MỤC LỤC
Trang
1. Lời giới thiệu……………………………………………………………………
2
2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………….
3
3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………...
3
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………………...
3
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………………………..
3
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu…………………………………………..
3
7. Mơ tả bản chất của sáng kiến …………………………………………………..
3
NỘI DUNG
5
Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng...…………………………..
5
Dạng 1..............................................................................................................
5
Dạng 2…………..............................................................................................
6
Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể........................................................
10
Dạng 1..............................................................................................................
10
Dạng 2..............................................................................................................
11
Loại 1.....................................................................................................
11
Loại 2.....................................................................................................
13
Loại 3.....................................................................................................
15
Loại 4…….............................................................................................
17
8. Những thơng tin cần được bảo mật……………………………………………..
21
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………….
21
10. Đánh giá lợi ích thu được……………………………………………………..
21
11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………….
21
1
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện
đổi mới trong thi cử, trong đó mơn Tốn cùng với các bộ mơn khác chuyển từ hình thức
thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục ln có những bài tốn thực tế.
Những bài tốn thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học
sinh thường bỏ qua những bài tốn thực tế đó. Một trong những bài tốn thực tế đó là về
tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân. Vấn đề tính
diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung
là đa giác học sinh đều đã biết cơng thức tính diện tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự
như vậy vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ,
khối chóp, ….gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học cơng thức tính thể tích.
Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn giản đối với các học
sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hố, trừu tượng hố. Việc dạy và
học các vấn đề này ở chương trình tốn lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều
ngun nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang cịn
thiếu. Do đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật
thể ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đa số các em học sinh
thường có cảm giác nhìn vào bài tốn là đã khơng muốn đọc rồi bởi vì nó dài và cịn khó
nữa. Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung
các em thường vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy
thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc khơng giải được, đặc biệt là những
bài tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Càng khó khăn hơn
cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân cịn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” cịn hạn
chế. Trong sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó cịn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế cịn
2
sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vơ kể nhưng cũng gây hoang mang cho học
sinh vì khơng biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết
rất lan man, nhiều bài tốn thậm chí cịn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên
tơi viết đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu
tham khảo cơ đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học
sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những
ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực
và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài tốn thực tế các em sẽ khơng cịn cảm
giác khơng làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài tốn đó rất nhanh gọn.
2. Tên sáng kiến
“Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể”
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường –
Tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0976378504
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trong trường THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân
trong các bài tốn thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
3
- Nêu các dạng tốn, các phương pháp giải cho từng dạng tốn, hướng dẫn cho học sinh
luyện tập rèn luyện kỹ năng, say mê hứng thú với mơn học.
- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, khơng nhớ cơng thức một cách máy móc,
khơng cịn cảm giác run sợ trước những bài tốn thực tế này.
4
NỘI DUNG
Phần 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1. Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b thì diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x a,x b là:
b
S f x dx .
a
Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y x 3 1 , trục hồnh Ox, trục tung và đường thẳng x 2 .
Giải:
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là
2
1
2
3 11 7
3
3
S x 1 dx x 1 dx x 3 1 dx
4 4 2
0
0
1
Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi.
b
Khi đó để tính tích phân S f ( x) dx ta có thể tính như sau:
a
x1
b
S f ( x) dx
a
x2
b
f ( x)dx f ( x)dx ... f ( x)dx .
a
x1
xk
Bài 2. Cho hàm số y x 3x 2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C ), trục hồnh, trục tung và đường thẳng x 2 .
3
2
y
4
f x = x 3-3 x 2 +2
A
-2
O1
-1
2
B
x
3
(C)
Hình 3
5
Giải: Từ đồ thị ta thấy: x 3 3x 2 2 0,x 0;1 và x 3 3x 2 2 0,x 1;2 .
Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
1
2
5
3
2
3
2
S x 3x 2 dx x 3x 2 dx x 3 3x 2 2 dx
2
0
0
1
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y x 3 x 2 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x 1,x 2 .
Giải:
2
Diện tích S của hình phẳng: S
2
x
3
2
x 2 dx
1
x
3
x 2 2 dx
1
85
12
Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f ( x ), y g( x ) liên tục trên
đoạn a;b và hai đường thẳng x a,x b có diện tích S được tính theo cơng thức:
b
S f ( x) g ( x) dx .
a
Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 3 2 x và
y 3 x 2
Giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
x 0
x 3 2 x 3 x 2 x x 2 3 x 2 0 x 1 .
x 2
Diện tích hình phẳng cần tính là
2
1
2
S x 2 x 3 x dx x 3x 2 x dx x 3 2 x 3 x 2 dx
3
2
0
2
0
1
3
1
2
x 3x 2 x dx x 3 3x 2 2 x dx
3
0
2
1
1
.
