Tiet 2 Phuong trinh dong luc hoc vat ran

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (297.46 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TIẾT 2-3

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN

QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

2/Mối liên hệ giữa gia tốc góc và mơ men lực
a/ Mơmen lực đối với trục quay.

- Mô men của lực F nằm trong một mặt phẳng vng góc với một trục quay. M = Fd.

- Chọn chiều quay của vật làm chiều dương và quy ước mơ men lực có giá trị dương nếu nó có td làm cho
vật quay theo chiều đã chọn và ngược lại.

b/ Mối liên hệ giữa gia tốc góc và mômen lực.

- Xét trường hợp hợp đơn giản nhất : Vật rắn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một thanh
rất nhe, có độ dài r. Vật có thể quay trên mặt phẳng nằm ngang xung quanh một trục thẳng đứng đi
qua đầu O của thanh .

- Tác dụng vào quả cầu một lực Ft



theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tròn của quả cầu , lực này
gây ra gia tốc tiếp tuyến at


:
Ft = mat
Mô men lực Ft



đối với trục quay O là M = Ft.r
 M = m(r).r = (mr2)

- Bây giờ ta xét vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng mi, mj… ở cách trục quay những khoảng cách
ri, rj… khác nhau.

- Mô men lực tác dụng lên chất điểm liên hệ với gia tốc góc bởi phương trình:
M = (m ri i2)

- Mômen lực td lên một chất điểm liên hệ với gia tốc góc bằng p.trình: M =(m r )γi i i2 (2)

- Mômen lực td lên toàn bộ vật rắn bằng tổng các mômen lực td lên các chất điểm của vật rắn:
2

i i i

i i



M =(



m r )γ (2)
2/ Mơmen qn tính

a. Phương trình (2) cho thấy với cùng mômen lực M td, vật rắn nào có i i2
i

m r



lớn thì gia tốc góc γ càng
nhỏ nghĩa là trong CĐQ, vật có quán tính lớn.

- Đại lượng i i2
i



m r đặc trưng cho mức quán tính của vật quay và gọi là mơmen qn tính, nó có vai trị
như khối lượng m trong phương trình F = ma.

- Mơmen qn tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong CĐQ
quanh trục ấy.

- Độ lớn của mơmen qn tính I phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn và sự phân bố khối lượng xa hay
gần trục quay.

- Đơn vị của mơmen qn tính là kgm2.

b. Momen qu á n t í nh của một vài vật:

- Thanh mảnh đồng chất ,phân bố khối lượng đều có
trục quay là đường trung trực của thanh: 1 2

I  m

- Vành trịn hay hình trụ rỗng, mỏng ,trục quay là trục đối xứng : I=mR2







</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Đĩa trịn hay hình trụ đặc đồng chất phân bố khối lượng đều,

trục quay là trục đối xứng: I=1 2

2mR

- /Quả cầu đặc, đồng chất phân bố khối lượng đều
trục quay đi qua tâm: 2 2

I  mR

3/ Phương trình ĐLH của vật rắn quay quanh một trục cố định.

- Phương trình M=Iγ gọi là PTĐLH của vật rắn quay quanh một trục cố định.
4/ Bài tập ví dụ.

- Áp dụng ĐL 2 Niu-Tơn cho CĐ tịnh tiến của thùng nước : mg – T = ma
- Áp dụng PTĐLH cho CĐ quay của hình trụ

M=TR= gI
- Hệ thức giữa gia tốc dài và gia tốc góc:

a
R

g= T I Ia2

R R

® = = mg Ia2 ma
R

® - =

2 2

mg 1

a g

I I

m 1

R mR

ị = =

ổ ửữ
ỗ

+ ỗỗố+ ữữ
ứ

---Dng 2 Bi tp xỏc định mơ men qn tính của một số vật đồng chất có hình dạng hình học đặc biệt.
2. Một đĩa trịn đồng chất có bán kính R = 2,5m khối lượng m = 2 kg.

a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vng góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?

b) Đặt vật nhỏ khối lượng m2 = 2 kg vào mép đĩa và vật m2 = 3 kg vào tâm đĩa. Tìm momen qn tính
của hệ đối với trục quay vng góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?

Đáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,75 kg.m2

2. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có khối
lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mơ men qn tính của người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người đứng ở mép sàn

b) Người đứng ở điểm cách trục quay 2,0m.
Đáp số: a) 250kgm2; b) 200kgm2.

3. Công thức Stenơ là cơng thức được dùng để đổi trục mơmen qn tính. Nếu IG là mơ men qn tính của
vật rắn đối với trục quay Z đi qua khối tâm thì mơ men qn tính của vật rắn đv trục quay D song song với
trục Z là ID = IG + md2 , với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa 2 trục.

Hãy áp dụng cơng tác này để tinh mơ men qn tính của thanh mãnh, chiều dài l, khối lượng m trục
quay vng góc với thanh và đi qua một đầu thanh.

