Mở rộng một số bài toán hình học phẳng sang hình học không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Mã số: 8.46.01.13

MỞ RỘNG MỘT SỐ
BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Học viên: NGUYỄN THỊ LỆ MỸ
Người HDKH: TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN THỊ LỆ MỸ

MỞ RỘNG MỘT SỐ
BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Văn Dũng

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019






MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương

1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Tổng quan về không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Một số khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1.2. Ánh xạ trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Định hướng việc mở rộng bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Xem xét các đối tượng, các quan hệ toán học trong các mối liên hệ
giữa cái chung và cái riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Xem xét bài tốn theo nhiều góc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Chương

2. MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH

HỌC KHƠNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

S∆ABC : Diện tích tam giác ABC.
VSABC : Thể tích hình chóp SABC.
V(O,k) (Tâm O, tỷ số k) : Phép vị tự.
Đd (d là trục đối xứng): Phép đối xứng trục.
ĐI (I là tâm đối xứng): Phép đối xứng tâm.
ĐP (P là mặt phẳng): Phép đối xứng qua mặt phẳng.

Q(O,α) (O là tâm quay, α là góc quay): Phép quay.
→
−
−
T→
v ( v là vector tịnh tiến): Phép tịnh tiến.
p : Nửa chu vi của tam giác.
d (M, N ): Khoảng cách giữa hai điểm M, N.


1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong q trình dạy và học tốn, đối với học sinh phổ thơng thường chúng
ta phải phân tích, phán đốn các hướng giải quyết bài tốn, liên hệ giữa bài
tốn đó với các bài tốn quen thuộc, đơn giản hơn để có hướng giải quyết tương
tự. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi chúng ta lại có thể từ một bài tốn
đơn giản đi sâu phân tích, mở rộng, phát triển thành những bài tốn mới. Đặc
biệt, trong chương trình hình học ở Trung học phổ thông, việc khai thác được
các liên hệ giữa khơng gian hai chiều (hình học phẳng: Tổng hợp và tọa độ) và
khơng gian ba chiều (hình học khơng gian: Tổng hợp và tọa độ) giúp học sinh
giải quyết được nhiều vấn đề toán học phù hợp với nhiều đối tượng học sinh,
với nhiều mức độ kiến thức khác nhau, nội dung kiến thức này được xuất hiện
khá nhiều trong các kì thi: Khảo sát chất lượng, thi Học sinh giỏi các cấp, thi
Học sinh giỏi Quốc gia, ... Việc sử dụng phương pháp giải đối với một bài tốn
hình học phẳng để giải một bài tốn hình học khơng gian tương tự và mở rộng
một số bài tốn phẳng sang bài tốn trong khơng gian mới sẽ giúp hoạt động
giảng dạy và học tập mơn hình học đạt hiệu quả cao hơn.
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ
ngay chính cơng tác giảng dạy nội dung hình học trong trường phổ thông, tôi
quyết định chọn đề tài "Mở rộng một số bài tốn hình học phẳng sang
hình học khơng gian".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài.
- Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu, chọn lọc một số bài tập có thể mở
rộng, khái qt hóa.
- Trình bày lời chứng minh để khẳng định (hoặc bác bỏ) vấn đề đã mở rộng
để làm sáng tỏ bài toán mở rộng.
- Đưa ra lời giải tường minh, chi tiết cho một số bài toán mở rộng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các kiến thức về tổng quan không gian Euclid.

