Tính toán tĩnh và dao động của kết cấu tấm Composite áp điện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------

LÊ KIM NGỌC

TÍNH TỐN TĨNH VÀ DAO ĐỘNG
CỦA KẾT CẤU TẤM COMPOSITE ÁP ĐIỆN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------

LÊ KIM NGỌC

TÍNH TỐN TĨNH VÀ DAO ĐỘNG
CỦA KẾT CẤU TẤM COMPOSITE ÁP ĐIỆN
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62.44.21.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. TRẦN ÍCH THỊNH

Hà Nội - 2010


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là: Lê Kim Ngọc

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa
từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2010

Ngƣời cam đoan

Lê Kim Ngọc


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS. Trần Ích Thịnh - thày giáo hướng
dẫn đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên trong suốt q trình học tập,

nghiên cứu và hồn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tập thể các thày cô Bộ môn Cơ học vật liệu và kết
cấu - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã đóng góp nhiều ý kiến có giá trị, tạo
điều kiện và giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tập thể các thành viên trong nhóm Seminar Cơ
học - Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội đã đóng góp nhiều ý kiến
có giá trị và giúp đỡ trong q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các bạn bè, đồng nghiệp tận tình đã giúp đỡ và
động viên trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cha mẹ, vợ con, anh em đã tạo điều kiện
và động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả


MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu và các chữ viết tắt
Danh mục các bảng số liệu
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU ............................................................................................................

1

Chƣơng 1: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC LIÊN QUAN
ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ..........................................................................

8

1.2. NHỮNG VẤN ĐỀ MÀ LUẬN ÁN TẬP TRUNG NGHIÊN CỨU ...........

19

1.3. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ..........................................................................

19

Chƣơng 2: MỘT SỐ HỆ THỨC CƠ HỌC TRONG TÍNH TỐN TẤM
COMPOSITE ÁP ĐIỆN
2.1. ĐẶT VẤN ĐỀ ..........................................................................................

21

2.2. VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN VÀ TƢƠNG TÁC CƠ - ĐIỆN ...............................

21

2.2.1. VLAĐ và một số khái niệm, đại lƣợng liên quan .............................

21

2.2.2. Các hệ thức biểu diễn ứng xử cơ học của VLAĐ ............................

27

2.2.3. Kích thích và cảm biến áp điện ........................................................

31

2.3. CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN TRONG TÍNH TỐN TẤM COMPOSITE
LỚP THEO LÝ THUYẾT TẤM CỦA MINDLIN -REISSNER ...............
2.3.1. Trƣờng chuyển vị .............................................................................

35
37

2.3.2. Trƣờng biến dạng .............................................................................

37

2.3.3. Trƣờng ứng suất ...............................................................................

38

2.3.4. Các thành phần nội lực .....................................................................

40

2.3.5. Phƣơng trình ứng xử cơ học của tấm nhiều lớp ...............................

41

2.4. PHƢƠNG TRÌNH ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA TẤM COMPOSITE ÁP
ĐIỆN ........................................................................................................
2.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ..........................................................................

42

46

Chƣơng 3: THUẬT TỐN PTHH TÍNH TỐN TẤM COMPOSITE ÁP
ĐIỆN
3.1. ĐẶT VẤN ĐỀ ..........................................................................................

47


3.2. THIẾT LẬP THUẬT TOÁN ....................................................................

47

3.2.1. Trƣờng chuyển vị, phần tử đẳng tham số 9 nút và trƣờng điện thế..

47

3.2.2. Trƣờng biến dạng và điện trƣờng .....................................................

51

3.2.3. Trƣờng ứng suất và điện tích cảm ứng .............................................

52

3.2.4. Phƣơng trình PTHH tính tốn chuyển vị tĩnh, tính tốn dao động tự
do có và khơng có cản của kết cấu tấm composite áp điện ................

54

3.2.5. Bài toán tối ƣu với thuật toán di truyền ............................................

66

3.2.6. Thuật tốn tích phân Newmark ........................................................

71

3.2.7. Chƣơng trình tính .............................................................................

73

3.3. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ..........................................................................

74

Chƣơng 4: KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP PTHH
4.1. ĐẶT VẤN ĐỀ ..........................................................................................

75

4.2. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN UỐN TĨNH .................................

76

4.2.1. Sự tác động qua lại giữa hai trƣờng điện và cơ ................................

76

4.2.2. Điều khiển chuyển vị tĩnh kết cấu tấm composite có gắn những lớp

hay miếng áp điện ..............................................................................

78

4.2.3. Ảnh hƣởng của góc sợi các lớp composite, của vị trí những lớp áp
điện đến độ võng kết cấu tấm composite áp điện ..............................

83

4.2.4. Ảnh hƣởng của vị trí những miếng áp điện đến độ võng kết cấu
tấm composite áp điện .......................................................................
4.2.5. Ảnh hƣởng của kích thƣớc những miếng áp điện đến độ võng kết
cấu tấm composite áp điện .................................................................
4.3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO ..................
4.3.1. Ảnh hƣởng của HUAĐ đến tần số dao động riêng của kết cấu tấm
composite áp điện ..............................................................................
4.3.2. Ảnh hƣởng của góc sợi các lớp composite đến tần số dao động
riêng của kết cấu tấm composite áp điện ...........................................

85
86
91
91
92

4.3.3. Ảnh hƣởng của vị trí những miếng áp điện đến tần số riêng và khả
năng tự khử dao động tự do của kết cấu tấm composite áp điện .......

94

4.3.4. Ảnh hƣởng của hệ số điều khiển hồi tiếp đến khả năng triệt tiêu
dao động tự do của kết cấu tấm composite áp điện .............

96

4.4. BÀI TỐN TỐI ƢU
Tính tốn điện thế hợp lý áp đặt, vị trí hợp lý dán những miếng áp điện,
và góc sợi hợp lý của composite lớp để đạt đƣợc chuyển vị mong muốn


của kết cấu tấm conxon composite .............................................................

98

4.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 .......................................................................... 103
Chƣơng 5: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
5.1. ĐẶT VẤN ĐỀ ..........................................................................................

107

5.2. XÂY DỰNG THÍ NGHIỆM .....................................................................

107

5.2.1. Mẫu thí nghiệm ................................................................................

107

5.2.2. Thiết bị và hệ thống kích thích các miếng áp điện ........................... 109
5.2.3. Thiết bị và hệ thống ghi số liệu và đo chuyển vị, tần số dao động

riêng ................................................................................................... 111
5.3. ĐO, GHI VÀ XỬ LÝ SỐ LIỆU ................................................................ 112
5.3.1. Đo, ghi độ võng và tần số dao động riêng ........................................ 112
5.3.2. Xử lý số liệu .....................................................................................