ĐS: I = 1
3ml

2.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A O B

m2 m

Hình 2

A B

m2 m3

Hình 3

A B

m2 m3

O’
Hình 4

4. Tính mơ men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa trịn đặc bán kính R có trục quay vng góc 
với đĩa và đi qua mép đĩa.

Đáp số: 1,5mR2 ( Áp dụng công thức Stenơ)

5: Một thanh đồng chất AB dài l = 2m khối lượng m2 = 3 kg. Gắn vào hai đầu A và B của thanh hai chất
điểm khối lượng m2 = 3kg và m3 = 4kg. Tìm momen qn tính của hệ trong các trường hợp:

a) Trục quay vng góc với thanh tại trung điểm của AB.
b) Trục quay tại đầu A của thanh và vng góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vng góc với thanh.

Giải
a) Mơ men qn tính của thanh đối với trục

quay (O) đi qua trung điểm của thanh AB: I2 =

12
1

m2l2
Mơ men qn tính của m2 đối với trục quay (O): I2 = m2R22 = m2 4

l

Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (O): I3 = m3R32 = m3 4
2

l

Momen quán tính của hệ đối với trục quay (O):
I = I2 + I2 + I3 = 12

m2l2 + m2 4
2

l

+ m3 4
2

l

= 12

l

( m2 + 3m2 + 3m3)
Thay số: I =

12
1

(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m2)

b) Trục quay vng góc với thanh tại đầu A được tính:
Mơ men quán tính của thanh đối với trục quay (A): I2 =

3
1

m2l2
Mơ men qn tính của m2 đối với trục quay (A): I2 = 0

Mơ men qn tính của m3 đối với trục quay (A): I3 = m3R32 = m3l2

Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (A):

I = I2 + I2 + I3 =

3
1

m2l2 + 0+ m3 l2 =

3
1

.3.22 + 0+ 4.22 = (5 kgm2)
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.

Áp dụng định lí trục song song ta tính được mơ men qn tính của thanh đối với trục quay (O’):
I2 =

12
1

m2l2 + m2 (

l

)2 =

m2l2
Mơ men qn tính của m2 đối với trục quay (O’):

I2 = m2R22 = m2 4 16

2
2
2

l
m
l









Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (O’):
I3 = m3R32 = m3 16

9
4

3 2

3
2

l
m
l









Mơ men qn tính của hệ đối với trục quay (O’):
I = I2 + I2 + I3 = 48 1 2

l

m + 2

16
1

l

m + 2

16
9

l

m = 2,875 2 kg.m2

6: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác đều ABC. Tính mơ men quán
tính của khung đối với trục quay đi qua A và vng góc với khung.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C
G

Hình 5
mAB =mBC = mCA = m = M/3.

lAB =lBC = lCA = l = L/3.

Mơ men qn tính của khung đối với trục quay
đi qua A và vuông góc với khung:

I = IAB + IBC + ICA

Trong đó: IAB = ICA = 2

3
1

ml

Áp dụng định lí trục song song ta tính mơ men qn tính của thanh BC đối với trục quay đi qua A là
IBC:

IBC = I(G)BC + m .(AG)2
Trong đó: I(G)BC = 2

12
1

ml ; AG =

2
3

l

IBC = 2

12
1

ml + m.(

2
3

l )2 = 2

6
5

ml

Suy ra: I = 2. 2

3
1

ml + 2

6
5

ml = 2,5ml2 = 2,5. 2 2

18
1
9
.

3 ML

L
M



7. Tính mơ men qn tính của một quả cầu có khối lượng 20 kg, bán kính 0.4m khi trục quay đi qua
tâm của nó .

Hướng dẫn : I =2 2 2.20.0, 42 1, 28( 2)

5mR 5  kgm

Dạng 2. Bài tập áp dụng phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định.
Phương pháp giải

 Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mơ men các lực đó đối với trục quay.

 Áp dụng phương trình động lực học của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định: M

= I γ

 Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên quan), từ đó xác định được

các đại lượng động học, học động lực học.

1. Một mô men lực khơng đổi 50Nm tác dụng vào bánh đà có mơ men quán tính 20kgm2 . Nếu bánh 
đà bắt đầu quay thì sau bao lâu nó đạt tới 60rad/s ?

Hướng dẫn :  = 50 5( / )2
10

M

rad s

I    = 0 + t = t  t =



 =

12( )
5  s

2. Một ròng rọc có bán kính 40cm có mơ men qn tính 0,08kgm2 đối với trục của nó. Rịng rọc chịu 
một lực không đổi 2N tiếp tuyến với vành . Lúc đầu rịng rọc đứng n. Tính tốc độ góc của rịng
rọc sau khi quay được 20s. Bỏ qua mọi lực cản.