2

- Các kiến thức về định hướng việc mở rộng bài toán.
- Giải một số bài toán áp dụng việc mở rộng hình học phẳng sang hình học
khơng gian.
4. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: "Mở rộng một số bài tốn hình học phẳng sang hình học
khơng gian" tơi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:.
- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài
luận văn.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên
gia và của đồng nghiệp.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong hai chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1. Tổng quan về không gian Euclid.
1.1.1. Một số khái niệm cơ sở.
1.1.2. Ánh xạ trong không gian Euclid.
1.2. Định hướng việc mở rộng bài toán.
1.2.1. Xem xét các đối tượng, các quan hệ toán học trong các mối liên hệ
giữa cái chung và cái riêng.
1.2.2. Xem xét bài tốn theo nhiều góc độ.
Chương 2: MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG
SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
2.1. Ý tưởng.
2.2. Một số ví dụ minh họa.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu
tham khảo cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng và các đối tượng quan
tâm đến các kiến thức về mở rộng một số bài tốn hình học phẳng sang hình
học khơng gian.
Do thời gian thực hiện luận văn này không nhiều, và kiến thức còn phần hạn


3

hẹp nên mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng khơng thể tránh khỏi có những sai
sót trong q trình nghiên cứu và hoàn thiện đề tài. Rất mong được sự nhận
xét, đánh giá của quý thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.


4

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Tổng quan về không gian Euclid
1.1.1. Một số khái niệm cơ sở
Định nghĩa 1
Cho V là một tập khơng rỗng, trong đó xác định hai phép tốn:
i) Phép tính cộng (kí kiệu +):u, v ∈ V, u + v ∈ V
ii) Phép nhân với vô hướng: u ∈ V, k ∈ R, ku ∈ V
Các phần tử của R gọi là các vô hướng (số thực) và các phần tử của V gọi
là các vector. V được gọi là không gian vector trên trường số thực R nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) Tính giao hoán của phép cộng:

∀u, v ∈ V, u + v = v + u
ii) Tính kết hợp của phép cộng:

∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w)
iii) Tồn tại một phần tử không, ký hiệu là 0, thỏa mãn:

∀u ∈ V, u + 0 = u
iv) ∀u ∈ V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là −u, thỏa mãn:

u + (−u) = 0
v) ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R, k (u + v) = ku + kv
vi) ∀u ∈ V, ∀k, h ∈ R, (h + k) u = hu + ku
vii) ∀u ∈ V, ∀k, h ∈ R, h (ku) = (hk) u
viii) ∀u ∈ V, 1.u = u.
Định nghĩa 2


5

Khơng gian vector trên R, trong đó có thêm một tích vơ hướng được gọi là
khơng gian vector Euclid.
Định nghĩa 3
Một không gian affine thực được gọi là không gian Euclid nếu không gian
vector liên kết là một không gian vector Euclid.
Định nghĩa 4
Cho E n là một không gian Euclid n - chiều. Một mục tiêu affine của E n gọi
→
−
là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là cơ sở trực chuẩn của E n . Tọa

độ của điểm M ∈ E n đối với một mục tiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực
chuẩn.
Định nghĩa 5
- Khoảng cách giữa hai điểm M ,N trong E , ký hiệu d(M, N ), là độ dài của
−−→
−−→
vector M N : d(M, N ) = M N .
- Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong E , ký hiệu d (α, β) là số
inf d(M, N ). Như vậy d (α, β) = inf d(M, N ).
N ∈β,M ∈α

N ∈β,M ∈α

Định nghĩa 6

−
−
Góc của hai vector khác không →
u và →
v là số θ, 0 ≤ θ ≤ π , xác định bởi:
→
−
−
u .→
v
cosθ = →
−
−
u . →
v

Cho hai đường thẳng d1 và d2 trong E lần lượt có các vector chỉ phương là
π
→
−
−
u và →
v . Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là số θ, 0 ≤ θ ≤ , xác
2
định bởi:
−
−
|→
u .→
v|
cosθ = →
−
−
u . →
v
Góc giữa hai siêu phẳng α và β trong E n được định nghĩa là góc giữa hai
−
−
đường thẳng lần lượt trực giao với α và β . Nếu gọi →
n và →
m lần lượt là các pháp
vector của α và β , thì góc giữa hai siêu phẳng α và β tính theo công thức:
−
−
|→
n .→

m|
cosθ = →
−
−
n . →
m
.
Trong không gian E cho đường thẳng d và siêu phẳng α. Khi đó, góc θ
π
(0 ≤ θ ≤ ) giữa đường thẳng d và siêu phẳng α được định nghĩa là góc phụ
2