114

5.4. SO SÁNH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VỚI TÍNH TỐN BẰNG PP
PTHH ....................................................................................................... 114
5.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 5 .......................................................................... 121
KẾT LUẬN CHUNG .........................................................................................
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN
QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

122


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

x, y, z
1, 2, 3
u, v, w
u0, v0, w0
θx, θy, θz
εxx, εyy, εzz
γxy, γyz, γxz
 xx0 , yy0 , xy0

hệ trục toạ độ tổng thể hoặc hệ trục chung của tấm vật liệu
composite lớp
hệ trục chính của lớp vật liệu
các thành phần chuyển vị theo các phƣơng x, y, z
các thành phần chuyển vị theo các phƣơng x, y, z của mặt trung
bình kết cấu tấm
các thành phần chuyển vị góc quanh các trục x, y, z
các thành phần biến dạng dài theo các phƣơng x, y, z
các thành phần biến dạng góc trong các mặt xy, yz, zx
các thành phần biến dạng màng của mặt trung bình

 yz0 , xz0

các thành phần biến dạng cắt của mặt trung bình

 x ,  y ,  xy

các thành phần độ cong theo các phƣơng

σxx, σyy, σxy, σyz, σzx các thành phần ứng suất trong hệ toạ độ x, y, z
σ11, σ22, σ12, σ23, σ13 các thành phần ứng suất trong hệ toạ độ 1, 2, 3
góc phƣơng sợi của lớp vật liệu so với phƣơng x
θ
hk, hk-1
toạ độ mặt trên và dƣới của lớp vật liệu thứ k
zk
toạ độ theo phƣơng chiều dày lớp vật liệu thứ k
E1, E2, G12, υ12
mô đun Young dọc, mô đun Young ngang, mô đun cắt, hệ số
Poisson của lớp vật liệu

[C], [C'], [S], [S'] ma trận các hằng số độ cứng, độ mềm của lớp vật liệu trong hệ
toạ độ 1, 2, 3 và x, y, z
CA, CR
ma trận hệ số cản động, ma trận hệ số cản kết cấu (Rayleigh)
ma trận độ cứng thu gọn
[Qij' ]

[Bu],  B 




ma trận tính biến dạng, ma trận tính điện trƣờng

hàm nội suy chuyển vị (hàm dạng)
ma trận độ cứng màng, màng - uốn, uốn, xoắn
ma trận Jacobian
hệ toạ độ tự nhiên
toạ độ các điểm Gauss
hàm trọng số tại điểm Gauss
khối lƣợng, khối lƣợng riêng của vật liệu
hệ số khuếch đại hồi tiếp tốc độ, hệ số khuếch đại hồi tiếp
chuyển dịch, hệ số khuếch đại điều khiển của mạch điều khiển
[Kuu],  Ku  ,  Ku  , ma trận độ cứng cơ, ma trận độ cứng kết hợp điện-cơ, ma trận
Ni
[A], [B], [D], [F]
[J]
ξ, η
ξi, ηi
wi, wj

m, ρ
G v , G d , Gc


 K  , [Muu]

{F}
{N}, {M}, {Q}
[T]
{ qeu }

q 
k

e

độ cứng kết hợp cơ-điện, ma trận độ cứng điện môi của vật liệu
áp điện, ma trận khối lƣợng
véc tơ lực nút tổng thể
véc tơ các thành phần nội lực màng, mô men, lực cắt
ma trận chuyển đổi hệ trục toạ độ
véc tơ chuyển vị nút phần tử
véc tơ điện thế phần tử

{ qg }

véc tơ bậc tự do tổng thể

{E}
Qc

Dp
d
e
p

véctơ cƣờng độ điện trƣờng
điện tích ngồi tác dụng
véctơ chuyển dịch điện tích (véc tơ cảm ứng điện)
ma trận hệ số biến dạng áp điện
ma trận hệ số ứng suất áp điện
ma trận hệ số điện môi
tần số dao động riêng

fi ( i  1, n )
As
AC
CPT
DC
đ/n
FE
FSDT
GA
HOPT
HUAĐ
KQ
PP
PTHH
Ss
VL
VLAĐ

Actuator - kích thích
Alternative Curent - dòng xoay chiều
Classical Plate Theory - lý thuyết tấm cổ điển
Direct current - dòng một chiều
đồng nghiệp
finite element - phần tử hữu hạn
First order Shear Deformation laminated plate Theory - lý
thuyết tấm lớp biến dạng trƣợt bậc nhất
thuật toán di truyền (Genetic Algorithm)
Higher Order Plate Theory - lý thuyết tấm bậc cao
hiệu ứng áp điện
kết quả
phƣơng pháp
phần tử hữu hạn
Sensor - cảm biến
vật liệu
vật liệu áp điện


DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU
(đánh số theo mục)

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

Bảng 1.1. Tóm tắt tình hình nghiên cứu trong và ngồi nƣớc ..................
Bảng 3.1. Trọng số trong phép cầu phƣơng Gauss ...................................
Bảng 4.2.1. Độ võng của dầm khi mặt trên và mặt dƣới của dầm chịu
điện thế 1Vôn ............................................................................................
Bảng 4.2.2. Điện thế đƣợc sinh ra phân bố trên các vùng bề mặt dầm
khi kéo đầu dầm võng 10 mm ..................................................................
Bảng 4.2.3. Thuộc tính vật liệu PZT G1195 [25], PZT G1195N [57] và
graphite/epoxy T300/976 [25] ..................................................................
Bảng 4.2.4. Giá trị các thành phần chuyển vị (W1, W2, W3) của tấm
khi các miếng áp điện chịu 315 V/mm .....................................................
Bảng 4.2.5. Độ võng (x 10-5 m) tại tâm tấm khi tựa bản lề, chịu tải phân
bố đều và các mức điện thế áp đặt ............................................................
Bảng 4.2.6. Độ võng của điểm M trong mỗi trƣờng hợp ..........................

Bảng 4.2.7. Độ võng của điểm M khi thay đổi kích thƣớc tp của miếng
áp điện .......................................................................................................
Bảng 4.3.1. So sánh tần số dao động riêng của tấm (Hz) .........................
Bảng 4.3.2. Tần số dao động riêng (Hz) của tấm đối xứng với góc θ
khác nhau ..................................................................................................
Bảng 4.3.3. Tần số dao động riêng của tấm bất đối xứng với góc θ khác
nhau ...........................................................................................................
Bảng 4.3.4. Tần số dao động riêng (Hz) của tấm .....................................
Bảng 4.4.1. Kết quả thu đƣợc khi dùng GA và khi "Tìm trên tập hợp
khả thi" ......................................................................................................
Bảng 5.2.1. Các thiết bị sử dụng ...............................................................
Bảng 5.2.2. Các thiết bị đo, ghi ................................................................
Bảng 5.4.1. Tần số dao động riêng (Hz) thực nghiệm và tính tốn ..........
Bảng 5.4.2. Độ võng (mm) của điểm giữa (M1) đầu tấm nhôm ...............
Bảng 5.4.3. Độ võng (mm) của điểm giữa (M1) đầu tấm [00/900] ...........
Bảng 5.4.4. Độ võng (mm) của điểm giữa (M1) đầu tấm [00/900] và tại
các điểm dọc tấm ......................................................................................
Bảng 5.4.5. Độ võng (mm) của điểm giữa (M1) đầu tấm [450/-450] ........
Bảng 5.4.6. Độ võng (mm) điểm giữa (M1) đầu tấm [450/-450] và tại
các điểm dọc tấm ......................................................................................
Bảng 5.4.7. Áp đặt điện thế để đƣa điểm M1 về xấp xỉ 0, các giá trị tính
tốn và thực nghiệm ..................................................................................

