SKKN Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.4 KB, 21 trang )
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN
Thầy giáo: Phạm Hồng Quang – GV trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ tỉnh Hoà Bình
LỜI NÓI ĐẦU
Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập
cần đến tích phân để làm.
Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để
giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ. Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để
giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích
phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen
với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân.
Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do
một vật tích điện gây ra tại một điểm.
Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy
cô giáo và các em học sinh.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
- Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích
dq
(cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình
dạng của vật tích điện).
- Xét phần tử nhỏ mang điện tích
dq
bất kì, tìm cường độ điện trường
Ed
; điện thế
dV
do phần tử
dq
đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế.
- Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện
gây ra tại điểm đang xét.
1. Công thức xắc định cường độ điện trường do điện tích
dq
gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:
với
0
r
là véc tơ đơn vị trên phương của
r
;
r
có gốc tại
dq
, ngọn tại M.
2. Công thức xắc định điện thế do điện tích
dq
gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:
3. Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế:
Chú ý:
229
0
/10.9
4
1
CNmk ==
πε
4. Mật độ điện tích:
Mật độ điện tích dài
λ
Mật độ điện tích mặt
σ
Mật độ điện tích khối
ρ
d
dq
=
λ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
d
.
dS
dq
=
σ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
dS
.
dV
dq
=
ρ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
dV
.
1
r
kdq
dV =
(2)
dr
dV
E −=
(3)
0
2
.r
r
kdq
Ed
=
(1)
A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN
DẠNG I: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN ĐỀU
Bài 1:
Một vòng tròn mảnh bán kính R, tích điện đều là
0>q
đặt nằm ngang trong
không khí như hình vẽ bên. Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục của vòng
dây. Gốc O tại tâm vòng. Tính cường độ điện trường E và điện thế V tại
điểm M nằm trên trục Oz với
zOM =
.
Bài giải:
- Mật độ điện tích dài trên vòng tròn mảnh là:
R
q
.2
π
λ
=
- Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, với
ϕ
Rdd =
.
- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài
d
là
π
ϕ
λ
2
.
qd
ddq ==
Cách 1: Cách 2:
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra
tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
).(2
222
1
zR
kqd
r
kdq
dE
+
==
π
ϕ
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
đối xứng nhau
qua O, mỗi phần tử
dq
này gây ra tại M một điện
trường có thành phần điện trường vuông góc với
trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện
trường tại M có phương trùng với trục OZ, độ lớn:
)(
cos
).(2
.cos
cos
22
2
0
22
2
0
1
zR
kq
zR
dkq
dEE
+
=
+
==
∫∫
θ
π
ϕθ
θ
ππ
Với
22
cos
zR
z
+
=
θ
2/322
)( zR
kqz
E
+
=⇒
* Tính điện thế tại M.
22
2
0
22
2
0
2
0
2 zR
kq
d
zR
kq
r
kdq
dVV
+
=
+
===
∫∫∫
πππ
ϕ
π
* Tính điện thế tại M.
- Điện thế do mỗi phần tử
dq
gây ra tại điểm M là:
22
2 zR
kqd
r
kdq
dV
+
==
π
ϕ
- Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại M
là:
22
2
0
22
2
0
2 zR
kq
d
zR
kq
dVV
+
=
+
==
∫∫
ππ
ϕ
π
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường
do vòng gây ra tại điểm M có phương trùng với trục
OZ, độ lớn:
2/322
)( zR
kqz
dz
dV
E
+
=−=
2
dE
1
dE
z
O
R
dq
dq
2
dE
r
θ
M
O
R
Z
M
q
d
ϕ
d
R
O
Cũng có thể tính V như sau:
dz
dV
zR
kqz
E −=
+
=
2/322
)(
dz
zR
kqz
dV
2/322
)( +
−=⇒
C
zR
kq
dz
zR
kqz
dVV +
+
=
+
−==⇒
∫∫
22
2/322
)(
Khi
∞=z
thì
00
=⇒=
CV
22
zR
kq
V
+
=⇒
Nhận xét:
+ Khi
=
=
⇒>>
0
0
V
E
Rz
chính là cường độ điện trường và điện thế do điện tích điểm gây ra tại M.
+ Khi
=
=
⇒=
R
kq
V
E
z
0
0
như vậy cường độ điện trường tại tâm vòng tròn tích điện đều bằng không.
+ Nếu
0<q
, ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của
E
ngược lại.