2
Bài 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x 2 .
Giải:
6
x 0
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3 x x x 2 x 3 x 2 2 x 0 x 1
x 2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
1
0
1
S x x 2 x dx x x 2 x dx x 3 x 2 2 x dx
3
2
2
0
3
2
2
0
1
8 5 37
x 3 x 2 2 x dx x 3 x 2 2 x dx .
3 12 12
2
0
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 x 2 , đường thẳng
y 0 và đường thẳng x 1 .
Giải:
x 0
2
x 0 .
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1 x 0
2
1
x
0
1
1
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: S x 1 x dx x 1 x 2 dx
2
0
0
2 2 1
.
3
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y
x
3x 2 4 và đường thẳng
4
y = x (đồ thị như hình vẽ).
y
4
3
2
1
x
O
-3
-2
1
-1
2
3
4
-1
d
-2
(C)
-3
Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
x 0
x 0
x 0
x
1
3x 2 4 x x( 3x 2 4 1) 4 2
2
4
4
x 2
3x 4 16
x 4
7
Diện tích của hình phẳng cần tính:
0
2
0
2
x
x
1
1
S
3 x 2 4 dx
3 x 2 4 dx . x 3 x 2 4dx x 3 x 2 4dx
4
4
4 2
4 0
2
0
S
1 56 1 56 56 56 112 28
4 9
4 9
9.4
9.4
9
Bài 8. (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Ơng An có một mảnh
vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ơng muốn trồng
hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng /1m 2 . Hỏi
ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ?
8m
(Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.
Giải:
x 2 y2
1 .
Phương trình đường elip là
64 25
4
Diện tích hình phẳng cần tìm là S 2
4
25x 2
25
dx 2.38,2644591 (đổi biến số
64
hoặc bấm máy tính casio).
Vậy số tiền ơng An cần là: 2.38,2644591.100000 7652891 7653000 .
Chọn đáp án B.
Bài 9. Ơng Hùng muốn làm một cổng đồng có hình dạng
và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong
phía trên là một parabol. Giá 1m2 cổng đồng có giá là
7.000.000 đồng. Vậy ơng Hùng phải trả bao nhiêu tiền để
làm cổng đồng như vậy. (làm trịn đến hàng nghìn)
.
Giải:
8
Hình 7
Ta có mơ hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng
gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol P và trục hồnh.
Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol P ta tìm được phương trình của parabol P là:
2,5
2 2 1
2
1
5 15 55
P : y x S x 2 dx 5.1,5 m 2
25
2
25
2
3 2
6
2,5
Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là:
55
.7000000 64170000 (đồng)
6
Bài 10. Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD,
đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin
(như hình vẽ). Biết AB 2 (m ) và AD 2(m ). Tính diện tích phần cịn lại.
A. 4 1.
B. 4( 1).
4 2
C.
2
4 3
D.
2
Bài 11. (THPT Chun Đại học Vinh) Trong Cơng viên Tốn học có những mảnh đất
mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một lồi hoa và nó được tạo thành bởi
một trong những đường cong đẹp trong tốn học. Ở đó
y
có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
Oxy là 16y 2 x 2 (25 x 2 ) như hình vẽ bên. Tính diện
x
tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị
trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
A. S
125
(m 2 ).
6
B. S
125
250
125
(m 2 ). C. S
(m 2 ). D. S
(m 2 ).
4
3
3
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x 5, x 0, x 5 .
Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần
tư thứ nhất.
9
5
Ta có: S 4
0
1
125
. Chọn đáp án D.
x 25 x 2 dx
4
3
Bài 12. Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người
thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với
tâm nửa hình trịn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trịn (phần tơ màu),
cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần cịn lại của khn viên (phần khơng tơ màu)
dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ
Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất
đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
4m
4m
4m
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình
nửa đường trịn là:
y R2 x2
2 5
2
x 2 20 x 2 .
Phương trình parabol P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng
y ax 2 . Mặt khác P qua điểm M 2;4
Hình 8
do đó: 4 a 2 a 1 . Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi P và nửa đường
2
2
trịn. (phần tơ màu) Ta có: S1
2
20 x 2 x 2 dx 11,94m 2 .