17
59
77
77
79
83
84

88
90
91
92
93
95
100
110
111
115
116
116
116
117
118
119


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
(đánh số theo mục)

24. Hình 1.1. Cầu dây văng - điều khiển chủ động cáp treo ..........................
25. Hình 1.2. (a) - Tấm composite lớp có lớp áp điện phủ mặt trên và mặt
dƣới, (b) - Tấm conxon composite lớp gắn các cặp miếng áp điện, (c) Tấm composite lớp có chứa những lớp áp điện, (d) - Tấm composite lớp
có chứa miếng áp điện ..............................................................................
26. Hình 1.3. "Quạt áp điện" ...........................................................................
27. Hình 1.4. Tấm vng với phần tử chuyển tiếp .........................................
28. Hình 2.1. Ấn lên VLAĐ sinh ra điện thế ..................................................
29. Hình 2.2. VLAĐ thay đổi hình dạng khi đặt nó trong điện trƣờng ..........
30. Hình 2.3. Cấu trúc phân tử vật liệu PVDF ................................................

31. Hình 2.4. Cấu trúc tinh thể trƣớc (1) và sau khi phân cực (2) ..................
32. Hình 2.5. Trƣớc (1), trong (2) và sau khi (3) phân cực của một loại gốm
áp điện chứa sắt từ ………………………………………………………
33. Hình 2.6. Hƣớng phân cực dƣơng đƣợc coi là trùng hƣớng 0Z trong hệ
toạ độ vng góc ………………………………………………………...
34. Hình 2.7. Cấu trúc của ma trận hệ số biến dạng áp điện hay ứng suất áp
điện ………………………………………………………………………
35. Hình 2.8. Các dạng ma trận hệ số biến dạng áp điện hay ứng suất áp
điện của VLAD thuộc loại hexagonal …………………………………..
36. Hình 2.9. Điện tích trong tụ điện phẳng chứa chất điện mơi ……………
37. Hình 2.10. Miếng áp điện gắn trên bề mặt dầm conxon ………………...
38. Hình 2.11. Điện cực có chiều rộng khơng đổi (a) và thay đổi (b) ………
39. Hình 2.12. Mạch đấu nối cảm biến áp điện. (a) - khuếch đại dòng; (b) khuếch đại điện tích …………………………………………………….
40. Hình 2.13. Tấm composite lớp ………………………………………….
41. Hình 2.14. Hệ trục chính của lớp vật liệu (1, 2, 3) và hệ trục chung của
lớp vật liệu (x, y, z)  (1', 2', 3') …………………………………………
42. Hình 2.15. Góc xoay của các pháp tuyến xung quanh trục y và trục x có
kể tới biến dạng trƣợt trung bình ………………………………………..
43. Hình 2.16. Sơ đồ tấm composite nhiều lớp ……………………………..
44. Hình 3.1. Biến dạng theo lý thuyết tấm của Mindlin ……………………
45. Hình 3.2. Phần tử đẳng tham số 9 nút (a) và phần tử tham chiếu (b) …...
46. Hình 3.3. Tấm composite áp điện với lƣới PTHH ………………………
47. Hình 3.4. Mạch hồi tiếp ............................................................................
48. Hình 3.5. Sơ đồ các điểm tích phân Gauss ……………………………...
49. Hình 3.6. Sơ đồ thuật tốn giải bài tốn tĩnh ……………………………
50. Hình 3.7. Sơ đồ thuật tốn giải bài tốn động …………………………..
51. Hình 3.8. Tấm conxon composite và miếng áp điện ( Lc và Wc là chiều

6

7
7
13
21
22
22
23
23
24
25
26
28
32
32
34
35
35
36
37
48
49
49
57
59
64
65


52.
53.

54.
55.
56.
57.
58.

59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.

dài và chiều rộng của tấm) ………………………………………………
Hình 3.9. Mơ hình thuật tốn di truyền …………………………………
Hình 3.10. Sơ đồ thuật tốn di truyền …………………………………..
Hình 4.2.1. Dầm áp điện lƣỡng cấu, (a) - cực tính của hai lớp áp điện
cùng chiều nhau, (b) - cực tính của hai lớp áp điện ngƣợc chiều nhau …
Hình 4.2.2. Dầm lƣỡng cấu PVDF ……………………………………...
Hình 4.2.3. Áp đặt độ võng đầu dầm là 10 mm …………………………

Hình 4.2.4. Tấm composite áp điện cấu hình [p/-450/450/-450/450/p] (lớp
trên và lớp dƣới làm bằng VLAĐ PZT G1195N) ……………………….
Hình 4.2.5. Điều khiển độ võng (active control - chủ động) của tấm [p/450/450/-450/450/p] tựa bản lề và khi chịu tải phân bố đều 100 N/m2
bằng hệ số Gd ……………………………………………………………
Hình 4.2.6. Tấm composite áp điện [p/-450/450/-450/450/p] bị ngàm dọc
cạnh b ……………………………………………………………………
Hình 4.2.7. Độ võng theo đƣờng OA của [p/-450/450/-450/450/p] khi chỉ
áp đặt 10 V ………………………………………………………………
Hình 4.2.8. Độ võng theo đƣờng OA của tấm [p/-450/450/-450/450/p] khi
chịu tải phân bố đều 100 N/m2 và áp đặt ở các mức điện thế khác nhau..
Hình 4.2.9. Tấm [00/450/-450/450/-450/00] gắn các miếng áp điện PZT
G1195 …………………………………………………………………...
Hình 4.2.10. Chuyển vị của tấm conxon [00/450/-450]as khi các miếng áp
điện bị áp đặt 315 V/m ………………………………………………….
Hình 4.2.11. Độ võng theo đƣờng OA của tấm composite 6 lớp (có 2
lớp áp điện) tựa bản lề, chịu tải phân bố đều và các mức điện áp áp đặt..
Hình 4.2.12. Tấm composite [-300/300]s với 3 trƣờng hợp gắn cặp miếng
áp điện ở 3 vùng khác nhau ……………………………………………..
Hình 4.2.13. Độ võng theo đƣờng AB tƣơng ứng với mỗi trƣờng hợp …
Hình 4.2.14. Các ký hiệu kích thƣớc ……………………………………
Hình 4.2.15. Chín trƣờng hợp gắn những miếng áp điện ……………….
Hình 4.2.16. Chuyển vị của tấm trong mỗi trƣờng hợp …………………
Hình 4.2.17. Độ võng của điểm M khi thay đổi chiều dài Lp của miếng
áp điện …………………………………………………………………...
Hình 4.2.18. Độ võng của điểm M khi thay đổi độ dày tp của miếng áp
điện, (a) - trƣờng hợp 1, (b) - trƣờng hợp 8 ……………………………..
Hình 4.3.1. Tấm composite áp điện có cấu hình bất đối xứng [p/450/450]as ...................................................................................................
Hình 4.3.2. Tần số dao động riêng của tấm đối xứng với các góc sợi
khác nhau ..................................................................................................
Hình 4.3.3. Tần số dao động riêng của tấm bất đối xứng với các góc sợi

khác nhau ..................................................................................................