Bài 2:
Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là
0>q
đặt
trong không khí. Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại tâm của cung tròn.
Bài giải:
- Mật độ điện tích dài trên cung tròn mảnh là:
R
q
.2
α
λ
=
- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, với
ϕ
Rdd =
.
- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ
d
là
ϕλλ
Rdddq ==
* Tính cường độ điện trường tại O.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
R
dk
R
kdq
dE
ϕλ
.
2
1
==
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
trên cung tròn đối xứng
nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ
điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX
triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó cường độ điện trường tại
O có phương trùng với trục OX, độ lớn:
∫ ∫
===
−
2
1
.
sin
.cos.cos.
R
kq
d
R
k
dEE
α
α
ϕϕ
λ
ϕ
α
α
* Tính điện thế tại O.
- Xét phần tử nhỏ
dq
bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế:
ϕλ
dk
R
kdq
dV .==
⇒
cả cung tròn gây ra tại O một điện thế là
∫∫
−−
====
α
α
α
α
λαϕλ
R
kq
kdkdVV 2
Nhận xét:
+ Véc tơ
E
do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung
tròn (trục đối xứng này nằm trong mặt phẳng chứa cung tròn).
+ Nếu
πα
22
=
ứng với cả vòng tròn
0
=⇒
E
phù hợp với kết quả ở bài 1 phần cung tròn tích điện đều
ứng với
0=z
.
3
dφ
d
R
X
O
q
α
-α
1
dE
φ
φ
d
2
dE
+ Nếu
2
3
2
π
α
=
ứng với
4
3
vòng tròn
2
.3
22
R
kq
E
π
=⇒
+ Nếu
πα
=2
ứng với nửa vòng tròn
2
.
2
R
kq
E
π
=⇒
+ Nếu
2
2
π
α
=
ứng với
4
1
vòng tròn
2
.
22
R
kq
E
π
=⇒
+
⇒=
R
kq
V
điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào
α
+ Nếu
0<q
ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của
E
ngược lại.
Bài 3:
Có hai cung tròn mảnh có cùng bán kính, góc ở tâm lần lượt là
1
2
α
và
)22(
1
απ
−
. Hai cung tròn tích
điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là
0;0
21
>>
λλ
.Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành
vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với
nhau. Tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm O của nó.
Bài giải:
Đặt
21
2)22(
ααπ
=−
Chọn hệ trục toạ độ OX như HV
* Tính cường độ điện trường tại O.
Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều).
- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích
dài
0
1
>
λ
gây ra tại O một cường độ điện trường
1
E
có phương
chiều như HV, độ lớn
R
k
R
kq
E
11
2
1
11
1
sin2
.
sin
αλ
α
α
==
(1)
- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích
dài
0
2
>
λ
gây ra tại O một cường độ điện trường
2
E
có phương chiều như HV, độ lớn
R
k
R
k
R
kq
E
1222
2
2
22
2
sin2sin2
.
sin
αλαλ
α
α
===
(2)
(Với
R
q
.2
1
1
1
α
λ
=
;
R
q
.2
2
2
2
α
λ
=
;
21
2)22(
ααπ
=−
)
Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có:
21
EEE +=
E
có phương trùng với trục OX có độ lớn
21
1
21
sin2
λλ
α
−=−=
R
k
EEE
* Tính điện thế tại O.
Dựa vào kết quả và nhận xét của bài 2: “điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm O của cung
không phụ thuộc vào
α
” ; mặt khác điện thế có tính cộng được nên điện thế do cả vòng tròn nói trên gây
ra tại O cho bởi công thức:
)]([2)(2
12112211
21
21
απλαλαλαλ
−+=+=+=+= kk
R
kq
R
kq
VVV
Nhận xét:
+ Nếu
⇒==
λλλ
21
=
=
πλ
2
0
kV
E
phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với
0=z
.
4
R
1
λ
1
E
2
E
X
1
2
α
2
λ
Bài 4:
Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn,
một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là
0
>
λ
, cung tròn
còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là
λ
−
. Ghép hai cung tròn
nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Lấy
trục OZ đi qua tâm của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng
dây.Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục
OZ, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn
lại với nhau.
Bài giải:
- Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích
ϕλλ
Rdddq ==
.
Chọn hệ trục toạ độ OXYZ như HV1.
