on tap dau nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (339.19 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ÔN TẬP ĐẦU NĂM ĐAI SỐ LỚP 12

1. Phương trình bậc nhất ax+b = 0

Ví dụ. Giải phương trình: a)2x- 3=0 b) 3 6 0
2

x

- + = c) 1 2 3 1

2 3

x+ - x- =

Chú ý. Với a¹ 0 thì ax= Û0 x=0

Giải.

BÀI TẬP.

Bài 1. Giải phương trình.

a) 2 3 0

2
x

- + = b)2 1 3 1

x x

ổ ửữ

ỗ + ữ= +

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

c) 2 2 1 2 1

2 3 4

x- - x- +x+ = d)3 1 2 1 1 2

2 3 4

x- + x- - x- = x

Bài 2. Biện luận phương trình.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 4

b ac

D =

- Neáu D <0, PTVN

 Nếu D =0, PT có no kép 1 2

2
b
x x

a
= =
- Nếu D >0, PT có hai nghiệm phân biệt

1 2

b
x

a
- - D

= , 2

2
b
x

a
- + D
=

2
' b' ac

D = - ỗốỗỗỗổb'=b2ửữữữữứ
Neỏu D <' 0, PTVN

Nếu D =' 0, PT có no kép x1 x2 b'

a
= =
- Nếu D >' 0, PT có hai nghiệm phân biệt

' '

b
x

a
- - D

= ,x2 b' '

a
- + D
=

Ví dụ. Giải phương trình (giải bằng cách tính Dvà D' nếu được):

a) x2- 4x+ =3 0 b) x2+6x+ =9 0 c) x2+ + =x 5 0
Giaûi.

Chú ý 1. Cho phương trình baäc hai ax2+ bx + c = 0

i) Nếu a+b+c = 0 thì x1= 1, x2 c
a
=

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

-Ví dụ.a) x2- 4x+ =3 0

Ta có a + b + c = 1+ -

( )

4 + = Þ3 0 x1= 1, 2 3 3

1
c
x

a

= = =
b) x2- 6x- 7=0

Ta coù a–b + c = 1- -

( ) ( )

6 + - 7 = Þ0 x1=–1, 2 7 7

c

x

a

-= - = - =
Chú ý 2. Phương trình bậc hai khuyết không lập D

i) Dạng ax2+ bx = 0 (khuyết c )  Đặt thừa số chung.

Ví dụ.Giải phương trình:

a)2x2- 3x=0 b) mx2- 2x=0
Giải.

ii) Dạng ax2+ c = 0 (khuyết b )  Chuyễn c qua bên phải.

Ví dụ.Giải phương trình:

a) 2x2- 8=0 b) 3x2+ =6 0 c) x2- 2m=0

Giaûi.

Nhận xét. Nếu A > 0, thì x2=A Û x= ± A

Nếu A < 0, x2=A vơ nghiệm.
3) Phương trình bậc hai và hệ thức viet.

Cho phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 ; đặt

1 2
c
P x x

a

= = , S x1 x2 b
a
= + =

-a) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu Û P <0

b) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt

0
0
0
P
S
ìï D >
ïï
ï
Û íï >

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt

0
0
0
P
S
ìï D >
ïï
ï
Û íï >

ï <
ïïỵ

Ví dụ.Xác định m để phương trình

(

m- 2

)

x2+2

(

m- 1

)

x+m+ =2 0

a) Có hai nghiệm phân biệt . b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm. d) Có hai nghiệm dương phân biệt
Giải.

Ví dụ. Xác định m để phương trình x2- mx- 2=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

1 2

2 1
10
x x
x +x =

Giaûi.

4. Tam thức bậc hai f x

( )

=ax2+bx c+

(a  0)
1) f x

( )

³ 0 " Ỵ ¡x Û 0

0
a
ìï £
ïí
ï >
ïỵ

2) f x

( )

£ 0 " Ỵ ¡x Û 0
0
a
ìï £

ïí
ï <
ïỵ

3) x1< <a x2 Û af a

( )

4) x1<x2<a Û

( )

2
af
S

a
a
ìïï

ï D >
ïï

ï >
íï

ïï
ï <
ïïỵ

5) a<x1<x2 Û

( )

2
af
S

a
a
ìïï

ï D >
ïï

ï >
íï

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví du. Cho biểu thức f x

( )

=x2- 2

(

m+1

)

x+m2- m
a) Xác định m để f x

 

0 với mọi x 

b) Xác định m để phương trình f x

 

0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1<x2<2
Giải.

