Bài toán liên quan Khảo sát hàm số qua các đề thi Đại học

Kh o sát hàm s và các

thi

μ

i h c 12

8) y

www.VNMATH.com

1
1
1

3
x
x
x

y3

1 x3
1 x3

BT4

Chơng 1
Đạo hm
A)Tính đạo hm b»ng c«ng thøc

BT1
1) y  ( x 2  3x  4)( x 3  2 x 2  5 x  3)
2) y  (2 x  1)(3x  2)(4 x  3)(5 x  4)
3) y  ( x 3  3x 2  3x  1) 2  2( x  1) 3
4) y  (2 x  1) 4  (3 x  2) 4  ( x 2  4 x  1) 3
5) y  ( x  1) 2 ( x  2) 3 ( x  4) 4
ax  b
cx  d
ax 2  bx  c
2) y 
mx  n
ax 2  bx  c
3) y  2
mx  nx  p

3x  5
7x  8
2 x 2  5x  6
y
 3x  4
5x 2  4 x  9
y
 2 x 2  3x  8
y

1) y 

ax 3  bx 2  cx  d
4) y  3
mx  nx 2  px  q

1  x3
y
3  x3
4
4
 2x  1   x  1 
y

 
 x 1  1 x 

x3
5) y 
2x
x3  x
x3  x  1
3

 3x 2  5x  4    5 x  7 
  
7) y  

x 1

  x 1 

3

BT3
1) y

2) y 
3) y 
4) y 

x

x

x3

x 
y

x 1
2

x 1
x 1

y

x

x

6x  5
x2  2
x 1

x2  x 1

1
2
y

2
3
3
x
x x2

2
x  x4  2
8

5) y  (1  x) 2  x 2 3 3  x 3
6) y 
7) y 

y  4.3 cot g 3 x  3 cot g 8 x
cos x  x 2 sin x
x 2 cos x  sin x
1
1
y  tgx  tg 3 x  tg 5 x
3
5

y

BT1

6) y 

y  sin(cos x)  cos(sin x)
y  x 2 . sin x 2  cos 2 2 x
y  (2  x 2 ). cos x  2 x. sin x
sin x  cos x
y
y  sin x 3  cos x 2
sin x  cos x
y  sin n x. cos nx
y  cos n x. sin nx
y  sin 5 3x  cos 5 3x
x
x
sin x  x cos x
y
y  tg  cot g
2
4
sin x  x cos x

(2  x 2 )(3  x 3 )
(1  x) 2

y  ( x  5) x 2  3

1 x

x

1 x

y

9 x2

www.VNMATH.com

Chơng 2
Tính đơn điệu của hm số
1)-Tìm điều kiện của tham số để hm số
đơn điệu

A1)Hm đa thức
BT1 (ĐH Ngoại Thơng 1997)
Tìm m để y x 3  3x 2  (m  1).x  4m
nghÞch biÕn (-1;1)
BT2
Tìm m để y x 3 3(2m 1).x 2 (12m 5).x 2
đồng biến trên (-;-1) U [2; +)
BT3
1
3

Tìm m để y mx 3  2(m  1).x 2  (m  1).x  m
đồng biến trên (-;0) U [2; +)
BT4
Tìm m để y  x 3  6mx 2  2(12m  5).x 1
đồng biến trên (-;0) U (3; +)

BT5 (ĐH Thuỷ Lợi 1997)
Tìm m để y

m 1 3
.x m.x 2 (3m 2).x
3

đồng biến trên R
BT6
Tìm m để
y  x 3  mx 2  (2m 2  7m  7).x  2(m  1).(2m  3)

®ång biÕn trªn [2; +∞)
BT7
www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

1
3

Tìm m để y  x 3  (m  1).x 2  m.(m 2).x 7
đồng biến trên [4; 9 ]
BT8
Tìm m để
y

biến trên [1; +)
BT9
Tìm m để

y x 3 3(m  1) x 2  3m(m  2).x  1 đồng biến
trong các khoảng thoả mÃn 1 x 2

BT11 (HVQHQT 2001)
Tìm m để y x 3 (m  1) x 2  (m 2  4).x 9
đồng biến với mọi x

A2)Hm phân thức
2 x 2 3 x m.
x 1

đồng biến

trên (3; +)
BT2 (ĐH N«ng NghiƯp 2001)
 2 x 2  3 x  m.
Tìm m để y
2x 1

1
biến trên  ; 

 2

nghÞch

BT3
mx 2  (m  1) x 3
x

đồng

biến trên (4; +)
BT4
Tìm m để

(2m 1) x 2 3mx 5.
y
x 1

nghịch

biến trên [ 2;5 ]
BT5
Tìm m ®Ĩ

x 2  2mx  3m 2
y
x  2m

y

®ång

y

(m  1) x 2  2mx  (m 3  m 2  2)
xm

nghÞch biÕn

x 2  2mx  m 2
xm

biến trên (1; +)
BT7 (ĐH Đ Nẵng 1998)
www.VNMATH.com

BT1
Tìm m ®Ó y  (m  3) x  (2m  1). cos x luôn
nghịch biến
BT2
Tìm a, b để y a. sin x  b. cos x  2 x luôn
đồng biến
BT3
1
4

1
9

Tìm m để y m.x sin x . sin 2 x sin 3x
luôn đồng biến
BT4
Tìm m để
đồng biến

BT5
Tìm a để
1
1
3
y .x 3 (sin a  cos a ).x 2  ( sin 2a ).x 1 luôn
3
2
4

đồng biến
BT6
Tìm m để y x m(sin x cos x) luôn đồng
biến trên R
BTBS
x3
1) Tìm a để y a 1 x 2   a  3 x  4 đồng
3
biến trên o;3
x2 2 x 3
g  x  , x /  0;3
2x 1
2) Tìm m để hm số y x3 3 x 2  mx  m nghÞch

HD: y '  0 a

biến trên một đoạn có độ di bằng 1
đồng biến

trên (1; +)

BT6 (ĐH Kiến Trúc 1997)
Tìm m ®Ó

2 x 2  mx  2  m
x  m 1

1
y  2m.x  2 cos 2 x  m. sin x. cos x  . cos 2 2 x luôn
4

BT1 (ĐH TCKT 1997)

y

y

A3)Hm lợng giác

đồng biến trên [2; +)
BT10 (ĐH Luật Dợc 2001)
Tìm m để

Tìm m để

Tìm m để

trên tập xác định

y x 3 (m 1) x 2  (2m 2  3m  2).x 1

y

www.VNMATH.com

biến trên (1; +)
BT8 (ĐH TCKT 2001)
Tìm m để

2 3
x  (m  1).x 2  (m 2  4m 3).x m 2 đồng
3

Tìm m để

i h c 12

đồng

2)- Sử tính đơn điệu để giải phơng
trình ,bất phơng trình ,hệ phơng
trình , hệ bất phơng trình

BT1 (ĐH Thủ Lỵi 2001)
GPT : 2 x 1  2 x  x  ( x  1) 2
2

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

x

2

i h c 12

www.VNMATH.com

BT12

BT2
GBPT :
log 2

thi







 5 x  5  1  log 3 x 2  5 x  7  2

BT3
3x 2  2 x  1  0
GHBPT :  3
 x  3 x  1  0

BT4(§HKT 1998)
 x 2  5 x  4  0
 x 3  3x 2  9 x  10  0

GHBPT : 
BT5

log 22 x  log 2 ( x 2 )  0

GHBPT :  1 3
2
 x  3x 5x 9 0
3

Tìm m để

x y  y  y  2

GHPT :  y  z 3  z 2  z  2

3
2
z x x x 2

Tìm m để BPT  x 3  3m.x  2 

 x 3  3x  3  ln( x 2  x  1)  y

GHPT :  y 3  3 y  3  ln( y 2  y  1)  z
 3

2
 z  3 z  3  ln( z  z  1)  x

BT8
 1  2 x  x
 
y
 4 

2 y3  y2
 1 
z
GHPT :  
 4 
2 z3  z 2

1


 
x
 4 

3

2

BT9

x 



GHPT :  y 


z 


3

y
 sin y
6
z3
 sin z
6
x3
 sin x
6

BT10
GBPT x  9 5 2 x 4
BT11
Tìm m để BPT
3  x  6  x  18  3 x  x 2  m 2  m 1

Chơng 3
Cực trị của hm số
1)- Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất
của hm số

BT1
Tìm Max,Min của y 

1  sin 6 x  cos 6 x
1  sin 4 x  cos 4 x

BT2 (§HSP1 2001)
3 cos 4 x  4 sin 2 x
T×m Max,Min cđa y 
3 sin 4 x  2 cos 2 x

BT3
a) T×m Max,Min cđa y  sin x(1  cos x)
b) T×m Max,Min cña y  sin x  3 sin 2 x
BT4
T×m Max,Min cđa y 

1
1

4  sin x 4  cos x

BT5
T×m Max,Min cđa
y

1  tgx
1  sin 2 x
a

 (a  1)
1  tgx
1  sin 2 x

 
víi x  0; 
 4
BT6
a)T×m Max,Min cđa y  sin 3 x  cos 3 x
b)T×m Max,Min cđa
1
1
y  1  cos x  cos 2 x  cos 3x
3
2

Lu«n ®óng víi mäi x thc [ -3; 6]
www.VNMATH.com

1
®óng víi
x3

mäi x 1
BT15
Tìm a để x x x 12  m( 5  x  4  x )
cã nghiệm

2

BT7

1
x

đúng với mọi x 2
BT13 (ĐHBK 2000)
Tìm a để BPT x 3  3 x 2  1  a.( x  x  1) 3 cã
nghiƯm
BT14 (§H Lt 1997)

BT6(§HNT HCM 1996)
3

x 3  2 x 2  (m  1).x  m 

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

c)T×m Max,Min cđa
1
1
1
y  1  cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x
2
3

4

d)T×m Max,Min cđa y  sin x  cos 2 x  sin x
BT7
T×m Max,Min cña
y

sin 6 x. cos x  cos 6 x sin x
cos x sin x

www.VNMATH.com

BT17 (ĐH Cảnh Sát 2000)
Tìm Max,Min cña y  5 cos x  cos 5 x
  
;
Víi x  
 4 4 
BT18 (§HQG TPHCM 1999)
Cho f ( x)  cos 2 2 x  2.(sin x  cos x) 3  3 sin 2 x m
Tìm Max,Min của f(x) . Từ đó tìm m để
f ( x) 36.x
2

BT8 (ĐHBK 1996)

