Tiết 38 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

Tiết 38
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
I/Mục tiêu:
Giúp học sinh :
Về kiến thức : Nắm được các phương pháp chủ yếu giải hệ phương
trình bậc hai hai ẩn , nhất là hệ phương trình đối xứng.
Về kĩ năng : Biết cách giải một số dạng hệ phương trình bậc hai hai ẩn
, đặc biệt là các hệ gồm một phương trình bậc nhất và
một phương trình bậc hai , hệ phương trình đối xứng .
Về thái độ : Cẩn thận ,chính xác .
II/Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
+HS : Đọc trước bài mới .
+GV : Giáo án , phiếu học tập .
III/ Phương pháp :
Đặt vấn đề - hoạt động nhóm .
IV/ Những điểm cần lưu ý :
Nhận xét : nếu một hệ phương trình đối xứng với hai ẩn có nghiệm
là (a,b) thì cũng có nghiệm là (b,a) , điều này rất có ích
cho HS vì : HS có thể căn cứ vào đó để tự kiểm tra mình
giải hệ phương trình có gì sai sót khơng , nếu tìm thấy
nghiệm (a,b) mà khơng thấy nghiệm (b,a) thì có thể khẳng
định lời giải có vấn đề . Tuy nhiên nếu có đầy đủ các
nghiệm (a,b) và (b,a) thì vẫn chưa thể khẳng định lời giải
là chắc chắn đúng .
V/ Tiến hành bài giảng :
Chia lớp thành 3 nhóm , thực hiên 3 phiếu học tập sau :
Phiếu 1:
1/Nêu các phương pháp thường dùng để giải một hệ phương
trình đã học ở lớp 9.
2/ Giải hệ phương trình sau :
 x 2  5 xy  y 2  7


 2x  y  1

Phiếu 2:
Giải hệ phương trình sau ;
 x2  y 2  x  y  8

 x  y  xy  5

Phiếu 3:
Giải hệ phương trình sau :
 x 2  3x  2 y
 2
 y  3 y  2x


Sau khi phân cơng nhiệm vụ cho mỗi nhóm xong , GV hướng
dẫn cho HS thực hiện các hoạt động :

HOẠT ĐỘNG GIÁO
VIÊN
H1: Gọi đại diện nhóm
1 trình bày hoạt động
của nhóm :
-Nêu các phương pháp
thường dùng để giải hệ
phương trình quen
thuộc.

HOẠT ĐỘNG HỌC

SINH

GHI BẢNG

MỘT SỐ VÍ DỤ
VỀ
HỆ
-phương pháp thế.
PHƯƠNG
-phương pháp cộng đại số . TRÌNH
BẬC
-phương pháp đặt ẩn phụ . HAI HAI ẨN .
Ví dụ 1:
-Hệ gồm một phương trình Giải hệ phương
bậc nhất và một phương trình sau:
trình bậc hai.
 x 2  5 xy  y 2  7
-Nhận xét về các -Từ phương trình bậc nhất ,  2 x  y  1 (I
phương trình có trong tính y theo x (hoặc x theo y )
hệ đã cho ?
) rồi thay vào phương trình Nghiệm của hệ là
-Đối với hệ dạng này bậc hai:Hệ đã cho tương
2 9
(1,-1) ; ( , )
thì giải như thế nào?
đương với:
5 5
 x 2  5 xy  y 2  7

y  1 2x



 x 2  5 x(1  2 x)  (1  2 x)2  7


y  1 2x


5 x 2  3 x  2  0

 y  1  2x
2

x

x

1


5

hoac
9
 y  1

 5

H2: Gọi đại diện nhóm
2 trình bày :

-Có nhận xét gì về vai
trị của x,y .
-Thử thay x bởi y và
thay y bởi x , em có
nhận xét gì ?
-Hệ (II) được gọi là hệ

-Trong hệ (II) vai trò của x
, y là như nhau .
-Mỗi một phương trình
trong hệ sẽ khơng thay đổi .

Ví dụ 2 :
Giải hệ phương
trình sau :
x2  y 2  x  y  8
( II

 xy  x  y  5

( x  y ) 2  2 xy  x  y  8 Đặt S = x + y
( II )  
xy  x  y  5

P = xy


phương trình đối xứng.

Đưa hệ (II) về hệ

Đặt S = x+y ; P = xy , S 2  2 P  S  8
-Nếu (x0,y0) là nghiệm thay vào (II.1) ta được hệ : 
 PS 5
của hệ thì (y0,x 0) cũng
S 2  2 P  S  8
Giải hệ này ta

là nghiệm .
P

S

5
được :

S  3
-Giải bằng cách đặt ẩn Giải hệ này ta được :
hoặc

S  3
P2
phụ S = x +y ,

hoặc
P = xy.


