Bài giảng Tích phân bất định

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------

BGĐT – TỐN 1
BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC
ĐỊNH – SUY RỘNG
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

1


NỘI DUNG
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN B T ĐỊNH
2- TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
3- TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ
4- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
5- T PHÂ

ĐỊNH. Đ

M T PHÂN THEO CẬN TRÊN

6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 & LOẠI 2
7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, 2. HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI

2


1. NGUYÊN HÀM

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tích phân b t

nh: ∫ f ( x) dx = F ( x) + C ⇔ F ' ( x) = f ( x)

B ng nguyên hàm cơ bản : B sung hàm l
Hàm số

ng giác ng

c

Cơ bản

Tổng quát

ng giác
ng c

dx
∫ x 2 + 1 = arctgx + C
dx
∫ 1 − x 2 = arcsin x + C

dx
1
x
∫ x 2 + a 2 = a arctg a + C
dx

x
∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C

Hyperbolic

∫ sinh xdx = cosh x + C

∫ cosh xdx = sinh x + C

dx
∫ cosh 2 x = tanh x + C

dx
∫ sinh 2 x = − coth x + C3

L


1. KỸ N NG CƠ B N
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ø Ph

ng pháp : Biến

Ø Kỹ năng :

i về t ng

i biến 1 – 2

Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2 ∫ f (u ( x)u ' ( x)dx = ∫ f (u )du
Ø Đổi biến 2: Phát hiện x(t) ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x(t )) x' (t )dt
Ø Tích phân t ng ph n: v = Phần khó tìm ngun hàm
Ø Tích phân hàm hữu tỷ
 A1
P( x)
B1
B2
Cx + D 
+K + 2

∫ Q( x) dx = ∫  x − α + K + ( x − β ) +
2
x + px + q 
( x − β1 )
1
1


Ø Tích phân hàm vơ tỷ (c n th c) + L

ng giác
4


2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. BẬC TỬ ≥ BẬC MẪU
Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P và Q: đa thức. Phân thức
hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x).
Bậc P(x)

Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x)

số h(x), đa thức dư r(x)
P
h( x )Q( x ) + r ( x )
dx =
∫Q = ∫
Q( x )

đa thức thương

P(x) = h(x)Q(x) + r(x)
r(x)
∫ h( x )dx + ∫ Q( x ) dx , bậc r < bậc Q

VD: Tính tích phân
x3
∫ x + 1 dx =

3
2
 x 2 − x + 1 − 1  dx = x x
− + x − ln x + 1 + C
∫ 

x + 1
3 2
5

2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT
Phân tích a thức mẫu số Q thành tích (bậc 1 hoặc bậc 2)
2/ Phân tích P/Q

tổng (thêm bớt, hoặc hệ số bất định)

dx
1 + x4 − x4
VD: Tính a / ∫ 3
dx =
5 = ∫ 3
2
x +x
x (1 + x )
( x 2 − 1)
b/ I = ∫ 2
dx =
2
( x + 5 x + 1)( x − 3x + 1)

1− x2
x
∫ x3 dx + ∫ 1 + x 2 dx

 Ax + B + Cx + D  dx
∫  x 2 + 5 x + 1 x 2 − 3x + 1

1 
2x + 5

2 x − 3  1  u ' v'  1 x 2 − 3x + 1
= ∫ − 2
+ 2
= ∫ − +  = ln 2
+C

8  x + 5 x + 1 x − 3x + 1 8  u v  8 x + 5 x + 1
Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n ln phân tích được
thành tích các nhị thức bậc 1 và tam thức bậc 2 có

<0

6


2. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC P(X)/Q(X)

TỔNG

Giải Q(x) = 0 ⇒ Đưa Q(x) về tích bậc 1 & bậc 2 ( < 0)
Q( x ) = a ( x − α1 )

m1

( x − α 2 ) K (1x 4+4p21 x 4+ q413) (1x 4+4p22 x 4+ q42 3) K
m2

n1

2

n2

2

p12 − 4 q1 < 0

p22 − 4 q2 < 0

2/ Phân tích P(x)/Q(x) thành tổng các phân thức cơ bản:
Am1
B1 x + C1
B2 x + C2
A1
A2
+
+K +
+K + 2
+
+K
2
m1
2
(
x + p1 x + q1 )
g1 ( x )
x − α1 ( x − α1 )
x − α1 )
(
1 44 2 4 43

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43
m1 thừa số

g1 ( x )

3/ Quy đồng mẫu số; Đồng nhất 2 vế; Giải hệ p/trình tìm Ak …
1/ Tích ở mẫu số chứa bao nhiêu thừa số