Hướng dẫn: = . 2.0, 4 10( / )2
0,08

M F r

rad s
I  I  

tại t =20s , tốc độ góc :  = 0 +t = 20.20 = 200( rad/s)

3: Một đĩa trịn đồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg. Đĩa có trục quay đi qua tâm
đĩa và vng góc với mặt đĩa. Đĩa đang đứng yên thì chịu tác dụng của lực không đổi F = 2N tiếp
tuyến với vành đĩa. Bỏ qua ma sát. Tìm tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động?

Giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

I =

2
1

mR2 =

2
1

.5.0.22 = 0,2 kg.m2
Momen lực tác dụng lên đĩa:

M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N

Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay ta được:
M = I.   =  

1
,
0

4
,
0

I
M

4rad/s2
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:

 = t = 4.5 = 20 rad/s

4. Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có đường kính 60cm. Bánh xe
quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vịng đầu tiên. Momen qn tính của bánh xe là
bao nhiêu?

Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:

 - 0 =

2
1

t2

 = ( / )

4
)

/
(
4
.
4

2
.
2
)
(

2 2 2

0 rad s rad s

t












Mô men lực tác dụng vào bánh xe:

M = F.R = 0,7.0.3 = 0,22Nm.

Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay, ta tính được mơ men quán tính của bánh xe:

M = I.  I = M = 2



4 /

21 ,

0 kgm



0,27kgm
2.

5. Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M2 không đổi là 20Nm. Trong 20 s đầu, tốc độ góc
của bánh xe tăng đều từ 0 đến 25 rad/s. Sau đó mơ men lực M2 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm
dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô men của lực ma sát có giá trị khơng đổi trong suốt thời gian
chuyển động bằng 0,25M2.

a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mơ men qn tính của bánh xe đối với trục.

Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:

- Giai đoạn quay nhanh dần đều:

2
1

0
1

1 1,5rad/s
t 



 


- Giai đoạn quay chậm dần đều:

2
2

1
2

1 0,5rad/s
t 




 


b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe trong giai đoạn quay nhanh dần đều:
M = M2 + Mms = 20 – 5 = 25Nm

Mơ men qn tính của bánh xe:
I =

1


M

= 20kgm2.
Câu 6:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

F



- Ta có phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
M = I. I M 20 2kg.m2

   

 .

- Áp dụng công thức tính momen của vật rắn: I 1 ml2 m 12I 12.22 6kg

12 l 4

     .

Câu 7:

Một vật hình cầu đặc đồng chất có bán kính R = 2m và momen quán tính đối với trục quay cố định đi
quatâm hình cầu là 6kg.m2. Vật bắt đầu quay khi chịu tác dụng của một momen lực 60N.m đối với trục
quay. Bỏ qua mọi lực cản. Tính thời gian để từ khi chịu tác dụng của momen lực đến lúc tốc độ góc đạt giá
trị bằng 200rad/s và khối lượng của vật?

Giải 7:

- Áp dụng cơng thức tính momen của vật rắn hỡnh cầu: I 2mR2 m 5I2 5.62 15kg

5 2R 2.1

     .

- Theo phương trỡnh động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
M = I. M 60 10rad / s2

I 6

     . Mặt khác     0 t 100 0 10t   t 10s.
Câu 8:

Một vật rắn có thể quay quanh một trục cố định đi qua trọng tâm. Vật rắn bắt đầu quay khi chịu tác dụng
của một lực không đổi F = 2,4 N tại điểm M cách trục quay một đoạn d = 20cm và luôn tiếp tuyến với quỹ
đạo chuyển động của M. Sau khi quay được 5s thì tốc độ góc của vật rắn đạt giá trị bằng 30rad/s. Bỏ qua

mọi lực cản.

a) Tính momen quán tính của vật rắn đối với trục quay của nó?
b) Tính tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm t2 = 20s?

c) Giả sử tại thời điểm t2 = 20s vật rắn không chịu tác dụng của lực F thỡ vật rắn sẽ chuyển động như thế
nào? Tính toạ độ góc tại thời điểm t2 = 20s?

Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu của vật rắn bằng 0 và chiều dương
là chiều quay của vật rắn.

Giaỉ 8 :

a) Ta có 2

t 0 t 6rad / s

t 5



            . Mặt khác momen lực tác dụng lên vật rắn được xác
định: M F.d I I F.d 2, 4.0,1 0,04kg.m2

     

 .

b) Áp dụng công thức:     0 t 0 6.10 60rad / s .

c) Tại thời điểm t2 = 20s, vật rắn không chịu tác dụng của lực F nên M = 0, suy ra I.=0  0. Vậy vật
rắn chuyển động quay đều với tốc độ góc bằng 60rad/s.

