Toán tử khả nghịch suy rộng và áp dụng giải phương trình ma trận

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————–

BÙI TẤN CAO

TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ
ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————–

BÙI TẤN CAO

TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG
VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng - Năm 2019






MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Dạng chuẩn Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Ma trận Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Sự đồng dạng của ma trận vuông với ma trận Jordan . 7
1.2. Toán tử vec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3. Tích Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Quy về phương trình ma trận dạng AX = B . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Phương trình ma trận CXD = E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2. Phương trình ma trận CX + XD = E . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3. Phương trình ma trận CX + XC = µX . . . . . . . . . . . . . 15
CHƯƠNG 2. TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG . . . 17
2.1. Định nghĩa và tính chất của tốn tử khả nghịch suy rộng . . . 17
2.2. Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Ma trận khả nghịch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Phương trình với tốn tử khả nghịch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 28


MỤC LỤC
CHƯƠNG 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN . . . . . . . 33

3.1. Giải phương trình AX = B với A là ma trận vuông . . . . . . . . .33
3.1.1. A khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.1.2. A không khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Giải phương trình AX = B với A là ma trận khơng vuông . . 41
3.2.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Giải một số phương trình ma trận khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1. Phương trình ma trận dạng CXD = E . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2. Phương trình ma trận dạng CX + XD = E . . . . . . . . .49
3.3.3. Phương trình ma trận dạng CX + XC = µX . . . . . . . 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

A, B, C, ...

các ma trận

A−1

ma trận nghịch đảo của A

AT

ma trận chuyển vị của A

[aij ]

ma trận A có phần tử aij ở vị trí hàng i cột j

A⊗B

tích Kronecker của A và B

vecA

vec của A (xếp chồng các cột của A)

L(X)

tập hợp các toán tử tuyến tính được chứa trong X

domA, (A ∈ L(X)) miền xác định của toán tử A
ImA, (A ∈ L(X))

miền giá trị của toán tử A

dim A

số chiều của A

W (X)

tập hợp các toán tử khả nghịch suy rộng thuộc L(X)

WV

tập các nghịch đảo suy rộng của V ∈ W (X)

WV1

tập tất cả các hầu nghịch đảo của V

F (r)

toán tử ban đầu phải

F (l)

toán tử ban đầu trái

kerA = {x ∈ domA : A(x) = 0}
L0 (X) = {A ∈ L (X) : domA = X}


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán tử khả nghịch một phía khởi đầu từ ý tưởng của Micusinski và
được Przeworska Rolewicz D. xây dựng lần đầu tiên vào đầu những năm
70, là một trong các lĩnh vực nghiên cứu quan trọng đặt cơ sở quan trọng
trong khái quát đại số cho những bài tốn của Giải tích như: Phương trình
vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương
trình sai phân,. . . Ta biết rằng, mọi tốn tử tuyến tính tác động trong
một khơng gian hữu hạn chiều hoặc khả nghịch hoặc khả nghịch suy rộng

nhưng khơng khả nghịch thực sự. Từ đó lý thuyết các toán tử khả nghịch
suy rộng ra đời.
Tầm quan trọng của tốn tử khả nghịch suy rộng là vơ cùng to lớn,
mà nổi bật ở đây là giải phương trình ma trận (Phương trình có dạng

