Chuyên đề ôn thi đại học: Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C

Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C
Tác giả: Đào Thị Loan
Giáo viên trường : THPT Yên Lạc
Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12
Số tiết dự kiến: 12 tiết

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

1


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

LỜI NĨI ĐẦU
Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ mơn vật lí đã
chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng kiến thức trong mỗi bài thi rất lớn
gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vì
vậy địi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng địi hỏi phải chính xác. Phần điện
xoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tơi đã viết chuyên đề “ Một số bài
toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để đưa ra cho các em một số dạng bài
đặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải nhanh nhất.
Chuyên đề gồm bốn phần:
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết.
Phần 2: Một số bài tốn cực trị trong mạch khơng phân nhánh R, L, C
Phần 3: Một số bài tập ví dụ.
Phần 4: Một số bài tập tự giải.
Tơi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các em học tốt hơn và yêu thích hơn khi học phần
điện xoay chiều trong môn vật lý.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường, tồn thể các thầy cơ trong

hội đồng nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý – Công nghệ của trường THPT Yên
lạc; các em học sinh và gia đình đã giúp đỡ tôi khi tôi viết chuyên đề này.

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

2


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẠCH R – L – C KHÔNG PHÂN NHÁNH
1. Mạch R – L – C không phân nhánh:
Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U0 cos(  t + u ) gồm một điện trở
thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ điện có điện dung C ta có :
*) Biểu thức cường độ dịng điện : i = I0 cos(  t + i )
(A). Với I0 là cường độ dòng điện
cực đại, và  lµ tần số góc, i là pha ban đầu của dòng điện
- Biểu thức hiệu điện thế : u = U0 cos(  t + u )
(V). Với U0 là hiệu điện thế cực đại, u là
pha ban đầu
U
I
- Các giá trị hiệu dụng :
U= 0
và
I= 0
2
2
*) Xét đoạn ,mạch R, L , C nối tiếp:
2


 2 f ;
- Tần số góc:
T
- Cảm kháng: Z L  .L ;

Dung kháng Z C 

1
C

- Tổng trở của mạch : Z  ( R  r )2  ( Z L  ZC )2 ;
- Hiệu điện thế hiệu dụng:
U  (U R  U r )2  (U L  U C )2
- Hiệu điện thế giữa hai đầu của các phần tử:
U
UR
+ UR = IR = R 
Z
( R  r )2  (Z L  ZC )2
+ Ud = IZd 

+ UC = IZC 

U r 2  ZL2
( R  r )2  (Z L  ZC )2
UZ C
( R  r )  (Z L  ZC )2
2

U UR UL Ur UC




Z
R
ZL
r
ZC

- Định luật ôm:

I

- Độ lệch pha giữa u – i:

tan  

Z L  ZC
Rr

(trong đó   u  i )

*) Cơng suất tiêu thụ của mạch:
+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I2 R = UI cos
+ Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I2 (R + r); PR = I2R; Pd = I2r
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

3

Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
VD: Nếu trong mạch khơng có phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong cơng thức tổng quát
* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với tụ điện R – C:
+ Tổng trở Z  R 2  ZC 2
U UR UC


Z
R
ZC
Z
+ Độ lệch pha giữa u và i tan   C 0  u ln trễ pha so với i (trong đó   u  i )
R
+ Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R =UI cos

+ Định luật Ôm: I 

* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm: R – L
U
U U
+ Tổng trở Z  R 2  Z L 2
+ Định luật Ôm: I   R  L
Z
R
ZL
Z
+ Độ lệch pha giữa u và i tan   L  0  u luôn sớm pha so với i (trong đó   u  i )
R

+ Cơng suất tiêu thụ của mạch: P = I2R =UI cos

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

4


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C
Bài toán 1: Mạch có R thay đổi
Cho mạch điện xoay chiều RLC khơng phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được (R còn
được gọi là biến trở). Các giá trị khác L; C;  ; U là các hằng số. Tìm giá trị của R để :
1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại
2. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm)
3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r); Pmach cực đại.
* Hướng dẫn giải:
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công
thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là
đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng thay đổi.
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số khơng âm a, b khi đó a  b  2 ab
Nên (a  b) min  2 ab , Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x

b
 4ac  b 2
'
; ymin  



2a
4a
4a
a

1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại
U
U
U
U R =IR= 
R
 U RMax  R    U RMax  W
2
2
Z
Z L  ZC 2
R  (Z L  ZC )
1 (
)
R
của mạch.
2. Công suất tỏa nhiệt trên R:
U2
U2
P = I2 R = 2 R = 2
R=
Z
R +(ZL -ZC ) 2