67
68
70
76
76
77
78

79
80
80
81
82
82
84
85
86
87
87
89
89
90
91
93
93


75. Hình 4.3.4. Tấm composite tựa bản lề 4 cạnh gắn các cặp miếng áp điện

(4 trƣờng hợp gắn khác nhau) …………………………………………...
76. Hình 4.3.5. Chuyển vị theo thời gian của điểm giữa tấm composite [300/300]s tựa bản lề 4 cạnh gắn các cặp miếng áp điện ở vị trí khác nhau
77. Hình 4.3.6. Tấm conxon composite [00/900] gắn cặp miếng áp điện …..
78. Hình 4.3.7. Chuyển vị theo thời gian của điểm giữa đầu tự do của tấm
[00/900] có gắn cặp miếng áp điện ………………………………………
79. Hình 4.4.1. Các ký hiệu kích thƣớc, toạ độ ……………………………..
80. Hình 4.4.2. Đồ thị tiến trình tìm kiếm bằng GAs (ứng với kiểu I) ……...
81. Hình 4.4.3. Chuyển vị của tấm (ứng với kiểu I) ………………………...
82. Hình 4.4.4. Độ võng theo đƣờng dọc tấm (ứng với kiểu I) ……………..
83. Hình 4.4.5. Đồ thị tiến trình tìm kiếm bằng GAs (ứng với kiểu II) ……..
84. Hình 4.4.6. Chuyển vị của tấm (ứng với kiểu II) ………………………..
85. Hình 4.4.7. Độ võng theo đƣờng dọc tấm (ứng với kiểu II) …………….
86. Hình 5.2.1. Mẫu tấm và bàn kẹp ………………………………………...
87. Hình 5.2.2. Minh hoạ kích thƣớc mẫu tấm và bàn kẹp ………………….
88. Hình 5.2.3. Sơ đồ hệ thống kích thích các miếng PZT ………………….
89. Hình 5.2.4. Sơ đồ bố trí các thiết bị đo và ghi số liệu …………………..
90. Hình 5.2.5. Thí nghiệm đo tần số dao động, đo độ võng và điều khiển
độ võng của các mẫu tấm kim loại và mẫu tấm composite có gắn những
miếng áp điện ……………………………………………………………
91. Hình 5.3.1. Sơ đồ nguyên lý đo …………………………………………
92. Hình 5.3.2. Sơ đồ gá lắp đầu đo …………………………...……………
93. Hình 5.3.3. Các điểm đo độ võng trên tấm conxon ……………………..
94. Hình 5.4.1. Kết quả mơ phỏng một số dạng dao động của tấm [00/900]...
95. Hình 5.4.2. Độ võng theo đƣờng dọc tấm [00/900] ...................................
96. Hình 5.4.3. Độ võng theo đƣờng dọc tấm [450/-450] ................................

95
96
97
98

99
100
101
101
101
102
102
108
108
110
111

112
112
113
113
115
119
120


1

MỞ ĐẦU

Ngày nay, vật liệu composite đƣợc sử dụng rộng rãi trong thiết kế chế tạo những
kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền, chế tạo máy cũng nhƣ trong nhiều
ngành khác nhau.
Vật liệu composite đƣợc ứng dụng và phát triển rộng rãi bởi chúng có nhiều tính
chất ƣu việt nhƣ: nhẹ, độ bền riêng cao, mô đun riêng cao, tính cách nhiệt và cách

âm tốt, dễ dàng gia cơng thành những chi tiết có hình dạng phức tạp.
Hiện nay, khoa học công nghệ vật liệu mới là một trong những mũi nhọn then
chốt phục vụ cho sự nghiệp cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nƣớc. Vật liệu
composite luôn tiềm tàng những khả năng của sự kết hợp mới.
Vật liệu áp điện (VLAĐ) là vật liệu có tính chất khi chịu lực cơ học tác động
vào nó thì nó tạo ra dịng điện và ngƣợc lại khi áp vào nó một trƣờng điện thì nó
biến đổi hình dạng (hiệu ứng thuận và nghịch). Hiện tƣợng áp điện này đƣợc ứng
dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật phục vụ cho cuộc sống hàng ngày nhƣ: máy bật lửa,
cảm biến, máy siêu âm, điều khiển góc quay nhỏ gƣơng phản xạ tia lade, các thiết
bị, động cơ có kích thƣớc nhỏ, v.v.. Hiện nay, ngƣời ta đang phát triển nhiều
chƣơng trình nghiên cứu nhƣ máy bay đập cánh nhƣ cơn trùng, cơ nhân tạo, cánh
máy bay biến đổi hình dạng, phịng triệt tiêu âm thanh, các kết cấu thơng minh,...
VLAĐ dƣới dạng lớp hay miếng mỏng hay sợi đƣợc gắn hay nhúng sẵn vào
trong các kết cấu composite có thể tạo cho kết cấu tổng thể những đặc tính cơ học
tốt hơn và có khả năng cảm biến hoặc thích nghi đối với những đáp ứng động học
hay tĩnh học.
Trong những năm gần đây, vật liệu composite và kết cấu composite áp điện
đƣợc nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu cả về mặt công nghệ và
cơ học. Những thành tựu đã đƣợc ứng dụng trong nhiều nghành công nghiệp mũi
nhọn khác nhau nhƣ cản rung, điều khiển hình dáng, giảm ồn, điều khiển chính
xác,...