Cho 0 x  vμ 2 ≤ m , n  Z

BTBS
T×m GTNN y  x3  3x 2  72 x  90 x   5;5

2

1
x

T×m Max,Min cđa y  sin m x. cos n x

y  a  cos x  a  sin x

T×m Max,Min cđa
y  1  2. cos x  1  2. sin x

T×m GTLN, GTNN cđa hμm sè

BT10
12
Gi¶ sư 12 x  6mx  m  4  2  0 cã
m
nghiÖm x1, x2 T×m Max,Min cđa S  x13  x 23

y  sin

2

2x
4x
 cos
1
2

1 x
1  x2

T×m GTLN, GTNN cđa hμm sè
y  x  cos 2 x

BT11
T×m Max,Min cđa S 
2

x  ( x  4 y)
x2  4y2

2

Víi x + y > 0
BT12 (HVQHQT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1

BT13 (ĐHNT 1999)
Cho x,y 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của S  3 x  9 y
BT14 (§HNT 2001)
Cho x,y > 0 , x+y=1
1 x


4

y

x
  
 sin 2 x, x    ; 
2
 2 2

T×m GTLN, GTNN cđa hμm sè

x
y
T×m Max,Min cđa S 

y 1 x 1

x

0 x

Tìm GTLN của hm số

2

Tìm Min của S

1
thoả mÃn
z

3

x  y  x  , voi x, y, z  0
2
3
1
HD: C«si P  3 3 xyz 
Dat t  3 xyz  (0; ]
3 xyz
2

Cho 1 ≤ a T×m Min cđa

2

1
y

T×m GTNN y  x  y  z

BT9

2

i h c 12



y

1 y

BT15 (ĐH Thơng mại 2000)
Tìm Max,Min của

4
y 2sin x sin 3 x
3

T×m GTLN, GTNN cđa hμm sè
ln 2 x
y
tren 1; e3
x
2)- Sử dụng GTLN, GTNN của hm số
trong phơng trình, bpt ,hpt, hbpt

BT1
GPT: x 5  (1  x) 5 

y  sin 4 x  cos 4 x  sin x. cos x 1
www.VNMATH.com

1
16

BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
2 x 2  x  (2  x)(2  x)  m

y  sin 6 x  cos 6 x  a. sin x. cos x

BT16 (HVQY 2000)
T×m Max,Min cđa

tren  0;

BT3(ĐH Y TPHCM 1997)
Tìm m để phơng trình sau có nghiÖm
a)

x  9  x   x 2  9x  m

www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

BT4
Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

4 2

BT15
Tìm m để phơng trình sau cã nghiÖm

m.x  x  3  m  1

BT5(§HQG TPHCM 1997)

x  6. x  9  x 6. x 9

Tìm m để ( x 2  1) 2  m  x x 2 2 4
đúng với mọi x thuộc [0;1]
BT7(ĐHGT 1997)
(1  2 x).(3  x)  m  (2 x 2 5 x 3)

BT8
Tìm m để phơng trình sau cã 4 nghiƯm ph©n
biƯt
( x 2  2 x  2) 3  4 x 2  2 x  2  2 x 2  4 x  m

BT9
Tìm a dể BPT sau đúng với mọi x thuộc R
3cos4 x  5cos3x  36sin2 x 15.cosx  36  24a 12a2  0

BT10

 4 (4  x)(2  x)  x 2  2 x  m  18

đúng với mọi x thuộc [-2;4]
BT11(ĐHQG TPHCM 1998)
Tìm a để phơng trình có nghiệm duy nhất
2 x 1  ax

cos 4 x  6. sin x. cos x m

c) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm
sin 4 x  cos 4 x  m 2 . cos 2 4 x

2

BT14(ĐHGT 1999)
a)Tìm m để m. cos 2 x  4 sin x. cos x  m  2  0
 
Cã nghiÖm x   0; 
www.VNMATH.com

3x 2  2 x  1  0
 2
 x  3.mx  1  0
3)- Sư dơng GTLN, GTNN chứng minh bất
đẳng thức

a)Tìm m để m x 2 8  x  2 cã 2 nghiƯm ph©n
biƯt
b)Cho a + b + c = 12 CMR
a 2  8  b 2  8  c 2  8  6. 6

1
3

1
4

2
3

  3 
víi x   ; 

5 5 
BT4
CMR

BT5

3 cos 2 x  sin x  cos x  m  2 cos x. 1  3 cos 2 x
2

4

BT18
Tìm a để hệ bất phơng trình sau cã nghiÖm

17  cos2 a  4 cosa  6  cos2 a  2 cosa  3  2 11

BT13 (ĐH Cần Thơ 1997)
Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm



2

1
2

b) Tìm m dể phơng trình sau cã nghiÖm

4

2

CMR sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x 

4(sin 4 x  cos 4 x)  4(sin 6 x  cos 6 x)  sin 2 4 x  m

4

 x  1 log (a.x a)

BT3

BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998)
a) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm

6

log 2

CMR 2  x  12  3x 2  1
Víi mäi x thuộc TXĐ
BT2

đúng với mọi x thuộc [-4;6]
b) Tìm m để

2x 1

BT16
Tìm a để bất phơng trình sau đúng víi mäi x

thuéc R a.9 x  4(a  1)3 x  a  1

BT1

(4  x)(6  x)  x 2  2 x  m

3x 2  1

xm
6

BT17
T×m a để bất phơng trình sau có nghiệm

1
;3
2

đúng x

a) Tìm m để

www.VNMATH.com

b)Tìm m để sin x. cos 2 x. sin 3 x  m
  
Cã ®óng 2 nghiƯm x   ; 

b) 3  x  6  x  (3  x)(6 x) m

Tìm m để

i h c 12

CMR sin 2 x 

2
 
víi x   0; 
3
3x  x
 2

BT6
CMR 2( x 3  y 3  z 3 )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x)  3
víi x, y, z  0,1
BT7
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

CMR
1
1 
 1



cotgA cotgB cotgC 3 3  2

sin A sin A sinC 
ABC
4)- Cực trị hm bậc 3

Xác định cực trị hm số
BT1
Tìm m để các hm số có cực đại cực tiểu
1
3

1) y  .x 3  mx 2  (m  6).x  (2m  1)
2) y  (m  2).x 3  3 x 2  m.x  5
BT2(HVNg©n Hμng TPHCM 2001)
CMR với mọi m hm số sau luôn dạt cực trị
tại x1; x2 với x1 x2 không phụ thuộc m
y  2.x 3  3(2m  1) x 2 6m.(m 1) x 1

BT3
Tìm m để hm số sau luôn đạt cực trị tại x1;
x2 thoả mÃn x1 < -1 < x2 kh«ng phơ thc m
1
y  .x 3  (m  2) x 2  (5m 4).x m 2 1
3

BT4(CĐSP TPHCM 1999)
Tìm m ®Ó y  x 3  3mx 2  3(m 2 1) x m đạt
cực tiểu tại x = 2
BT5(ĐH Huế 1998)

Tìm m để y x 3  3mx 2  (m  1) x  2 đạt cực
tiểu tại x = 2
BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)
Tìm m ®Ĩ y  mx 3  3mx 2  (m 1) x 1 không
có cực trị
Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại cực
tiểu
BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)
Cho hμm sè
y  2.x 3  3(3m  1) x 2  12.(m 2  m) x  1

Tìm m để hm số có CĐ,CT .Viết phơng
trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
BT8(HVKT Mật mà 1999)
Cho hm số

i h c 12

www.VNMATH.com

BT10(ĐH Dợc HN 2000)
Tìm m để
f ( x) 2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m 1) x 1 có

CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2
BT11(ĐHQG TPHCM 2000)
Cho (Cm) : y  mx 3  3mx 2  (2m 1) x 3 m
Tìm m để (Cm ) có CĐ v CT . CMR khi đó
đờng thẳng đi qua CĐ, CT luôn di qua một điểm
cố định

BT12
Tìm a để hm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2
thoả mÃn x12 x 22 1
4
y  .x 3  2(1  sin a) x 2  (1  cos 2a).x  1
3

BT13
Cho hμm sè
1
1
3

y  .x 3  (sin a  cos a) x 2 sin 2a .x
3
2
4


1) Tìm a để hm số luôn đồng biến
2) Tìm a để hm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mÃn
x12 x 22 x1 x 2

BT14
Tìm m để hm số y x 3

3m 2
x m
2

Có các điểm CĐ v CT nằm về 2 phía của đờng
thẳng y = x
5)- Cực trị hm bậc 4

BT1
Tìm m để hm số sau chỉ có cực tiểu m
không có cực đại
y x 4  8m.x 3  3(2m  1) x 2  4

BT2
CMR hμm sè f ( x)  x 4  x 3  5 x 2  1
Cã 3 ®iĨm cực trị nằm trên một Parabol
BT3
Cho (Cm) :
y f ( x)  3x 4  4mx 3  6mx 2  24mx  1

BiƯn ln theo m sè l−ỵng Cực đại, cực tiểu của
(Cm)
y x 3 3(m  1) x 2  2(m 2  7m  2) x 2m(m 2)
Tìm m để hm số đạt cực tiểu tại x0 2;2
Tìm m để hm số có CĐ,CT .Viết phơng
trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
BT3
BT9
Cho (Cm) :
3
2
3
1
3

Tìm m để f ( x) x  3mx  4m cã C§,CT
y  f ( x)  .x 4  2 x 3  (m  2) x 2  (m  6).x  1
4
2
®èi xøng nhau qua đờng thẳng y = x
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

Tìm m để hm số có 3 cực trị
Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị
của (Cm)
BT4(ĐH Cảnh sát 2000)
Tìm m để hμm sè sau chØ cã cùc tiĨu mμ
kh«ng cã cùc ®¹i y 

1 4
3
x  mx 2 
4
2

i h c 12

www.VNMATH.com

Tìm a để y

x 2 . cos a x  sin 2 a. cos a  sin a
x cos a

có CĐ , CT
BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
x 2 mx 8
của : y
xm

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)
Tìm m ®Ó f ( x)  mx 4  (m  1) x 2  (1  2m) cã
®ung mét cùc trị

BT7

6)- Cực trị hm Phân thức bậc 2 / bậc 1

(m#-1)
Tìm m để hm số có đạt cực trị tại các điểm
thuộc ( 0 ; 2 )
BT8

6.1-Sự tồn tại cực trị- đờng thẳng
đi qua CĐ,CT
BT1
Tìm m để các hm số sau cã cùc trÞ

y

x 2  2m 2 x  m 2
x 1

y

x 2  (m  2) x  m
x 1

y

x 2  2mx  m
xm

y

x  (m  1) x  m
(C§ SPHN 1999)
x 1

(§H SPHN 1999)