Tổng chứa bấy nhiêu

2/ Mẫu bậc 1→ Tử: hằng số. Mẫu bậc 2 (lũy thừa k)

Tử bậc
7 1


2. TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN
B

c 2, m u số vô nghiệm: Thêm bớt t o dạng u’/u
mx + n
m
mb 
2ax + b
1

= ⋅ 2
+ n −
⋅ 2
2

ax + bx + c 2a ax + bx + c 
2a  ax + bx + c

B c 1 / (Bậc 2)n: Thêm bớt tạo u’/un &

a về C/(x2 + α2)n

mx + n

m
2ax + b
mb  1
1

= ⋅
+ n −
⋅ ⋅ 2
r
r
2
2
2 r
2
a
2
a
a

(ax + bx + c )
(ax + bx + c ) 

(x + α )

dx
In = ∫ 2
( x + a 2 )n

1
x
2n − 1 1
T ng phần: I n +1 =
+
⋅ 2 In
2
2
2 n
2na ( x + a )
2n a
Lượng giác hóa: x = atgt ⇒ I n → ∫ cos 2 n − 2 t8 dt


2. VÍ DỤ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
a các tích phân sau về phân thức hữu tỷ cơ bản
2
2
x + 2)
x + 2)
(
(
A B
C

a. ∫
dx ⇒
=
+
+
2
2
x x − 1 ( x − 1)2
x( x − 1)
x( x − 1)
2
2
⇒A=…;x=1⇒C
⇒ ( x + 2 ) = A( x − 1) + Bx( x − 1) + Cx x

dx
1
1
A B
C
Dx + E
b. ∫ 5
⇒ 5
= 2
= + 2+
+ 2
2
2
2
x −x

x −x
x ( x − 1)(x + x + 1) x x x − 1 x + x + 1
c. ∫

(x

(x

dx

2

+ x + 1)

3

1

2

+ x + 1)

3

=

⇒

(x

1

2

+ x + 1)

3

bất khả quy, tử: bậc

1

( x + 1 2 ) + 3 4]
2

= ??? : Khơng thể phân tích (mẫu:

3

=

(t

1
2

+a

)

2 3

1 )!!!

3
t=
tgu ⇒ I = K ∫ cos 4 u
2
9


3. TÍCH PHÂN HÀM VƠ T - CĂN PHÂN THỨC BẬC 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tích phân chứa căn bậc n, trong căn chứa phân thức bậc 1
ax + b
 n ax + b 
n
∫ R x, cx + d  dx ⇒ t = cx + d



(

)

Đặc biệt: Tích phân ∫ R x, n ax + b dx ⇒ t = n ax + b
VD: I = ∫
3

dx

( x − 1)( x + 1)2

= ∫3

x + 1 dx
⋅
x −1 x + 1

3
2
x
+
1
t
+
1
6
t
dt
3
Giải: Đổi biến t =
⇒x= 3
⇒ dx = −
2
3
x −1
t −1
t −1

(

 n ax + b m ax + b
Tổng quát: ∫ R x,
,
L
cx + d cx + d


)

ax + b s

=t
 dx ⇒
cx + d 10



3. TÍCH PHÂN HÀM VƠ T – CĂN CỦA TAM THỨC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tích phân chứa căn bậc

ng căn chứa tam thức

bậc hai → Đưa về bình phương đúng k

∫

dx
2

x +k

(

x2 & Sử dụng

)

= ln x + x 2 + k + C

(

)

1
k
2
2
2
x
+
k
dx
=
x
x

+
k
+
x
+
x
+k +C
ln
∫
2
2
dx
x
∫ 2 2 = arcsin a + C
a −x
2
1
x
2
2 a
∫ a − x dx = 2 x a − x + 2 arcsin a + C
2

2

11


3. TÍCH PHÂN ĐA TH C – CĂN CỦA TAM THỨC
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

∫

Pn ( x)
2

ax + bx + c

VD: ∫

∫

dx

2

dx = Qn−1 ( x) ax + bx + c + ∫

x3 − x + 1
x2 + 2x + 2

ax 2 + bx + c

dx =

(ax

2

dx

( x − α )k ax 2 + bx + c

+ bx + c

)

2

x + 2x + 2 + ∫

dx
x2 + 2x + 2

1
Đổi biến: x − α =
t

1
− dt t 2
Đổi biến: x = ⇒ I = ∫
VD: I = ∫
1 2 2
t
x 2x2 − 2x +1
− +1
2
t 12
t t
dx

3. TÍCH PHÂN HÀM VƠ T – CĂN CỦA TAM THỨC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Căn tam thức → Lượng giác hố (hoặc hyperbolic hóa):