- Để tính toạ độ góc tại thời điểm t2 = 20 s, ta tính góc quay 1của vật rắn trong q trình vật rắn quay
nhanh dần đều trong khoảng thời gian t2 = 20s và góc quay 2của vật rắn trong q trình vật rắn chuyển
động quay đều trong khoảng thời gian t2 – t2 = 20 -20 =20s. Toạ độ góc của vật rắn tại thời điểm t2 = 20s
được xác định:    1 2.

Ta có : 1 0 0 2 2 2

1 1 1

t t t .6.10 300rad

2 2 2

         
  2 t 60.10 600rad

Suy ra:     1 2 300 600 900rad  .
Câu 9:

Một ròng rọc là một đĩa trịn đồng chất có bán kính R = 20cm
và có momen qn tính đối với trục quay đi qua tâm

bằng 0,05kgm2. Ròng rọc bắt đầu chuyển động quay
nhanh dần đều khi chịu tác dụng của lực không đổi
F = 2 N tiếp tuyến với vành của rịng rọc (như hình vẽ).
Bỏ qua ma sát giữa rũng rọc với trục quay và lực cản
khơng khí.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A
O

Hình 12

•

A
O

P



Hình 13

•

b) Tính gia tốc góc của rịng rọc?

c) Tính tốc độ góc của rịng rọc sau khi đó quay được 20 s?

d) Tại thời điểm rũng rọc đó quay được 20s lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu nhưng độ lớn vẫn giữ
ngun. Hỏi sau bao lâu thì rịng rọc dừng lại?

Giải 9 :

a) Áp dụng công thức: I 12mR2 m 2I2 2.0, 052 2,5kg
R 0, 2

    

b) Ta có: M F.d I F.d F.R 1.0, 2 4rad / s2

I I 0,05

        .

c) Áp dụng công thức:     0 t 0 4.10 40rad / s .

d) Khi lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu thỡ momen của lực F đúng vai trũ là momen cản. Chọn
mốc thời gian t = 0 lúc lực F đổi chiều ngược với chiều ban đầu thỡ tốc độ góc ban đầu (xột quỏ trỡnh
chuyển động của vật rắn khi lực F đó đổi chiều) của rũng rọc bằng tốc độ góc của rũng rọc tại thời điểm 20s
khi lực chưa đổi chiều. Momen cản của lực F gây ra một gia tốc góc bằng gia tốc góc của rũng rọc lúc chưa
đổi chiều nhưng có giá trị – 4rad/s2.

Áp dụng công thức:    0 t 0 40 4.t   t 10s . Vậy sau 20s rũng rọc
có tốc độ góc bằng 0.

Câu 20:

Thanh đồng chất OA khối lượng m và

chiều dài l có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng

đứng với trục quay (O) nằm ngang ( hình 22). Ban đầu thanh được

giữ nằm ngang rồi thả cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh,

gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm bắt đầu thả.
Giải 20:

Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm ngang),
mô men lực làm thanh quay là:

2 2

l mgl
M P 

Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay ta có :
M = I M

I

 

với 2

1 / 2 3

3 / 3 2

mgl g
I ml

ml l



   

Gia tốc dài của đầu A thanh tại thời điểm bắt đầu thả: l g
l

g
l
a

2
3
2
3

.  


Câu 22:

Cho cơ hệ như hình vẽ, vật nặng có khối lượng m = 20kg
được nối với sợi dây quấn quanh một rũng rọc có

bán kính R = 20cm và momen quán tính I = 0,4kg.m2.

Dây không dãn, khối lượng của dây không đáng kể và
dây khơng trượt trên rịng rọc. Rịng rọc có thể quay
quanh trục quay đi qua tâm của nó với ma sát bằng 0.

Người ta thả cho vật nặng chuyển động xuống phía dưới với vận tốc ban
đầu bằng 0. Lấy g = 20m/s2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

T

P

r

P

Q

A

B

c) Từ lúc thả đến lúc vật nặng chuyển động xuống một đoạn bằng 2m thì rịng rọc quay được một góc bằng
bao nhiêu?

d) Xác định tốc độ góc của rũng rọc tại thời điểm vật nặng đó chuyển động được 2m sau khi thả?
Giải 22:

- Chuyển động của vật nặng là chuyển động tịnh tiến,

chuyển động của rũng rọc là chuyển động quay quanh
một trục cố định.

- Phân tích lực tác dụng vào vật nặng và rũng rọc như
- Hình vẽ. Trọng lực và phản lực của trục quay tác
- dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.

Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh
tiến của vật nặng ta được:

mg – T = ma(2)

Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh
một trục cố định ta được:

M = TR = I (2)

Mặt khác, ta lại có: a
R

  , thay vào (2) và rút T ra: T I Ia2

R R


  .
a) Tính gia tốc a của vật nặng

Thay T vào (2) ta được:
2

2 2 2

ma ma

mg 1 1

a g 10 2m / s

I I 0, 4

m 1 1

R mR 10.0,1

 

    

  

b) Tính lực căng T

Ta có: 2 2

I Ia 0, 4.2

T 80N

R R 0,1



   

c) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cho vật nặng chuyển động, toạ độ góc ban đầu của rũng rọc
0 0

  . Vật nặng bắt đầu chuyển động nên v0 0và tốc độ góc ban đầu của rũng rọc  0 0.
Áp dụng cơng thức tính đường đi cho vật nặng chuyển động tịnh tiến:

2 2

0 1 1

s v t at 1 0 2.t t 1(s)

2 2

       s.