Ta có:

(ZL -ZC ) 2
U2
U2
R+
=
với
y
=
(Z -Z ) 2
R
y
R+ L C
R

Z Min  2 ZL -ZC  R  ZL -ZC

Khi đó cơng suất cực đại của mạch PMax =

U2
U2
=
2 ZL -ZC 2R

(1.1)

(1.2)

Khảo sát bài tốn cơng suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

5


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
+ Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị của P theo R

*) Với hai giá trị của điện trở R = R1 và R = R2 mạch cho cùng một cơng suất thì:
U2
U2
P= I2 R = 2 R =
R
Z
 R 2 +(ZL -ZC )2 

 PR 2 +P(Z L - Z C ) 2  U 2 R
 PR 2  U 2 R  P(Z L - Z C ) 2  0(*)
Điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là:
Z L  ZC 

U2
2P

(1.3)

(*) Là phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có
U2

R1  R2 
P
R1 R2  (Z L - Z C ) 2  R 2

(1.4)

Với R là giá trị mà công suất của mạch đạt cực đại
(Z L - Z C ) (Z L - Z C )
1
R1
R2
*) Ta có (1) - >  tan 1 tan  2  1
 1   2  

+ Khi Z L  Z C  1   2 

(1.5)


2


2

+ Khi Z L  Z C  1   2  


2

*) Khi cơng suất trong mạch đạt cực đại thì hệ số công suất

cos 

R
R
1



  
Z
4
2R
2

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

(1.6)

6


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

+ Khi  


4

+ Khi   

 Z L  Z C Mạch có tính cảm kháng



 Z L  Z C Mạch có tính dung kháng
4
*) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong cơng thức (1.4)
+ Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất thì

(1.7)

+ Mạch chỉ có R – L mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một cơng suất thì
:

(1.8)

*) Từ cơng thức (1.2); (1.3); (1.4)

2 R1R2
P

PMax R1  R2

(1.9)

*) Khi công suất trên R cực đại thì hiệu điện thế trên hai đầu cuộn dây và hai đầu của tụ khi
đó:
U
U
+) U L  U C  I Z L  ZC 

Z L  ZC  
2
R 2  ( Z L  ZC )2
Hay

U  2 U L  UC

(1.10)

6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r)
Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm cơng
suất mạch cực đại và cơng suất tỏa nhiệt trên R cực đại
Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:
U2
U2
U2
U2
2
P = I (R+r) = 2 (R+r) =
(R+r) =
=
Với
(ZL -ZC ) 2
Z
(R+r) 2 +(ZL -ZC ) 2
y
(R+r)+
(R+r)
y = (R+r) +

(ZL -ZC ) 2
(R+r)

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

7


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ta có theo bất đẳng thức Cosi thì ymin = 2 Z L  ZC
Và

Dấu bằng xảy ra khi

Pmax =

U2
2 ZL -ZC

(1.11)

R M = R + r  Z L  ZC  R = ZL -ZC - r

(1.12)

+ Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó

(1.13)

*) Nếu r  Z L  Z C  RM  r  Z L  ZC ta có bảng biến thiên

Nếu Z L  Z c  r thì ta lấy R = 0 và cơng suất khi đó
P = I2r =

U2
r
r 2  (Z L  ZC )2

(1.14)

*) Khi cơng suất mạch ngồi cực đại thì
Z  ZC

2
tan   L
 1      cos 
Rr
4
2
Trường hợp 2: Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (PR ) cực đại:
U2
U2
U2
U2
R
=
R
=
=
R 2 +2Rr + r 2 (ZL -ZC ) 2

Z2
(R+r) 2 +(ZL -ZC ) 2
y
+
R
R
2
2
2
(Z  ZC )
R  2 Rr  r
y
 L
R
R
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

PR = I 2 R =

với

8


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ta ymin  2r  2 r 2  ( Z L  ZC ) 2
Dấu bằng xảy ra khi R  r 2  (Z L  ZC )2

Pmax 

Và

(1.15)

U2
U2

ymin 2r  2 r 2  ( Z L  ZC )2

*) Khi công suất trên R đạt cực đại thì độ lệch pha giữa u và i khi đó là:
tan  

( R  r )( R  r )
Z L  ZC


Rr
Rr

Rr
Rr

(1.16)

*) U R2  U r2  (U L  UC )2 ; U 2  (U R  U r )2  U R2  U r2  U 2  2U R (U R  U r )
*) Hiệu điện thế giữa hai đầu của cuộn dây và tụ điện khi đó:

U rLC  IZ rLC 



U r 2  (Z L  ZC )2
( R  r )2  (Z L  ZC )2



U .R
R 2  2 Rr  R 2

U

R
2( R  r )

2
U rLC
R

U 2 2( R  r )

Bài toán 2:
Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một
tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  U 0cos(t ) .
1. Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ điện (R mắc liên tiếp
với C) có giá trị khơng đổi. Tính URC và tần số cộng hưởng trong mạch.
2. Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của URL vng góc với hai đầu của đoạn mạch. Tính
R.
Hướng dẫn
1) Ta có:
+) U RC  IZ RC 

U R 2  Z C2
R 2  (Z L  ZC )2



U
Z L2  2Z L Z C
1
R 2  Z C2

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

9


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ta thấy URC không phụ thuộc vào R thì

Z L2  2Z L Z C =0  Z L  2ZC   L  2

1
2

 2 
 2ch2  ch 
C
LC
2
Khi đó URC = U

(2.1)

(2.2)

U RL  U  tan  RL tan   1
2) Theo giả thiết 

Z L Z L  ZC
 1
R
R

(2.3)

 R  Z L (ZC  Z L )2
Ta có: + Mạch R – L – C có tính dung kháng ( ZC  Z L )
+ U  UC  U R  U L
2

2

2

2

+ U LU C  U R  U L
2

2

(2.4)

Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được. Mắc vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều

u  U 0cos(t )

1. Xác định L để
+ I = Imax
+ P = Pmax
+ UR =URmax; UC =UCmax ; URC = URcmax
+ Hệ số công suất cos  =1 ; u,i cùng pha.
2. Xác định L để ULmax
3. Xác định L để URL cực đại (R mắc liên tiếp với L)
4. Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì UL có giá trị khơng đổi. thiết lập công thức
giữa L1 ; L2 với L sao cho UL cực đại.
5. Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì ta thấy P1 = P2. Xác định L để mạch cộng
hưởng.
1. Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; UR; URC; UC; cos  thì ta nhận thấy độ tự
cảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả ZL và ZC) thì khi đó để các đại lượng đạt cực
đại thì

Z L  ZC  L 

1
 2C

(3.1)

2. Xác định L để ULmax

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

10


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

UZ L

Ta có: U L  IZ L 

R  (Z L  ZC )
2

2

U



R Z
Z
 2 C 1
2
ZL
ZL
2

Khi UL đạt cực đại thì Y = Ymin. Nếu đặt X 

2
C



U
Y

1
2
2
2
thì Y = ( R  Z C ) X  2Z C X  1
ZL

Tìm Y min
Y là tam thức bậc 2 có hệ số a = R  Z C >0 nên đạt cực trị tại
2

2

R 2  Z C2
1

b
ZC

 L  CR 2  2

Z L  Z
 X   2a  R 2  Z 2
C


C
C



2
U R 2  Z C2
Y     R

 min
U L max 
4a R 2  Z C2
R

(3.2)

Nhận xét :
*) Khi UL = ULmax thì : từ (3.2) ta có ZL ZC = R2 +ZC2

 ZC (Z L  ZC )   R 2
ZC Z L  ZC
 1
R
R
 tan u / i tan u / i  1



RC

 u / i  u

RC / i




2

Mặt khác ta ln có trong mạch R- L – C khơng phân nhánh thì uRC ln trễ pha so với i một
góc

 RC



2

nên

u / i  u

Vậy khi L thay đổi UL đạt cực đại thì

RC / i





2

(3.3)

U RC  U

*) Khi UL = ULmax thì : từ (3.2) ta có ZL ZC = R2 +ZC2

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

11


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

 U LU C  U R2  U C2

(3.4)

3. Xác định L để URL đạt cực đại
Ta có :

U RL  IZ RL 

U R 2  Z L2

R 2  (Z L  ZC )2



U
R 2  Z L2  Z C2  2Z L Z C
R 2  Z L2



U
Z C2  2Z L Z C
1
R 2  Z L2



U
1 Y

Ta thấy URL cực đại khi Y = Ymin

Z C2  2Z L Z C
R 2  Z L2
2Z C ( R 2  Z L2 )  2Z L ( Z C2  2Z L Z C )
Y’ =
( R 2  Z L2 ) 2

Mặt khác ta khảo sát hàm số Y theo ZL ta được : Y =

Y’ = 0

 2Z C ( R  Z L2 )  2Z L ( Z C2  2Z L Z C )  0
2

 R 2  Z L2  Z L Z C  2Z L2  0
 Z L2  Z L Z C  R 2  0
Z C  Z C2  4 R 2
 ZL 
2
*) Từ cơng thức (3.8) ta thấy ZL > ZC khi đó mạch có tính cảm kháng
2
2
*) Khi URL đạt giá trị cực đại thì ta có U L  U LU C  U R  0 (3.9)
`