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
)(
222
1
zR
Rdk
r
kdq
dE
+
==
ϕλ
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
đối xứng nhau qua O,
mỗi phần tử
dq
này gây ra tại M một điện trường có thành
phần điện trường theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau
từng đôi một do đó điện trường tại M có phương vuông góc
với trục OZ tức nằm trong mặt phẳng XOY.
- Nhận thấy khi
dq
di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì
véc tơ
Ed
cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn
α
sin2
1
dEdE =
không đổi, được vẽ biểu
diễn như HV2.
- Trong quá trình véc tơ
Ed
quay trong mặt phẳng XOY, dễ thấy
thành phần theo phương của trục OX bị triệt tiêu, chỉ còn thành phần
theo phương OY.
- Nói khác đi
∫∫∫
====
πππ
ϕαϕ
0
1
00
sinsin2sin dEdEdEEE
YY
22
0
22
sin4
.sin
sin2
zR
Rk
d
zR
Rk
E
+
=
+
=
∫
αλ
ϕϕ
αλ
π
với
22
sin
zR
R
+
=
α
2/3222/322
2
)(
4
)(
.4
zR
kqR
zR
Rk
E
+
=
+
=⇒
π
λ
(q là điện tích của nửa vòng tròn
0
.
>=
R
q
π
λ
).
* Tính điện thế tại M.
Do tính đối xứng nên
0=V
)0(
2222
=
+
−
+
=
ZR
kq
ZR
kq
V
Nhận xét:
- Véc tơ cường độ điện trường cùng chiều dương với trục OY (tức là hướng về phía nửa âm của vòng
tròn).
- Khi
R
k
Ez
λ
4
0 =⇒=
phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2
với
πα
=
2
và nguyên lí chồng chất điện trường).
5
O
R
Z
M
λ
λ
−
O
R
Z
M
λ
λ
−
1
Ed
2
Ed
Ed
dq
α
z
x
y
HV1
M
Ed
ϕ
x
y
HV2
Bài tập tự luyện
B1:
Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với
mật độ điện tích dài là
0
>
λ
, cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là
λ
−
. Ghép hai
cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện
trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó, giả sử không có sự phân bố lại điện tích
sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau.
HD:
Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường
0;
4
==⇒ V
R
k
E
λ
B2:
Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài
0
1
>
λ
, góc ở tâm là
1
2
α
. Cung
tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là
)22(
1
απ
−
tích điện đều với mật độ điện tích dài
0
2
<−
λ
. Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử
không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường và điện thế
do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó.
HD:
Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường
)(
sin2
21
1
21
λλ
α
+=+=
R
k
EEE
)]([2
1211
21
απλαλ
−−=+= k
R
kq
R
kq
V
Bài 3:
Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 3α, đặt trong không khí. Gọi A,B,C,D
lần lượt là bốn điểm trên cung tròn tuân theo thứ tự trên. A,B,C,D thoả mãn sao cho độ dài cung AB bằng
độ dài cung BC bằng độ dài cung CD.
Xắc định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu:
Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là
0>
λ
, cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ
điện tích dài là
λ
−
.
HD:
Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường.
1cos2.
2
sin.
2
−=
α
αλ
R
k
E
λαλαλαλα
kk
R
kq
R
kq
R
kq
V −=−+−=++= ][
3
21
DẠNG II: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU,
Phạm vi nghiên cứu
Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai,
các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp.
Bài 1:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không khí,
G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường
độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung
nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và
B của cung theo quy luật
0. >= a
λ
với
consta =
;
là biến số theo
chiều dài.
6
R
α
2
A
B
G
O
Bài giải:
- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, với
ϕ
Rdd =
⇒
ϕ
.R=
- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ
d
là
ϕϕϕλ
daRRdaddq
2
===
* Tính cường độ điện trường tại O.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
ϕϕ
dak
R
kdq
dE
2
1
==
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
trên cung tròn đối xứng
nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện
trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX
triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, do đó cường độ điện trường
tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn:
∫ ∫
−+===
GA
akdkadEE )1cossin.(.2.cos2cos.2
0
1
αααϕϕϕϕ
α
* Tính điện thế tại O (
O
V
).
- Do tính đối xứng, mà điện thế có tính cộng được nên ta chỉ cần tính điện thế do cung GA gây ra tại O
rồi nhân đôi ta sẽ được điện thế do cả cung AGB gây ra tại O.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì thuộc cung GA. Phần tử này gây ra tại O một điện thế:
ϕϕ
dRak
R
kdq
dV ==
∫∫
===⇒
α
α
ϕϕ
0
2
2
kaR
dRakdVV
GA
2
2
α
kaRVV
O
==⇒
Bài 2:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không
khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định
cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O
của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai
đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là
0. >= a
λ
; từ G đến B là
λ
−
với
consta =
;
là biến số theo chiều dài.