AX = B ). Việc giải phương trình ma trận dạng AX = B rất khó khăn,
đòi hỏi chúng ta phải dùng những phương pháp biến đổi cồng kềnh và
phức tạp, dễ dẫn đến sai lầm khi tính tốn và mất rất nhiều thời gian.
Nhưng nhờ áp dụng toán tử khả nghịch suy rộng cộng với ma trận Jordan
giúp chúng ta có thể đổi biến, đổi cơ sở để giải phương trình ma trận dạng
AX = B một cách gọn nhẹ và nhanh chóng.
Như chúng ta đã biết, ứng dụng của ma trận trong thực tế là vơ cùng
lớn (vật lý, máy tính và khơng gian mạng,. . . ). Vì vậy, việc giải các phương
trình ma trận dạng AX = B là vô cùng quan trọng, nó góp phần vào sự
phát triển của nhân loại. Do vậy, tơi nhận thấy việc tìm hiểu về tốn tử
khả nghịch suy rộng và áp dụng vào giải phương trình là cần thiết và
có ý nghĩa thực tiễn nên tơi quyết định chọn đề tài “TỐN TỬ KHẢ
NGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
MA TRẬN” làm đề tài nghiên cứu của mình.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được các toán tử
khả nghịch suy rộng, phương trình với tốn tử suy rộng và ứng dụng của
nó để giải các phương trình ma trận.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là định nghĩa, tính chất tốn tử khả nghịch suy
rộng.

4. Phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng toán tử khả nghịch suy rộng giải phương trình ma trận có
dạng AX = B .
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS. Phan Đức Tuấn và các
tài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web và tài liệu
của các tác giả nghiên cứu liên quan đến tốn tử khả nghịch suy rộng và
trình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình một cách ngắn
ngọn, theo hệ thống khoa học.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận
văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn và những người
khơng chun Tốn dễ dàng tiếp cận và ứng dụng cho các bài tốn thực
tiễn của mình.
7. Bố cục luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
- Trình bày các kiến thức liên quan đến sự đồng dạng của một ma trận
vng với ma trận Jordan.
- Trình bày về tích Kronecker để chuyển phương trình ma trận về dạng
AX = B .


3

Chương 2. Tốn tử khả nghịch suy rộng
- Trình bày các kiến thức liên quan đến toán tử khả nghịch suy rộng (định
nghĩa, tính chất, ví dụ).
- Trình bày cách giải phương trình với tốn tử khả nghịch suy rộng.

Chương 3. Ứng dụng giải phương trình ma trận
- Phương trình AX = B với A là ma trận vuông (A khả nghịch, A khơng
khả nghịch).
- Phương trình AX = B với A là trận khơng vng.
- Phương trình ma trận dạng khác.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số tính chất về sự đồng dạng của
ma trận vng với ma trận Jordan. Ngồi ra, chương này cịn trình bày về
cách chuyển một số phương trình ma trận khác về dạng AX = B .
Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [2], [4].
1.1. Dạng chuẩn Jordan

1.1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1. Cho Vn và Wm là hai không gian vectơ trên
trường số F với dimVn = n, dimWm = m và f : Vn → Wm là một ánh xạ
tuyến tính.

−
−
−
−
−
−

Gọi e = {→
e 1, →
e 2 , ..., →
e n }; ε = {→
ε 1, →
ε 2 , ..., →
ε m } là các cơ sở tương
ứng của Vn và Wm .
Giả sử có

−
−
−
−
f (→
e 1 ) = a11 →
ε 1 + a21 →
ε 2 + ... + am1 →
εm
−
−
−
−
f (→
e )=a →
ε +a →
ε + ... + a →
ε
2

12

1

22

2

m2

...................................................
−
−
−
f (→
e )=a →
ε +a →
ε + ... + a
n

1n

1

2n

2

mn

m

→
−
εm

.

Khi đó ma trận




A=




a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..
..
..
..
.
.
.
.
am1 am2 ... amn










được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với các cơ sở e và ε.


5

1.1.2. Ma trận Jordan
Định nghĩa 1.1.2. (Ma trận chuẩn tắc Jordan) Cho J là một ma
trận vuông cấp n trên trường số
nếu nó có dạng:

λ ε
 1 1

 0 λ2


 0 0
J =
 .. ..
 . .



 0 0

0 0

F . Ta nói J là ma trận chuẩn tắc Jordan
0 ...

0

0

ε2 . . .

0

0

λ3 . . .
..
..
.
.

0
..
.

0
..

.

0 . . . λn−1 εn−1
0 ...