6

−
với góc giữa đường thẳng d và đường thẳng trực giao với α. Nếu gọi →
a là vector
→
−
chỉ phương của d và n là pháp vector của α thì θ được tính như sau:
−
−
|→
a .→
n|
sinθ = →
−
−
a . →

n
Định nghĩa 7

−
−
Cho m - hộp H xác định bởi điểm O và hệ m vector {→
w 1 , ..., →
w m }. Khi đó thể
−
−
−
tích của m - hộp H , ký hiệu V (H), được định nghĩa là số detGr (→
w 1, →
w 2 , ..., →
w m ).
→
−
→
−
→
−
Như vậy: V (H) = detGr ( w 1 , w 2 , ..., w m ).
Giả sử điểm M có tọa độ (x1 , ..., xn ) và điểm N có tọa độ (y1 , ..., yn ) đối với
−
mục tiêu trực chuẩn đã cho {O; →
e i } của E n . Khi đó:
n

(yi − xi )2

d (M, N ) =
i=1

1.1.2. Ánh xạ trong không gian Euclid
Định nghĩa 8
Cho E và E là hai không gian Euclid. Ánh xạ affine f : E → E gọi là
→
−
ánh xạ đẳng cự từ E vào E nếu f là ánh xạ tuyến tính trực giao. Nếu f là
→
−
song ánh, tức là f là một đẳng cấu tuyến tính trực giao, ta nói f là một đẳng
cấu đẳng cự. Khi đó E và E gọi là hai không gian đẳng cấu đẳng cự, ký hiệu
E∼
= E . Một tự đẳng cấu đẳng cự từ E vào chính nó gọi là một biến đổi đẳng
cự.
Định nghĩa 9 (Phép biến hình)
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P . khi đó mỗi hình H
bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của P và kí hiệu H ⊂ P .
Một song ánh f : P → P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng:

f: P →P
M →M
Điểm M = f (M ) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược lại
điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M qua phép biến hình f nói trên.
Nếu H là một hình nào đó của H thì ta có thể xác định tập hợp
H = {M = f (M ) /M ∈ H}. Khi đó H gọi là ảnh của hình H qua phép biến

7

hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình H qua phép biến hình f đó.
Phép biến hình f : P → P , biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là
phép đồng nhất. Kí hiệu:

e: P → P
M →M
Định nghĩa 10 (Phép dời hình)
Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Xét trong mặt phẳng:

−
Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng P cho →
v , phép biến hình biến mỗi điểm
−−−→ →
−
−
→
−
−
M thành M sao cho M M = v gọi là phép tịnh tiến theo →
v . Kí hiệu: T→
v, v
gọi là vector tịnh tiến.
−−−→ −
− = M ⇔ MM = →
Vậy: T→
v.
v

Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho đoạn thẳng M M nhận d
làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Kí
hiệu: Đd , với d là trục đối xứng.
−−−→
−−−→
Vậy: Đd (M) = M’ ⇔ M0 M = −M0 M (M0 là giao điểm của d với đoạn
thẳng M M ).
Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M trùng với M .
Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm I , phép biến hình biến
mỗi điểm M khác I thành điểm M sao cho I là trung điểm của đoạn M M gọi
là phép đối xứng tâm I . Kí hiệu: ĐI , điểm I gọi là tâm đối xứng.
−−→
−−→
Vậy: ĐI (M) = M’ ⇔ IM = −IM .
Phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác α, phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M
sao cho OM = OM , góc lượng giác (OM, OM ) = α gọi là góc quay tâm O,
góc quay α. Kí hiệu: Q(O,α) , O là tâm quay,α là góc quay.
Vậy: Q(O,α) (M ) = M ⇔

OM = OM
(OM, OM ) = α

Nhận xét:
- Phép quay tâm O, góc quay 00 là phép đồng nhất.