Bài giải:
* Tính cường độ điện trường tại O.
- Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều.
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Do tính đối xứng nên ta luôn tìm được hai phần tử
dq
trên
cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra
một cường độ điện trường có thành phần điện trường theo
phương OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) do đó điện trường
tại O chỉ theo phương OY có độ lớn:
∫ ∫
−===
GA
akdkadEE )cos.(sin.2.sin2sin.2
0
1
αααϕϕϕϕ
α
* Tính điện thế tại O.
Làm tương tự
−=
=
⇒
2
2
2
2
α
α
kaR
V
kaR
V
BG
AG
0=+=⇒
BGAG
VVV
7
dφ
d
R
X
O
q
-α
α
1
dE
φ
φ
d
A
G
B
2
dE
R
α
2
A
B
G
O
dφ
d
R
X
O
q
-α
α
1
dE
φ
d
A
G
B
2
dE
Y
dE
Bài 3:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
đặt trong không khí. Xắc định
cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu
mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy
luật
0.
>=
a
λ
với
consta =
;
là biến số theo chiều dài.
Bài giải:
- Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA.
- Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích
ϕϕϕλ
daRRdaddq
2
===
* Tính cường độ điện trường tại O.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra tại O là
Ed
có
phương chiều như hình vẽ, độ lớn
ϕϕ
dak
R
kdq
dE
2
==
- Phân tích
jdEidEdE
Y
X
+=
jEiEjdEidEdEE
YY
XX
+=+==⇒
∫ ∫ ∫
với
−====
−+====
∫∫∫
∫∫∫
)cos(sin sinsin
)1cossin( coscos
0
0
αααϕϕϕϕ
αααϕϕϕϕ
α
α
akdkadEdEE
akdkadEdEE
ABAB
YY
ABAB
XX
22
X Y
EEE +=⇒
;
E
hợp với OX
góc
θ
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
θ
* Tính điện thế tại O.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế:
ϕϕ
dRak
R
kdq
dV ==
∫∫
===⇒
α
α
ϕϕ
0
2
2
kaR
dRakdVV
AB
Bài tập tự luyện
B1:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không
khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định
cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu
mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B
của cung theo quy luật
0.
2
>= a
λ
với
consta =
;
là biến số theo
chiều dài.
HD:
Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm
được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại
O, chiều từ
OG
→
độ lớn
)sin2cos2sin( 2
2
ααααα
−+= RakE
.
B2:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không khí,
G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường độ
điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện
tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật:
từ G đên A là
0.
2
>= a
λ
; từ G đến B là
λ
−
với
consta =
;
là biến
số theo chiều dài.
8
R
α
A
B
O
R
α
A
B
O
X
Y
Ed
Y
Ed
X
Ed
dq
ϕ
R
α
2
A
B
G
O
R
α
2
A
B
G
O
HD:
Làm tương tự như bài 2 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương
vuông góc với đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ phía bản dương về phía bản
âm, độ lớn
)2cos2sin2cos( 2
2
−++−=
ααααα
RakE
.
B3:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
đặt trong không khí. Xắc định
cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ
điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật
0.
2
>= a
λ
với
consta =
;
là biến số theo chiều dài.
HD:
Làm tương tự như bài 3 phần cung tròn tích điện không đều.
Chọn trục OX trùng với OA ta có
−++−=
−+=
)2cos2sin2cos(
)sin2cos2sin(
2
2
ααααα
ααααα
RakE
RakE
Y
X
DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU
Bài 1:
Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với
mật độ điện tích dài
0
>
λ
, đặt trong không khí.
Xắc định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây
ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của
thanh đoạn
aAM =
như HV.
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, mỗi phần tử mang điện tích
ddq .
λ
=
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện tích
dq
có chiều dài
d
ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ, phần tử này
gây ra tại M một cường độ điện trường
Ed
có phương chiều như HV, độ lớn
22
)(
+
==
a
dk
r
kdq
dE
λ
⇒
điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là
∫∫
+
=
+
==
L
AB
Laa
Lk
a
dk
dEE
0
2
)(
.