0

λn
















trong đó:
i. λj ∈ F, ∀j = 1, 2, ..., n;
ii. εj ∈ {0, 1} , ∀j = 1, 2, ..., n;
iii. ∀j = {1, 2, ..., n − 1} , nếu εj = 1 thì λj = λj+1 .
Ví dụ 1.1.3. Cho ma trận
 J

1


0


J =0


0

0



1 0 0 0

1 0 0 0


0 0 1 0 .


0 0 0 1

0 0 0 0

Khi đó, J là một ma trận Jordan.
Định nghĩa 1.1.4. (Khối Jordan) Một khối Jordan ứng với giá trị

6

λk là một ma trận Jordan có dạng
λ 1
 k

 0 λk


 0 0
Jk = 
 .. ..
 . .


 0 0

0 0

đặc biệt như sau:

0 ... 0 0 

1 ... 0 0 


λk . . . 0 0 

..

..
.. ..  .
.
.
. . 


0 . . . λk 1 

0 . . . 0 λk

Ví dụ 1.1.5. Cho ma trận sau:


2 1 0




J1 =  0 2 1  .


0 0 2
Khi đó, J1 là một khối Jordan.
Như vậy, mỗi ma trận Jordan J là do nhiều khối Jordan tạo nên




J =







J1
J2
...
Jk









trong đó, Ji (i = 1, 2, ..., k) là khối Jordan thuộc giá trị λi .
Ví dụ 1.1.6. Cho ma trận
 Jordan
1 1 0


0 1 0


J =0 0 0



0 0 0

0 0 0

sau: 
0 0

0 0


1 0 .


0 1

0 0

Ma trận J được tạo bởi các khối Jordan là:

(1.1)


7





0 1 0







J1 =
và J2 =  0 0 1  .


0 1
0 0 0


1 1



1.1.3. Sự đồng dạng của ma trận vuông với ma trận Jordan
Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường
số F . Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông
B cấp n trên F sao cho: A.B = B.A = In . Khi đó, B được gọi là ma trận
nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1 .
Như vậy: A.A−1 = A−1 .A = In .
Định nghĩa 1.1.8. Cho ma trận A = [aij ] vuông cấp n. Định thức

a11 a12 ... a1n
của A là một số, được kí hiệu bởi |A| hoặc det (A) hoặc

a21 a22 ... a2n

...

... ... ...

an1 an2 ... ann
và được xác định như sau:

(−1)N (δ) a1δ(1) a2δ(2) ...anδ(n)

detA =
δ∈Sn

trong đó:
N (δ): số các nghịch thế của hốn vị δ .

Sn : tập hợp các hoán vị của n phần tử 1, 2, . . . n.
- Nếu detA = 0, thì ma trận A khơng khả nghịch.
- Nếu detA = 0, thì ma trận A khả nghịch.
Định nghĩa 1.1.9. Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường số

F . Định thức det(A − λI) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.
Định nghĩa 1.1.10. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên
trường F . Ma trận A được gọi là đồng dạng với ma trận B nếu tồn tại ma
trận vuông P cấp n khả nghịch sao cho

A = P BP −1 .
Kí hiệu: A ∼ B .


8

Như vậy, muốn tìm một ma trận đồng dạng với ma trận A thì chỉ cần
tìm một ma trận P khơng suy biến rồi lấy ma trận tích P −1 AP .
Định lý 1.1.1. Hai ma trận đồng dạng có cùng một đa thức đặc
trưng.
Định lý 1.1.2. Cho A là ma trận vng cấp n trên trường F . Khi
đó A đồng dạng với ma trận Jordan khi và chỉ khi đa thức đặc trưng của
A phân tích được thành tích của n đa thức bậc nhất trên trường F (nghĩa
là đa thức đặc trưng của A có n nghiệm, không nhất thiết phải phân biệt).
Như vậy, mọi ma trận vuông A trên trường số phức C luôn đồng dạng
với ma trận Jordan. Để tìm ma trận ma trận Jordan của ma trận A ta có
thể làm theo 5 bước sau:
Bước 1: Tính các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn và bội đại số m1 , m2 , ..., mn
tương ứng.
Bước 2: Tính chiều của khơng gian Eλk = x : (A − λI)k x = 0 .
Bước 3: Tính