2

Ở Việt Nam, hƣớng nghiên cứu về ứng xử cơ học (mô phỏng số cũng nhƣ thực
nghiệm) của kết cấu composite áp điện cịn rất mới mẻ và cịn ít kết quả cơng bố.
Xuất phát từ thực tế đó, đề tài luận án: "Tính tốn tĩnh và dao động của kết
cấu tấm composite áp điện" đƣợc đặt ra và thực hiện.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về VLAĐ, về tấm composite lớp để từ đó xây dựng
thuật tốn và chƣơng trình tính cho phép mô phỏng ứng xử tĩnh và dao động của
tấm composite áp điện. Trên cơ sở thuật tốn và chƣơng trình tính thiết lập tác giả
nghiên cứu những ảnh hƣởng của nhiều yếu tố khác nhau đến ứng xử tĩnh và dao
động của kết cấu tấm composite áp điện; tính tốn điều khiển chuyển vị tĩnh kết cấu
tấm composite có gắn những lớp hoặc những miếng áp điện; ứng dụng thuật toán di
truyền để giải bài toán tối ƣu liên quan đến kết cấu tấm composite áp điện; thực
nghiệm để nghiên cứu ứng xử tĩnh và động kết cấu composite áp điện và kiểm
nghiệm mơ hình tính bằng PP PTHH.
ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tƣợng nghiên cứu là những tấm composite lớp có chứa những lớp áp điện
hay có gắn những miếng áp điện.
Phạm vi nghiên cứu là uốn tĩnh và dao động tự do đàn hồi tuyến tính.
PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phƣơng pháp số: Tính tốn bằng PP PTHH xây dựng dựa trên lý thuyết tấm của
Mindlin, ứng dụng thuật tốn di truyền, thuật tốn tích phân Newmark cho một số
bài toán cụ thể.
Phƣơng pháp thực nghiệm: xây dựng và tiến hành một số thí nghiệm đo và điều
khiển chuyển vị tĩnh, tần số dao động riêng của tấm composite sợi thuỷ tinh/nhựa
polyester (chế tạo tại Việt Nam) có gắn cặp miếng áp điện.
NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA LUẬN ÁN
Xây dựng đƣợc thuật toán phần tử hữu hạn (PTHH) và ba bộ chƣơng trình tính
viết bằng ngơn ngữ Matlab để giải bài toán tĩnh, bài toán dao động tự do và bài toán
tối ƣu đối với kết cấu tấm composite áp điện.


3

Về bài toán uốn tĩnh, luận án: khảo sát sự tác động qua lại giữa hai trƣờng điện
và cơ qua những tính tốn đối với dầm lƣỡng cấu - dầm chỉ gồm hai lớp làm bằng

vật liệu áp điện Poly Vinyl Dene Fluoride; tính tốn điều khiển chủ động (active
control) độ võng của tấm composite tựa bản lề 4 cạnh bằng cách gắn lên mặt trên và
dƣới của tấm những lớp áp điện và sử dụng mạch hồi tiếp - hệ thống thiết bị có thể
thu điện tích từ lớp áp điện này (lớp áp điện đóng vai trị cảm biến) chuyển thành
điện thế rồi khuyếch đại để đƣa vào tác động lớp áp điện khác (lớp áp điện đóng vai
trị kích thích); tính tốn điều khiển thụ động (passive control) độ võng của tấm
composite bị ngàm một cạnh, ba cạnh kia tự do bằng cách gắn những lớp hay những
miếng áp điện lên mặt tấm và áp đặt điện thế lên các lớp hay miếng áp điện; tính
tốn ảnh hƣởng của góc sợi các lớp composite, của vị trí các lớp hay các miếng áp
điện, của kích thƣớc các miếng áp điện đến độ võng của kết cấu tấm composite áp
điện.
Về bài toán dao động tự do, luận án tính tốn ảnh hƣởng: của hiệu ứng áp điện
đến tần số dao động riêng của kết cấu tấm composite áp điện [p/-450/450/-450/450/p]
bị ngàm bốn cạnh; của góc sợi đến tần số dao động riêng của tấm composite áp điện
có cấu hình đối xứng [p/-θ0/θ0/θ0/-θ0/p] và bất đối xứng [p/-θ0/θ0/-θ0/θ0/p] đều bị
ngàm 4 cạnh; của vị trí các miếng áp điện đến tần số dao động riêng, đến đến khả
năng triệt dao động tự do của tấm composite hình vng có cấu hình [-300/300]s tựa
bản lề 4 cạnh; của hệ số điều khiển hồi tiếp đến khả năng triệt dao động tự do của
kết cấu tấm conxon composite cấu hình [00/900] có gắn một cặp áp điện sát cạnh bị
ngàm.
Giải bài toán tối ƣu, ứng dụng thuật toán di truyền chỉ ra đƣợc vị trí hợp lý cần
dán những miếng áp điện, điện thế hợp lý cần áp đặt và góc sợi hợp lý của tấm
conxon composite có cấu hình đối xứng [θ/(900+θ)/(900+θ)/θ] và bất đối xứng [θ/θ/θ/-θ] nhằm đạt đƣợc độ võng mong muốn.
Mặc dù giá thành những miếng VLAĐ rất đắt, phải mua của nƣớc ngoài nhƣng
nghiên cứu thực nghiệm vẫn đƣợc đặt ra. Tác giả tiến hành: thí nghiệm đo độ võng
và đo tần số dao động tự do của hai loại tấm bằng nhôm và bằng vật liệu composite
gồm hai lớp, đúng trục [00/900] và lệch trục [450/-450] chế tạo tại Việt Nam từ sợi


4

thuỷ tinh (40%) nền polyester không no (60%). Tấm bị ngàm một cạnh, ba cạnh kia
tự do, có gắn một cặp miếng áp điện PZT (Lead Zirconate Titanates) ở sát cạnh bị
ngàm; điều khiển hai loại này bằng cách áp đặt điện thế tính tốn trƣớc; kiểm
nghiệm mơ hình tính bằng phƣơng pháp PTHH qua so sánh giữa kết quả thực
nghiệm và kết quả tính PTHH.
Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Góp phần vào việc nghiên cứu những kết cấu làm bằng vật liệu composite có kết
hợp VLAĐ.
Xây dựng đƣợc thuật tốn và chƣơng trình tính cho phép mơ phỏng ứng xử tĩnh
và dao động tự do khi có cản và khơng có cản (cản kết cấu, cản điện) của tấm
composite áp điện. Vƣơn tới có thể tiến hành những thí nghiệm số đối với kết cấu
tấm/vỏ composite áp điện.
Tính tốn các kết cấu làm bằng vật liệu composite có kết hợp VLAĐ là vấn đề
khoa học trong lĩnh vực cơ học vật thể rắn đƣợc tác giả nghiên cứu và thực sự đã
đóng góp một nội dung khoa học đang còn bỏ ngỏ ở Việt Nam. Kết quả của luận án
đóng góp cho những nghiên cứu khoa học về ứng xử cơ học (mô phỏng số cũng nhƣ
thực nghiệm) của kết cấu tấm composite áp điện.
CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Luận án gồm: mở đầu, 5 chƣơng, kết luận chung, danh mục các bài báo của tác
giả đã công bố liên quan đến đề tài luận án, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục.
Mở đầu.
Chƣơng 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Nêu tổng quan về vật liệu composite, về VLAĐ, về các phƣơng pháp tính tốn
và kết quả nghiên cứu đối với bài toán tĩnh và dao động của kết cấu tấm composite
có chứa những lớp hoặc miếng áp điện. Qua đó xác định đề tài nghiên cứu.
Chƣơng 2: Một số hệ thức cơ học trong tính tốn tấm coposite áp điện
Đề cập đến VLAĐ, đến tấm composite lớp, đến tấm composite áp điện và đƣa ra
một số hệ thức cơ học trong tính tốn tấm coposite áp điện.
Chƣơng 3: Thuật tốn PTHH tính tốn tấm coposite áp điện