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

12


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

*) Khi URL đạt cực đại

2UR

U RLMax 

4 R  ZC2  ZC

2

Z L2  Z L Z C  R 2  0  Z L ( Z L  Z C )  R 2


Z L Z L  ZC
 1  tan u tan   1
R
R
RL

 u    
RL

Vì ZL >ZC và


2

u >0 nên ta có :
RL

u   
RL

4. Ta có theo giả thiết U L  IZ L 


2

(3.10)

UL 2
Z L2
( )  2
a
U
R  (Z L  ZC )2
R 2  (Z L  ZC )2
UZ L

 Z L2  aR 2  aZ L2  2aZ L Z C  aZ C2
 (a  1) Z L2  2aZ L Z C  a( R 2  Z C2 )

với a>1

Đây là tam thức bật hai. Điều kiện để tam thức có nghiệm là

 '  0  a 2 Z C2  4a(a  1)( R 2  Z C2 )  0


Z C2
4a(a  1) 4(a  1)


2
2
R  ZC
a2
a

Z C2
4(U L2  U 2 )
 2

R  Z C2
U L2
Với điều kiện trên. Theo Viét hai nghiệm của phương trình thỏa mãn :

2aZ C

Z

Z

L
1
L
2

Z L1 Z L 2
R 2  Z C2
a 1

2
 2Z L

2
2
Z


Z
Z
a
(
R

Z
)
L1
L2
C
C
Z Z 
 L1 L 2
a 1

L

L1 L2
2( L1  L2 )

(3.11)

Với L sao cho UL = ULmax

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

13

Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

5. Khi L = L1 và L = L2 ta thấy công suất P1 = P2 ta có:

 I12 R  I 22 R  I1  I 2  Z12  Z 22
 (Z L  ZC )2  (Z L  ZC )2
1

2

 Z L  Z C  ( Z L  Z C )
1

2

*) Từ cơng thức (3.12) ta có : Z C 
Mặt khác khi mạch cộng hưởng thì

ZL  ZL
1

2

2

2 



L1  L2
1
 2 L
2
C

1
LC

L1  L2
=L
2

(3.13)

*) Với L = L1 và L = L2 thì độ lệch pha giữa u và i

tan 1 

Z L  ZC
1

R
Z  ZC
tan  2  L 2
R
Từ cơng thức (3.12) thì

tan 1  - tan 2  1  2

Hệ số công suất trong hai trường hợp đó bằng nhau

(3.14)

cos1  cos2

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

14


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (ĐH – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng khơng đổi vào hai đầu đoạn
mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều chỉnh
R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng
giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2.
Các giá trị R1 và R2 là:
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có P1 = P2 theo cơng thức (1) phần 5 ta có R1R2 = ZC2 = 1002
Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2
Khi đó theo bài ta được U1C  2U 2 C  I1Z C  2 I 2 Z C 

I1
2
I2

2

R I 
Mặt khác P1  P2  I R1  I R2  2   1   4
R1  I 2 
2
1

2
2

Giải ta có : R1 = 50Ω, R2 = 200Ω. Đáp án C
Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở
R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay
chiều u  120 2cos(120 t )(V ) . Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 =
32Ω thì cơng suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Tính công suất cực đại của mạch và
công suất P.
* Hướng dẫn giải:
+ Ta có với R = R1 và R = R2 mạch cho cùng một cơng suất thì

U2
1202
P

 288W
R1  R2 18  32
Mặt khác gọi R là điện trở khi cơng suất của mạch cực đại thì:
R2 = R1 R2 nên R = 24 

U2
PMax =
= 300 W

2R
Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn
mạch AM gồm điện trở thuần R1 mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB gồm
điện trở thuần R2 mắc nối tiệp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt điện áp xoay chiều có
tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Khi đó, đoạn mạch AB tiêu
thụ cơng suất bằng 120 W và có hệ số cơng suất bằng 1. Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

15


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
hai đầu đoạn mạch AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau


, công suất
3

tiêu thụ trên đoạn mạch AB trong trường hợp này bằng

* Hướng dẫn giải:
+ Khi tụ điện chưa bị nối tắt mạch gồm hai đoạn AM có R1 nối tiếp với tụ điện C, đoạn mạch
MB có R2 mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L vì hệ số cơng suất bằng 1 nên trong mạch có hiện
tượng cộng hưởng -> ZL = ZC