d1 = dim Eλ1
d2 = dim Eλ2 − dim Eλ1
... = ...
dk = dim Eλk − dim Eλk−1
sau đó, tạo các ơ vng các hàng thứ k có số ô vuông bằng dk .
Bước 4: Ở hàng thứ k (hàng cuối cùng) tìm các vectơ thuộc Eλk nhưng
khơng thuộc Eλk−1 rồi điền vào ơ vng:
- Khi có vectơ v trong ơ vng rồi thì ngay lập tức điền các ô vuông ở sát
bên trên bằng vectơ (A − λI) v .
- Các vị trí cịn lại nếu ở hàng thứ i thì điền vectơ thuộc Eλi mà khơng
thuộc Eλi−1 độc lập tuyến tính với các vectơ khác ở hàng thứ i.
Bước 5:
- Ma trận S được tạo ra bằng cách đọc từ trên xuống (góc bên trái trước)

của các hộp mà ta vừa xếp.
- Ma trận J được tạo ra từ J = S −1 AS .


9

Ví dụ 1.1.11. Cho ma trận




2 4 −8




A=0 0 4 


0 −1 4

.

Tìm ma trận Jordan đồng dạng với ma trận A.
Giải: Ta có đa thức đặc trưng của A là: PA (λ) = (λ − 2)3 nên A đồng
dạng với ma trận Jordan.
Ta có (λ − 2)3 = 0 suy ra λ = 2.
Ta có E21 = v ∈ R3 : (A − 2I) v = 0 . Mà



0 4 −8
v

 1


(A − 2I) v = 0 ⇔  0 −2 4   v2


0 −1 2
v3







0
  
  
=0
  
0

suy ra v2 − 2v3 = 0 ⇒ v2 = 2v3 ⇒ v (v1 , 2v3 , v3 ).
suy ra v = v1 (1, 0, 0) + v3 (0, 2, 1).


 



1
0
   
   
suy ra E21 là không gian vectơ 3 chiều sinh bởi  0  ,  2  và d1 = 2
   
0
1
Ta có E22 = v ∈ R3 : (A − 2I)2 v

0 0


(A − 2I)2 v = 0 ⇔  0 0

0 0

= 0 . Mà

  
0
v
0
 1   

  
0   v2  =  0  .


  
0
v3
0
     
1
0
0
     
     
suy ra E22 là không gian vectơ 3 chiều sinh bởi  0  ,  1  ,  0  và
     
0
0
1
d2 = 3 − 2 = 1.


10

, ta
/ E21
Chọn v1 , với v1 ∈ E22 nhưng v1 ∈
0


v1 =  1

0



4




suy ra v3 = (A − 2I) v1 =  −2 .


−1

chọn






Chọn v2 , với v2 ∈ E21 nhưng độc lập tuyến tính với v3 , ta chọn
 
1
 
 
v2 =  0  .
 
0
Từ đó, ta suy ra ma trận chuyển



4 0 1




S =  −2 1 0  .


−1 0 0

Vậy ma trận Jordan J là


2 1


0 2
J = S −1 AS = 

0 0

0 0
Ví dụ 1.1.12. Cho ma trận


0 0




0 0
.

2 1

0 2


4 −2 8




A =  4 2 2 .


2 −1 4

Tìm ma trận Jordan đồng dạng với ma trận A.
Giải:




11

Ta có đa thức đặc trưng của A là:

PA (λ) = −t t2 − 10t + 26 = −t (t − 5 − i) (t − 5 + i)
nên A đồng dạng với ma trận Jordan và A = SJS −1 với



4
6i
4
6i
5
+
−
 13 13 13 13 13 





0 0
0




 6 3
11i 3
11i 

S=
0 5−i 0
 − 13 13 + 13 13 − 13  ; J = 






0 0 5+i



 4
2
3i
2
3i
+
−
−
13 13 13 13 13




.


