toán tiếp
theo được giới thiệu tiếp trong các tiết bồi dưỡng và tăng buổi. Với cách thức tiến hành
như trên kết quả thu được ở học sinh rất khả quan:

+ Học sinh nắm chắc về khái niệm, cấu tạo phân số.
+ Biết phân loại, nhận dạng và sử dụng phương pháp vào giải một bài toán liên
quan đến cấu tạo, khái niệm phân số.
+ Nắm chắc các bước tiến hành từng phương pháp được giới thiệu, có thủ thuật
giải tốn phù hợp.
+ Có kĩ năng phân tích tìm bản chất tốn học trong một bài toán.
+ Bồi dưỡng cho học sinh có tư duy lơgíc có khả năng (phân tích, tổng hợp, lập
luận có căn cứ) để học tốn.
+ Khi giải được những bài tốn các em đã có được khả năng lập luận, ứng dụng
xử lí những vấn đề trong cuộc sống.
- Với kết quả này đã khẳng định thành công bước đầu cho bài viết của tôi tuy
chưa cao xong nó mở ra một hướng cho học sinh giải toán ở giai đoạn tiếp.
- Với những đánh giá nhận định trên đã được khẳng định, minh chứng qua bài
trắc nghiệm và khảo sát sau:
1. Bài tập khảo sát:
Bài 1: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 3, 5, 112, 105
(2 điểm)
Bài2: Tìm số tự nhiên x biết

2 x 10 15
(2 điểm)
= ; =
3 54 x
6

Bài3: So sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp nhanh nhất:(2 điểm)
a.

29
17

và
15
32

b.

12
13
và
18
17

Bài 4: Có 9 quả cam chia đều cho 20 người. Hỏi phải chia như thế nào để mỗi
quả cam không bị cắt quá 5 phần. (1 điểm)


- 20 14
. Hãy tìm một số nào đó để khi cùng thêm số đó vào tử và
26
6
(2,5
mẫu số của phân số đã cho thì được một phân số mới có giá trị bằng phân số
9

Bài 5: Cho phân số

điểm).
Bài 6: Phát biểu lời bài toán theo số liệu sau:

15

15 − 7 1
nếu
= (0,5 điểm)
17
17 + 7 3

2.Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Đánh dấu x vào ô trống trước ý em cho là đúng.
- ở bài toán 1: Các kiến thức sử dụng để giải là:
a)+ Tính chất cơ bản của phân số.
…
b)+ Mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng một phân số.
…
c) + Thực hiện quy đồng mẫu số:
…
- ở bài toán 2
d). Chỉ sử dụng cách quy đồng mẫu số .
…
e). Sử dụng quy đồng mẫu số và rút gọn phân số. (4,5 điểm)
…
Câu 2: Nêu phương pháp ứng dụng để so sánh phân số ở bài toán 3. (3,5 điểm)
Câu 3: ở bài toán 5 cần xét hiệu hay tổng của tử số và mẫu số (2 điểm).
3. Kết quả
Với đề khảo sát cho học sinh khá giỏi tại lớp 5 của trường Tiểu học Nghĩa Đơ kết
quả thu được như sau:
G
Khảo sát
Trắc nghiệm

36

36

SL
17
15

K
%
47%
42%

SL
18
16

%
50%
44%

TB
SL
%
1
3%
5
14%

Đạt
SL
%

36
100
36
100

Nhìn vào bảng thống kê kết quả trách nhiệm và khảo sát cho thấy: Hiệu quả của
phương pháp áp dụng sáng kiến là rất khả quan, có thể bạn đọc cho rằng số liệu là khá
giỏi cịn ít. Song nhìn lại đề khảo sát và mức độ thời gian triển khai sáng kiến thì kết
quả thu được như trên là rất khả quan. Bởi lẽ kết quả bài trắc nghiệm với số lượng khá
tốt điều này cho thấy học sinh đã biết lựa chọn, áp dụng những kiến thức đã học, các
phương pháp, thủ thuật đã được biết để giải một bài tốn. Để có thể chọn đúng phương
pháp như vậy nếu được triển khai chu đáo từ năm học lớp 4 và ở các lớp 2 buổi/ ngày
chắc chắn hiệu quả rất tốt.