2

mx 2  (m  1) x  1
y
mx  2

(§H Y Thái Bình 1999 )

y

2m x (2 m )(mx 1)
mx 1
2

2

2

(ĐH Thái Nguyên 2000)
BT2 (ĐH TCKT 1999)
x 2  mx  m 2
Cho (Cm) : y
xm

Tìm m để hm số có CĐ, CT
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ, CT
BT3 (ĐH Dân lập Bình D−¬ng 2001)
Cho (Cm) : y 

x 2  (m  2) x 3m 2
x 1

Tìm m để hm số trên có CĐ, CT
BT4
x 2 2 x. cos a 1
có CĐ , CT
Tìm a để y
x  2. sin a

BT5

www.VNMATH.com

Cho (Cm) : y 

(m  1) x 2  2mx  (m 3  m 2 2)
xm

Tìm a,b,c để y

ax 2 bx c
x2

có cực trị bằng

1 khi x=1 v đờng tiệm cận xiên của đồ thị
vuông góc với đờng y

1 x
2

6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt
phẳng toạ độ
BT9 (ĐH §μ N½ng 2000)
x 2  mx  m  1
Cho hm số (Cm) : y
x 1

Tìm m để hm số có cực trị. Tìm quỹ tích của
điểm cực trị (Cm)
BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)
Cho hm số (Cm) : y 

x 2  mx  2m  2
x 1

T×m m để hm số có cực trị. CMR các điểm
cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol cố
định
BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
Cho hm số (Cm) : y

x 2 mx 2m 4
x2

Tìm m để hm số có CĐ,CT. Tìm quỹ tích của
điểm CĐ
BT12
Cho hm số (Cm) :
y

x 2  m(m 2  1) x  m 4 1
xm

CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất
một điểm vừa l điểm CĐ của đồ thị øng víi m
nμo ®ã ®ång thêi võa lμ ®iĨm CT ứng với giá trị
khác của m

6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

BT13

i h c 12

BT23

T×m m để y

2 x 3x m
có CĐ,CT v
xm
2

Tìm m để : y

BT14
(m 1) x 2 x 2
Tìm m để y
có CĐ,CT v
(m  1) x  2
( y CD  y CT )(m  1)  8  0

BT15 (§HSP1 HN 2001)
x 2 2mx 2
có CĐ,CT v
Tìm m để y
x 1

khoảng cách từ 2 điểm đó đến đờng thẳng
x + y + 2=0 lμ b»ng nhau
BT16
x 2  (m 2) x 3m 2
có
Tìm m để y
x2
1
2
2
CĐ,CT đồng thời thoả mÃn y CD
y CT

2

2mx 2  (4m 2  1) x  2m  32m 3
Tìm m để : y
x 2m

có một cực trÞ thuéc gãc (II) vμ mét cùc trÞ thuéc
gãc (IV) trên mặt phẳng toạ độ
BT25
Tìm m để : y

7)- Cực trị hm Phân thức bậc 2 / bậc 2

BT1
Lập bảng biến thiên v tìm cực trị

x 2 (2m 3) x m 2 4m
xm

Tìm m để hm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT18 (ĐH QG 1999)
x xm
x 1

x 2  (m  1) x  4m 2  4m  2
cã
x  m 1

mét cùc trÞ thuéc gãc (I) vμ mét cùc trÞ thuéc góc
(III) trên mặt phẳng toạ độ

6.4-Vị trí tơng đối của các điểm CĐ - CT
BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)

Cho : y 

x 2  mx  m
cã C§,CT n»m vỊ
x 1

2 phía của đờng thẳng x-2y-1=0

BT24

y CD y CT  8

Cho : y 

www.VNMATH.com

y

2x 2  x  1
x2  x 1

y

x 2  3x  4
x2  x  2

y

 3x 2  10 x  8
2 x 2 8x 6

BT2

2

Tìm m để hm số có 2 cực trị nằm về 2 phía
đối với trục Oy
BT19 (ĐH Công Đon 1997)

Cho hm số : y

x mx m
(m#0)
xm
2

Tìm m để hm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT20 (ĐH Thơng Mại 1995)

Tìm m,n để y
5
khi x= - 3
4

BT3
1) Viết phơng trình đờng thẳng ®i qua
C§,CT cđa y 

x 2  (m  1) x  m  1
Cho hμm sè : y 
xm

T×m m để hm số có CĐ,CT v YCĐ. YCT >0
BT22
Tìm m ®Ĩ : y 

x  mx  5  m
cã C§,CT cïng
xm

2

dÊu
www.VNMATH.com

2 x 2  3x  1
(m>1)
x 2 4 x 5m

2) Viết phơng trình đờng thẳng ®i qua

x 2  mx  2m  1
Cho hμm số : y
x 1

Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục Ox
BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)

x 2 mx 2n
đạt cực đại bằng
x 2 2x  1

 x 2  2x  5
3x 2  2 x  m
ax  b
y 2
cã ®óng mét cùc
x x 1

CĐ,CT của y

3) Tìm a,b để

trị v l cực tiểu
8)- Cực trị hm số chứa giá trị tuyệt đối
v hm vô tỷ

BT1
Tìm cực trị hm số sau y   2 x 2  3x  5
BT2 (ĐH Ngoại Thơng 1998)
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

i h c 12

T×m m để phơng trình
1

5

www.VNMATH.com

y cos 2 x cos x  1

x 4 x 3
2

1
1
y  1  cos x  . cos 2 x  . cos 3x
2
3
sin x  2
y
sin x  1
y  cos x(1  sin x)

 m4  m2 1

cã 4 nghiƯm ph©n biƯt
BT3 (§H Kinh TÕ 1997)
Cho f ( x)  x 3  3x 2  72 x  90

y  sin 3 x  cos 3 x

( x)·
T×m Maxf



BT2

x5;5 

BT4

1

3

T×m a ®Ĩ hμm sè y  a. sin x  . sin 3x đạt
Tìm m để phơng trình
1

2

x 3 6 x 2  9 x  2

 m m
2

cã 6 nghiệm phân biệt
BT5
Tìm m để phơng trình
2. x 2  5 x  4  x 2  5 x m

có 4 nghiệm phân biệt
BT6
Tìm cực trị hm số sau

CĐ tại x


3

BT3
Tìm cực trị hm số
1) y  x  12 .e x

2) y  ( x  1).e

x2  x
x 1

3) y  e x . ln x
4) y 

lg x
x

2) y  x 2  x  1  x 2  x  1

 x1 
1
e  2  sin 
5) y  
x

0

1)Tìm a để hm số y 2 x a x 2 1 có
cực tiểu
2)Tìm a để hm sè
y  2 x  2  a x 2 4 x 5 có cực đại

Chơng 5

1) y  2 x  3   x 2  4 x 5
BT7

BT8
Lập bảng biến thiên v tìm cực trÞ hμm sè sau
1) y  1  3x  5 x 2  2
2) y  3x  10  x 2
3) y  3 x 3  3x
4) y x.

1 x
1 x

9)- Cực trị hm lợng giác
hm số Mũ,lôgarit

BT1
Tìm cực trị hm số
y

cos x
2 cot g.x
sin 3 x
www.VNMATH.com

(Khi x#0)
khi x  0

C¸c bμi to¸n vỊ TiÕp tuyến
1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm

thuộc đồ thị
BT1 (ĐHQG TPHCM 1996)
Cho (Cm) y  f ( x)  x 3 mx 2 1
Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y=-x+1 tại 3
điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho tiếp
tuyến với (Cm) tại B v C vuông gãc víi nhau
BT2 (HVCNBCVT 2001)
Cho hμm sè (C) y  f ( x) x 3 3x
CMR đờng thẳng (dm) y=m(x+1) + 2 luôn cắt
(C ) tại điểm A cố định
Tìm m để (dm) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B v C vuông
góc với nhau
www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

BT3 (ĐH Ngoại Ngữ HN 2001)
1
3

Cho (C) y  f ( x)  x 3 x

2
3

Tìm các điểm trên (C) m tiếp tuyến tại đó

1
3

vuông góc với đờng thẳng y x 

2
3

BT4
Cho hμm sè (C) y  f ( x)  x 3  3x 2  1
CMR trªn (C) có vô số các cặp điểm m tiếp
tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau
đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm
ny đồng qui tại một ®iĨm cè ®Þnh
BT5
Cho hμm sè (C)
y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d

(a # 0 )

CMR trên (C) có vô số các cặp điểm m tiếp
tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau
đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm
ny đồng qui tại một điểm cố định
BT6 (ĐH Ngoại Th−¬ng TPHCM 1998 )
Cho hμm sè (C) y  f ( x)  x 3  3 x 2  9 x 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) cã hÖ sè gãc
nhá nhÊt
BT7 (HV QHQT 2001)
1

3

Cho (C) y  f ( x)  x 3  mx 2  x  m  1
T×m tiÕp tuyÕn với đồ thị ( C ) có hệ số góc
nhỏ nhất
BT8 (HV CNBCVT 1999 )
Giả sử A,B,C thẳng hng v cùng thuộc đồ thị
(C ) y f ( x)  x 3  3 x  2 C¸c tiÕp tuyến với
(C ) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1
CMR Ba điểm A1,B1,C1 thảng hng
BT9
(C1 ) : y x 3  4 x 2  7 x  4
ViÕt ph−¬ng
Cho 
(C 2 ) : y  2 x 3  5 x 2  6 x  8

tr×nh tiếp tuyến của (C1) , (C2) tại các giao điểm
chung cđa (C1) vμ (C2)
BT10 (§H KTQDHN 1998 )
CMR trong tÊt cả các tiếp tuyến của
(C) y f ( x)  x 3  3 x 2  9 x 3 , tiếp tuyến
tại điểm uốn có hệ số gãc nhá nhÊt
BT11 (HV Qu©n 1997 )
Cho (C) y  f ( x)  x 3  1  k ( x 1) ,
www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm
của (C) với Oy
Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác
có diƯn tÝch b»ng 8
BT12 (§H An Ninh 2000 )
Cho (C) y  f ( x)  x 3  mx 2 m 1 ,
Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố
định m họ (C) đi qua
Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó
BT13 (ĐH Công Đon 2001 )
Tìm điểm M thuộc (C) y 2 x 3  3x 2  12 x  1
sao cho tiếp tuyến của (C ) tại điểm M đi qua
gốc toạ độ
Dạng 2 Viết phơng tiếp tuyến trình theo hƯ
sè gãc cho tr−íc
BT1
Cho (C) y  f ( x)  x 3  3 x  7 ,
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến ny song song với y= 6x-1
2) Viết phơng trình tiếp tuyến víi (C) biÕt tiÕp
1
9

tun vu«ng gãc víi y   x 2
3) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến tạo với y=2x+3 góc 45 0
BT2(ĐH Mỹ Thuật C«ng nghiƯp HN 1999)
Cho (C) y  f ( x) x 3 3x ,
Viết phơng trình tiếp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp
tuyÕn nμy song song víi y= - 9.x + 1