Theo đầu bài công suất của mạch khi đó là P1 = 120W
U2
Vì mạch có cộng hưởng điện nên ta có : P1 =
R1  R2

+ Khi tụ điện bị nối tắt đoạn mạch AM cịn R1 khi đó uAM cùng pha với i, cịn uMB sớm pha hơn
i là φMB
- Theo đầu bài uAM lệch pha π/3 so với uMB nên uMB sớm pha hơn i là φMB = π/3 → ZL = 3.R2
Do UAM = UMB ( vì mạch nối tiếp) nên R1 = ZMB → R12 = R22 + Zl2 = 4R22 →R1 = 2R2

U2 

3
P1 (1)
2

- Công suất của mạch khi này là : P2 = I2( R1+ R2)
P2 =

U2
U2 3
U2
(
R

R
)

.
R

= (2)
1
2
1

Z /2
3R12 2
2 R1

Từ (1) và (2) ta có P2 = 3/4P1 = 90W
Ví dụ 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là
u = 240 2 cos(100  t) V; C =

1
. 10 4 F . Khi mạch có R = R1 = 90 u và R = R2 = 160 thì


mạch có cùng cơng suất P.
a).Tính L, P
b).Giả sử chưa biết L chỉ biết PMax = 240W và với 2 giá trị R3 và R4 thì mạch có cùng cơng suất
là P = 230,4W Tính R3 và R4

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

16


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
* Hướng dẫn giải:
a) Ta có với R = R1 = 90 u và R = R2 = 160 thì mạch có cùng cơng suất P.
Thì: P 

U2
= 230,4 W và R1R2 = (ZL- ZC)2
R1  R2

 Z L  ZC =120

nên L1 = 0,2 H và L2 2,2 H


b) ta có PMax

U2
U2

R
 120 theo bài tốn 5 thì R3 R4  R 2  14400 và R3 + R4 =
2R
2P

250 khi đó 2 giá trị là 90  và 160

Ví dụ 5 : Cho mạch điện như hình vẽ : R là biến trở
UAB = 100 2 V; UAN = 100 2 V; UNB = 200V
Công suất của mạch là P = 100 2 W.
1. Chứng minh rằng P = 100 2 W chính là giá trị công suất cực đại của mạch
2. Với hai giá trị R1và R2 thì mạch có cùng cơng suất P’. Tính P’ và R2 biết R1 = 200
* Hướng dẫn giải:
a)Ta có:
2
2
U AB
 U R2  (U L  U C )2 ;U AN
 U R2  U L2 ;U NB  U C  200V

U
U AN  U AB  U L  C  100V  U R  100V
2
Vậy U R  U L  U C  R  Z L  ZC  P  PMax
4
b) ta có R2 R1  R 2  U2  20000 -> R2 = 100
PMax

và P 

U2
= 66,67 W
R1  R2

Ví dụ 6 : Cho mạch điện RLC; u = 300 2 cos100  t (V).R thay đổi được ; Khi mạch có R =
R1 = 90 thì độ lệch pha giữa u và i là 1 . Khi mạch có R = R2 = 160 thì độ lệch pha giữa u

và i là 2. biết 1  2 
2

a) Tính cơng suất ứng với R1 và R2
b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2
* Hướng dẫn giải:

U2
a) vì 1  2 
nên P1 = P2  P 
= 600W
2

R1  R2

b) Z L  ZC  R1R2  120  Z L  ZC  120  I1  U =2 A;  I 2  U =1,5 A
Z1
Z2
tan 1 =
tan 2 =

53
Z L  ZC 120
4

   1  
180
R1
90
3

37
Z L  ZC 120
3

   2  
180
R2
160
4

53
)

180
37
i1 = 2,5 2 cos(100  t 
)
180

i1 = 2 2 cos(100  t 

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

17


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi mắc vào mạch
điện xoay chiều u = U0 cos ( t ) ta thấy khi R = R1 và R= R2 thì độ lệch pha của u và i là

1;2

và 1   2  

* Hướng dẫn giải:

 . Tính điện dung của tụ điện.
2

Ta có theo giả thiết vì 1   2  
P1 = P2  Z C 

R1R2  C 

  tan  tan   1  R R  Z  Z 2
 L C
1
2
1 2
2

1
 R1R2

Ví dụ 8 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch không phân nhánh gồm một biến trở R, cuộn dây thuần