Gia tốc góc của rũng rọc: a 2 20rad / s2
R 0,1

    .

Trong khoảng thời gian t vật nặng chuyển động được đoạn đường s = 2m thỡ rũng rọc quay được một góc
. được tính theo cơng thức tính toạ độ góc của rịng rọc:

2 2

0 0

1 1 1

t t t .20 10rad

2 2 2

          .

d) Áp dụng công thức:      0 t 0 20.1 20rad / s .
Câu 22 :

Cho cơ hệ như hình vẽ. Hai vật A và B được nối qua sợi dây
khụng dón, khối lượng khơng đáng kể vắt qua rũng rọc.
Khối lượng của A và B lần lượt là mA = 2kg, mB = 4kg.
Rũng rọc có bán kính là R = 20cm và momen quán tính
đối với trục quay của rũng rọc là I =0,04kg.m2.

Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt
trờn ròng rọc và lấy g = 20m/s2. Người ta thả cho

cơ hệ chuyển động với vận tốc ban đầu của các vật bằng 0.

a) Tính gia tốc của hai vật?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A

T

A

P

r

P

r

Q

B

T

P

A

T

d) Tính tổng momen lực tác dụng vào rũng rọc?

e) Từ lúc thả đến lúc cơ hệ chuyển động được 2s thì tốc độ góc của rũng rọc bằng bao nhiêu? Khi đó rịng
rọc quay được một góc bằng bao nhiêu?

Giải 22:

- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển
động tịnh tiến, chuyển động của rũng rọc là
chuyển động quay quanh một trục cố định.
Vỡ PB > PA nên vật A chuyển động đi lên,
vật B chuyển động đi xuống.

- Phân tích lực tác dụng vào rũng rọc và các
vật A và B như hỡnh vẽ. Trọng lực của rũng
rọc và phản lực của trục quay tác dụng vào
rũng rọc cân bằng nhau.

- Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển
- động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:

A A A
T  P m a (2)

B B B
P  T m a (2)

- Áp dụng phương trỡnh động lực học cho rũng
- rọc chuyển động quay quanh một trục cố
- định ta được:



B A



M T  T R I  (3)

- Vì sợi dây khơng trượt trên rịng rọc nên:
a

R
  (4)

a) Thay (4) vào (3) ta được:



TB TA



I a2 TB TA I a2

R R

     , thay TB vào (2) ta được:

B A a2 B B A I2 B

P T I m a P T m a

R R

 

       

  (2’)
Giải hệ hai phương trỡnh (2) và (2’): B A 2 B

A A A
I

P T m a

T P m a

  

  

  

 



  



B A
A B 2

P P

m m

R


 

 

Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 2m/s2.
b) Thay a = 2m/s2vào (4): a 2 20rad / s2

R 0,1

    .

c) Thay a =2 m/s2vào (2):

A A A

T m a P mA(g+a) = 2.22 =24(N)
Thay a = 0,357m/s2vào (2):

B B B

T P  m amB(g-a) = 4.8 =32(N)

d) Tổng momen lực tác dụng vào rũng rọc là: M I = 0,04.20 = 0,8( Nm)

e) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cơ hệ chuyển động, toạ độ góc ban đầu của rũng rọc  0 0.
Cơ hệ bắt đầu chuyển động nên tốc độ góc ban đầu của rũng rọc  0 0.

- Áp dụng cơng thức tính tốc độ góc của rũng rọc:
0 t

    .= 20.2 =40( rad)

- Áp dụng cơng thức tính toạ độ góc của rũng rọc:

2 2

0 0

1 1

t t t

2 2

        = 1
2.20.2

2=40(rad)
Câu 23:

Cho hai vật có khối lượng lần lượt là m2 = 2kg, m2 = 2kg được
nối qua sợi dây không giãn, khối lượng khơng đáng kể vắt qua rịng
rọc như hình vẽ. Rịng rọc có bán kính R = 0cm và

momen quán tính đối với trục quay là I = 0,04kg.m2.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a. Tính gia tơc của hai vật.
b. Tính các lực căng dây.

c. Tính áp lực của dây nối lên trục ròng rọc.
Giải 23:

a. Áp dụng định luật II Newton cho 2 vật:P T1  1 m a1. và T 2 P2N2 m a2
chiếu lên phương các chuyển động : P2 – T2 = m2a (2)

T2 = m2a (2)

Áp dụng phương trình động lực học vật rắn cho ròng rọc : (T2 – T2 )R = IT2 – T2 = 2