BT3(§H Më TPHCM 1999)
Cho (C) y  f ( x)  x 3  3 x 2 2 ,
Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiÕp
tun vu«ng gãc víi 5.y-3x+4=0
BT4
Cho (C) y  f ( x )  2 x 3  3 x 2 12 x 5 ,
1) Viết phơng trình tiếp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp
tuyÕn nμy song song víi y= 6x-4
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
1
3

tuyến vu«ng gãc víi y   x  2
3) ViÕt phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
1
2

tuyến tạo với y   x  5 gãc 45 0
BT5
1
3

Cho (C) y  x 3  2 x 2  x  4 ,
www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

1) Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc
k =-2
2) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều
dơng Ox góc 600
3) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều
dơng Ox góc 150
4) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục
honh góc 750
5) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng
thẳng y=3x+7 góc 450
6) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng

BT10
Tìm trên đờng thẳng y=2 các điểm kẻ đợc 3
tiếp tuyến đến đồ thÞ (C) y   x 3  3 x 2 2
BT11( ĐH QG TPHCM 1999)
Tìm trên đờng thẳng x=2 các điểm kẻ đợc 3
tiếp tuyến đến đồ thị (C) y x 3 3x 2

Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trớc đến đồ thị
BT1



Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A ;1
đến y x 3 3 x 1
BT2(ĐH Tổng Hợp HN 1994)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2;0)
đến y x 3 x 6

BT3(ĐH Y Thái Bình 2001)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0)
đến y x 3 9 x
BT4(ĐH An Ninh 1998)
Viết phơng trình tiÕp tuyÕn ®i qua A(-1;2)
®Õn y  x 3  3x
BT5(HV Ngân Hng TPHCM 1998)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3)
®Õn y  3x  4 x 3
BT6 (HC BCVT TPHCM 1999)
Cho (C) y  f ( x )   x 3  3 x 2  2 . Tìm các
điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới
đồ thị (C)
BT7 (ĐH Dợc 1996)
Cho (C) y  f ( x )  x 3  ax 2 bx c . Tìm
các điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp tuyến
tới đồ thị (C)
BT8 (ĐH Ngoại Ngữ 1998)
4 4
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A ; đến
9 3
1
đồ thị (C) y x 3  2 x 2  3x  4
3
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

BT9 (Phân Viện Báo Chí 2001)
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến đồ

thị (C) y 2 x 3  3x 2  5

1
th¼ng y   x  3 góc 300
2

2
3

i h c 12

BT12( ĐH Nông Lâm 2001)
Tìm tất cả các điểm trên trục honh m từ kẻ
đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y x 3 3x 2
trong đó có hai tiếp tuyến vuông gãc víi nhau
2)- tiÕp tun cđa ®a thøc bËc bèn

BT1 (§H HuÕ khèi D 1998)
Cho (Cm) y  f ( x)   x 4  2mx 2  2m 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0),
B(-1;0) vuông góc với nhau
BT2
Cho (Cm) y f ( x) 

1 4
5
x  3x 2 
2
2

1) Gäi (t) lμ tiÕp tun cđa (C) t¹i M víi xM= a .
CMR honh độ các giao điểm của (t) với (C)
l nghiệm của phơng trình

x a 2 x 2 2a  3a 2  6  0

2) T×m a để (t) cắt (C) tại P,Q phân biệt khác M
Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ
BT3 (ĐH Thái Nguyên 2001)
Cho đồ thị (C) y x 4 2x 2 .Viết phơng
trình tiếp tuyến tại A 2 ;0





BT4(ĐH Ngoại Ngữ 1999)
Cho đồ thị (C) y

9
1 4
x 2 x 2 .Viết
4
4

phơng trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C)
với Ox
BT5
Viết phơng trình tiếp tuyến của
(C) y 

1 4 1 3 1 2
x  x  x x 5 song song với
4
3
2

đờng thẳng y=2x-1
BT6
Viết phơng trình tiếp tuyến của

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

(C) y  x  2 x  4 x  1 vu«ng gãc với đờng
4

2

1
4

thẳng y x 3
BT7
Cho đồ thị (C) y 

1 4
x  x 3  3x 2 7 .
2

Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp
tuyến song song với đờng thẳng y=m.x
BT8
Cho đồ thị (Cm ) y x 4 mx 2 m 1 . Tìm m
để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đờng thẳng y=2.x với A l điểm cố định có
honh độ dơng cña (Cm )
BT9
Cho (C) y  f ( x) 

1 4 1 2
x x
2
2

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0)
đến đồ thị (C)
BT10 (ĐH KT 1997)
Cho (C) y  f ( x)  (2  x 2 ) 2
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0;4)
đến ®å thÞ (C)
BT11
Cho (C) y  f ( x) 

1 4
3

x 3x 2
2
2

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm
3
A 0; đến đồ thị (C)
2

BT12
Cho (C) y  f ( x)   x 4 2 x 2 1
Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C)
3)- tiếp tuyến của hm phân thức bậc
nhất/bậc nhất

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm
thuộc đồ thị
BT1(HVBCVT 1998)
Cho đồ thị y

x 1
CMR mọi tiếp tuyến của
x 1

(C) tạo với 2 tiệm cân của (C) một tan giác có
diện tích không đổi
BT2

i h c 12

www.VNMATH.com

Cho đồ thị y

4x  5
vμ ®iĨm M bÊt kú
 2x  3

thc (C) . Gäi I lμ giao diĨm 2 tiƯm cËn . tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B
1) CMR M l trung điểm AB
2) CMR diện tích tam giác IAB không đổi
3) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ
nhất
BT3
Cho đồ thị (Cm) y

2mx 3
Tìm m để tiếp
xm

tuyến bất kỳ của (Cm) cắt 2 đờng thẳng tiệm
cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8
BT4(ĐH Thơng Mại 1994)
Cho đồ thị (Cm) y

(3m 1) x m
Tìm m để
xm

tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox song
song với y= - x-5
BT5(ĐH Lâm Nghiệp 2001)
Cho đồ thị (C) y

3x 1
V điểm M bÊt kú
x3

thuéc (C) gäi I lμ giao 2 tiÖm cận .Tiếp tuyến tại
điểm M cắt 2 tiệm cận tại A vμ B
CMR M lμ trung ®iĨm AB
CMR diƯn tÝch tam giác IAB không đổi
Dạng 2 Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ
số góc k cho trớc
BT1
Cho đồ thị (C) y

2x 3
Viết phơng trình
5x 4

tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng (d)
y= -2x
BT2
Cho đồ thị (C) y

4x 3
Viết phơng trình

x 1

tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d) y= 3x góc 45 0
BT3
Cho đồ thị (C) y

3x 7
Viết phơng trình
2x 5

tiÕp tuyÕn cña (C) khi biÕt
1) TiÕp tuyÕn song song với đờng thẳng
y

1
x 1
2

2) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
y 4 x

3) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= -2x gãc 450
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

4) TiÕp tuyÕn t¹o với đờng thẳng y= -x góc
600
BT4
Cho đồ thị (C) y

6x 5
CMR trên đồ thị (C)
3x 3

tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại
các cặp điểm ny song song với nhau đồng thời
tập hợp các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm
đồng qui tại một điểm cố định
Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trớc đến đồ thị
BT1(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1999)
Cho hm số (C) y

x2
Viết phơng trình
x2

tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5) đến đồ thị (C)
BT2(ĐH Nông Nghiệp HN 1999)
CMR không có tiếp tuyến no của đồ thị (C)
y

x
đi qua giao điểm I của 2 đờng thẳng

x 1

tiệm cận
BT3(ĐH Huế 2001 Khối D)
Viết phơng trình tiếp tuyến từ điểm O(0;0)
đến ®å thÞ (C) y 

3( x  1)
x2

www.VNMATH.com

Cho ®å thÞ y x 1

xm
sao cho tam
x2

giác ABC đều (ở đây B,C l 2 tiếp điểm)

1
Tìm M thuộc (C)
x 1

có xM > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm M tạo với 2
tiệm cân một tam giác có chu vi nhỏ nhất
BT4(ĐHSP TPHCM 2000)
Cho đồ thị y

x 2 2x 2

Gọi I l tâm đối
x 1

xứng của đồ thị (C) v điểm M l một trên (C)
tiếp tuyến tại M với (C) cắt 2 đờng thẳng tiệm
cận tại A,B CMR M l trung điểm AB v dện tích
tam giác IAB không phụ thuộc vo vị trí điểm M
trên (C)
BT5(HV Quân Y 2001)
2 x 2 5x
CMR tại mọi điểm
Cho đồ thị y
x2

thuộc đồ thị (C) luôn cắt 2 tiệm cân một tam giác
có diện tích không đổi
BT6(CĐ SPHN 2001)
Cho đồ thị y

x 2 3x 3
CMR tiếp tuyến tại
x2

điểm M tuỳ ý thuộc đồ thị (C) luôn tạo với 2 tiệm
cân một tam giác có diện tích không đổi
BT6(CĐ SPHN 2001)
Cho đồ thị y

BT4
Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến

AB,AC đến đồ thị (C) y

i h c 12

x2
Tìm điểm M thuộc nhánh
x 1

phải của đồ thị (C) để tiếp tuyến tại M vuông góc
với đờng thẳng đi qua M vμ t©m dèi xøng I cđa
(C)
5) - tiÕp tun của hm vô tỷ

4)- tiếp tuyến của hm phân thức bậc
hai/bậc nhất

BT1(ĐH Xây Dựng 1998)

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm
thuộc đồ thị
BT1(HVCNBCVT 1997)

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song
với y=k. x
Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng
y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k 0,5
BT2
Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến ®å thÞ
y  9  x 2 (C) 2 tiÕp tuyến vuông góc với
nhau

BT3
Cho đồ thị (C) y x  4 x 2  2 x  1 . Tìm
trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp
tuyến đến (C)
BT4

Cho đồ thị y

x2 x 1
Tìm M thuộc đồ thị
x 1

(C) để tiếp tuyến tại M cắt Ox ,Oy tại điểm A,B
sao cho tam giác OAB vuông cân
BT2(ĐH Xây Dựng 1993)
x 2 3x 3
Cho đồ thị y
CMR diện tích tam
x 1

giác tạo bëi 2 tiƯm cËn víi mét tiÕp tun bÊt kú
lμ không đổi
BT3(ĐH QG 2000)

www.VNMATH.com

Cho đồ thị y x

www.VNMATH.com

33 2
x
2

(C)


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

Cho đồ thị (C) y  f ( x)  2 x  1 3x 5 .
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua ®iĨm
 27 
A 2;  ®Õn (C)
 4 