- 21 -

Kết luận Khuyến nghị
1. Kết luận
Với thực tiễn kinh nghiệm giảng dạy, vốn hiểu biết chưa được nhiều tôi mạnh dạn
đưa ra những biện pháp để hướng học sinh vào giải một số dạng toán chứa đựng yếu tố
phân số. Qua tổng hợp nghiên cứu thực nghiệm bước đầu thu được kết quả chưa cao,
song đã mở ra một hướng áp dụng có tính khả quan. Mong rằng trong giai đoạn tới có
được sự quan tâm của các đồng nghiệp để bài viết của tôi được khẳng định trong thực
tiễn. Hi vọng bài viết này ít nhiều đóng góp cơng sức nâng dần chất lượng giáo dục học
sinh. Rất mong được sự giúp đỡ, đóng góp của bạn bè đồng nghiệp và các thầy, cô cho
bài viết của tơi ngày càng hồn thiện.
2. Khuyến nghị
Trên cơ sở quan điểm chỉ đạo giáo dục hiện nay, kết hợp với mục đích của sáng
kiến, điều kiện thực tế tơi mạnh dạn đưa ra những kiến nghị như sau:

+

Đội ngũ người thầy: Giáo viên phải giàu về vốn kiến thức, có năng lực sư

phạm đầu tư nghiên cứu giảng dạy, lựa chọn phương pháp phù hợp với học sinh, với
kiến thức cần truyền tải (mức độ kiến thức, dạng bài, loại bài) tránh quá tải trong giảng
dạy.
+

Đối với các cấp quản lý giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về đổi mới

ph-

ương pháp, chuyên đề nội dung kiến thức ở phương pháp cần được đề cập một cách cụ
thể các thao tác kĩ thuật các bước, kĩ năng đặt câu hỏi để dạy một loại bài, dạng bài cụ
thể.
Trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 4 /2008
Người viết
Nguyễn Thị Mai Phương


- 22 -

Mục lục
Mở đầu
7. Lí do chọn đề tài
8. Mục đích nghiên cứu
9. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
10. Nhiệm vụ nghiên cứu

11. Phương pháp nghiên cứu
12. Phạm vi giới hạn nghiên cứu:
Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Mục tiêu giáo dục toán học ở Tiểu học
2.Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học
Chương 2: Thực trạng giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản phân số
1. Nhận định chung
2. Những khó khăn sai lầm của học sinh khi giải toán về cấu tạo phân số.
Chương 3: Giải pháp
Biện pháp 1: Giúp học sinh hệ thống kiến thức về phân số và tính chất cơ bản của
phân số .
1. Phân số
2.Các tính chất về phân số
3.ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số
3.1.Rút gọn phân số
3.2.Quy đồng mẫu số
3.3. So sánh phân số
3.3.1. Quy tắc 1:
3.3.2. Quy tắc 2:
4. Các kiến thức bổ sung
4.1. Cách tìm mẫu số chung
4.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng
4.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số
Biện pháp 2: Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số
Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui đồng.
Biện pháp 3: Giúp học sinh tìm ra những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán
về cấu tạo, so sánh phân số.

1. Các bài toán về cấu tạo phân số đưa về dạng tốn điển hình.
2. Một số thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về so sánh các phân số.
2.1. Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian
2.2. Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần hơn
2.3. Những bài tốn về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên).
2.4. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc biệt.


- 23 -

3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần
4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính ngược từ cuối trong
giải các bài toán về phân số
5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm Đình Thực)
vào giải những bài tốn về phân số
Chương 3: Kết quả thực nghiệm
1. Bài tập khảo sát:
2.Câu hỏi trắc nghiệm:
3. Kết quả
Kết luận Khuyến nghị
1. Kết luận
2. Khuyến nghị