)(
λλ
* Tính điện thế tại M.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:
+
==
a
dk
r
kdq
dV
λ
⇒
điện thế do cả thanh gây ra tại M là
∫∫
+=
+
==
L
AB
a
L
k
a
d
kdVV
0
1ln
λλ
Bài 2:
Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật
độ điện tích dài
0
>
λ
, đặt trong không khí.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M
cách đầu A của thanh đoạn a như HV.
9
R
α
A
B
O
B
A
M
λ
A
B
M
λ
d
Ed
A
B
a
M
λ
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
dX
, mỗi
phần tử mang điện tích
dXdq .
λ
=
.
* Tính cường độ điện trường tại M.
Chọn hệ toạ độ OXY như hình vẽ:
+ Xét một phần tử nhỏ có chiều dài
dX
, mang điện
dq
có toạ
độ X bất kì, xác định bởi góc
θ
như HV.
+ Phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường
dE
có
phương chiều như hình vẽ, độ lớn:
22
r
dXk
r
kdq
dE
λ
==
(1)
+ HV
=⇒=
=
⇒
θ
θ
θ
θ
d
a
dXtgaX
a
r
2
cos
.
cos
(2)
Từ (1)(2)
a
dk
dE
θλ
=⇒
(3)
+ Phân tích
dE
thành hai thành phần
jdEidEdE
Y
X
+=
jEiEjdEidEdEE
YY
XX
+=+==⇒
∫ ∫ ∫
- Với
La
L
a
k
a
k
d
a
k
dEdEE
La
a
a
k
a
k
d
a
k
dEdEE
ABAB
Y
ABAB
>
+
=====
<
−
+
=−=−=−==
∫ ∫∫
∫ ∫∫
α
α
λ
α
λ
θθ
λ
θ
λ
α
λ
θθ
λ
θ
0
22
Y
22
0
XX
0.sin.cos.cos.
01)1(cos.sin.sin.
22
YX
EEE +=⇒
;
E
hợp với OX góc
β
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
β
Nhận xét:
Nếu
2/
πα
=
ứng với thanh bán vô hạn hay
∞=L
thì
⇒=−=
a
k
E
a
k
E
YX
λλ
;
a
k
E
λ
2
=
Bài 3:
Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật
độ điện tích dài
0
>
λ
, đặt trong không khí.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M
cách trục của thanh đoạn a như HV.
Bài giải:
- Coi thanh được cấu tạo từ hai phần AO và BO, chiều dài
mỗi phần tương ứng là
21
; XX
- Chọn hệ trục toạ độ OXY như HV
- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều
⇒
riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện trường có
các thành phần theo phương OX và OY là:
10
A
B
L
M
O
Y
X
dX
X
dE
Y
dE
X
dE
r
a
θ
α
A
B
a
M
λ
O
A
B
a
M
λ
O
Y
X
2
X
1
X
−
Xa
X
a
k
a
k
E
Xa
a
a
k
a
k
E
AMY
>
+
==
>
+
−=−=
0.sin
01)cos1(
2
1
2
1
1
2
1
2
1AMX
λ
α
λ
λ
α
λ
- Một cách tương tự
⇒
thanh BO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương
OX và OY là:
Xa
X
a
k
a
k
E
Xa
a
a
k
a
k
E
BMY
>
+
==
<
−
+
=−=
0.sin
01)1(cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2BMX
λ
α
λ
λ
α
λ
- Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có
BMAM
EEE +=
Với
BMAM
EE ;
lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do thanh AO và BO gây ra tại M.
>
+
+
+
=+=
<
+
+
+
−=+=
⇒
0
0
11
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
22
1
2
Xa
X
Xa
X
a
k
EEE
XaXa
kEEE
BMYAMYY
BMXAMXX
λ
λ
22
YX
EEE +=⇒
;
E
hợp với OX góc
β
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
β
Nhận xét:
- Nếu
∞==
21
XX
ứng với thanh AB dài vô hạn thì
a
k
EEE
YX
λ
2
0 ==⇒=
phù hợp với thực tế.
- Nếu
21
; XaXa >>>>
tức
⇒>> La
0
0
0
=⇒
=
=
E
E
E
Y
X
, lúc này điểm M ở rất xa thanh AB, thanh được
coi như điện tích điểm, phù hợp với thực tế.