BT5
Cho ®å thÞ (C) y  f ( x)  x 1 4 x 2 .
Viết phơng trình tiÕp tun ®i qua ®iĨm
A  1;1  2 2 ®Õn (C)





BT6
Cho ®å thÞ (C) y  f ( x)  2 x  x 2  4 x  7 .
Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm có thể kẻ
đợc tiếp tuyến đến (C)

BT7
Cho đồ thị (C)
y f ( x)  5 2   x 2  7 x 10 . Tìm trên
đờng thẳng y 4 2 các điểm có thể kẻ đợc
tiếp tuyến đến (C)
6) - tiếp tuyến của hm siêu việt

BT1
Cho đồ thị (C) y  f ( x)  (3x 2  4).e x v gốc
toạ độ O(0;0) .Viết phơng trình tiếp tuyến đi
qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C)
BT2( ĐH Xây Dựng 2001)
Cho đồ thị (C) y f ( x) x. ln x v M(2;1)
.Từ điểm M kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ
thị (C)
BT3
Cho đồ thị (C) y

1 lnx
Víêt phơng trình
x

tiếp tuyến đi qua 0(0;0) đến (C)

Chơng 5
tính lồi ,lõm v điểm
uốn của đồ thị
1)- xác định tính lồi ,lõm v điểm
uốn của đồ thị

BT1
Xác định các khoảng lồi, lõm v điểm uốn của
đồ thị (C)
1) y  2 x 3  5 x 2  7 x  1
2) y  2 x 2  6 x 2  1
3) y   x 5  10 x 3  20 x 2  6 x  7
x3
4) y  2
x  3a 2

(a  0)

www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

5) y  1  x 3
3

BT2
Xác định các khoảng lồi, lõm v điểm uốn của
đồ thÞ (C)
1) y 

cos x
 2. cot gx
sin 3 x

trong (0;  )

2) y  (1  x 2 ).e x
3) y 

ln x
1  ln x

4) y  x 4 .(12 ln x  7)
5) y  3 x 2 1
2)-tìm ĐK than số để (C): y=f(x) nhận i(m,n)
lm điểm uốn

BT1
Tìm a,b để (C) y ax 3 bx 2 x 2 có điểm
uốn I(1;-1)
BT2
Tìm m ®Ĩ (C) y  x 3 

3x 2
 1 có điểm uốn I(m

1; 3)
BT3
Tìm a,b để (C) x 2 y  ax  by  0 cã ®iĨm n
 5
I  2; 
 2

BT5

Cho hμm sè (C)

y  f ( x)  x( x  a)( x  b)

( a 0 b)

Tìm a,b để điểm uốn của đồ thị nằm trên
đờng cong y x 3
BT6
Tìm m ®Ĩ ®å thÞ (C)
y  x 4  8mx 3  3(2m  1).x 2  1 Cã 2 ®iĨm uốn

có honh độ thoả mÃn bất phơng trình
x 2 2x
5 4x x 2

0

3)-chứng minh đồ thị có 3 điểm uốn thẳng
hng , viết phơng trình đờng thẳng

BT1
Chứng minh rằng các đồ thị sau có 3 điểm uốn
thẳng hng ,.Viết phơng trình đờng thẳng đi
qua 3 điểm uốn
1) y 

2x  1
x  x 1
2

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

2) y 

xm
x2 1

3) y 

2 x 2  3x
x 2  3x  3

4) y 

x 2  2x  3
x2  2

5) y 

x 2  3x
x2 1

6) y 

2x 2  x  1
x2  x  2

www.VNMATH.com

y  f ( x)

1)-tìệm cận hm phân thức hữu tỷ

BT1(ĐH Y Dợc TPHCM 1997)
Cho (C)
ax 2  (2a  1).x  a  3
y
x2

(a # - 1 , a # 0)

CMR tiÖm cận xiên của (C) luôn đi qua 1
điểm cố định
BT2(ĐH Xây Dựng 2000)
Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hμm sè
x 2  3.x  2
y
2x 2  x 1

BT3
Tìm các đờng tiệm cận của các hm số
x2  4
x 2  mx  1
x2
y 2
x  2mx  3

y

(m  1) x 2  2mx  (m 3  m 2  2)
xm

víi m # -1 .CMR ttiệm cận xiên của (C) luôn
tiếp xúc với một Parabol cố định
BT8
Cho (C) y f ( x)

2 x 2 3x 2
x 1

CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C) đến 2
tiệm cận luôn không đổi
Tìm M thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ M
thuộc (C) đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
BT9(ĐHSP TPHCM 2001 Khối D )
2x 2  x  1
Cho (C) y  f ( x)
x 1

CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C) đến
2 tiệm cận luôn không đổi
BT10(ĐHSP TPHCM 2001 Khèi A )
Cho (Cm) y  f ( x)

2 x 2 mx 2
x 1

Tìm m để đờng thẳng tiệm cận xiên tạo với 2
trục một tam giác có diện tích bằng 4
BT11 (ĐH Ngoại Thơng 2001)
Cho (C) y  f ( x) 

x2 1
x 3  (m  1) x  m

x 2  2x  2
x 1

Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M
đến giao điểm của 2 đờng thẳng tiệm cận l nhá
nhÊt
BT12
Cho (Cm)

x 2  5x  6
y 2
2 x  mx 1

BT4
x 3
Tìm m để y 2
x mx  2m

chØ cã ®óng

y  f ( x) 

mx 2  (m 2  m  1).x  m 2 m 2
(m # 0)
xm

CMR khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận
xiên không lớn hơn 2

một tiƯm cËn ®øng
BT5
x 1
2
x  mx  1

x 2 . cos a  2 x. sin a  1
x2

1) X¸c định tiệm cận xiên của đồ thị trên
2) Tìm a để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm
cận xiên đạt Max
BT7
Cho (C)

tiệm cận của đờng cong

Tìm m để y 

i h c 12

Cho (C) y 

Ch−¬ng 6

y

thi

cã 2 tiƯm cËn
 x1  x 2  5

®øng lμ x=x1 vμ x=x2 sao cho 

3
3
 x1  x 2  35

2)-t×Ưm cận hm vô tỷ v hm siêu việt

BT1
Tìm tiệm cận của các đồ thị hm số sau
1) y f ( x)  5 x  3  2 x 2  4 x  7

BT6
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

2) y  f ( x) 

thi

1
 3x  1  x 2  2 x  3
x2
x2  9

3) y  f ( x) 

m  x2

theo m

x 1

4) y  f ( x) 

theo m

x  2mx  3
2

5) y  f ( x) 

4  x2
x 2  2mx  4

6) y  f ( x) 

x x  4mx  1
xm

theo m
theo m

BT2
Tìm m để hm số sau có tiệm cËn ngang
y  f ( x )  3 x  4  m x 2  4 x  7

BT3
Tìm tiệm cận của các đồ thị hm số sau
cos x
x

2) y  x 2 .e  x
3) y 

ln 2 x
 2x
x
1

4)

y  x.e x

2

1
x

5) y  x. ln(e )

Chơng 7
Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
1)-khảo sát hm số bậc ba

BT1
Khảo sát v vẽ các đồ thÞ hμm sè sau
1) y  2 x 3  3x 2  1
2) y  x 3  3 x 2  3x  5
3) y  x 3  3 x 2  6 x  8
4) y 

2 3
1
x  x2 
3
3

5) y  x 3  3x 2  3 x  1
6) y 

1 3
x  x 2  3x  4
3

7) y  ( x  1) 3  ( x  2) 3  x 3

BT2(§H Má 1997)
Cho (Cm) y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5
Kh¶o sát khi m=0
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Tìm m để hm số có CĐ,CT
BT3(ĐH Mỏ 1998)
Cho (C) y  x 3  6 x 2 9 x
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
2) Tìm m để (d) : y= m x cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt O,A,B . CMR trung điểm I nằm trên 1
đờng thẳng song song với Oy
BT4(ĐHGTVT 1994 )
1
3

Cho (C) y   x 3  4 x

2

1) y  f ( x)  3x 

i h c 12

1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
1
3

2) Tìm k để :  x 3  4 x 

4.(k 2  1)
0 có 3
3.(2 k )

nghiệm phân biệt
BT5(ĐHGTVT 1996 )
Cho (C) y  x 3  mx 2  9 x 4
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) khi m=6
2) Tìm m để (C) có một cặp ®iĨm ®èi xøng
nhau qua gèc to¹ ®é
BT6(HV BCVT TPHCM 1998 )
Cho (C) y  x 3  12 x  12
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
2) Tìm các điểm M thuộc đờng thẳng y= -4 kể
đợc 3 tiếp tuyÕn ®Õn (C)
BT7(HV NH HN 1998 )
Cho (C) y  x 3 3x
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
2) Sử dụng đồ thị tìm Max,Min của
y sin 3x  3 sin 3 x

BT8(§HNTHN 1998 )
Cho (Cm) y  x 3  3mx 2  3(m 2 1).x m 3 3m
1) Khảo sát v vẽ đồ thị khi m=0
2) CMR : hm số (Cm ) luôn có CĐ, CT nằm trên
2 đờng thẳng cố định
BT9(ĐH NT HN 2000 )
Cho (C) y x 3  6 x 2  9 x  1

1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị (C)
2) Từ M bất kỳ thuộc đờng thẳng x=2 kẻ đợc
bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
BT10(§HKTHN 1996 )
Cho (Cm)
y  x 3  mx 2  (2m 2  7m  7).x  2(m  1)(2m 3)

1) Khảo sát v vẽ đồ thị khi m= -1
2) Tìm m để hm số đồng biến trên [2; +∞)
www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

3) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục honh
BT11(ĐHKTHN 1998 )
Cho (C) y  x 3  3 x 2  9 x 3
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
2) CMR trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp
tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
BT12(ĐHNNHN 1998 )
1
3

Cho (Cm ) y  x 3  mx 2  (2m  1) x  m  2
1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị m= 2
4 4
9 3

2) Từ A ; kể đợc mấy tiếp tuyến đến (C2)
3) Tìm m để hm số nghịch biến trên (-2;0)
BT13(ĐHTCKT 1996 )
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
của (Cm ) y  x 3  mx 2  7 x 3
2) Khảo sát v vẽ đồ thị m= 5
3) Tìm m để (Cm ) có cặp điểm đối xøng qua O
BT14(§HTCKT 1998 )
Cho (Cm )
y  2 x  3(2m  1) x  6m(m  1) x 1
3

2

1) Khảo sát v vẽ đồ thị m= 0
2) Tìm điểm cố định
3) Tìm m để (Cm ) có CĐ,CT .Tìm quỹ tích CĐ
BT15(ĐH An Ninh 1998 )
Cho (C ) y x 3 3x
Khảo sát v vẽ đồ thị (C)