5

Thiết lập thuật tốn PTHH và chƣơng trình tính cho tính tốn uốn, tính tốn dao
động tự do khi có và khơng có cản và bài tốn tối ƣu.
Chƣơng 4: Kết quả tính tốn số bằng phƣơng pháp PTHH
Trình bày những kết quả tính tốn liên quan đến bài tốn uốn tĩnh, dao động và
tối ƣu cùng những nhận xét, bàn luận, đó là: ảnh hƣởng của hiệu ứng áp điện, của
góc sợi composite lớp, của vị trí gắn những lớp hay những miếng áp điện, của kích
thƣớc miếng áp điện, của hệ số điều khiển hồi tiếp đến ứng xử tĩnh và động của tấm
composite áp điện; tính tốn điều khiển chuyển vị tĩnh kết cấu tấm composite có
gắn những lớp hay những miếng áp điện. Kết quả tính bài tốn tối ƣu tìm kiếm đồng
thời nhiều biến thiết kế để thoả mãn mục tiêu mong muốn đƣợc đƣa ra.
Chƣơng 5: Nghiên cứu thực nghiệm
Trình bày những thí nghiệm nhằm: nghiên cứu ứng xử tĩnh, dao động kết cấu
tấm composite áp điện đƣợc thực hiện trên những mẫu tấm bằng nhôm, bằng
composite đúng trục [00/900] và lệch trục [450/-450] chế tạo từ sợi thuỷ tinh, nền
polyester khơng no có gắn những miếng áp điện; kiểm nghiệm mơ hình tính bằng
phƣơng pháp PTHH thông qua những so sánh giữa kết quả thực nghiệm với kết quả
tính PTHH.
Kết luận chung
Trình bày những vấn đề chính, những đóng góp mới của luận án và một số kiến
nghị về những nghiên cứu tiếp theo.
Danh mục các cơng trình của tác giả đã cơng bố liên quan đến đề tài luận án.
Danh mục tài liệu tham khảo.
Phụ lục
Gồm có: cách tính số lƣợng mẫu và xử lý sai số; các chƣơng trình tính tốn tĩnh,
tính tốn dao động kết cấu tấm composite áp điện và chƣơng trình tính tốn để giải
bài tốn tối ƣu.

6

Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Vật liệu composite là một tổ hợp của hai hay nhiều vật liệu thành phần có bản
chất khác nhau. Nhờ những ƣu điểm nổi trội so với kim loại mà vật liệu composite
ngày nay trở thành loại vật liệu đƣợc sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công
nghiệp.
Vật liệu "thông minh" là những vật liệu có các đặc tính thay đổi đáng kể khi
hình dáng, kích thƣớc bị thay đổi bởi tác nhân kích thích bên ngồi nhƣ là áp suất,
nhiệt độ, độ ẩm, độ pH, điện hoặc trƣờng điện từ. Có rất nhiều dạng vật liệu "thông
minh" khác nhau, hiện nay, một số đã trở nên thông dụng nhƣ vật liệu áp điện
(piezoelectric material), vật liệu hoả điện (pyroelectric material), vật liệu sắt điện
(ferroelectric material), hợp kim và polime ghi nhớ hình dạng (shape memory
alloys), polime nhậy cảm với pH, vật liệu halochromic,... Ngƣời ta kết hợp những
vật liệu kiểu này vào nhiều kết cấu để kết cấu trở nên "thông minh", có thể điều
khiển hay tự điều khiển đƣợc. Một ví dụ về kết cấu tự điều khiển đƣợc minh hoạ
trên hình 1.1, đó là: điều khiển chủ động cáp treo của cầu dây văng. Việc nghiên
cứu vật liệu "thông minh"và những kết cấu "thông minh" thực sự thu hút nhiều nhà
nghiên cứu trong và ngồi nƣớc.

Hình 1.1. Cầu dây văng - điều khiển chủ động cáp treo.


7

Composite áp điện là loại composite có sự kết hợp VLAĐ. Tấm composite áp
điện là tấm composite lớp có chứa những lớp áp điện hay những miếng áp điện.

Hình 1.2 minh hoạ tấm composite áp điện.

Hình 1.2. (a) - Tấm composite lớp có lớp áp điện phủ mặt trên và mặt dƣới,
(b) - Tấm conxon composite lớp có gắn các cặp miếng áp điện,
(c) - Tấm composite lớp có chứa lớp áp điện,
(d) - Tấm composite lớp có chứa miếng áp điện.
Một ví dụ ứng dụng là gắn miếng áp điện lên tấm bằng kim loại hay nhựa tổng
hợp, dùng điện xoay chiều tác động lên miếng áp điện làm cho tấm kim loại hay
nhựa tổng hợp dao động đƣợc minh hoạ trên hình 1.3, đó là: "Quạt áp điện"
(Piezoelectric Fan) hay dùng để làm mát các vi mạch, chíp máy tính,...

Hình 1.3. "Quạt áp điện".


8

1.1. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGỒI NƢỚC LIÊN QUAN ĐẾN
ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
Trong mấy thập niên gần đây, những lớp hay những miếng áp điện đƣợc xem
xét để thiết kế những cấu trúc "thông minh" dùng trong nhiều ứng dụng nhƣ điều
khiển hình dáng, điều khiển dao động,… Những lớp gốm áp điện, polyme áp điện
đã đƣợc sử dụng trong những kết cấu composite lớp với mục đích cảm biến (tính
chất sinh điện tích của VLAĐ khi bị tác động cơ học) hay kích thích (tính chất biến
dạng của VLAĐ khi áp cho nó một điện trƣờng).
Việc phân tích kết cấu tấm composite áp điện thƣờng đƣợc tiếp cận theo hai
hƣớng chính: lý thuyết đàn hồi ba chiều (lý thuyết đàn hồi ba chiều cổ điển, các lý
thuyết lớp liên tiếp - Layerwise theories); các lý thuyết đơn lớp tƣơng đƣơng (
Equivalent single - layer theories); lý thuyết tấm cổ điển, lý thuyết tấm có lớp biến
dạng trƣợt bậc nhất.
Hƣớng tiếp cận thứ nhất, tập trung hoàn thiện các phƣơng pháp toán học để