I Ia
R R



Vậy T2 – T2 = Ia2

R (3)

Cộng (2), (2) và (3) ta suy ra :

1 2 2 2

1.10
0.04
1 2

0.2

m g
a

I
m m

R

 

    =

4 = 2,5 ( m/s
2)
b. Các lực căng dây: (2)  T2 = m2(g-a) = 2.(20 – 2.5 ) = 7,5 (N)

(2)  T2 = m2a = 2.2,5 = 2,5(N)
c. N = T = 2 2

1 2

T T = 7,522,52 = 7,92(N)

Câu 24 : Giải bài toán 23 khi giữa vật m2 và mặt bàn có ma sát với hệ số ma sát là µ
Hướng dẫn :

Tương tự bài trên ta có :

c. Áp dụng định luật II Newton cho 2 vật:P T1  1 m a1. và T2P2N2Fmsm a2
    
chiếu lên phương các chuyển động : P2 – T2 = m2a (2)

T2 - Fms = m2a (2)

Áp dụng phương trình động lực học vật rắn cho rịng rọc : (T2 – T2 )R = IT2 – T2 = I Ia2

R R




Vậy T2 – T2 = 2

Ia
R (3)

Cộng (2), (2) và (3) ta suy ra :

1 2 1 2

1 2 2 1 2 2 2

( ) (1 0,1.2).10
0.04
1 2

0.2

m g m g m m g
a

I I

m m m m

R R

 

  

  

      =

4= 2 ( m/s

2)
d. Các lực căng dây: (2)  T2 = m2(g-a) = 2.(20 – 2 ) = 8 (N)

(2)  T2 = m2a + Fms = m2a + µm2g = m2 (a + µg) = 2( 2 + 0,2.20) =6(N)
c. N = T = 2 2

1 2

T T = 82 62 = 20(N)

Câu 25 : Một rịng rọc có hai rãnh với bán kính R và r ( r<R). 
Mỗi rãnh có một sợi dây không dãn qấn vào, đầu tự do

của mỗi sợi dây mang một vật các vật có khối lượng
m2 và m2 với m2>m2 ( hình vẽ) . Biết mơ men qn tính của

rịng rọc đối với trục quay là I. Tính gia tơc góc của rịng rọc và các lực căng dây.
Hướng dẫn :

Dễ thấy m2 đi xuống và m2 đi lên.

Định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của 2 vật :
1 1 1 1

P T m a

  

2 2 2 2
P T m a
  

Chiếu lên các phương chuyển động :

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



P



T

N



P



P



P



T

 = 22 12 22 1 2

2 1 2 1

P R – P r ( )

m R m r I m R m r I

m R m r g


   

 T1 = m1(g +r) và T2 = m2( g -R)

Câu 26: Trên một hình trụ rỗng, người ta quấn một sợi dây không giãn , 
khối lượng của sợi dây không đáng kể, khối lượng của hình trụ là m.
Đầu kia của sợi dây buộc cố định tại điểm O.

Thả cho khối trụ chuyển động.

a. Tính gia tơc của khối trụ. Lấy g = 9,8m/s2.

b. Tính lực lăng dây treo khối trụ, biết khối lượng của khối trụ là 2.5 kg.
Giải 26:

a. Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của
khối trụ: P T ma chiếu lên phương chuyển động ta có P – T = ma (2)

Áp dụng phương trình động lực học vật rắn cho chuyển động quay của hình trụ ta có:
T.R = I = mR2 = mRa T = ma (2)  P = 2 ma  a =

g

= 4,9 ( m/s2)
b. Lực căng dây: T = ma = 2,5.4,9 = 7,35(N)

Câu 27:

Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi dây
không dãn, khối lượng khơng đáng kể và vắt qua một
rịng rọc trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng góc 30o

 
như hình vẽ. Khối lượng của hai vật lần lượt là mA = 2kg,
mB = 3kg. Rịng rọc 2 có bán kính R = 20cm và momen
quán tính đối với trục quay là I = 0,05kg.m2.

Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây khơng trượt trên rịng rọc

và lấy g = 20m/s2. Thả cho hai vật chuyển động khơng vận tốc ban đầu. 
a. Tính gia tốc của mỗi vật.

a. Tính áp lực của dây nối lên ròng rọc?
Giải 27:

- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động
tịnh tiến, chuyển động của rũng rọc là chuyển
động quay quanh một trục cố định. Vì PA > PBsin
nên vật A chuyển động đi xuống, vật B chuyển
động đi lên.

- Phân tích lực tác dụng vào rũng rọc và các vật
A và B như hình vẽ. Trọng lực của rịng rọc và

phản lực của trục quay tác dụng vào rũng rọc cân bằng nhau.

- Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
A A A

P  T m a (2)

B B B

T  P sin m a (2)

- Áp dụng phương trỡnh động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:



A B



M T  T R I  (3)

- Vỡ sợi dây không trượt trên ròng rọc nên:
a

R
  (4)

Thay (4) vào (3) ta được:



TA TB



I a2 TA TB I a2

R R

     , thay TA vào (2) ta được:

A B a2 A A B I2 A

P T I m a P T m a

R R

 

       

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1 A

B

2 A

T

A

P

B

T

P

A

T

T T

Giải hệ hai phương trình (2) và (2’): A B 2 A

B B B

P T m a

T P sin m a

  
  
  
 

   


A B
A B 2
P P sin
a
I
m m
R
 
 
  =
0
2
(2 3sin 30 )10

0.05
2 3

0.1


 
=0,5(m/s2)

Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 0,5m/s2.
Thay a = 0,5m/s2 vào (2) ta được:

A A A

T m a P = mA(g-a) = 2(20 - 0.5 ) = 2.9.5 = 29(N)

Thay a = 0,5m/s2 vào (2) ta được:

B B B

T m a P sin  = mB(a + gsin) = 3(0,5 + 20.0,5) = 26,5(N)
Áp lực của dây lờn rũng rọc là tổng hợp lực của hai lực căng TA và TB: T T ATB

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

2 2 0

A B A B

T T T  2.T .T cos120 = 19216,522.19.16.5.cos 600 30, 7(N).
Câu 28:

Cho hai vật A và B có khối lượng của A và B lần lượt

là mA = 20kg, mB = 25kg được nối qua sợi dây không giãn,
khối lượng khơng đáng kể vắt qua hai rịng rọc như

hình bên. Rịng rọc 2 có bán kính R2 = 20cm và
momen quán tính đối với trục quay là I2 = 0,5kg.m2.
Rịng rọc 2 có bán kính R2 = 20cm và momen quán
tính đối với trục quay là I2 = 2kg.m2. Bỏ qua mọi lực
cản, coi rằng sợi dây khơng trượt trên rịng rọc và
lấy g = 20m/s2. Thả cho cơ hệ chuyển động, tính

gia tốc của hai vật A và B? Tính gia tốc góc của hai rũng rọc?
Giải 28:

- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động
tịnh tiến, chuyển động của hai ròng rọc là chuyển
động quay quanh một trục cố định. Vỡ PB > PA
nên vật A chuyển động đi lên, vật B chuyển động
đi xuống.

- Phân tích lực tác dụng vào các rịng rọc và
các vật A và B như hình vẽ. Trọng lực của ròng
rọc và phản lực của trục quay tác dụng vào ròng
rọc cân bằng nhau.

- Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động
- tịnh tiến của hai vật nặng ta được:

A A A
T  P m a (2)

B B B
P  T m a (2)

- Áp dụng phương trình động lực học cho hai ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:





1 A 1 1 1
M  T T R  I (3)





2 B 2 2 2
M  T  T R  I (4)

- Vỡ sợi dây khơng trượt trên rịng rọc nên:
1

1
a
R
  (5)

2
2
a
R
  (6)

Thay (5) vào (3) ; (6) vào (4) ta được:









1
A 2
1
2
B 2
2
I

T T a

R
I

T T a

R

 



  



cộng vế với vế của hai phương trình ta được: B A 12 22
1 2

I I

T T a

R R

 

   

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

P
T’
T

R
1 2

B 2 2 A
1 2

I I

T a T

R R

 

    

 

, thay TB vào (2) ta được:
1 2

B A B 2 2
1 2

I I

P T m a

R R

 

    

 

(2’)

Giải hệ phương trỡnh (2) và (2’):

1 2

B A B 2 2 B A

1 2

1 2
A B 2 2

A A A 1 2

I I

P T m a P P

R R I I

m m

T P m a R R

  

   

   

  

  

   

 


Thay số ta được: a = 0,5m/s2.

Thay a = 0,2m/s2 vào (5) và (6) ta được: 
2

1
1
a 0,5

5rad / s

R 0,1

    .

2
2

2
a 0,5

2,5rad / s
R 0, 2

    .

Câu 29 : Một trụ đặc đồng chất khối lượng m = 200kg quay xung quanh một

trục nằm ngang trùng với trục của trụ. Trên trụ có cuốn một sợi dây không giãn
trọng lượng không đáng kể. Đầu tự do của dây có treo một vật nặng M = 20kg.
Để vật nặng tự nó chuyển động.Tính gia tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây.
Giải 29:

Ta có a = .R và T = T’ (2)

Áp dụng định luật II Niutơn cho riêng vật nặng
ta có: Mg - T = Ma (2)

Áp dụng phương trỡnh động lực học cho vật rắn

quay quanh một trục cố định ta có: M = I. Û R.T = I.  với I = 2/2mR2 (3)
Từ (2), (2), (3) ta có a = 2M2Mgm2.20 1002.20.9,8 2,8

  m/s

Từ (2) ta có: T = M(g - a) = 20(9,8 - 2,8) = 240 N

Câu 30: Cho cơ hệ như hình vẽ: m1 200( )g , m2 600( )g .