103
F một điện áp xoay chiều
13
u  U0cos(100 t ) (V). Thay đổi biến trở R khi R = 60  ta thấy điện áp giữa hai đầu của uRL

cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung C 

vng góc với hai đầu của đoạn mạch. Biết cường độ dịng điện trong mạch khi đó I = 1 A.
Hãy tính Hiệu điện thế cực đại U0 của mạch
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có UR = 60 V; UC = 130 V
Theo giả thiết khi điện áp giữa hai đầu điện trở và cuộn dây vuông pha với điện áp hai đầu

Z L (Z L  ZC )
 1  Z L2  Z L Z C  R 2  0
R
R

2
2
2
2
 U LU C  U R  U L  U L  U LU C  U R  0

đoạn mạch thì: tan  RL tan   1 

U L  90V
U L  60V

+ Thay số ta có 

+ Khi đó hiệu điện thế hai đầu của mạch U =

U R2  (U L  U C ) 2 thay số ta có hai giá trị của

điện áp thỏa mãn là U01 = 20 26V và U02 = 10 70V
Ví dụ 9 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  100 2cos(t ) (V) gồm
một điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một tụ điện có
điện dung C. Khi thay đổi L ta thấy UL đạt cực đại và hiệu điện thế hai đầu tụ điện bằng hiệu
điện thế hai đầu điện trở thuần. Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu của uRL
* Hướng dẫn giải:
*) Nhận xét: Thông thường khi viết biểu thức điện áp của hai đầu đoạn mạch nào đó ta phải
tính được điện áp cực đại giữa hai đầu đoạn mạch đó và độ lệch pha của nó so với cường độ
dịng điện trong mạch. Đối với bài này thì để làm như vậy rất dài so với thời gian của một bài
trắc nghiệm.
Tuy nhiên ta có thể làm việc đó tương đối đơn giản nếu chú ý đến những giữ kiện bài
toán cho.

R 2  Z C2
 Z L  2R
+ Theo giả thiết UC = UR  ZC  R nên từ công thức (3.2) Z L 
ZC

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

18


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C

ZL
63
 2  u 
R
180
U R 2  ZC2
+ Khi UL cực đại thì ULmax =
 U 2  100 2 (V)
ZC
Độ lệch pha giữa uRL và i tan uRL 

RL

Kết hợp với biểu thức U  U R  (U L  U C )  U R  2U L  200 2V
2

2

2

 U RL  100 10V
+ Vì UL max nên U RC  U     RC 
Mặt khác tan  RC 

 



ZC
 1   RC
R



2


4

4

Vậy độ lệch pha giữa uRL và u mạch  

63  
(rad)
 
180 4 10

Biểu thức điện áp giữa hai đầu của điện trở và cuộn dây:

uRL  200 5cos(100 t 



10

)V

Ví dụ 10 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  100 2cos(100 t ) (V)
gồm điện trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một tụ điện có điện
dung C 

104



F . Khi L =

3



H thì điện áp trên hai đầu cuộn dây đạt cực đại. Tính URC và

UL max.
* Hướng dẫn giải:
Ta nhận thấy : Khi UL đạt cực đại thì:

U 2 RC
ZC
R 2  Z C2
=
 U RC  50 2V
Và Z L 
thì
2
U
Z L - ZC
ZC
Và R =100 2

U R 2  ZC2
Hay khi đó UL đạt cực đại UL =
 100 3 (V)
ZC
Ví dụ 11 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  50 10cos(100 t ) (V)
gồm một điện trở thuần R = 100  , cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một
tụ điện có điện dung C. Khi thay đổi L ta thấy  là độ lệch pha giữa u và i; RL là độ lệch pha
giữa uRL và i thì:

 + RL =


và cường độ dịng điện trong mạch I = 1A. Xác định L để UL
2

cực đại và tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải:

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

19


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Theo giả thiết ta có: UR = 100 (V)
+
Ta có theo giả thiết khi L thay đổi

 + RL =

Và khi đó URL đạt giá trị cực đại.
U L2  U LU C  U R2  0
Nên:


tan  RL tan   1  Z L2  Z L Z C  R 2  0
2

Mặt khác ta có U  U R  (U L  U C )
2

2

2

2.104
Giải hệ trên ta có UL = 200 (V) ; UC = 150 V  ZC  150  C 

F
3
R 2  Z C2 650
ZL 


ZC
3
Khi UL cực đại thì ta có

6,5
H
3
U R 2  Z C2
UL =
 201(V ) (V)
ZC

L
Khi đó

Ví dụ 12 : Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos100πt (U khơng đổi, t tính bằng s) vào hai đầu
đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được

103
và tụ điện có điện dung C =
F . Điều chỉnh độ tự cảm của cuộn dây để điện áp hiệu dụng
4
giữa hai đầu dây giá trị cực đại. Giá trị cực địa đó bằng U 3 . Điện trở R bằng
* Hướng dẫn giải: ZC =