1.2. Toán tử vec
Định nghĩa 1.2.1. Toán tử vec của một ma trận A là một vector
cột từ ma trận A bằng cách xếp chồng các vector cột Aj của A dưới một
cột khác.
Nếu A = [aij ]m×n thì






vecA = 




A1
A2
..
.
An





.




Vậy vecA là một vector cấp (m × n).


1 4
. Khi đó
Ví dụ 1.2.2. Cho A = 
2 5

 
1
 
 
2

vecA = 
 .
4
 
5
Tính chất 1.2.1. Cho A và B là hai ma trận cấp (m × n) thì:

vec(A + B) = vecA + vecB.


12

1.3. Tích Kronecker
Định nghĩa 1.3.1. Xét ma trận A = [aij ]m×n và ma trận B =

[bij ]r×s . Tích Kronecker của hai ma trận A và B được kí hiệu là A ⊗ B
được xác định như ma trận sau:

a B a12 B · · · a1n B
 11



 a21 B a22 B · · · a2n B 


A ⊗ B = [aij B] = 
 ..
..
.. 
 .
.
. 


am1 B am2 B · · · amn B
A ⊗ B được xem là ma trận cấp (mr × ns). Nó có mn khối, khối
hàng i, cột j là ma trận aij B cấp r × s.



1 2
0 1
 và B = 
Ví dụ 1.3.2. Cho hai ma trận A = 
3 2
4 1
Khi đó:


0 1 0 2





 4 1 8 2
.
A⊗B =


 0 3 0 2


12 3 8 2

ở vị trí

.

Nhận xét 1.3.3.
- Tích Kronecker được xác định khơng kể ma trận có cấp phức tạp.
- A ⊗ B = B ⊗ A.
Tính chất 1.3.1. Cho hai ma trận A và B cùng cấp (n × n) thì

vec(AXB) = (B T ⊗ A)vecX.

(1.2)

Ngồi ra, tính chất cũng đúng với ma trận A cấp (m × n), X cấp (n × r)
và B cấp (r × s).
1.4. Quy về phương trình ma trận dạng AX = B

1.4.1. Phương trình ma trận CXD = E
Xét phương trình

CXD = E,

(1.3)


13

trong đó ma trận C có cấp (m × n), D có cấp (r × s) và E có cấp (m × s).
Ta sử dụng tốn tử vec trên (1.3):

vec (CXD) = vecE
⇔ DT ⊗ C vecX = vecE.

(theo (1.2))

Khi đó viết phương trình (1.3) về dạng:

Ax = B,

 A = DT ⊗ C
trong đó:
 x = vecX; B = vecE.
Ví dụ 1.4.1. Xét phương
trình

 CXD
 = E. Biết:

0 1
2 3

13 27
,D = 
,E = 
.
C=
3 5
1 4
77 168


x1 x3
. Khi đó, ta viết phương trình về dạng:Ax = B,
Ta kí hiệu X = 
x2 x4

 A = DT ⊗ C
trong đó:
 x = vecX; B = vecE.


0 2 0 1


 
 


 6 10 3 5 
2 1
0 1


⊗
=
A=


0 3 0 4 
3 4
3 5


9 15 12 20

BT =
Khi đó:



13 77 27 168 .

0 2


 6 10


0 3

9 15









13
x

 1  
 


3 5   x2   77 
.