Viết phơng trình Parabol đi qua A 3;0 ,
B 3;0 vμ tiÕp xóc víi (C)





BT16(§H An Ninh 1999 )
Cho (Cm ) y  x 3  3mx 2  (m 2  2m  3) x  4
1) Khảo sát v vẽ đồ thị m=1
2) Viết phơng trình Parabol đi qua CĐ,CT của
(C1 ) v tiếp xúc y= -2x+2
3) Tìm m để (Cm ) có CĐ,CT nm về 2 phía của
Oy
BT17(ĐH Lâm Nghiệp 1999 )
Cho (C ) y x 3 x
1) Khảo sát v vẽ đồ (C)
2) Tìm m để (C) cắt (d) : y=-3x+m tại 3 điểm
phân biệt
3) Gọi (C) giaom(d) tại x1, x2, x3 TÝnh
S  x12  x 22  x32

www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

BT18(§HSPHN 2000 )
Cho (Cm ) y  x 3 mx 2 4 f ( x)
Khảo sát v vẽ đồ thị m= 3
Tìm m để f(x)=0 có ®óng mét nghiƯm
BT19(§HQGHN 2000 )
Cho (Cm ) y  x 3  3 x 2  mx  m

1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị m=0
2) Tìm m để hm số nghịch biến trên nột đoạn
có độ di bằng một
BT20(ĐHSP2 HN 1999 )
Cho (C ) y  x 3  3x 2
Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
Tìm trên Ox những điểm kể đợc 3 tiếp tuyến tới
(C)
BT21(ĐH Thái Nguyªn 1999 )
1
3

Cho (C ) y  x 3  x

2
3

1) Khảo sát v vẽ đồ thị
2) Viết phơng trình (P) đi qua CĐ,CTv tiếp xúc
với đờng thẳng y

4
. Tìm quỹ tích các
3

điểm kể đợc 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
đến (P)
BT22(ĐHQGTPHCM 1998)
Cho (C ) y x 3 3x
Khảo sát v vẽ đồ thị

Tìm m để phơng trình x 3 3x

2m
có 3
m2 1

nghiệm phân biệt
BT23(ĐHQGTPHCM 1999)
Cho (C ) y x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  m 3
1) Khảo sát v vẽ đồ thị m= -2
2) Tìm m để (C) cắt Ox tại x1 x 2  0  x3
BT24(HV Ng©n hμng TPHCM 2001)
Cho (C ) y  2 x 3  3(2m  1) x 2 6m(m 1) x 1
Khảo sát v vẽ đồ thị m=1
CMR xCĐ- xCT không phụ thuộc vμo m
BT25(B¸o ChÝ 2001)
Cho (Cm ) y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5
1) Khảo sát v vẽ đồ thị m=0
2) Tìm m để hm số có CĐ,CT
3) CMR Từ A(1;-4) kể đợc 3 tiếp tuyến đến C0
BT26(ĐH Huế 2001)
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

3
2

thi

1
2

Cho (Cm ) y x 3 mx 2 m 3
Khảo sát v vẽ đồ thị m= 1
Tìm m để hm số có CĐ,CT đối xứng qua y=x
Tìm m để y= x cắt (C m ) tại A,B,C phân biệt sao
cho AB=BC
2)-khảo sát hm trùng phơng

BT1
x4
5
3x 2
1) Khảo sát v vÏ (C) y 
2
2

2) LÊy M thuéc (C) vvíi xM=a .CMR honh độ
giao điểm của tiếp tuyến (d) tại M víi (C) lμ
nghiƯm x  a 2 .( x 2  2ax  3a 2  6)  0
3) T×m a để (d) cắt (C) tại P,Q khác M .Tìm quĩ
tích trung điểm K của PQ
BT2(ĐH Kiến trúc HN 1999)
Cho (C m )
y  f ( x)  mx 4  (m  1) x 2  (1  2m)

T×m m để hm số có 1 điểm cực trị
Khảo sát v vẽ đồ thị khi m

1
2

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị ở câu (2)
biết tiếp tuyến đi qua O(0;0)
BT3(ĐH Mỏ Địa Chất 1996)
Cho (C m )
y f ( x)  x 4  mx 3  (2m  1) x 2  mx  1

1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị khi m = 0
2) Tìm m để f(x)> 0 với mọi x
BT4(ĐHkiến Trúc TPHCM 1991)
Cho (C m )
y  f ( x)  x 4  mx 3  (2m  1) x 2  mx 1

Khảo sát v vẽ đồ thị khi m = 0
Tìm A thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị
ở câu (1)
Tìm m để phơng trình f(x)=0 có 2 nghiệm khác
nhau v lớn hơn 1
BT5(HV QHQT 1997)
Cho (C m ) y  f ( x)  x 4  2mx 2  2m  m 4
1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị khi m = 1
2) Tìm m để hm số có các CĐ,CT lập thnh
tam giác đều
BT6(ĐH Đ Nẵng 1997)
Cho (C m ) y f ( x)  x 4  mx 2  m 5
www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

Tìm các điểm cố định của họ đờng cong (C m )
với mọi m
Khảo sát v vẽ đồ thị với m=- 2
Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm
có honh độ x=2
BT7(ĐHQG HN 1995)
Cho (C) y  ( x  1) 2 ( x 1) 2
Khảo sát v vẽ đồ thị (C)
Biện luận số nghiệm phơng trình
x 4 2 x 2 2b 2 0

Tìm a để (P) : y  ax 2  3 tiÕp xóc víi (C) ViÕt
ph−¬ng trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm
BT8(ĐHSP HN2 1997)
Cho (C m )
y  f ( x)  (1  m) x 4  mx 2  2m  1

1) T×m m để (C m ) cát Ox tại 4 điểm phân biệt
2) Tìm m để hm số có cực trị
3) Khảo sát v vẽ đồ thị với m= 2
BT9(ĐHĐ Nẵng 1999)
Khảo sát v vẽ đồ thị y f ( x)  x 4  6 x 2  5
Cho M thuộc (C) với xM =a Tìm a để tiếp tuyến
tại M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác M
BT10(ĐHNN 1999)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị y f ( x) 

9
1 4
x  2x 2 
4
4

2) ViÕt phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại
giao điểm của nó với Ox
BT11(ĐH Mỏ Địa Chất 1999)
Khảo sát v vẽ ®å thÞ y  f ( x)  3  2 x 2  x 4
BiÖn luËn theo m sè nghiệm của phơng trình
x 4 2 x 2 m 4 2m 2

BT12(ĐH Mỏ Địa Chất 1999)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị
(C) y f ( x)  x 4  5 x 2  4
2) T×m m để (C) chắn trên đờng thẳng y=m ba
đoạn thẳng bằng nhau
3) Tìm m đờng thẳng y=m cắt (C) tại 4 điểm
phân biệt
BT13(ĐH Cảnh sát 2000)
Cho (Cm ) y

1 4
3
x mx 2
2
2

Khảo sát v vẽ đồ thị m= 3

www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc




thi

3
2

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 0; dến
(C) (ở câu 1)
Tìm m để hm số có CT m không có CĐ
BT14(ĐH Thuỷ Lợị 2001)
Cho (Cm ) y x 4 4 x 2 m
1) Khảo sát v vẽ đồ thị m= 3
2) Giả sử (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt .Tìm
m để hình phẳng giới hạn bởi (C m ) với Ox có
diện tích phần phía trên v diện tích phần phía
dới Ox bằng nhau
BT15(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 2001)
Cho (Cm ) y x 4 (m 2 10) x 2 9
Khảo sát v vẽ đồ thị m= 0
CMR với mọi m # 0 (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân
biệt . CMR trong số các giao điểm đó cá 2

điểm thuộc (-3;3) v 2 điểm không thuộc
(-3;3)
3)-khảo sát hm đa thức bậc bốn

BT1
Khảo sát v vẽ đồ thị y x 4 4 x 3 3
Viết phơng trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với
(C) tại 2 điểm phân biệt , tìm honh độ tiếp
điểm x1, x2
Gọi (D) l đờng thẳng song song (D) v tiếp
xúc (C) tại điểm A có honh độ x3, v cắt (C)
tại B,C .CMR : 2 x3  x1  x 2 vμ A l trung
điểm BC
Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
x 4  4 x 3  8 x  m 0

BT2 (ĐHBK TPHCM 1998)
Khảo sát v vẽ đồ thị y  x 4  2 x 3  2 x 2

5
4

Viết phơng trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với
(C) tại 2 điểm phân biệt
Biện luận theo m số nghiƯm ph−¬ng
x 4  2 x 3  2 x 2  3x  m 

1
0
4

BT3

i h c 12

www.VNMATH.com

BT4 (§HMá Địa Chất 2000
Cho phơng trình :
2 x 4 17 x 3  51x 2  (36  k ) x k 0

CMR phơng trình có nghiệm không phụ thuộc
vo k
Biện luận theo k số nghiệm phơng trình
BT5
Cho hμm sè (C m ) :
y  x 4  4 x 3 mx 2

Khảo sát v vẽ đồ thị với m= 4
Tìm m để x 4 4 x 3 mx 2 0x 1
4)-khảo sát hm phân thức bậc 1/bậc 1

BT1
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

2) CMR đờng thẳng y= -x+m luôn cắt (C) tại 2
điểm A,B phân biệt . Tìm m để độ di đoạn
AB nhỏ nhất
3) Tìm m để phơng trình :

2. sin x 1
m có
sin x  2

®óng 2 nghiƯm x thc [0; ]
BT2
Cho (C m ) y 

(m  1) x  m
xm

Víi m=1 :
Kh¶o sát v vẽ đồ thị (C)
Tìm m thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ
M đêbs 2 tiệm cận nhỏ nhất
2) CMR mọi m # 0 đồ thị (C m ) luôn tiếp xúc với
một đờng thẳng cố định
BT3 (ĐHQG TPHCM 1997)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y 

3 4
x  x 3  3x 2
4

2) BiÖn luËn theo m sè nghiƯm ph−¬ng
3 4
x  x 3  3x 2  m  0
4
www.VNMATH.com

2x  1
x 1

2) LÊy M thuéc (C) víi x M = m . tiÕp tuyến của
(C) tại M cắt các tiệm cận tại A,B . Gọi I l
giao điểm của các tiệm cận . CMR : M lμ
trung ®iĨm cđa AB vμ diƯn tÝch tam giác IAB
không đổi mọi M
BT4 (ĐHQG HN (D)1997)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

1) Khảo sát v vẽ đồ thị y

2x 1
x2

3x 1
x 3

Tìm Max(y) , Min(y) khi 0 ≤ x ≤ 2
BT5 (§H Thái Nguyên (D)1997)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y 
www.VNMATH.com