1
= 40Ω
C

+ Khi ULmax ta có ULmax =

U R2  ZL2
Z
 U 3  R 2  Z C 2  R 3  R  C  20 2
R
2
Ví dụ 13 : ĐH năm 2011: Đặt điện áp xoay chiều u  U 2cos100 t vào hai đầu đoạn mạch
mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L
thay đổi được. Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì giá
trị cực đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng 36 V. Giá trị của U là
* Hướng dẫn giải:
Khi điều chỉnh L để ULmax thì khi đó uRC vng pha với uAB nên ta có
2
2
2
2
U LMAX  U RC  U 2  U R  U C  U 2
VỚI U R  U 2  (U LMAX U C) 2 nên ta có :
2

U LMAX  U LMAX .U C  U 2  0  U  U LMAX 2  U LMAX .U C  80V
2

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

20


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ví dụ 14: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện là u = 200 2 cos(100πt) (V). L thay
đổi được. Khi mạch có L = L1

3 3



(H) và L = L2 =



giá trị tức thời lệch pha nhau góc

3

3



(H). Thì mạch có cùng cơng suất nhưng

.

a. Tính R và C
b. Viết biểu thức của i

* Hướng dẫn giải:
Ta có Z L1  300 3, Z L2  100 3
a. Do P1 = P2

 Z1  Z 2  Z L  Z C  Z L  Z C
1

2

 Z L  Z C  ( Z L  Z C )
1

2

Theo bài thì i1 và i2 lệch pha nhau góc


nên có một biểu thức là nhanh pha hơn u và một biểu
3

thức chậm pha hơn u.
Do Z L1  300 3, Z L2  100 3 nên i1 nhanh pha hơn u còn i2 chậm pha hơn u.





 1 6
và tan 1  tan  2  
   

 2
6
ZL  ZL

104
 200 3  C 
F
Mặt khác ta có Z C 
2
2 3
 300 3  200 3 1
tan 

 R  300
6
R
3
1

2

b. Viết biểu thức của i
• Với Z C  200 3; R  300 ; Z L1  300 3
Tổng trở của mạch Z = 200   I 0  1 ; 1 


6

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i  cos(100 t 


6

) (A)

• Với Z C  200 3; R  300 ; Z L1  100 3
tương tự ta có: i  cos(100 t 


6

) (A)

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

21


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Ví dụ 15: Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có tần số góc  vào hai đầu cuộn dây có R, C thì
cơng suất tiêu thụ của đoạn mạch là P1= 100 W. Nếu nối tiếp mạch với cuộn dây có độ tự cảm
là L với 2 LC 2  1 và đặt vào hiệu điện thế trên thì cơng suất tiêu thụ là P2. Tính giá trị của P2
* Hướng dẫn giải:
Cường độ dịng điện trước khi mắc tụ điện C: I1 

U
R  ZC 2
2

Cường độ dòng điện sau khi mắc thêm tụ điện C là: I 2 

Do 2LC 2  1  2Z L  ZC

Suy ra I 2 

U
R  (Z L  ZC )2
2

U
R  ( ZC )2
2

Suy ra I2=I1  P2=P1 = 100W
Ví dụ 16: Cho đoạn mạch xoay chiều sau:

R  100 (điện trở thuần)
10 4
F
C
2
L:độ tự cảm thay đổi được của một cuộn thuần
cảm
Hiệu điện thế giữa hai đầu AB của đoạn mạch có biểu thức:
u  200cos100t(V)
a) Thay đổi L để hệ số công suất của đoạn mạch đạt cực đại.Tính cơng suất tiêu thụ của đoạn
mạch lúc đó và điện áp giữa hai đầu của cuộn dây.
b)Tính L để cơng suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại.
* Hướng dẫn giải:
a)Tính L

-Hệ số cơng suất của đoạn mạch là: cos  

R
R

2
Z
R  (ZL  ZC ) 2

Khi L biến thiên, cos  sẽ có giá trị lớn nhất nếu có: ZL  ZC  0  LC2  1
1
1
2
 4
 H
Do đó: L 
2
10
C

(100) 2
2
 Z  R  Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch là:
2

 200 
2


2

U
U
2
P  I2 R  R   

 200W
R
100
Z

+ U L = I ZL

U
Z L = 200 2 V
R

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

22


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
b)Tính L
2

RU 2
U
- Cơng suất tiêu thụ bởi đoạn mạch có biểu thức: P  I 2 R  R    2
R  (ZL  ZC ) 2
Z

