Khai thác một số tính chất điểm, đường đặc biệt của tam giác để giải bài toán tam giác trong hình học tọa độ Oxy

KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT CỦA TAM
GIÁC
ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ Oxy.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trinh đường cao AH và trung tuyến AM lần
13 x − 6 y − 9 = 0
I (−5;1)
x − 2 y − 13 = 0
lượt là:
và
. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC là
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
(Trích đề thi thử THPT Hà Trung, Thanh Hóa, năm 2013)
A( −3; 4)
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
, đường phân giác trong góc A có
x + y −1 = 0
I (1;7)
phương trình
và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là
. Viết phương trình cạnh BC,
biết diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác IBC.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Đoàn Thượng, Hải Dương, năm 2014)
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H. Biết đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

x2 + y 2 − 3x − 5 y + 6 = 0

d : 3x − y − 4 = 0
M (2;3)
là
, H thuộc đường thẳng
, tọa độ trung điểm AB là

. Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác biết hồnh độ của A lớn hơn 1.
(Trích đề thi thử THPT Hàm Rồng, Thanh Hóa, năm 2013)
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình đường

thẳng

x− y =0

và điểm

9 9
I ; ÷
4 4

là tâm đường tròn ngoại tiếp , khoảng cách từ I đến đường thẳng BC bằng

3 2
4

x + 5 y − 14 = 0
, đường thẳng đi qua đỉnh B có phương trình
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
biết tung độ của A và B đều không lớn hơn 2.
(Trích đề thi thử THPT Quỳnh Lưu 3, Nghệ An, năm 2013)
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác trong kẻ từ A là D

3

 2; − ÷

2


 1 
I  − ;1÷
 2 

, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là
. Tìm tọa độ đỉnh B và C.
(Trích đề thi thử lần 2, THPT Chuyên Quỳnh Lưu 1, Nghệ An, năm 2014)

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm là

 29 
K  0; ÷
 8 

, trung điểm cạnh BC là
hoành độ của C.

5 
M  ;3 ÷
2 

 1
H  3; ÷
 4

, tâm đường tròn ngoại tiếp là

. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C; biết hồnh độ của B lớn hơn

(Trích đề thi thử lần 8, Group Toán 3K Class, Facebook, năm 2013)

1


Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1).
Đường thẳng AH có phương trình x + 2y – 3 = 0. Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác
ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE: x – 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc, năm 2015)
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I(2;1), bán kính R = 5. Chân
đường cao hạ từ B, C, A của tam giác ABC lần lượt là D(4; 2), E(1; -2) và F. Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp
của tam giác DEF, biết rằng A có tung độ dương.
(Trích đề thi thử lần 4, THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, năm 2015)
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc A nằm trên đường

x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 20 = 0

thẳng d: x + y = 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình
. Biết rằng
điểm M(3; -4) thuộc đường thẳng BC và điểm A có hồnh độ âm. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.
(Trích phần nâng cao đề thi thử lần 3, THPT Chuyên Quốc Học, Huế, năm 2014)
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1). Tọa độ điểm E(–1; –
3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B. Đường thẳng AC qua F(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2)
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Nguyễn Trung Thiên, Hà Tĩnh, năm 2015)
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt là
4 x − 3 y − 20 = 0, 2 x + y + 10 = 0
. Đường tròn (C) đi qua trung điểm của các đoạn HA, HB, HC có phương

( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 25

trinh là
hơn –4.

, trong đó H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ H biết C có hồnh độ lớn

(Trích đề thi thử Đại Học Thành Nhân, Đà Lạt, năm 2015)
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ
3 x + 5 y − 8 = 0, x − y − 4 = 0
đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là
. Đường thẳng qua A

D ( 4; −2 )

vng góc với đường thẳng BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
. Viết
phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hồnh độ của điểm B khơng lớn hơn 3.
(Trích đề thi thử THPT Trần Phú, Thanh Hóa, năm 2015)
I (1; 2)
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có tâm
và có trực tâm H
d : x − 4y −5 = 0
2 x + y − 14 = 0
thuộc đường thẳng
. Biết đường thẳng AB có phương trình
và khoảng
cách từ C đến AB bằng

3 5

. Tìm tọa độ điểm C, biết hồnh độ điểm C nhỏ hơn 2.
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Khiết, Quãng Ngãi, năm 2015)
M (3; −1)
Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là
, đường thẳng chứa
E ( −1; −3)
F (1;3)
đường cao kẻ từ B đi qua điểm
và đường thẳng chứa AC đi qua điểm
. Điểm đối xứng của
D (4; −2)
đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
. Tìm tọa độ của các đỉnh tam giác ABC.
(Trích đề thi thử số 1, Website: mathvn.com, năm 2015)

2


BC : x − y − 4 = 0
Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình
, các tọa độ điểm
H (2;0), I (3;0)
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Lập phương trình đường AB biết
điểm B có hồnh độ khơng lớn hơn 3.
(Trích đề thi thử lần 1, THPT Nguyễn Văn Trỗi, Hà Tĩnh, năm 2015)

H ( 3; −2 ) , I ( 8;11) , K ( 4; −1)

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho gọi
lần lượt là trực tâm của đường
tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
(Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Hồ Chí Minh , năm 2015)

