hinh hoc chuong 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.8 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương 1: VÉC TƠ
§ 1. Các định nghĩa:

* Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.

* Ký hiệu AB là véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
* Giá của véc tơ AB là đường thẳng đi qua A và B.

* Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ lớn (độ dài) của véc tơ AB.
* Chiều từ gốc A đến ngọn B gọi là hướng của véc tơ AB.

* Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu: 0 .

* Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau.

+
CD
AB
CD
//
AB
CD
//
AB 




 ; + Tính chất: 0 //a a ;

a

c //

b//

c

0 b //

a









 

.
+
CD

AB
CD

AB
CD
//
AB







 ; + Tính chất: 0  a a ;

a

c

b

c

0 b

a





































CD

AB

CD

AB

CD

AB

; + T.chất:ABCD CDAB;

AB

EF

CD

EF

CD

AB















 Cho điểm O cố định và véc tơ a không đổi ! điểm M sao cho OMa .

§ 2. Tổng của hai véc tơ:
1. Định nghĩa:

Tổng của hai véc tơ a vàb là một véc tơ được xác định như sau:

Từ một điểm A bất kỳ xác định các điểm B và C sao cho ABa, BCb .
Khi đó véc tơ AC được gọi là tổng của hai véc tơ a vàb .

Ký hiệu: ACab ACABBC.

2. Tính chất:

4. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: ABBCAC.

5. Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì:

AC
AD

AB 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

6. M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MAMB0 .

7. G là trọng tâm của ABC  GAGB GC 0.

§ 3. Hiệu của hai véc tơ:
1. Véc tơ đối của một véc tơ:

* Nếu ab0 thì ta nói a là véc tơ đối của b, hoặc b là véc tơ đối của a .
* Ký hiệu véc tơ đối của véc tơ a là - a . Từ đó suy ra:

Véc tơ đối của véc tơ a là véc tơ ngược hướng với véc tơ a và có
cùng độ dài với véc tơ a .

* Véc tơ đối của véc tơ 0 là véc tơ 0.

2. Hiệu của hai véc tơ:

* a- b = a + (-b).

* Cho trước véc tơ MN thì  điểm O ta ln có: MNON-OM.

§ 4. Phép nhân một số với một véc tơ:
1. Định nghĩa:

* Tích của véc tơ a với số thực k là một véc tơ, ký hiệu là ka và được xác
định như sau:

1) Về hướng: Nếu k  0 thì ka a .
Nếu k  0 thì ka a .

2) Về độ lớn:  ka  =  k. a .

* Nhận xét: . 1. a = a .

. (-1). a = -a .

2. Các tính chất của phép nhân véc tơ với một số:

Với hai véc tơ a , b bất kỳ và mọi số thực k, l, ta có:
1) k(la ) = (kl) a .

2) (k + l) a = ka + la; (k – l) a = ka - la .
3) k(a + b) = ka + kb; k(a - b) = ka - kb.
4) . ka = 0 khi và chỉ khi k = o hoặc a = 0 .

. 1. a = a .1 = a .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. Cho hai véc tơ a và b, a  0 thì a và b cùng phương khi và chỉ khi
tồn tại duy nhất số thực k sao cho b = ka

2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có một số

k sao cho ABkAC.

4) Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương:

Định lý: Cho hai véc tơ a và b không cùng phương. Với mọi véc tơ u,

tồn tại duy nhất cặp số thực (m, n) sao cho: u = ma + nb

. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ,
ta có: OI 



OAOB



2
1

. Điểm G là trọng tâm của ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta có:





3
1

OC
OB
OA

OG  

§ 5. Tọa độ của véc tơ và của điểm:

1) Đối với hệ trục tọa độ



O;i, j



hay Oxy

1. ua;b  u aibj

2. M x;y  OM x; y  OM xi yj

2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) thì ABx' x; y' y

3) Nếu u(x; y)vàv (x'; y')thì:
1. uvx x'; y y'

2. kukx;ky

B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

1. Cho ABC. Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C và C’

đối xứng với C qua A. CMR: ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

2. Cho 4 điểm A, B, C, D . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) CMR: ACBDADBC2IJ

b) Gọi G là trung điểm của IJ, CMR: GAGBGCGD0

c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD ; M, N lần lượt là trung
điểm của AD, BC. CMR: ba đường thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.