8

- Phép quay tâm O, góc quay π ; −π là phép đối xứng tâm O.
Định nghĩa 11 (Phép vị tự)
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số k = 0. Phép biến hình biến
−−→
−−→
mỗi điểm M thành M sao cho OM = k OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ
số k . Kí hiệu: V(O;k) , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
−−→
−−→
Vậy: V(O;k) (M ) = M ⇔ OM = k OM
Định nghĩa 12 (Phép đồng dạng)
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai
điểm M , N bất kì và ảnh M ,N tương ứng của chúng ta ln có M N = kM N .
Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

1
.
k
- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là một
phép đồng dạng với tỉ số k1 .k2 .
Xét trong không gian:
−
Phép tịnh tiến: Trong không gian P cho →
v , phép biến hình biến mỗi điểm
−−−→ →
−
−

M thành điểm M sao cho M M = v gọi là phép tịnh tiến theo →
v . Kí hiệu:
→
−
−
T→
v , v gọi là vector tịnh tiến.
−−−→ −
− (M ) = M ⇔ M M = →
Vậy: T→
v.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số

v

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến trong không gian: Trong không gian với
−
hệ tọa độ Oxyz, cho →
v (a; b; c), M (x; y; z), M (x ; y ; z ).


x = x + a
−
Khi đó, T→
y =y+b
v (M ) = M thì

z = z + c
Phép đối xứng trục: Trong không gian P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho đoạn thẳng M M

nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục
d. Kí hiệu: Đd , với d là trục đối xứng.
−−−→
−−−→
Vậy: Đd (M) = M’ ⇔ M0 M = −M0 M (M0 là giao điểm của d với đoạn
thẳng M M ).


9

Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M trùng với M .
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục trong không gian: Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M (x; y; z), M (x ; y ; z ).
Khi đó, nếu:


x =x
- ĐOx (M ) = M thì y = −y

z = −z


x = −x
- ĐOy (M ) = M thì
y =y

 z = −z


x = −x

- ĐOz (M ) = M thì y = −y

 z =z
Phép đối xứng tâm: Trong không gian cho điểm I , phép biến hình biến
mỗi điểm M khác I thành điểm M sao cho I là trung điểm của đoạn M M gọi
là phép đối xứng tâm I . Kí hiệu: ĐI , điểm I gọi là tâm đối xứng.
−−→
−−→
Vậy: ĐI (M ) = M ⇔ IM = −IM .
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm trong không gian: Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz, cho I (a; b; c), M (x; y; z), M (x ; y ; z ).


x = 2a − x
Khi đó, nếu: ĐI (M ) = M thì y = 2b − y

 z = 2c − z
Phép đối xứng qua mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P ),
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho đoạn thẳng M M
nhận mặt phẳng (P ) làm mặt phẳng trung trực, được gọi là phép đối xứng qua
mặt phẳng (P ). Kí hiệu: ĐP .
Phép quay quanh một trục: Trong không gian, cho đường thẳng định
hướng ∆, ϕ là góc định hướng cho trước. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M sao cho M ,M thuộc mặt phẳng vng góc với ∆ tại O: OM = OM
và (OM, OM ) = ϕ gọi là phép quay quanh một trục ∆.
Kí hiệu: Q (∆, ϕ).
Nhận xét:


10

- Phép quay tâm O, góc quay 00 là phép đồng nhất.
- Phép quay tâm O, góc quay π ; −π là phép đối xứng tâm O.

