Bài giảng Vật lý 12 bài 5: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre-nen

I. VECTƠ QUAY
Mỗi dao động điều hồ ln được xem là hình
chiếu của một chuyển động trịn đều lên một
đường kính.

x = A cos(ωt + ϕ )

Vectơ quay (Vectơ Fresnel)

A
ϕ
O

• Hợp với trục gốc một góc bằng pha đầu ϕ
• Chiều dài bằng biên độ A
• Quay quanh gốc O với vận tốc góc ω

M0 (t = 0)
gốc


I. VECTƠ QUAY
Một dao động điều hòa:

+
M

A

x = A cos(ω t + ϕ)

φ

O

x

được biểu diễn bằng một
vectơ quay.
Vectơ quay có:

- Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.
- Độ dài bằng biên độ dao động A.
- Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

ϕ

- Quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc

ω


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
ĐẶT VẤN ĐỀ
Đứng yên

Dao động

Dao động

Dao động
tổng hợp

Một vật có thể thực hiện đồng thời hai
hoặc nhiều dao động : dao động tổng hợp
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động
cùng phương, cùng tần số
x1 =A1cos(ωt+ϕ1) và x2 =A2cos(ωt+ϕ2 )
Dao động tổng hợp : x = x1 + x 2 =

?


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen:
Giả sử ta phải tìm phương trình dao động
của một vật thực hiện đồng thời hai dao động
điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)
x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )


Giả sử ta phải tìm phương trình dao động của một vật thực hiện
đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
y

M

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)

x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )

M2
A

Ta lần lượt vẽ hai vectơ
r
quay uur uuu

A2

A 1,A 2

A1
φ2
O

φ1 φ

biểu diễn hai dao động
thành phần.

M1
x

ur
Vẽ vectơ tổng A

biểu diễn dao động tổng hợp

ur ur ur
A = A1 + A 2


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen:
Khi vectơ A1, A2 cùng quay
ngược chiều kim đồng hồ với
tốc độ góc ω.

y
M2

Thì tứ giác OM1MM2 khơng
biến dạng.

A
A2

Tức là độ dài OM không đổi
và quay quanh O với cùng tốc
độ góc ω.
Như vậy OM là vectơ quay
biểu diễn dao động tổng hợp.

M

φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen:

Vậy:
Dao động tổng hợp của
hai dao động điều hòa
cùng phương , cùng tần
số là một dao động điều
hòa cùng phương, cùng
tần số với hai dao động
đó.

y

M
M2
A

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x


2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

 Biên độ

Q

·
A = A + A − 2A 1A 2 cos(OM
1M)
2

2
1

2
2

¼ M = 1800 − M
¼OM
mà OM

1
2
1
¼ M) = − cos(M
¼OM )
⇒ cos(OM
1
2
1
mà

⇒

¼OM = ϕ − ϕ
M
2
1
2
1
¼ M) = − cos(ϕ − ϕ )
cos(OM
1
2
1

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1
φ2
O

M1

φ1 φ
x2

x1

Vậy : A = A + A + 2A 1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1)
2

2
1

2
2

x

P


2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

 Biên độ
 Pha ban đầu φ

Q

y
M2

y2

PM OQ A.si nϕ
tanϕ =
=
=
OP OP A.cosϕ
y1 + y2
tan ϕ =
x1 + x2

M

A
A2

.

A1

y1

mà : y1 = A1 sin ϕ1 ; x1 = A1 cos ϕ1 O

φ2

φ1
x2

A 1 si nϕ1 + A 2 si nϕ2
⇒ tanϕ =
A 1 cosϕ1 + A 2 cosϕ2

M1

φ
x1

P

x


3. Aûnh hưởng của độ lệch pha:
a) Độ lệch pha:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)(1) ; x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )(2)

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha
∆ϕ = 2nπ : hai dao động cùng pha (n = 0,± 1,± 2,± 3,...)
∆ϕ = (2n + 1)π : hai dao động ngược pha
π
∆ϕ = (2n + 1) : hai dao động vuông pha
2


b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A2

A1

A

A
A1
A2

A

A2

A1

Hai dao động cùng pha: A = A 1 + A 2 ⇒ Amax
Hai dao động ngược pha: A = A 1 − A 2 ⇒ Amin