BÀI TẬP.

Bài 1. Giải phương trình. ( hãy lập D'nếu được)

a) x2- 6x+ =5 0 b) x2- 7x- 8=0 c) x2+7x+12=0
d) x2- 2x- 1 0= e) - 2x2+6x=0 f) x2+ =9 0
g) - x2+10=0 h) x2- 10x+25=0

Bài 2. Giải phương trình, m là tham số.

a) 2x2- m+ =1 0 b) mx2- 3x=0
Bài 3. Cho phương trình :x2-

(

2m+3

)

x m+ 2+2m+ =1 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. (Đáp số : m = -1)
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :

2 2
1 2 7
x +x =
(Đáp số :m=0 )
Bài 4. Cho phương trình f x

( ) (

= 3- m x

)

2- 2

(

m- 1

)

x m- =0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 5. Cho phương trình :x2- 6x m+ - 2=0

Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (Đáp số :2<m<11)
Bài 6. Cho phương trình :mx2+2

(

m+3

)

x+m=0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (Đáp số : m>0)
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

(Đáp số : 3 0

m> - Ùm¹ )
Bài 7. Cho phương trình : f x

( )

= - x2+6x+m- 2=0

a) Xác định m để f x

 

0 với mọi x 

b) Tìm m để phương trình cố hai nghiệm phân biệt và số 1 nằm giữa hai nghiệm đó.
c) Xác định m để phương trình f x

 

0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 2

3 x x

- < < .

5. Quy tắc xét dấu biểu thức
Cho

( )

1 1 0

n n

m m

a x a x a x a
f x

b x a x bx b

-+ +×××+ +

+ +×××+ +

Để xét dấu biểu thức f x

( )

trước tiên ta tìm nghiệm của tử và mẫu sau đó áp dụng quy tắc 
“ngồi cùng trong trái với dấu của a bn m”. Chú ý qua nghiệm kép khơng đổi dấu.

Ví dụ.Xét dấu biểu thức f x

 

sau đó giải bất phương trình f x

 

0 và f x

 

0
a)f x

 

x2 3x 4

   b)f x

 

x26x9
c)f x

( )

=x3- 4x

( )

(

)

(

)

3 2 2 2

7 12

x x x

f x

x x

- + - +

+ +

Giaûi.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BAØI TẬP.

Xét dấu biểu thức sau đó giải bất phương trình f x

 

0 và f x

 

0
a) f x

( )

=x2- 3x- 4

b) f x

( )

= - x2- 2x+3

c) f x

( )

=x2+3x+4

d) f x

( )

= - x2+2x- 4
e) f x

( )

=x2- 6x+9

f) f x

( )

= - 4x2+12x- 9
g) f x

( )

=x2- 3x

h) f x

( )

= - 2x2+6x
i) f x

( )

= - x2+9

j) f x

( )

=2x2- 8
k) f x

( )

=x2+10

l) f x

( )

= - 2x2- 4
m) f x

( )

=x3- 9x

n) f x

( )

= - 2x3+6x
o) f x

( )

=3x3+6x

p) f x

( )

= - 4x3- 12x

( )

(

)

2
3
f x

x
=

- r)

( )

(

)

3
1
f x

x

-=

( )

(

)

2 3

x x

f x

x

-
-=

- t)

( )

(

)

(

)

(

)(

)

2 3 4 2 2

3 6 1

x x x

f x

x x

- - - +

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

6) Phương trình trùng phương.
Ví dụ.Giải phương trình:

a) x4- 3x2+ =2 0 b) x4 8x2 9 0

   

c)x4 3x2 2 0

   d)x44x2 0

Giaûi.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9></div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tổng quát:

4 2 0

ax bx c (1)
Đặt t x2 0

  , khi đó phương trình (1) tương đương: at2bt c 0 (2)

i) (1) có bốn nghiệm (2)

ii) (1) có hai nghiệm (2)

iii) (1) vô nghiệm (2)

iv) (1) có ba nghiệm (2)

v) (1) có một nghiệm (2)

BÀI TẬP.