=
 


0 4   x3   27 


 
x4
168
12 20
0

1


14

1.4.2. Phương trình ma trận CX + XD = E
Xét phương trình:

CX+XD = E,

(1.4)

trong đó: C là ma trận cấp (n × n); D là ma trận cấp (m × m); E là ma
trận cấp (n × m).
Ta sử dụng toán tử vec trên (1.4):

vec(CX + XD) = vecE
⇔ vec(CXIm ) + vec(In XD) = vecE
⇔ (Im ⊗ C)vecX+(DT ⊗ In )vecX = vecE

(theo (1.2))

⇔ (Im ⊗ C + DT ⊗ In )vecX = vecE.
Khi đó ta 
viết phương trình (1.4) về dạng:Ax = B ,
 A = I ⊗ C + DT ⊗ I
m
n
trong đó:

 x = vecX; B = vecE.
Ví dụ 1.4.2.
trình
 Xét phương

 CX +
 XD =E . Biết:
1 −1
−3 4
−1 −4
;D = 
;E = 
C=
]
0 2
1 0
3 18


x1 x3
. Khi đó, ta viết phương trình về dạng:
Ta kí hiệu X = 
x2 x4

Ax = B,

 A = I ⊗ C + DT ⊗ I
2
2
trong đó:

 x = vecX; B = vecE.

 
 
 

1 0
1 −1
−3 1
1 0
⊗
+
⊗

A=
0 1
0 2
4 0
0 1


15







1 −1 0 0


 

 
0 2 0 0  
+
=

 
 0 0 1 −1  

 
0 0 0 2

BT =
Khi đó:

−3







−2 −1 1 0
 

 


−3 0 1   0 −1 0 1 
=

 

0 0 0   4 0 1 −1 
 

4 0 0
0 4 0 2
0

0
4
0

1 0

−1 3 −4 18 .




−2 −1 1 0




 0 −1 0 1  





 4
0 1 −1  


0 4 0 2







−1
 

 

x2   3 
=
.
 

x3   −4 
 

x4
18

x1

1.4.3. Phương trình ma trận CX + XC = µX
Xét phương trình

CX + XC = µX,

(1.5)

trong đó: C là ma trận có cấp (n × n).
Ta sử dụng tốn tử vec trên (1.5):

vec(CX + XC) = vecµX
⇔ vec(CXIn ) + vec(In XC) = vecµX
⇔ (In ⊗ C)vecX + (C T ⊗ In )vecX = vecµX

(theo (1.2))

⇔ (In ⊗ C + C T ⊗ In )vecX = vecµX.
Khi đó viết phương trình (1.5) về dạng:

Hx = µx,

 H = I ⊗ C + CT ⊗ I
n
n
trong đó:
 x = vecX.
Khi đó viết phương trình (1.6) về dạng:Ax = B,

(1.6)


16


 A = H − µI 2 = I ⊗ C + C T ⊗ I − µI 2
n
n
n
n
trong đó:
 x = vecX, B = 0.

Ví dụ 1.4.3. Xét phương trình CX +XC = µX . Biết: C = 

1 0
2 3




và µ = −2.


x1 x3

Ta kí hiệu X = 



T

. Khi đó: x = vecX =

x1 x2 x3 x4

x2 x4
Ta viết phương
trình về dạng: Ax = B,

 A = H − µI 2 = I ⊗ C + C T ⊗ I + 2I
2
2
4
n
trong đó:
 x = vecX, B = 0.


1 0


0 1
1 0
1 0
1 2
1 0
⊗
+
⊗

 + 2
A=

0 0
0 1
2 3
0 3
0 1

0 0




1 0


2 3
=

0 0

0 0

Khi đó:





0 0









1 0
 
 
0 0 0 1
+
 
1 0 0 0
 
2 3
0 0



4 0


2 6


0 0


0 0

2 0











2 0
 
 
0 2 0 2
+
 
3 0 0 0
 
0 3
0 0

2 0





0 0





0 0



0 0


1 0

0 1

4 0
 
 
0 0 2 6
=
 
2 0 0 0
 
0 2
0 0

x
 1 


0 2   x2 

 = 0.


6 0   x3 


2 8
x4



2 0





0 2
.

6 0

2 8