Mot so PP tinh the tich cac khoi da dien

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Một số phương pháp tính thể tích các khối đa diện.

<i><b>I. Tính trực tiếp.</b></i>

Chú ý: Khi tính thể tích các khối đa diện theo phương pháp này ta cần tính
đường cao của khối đa diện.

<i><b>Ví dụ 1:</b></i> Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D; AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng 600_{. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)}

cùng vng góc với (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

(Khối A –
09)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Gọi H là hình chiếu của I lên BC,
từ giả thiết ta có SI vng góc với
(ABCD).

Góc giữa (SBC) và(ABCD) là góc



<i>SHI</i> bằng 600. Ta dễ tính được IC
= a 2; IB = BC = a 5. SABCD =

3a2_{. S}

IBC = SABCD - SABI – SCDI =

2

3
2

<i>a</i>

. Nên IH = 2 3 3

5
<i>IBC</i>

<i>S</i> <i>a</i>

<i>BC</i> 

Từ đó

VS.ABCD = 1/3.SABCD.SI =

3

3 15
15

<i>a</i>

A B

D C

S

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Ví dụ 2:</b></i> Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường
thẳng BB’ và (ABC) bằng 600_{. Tam giác ABC vuông tại C,}_

<i>BAC</i> = 600.
Hình chiếu của B’ lên (ABC) trùng trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích của khối đa diện A’ABC theo a.

(B – 2009)

HD: Gọi M là trung điểm của AC, H là
trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

BH = a/2  BM = 3
4

<i>a</i>

, B’H = 3

2

<i>a</i> _.

Đặt BC = x, thì CM = 1

2AC = 2 3

<i>x</i>

Sử dụng BM2_{= BC}2_{+ CM}2_{ta tính}

được x2₌27 2

52<i>a</i>

2

9 3
104
<i>ABC</i>

<i>a</i>
<i>S</i>

 

3
'

9
208
<i>A ABC</i>

<i>a</i>
<i>V</i>

 

C'

A'
B'

B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Ví dụ 3:</b></i> Cho hình chóp S.ABC có
tam giác ABC vng tại C, AC = a,
AB = 2a, SA vng góc với đáy.
GÓc giữa (SAB) và (SBC) bằng
600_{. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu}

của A lên SB, SC. Chứng minh AK

 HK và tính thể tích khối chóp

S.ABC.

HD: CM AK  (SBC)  AK 

HK.
SABC =

2 ₃

2

<i>a</i> _{, AK = AH.sin60}0_.

Tính SA = 2

2

<i>a</i> _ _{V =} 3 ₆

12

<i>a</i>

A B

C
S

K
H

<i><b>Ví dụ 4:</b></i> Cho lăng trụ đều
ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a,
khoảng cách giữa tâm O của tam
giác ABC đến (A’BC) bằng a/6.
Tính thể tích của khối lăng trụ đều.
HD: Đặt AA’ = x, sử dụng tam giác
đồng dạng : <i>MHO</i><i>M</i>AA' ta tính

được x = 6

4

<i>a</i> _{3 12} 3

16

<i>a</i>
<i>V</i>

 

j
H

O
M

C'

B'

A'

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>2. Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích.</b></i>

Trong phương pháp này ta sử
dụng tính chất:

'
' ' ' ' '

<i>A B C</i>

<i>ABC</i>

<i>V</i> <i>SA SB SC</i>

<i>V</i> <i>SA SB SC</i> A'

B'

C'

C

B
A

S

<i><b>Ví dụ 1:</b></i> Cho lăng trụ tam đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AB = a, AA’ = 2aA’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao
điểm của AM và A’C. Tính VIABC.

(D – 2009)
HD: Sử dụng tỉ số: <i>IABC</i> 2₃

<i>MABC</i>

<i>V</i> <i>IA</i>

<i>V</i> <i>IM</i> 

3

4
9
<i>IABC</i>

<i>a</i>
<i>V</i>

 

I
M
A'

C'
B'

B
B

A

<i><b>Ví dụ 2:</b></i> Cho tứ diện ABCD có <i>_{ABC BAD}</i> ₉₀0

  ,<i>CAD</i> 1200, AB = a, AC = 2a,

AD = 3a. Tính VABCD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chọn M, N lần lượt là các điểm trên AC,
AD sao cho AM = An = a. Ta có:

BM = 1/2AC = a; BN = <i>a a</i> .

MN2_{= AM}2_{+ AN}2_{– 2AM.AN.cos}_

<i>MAN</i>

3

<i>MN</i> <i>a</i>

   tam giác BMN vuông tại B.

Vì AB = AM = AN nên hình chiếu của A
lên (BMN) trùng trọng tâm tam giác BMN
là trung điểm H của MN.

Ta tính được VABMN =

3 ₂

12

<i>a</i>
Ta lại có:

. . 1
. . 6
<i>ABMN</i>

<i>ABCD</i>

<i>V</i> <i>AB AM AN</i>

<i>V</i> <i>AB AC AD</i>   VABCD =

3 ₂

2

<i>a</i>

H
N

M _D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Ví dụ 2:</b></i> Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với
cạnh đáy góc 600_{. Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của}

SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần. tính tỉ số thể
tích của hai phần đó.

HD:

1
6
<i>MDPQ</i>

<i>MBNC</i>

<i>V</i>

<i>V</i> 

5
6
<i>DPQCNB</i> <i>MBCN</i>

<i>V</i> <i>V</i>

  .

.

1

2

2
<i>MBCN</i> <i>DBCN</i> <i>DBCS</i> <i>S ABCD</i>

<i>V</i>  <i>V</i> <i>V</i>  <i>V</i>

Từ đó ta có: <i>VDPQCNB</i>= .

5

12<i>VS ABCD</i>
5

7
<i>DPQCNB</i>

<i>SABNPQ</i>

<i>V</i>
<i>V</i>

  M

Q
P

N

D C

B
A

S

<i><b>Ví dụ 3:</b></i> Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K là điểm thuộc CC’
sao cho CK = 2a/3, mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD chia khối
lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>3. Ứng dụng thể tích tính khoảng cách.</b></i>

<b>Bµi 1:</b> SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o

TÝnh D(A,(SBC)).

<b>Gi¶i</b>

S∆ABC = ₂1 AB.BC.sin120o =

4. 3
2
.

2<i>a</i> <i>a</i> _{= a}3

3

SSABC = ₃1 S∆ABC .SA=

333
.

2 <i>_a</i>

<i>a</i> _{= a}3 ₃

KỴ SM BC

BC _SA (v× SA _ (ABC))

⇒BC  AM AM = a 3

SAM vuông tại A có SM = 2 3a
S∆SBC = SM.BC = 2 3a2

d(A, (SBC)) 3 3 3 3₂ 3

2
2 3

<i>SABC</i>
<i>SBC</i>

<i>V</i> <i>a</i>

<i>S</i>_



<i>_a</i>



<i>a</i>

B
A

S

C

M
3a

2a

</div>

<!--links-->