1) Giải phương trình:

a)2x4- 3x2- 5=0 b) 4x4 12x2 9 0

   

2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :x3- 2mx=0

3) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:x4-

(

2m- 1

)

x+m2+4m=0
7. Giới hạn

Quy ước:

i)







chan ,







le ,



 



le  

ii) (dương)  





, (aâm)   





(dương)    





, (âm)   





(Áp dụng quy tắc nhân dấu thông thường)

iii)  

0
dương

;
0
dương

  ; 0

âm

  ; 0

âm

 

Chú ý.





1 1 0

lim n n ...

n n

x a x a x a x a




      = (an)





n

 





1 1 0

lim n n ...

n n

x a x a x a x a




       = (an)





n

  

Ví dụ:
a)
b)
c)
d)

4) Tính giá trị của hàm số.

Ví dụ 1. Cho hàm số y =

 

3 3 2 2 7

   

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tính f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2), f(3), f(-3), f(1

2),
f(-1
2) .

Giaûi.

Ví dụ 2. Cho hàm số y=x4 2x2

 .

Tính f(0),f(1),f(-1),f(2),f(-2),f( 2),f(- 2),f( 3) .
Giaûi.

4) Biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ.

Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ Oxy :

A(2;1), B(-3;2), C(-4;-1), D(0;-4), E(3;0), F(-2;0), G(0;2).
Giaûi.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CÁC QUY TẮC VÀ CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HAØM

1. Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f’(x).

o Nếu y = C (C là hằng số) thì: y’ = C’ = 0  Ví dụ. (2004)’ = (828676)’ = 0
o Nếu y = x thì: y’ = x’ = 1  Hệ quả. (k.x)’ = k.(x)’ = k.

2. Các quy tắc.

a) Quy tắc 1.Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm.
(u + v + w)’ = u’ + v’ + w’.

o Trong đó u, v, w là các hàm số theo x.
o Nếu C là hằng số thì (u  C)’ = u’.

o Ví dụ. (x3 2x2 + 3)’ = (x3)’  (2x2)’ + (3)’

b) Quy tắc 2. (đạo hàm của tích)
(u.v)’ = u’v + v’u

o Nếu C là hằng số thì (u.C)’ = C.u’.

c) Quy tc 3. (o hm ca mt thng)
'

u
v
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ

ỗố ứ = 2

' '

u v v u
v

'
1
v
ổửữ
ỗ ữ

ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ = 2

'
v
v

d) Quy tc 4. (đạo hàm của hàm số hợp)

o Nếu hàm số u = (x) có đạo hàm tại x là : u’x = ’(x).

o Nếu hàm số y = g(u) có đạo hàm tại u là : y’u = g’(u)

Thì hàm số hợp: y = f(x) = g[(x)] có đạo hàm tại x là : y’x = f’(x)= g’(u).’(x)

hay y’x = y’u.u’x.
3.

Các cơng thức.

Nhóm

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lũy thừa

(x)’ = .x 1

'
1

x
ổửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ

ỗố ứ = 2
1
x
( x)' = 1

2 x

(u)’ = .u – 1.u’

'
1
u
æ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ

ỗố ứ = 2
'
u
u
( u)' = '

u

Lượng giác

(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = sinx

(tgx)’ = 12
cos x
= 1 + tg2x

(cotgx)’=  12
sin x
= (1 + cotg2x)

(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = u’.sinu

(tgu)’ = 2'
cos

u
u
= u’(1 + tg2u)

(cotgu)’ =  2'
sin

u
u

= u’(1 + cotg2u)

Hàm số mũ

(e(axx)’)’ = e= axx.lna (e

u)’ = u’eu

(au)’ = u’au.lna

Logarit

(ln x)’ = 1

x
(loga x)’ = 1

ln
x a

(lnu)’ = u'
u
(logau)’= '

ln
u

u a

BÀI TẬP.

1) Tìm đạo hàm các hàm số

a) y = x4 + x2 – 1 b) 1

2 1
x
y
x
+
=
- c)

2 2 3
2
x x
y
x
- +
=

-2) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

a) Cho y = x sin x, Chứng minh rằng: xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
a) Cho hàm số y =sin3 cos3

1 sin .cos

x x

x x
+

- . Chứng minh rằng: y’' = –y

d) Cho y = xx+- 34 . Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y–1)y’’

d) Cho f(x) = cos2 2
1 sin

x
x

+ . Chứng minh rằng : f( ) 3 '( )4 4 3
p - p =

3) Giải bất phương trình f(x) < 0 với f(x) = 1

3–x2+

 .