3. Cho ABC trọng tâm G. Gọi D, E là các điểm xác định bởi

.
5
2
,

2AB AE AC

AD 

a) Tính DE và DG theo ABvà AC.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4. Cho ABC.

a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức:
.

0
2

;
0

4DA DB EA EC 

b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA MB MA2MC .
5. Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD AC

5
2

 , M là trung điểm của
BD. a) Tính AM theo ABvà AC.

b) AM cắt BC tại I. Tính ICIB và .

AI
AM

6. Cho ABC. Gọi D và E là các điểm xác định bởi .
5
2
;

3
2

AC
AE

AB

AD 

Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi BM xBC.

a) Tính AK, AM theo AB, ACvà x.

b) Tìm x sao cho A, K, M thẳng hàng.

7. Cho hình thang ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các
cạnh bên AD và BC tại M và N. CMR:

b
a

DC
a
AB
b
MN




 Trong đó aAB; bCD

8. Cho tam giác ABC và trung tuyến CC1, đường thẳng nối A với trung điểm

M của CC1 cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng: CP : PB 1:2.

9. Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2)

a) Tính toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC

b) Xác định toạ độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

10. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M,N.
Gọi P, Q là giao điểm của các đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện
của hai tứ giác AMND và MBCN. Chứng minh rằng PQ không phụ thuộc vào

việc chọn các điểm M, N.

11. Gọi M và N là các điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m và n ( m và
n đều lớn hơn 1)

a) Tính theo a, m, n các đoạn thẳng MA, NA, NB và MN.
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN, tính: OMOB

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

13. Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:

14. Cho ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm của tam giác, A’ là điểm đối xứng với A qua O, D là trung điểm của
BC.

a) Xét quan hệ giữa các véc tơ: BH và A'C ; BA' và HC

b) CMR: 2.OD AH

c) CMR: OAOBOCOH 3.OG

Từ đó suy ra O, G, H thẳng hàng. Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH
d) CMR: HAHBHC2.HO3.HG

15. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H; trên BD lấy điểm K

sao cho .

6
1
;

5
1

BD
BK

BC

BH   CMR: A, K, H thẳng hàng.

16. Cho ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm được xác định bởi
CA

CC
BC
BB

AB

AA' ; ' ; ' . CMR:

a) ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

b) MAMBMC MA'MB'MC' với M là điểm bất kỳ.

17. Cho ABC và M là điểm bất kỳ:

a) CMR: véc tơ:  3.MA 5.MB2.MC là không đổi, không phụ

thuộc vào vị trí của điểm M.

b) Tìm điểm I sao cho: 3.IA 2.IBIC 0.

c) CMR: đường thẳng MN xác định bởi MN 3.MA 2.MBMC đi

qua một điểm cố định.

d) Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
MC

MB
MC

MB

MA 2.   

.
3

e) CMR: với 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau đây thì A, B,
C thẳng hàng. MA2.MB 3.MC 0

18. Cho 6 điểm bất kỳ A, B, C, D, E, F. CMR: ADBECF AEBFCD

19. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD,

BC, DB, AC. CMR:







AB DC



PQ

b

DC
AB
MN

a









2
1
)

MC
MA
MB

MA
b

MC
MB
MA
a









)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

20. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G . Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng

tâm của BCD, CDA, DAB, ABC. CMR:

a) G là trọng tâm của tứ giác A1B1C1D1.

b) A, G, A1 thẳng hàng và tính: .

GA
GA

21. Cho ABC có AB = 3, AC = 4, I  AD là phân giác trong của tam giác

sao cho: 107

AI
AD

, M là trung điểm của AC.
a) Tính BD theo DC; AI theo ID

b) Tính AD, AI theo AB và AC

c) Tính BI, BM theo AB và AC. Từ đó suy ra B, I, M thẳng hàng.