(

)

2
2
R
x
,
a
−
x
dx ⇒ x = a sin t
∫
2
2

=
⇒
+
= a cos t
x
a

tg
t
a
x
2
2
∫ R x, a + x dx :  x = a sinh t ⇒ a 2 + x 2 = a cosh t


(

)

2
2

=
⇒
+
= a tgt
x
a
cos
t
a
x
2
2
∫ R x, x − a dx :  x = a cosh t ⇒ x 2 − a 2 = a sinh t


(

)

2

+
x
= cosh t
1
1+ x
2
VD: I = ∫
dx
x
=
t
⇒
I
tdt ?
⇒
=
sinh
coth

∫
2
x
dx = cosh tdt

dt


Quen thuộc hơn: x = tgt , t  − ,  ⇒ I = ∫
cos t sin 2 t
13
 2 2

2


3. TÍCH PHÂN HÀM VƠ T – PHÉP THẾ EULER
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(

)

Tính ∫ R x, ax 2 + bx + c dx (Giới thiệu ý t

ng. Minh ho )

a > 0 : ax 2 + bx + c = t − a x
D > 0 : ax 2 + bx + c = a( x −
VD: I = ∫

dx
x2 + k

VD: I = ∫

dx
x + x2 − x + 1

)( x − ) : ax 2 + bx + c = t ( x − )

2
t
−1
2
x − x +1 = t − x ⇒ x =
2t − 1

14


4. HÀM LƯỢNG GIÁC – PHÂN THỨC HỮU TỶ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm h u tỷ theo sinx,

sx: R(sinx, cosx)

1
sin 3 x
tg 2 x
sin x + cos x
VD:
,
,

,
3
1 + sin x + cos x 2 + cos x 1 + sin 3 x
cos 2 x

(

)

sin x = 2t 1 + t 2
x 
2
2
(
)
=
⇒
=
−
+
cos
1
1
R
sin
x
,
cos
x
dx

:
t
tg
x
t
t

∫
2 
2
=
+
2
1
dx
dt
t


(

VD: ∫

dx
1 + sin x + cos x

dx
∫ sin x

)( )

( )
dx
∫ cos x
15


4. LƯỢNG GIÁC – BẬ

ẬC 1 – KHAI THÁC u’ u

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ng h p riêng: A sin x + B cos x + C = u
A' sin x + B ' cos x + C ' v
u
v'
1
Tách thành t ng: u = α + βv + v' ⇒ = β +
+α
v
v
v

Tr

Vài d ng khác: ∫ sinα x cos β xdx
H b c, biến tích

∫ sin αx cos βx dx

t ng & phối h p tính ch n lẻ:

R(− sin x, cos x ) = − R (sin x, cos x) ⇒ t = cos x
R(sin x,− cos x ) = − R (sin x, cos x) ⇒ t = sin x
R(− sin x,− cos x ) = R (sin x, cos x) ⇒ t = tgx
16


5. Ý NGH A PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Bài tốn th c tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a …
Diện tích hình thang cong ≈
y = f (x)

T ng di n tích các hình
ch nh t x p xỉ
f(

x1 − x0
x=a

0

0

)(14x12−43x0 ) + f ( 1 )D x1 + K
D x0

x1

x2

x3

Diện tích hình thang
cong: lim t ng ( ieman)

x=b

Chia càng nhỏ càng tốt
n −1

lim

max ( Dxk )→0

b

∑ (1x4 2−43x ) f (c ) = ∫ f ( x)dx
k +1

k =0

D xk

k

k

a

17


5. KẾT QUẢ CƠ BẢN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lặp lại quy trình với nhiều bài tốn: Thể tích vật thể trịn
độ dài dây cung, cơng của lực biến thiên …

x

Khái

man của

niệm tích phân xác định, định nghĩa bởi tổng
hàm f(x) trên đoạn [a, b]:
n −1

lim

max ( Dxk )→0

∑ f ( )( x
k

k =0

k +1

− xk ) =

n −1

lim

max ( Dxk )→0

b

∑ f ( )Dx = ∫ f ( x)dx
k

k =0

k

a

x
x


d
 ∫ f (t ) dt  = f ( x) ⇒ ∫ f (t )dt = F ( x ) + C , F : Nguyên hàm
dx a
a

b

Tìm C ⇒ Cơng thức Newton – Lebnitz:

∫
a

f ( x )dx = F ( x)]a
b

18


5. KHÁI NI M TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm f(x) xác định, bị chặn trên đoạn [a, b]. Phân hoạch:
a = x0 < x1 < K < xn = b ;

k

xk , xk +1 ] ;