1.2. Định hướng việc mở rộng bài toán
1.2.1. Xem xét các đối tượng, các quan hệ toán học trong các mối
liên hệ giữa cái chung và cái riêng
Mỗi cái riêng có thể được chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm
nó theo một số quan hệ nào đó khác nhau và ngược lại, nhiều cái riêng có thể
chứa đựng trong cùng một cái chung theo một mối quan hệ nào đó giữa các đối
tượng.
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
−→ −−→ −→ →
−
GA + GB + GC = 0 .
Có thể phát triển theo hai hướng đến những cái chung, cái tổng quát khác
nhau:
Hướng thứ nhất: Xem trọng tâm G của tam giác ABC theo quan điểm
diện tích:
1
SGBC = SGCA = SGBA = .S , với S là diện tích tam giác ABC .
3
Khi đó hệ thức cần chứng minh tương đương với hệ thức:
1 −→ 1 −−→ 1 −→ →
−
S.GA + S.GB + S.GC = 0 , chú ý rằng tổng ba hệ số của biểu thức
3
3
3
vector vế trái bằng S .

Từ đó chúng ta có thể đề xuất bài tốn tổng qt sau: " Gọi O là điểm bất
kỳ trong tam giác ABC . Đặt S1 = SOBC ; S2 = SOCA ; S3 = SOBA . Chứng minh
−→
−−→
−→ →
−
rằng S1 OA + S2 OB + S3 OC = 0 ".
−→
S2 −−→ S3 −→
Hệ thức cần chứng minh tương đương với OA = − OB − OC (1)
S1
S1
Để chứng minh (1) ta dựng hình bình hành OEAF nhận OA làm đường
chéo; trong đó hai cạnh OE , OF lần lượt thuộc các đường thẳng BO, CO.
(Hình vẽ).
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
−→ −−→ −→
OA = OE + OF
OE −−→ OF −→
=−
.OB −
.OC
OB
OC


11

1
.d (C, BE) .OE −−→

2
=−
.OB −
1
.d (C, BE) .OB
2
SCOE −−→ SBOF −→
=−
.OB −
.OC
S1
S1
Do AE

OC và AF

1
.d (B, CF ) .OF −→
2
.OC
1
.d (B, CF ) .OC
2

−→
S2 −−→ S3 −→
OB nên OA = − OB − OC .
S1
S1

Nhận xét:
1. Nếu để ý S1 + S2 + S3 = S , khi đó có thể mở rộng cho trường hợp điểm
O nằm ngồi tam giác ABC , thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA, CB . Chúng
ta có bài tốn tổng qt khác sau:
" Gọi O là điểm nằm ngoài tam giác ABC thuộc miền góc tạo bởi hai tia
CA và CB . Gọi S1 ; S2 ; S3 lần lượt là diện tích các tam giác OBC ;OAC ; OAB .
−→
−−→
−→ →
−
Chứng minh rằng S1 OA + S2 OB − S3 OC = 0 ".
Ta có thể chứng minh được nhờ sử dụng hình bình hành CM ON ; trong đó
M , N lần lượt thuộc các tia OA và OB .
2. Nếu để ý thêm S1 + S2 − S3 = S thì có thể tổng qt các trường hợp trên
thành bài toán sau: " Nếu O là điểm bất kỳ trong mặt phẳng (ABC), không
thuộc đường thẳng chứa cạnh nào của tam giác ABC . Đặt S1 = SOBC ; S2 =
SOCA ; S3 = SOBA ; thì có thể chọn dấu "+" hoặc "-" thích hợp sao cho đẳng
−−→
−→ →
−→
−
thức ±S1 OA ± S2 OB ± S3 OC = 0 đúng".
Hướng thứ hai: Có thể xem G là trọng tâm của tam giác ABC khi và
−−→ −→
−−→ −−→
−→
chỉ khi GB + GC = 2GM = GK = −GA, với M là trung điểm BC . Khi đó
−→ −−→
−→ −→ −→
−−→