1
2
Vậy phần diện tích trồng cỏ là Strongco Shinhtron S1 19, 47592654
Vậy số tiền cần có là Strongxo 100000 1.948.000 (đồng)
Phần 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
Dạng 1: Tính thể tích của vật thể
Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng P và Q vng góc với trục Ox lần lượt tại
x a, x b a b . Một mặt phẳng bất kì vng góc với Ox tại điểm x a x b
cắt C theo một thiết diện có diện tích S x . Giả sử S x là hàm liên tục trên đoạn a;b
10
. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng P và Q được tính theo
b
cơng thức V S x dx .
a
Bài 13. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 3 , có thiết
diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x 0 x 3 là
một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x 2 , bằng:
A. V 3 .
B. V 18.
C. V 20.
D. V 22.
Giải:
Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước x và 2 9 x 2 bằng: 2 x 9 x 2
3
Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng V 2 x 9 x 2 dx
0
x 0 t 3
Đặt 9 x 2 t x 2 9 t 2 xdx tdt . Đổi cận
x
3
t
0
0
0
2
Suy ra V 2 t 2 dt t 3 18 . Chọn B.
3
3
3
Bài 14. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2 , biết
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ
x 0;2 là một phần tư đường trịn bán kính 2x 2 , ta được kết quả nào sau đây?
A. V 32. B. V 64 .
16
.
5
C. V
D. V 8.
Giải:
2
1
1
Ta có diện tích thiết diện là S x 2 x 2 x 4 .
4
2
2
2
1 x5
1
16
Thể tích cần tìm là V x 4 dx .
. Chọn C.
2 5
2
5
0
0
Dạng 2: Tính thể tích của khối trịn xoay
Loại 1.
Tính thể tích vật thể trịn xoay khi
quay miền D được giới hạn bởi các
đường y f x ; y 0 ; x a;
x b quanh trục Ox được tính
11
theo công thức
b
V f 2 x dx .
a
Bài 15. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y , y 0, x 1, x 4 quanh trục Ox.
x
Giải:
2
4
4
1
2
Thể tích cần tìm V dx 4 2 dx 3 .
x
x
1
1
Bài 16. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x 2 2x , y 0, x 0 và x 1.
Giải: Thể tích cần tìm:
1
1
V ( x 2 2 x) 2 dx ( x 4 4 x 3 4 x 2 )dx (
0
0
x5
x 3 1 8
x4 4 )
.
5
3 0 15
Bài 17. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y e x , y 0, x 1, x 1.
Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình (H ) quay quanh trục hồnh.
Giải:
1
Thể tích cần tìm V e
1
x 2
1
dx e 2 x dx
1
e 2 e 2
.
2
Bài 18. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sin x , trục hồnh và hai đường
thẳng x 0, x . Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình này
quanh trục Ox .
Giải:
2
Thể tích cần tìm V sinx dx sin 2 xdx 2 .
0
0
Bài 19. Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y tan x , trục hồnh và hai
đường thẳng x 0, x Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình
4
(H ) xung quanh trục Ox .
12
Giải:
4
4
2
Thể tích cần tìm V tanx dx tan2 xdx 1 .
4
0
0
Bài 20. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường sau quanh trục hồnh Ox. y x 2 2 x , y = 0, x = 0, x = 1.
Giải: Thể tích cần tìm
1
1
5
0
5
3
1
3 0 15
V x 2 x dx ( x 4 4 x 3 4 x 2 )dx ( x x 4 4 x ) 38 .
2
2
0
Bài 21. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường sau quanh trục hồnh Ox. y ln x , y = 0, x = 1, x = e.
e
e
2
Giải: Thể tích cần tìm V ln x dx ln 2 x dx
1
1
1
u ln 2 x
du 2 ln x. dx
x
Đặt
dv dx
v x
e
e
e
e
e e
1
2
2
2
2
Do đó ln xdx uv vdu x ln x - x2lnx. dx e ln e ln 1 2 ln xdx e 2 I
1
1 1
x
1
1
1
1
u ln x
du dx
I ln xdx , Đặt
x
dv
dx
1
v x
e
e
e e
e
I ln x ( x ln x) dx e ln e ln 1 ( x) e (e 1) 1
1 1
1
1
e
e
2
Suy ra V (ln x) dx ln 2 xdx = (e – 2).
1
1
Bài 22. Tính thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y sin 2x cos x, y 0, (0 x ) xung quanh trục hồnh Ox .
Giải:
2
2
2
Thể tích cần tìm V sin 2x cosx dx sin 2x.cos xdx
0
0
2
4
.
Loại 2. Hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y f x ; y g x và hai đường
13
x a; x b (với f x . g x 0, x a; b ) thì thể tích khối trịn xoay sinh bởi khi quay
b
D quanh trục Ox được tính bởi cơng thức: V f 2 x g 2 x dx .
a
Bài 23. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 x x 2 và y x khi quay quanh
trục Ox tạo thành khối trịn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?