2 2
G ; ÷
3 3

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm
, tâm đường trịn ngoại tiếp
I (1; −2)
E (10; 6)
F (9; −1)
, điểm
thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và điểm
thuộc đường thẳng
BC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết B có tung độ bé hơn 2.
(Trích đề thi thử lần 2, THPT Chuyên Đại Học Vinh, năm 2015)

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có

điểm của BC,

 1 11 
P  ; ÷, Q ( 6; −1)
2 2 

5 9
H ; ÷

2 2

là trực tâm,

3 5
M ; ÷
2 2

là trung

lần lượt là các điểm thuộc AB, AC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
(Trích đề thi thử số 9, Diễn đàn k2pi.net , năm 2015)

 3
C  3; ÷
 2

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có H là trực tâm,
, đường thẳng AH có
2x − y +1 = 0
phương trình
, đường thẳng d đi qua H, cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q ( khác điểm
2x − 3y + 7 = 0
A) thỏa mãn HP = HQ và có phương trình
. Tìm tọa độ các đỉnh A và B
(Trích đề thi thử lần 5, THPT Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội, năm 2015)
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có phương trình là

 8
G  1; ÷

(C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 26 ,  3  là trọng tâm tam giác và M (7; 2) nằm trên đường thẳng đi qua A và
2

2

vuông góc với đường thẳng BC, M khác A. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ của điểm B lớn
tung độ của điểm C.
(Trích đề thi thử số 3, Tạp chí Tốn Học và Tuổi Trẻ, năm 2014)
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có tâm I (1; −2) , bán kinh

17 và đường thẳng BC có phương trình 3x − 5 y − 30 = 0 . Biết trực tâm H của tam giác thuộc đương thẳng
uuur
uuur
d : 5 x − 3 y − 24 = 0 . Chứng minh rằng AH = 2 IM với M là trung điểm đoạn BC và tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC.
(Trích đề thi thử lần 3, Website: ViettelStudy.vn , năm 2015)

3


Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC (AB < AC) có I (−1; 0) tâm đường tròn ngoại tiếp.

M (3;3) là một điểm nằm trên đường trung trực của cạnh BC. N (2; 4) là điểm nằm trên đường thẳng chứa
đường phân giác trong góc B của tam giác ABC và thỏa mãn AN = CN. Đường thẳng BC đi qua D (1; 4) và tung
độ điểm B lớn hơn tung độ điểm C. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
(Trích đề thi thử lần 5, Website: ViettelStudy.vn , năm 2015)
0
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm I và có góc BCD bằng 90 , CD

5


M  ; −1 ÷
2
 , trung điểm
song song với trục tung, tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Trung điểm cạnh BC là
1
cạnh HA là K(2; 3) và diện tích tam giác HMI bằng 2 . Xác định tọa độ các đỉnh của tứ giác ABCD, biết điểm B
có hồnh độ âm.
(Trích đề thi thử Khảo sát chất lượng THPT Chun Lê Q Đơn, Bình Định, năm 2015)
Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;5) và điểm M(0;-2) là trung điểm cạnh BC.

·

Gọi D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C. Đường phân giác của góc DME cắt đường cao hạ
từ đỉnh A tại điểm I(0;3). Tìm toạ độ các đỉnh B, C biết rằng điểm B có hồnh độ âm.
(Trích đề thi thử lần 3, THPT Đa Phúc, Hà Nội, năm 2015)

 −4 
H  3; ÷
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có  3  và

 −7 
I  6; ÷
 3  lần lượt là trực tâm

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi E, F lần lượt là hình chiêu của B, C trên cạnh AC, AB. Đường trung

trực của đoạn EF có phương trình: d : x − 3 y − 10 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết điểm B có tung
độ dương và BE: x – 3 = 0.
(Trích ngân hàng đề thi đại học 2015, Group toán 3K Class, Facebook, năm 2015)

Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp là I(0; -1), tâm đường trịn

 11 −2 
H ; ÷
 25 25  là hình chiếu của điểm A trên cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh của
bàng tiếp góc A là J(5; 4) và điểm
tam giác, biết điểm B có hồnh độ dương.
(Trích ngân hàng đề thi đại học 2015, Group toán 3K Class, Facebook, năm 2015)
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;2), điểm D là chân đường
phân giác trong của góc BAC. Đường thẳng AD cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm M (khác A).
Tính tọa độ các điểm A, B, C biết J(-2; 2) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và phương trình đường
thẳng CM là x + y − 2 = 0 .

(Trích đề thi thử THPT Quốc Gia, Bắc Ninh, năm 2015)
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1; 2) bán kinh bằng 5. Chân
đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC lần lượt là H (3;3), K (0; −1) . Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp
tứ giác BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương.
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Hoàng Lê Kha, Tây Ninh, năm 2015)
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là
4 x + 3 y − 7 = 0 , đường phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại

4


 13 − 7 
 63 −8 
M ; ÷
J ; ÷
 2 4  , đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm  22 11  . Tìm tọa độ điểm B biết hồnh độ điểm
B là số nguyên.

(Trích đề thi thử THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh, năm 2015)
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn.H(-1;1),K(2;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ
A,B. M(1;-1) là trung điểm của BC. Tìm tọa độ của A,B,C.
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Phương trinh đường thẳng
AI là : 4x+3y-14=0. Trung điểm của BC là M(2;-1). Chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC là K(2;3) .Tìm tọa
độ của A,B,C biết rằng điểm A có tọa độ nguyên.

5