khảo sát riêng biệt các lớp thoả mãn điều kiện liên tục về ứng suất và chuyển vị
giữa các lớp. Q trình tính tốn phải thoả mãn các phƣơng trình của lý thuyết đàn
hồi trong mỗi lớp, điều này dẫn đến phải giải một số lƣợng lớn các phƣơng trình vi
phân đạo hàm riêng, đặc biệt phức tạp khi số lớp tăng lên. Thông thƣờng để giảm
bớt phức tạp trong tính tốn, thƣờng sử dụng các phƣơng pháp gần đúng nhƣ
phƣơng pháp sai phân hữu hạn, phƣơng pháp tiệm cận,... để giải các phƣơng trình
này. Ƣu điểm của hƣớng nghiên cứu này là mơ hình tính tốn gần với kết cấu thực,
có thể cho nghiệm chính xác. Tuy nhiên khối lƣợng tính tốn lại lớn, nhất là khi số
lớp tăng lên và rất khó khăn trong việc giải các bài toán động, bài toán ổn định, bài
toán phi tuyến với các kết cấu composite áp điện có cấu trúc hình học và điều kiện
biên phức tạp.
Lý thuyết đàn hồi ba chiều, những lý thuyết đơn lớp tƣơng đƣơng [26, 35, 55,
69] hay những lý thuyết lớp liên tiếp đƣợc dùng để phân tích tĩnh, phân tích động
những kết cấu lớp có kết hợp những lớp áp điện. Cả phƣơng pháp số và giải tích
đều đƣợc dùng để tính tốn đáp ứng của những kết cấu này.


9

Khi sử dụng nghiệm đàn hồi hai hay ba chiều để giải quyết các bài tốn khơng
có những giả thiết về xấp xỉ trƣờng cơ và trƣờng điện. Không nhƣ cách này, những
lý thuyết đơn lớp tƣơng đƣơng đƣa ra những xấp xỉ đối với trƣờng cơ và trƣờng
điện. Những xấp xỉ động học đƣợc thực hiện đối với trƣờng cơ bằng việc áp dụng
những lý thuyết tấm nhiều lớp và áp đặt cho việc chọn biến điện trƣờng, điều này
ảnh hƣởng đến sự chính xác của việc tính tốn những đặc trƣng cơ, đặc trƣng điện
của cấu trúc lớp.
Nghiệm chính xác của Saravanos và đồng nghiệp [75] cho tấm composite
carbon/epoxy áp điện nhờ sử dụng lý thuyết đàn hồi ba chiều cho thấy sự phân bố
trƣờng cơ và trƣờng điện khi mơ hình theo những lý thuyết đơn giản thƣờng kém
hơn. Các tác giả này chỉ ra rằng điện trƣờng trong những lớp cảm biến không bằng

không và sự phân bố cả trƣờng điện lẫn trƣờng cơ ảnh hƣởng rõ ràng bởi hằng số
điện môi.
Tiersten [80] đã đƣa ra phƣơng trình gần đúng để tính dao động của tấm
composite carbon/epoxy áp điện mỏng chịu điện trƣờng lớn. Tiersen biểu diễn điện
thế trong miếng áp điện bằng chuỗi khai triển lấy đến số hạng bậc ba và chỉ ra rằng
với tấm mỏng có thể bỏ qua những số hạng bậc hai, bậc ba trong chuỗi khai triển.
Crawley và Deluis [21] hay Crawley cùng đồng nghiệp [22] nghiên cứu bài toán
uốn, kéo dầm áp điện một chiều. Im và Atluri [40] cải tiến mơ hình của Crawley
bằng việc kể đến ứng suất trƣợt, kể đến lực dọc trục và đƣa chúng vào công thức.
Richard và Cudney [71] phát triển lời giải giải tích cho tấm nhiều lớp có những
lớp áp điện. Họ dùng phƣơng trình chuyển động có tính đến mơ men quán tính và
kể đến biến dạng trƣợt để tính toán điều khiển chủ động tấm composite lớp.
Wang và đồng nghiệp [89] trình bày lời giải giải tích cho trƣờng hợp dầm có gắn
những miếng áp điện ở mặt trên và mặt dƣới để khảo sát ứng xử động học của dầm
có gắn cặp miếng áp điện.
Karczmarzyk [44] dùng nghiệm đàn hồi động lực học để nghiên cứu bài toán
dao động của kết cấu tấm composite áp điện trong trạng thái ứng suất phẳng.
Luo và Tong [59, 60] triển khai mơ hình giải tích dựa trên lý thuyết tấm cổ điển
để phân tích tĩnh, động cho dầm composite có dán những lớp áp điện.


10

Crawley và Lazarus [24] dùng PP giải tích để tìm biến dạng, tìm độ cong của kết
cấu tấm đẳng hƣớng (tấm nhơm) và dị hƣớng (tấm composite graphite/epoxy) có
gắn những cặp miếng áp điện khi chịu uốn, khi chịu xoắn.
Heyliger và Saravanos [37] dùng lời giải giải tích cho bài tốn dao động tự do
của tấm nhiều lớp có những lớp áp điện. Heyliger và Brook [36] phát triển cho tính
tốn uốn vỏ trụ nhiều lớp có những lớp áp điện. Heyliger [35] dùng PP giải tích để
tính tấm composite áp điện tựa đơn giản. Pan và Heyliger [63] dùng PP giải tích cho

tính tốn uốn vỏ trụ composite áp điện, và cho tấm dị hƣớng tựa bản lề có kể đến
tƣơng tác đàn hồi - điện - từ trƣờng.
Kapuria và đồng nghiệp [45] dùng mơ hình giải tích 3 chiều để giải bài tốn điều
khiển hình dáng mảnh vỏ trụ đàn - nhiệt - áp điện (có sự tƣơng tác của ba trƣờng
đàn hồi, nhiệt và điện). Chuỗi Fourier kép đƣợc dùng để thoả mãn điều kiện biên
chuyển vị.
Stam và đồng nghiệp [77] trình bày lời giải giải tích tính tốn đáp ứng của vỏ trụ
lớp có những lớp áp điện, chịu tải nhiệt. Hệ số biến dạng áp điện đƣợc giả thiết
không phụ thuộc nhiệt độ, hệ số hoả điện (Pyroelectric coefficient) đƣợc giả thiết bỏ
qua. Các tính toán dùng hệ toạ độ trụ.
Kant và đồng nghiệp [43] dùng phƣơng pháp giải tích để xem xét bài tốn tĩnh;
nghiên cứu ảnh hƣởng của góc cốt, số lớp, tỉ số độ dày tới chuyển vị, tới ứng suất,
của một vài mẫu tấm composite áp điện tựa đơn giản; sử dụng mơ hình trƣờng
chuyển vị bậc ba khơng đầy đủ.
Christophe và đồng nghiệp [20] dùng phƣơng pháp giải tích để tính uốn, kéo, cắt
cho dầm lƣỡng cấu (bimorph beam - dầm chỉ gồm hai lớp áp điện).
Hƣớng tiếp cận thứ hai, xuất phát từ lý thuyết đàn hồi ba chiều, bằng các giả
thiết thích hợp, các kết cấu gồm nhiều lớp vật liệu không đồng nhất ban đầu đƣợc
đƣa về một lớp vật liệu đồng nhất tƣơng đƣơng và thực hiện các bƣớc tính tốn trên
lớp tƣơng đƣơng này. Bằng cách này bài tốn khơng gian ba chiều đƣợc đƣa về bài
toán phẳng hai chiều. Các lý thuyết đơn lớp tƣơng đƣơng giả thiết trƣờng chuyển vị
biến thiên liên tục theo chiều dày, không phụ thuộc vào điều kiện biên của mỗi lớp.
Các lý thuyết đơn lớp tƣơng đƣơng gồm: lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (Clasical