Giải:
x 0
Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 x x 2 x x x 1 0
x 1
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là
1
V 2 x x
0
2 2
1
3
x 5
4
x dx 3 x 4 x x dx x x .
5 0 5
0
1
2
2
3
4
Bài 24. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y x 2
, y x quay quanh trục hồnh bằng bao nhiêu?
Giải:
x 0
x2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm x x x 4 0
x 4
4
4
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V
0
4
0
x 2
x 2 dx
4
2
4
x 5 x 3
x4
128
2
x dx
.
80 3
16
15
0
Bài 25. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x , y x và x 4 . Tính
thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hồnh.
Giải:
x 0
Phương trình hồnh độ giao điểm là x x
x 0.
2
x
x
4
Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V x 2 x dx .
0
14
x 0
Xét phương trình: x 2 x 0
.
x 1
1
4
1
4
Do đó V x x dx x x dx x x dx x 2 x dx
2
2
0
2
1
0
1
1
4
x3 x2
x3 x2
41
.
3
3
2 0
2 1
3
Bài 26. Gọi (H )là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x2 , trục hồnh và đường
thẳng y = x + 2 .
Giải: Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
bốn đường y = x + 2 , y = 0, x = -2, x = 1 quanh trục hoành Ox .
1
1
V1 ( x 2) 2 dx ( x 2 4 x 4)dx (
2
2
1
x3
2 x 2 4 x)
9
2
3
Gọi V2 là thể tích của vật thể trên trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = 4- x2 , y = 0, x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
2
2
53
2 2
y
V2 (4 x ) dx (16 8 x 2 x 4 )dx
1
15
1
4
Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là :
d
53
188
3
V V2 V1
9
(C)
15
15
2
1
x
2
-3 -2
1
3
-1 O
-1
-2
Loại 3. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các
đường x g y , trục tung và hai đường y c , y d quanh trục Oy được tính theo
d
cơng thức: V g 2 y dy .
c
Bài 27. Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường: y ln x , trục tung, và hai đường
thẳng y = 0, y = 1 .Tính thể của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh
trục tung .
Giải:
y
Ta có y ln x x e
15
Do đó thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số
x e y , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 là :
1
V e 2 y dy
0
1 2y 1
1
e
(e 2 e0 ) (e 2 1)
0
2
2
2
Bài 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) : x 2 4 y 2 4 , trục tung, hai
đường thẳng x = 2 , y = 2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình
phẳng (H) quanh trục tung.
Giải: Ta có
(C ) : x 2 4 y 2 4 4 y 2 4 x 2 y
1
4 x 2 , y 0
2
Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip
(E ) , trục tung và hai đường y = 0, y = 1 quanh trục tung .
1
1
1
11 11
2 2
V1 (
4 x ) dx (4 x 2 )dx .
2
40
4 3 12
0
Gọi V2 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0, y =1 quanh trục tung.
2
2
2
V2 2 dx 4dx 8
0
0
Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là : V V2 V1 8
11 85
12
12
Loại 4. Một số bài tốn khác
Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình (C): x 2 y 2 16. với
y 0 (hình vẽ). Quay nửa hình trịn đó quanh trục hồnh ta được một mặt cầu có bán
hính bằng 4 . Tính thể tích của mặt cầu này.
y
Giải:
(P)
4
Ta có x 2 y 2 16 y 16 x 2
vì y 0 . Khi đó thể tích khối cầu là :
2
4
V
4
16 x
2
2
4
dx 2 16 x dx
2
0
x
-2
-r
-1
1
2
3
r
-1
3
4 256
.
2 4 3
3
3
16
O
Bài 30. Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt phẳng
vùng vng góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng bằng
4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng
A.
500
2296
952
dm3 . B.
dm3 . C.
dm 3 .
3
15
27
[6]
D.
472
dm 3 .
3
Giải: Chọn D.
Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau,
mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích
R
5
V1 R x dx 25 x 2 dx
2
2
d
4
14
3
Vậy thể tích của chiếc lu là :
4
14
472
V Vc 2V1 .53 2
3
3
3
Bài 31. Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng giống
4 cm
B
như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được A
O
đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết
rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là
một parabol. Tính thể tích V cm 3 của vật thể đã cho.
A. V 12 .
C. V
72
.
5
6 cm
B. V 12 .
D. V
72
.
5
I
Giải: Chọn A.
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol P . Vì parabol P đi qua các điểm
A 2;6 , B 2;6 và I 0;0 nên parabol
P có phương trình
y
3 2
x . Ta có
2
3 2
2
x x 2 y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là
2
3
6
2
V y dy 12 cm3 .