−→ −−→ −→
tương tự GA + GB = −GC, GA + GC = −GB . Hay các vector GA, GB, GC
đôi một khác phương và tổng hai vector bất kỳ trong ba vector trên cộng tuyến
−→ −−→ −→ →
−
với vector cịn lại. Khi đó GA + GB + GC = 0 .
Từ nhận xét trên chúng ta có bài tốn tổng qt sau "Cho n vector đơi một


12

khác phương và tổng của n − 1 vector bất kỳ trong n vector trên cộng tuyến với
vector còn lại. Chứng minh rằng tổng n vector cho ở trên bằng vector khơng".
Ta cũng có thể xem xét các đối tượng, các quan hệ, các tính chất từ nhiều
trường hợp riêng của một cái chung; từ đó sử dụng các thao tác tư duy: so sánh,
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng qt hóa để đề xuất bài tốn mới, bài
tốn tổng qt.
Ví dụ 1.2. Ta có, trong hình vng hoặc hình thoi ABCD có các đường
chéo cắt nhau tại O thỏa mãn:

AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 = 2 OA2 + OB 2 + OC 2 + OD2 (2)
Ta sử dụng định lý Pythagore vì hai đường chéo hình vng vng góc với
nhau. Đối với hình chữ nhật hoặc hình bình hành ABCD có các đường chéo
cắt nhau tại O cũng thỏa mãn đẳng thức (2). Trong trường hợp này khi chứng
minh chỉ cần sử dụng O là trung điểm của một đường chéo và sử dụng cơng
thức độ dài đường trung tuyến tính theo ba cạnh của tam giác.
Phân tích, so sánh cách sử dụng các giả thiết của các trường hợp chứng
minh cụ thể có thể đề xuất bài tốn tổng qt sau: "Tứ giác ABCD có
các đường chéo cắt nhau tại O, cần và đủ để AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 =
2 OA2 + OB 2 + OC 2 + OD2 là tứ giác đó có hai đường chéo vng góc hoặc

O là trung điểm của một trong hai đường chéo".

1.2.2. Xem xét bài tốn theo nhiều góc độ
Ta xem xét bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng hạn thay đổi đối
tượng, điều kiện ban đầu của bài tốn, mở rộng kết luận ... để có được các bài
tốn mới.
Ví dụ 1.3. Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Dựng đường trịn
qua A và tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy .
Sử dụng phép vị tự, ta có thể xem đường trịn cần dựng là ảnh của đường
trịn (C) bán kính R được chọn tùy ý và tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy của góc
OA
, A là giao điểm của OA với đường trịn (C).
qua phép vị tự VO,k với k =
OA
Từ đó nếu xét điểm là trường hợp đặc biệt của đường trịn khi bán kính
bằng 0 thì ta có bài tốn tổng qt sau: " Cho góc xOy và đường trịn (S) tâm
I bán kính R nằm trong góc đó. Hãy dựng đường tròn (C) tiếp xúc với Ox,
Oy và tiếp xúc với đường tròn (S). Việc dựng đường tròn (C) quy về việc dựng
đường tròn tâm K đi qua I và tiếp xúc với O x và O y , kí hiệu là (K). Trong
đó O x và O y lần lượt song song với Ox, Oy và cách đều chúng một khoảng
bằng R.


13

Giả sử đường trịn (K) có bán kính d. Khi đó đường trịn cần dựng có tâm
K bán kính bằng d − R (Hình vẽ).


14

Chương 2
MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Các bài tốn sau đây khai thác một vài mở rộng của một số bài toán phẳng
sang bài tốn trong khơng gian và sự vận dụng phương pháp giải bài toán phẳng
để giải bài toán mở rộng đó.

2.1. Ý tưởng
Bước 1: Xuất phát từ một bài tốn trong phẳng (ta quy ước gọi là bài toán
gốc), ta đưa ra bài tốn tương tự trong khơng gian (ta quy ước gọi là bài tốn
mở rộng).
Bước 2: Tìm cách giải bài tốn mở rộng.