= max xk +1 − xk
k

Tphân xđịnh: Giới h n t ng Rieman khi
phân ho ch [a, b],

cách chọn đi m chia k

n −1

lim ∑ ( xk +1 − xk ) f (
→0 k = 0

VD: lim ∑
n→

k =n

1
k

[xk, xk+1]:

b

k

) = ∫ f ( x)dx
a

Định lý: Hàm liên tục trên 1 đo n thì khả tích (
2 n −1

cách

eman)

19

5. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B t

ng thức tích phân:
b

f ( x)

g ( x)

x

b

a, b] ⇒ ∫ f ( x) dx

∫ g ( x)dx

a

a

Hay sử dụng:
b

m

f ( x)

M

x

a, b] ⇒ m(b − a ) ∫ f ( x) dx

M (b − a )

a

Định lý giá trị trung bình: Hàm f(x) liên tục trên [a, b]
b

a, b] : ∫ f ( x)dx = f (
a

)(b − a ) ⇔ f (

1 b
)=
f ( x)dx
∫
b−aa
20


5. ĐẠO HÀM TÍCH PHÂN THEO CẬN TRÊN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x

Tích phân theo c n trên: S ( x) = ∫ f (t ) dt ⇒ S ' ( x) = f ( x)
a

T ng quát: Đạo hàm tích phân theo cận trên lẫn dưới
v( x)

G ( x) = ∫ f (t ) dt ⇒ G ' ( x) = f (v( x )) ⋅ v' ( x) − f (u ( x )) ⋅ u ' ( x )
u ( x)
x

( )

x

2
(
arctg
t
)
dt
∫

2
cos
t
dt
∫

VD: Tính giới hạn a / lim 0
x →0

x

b / lim
x→

0

x2 +1

21


5. VÀI CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN ĐẶC BIỆT
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a

f(x): hàm lẻ ( f(–x) = –f(x) )

∫ f ( x)dx = 0

−a

f: hàm tuần hoàn (f(x+ T) = f(x) x)

a +T

a

a

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

2006

VD: Tính tích phân I =

∫ sin(2006 x + sin x )dx
0
2

Tích phân liên hợp x =

2

−t ⇒

∫ f (sin x )dx
0

sinα x
VD: Tính I = ∫
dx
α

α
0 sin x + cos x

2

=

∫ f (cos x )dx
0

2

22


6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f(x) xác định trên [a, ), khả tích trên mọi [a, b]

[a, )

b

Tích phân suy rộng loại 1: ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x) dx
a

b→ a

Điểm suy

rộng:

Giới hạn tồn tại và hữu hạn ⇔ Tích phân suy rộng hội tụ
b

VD: ∫ dx = lim dx 2 = lim arctgx ]b0 =
2
b→ ∫ 1 + x
b→
2
1
+
x
0
0
VD: Tphân suy rộng

∫ cos x dx : Phân kỳ!
0

Khảo sát & tính tph

a

b→

: Tính tphân XĐ & qua giới hạn
23

, RÊN R

6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG TẠI

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ký hiệu: F (

∫ f ( x)dx = F ( x)]a

) = lim F ( x ) ⇒
x→

a

TP suy rộng trên

, b]

Điểm suy rộng

:

b

b

b
f
x

dx
f
x
dx
F
x
(
)
=
lim
(
)
=
(
)
]
∫
∫
−
a→

−

a

c

c

b

a

b→ a

TP suy rộng trên R: ∫ f ( x)dx = ∫ f + ∫ f = lim ∫ f + lim ∫ f
−

−

đầu

Chú ý: TP suy rộng tr
Hệ quả: ∫ f ( x)dx ≠ lim F ( x)]
−

a→

a
−a

c

a→

độc lập với nhau!
 x2 
VD: ∫ xdx =   = 0 ???
−
 2  − 24

6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm f(x) xác định trên [a, b), không bị chặn trong lân cận b,
khả tích trên mọi [a, c]

[a, b)

Điểm suy rộng: b

b

c

a

c→b − a

Tích phân suy rộng loại 2: ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = F ( x)]ba−
1

VD: ∫
0

c

dx
1− x

2

= lim ∫
c →1−

0

dx
1−
=
]
x
lim
arcsin
0 =
2
c →1−
2
1− x
b

c

b

c

β

a

a

c

α →a + α

β →b − c

Hai điểm suy rộng a, b: ∫ f = ∫ f + ∫ f = lim ∫ f + lim ∫ f
1

dx
VD: ∫
0 x(1 − x )

1

VD:

dx
∫0 (1 − x )2

25