3x  2
x 1


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

2) Tìm trên (C) các điểm có toạ độ nguyên
3) CMR: Không tồn tại ®iĨm nμo thc (C) ®Ĩ
tiÕp tun t¹i ®ã ®i qua giao điểm của 2
đờng tiệm cận
BT6 (ĐH cảnh Sát 1997)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

3x 2
x2

Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4
. Tìm toạ độ tiếp điểm
BT7 (ĐHQGHN 1998)
x 1
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y
x 1

2) Tìm trên Oy các điểm kẻ đợc đúng 1 tiếp
tuyến đến (C)
BT8 (ĐH Dợc 1998)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

2x 1
x2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox
v đờng thẳng x=1
Tìm m để phơng trình

nghiệm thuộc [0; ]
BT9 (HVQHQT 1999)

2 sin x  1
 m cã ®óng 2
sin x  2

www.VNMATH.com

CMR mäi m # 1, ®å thị (C m ) luôn tiếp xúc với
1 đờng thẳng cố định
BT13 (ĐH SPTPHCM 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2
x 1

Cho điểm A(0; a). Tìm a để từ A kẻ đợc 2 tiếp
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm tơng ứng
nằm về 2 phía đối với trục Ox
BT14 (CĐ Hải Quan 2000)
Cho hm số (C m ) y

mx 1
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) với m=2
2) Tìm m để hm số luôn đồng biến hoặc hm số
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
3) Tìm điểm cố định của (C m )

BT15 (ĐH Qui Nhơn 2000)
Cho hm số (C m ) y 

2mx  m 2  2m
2( x  m )

Khảo sát v vẽ đồ thị (C) với m=1
CMR (C m ) không có cực trị
Tìm trên Oxy các điểm cã ®óng 1 ®−êng cđa hä
(C m ) ®i qua

1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2
x3

2) Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến
tiện cận đứng bằng khoảng cách từ M đến
tiệm cận ngang của (C)
BT10 (ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1999)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2
x2

Tìm M thuộc (C) cách đều 2 trục toạ độ Ox, Oy
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-6; 5) đến
(C)
BT11 (CĐSP TPHCM 1998)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 1
x 1

2) CMR (d) : 2x- y + m =0 luôn cát (C) tại A,B
phân biệt trên 2 nhánh
3) Tìm m để độ di đoạn AB nhỏ nhất
BT12 (CĐ Đ Nẵng 1998)
Cho hm số (C m ) y 

i h c 12

mx  m 1
x m 1

Khảo sát v vẽ đồ thị (C) với m=2
Tìm M thuộc (C) (ở câu 1) để tổng khoảng cách
từ M đến 2 tiệm cận l NN
www.VNMATH.com

5)-khảo sát hm phân thức bậc 2/bậc 1

BT1
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 2 3x 6
x2

2) Tìm 2 điểm M,N thuộc (C) đối xứng nhau qua
A(3; 0 )

BT2
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 2 2x 5
x2

Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến
2 tiệm cận l NN
BT3 (ĐHXD 1993)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y 

x 2  3x  3
( x  1)

2) CMR điện tích 2 tam giác tạo bởi 2 tiệm cận 2
tệm cận v tiếp tuyến bất kỳ l không đổi
BT4 (§HXD 1994)
Cho (C m ) y 

mx 2  x m
xm

Khảo sát v vẽ đồ thị với m= 1.Viết phơng trình
tiếp tuyến đi qua A(-1; 0 ) đến đồ thị đó
Tìm m để hm số không có cực trị
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

thi

BT5 (§H KiÕn Tróc HN 1995)
Cho (C m ) y 

x2 1
k
x 1

mx 2  (m  1) x  m  2
Cho (C m ) y
x2

m #0

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với
(d) : x + 2y -1 =0
Khảo sát v vẽ đồ thị với m tìm đợc
Tìm k để (d) qua A(0; 2) với hệ số góc k cắt đồ
thị ở (2) tại 2 điểm khác nhau của đờng cong
BT7 (ĐH Kiến Trúc HN 1998)
2x 2 x 1
. ìm những
x 1

điểm thuộc Oy để từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến
vuông góc với đồ thị
BT8 (ĐHHH 1999)
x2 x 1
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 1

1) Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 trục toạ độ
2) Tìm m để y = m x cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt CMR 2 giao điểm thuộc 1 nhánh của (C)
BT9 (ĐHHH Tp HCM 1999)
x2
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Tìm A,B thuộc (C) đối xứng nhau qua đờng
thẳng y= x - 1
BT10 (§HGT 1999)
Cho (C) y 

2 x 2 (a 1) x 3
xa

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số với a= 2
Tìm a để tiệm cận xiên của đồ thị (1) tiếp xúc
(P) y= x2 + 5
Tìm quĩ tích giao điểm của tiệm cận xiên v tiệm
cận đứng của (C)
BT11 (ĐHGT TPHCM 1999)

Cho (C) y  f ( x) 

x2  x 1
x 1

Kh¶o sát v vẽ đồ thị hm số
Tìm M thuộc (C) ®Ĩ tiÕp tun t¹i M giao â, Oy
t¹i A,B ®Ĩ tam giác OAB vuông cân
BT13 (HVBCVT HN 2000)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số y

x2 x 1
x 1

2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hμm
sè , biÕt tiÕp tuyÕn song song víi (d) : y= - x
BT14 (HV Ng©n Hμng 2000)
Cho (C m ) y 

(m  1) x 2  m 2 x 1
xm

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m =1
T×m A thuéc (d) : x= 2 sao ch đồ thị (C m ) không
qua A với mọi m
BT15 (ĐH Ngoại Thơng 1995)
Cho (C m ) y

mx 2  (m 2  1) x  4m 3  m
xm

1) Tìm m để hm số có 1 điểm cực trị thuộc góc
phần t (II) một điểm cực trị thuộc góc phần
t (IV)
2) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = - 1

3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ở (2) một điểm
để khoảng cách giữa chóng lμ nhá nhÊt
BT16 (§HKTQD HN 1995)
Cho (C m ) y 

mx 2  (m 2  1) x  4m 3 m
xm

Khảo sát v vẽ đồ thị hm sè khi m = 1
CMR mäi m # -1. (C m ) tiếp xúc với một đờng
thẳng cố định
Tìm m để hm số trên đồng biến (1; + )
BT17 (ĐH Thơng Mại 1995)
Cho (C m ) y

x 2 mx 2m 1
x 1

1) Khảo sát v vẽ ®å thÞ hμm sè khi m = 1 . BiƯn
ln số nghiệm của phơng trình
x2 x k x 1 1  0

www.VNMATH.com

mx 2  3mx  2m  1
x 1

2) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số víi (C1) víi m=1
3) T×m m dĨ f(x) > 0 víi mäi x thc [4; 5]
BT12 (HVBCVT HN 1997)

BT6 (§H KiÕn Tróc HN 1996)

Cho (C) y 

y  f ( x)

1) Tìm m để đồ thị (C m ) có TCX đi qua A(1; 5)

1) Tìm điểm cố định của đờng cong
2) Tìm m để hm số có CĐ,CT
3) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m=0

Khảo s¸t vμ vÏ (C) y 

www.VNMATH.com

Cho (C m )

x 2  mx  1
x 1

4) BiƯn ln sè nghiƯm ph−¬ng tr×nh

i h c 12

www.VNMATH.com


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

2) Tìm m để C§,CT cđa (C m ) n»m vỊ 2 phÝa cđa
Ox
BT18 (ĐH Thơng Mại 1996)
x2 x 3
Khảo sát v vẽ đồ thị hm số y
x2

Tìm k để y= kx + 1 cắt (C) tại A,B Tìm quĩ
tích trung điểm I của AB
BT19 (HVQHQT 1996)
1) Khảo sát v vẽ ®å thÞ hμm sè y 

x 2  2x  4
x2

2) CMR mọi tiếp tuyến của đồ thị đều không
đi qua giao điểm của 2 đờng tiệm cận
BT20 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
x 2 mx 2m 4
x2
Tìm điểm cè ssÞnh cđa hä (C m )

Cho (C m ) y

Tìm m để hm số có CĐ,CT . Tìm quĩ tích điểm
CĐ
Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = - 1

BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)
Cho (C m ) y 

x 2  (m  1) x m 1
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số với m= 2
2) Tính các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của
(C) ở câu (1) tới 2 tiệm cận l hằng số
3) Tìm m để hm số cã C§,CT vμ yC§. yCT > 0
BT22 (§HQG HN 2001)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số y

x2
x 1

2) Tìm trên (d) : y= 4 các điểm tờ đó có thể kẻ
đợc 2 tiếp tuyến tới đồ thị v góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng 450
BT23 (ĐHSPHN 2001)
Cho (C m ) y 

x 2  2mx  2
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số với m= 1
Tìm m để hm số có CĐ,CT v khoảng cách từ 2
điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 lμ nh−
nhau
BT24 (§HSP II HN 2001)

x2  x 1
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y
x 1

www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

2) Tìm A thuộc (C) để khoảng cách từ A đến
2 tiệm cận l Min
BT25 (ĐHBK HN 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2 3
x 1



2
5

Viết phơng trình (d) đi qua M 2; sao cho
(C) cắt (d) tại A,B v M l trung điểm AB
BT26 (ĐH Ngoại thơng 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 2 2x 2
x 1

Tìm điểm M trên đồ thị hm số để khoảng
cách từ M đến giao điểm của 2 đờng tiệm
cận lμ Min
BT27 (§H TCKT HN 2001)
Cho (C m )
(m  1) x 2  2mx  (m 3  m 2 2)
y
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = 0
2) Tìm m để hm số (C m ) luôn nghịch biến trên
TXĐ của nó
BT28 (ĐHTM HN 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2 x 5
x2

CMR : tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ
thuộc (C) đến các tiệm cận l hằng số
Tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm khoảng
cách giữa chúng l Min
BT28 (ĐH An ninh 2001)
x2 x 2
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y
x 1

2) Tìm A thuộc (C) để tiếp tuyến của đồ thị tại
A vuông góc với đờng thẳng đi qua A v qua

tâm đối xứng của đồ thị
BT29 (HVKTQS 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C m )
y

x 2  (m  2) x  m  1
khi m=2
x 1

Tìm m để trên đồ thị có A,B phân biệt tho¶ m·n :
5 x A  y A  3  0;
5 x B  y B  3  0; vμ A, B
®èi xøng qua (d) : x+ 5y +9 = 0
BT30 (HVQY 2001)
1) Tìm m để

y

www.VNMATH.com

2 x 2  (6  m) x
cã C§, CT
mx  2


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

2) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m= 1 . CMR

tại mọi điểm thuộc đồ thị tiếp tuyến luôn cắt
2 tiệm cận tại 1 tam giác có diện tích không
đổi
BT31 (ĐH SPKT TPHCM 2001)
2 x 2  mx  2
Cho (C m ) y
x 1