3
0
y
Bài 32. Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10 cm . Cắt khối
trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy
góc 45o . Thể tích của khối gỗ bé là
A.
2000
1000
cm3 . B.
cm3 .
3
3
17
C.
2000
2000
cm3 . D.
cm3 [8].
7
9
Giải: Chọn A.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình trịn có phương
trình: y 100 x 2 , x 10,10 . Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox tại điểm
có hồnh độ x , x 10,10 , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình).
1
1
100 x 2 .
2
2
2000
100 x 2 dx
cm3 .
3
Dễ thấy NP y và MN NP tan 45o y 100 x 2 . Suy ra S x MN .PN
10
Khi đó thể tích khúc gỗ bé là : V
10
S x dx
10
1
2 10
Bài 33. Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x , y 0 và x 4 quanh trục Ox . Đường y
M
thẳng x a, (0 a 4) cắt đồ thị hàm y x tại M
(hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay tạo thành
khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng
O
V 2V1. Tính a.
A. a 2, 5.
H
a
C. a 2 2.
B. a 3.
D. a 2.
Giải:
4
Ta có V xdx 8 V1 4
0
Mặt khác ta lại tính được V1
1
a
3
a
2
1
4 a
3
Từ đó suy ra được a 3
Chọn đáp án B.
18
2
a
4
x
Bài 34. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay
hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox
quay quanh trục Ox . Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Tính
thể tích V của lọ.
A. V 8 dm 3 .
B. V
15
dm 3 .
2
3
C. V 7 dm .
D. V 17 dm 3 .
Bài 35. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R 0, 5m và
hai mặt phẳng song song cách đều tâm I . Biết chiều cao của trống là h 0, 8m. Tính thể
tích V của cái trống.
A. V 472 (m 3 ).
B. V 375 (m 3 ).
3
59
C. V 59 (m 3 ).
D. V 472 (m 3 ).
375
39
1
4
Bài 36. Gọi (H ) là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ
vng góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích V của (H ).
A. V(H )
2a 3
3
B. V(H ) 2a 3 .
C. V(H )
a3
2
a
3
D. V(H ) a .
a
Giải:
Dùng hệ trục tọa độ Oxyz, từ đó tìm ra được diện tích thiết diện S x a 2 x 2 .
a
a
0
0
Thể tích của khối (H) cần tìm là: V(H ) S x dx a 2 x 2 dx
2a 3
3
Chọn đáp án A
Bài 37. Cho hai đường tròn (O1;5) và (O2 ; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là
một đường kính của đường trịn (O2 ). Gọi (D ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay (D ) quanh trục
O1O2 , ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo thành ?
19
A. V
14
3
B. V
68
3
40
C. V
3
D. V 36.
1
Bài 38. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi cung trịn có bán kính R 2, đường cong
4
y 4 x và trục hồnh (miền tơ đậm như hình vẽ).
Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H )
quay quanh trục Ox .
A. V
77
6
B. V
67
C. V
6
53
6
66
D. V
7
Bài 39. Trong chương trình nơng thơn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tơng
như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là
y
các đường Parabol).
A. 19m 3.
B. 21m 3.
C. 18m 3 .
x
O
D. 40m 3.
Giải:
Dùng hệ trục tọa độ như hình vẽ
Từ đó tìm được phương trình parabol P1 : y
Khi đó thể tích của khối bê tơng là: V 40m 3 .
20
8 2
x 2,
361
P : y
2
1 2 5
x .
40
2
8. Các thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xn.
- Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học
hữu hiệu nhất.
- Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, ln ln khơng
ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và
xây dựng thêm những bài tốn có nội dung thực tiễn phát triển năng lực thực tiễn cho
học sinh.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu.
- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “Ứng dụng tích phân tính diện
tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” đã giúp học sinh khắc phục được những “sai
lầm” và những khó khăn khi gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể
tích của vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12.
- Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tơi thấy số lượng giỏi, khá, đã có
tăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn cịn. Nhưng đối với tơi, điều quan trọng hơn cả
là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ mơn tốn, tạo niềm vui và hưng
phấn mỗi khi bước vào tiết học.
- Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chun mơn và
cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt.
- Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho những
giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu:
21
Số Tên tổ chức/cá
TT
nhân
1
Tơ Ngọc Dũng
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
THPT Nguyễn Viết Xn
Học sinh khối lớp 12.
……….,ngày…tháng…năm…
Thủ trưởng đơn vị
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
……….,ngày…tháng…năm…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)
22
……….,ngày…tháng…năm…
Tác giả sáng kiến