2
2
Hai dao động vuông pha: A = A 1 + A 2

Hai dao động có pha bất kỳ: A 1 − A 2 < A < A 1 + A 2


Vectơ
quay

PP :
Độ lệch pha
Kết luận :

Tổng
hợp
dao
động

Biên độ :
Pha ban
đầu:
Phương
pháp
giảng đồ
Fre-nen

Ảnh
hưởng
của độ

lệch pha

Cùng pha

Ngược pha
Vuông pha
Pha bất kỳ


I. VECTƠ QUAY
Một dao động điều hòa:

+
M

A

x = A cos(ω t + ϕ)

φ

O

x

được biểu diễn bằng một
vectơ quay.
Vectơ quay có:

- Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.

- Độ dài bằng biên độ dao động A.
- Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

ϕ

- Quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc

ω


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen:
Giả sử ta phải tìm phương trình dao động
của một vật thực hiện đồng thời hai dao động
điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)

x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen: (tt)
y

M
M2

ur
Vẽ vectơ tổng A biểu diễn

φ2
O

.

A1
φ1 φ

uur uuu
r
A 1,A 2

biểu diễn hai dao động x1 ; x2

A
A2

Ta lần lượt vẽ hai vectơ quay

dao động tổng hợp

M1
x

ur ur ur
A =urA 1 + A 2

Thấy rằng A là vectơ quay
biều diễn ptdđ tổng hợp

x = x1 + x2 = Acos(ωt + φ)


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN:
1. Phương pháp giản đồ Fre-nen: (tt)
y

M
M2
A

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x

Vậy:
Dao động tổng hợp của
hai dao động điều hòa
cùng phương , cùng tần
số là một dao động điều
hòa cùng phương, cùng
tần số với hai dao động

đó.


2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

 Biên độ

A = A + A + 2A 1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1)
2

2
1

2
2

 Pha ban đầu φ

A 1 si nϕ1 + A 2 si nϕ2
tanϕ =
A 1 cosϕ1 + A 2 cosϕ2


a) Độ lệch pha:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)(1) ; x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )(2)

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha
∆ϕ = 2nπ : hai dao động cùng pha (n = 0,± 1,± 2,± 3,...)

∆ϕ = (2n + 1)π : hai dao động ngược pha
π
∆ϕ = (2n + 1) : hai dao động vuông pha
2


b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động cùng pha:

∆ϕ = 2nπ : (n = 0,± 1,± 2,± 3,...)
A = A 1 + A 2 ⇒ Amax
A2

A1

A


b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động ngược pha:

∆ ϕ = (2n + 1)π : (n = 0,± 1,± 2,± 3,...)
A = A 1 − A 2 ⇒ Amin
A2

A
A1

b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động vuông pha:
π
∆ϕ = (2n + 1) : (n = 0,± 1,± 2,± 3,...)
2
A

A = A 12 + A 22
A1

A2


b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A

Hai dao động có pha bất kỳ:

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = b / ky
A1 − A 2 < A < A1 + A 2

A2

A1

A = A + A + 2A 1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1)
2

2
1

2
2


b) Aûnh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A2

A1

A

A
A1
A2

A

A2

A1

Hai dao động cùng pha: A = A 1 + A 2 ⇒ Amax
Hai dao động ngược pha: A = A 1 − A 2 ⇒ Amin
2
2

Hai dao động vuông pha: A = A 1 + A 2

Hai dao động có pha bất kỳ: A 1 − A 2 < A < A 1 + A 2


VÍ DỤ
Một vật thực hiện hai dao động điều hồ cùng phương :

x1 = 4 2 sin(2π t ) cm và x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm
Viết phương trình dao động tổng hợp của vật

x1 = 4 2 sin(2π t ) cm = 4 2 cos(2π t − π / 2) cm

A = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1)
=

( 4 2) + ( 4 2)
2

2

(

)

2

+ 2 4 2 cos(π / 2 − 0) = 8cm

A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2

4 2 sin(−π / 2) + 4 2 sin0
tgϕ =
=
= −1
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 4 2 cos(−π / 2) + 4 2 cos0
x = 8cos(2π t − π / 4) cm