Khi L biến thiên, P lớn nhất nếu có: ZL  ZC  0  LC2  1
L

1
2
 H
2
C


 Pmax 

U2
 200W
R

Ví dụ 17: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200 cos(100  t +


3

) vào hai đầu đoạn mạch mắc

nối tiếp theo thứ tự các phần tử gồm một điện trở thuần R, một tụ điện có điện dung C và một
cuộn cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh L để điện áp giữa hai đầu cuộn dây đạt cực
đại thì khi đó điện áp giữa hai đầu của tụ điện là UC = 100 V. Hãy viết biểu thức giữa hai đầu
của R và C : uRC
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết khi L thay đổi UL đạt cực đại thì :
2

+ uRC vng góc với uAB : U LMAX  U RC  U  U R  U C
2

2

2

2

U 2

U 2  U R 2  (U LMAX  U C )2

Mặt khác

Với U  100 2V ; UC  100V  U L  200V
Ta có U RC  U LMAX  U  U RC  100 2V
2

Và

 RC 


3

2





2



  (rad )
2
6

Biểu thức điện áp hai đầu uRC = 200 cos(100  t -


6

)

Ví dụ 18: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200 2 cos(100  t) vào hai đầu đoạn mạch mắc
nối tiếp theo thứ tự các phần tử gồm một biến trở R có điện trở thay đổi từ 0 đến  ,tụ điện có
điện dung C =

1,5



104



F và một cuộn dây khơng thuần cảm có r = 60Ω và độ tự cảm L =

H.

a) Xác định công suất cực đại của mạch.
b) Xác định công suất cực đại trên R

* Hướng dẫn giải:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

23


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
a) Ta thấy công suất cực đại của mạch đạt được khi :
RM = R + r = Z L  Z C  R  Z L  Z C  r
Với số liệu của bài toán:
ZL = 150 Ω; ZC = 100Ω và r = 60Ω  r  Z L  ZC
Mà RM > r  Z L  ZC  P  Pmax  R  0
Giá trị của công suất Pmax

U2
 2
r  393,44W
r  (Z L  ZC )2

b) Công suất trên R đạt cực đại thì R  r 2  (Z L  ZC )2 = 10 61

Pmax 

U2

2r  2 r 2  ( Z L  Z C ) 2

 256 W

PHẦN 4: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1) Bài tập tự luận
Bài 1: Cho mạch điện RLC; u = 30 2 cos(100πt) (V).R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 =
64Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 36Ω thì độ lệch pha giữa u và i là

φ2. biết 1   2  
2
a. Tính cơng suất ứng với R1 và R2
1
b. Tính L biết C = 10 4 F

c. Tính cơng suất cực đại của mạch

Bài 2: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u =
104
1
F Tìm R để:
200 2 cos(100πt) V; L = (H), C =
2

a. Hệ số công suất của mạch là 3 2
b. Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là UR = 100V
c. Mạch tiêu thụ công suất P = 100W

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

24


Một số bài tốn cực trị trong mạch điện khơng phân nhánh R, L, C
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ, u = U 2 cos100πt (V), C =

103
F , R = 120Ω
9

a. Tính L để U AN vng góc với U MB
b. Tính L để UAN đạt giá trị cực đại
c. Tính L để cosφ = 0,6

Bài 4(CĐ-2010): Đặt điện áp u = U 2 cos t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần
mắc nối tiếp với một biến trở R. Ứng với hai giá trị R1 = 20  và R2 = 80  của biến trở thì
cơng suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng 400 W. Giá trị của U là
Bài 5(CĐ-2010): Đặt điện áp u = 200cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm một biến trở R
1
mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm H. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa

nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dịng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng.

Bài 6(ĐH-2008): Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự
cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch
là U, cảm kháng ZL, dung kháng ZC (với ZC  ZL) và tần số dòng điện trong mạch khơng đổi.
Thay đổi R đến giá trị R0 thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại Pm, khi đó R0
và cơng suất có giá trị:

Bài 7(ĐH-2007): Đặt hiệu điện thế u = U0sinωt (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch

RLC không phân nhánh. Biết độ tự cảm và điện dung được giữ không đổi. Điều chỉnh trị số
điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại. Khi đó hệ số cơng suất của đoạn
mạch bằng

Bài 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Điện trở R = 20  , cuộn dây thuần cảm có độ
tự cảm thay đổi được, tụ điện có điện dung C cũng thay đổi được.
Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch u  200cos(100 t )(V)
1) Điều chỉnh L và C để L = 31,8 mH và C = 106  F
Tính cơng suất của mạch.
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

25