4) Cho caùc hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = 1cos4

4 x

Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), xR

5) Cho hàm số y = f(x) = x3

3x2+1, có đồ thị (C).

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x)  0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3.
6) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2–2x–3 đi qua M

1(5;3).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

8) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) =x–2+ 4
1

x- đi qua A(0;3).
9) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) = 1

1
x
x

-+ ñi qua H(1;1).
10) Cho (C) : y = f(x) = x4–x2.

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

i) Tại điểm có hồnh độ bằng 2.
ii) Tại điểm có tung độ bằng 3.

iii) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

iv) Biết tiếp tuyến vng góc với d2 : y = 1 10

24x- .

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

6
p

4
p

3
p

2
p

Sin 0 1

2
2

2 1

Cos 1 3

2
2

2 0

Tan 0 1

3 1 3 

Cot  3 1 1

3 0

Liên hệ giữa độ và radian: 00
180

rian

a a

p
=

Cơng thức lượng giác cơ bản
cos2 x + sin2 x =1

tanx sin
cos
x
x
=

cotx cos
sin
x
x
=

tan .cotx x =1
2

1 tan+ x 12
cos x
=

1 cot+ x 12
sin x
=

Cung đối

cos(–α ) = cos α 
sin(–α ) =–sin α

tan(–α ) =–tan α

cot(–α ) =–cot α

Cung buø

cos(p–α ) =–cos α

sin(p–α ) = sin α 
tan(p–α ) =tan 
cot(p ) =cot

Cung phuù
cosổỗỗỗ2p- aửữữữữ

ỗố ứ = sin sin
2

p a

ổ ửữ

ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ = cos

tanổỗỗỗp2- aửữữữữ

ỗố ứ = cot

cotổỗỗỗ2p- aửữữữữ

ỗố ứ = tan

Hụn keựm

cos(p+ ) =cos α 
sin(p+ α ) =–sin α

tan(p+ α ) = tan α

cot(p+ α ) = cot α

Hơn kém 2 Tuần hồn Cơng thức cộng

(

)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

cosổỗỗỗ2p+aửữữữữ

ỗố ứ=sin

sinổỗỗỗ ửữữữữ

ỗố ứ

+ a

2 = cos

tanổỗỗỗ2p+aửữữữữ

ỗố ứ=cot

cotổỗỗỗ2p+aửữữữữ

ỗố ứ=tan

cos(+k2p)= cos

sin(+k2p)= sin

tan(+kp) = tanα

cot(α+kp) = cotα

(

)

cosa b- =cos cosa b+sin sina b

(

)

sin a b+ =sin cosa b+cos sina b

(

)

sina b- =sin cosa b- cos sina b

(

)

tan a b+ = tan tan
1 tan tan

a b

a b
+

-(

)

tan a b- = tan tan
1 tan tan

a b

-+
Nhân đôi

sin2a = 2sina cosa
cos2a= cos2a - sin2a

= 2cos2a -1

= 1 - 2sin2a

Hạ bậc
2

cos a = 1 cos2
2

a
+

sin a = 1 cos2
2

a

-Tích thành tổng

cos cosa b =1 cos

(

)

cos

(

)

2éêë a b+ + a b- ùúû
sin sina b =1cos

(

)

cos

(

)

2éêë a b- - a b+ ùúû
sin cosa b =1 sin

(

)

sin

2éêë a b+ + a b- ùúû

Tổng thành tích
cosa+cosb =2cos cos

2 2

a b+ a b

-cosa- cosb= 2sin sin

2 2

a b+ a b

-sina+sinb=2sin cos

2 2

a b+ a b

-sina- sinb =2cos sin

2 2

a b+ a b

-Cơng thức nghiệm phương trình lương giác cơ bản

o

sinx

= sin

α



é = +ê = -êxx ap ak2+pk2p
ê

(1)

o

cosx = cos

α



êé = +ê = - +xx aa k2kp2p
ê

(2)

</div>

on tap dau nam

ÔN TẬP ĐẦU NĂM ĐAI SỐ LỚP 12

( )

( ) ( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

 

 

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

( )

 

 

( )

( )

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

 

 

( )

( )

(

)

(

)

<sub> </sub>

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)(

)

(

)