22. Cho ABC và điểm M tùy ý.

a) CMR: u(M) 3.MA 5.MB2.MC không phụ thuộc vị trí điểm M.

b) Xác định điểm I sao cho: 3.IA 2.IBIC 0

c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: PQ3.PA 2.PBPC. CMR:

PQ luôn đi qua một điểm cố định.

d) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
MB

MA
MC

MB

MA 2. .  

.
3
:
10

MC
MB
MC

MB

MA . 3. 

.
2
:
20



MB MC



k R

k
MC
MB

MA .  .  ; 

.
2
:
30

23. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng . Tìm trên  điểm M sao cho:

MC
MB

MA

a)  3. có giá trị nhỏ nhất.
MD

MC
MB
MA

b)    có giá trị nhỏ nhất.

MD
MC

MB
MA

c)   3. có giá trị nhỏ nhất.

24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng.

b) Xác định tọa độ điểm E sao cho ABE nhận M(1; 2) là trọng tâm

và tính SABE. Xác định tọa độ điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành một

hàng điểm điều hòa.

25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5).

a) CMR A, B, C không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành.

b) Xác định tọa độ điểm I sao cho: 2.IA 3.IB2.IC 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

26. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2).
a) CMR: ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ABC.

d) Tính chu vi và tọa độ trọng tâm G của ABC.

e) Tính độ dài trung tuyến BI của ABC.

f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy tại M, N. Các điểm M, N chia
đoạn thẳng AB theo tỷ số nào?

g) Phân giác trong của góc ABC cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
h) Tìm điểm P  Ox sao cho (PA + PC) nhỏ nhất?

27. Cho O là tâm và M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác đều
ABC. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC tại C1, B1; kẻ đường

thẳng song song với AC, cắt AB, BC tại C2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB,

cắt AC, BC tại B2, A1. Gọi D, E, F là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB.

CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2 đều.

b) MA1MA2 MB1MB2 MC1MC2 2.



MDMEMF



c) MD ME MF MO

2
3





28. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm
của ABC có các cạnh a, b, c. CMR:

a) OAOBOCOH

b) H, G, O thẳng hàng và HO = 3.GO.

c) a.IAb.IBc.IC 0  I là tâmđường tròn nội tiếp ABC.

d) a.GAb.GBc.GC 0  ABC đều.

29. Cho a không cùng phương với b

a) CMR: uab khơng cùng phương với va b

b) Tìm x sao cho: u a(2x 1)b cùng phương với vxab

c) Tìm x sao cho: u 3.ax.b cùng phương với v x a b

3
2
).
1

(  



30. Cho ABC vuông tại A, M là điểmm thay đổi trong tam giác và D, E, F

lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho: MDMEMF  MA

31. Cho ABC. Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn A1B 3.A1C; C1

thuộc đoạn AC sao cho AA1BB1CC1 0. Tính tỷ số:
A
B

C
B

1
1

và CC BA
1
1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

32. Cho ABC vng tại C, H là hình chiếu của C trên AB. Lấy các điểm

M  AB, N  AC sao cho BM = BC, CN = CH. CMR: MN  AC.

33.Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi:

)
0
(

.
,

.   

 AB AJ  AC AK AD 

AI . CMR: điều kiện cần và đủ để I, J, K

thẳng hàng là: 1 1 1 .

34. Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski
biến dạng: Cho hai bộ số thực (a1, a2, a3, . . ., an) và (b1, b2, b3, . . ., bn). CMR:

a a . . . a  b b . . . b  a b a b . . . a b2.

n
2
n
2

2
2
2
2
1
2
1
2
n
2

1
2
n
2

1             

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có duy nhất số thực t thỏa ai = t.bi  i 1,n.

35. Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:

Cho ABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh

rằng điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: 1.
'

'
..
'
'
.
'
'


B
C

A

C
A
B

C
B
C
A

B
A

36. Chứng minh định lý Xêva:

Cho ABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh

rằng điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song

song là: 1.

'
'
..
'
'
.
'
'




B
C

A
C
A
B

C
B
C
A

</div>

hinh hoc chuong 1

a

c //

b//

c

0

b //

a









 

a

c

b

c

0

b

a



































CD

AB

CD

AB

CD

AB

AB

EF

CD

EF

CD

AB













































Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về