Tìm m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ v TCX
của đồ thị có diện tích bằng 4
Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = - 3
BT32 (ĐH Y Dợc TPHCM 2001)
Cho (C m ) y 

mx 2  (m 2 1) x 4m 3 m
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = - 1
2) Tìm m để (C m ) có 1 điểm cực trị thuộc góc
phần t thứ (II) v 1 điểm cực trị thuộc góc
phần t thứ (IV)
BT32 (ĐH D Nẵng 2001)
Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x2 x 1
x

Tìm m để phơng trình :
t (m 1)t  3t  (m  1)t  1  0 cã nghiƯm
4

3

2

BT33 (§HTCKTHN 1997)
Cho (C m ) y 

2 x 3x m
x 1
2

1) Khảo sát v vẽ ®å thÞ hμm sè khi m = 2
2) BiƯn ln theo m số nghiệm phơng trình
2 x 3x 2
log 1 a 0
x 1
2
2

3) Tìm m để hm số đồng biến trên (3;+ ) Fđgf
BT34 (ĐHTCKTHN 1999)
x 2  mx  m 2
Cho (C m ) y
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = 1
2) Tìm m để hm số có CĐ,CT . Viết phơng
trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT
3) Tìm các điểm có đúng 2 đờng thẳng của họ

(C m ) đi qua
BT35 (ĐHTCKTHN 2000)
Cho (C) y

x 2 2x 2
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Tìm các điểm trên (C) để tiếp tuyến tại dó vuông
góc với TCX của đồ thị
www.VNMATH.com

i h c 12

www.VNMATH.com

BT36 (HV QY 2000)
Cho (C m ) y 

x 2  2mx m
xm

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = 1
2) Tìm những điểm thuộc Oy để từ đó có thể kẻ
đợc 2 tiếp tuyến tới đồ thị ở câu (1) vuông
góc với mhau
3) Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT
BT37 (HV KTQS 2000)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y

x 2 4x 5
x2

2) Tìm các điểm thuộc (C) có khoảng cách đến
(d) : y+ 3x + 6 =0 lμ Min
BT38 (§H An Ninh 1997)
Cho (C) y 

(m  1) x 2  m 2
xm

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số m= 1
CMR với mọi m # 0 TCX của đồ thị hm số luôn
tiếp xúc với một (P) cố định
BT39 (ĐH An Ninh 1998)
x2
Cho (C) y
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Viết phơng trình (P) đi qua CĐ,CT của (C)
v tiếp xúc với (d) :

y

1
2

4) Tìm A,B thc 2 nh¸nh kh¸c nhau cđa (C)
sao ch AB min

BT40 (§H An Ninh 1999)
Cho (C) y 

x 2  mx m 8
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m= -1
Viết phơng trình (P) đi qua C§,CT cđa (C) vμ
tiÕp xóc víi (d) : 2x y 10 =0
Tìm m để CĐ, CT của (C m ) n»m vỊ 2 phÝa cđa
9x – 7y -1 =0
BT41 (ĐH Công Đon 2000)
1) Khảo sát v vẽ đồ thị (C) y x

1
x 1

2) Tìm m để y= m giao với tại A, B sao cho
OA,OB vuông góc với nhau
BT42 (ĐH Lâm Nghiệp 2000)
Khảo sát v vẽ ®å thÞ (C) y 

www.VNMATH.com

x2  x 1
x 1


Kh o sỏt hm s v cỏc

thi

Tìm trên mỗi nhánh cuă (C) để khoảng cách giữa
chúng l Min
Viết phơng trình (P) đi qua CĐ,CT của (C) v
tiếp xúc với y= - 1
BT43 (§HSPHN II 2000)
Cho (C m ) y 

x 2  (m  1) x  4m 2  4m 2
x (m 1)

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = 2
2) Tìm m để hm số xác định v đồng biến trên
( 0; +∞ )
BT44 (§HQG HN 1999)
Cho (C m ) y 

x 2  (m  1) x  m 2 4m 2
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m =0
Tìm m để hm số có cực trị , tìm m để tích các
CĐ v CT dặt Min
BT45 (ĐHSPHN II 1998)
Cho (C m ) y

mx x m
mx 1
2

2) Khảo sát v vẽ ®å thÞ hμm sè khi m = 1
3) LÊy M bÊt kú thuéc (C m ) . BiÖn luËn sè tiÕp
tuyÕn qua M
BT46 (C§SPHN 2000)
x 2  3(m  1) x 3m
Cho (C m ) y
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m= 0 . Tìm k
để y= kx +2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt nằm
trên 2 nhánh của (C)
Từ A thuộc (C m ) kẻ AP,AQ lần lợt vuông góc
với các TCX, TCĐ của (C m ) .CMR diện tích
tam giác APQ l hằng số
BT47 (ĐH Thái Nguyên 2000)
2m 2 x 2  (2  m) 2 (mx  1)
mx  1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m=-2
2) CMR víi mäi m # 0 (C m ) lu«n cã C§,CT
3) CMR víi mäi m # 0 , TCX của (C m ) luôn
tiếp xúc với (P) cố định . Tìm phơng trình
của (P) đó
BT48 (ĐHSP Vinh 1998)
Cho (C m ) y 

 x 2  mx  m
mx m

với m # 0

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m= 1
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Tìm điểm cố định của họ (C m )



5
4

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M 0;
v tiếp xúc (C) ở câu (1)
BT49 (ĐHSP Qui Nh¬n 1999)
x 2  2(m  1) x  2
Cho (C m ) y
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m=0 CMR
giao của 2 tiệm cận l tâm đối xứng của (C) .
Tìm a ®Ĩ (C) tiÕp xóc víi (P) : y= - x 2 + a
2) Tìm m để hm số đồng biến trên ( 0; + )
BT50 (ĐH Đ Lạt 2000)
Cho (C) y

x 2 2x 1
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Tìm m để phơng trình
cos 2 t  (2  m) cos t  1  m 0 có nghiệm

BT51 (ĐH Y Dợc TPHCM 1999)

1) Tìm m để (C m ) đồng biến trên ( 0; + )

Cho (C m ) y 

i h c 12

Cho (C) y

x2 1
x

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Tìm M để từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (C)
vuông góc với nhau
BT52 (ĐH Y D−ỵc TPHCM 2000)
2 x 2  (1  m) x 1 m
Cho (C m ) y
xm

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số m = 1
CMR với mäi m # - 1. (C m ) tiÕp xóc với một
đờng thẳng cố định tại một điểm cố định .
Tìm phơng trình đờng thẳng cố định đó

BT53 (ĐH Ngoại Th−¬ng TP HCM 1996)
Cho (C) y 

x2  x  2
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Tìm A thuộc Ox để qua A chỉ kẻ đợc 1 tiÕp
tun duy nhÊt tíi (C)
BT54 (§HSP TP HCM 2000)
Cho (C) y

x 2 2x 2
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Gọi I l tâm đối xøng cđa (C) , M thc (C) . tiÕp
tun t¹i M cắt TCĐ,TCX tại A,B .CMR :
MA=MB v diện tích tam giác IAB l hằng số
BT55 (ĐHQG TP HCM 2000)
www.VNMATH.com


Kh o sát hàm s và các

Cho (C) y 

thi

x x 1

x 1
2

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến 2
tiệm cận có tổng Min
BT56 (ĐH Công Nghiệp TP HCM 2000)
Cho (C) y 

( x  2) 2
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Đờng thẳng (d) qua I(-1;0) cã hÖ sè gãc k .
BiÖn luËn theo k sè giao ®iĨm cđa (d) vμ (C)
Gäi M thc (C) . CMR tích khoảng cách từ M
đến 2 đờng tiệm cận l hằng số
BT57 (ĐH Cần Thơ 2001)
Cho (C) y

x 3x 1
x
2

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Tìm trên đờng thẳng x= 1 các điểm M kẻ
đén (C) hai tiếp tuyến vuông góc víi nhau
BT58 (§H Kinh TÕ TPHCM 2001)
Cho (C) y 

x 6x 9
x2

3
4

thẳng y x

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = -1 . Tõ

BT1 (§HBK TPhCM 1993)
x 2  2x  9
x2

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Biện luận theo m số nghiệm âm của phơng
x 2x 9
2

x 2

x2 x 1
x 1

đó suy ra đồ thị y

2) Tìm m để hm số có cực trị với m đó (C m )
luôn tìm đợc 2 điểm m tiếp tuyến với đồ thị
tại 2 điểm đó vuông góc víi nhau
BT4 (§H KiÕn Tróc Hn 1995)

x 2  mx 1
x 1
Tìm điểm cố định của họ (C m )

Cho (C m ) y

Tìm m để hm số có CĐ,CT
Khảo sát v vẽ đồ thị hm số khi m = 0
Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
x2 1
k
x 1

BT5 (§H GTVTHN 1998)
Cho (C) y 

x2  x 2
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Từ đó vẽ đồ thị y

x2 x  2
x 1

BT6 (HV Ng©n Hμng 2000)
Cho (C) y 

x 2 5x 5
x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số

4)-khảo sát hm chứa giá trị tuyệt đối

trình

www.VNMATH.com

2

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Tìm trên đờng thẳng Oy các điểm M kẻ đợc
tiếp tuyến đén (C) v song song víi ®−êng

Cho (C) y 

i h c 12

 m.(x - 2)  2

BT2
x 2  6x  5
Cho (C) y
2x 1

Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
Biện luận theo m số nghiệm âm của phơng
trình x 2  6 x  5  2 x  1. log 2 m
BT3 (§HXD 1997)

mx 2  (2  m 2 ) x  2m  1
Cho (C m ) y
xm
www.VNMATH.com

Từ đó vẽ đồ thị y

x 2  5x  5

.BiÖn luËn theo

x 1

m sè nghiÖm phơng trình
4 t 5.2 t 5 m(2 t 1)

BT7 (ĐH Thơng Mại HN 1995)
Cho (C) y 

x 2  mx  2m  1
x 1

1) Kh¶o sát v vẽ đồ thị hm số với m = 1..Biện
luận theo m số nghiệm phơng trình
x2 x k x 1 1 0

2) Tìm m để CĐ,CT n»m ë 2 phÝa cđa Ox
BT9 (§H Më Hn 1999)
Cho (C) y x 1

1
x 1

1) Khảo sát v vẽ đồ thị hm số
2) Từ đó vẽ đồ thÞ y  x  1 

www.VNMATH.com

1
x 1