Rịng rọc có khối lượng khơng đáng kể, sợi dây nối 2 vật không co giãn lấy
g=20(m/s2) . Tinh gia tốc của các vật ?

Giải 30:

Cách 2: ỏp dụng định luật ụm cho từng vật( chỳ ý : lỳc này xột cả ngoại lưc P và nội lực T) 
Vật 2: P T1  1 m a1.1(2) Vật 2: P2 T2 m a2.2 (2)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

P



T



P



T



Q



P



T



'

T



P



R

1 1 1. 1

P T m a

   (3) và P2  T2 m a2. 2(4)

từ (3) và (4) ta cú : P1 P2 (m1m a2) Suy ra :

1 2

2
1 2

( )

. 4( )

m m m

a g

m m s



 



Cách 2: Xột cho cả hệ m2 + m2 thỡ ỏp dụng định luật II Niwton ta chỉ xột

ngaọi lưc P chứ khụng cần xét đến nội lực T vỡ hai lực ấy tự triệt tiờu nhau

Vậy ta cú : P1 P2 (m1m a2) (5) Chiếu (5) lên phương chuyển động của mỗi vật : P1 P2 (m1m a2)

Hay : 1 2 2

1 2

( )

. 4( )

m m m

a g

m m s



 



Câu 31: Một rịng rọc hình trụ khối lượng M=3(kg), bán kính
R=0,4(m) dùng để kéo nước trong một giếng . Chiếc xô khối l
ượng m= 2(kg) buộc vào sợi dừy quấn quanh ròng rọc , nếu xơ
được thả từ miệng giếng thì sau 3(s) nó chạm nhẹ vào mặt nước
(Bỏ qua ma sát và mơ men qn tính của tay quay , lấy g=9,8(m/s2) .

1. Tính độ sâu từ miệng giếng đến mặt nước.

2. Tính lực căng sợi dây.

Giải 31: . Chọn chiều dương trùng chiều như hình vẽ : Áp dụng định luật II 
cho vật m ta có : P T m a. chiếu lên chiều dương : P T ma (2)
phương trình động lưư học vật rắn co rịng rọc rọc là : M I. (2)
mà M F R T R.  . (2)

. Từ (2) và (2) ta cú :

. .

MR a
T R I

R



  (3) ( Do a

R

 )

Vậy rút ra được :

2
Ma
T  (4)

Thay (40 vào (2) :

2
Ma

mg ma Suy ra : 2 . 5, 6( ).2
1 2

m g m

a

M s

 

 Và T=8,4(N)

Độ sâu của giếng là: Khi xơ đến mặt nước thì nó đi được quãng đường h :
2

. 1

(5,6)(3 ) 25, 2( )

2 2

a t

h   m .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

P



T



'

T



P



N



T



T



2

'

mang vật có khối lượng cũng bằng m ( bỏ qua ma sát ) . Tính gia tốc của theo g.
Giải 32 :: Theo ĐL II Niwton ta có cho vạt m : P-T=ma (2)

Xột rũng rọc : M=F.R=I I a
R

 Hay : . . 1. . . .2
2

I a

T R m R a

R

  Suy ra :

2
ma

T  (2) Thay (2) vào (20 ta có: 2

2 3

ma g

mg ma a

Câu 33 : Cho cơ hệ như hình vẽ: m2>m2 mơ men qn tính của rịng rọc đối với trục quay là I, bán kính
rịng rọc là R ( Bỏ qua ma sát ) . Viết biểu thức tính gia tốc của m2 ( theo m2,, m2, R và I)

Giải 33 : Áp dụng định luật II cho vật m2 : P T1 1 m a1.

  

(2)

Chiếu lờn chiều chuyển động : P T1 1 m a1. Suy ra : T1 P m a1 1. (2)
Xột cho vật m2 ta cú: T2 m a2. (3)

lấy (2) trừ (3) vế theo vế: T1 T2 P1 m a m a1.  2. (4)
mặt khỏc viết phương trỡnh động lực học cho rũng rọc:

1 2

a

M M I I

R


   Suy ra : 1. 2

a
T R T R I

R

  Hay : 1. 2 2
a
T T I

R
  (5)

Thay (5) vào (4) :

1 2 2
( )m g
a

I
m m

R



 

Q



P



T



'

T



P



</div>

Tiet 2 Phuong trinh dong luc hoc vat ran

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN

QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>









4

/

21

,

0

<i>kgm</i>



F



<i>P</i>



T

T

P

r

P

Q

A

B

A

T

T

A

P

r

P

r

Q

B

T

P

A

T













P



T

N



P



P



P



T

T

T









1

A

B

2

A

T

T

A

P

B

T

P