11

Layer Plate Theory - CLPT) là mơ hình đơn giản nhất trong các lý thuyết tấm đơn
lớp tƣơng đƣơng. Do bỏ qua biến dạng cắt ngang nên mơ hình này chỉ thích hợp với
những kết cấu tấm và vỏ mỏng; với những kết cấu có chiều dày lớn hơn, lý thuyết

biến dạng trƣợt của Mindlin - Reissner thƣờng đƣợc sử dụng (lý thuyết biến dạng
trƣợt bậc nhất - First-Order Shear Deformation Theory - FSDT). Lý thuyết biến
dạng trƣợt bậc nhất đã mở rộng lý thuyết tấm cổ điển khi có kể đến biến dạng cắt
ngang. Biến dạng cắt ngang đƣợc giả thiết là hằng số theo phƣơng chiều dày tấm,
lúc này đƣờng thẳng vng góc với mặt trung bình của tấm trƣớc biến dạng, sau
biến dạng vẫn thẳng nhƣng không nhất thiết phải vng góc với mặt trung bình. Lời
giải thích hợp cho các tấm có độ dày lớn hơn cần đến hệ số hiệu chỉnh cắt. Xác định
các hệ số hiệu chỉnh cho vật liệu composite lớp phức tạp hơn rất nhiều so với vật
liệu đồng nhất. Hệ số hiệu chỉnh cắt khơng chỉ phụ thuộc vào hình dạng, kích thƣớc
của kết cấu, tính chất và cấu hình của vật liệu composite lớp, mà còn phụ thuộc vào
tải trọng, vào điều kiện biên; lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao (High-order Shear
Deformation Theory - HSDT) đƣợc phát triển bằng cách khai triển chuỗi Taylor đối
với trƣờng chuyển vị trong mặt trung bình của tấm. Trƣờng chuyển vị bậc ba cho
phép biểu diễn ứng suất cắt ngang thay đổi theo quy luật bậc hai và cho hiệu quả
trong tính tốn các kết cấu tấm/vỏ composite dày.
Ƣu điểm chủ yếu của các mơ hình đơn lớp tƣơng đƣơng là đơn giản, khối lƣợng
tính tốn ít do số lƣợng các biến độc lập trong các phƣơng trình cân bằng khơng
nhiều. Nhiều tác giả sử dụng mơ hình này (lý thuyết tấm cổ điển, bậc nhất và bậc
cao) để giải quyết các bài toán tĩnh và động đối với các kết cấu composite áp điện.
Trong mơ phỏng tính tốn các kết cấu composite áp điện, ngƣời ta thƣờng sử
dụng mơ hình lớp có độ cứng tƣơng đƣơng và PP PTHH tỏ ra là một công cụ hữu
hiệu để mô phỏng những lớp hay những miếng kích thích và cảm biến áp điện. Mơ
hình hai chiều và ba chiều đều đƣợc sử dụng để nghiên cứu.
Hầu hết những phân tích bằng phần tử hai chiều đối với những cấu trúc tấm/vỏ
có chứa những lớp hay những miếng áp điện đều dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và
tấm nhiều lớp, trong đó trƣờng chuyển vị mặt trung bình đƣợc giả thiết là tuyến tính
theo chiều dày. Trong mơ hình bằng PP PTHH [18, 39, 50], ngoài việc điện trƣờng


12

trong lớp áp điện đƣợc giả thiết là hằng số, để tính tốn điện tích tổng cộng theo
hƣớng độ dày của lớp cảm biến nhiều tác giả đã bỏ qua những ảnh hƣởng gây bởi
điện trƣờng hay lực gây bởi dịng điện ngồi. Nhiều tác giả dùng những mơ hình lý
thuyết tấm cổ điển hai chiều để phân tích những kết cấu tấm có gắn những miếng áp
điện [33] và cịn dùng phần tử khối để mơ hình các miếng áp điện gắn trên bề mặt
tấm [39, 46].
Saravanos và đồng nghiệp [75] dùng lý thuyết lớp liên tiếp để mô hình và
nghiên cứu ứng xử động học của tấm composite áp điện. Với những lớp áp điện,
chuyển vị cơ và điện thế đƣợc giả thiết là liên tục trên từng lớp theo chiều dày.
Nhƣợc điểm của mơ hình này là địi hỏi khối lƣợng tính tốn lớn, nhất là khi số lớp
tăng lên. Trong [75], các tác giả có so sánh độ chính xác giữa kết quả tính dao động
tự do theo lý thuyết lớp liên tiếp, lý thuyết tấm cổ điển và lý thuyết tấm kể đến biến
dạng trƣợt bậc nhất.
Trong [15], nghiên cứu tính tốn đối với tấm composite áp điện chữ nhật tựa
đơn giản, Bisegna và Maceri chỉ ra rằng khi tỉ số giữa độ dày và độ rộng của tấm
nhỏ hơn hoặc bằng 1/5, sử dụng lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất cho kết quả tính
tốn chuyển vị, điện thế và những thành phần ứng suất trong mặt phẳng sai lệch so
với nghiệm chính xác khoảng 20%.
Trong [46, 47], Kim và đồng nghiệp đƣa ra một phƣơng pháp mới kết hợp phần
tử khối cho những miếng áp điện với phần tử tấm hai chiều cho tấm và phần tử
chuyển tiếp cho vùng tiếp giáp giữa tấm và những miếng áp điện (Hình 1.4).
Zemčík và đồng nghiệp [92] áp dụng lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất, PP
PTHH và đề xuất phần tử vỏ mới có khả năng tránh đƣợc hiện tƣợng "nghẽn"
(shear-locking) để tính tốn dao động tự do, tính tốn dao động điều hồ của dầm
thép gắn những miếng áp điện. Các tác giả này đã tiến hành thực nghiệm và mơ
phỏng, tính tốn bằng phần mềm Ansys để so sánh kiểm chứng.