P  2

 S  6


 P  11

 S  6

 P  11

-Biến đổi hệ (II) thành
hệ theo S,P mà đã biết +Với S = 3 , P = 2 thì x , y
là nghiệm của phương
cách giải .
trình : X 2 – 3X + 2 = 0 ,
giải phương trình này ta
được X = 1 , X = 2 , suy
ra :

+Với S = 3 , P = 2
thì được
x 1

y  2

x  2
y 1

; 

+Với S = -6 , P =
11 thì khơng có x
, y.

x 1
x  2
luận
:
hoặc 
là Kết

y

2
y

1
Nghiệm của hệ


nghiệm của hệ (II)
(II) là :
+Với S = -6 , P = 11 thì x,  x  1
hoặc
y là nghiệm của phương  y  2
2
Nhận xét : Với S = 3 , trình X +6X +11=0 ,  x  2

P = 2 thì tìm được x , y phương trình này vơ  y  1
. Với S = -6 , P = 11 thì nghiệm .
Kết luận : Nghiệm của hệ
khơng có x , y .
(II) là :
x 1


y  2

hoặc

x  2

y 1

H3 Tìm quan hệ giữa S
x  y  S
Do 
nên x , y là
, P để hệ phương trình
 xy  P
sau có nghiệm :
nghiệm của phương trình
x  y  S
X 2 – SX +P = 0 (1) , hệ

 xy  P

x  y  S
có nghiệm khi và

 xy  P

(S , P là hai số cho
trước )
chỉ khi (1) có nghiệm , tức

là :
  S 2  4P  0

H4: Gọi HS nhóm 3 -Khi thay x bởi y và thay y Ví dụ 3 :
trình bày hoạt động của bởi x thì phương trình thứ Giải hệ phương


nhóm
- Em hãy thay x bởi y
và thay y bởi x . Hãy
cho biết nhận xét của
mình ?
-Hệ (III) được gọi là hệ
phương trình đối xứng .

nhất trở thành phương trình
thứ hai và ngược lại ,
phương trình thứ hai trở
thành phương trình thứ
nhất .
-Thực hiện (1) – (2) ta
được phương trình :
x 2  y 2  3x  3 y  2 y  2 x 
 ( x  y )( x  y )  3( x  y)  2(

-Nếu (x0,y0) là nghiệm
của hệ thì (y0,x 0) cũng
 ( x  y )( x  y )  1  0
là nghiệm hệ.
-Gợi ý cách giải : lấy

phương trình (1) trừ
phương trình (2) vế
theo vế .

 x y 0

x  y  1  0

Lấy (1) –(2) ta
được
phương
trình :
(x-y)(x+y-1)=0
 x y 0

x  y 1  0

 x y 
( III )  IIIa 2
x  3x 

 x y  0
( III )  IIIa 2
x  3x  2 y
 f ( x, y
f ( x, y ).g ( x, y )  0  
x  y 1  0
 g ( x, y hoặc IIIb 2
 x  3x  2 y

hoặc
 x  y 1  0
IIIb 2
x  3x  2y

Giải hệ IIIa :

Giải hệ IIIb :

 x 2  3 x  2 y...(1)
....( III
 2
y

3
y

2
x
...(
2
)


Do đó

Do đó :

 yx
IIIa   2


x  5x  0

trình :

 x  0, y Giải hệ IIIa ta
 x  5, y được nghiệm :

x  0

y  0

 y  1 x
IIIb   2

x  x  2  0

 x  1  x  5
 x  2,  y  5



Giải hệ IIIb ta
Kết luận : nghiệm của hệ là được nghiệm :
 x  1
(0,0) (5,5) (-1,2)

(2,-1)

y2

x2

 y  1

Kết luận : nghiệm
của hệ là (0,0)
(5,5) (-1,2)
(2,-1)
H5 Cho hệ phương -Dễ thấy hệ phương trình
trình
có thêm một nghiệm là
(0;0).


-Do hệ đối xứng nên hệ có
thêm một nghiệm nữa là

2 x 2  y  5x
 2
2 y  x  5 y

Biết rằng hệ có 4
nghiệm và 2 trong 4
nghiệm đó là (2,2) và
3 3 3 3 


 2 ; 2 



3 3 3 3 


 2 ; 2 



Tìm

các nghiệm cịn lại mà
khơng cần biến đổi hệ
phương trình .
VI/ Củng cố :
Nếu (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình đối xứng thì (y0 ;x0) cũng
là nghiệm của hệ