2.2. Một số ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Cho ∆ABC vng tại A, M là một điểm bất kì trên BC . AM
tạo với AB , AC các góc theo thứ tự là α và β . Chứng minh cos2 α + cos2 β = 1.
Giải:

Qua M dựng đường thẳng vng góc với AM ; cắt AB , AC lần lượt tại B và
C ’.
AM
AM
Khi đó: cosα =
; cosβ =
AB
AC

15

⇒ cos2 α + cos2 β = AM 2
= AM 2 .

1
1
+
AB 2 AC 2

1
AM 2

=1
Bài toán mở rộng: Cho hình chóp tứ diện vng SABC đỉnh S , M là
điểm thuộc miền trong ∆ABC . SM hợp với các cạnh SA, SB , SC các góc
theo thứ tự α, β, γ . Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Giải:

Sử dụng cách giải tương tự cách giải với bài toán trong mặt phẳng. Dùng mặt
phẳng qua M và vng góc với SM cắt hình chóp lần lượt tại A ,B ,C .
SM
SM
SM
Khi đó: cosα =
; cosβ =
; cosγ =
SA
SB
SC

1
1
1
Nên: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = SM 2
+
+
SA 2 SB 2 SC 2
1
= SM 2 .
(theo tính chất của tứ diện vng)
SM 2
=1
Vậy cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Bài toán 2: Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến.
−→ −−→ −→ →
−
Chứng minh GA + GB + GC = 0 .


16

Giải:

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AC .
GM
MN
1
Ta có:
=
=

GA
AB
2
−−→
1 −→
⇒ GM = − GA
2
−−→ −→
−−→
Lại có: GB + GC = 2GM
−→ −−→ −→
−−→
−−→
⇒ GA + GB + GC = −2GM + 2GM
−→ −−→ −→ →
−
Hay: GA + GB + GC = 0 .
Bài toán mở rộng: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm các đường
−→ −−→ −→ −−→ →
−
trọng tuyến của tứ diện. Chứng minh GA + GB + GC + GD = 0 .
Giải:
Gọi E là trung điểm của CD; G1 , G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác
∆BCD và ∆ADC .
−−→ −−→ −→
−−→
Khi đó: GB + GD + GC = 3GG1 .
Trong ∆ABE , ta có:
EG1
EG2

1
=
=
EB
EA
3
GG1
GG2
1
⇒
=
=
GA
GB
3
−→
−−→
⇒ GA = −3GG1
−→ −−→ −→ −−→
−−→
−−→ →
−
Từ đó: GA + GB + GC + GD = −3GG1 + 3GG1 = 0 .


17

Bài toán 3: Chứng minh trong tam giác ABC bất kỳ, trọng tâm G, trực tâm
1
H , tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và GO = GH (Đường thẳng

2
Ơle).
Đường thẳng Ơle có thể coi là một trong những định lý quen
thuộc nhất của hình học phẳng. Khái niệm đường thẳng Ơle trước
hết liên quan đến tam giác, sau đó đã được mở rộng và ứng dụng
cho tứ giác nội tiếp và cả n - giác nội tiếp.
Định hướng việc giải bài toán như sau:
Thẳng hàng là một bất biến của phép vị tự nên ta có thể nghĩ đến việc
dùng phép vị tự để giải bài toán này. Yêu cầu của bài toán chứng minh hệ thức
1
GO = GH làm ta nghĩ đến phép vị tự tâm G biến O thành H hoặc ngược lại.
2
−1
Dựa vào hình vẽ ta dự đoán tỉ số là -2 (hoặc
). H là trực tâm của ∆ABC
2
còn O là trực tâm của tam giác có các đỉnh là chân các đường trung tuyến.
Giải:
Gọi M ,N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB .
Ta có:
−−→
1 −→
GM = − GA,
2
−−→
1 −−→
GN = − GB,
2