- Nếu
2
21
L
XX ==
tức M nằm trên đường trung trực của thanh AB khi đó
+
==
=
22
4
.2
0
Laa
Lk
EE
E
Y
X
λ
phù
hợp với thực tế (do tính đối xứng nên
0=
X
E
).
Bài 4:
Có hai thanh mảnh thẳng OA; OB chiều dài lần lượt là
21
; XOBXOA ==
đặt trong không khí. Hai thanh
tích điện đều với mật độ điện tích trên mỗi thanh là
0;0
21
>>
λλ
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với
nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
Bài giải:
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều
⇒
riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ
điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:
11
Xa
X
a
k
a
k
E
Xa
a
a
k
a
k
E
AMY
>
+
==
>
+
−=−=
0.sin
01)cos1(
2
1
2
11
1
1
2
1
2
1
1
1
AMX
λ
α
λ
λ
α
λ
- Một cách tương tự
⇒
thanh BO gây ra tại M một
cường độ điện trường có các thành phần theo phương
OX và OY là:
Xa
X
a
k
a
k
E
Xa
a
a
k
a
k
E
BMY
>
+
==
<
−
+
=−=
0.sin
01)1(cos
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
BMX
λ
α
λ
λ
α
λ
- Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có
BMAM
EEE +=
Với
BMAM
EE ;
lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do thanh AO và BO gây ra tại M.
>
+
+
+
=+=
+
+
+
−−=+=
⇒
0
2
2
2
22
2
1
2
11
2
2
2
2
2
1
2
1
21
Xa
X
Xa
X
a
k
EEE
Xa
a
Xa
a
a
k
EEE
BMYAMYY
BMXAMXX
λλ
λλ
λλ
22
YX
EEE +=⇒
;
E
hợp với OX góc
β
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
β
Nhận xét:
+ Nếu
λλλ
==
21
>
+
+
+
=
<
+
+
+
−=
⇒
0
0
11
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
22
1
2
Xa
X
Xa
X
a
k
E
XaXa
kE
Y
X
λ
λ
phù hợp với kết quả bài 3 phần đường
tích điện đều.
+ Nếu
λλλ
==
21
và các thanh dài bán vô hạn tức
∞=∞=
21
; XX
a
k
EEE
YX
λ
2
0 ==⇒=⇒
phù hợp
với thực tế.
+ Nếu các thanh dài bán vô hạn tức
∞=∞=
21
; XX
+=
−=
⇒
)(
)(
21
21
λλ
λλ
a
k
E
a
k
E
Y
X
Bài tập tự luyện
B1:
Hai thanh OA; OB mảnh thẳng
LOBOA
==
, các thanh tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là
λ
và
λ
−
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự
phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
HD:
12
A
B
a
M
2
λ
O
Y
X
2
X
1
X
−
1
λ
- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường và tính đối
xứng
ABE //⇒
, hướng từ
BA →
(hướng về phía nhiễm điện tích âm), độ lớn
+
−=
22
1
2
La
a
a
k
E
λ
- Nếu
∞=L
tức hai thanh OA;OB dài bán vô hạn thì
a
k
E
λ
2
=
.
B2:
Hai thanh mảnh OA và OB dài bán vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là
0
1
>
λ
và
0
2
<−
λ
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB dài vô hạn. Giả sử
không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
HD:
Chọn trục OX trùng với trục của thanh AOB
Áp dụng kết quả bài 2 phần đường tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường
−=
+=
⇒
)(
)(
21
21
λλ
λλ
a
k
E
a
k
E
Y
X
(kết quả này tương tự như kết quả ở phần nhận xét của bài 4 phần đường thẳng tích điện đều).
DẠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU
Phạm vi nghiên cứu
Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai,
các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp.
Bài 1:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài
L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo
quy luật
0.
>=
b
λ
, với
constb
=
;
là biến số theo
chiều dài. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do
thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu
A của thanh đoạn
aAM =
như HV.
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, mỗi phần tử mang điện tích
dbddq ==
λ
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện tích
dq
có chiều dài
d
ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ, phần tử này
gây ra tại M một cường độ điện trường
Ed
có phương chiều như HV, độ lớn
22
)(
+
==
a
dbk
r
kdq
dE
⇒
điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là:
∫∫
+
==
L
AB
a
dbk
dEE
0
2
)(
Chú ý:
La
L
a
L
a
da
a
d
a
d
T
L LL
+
−
+=
+
−
+
=
+
=
∫ ∫∫
1ln
)(
.
)(
0 0
2
0
2
1
+
−
+=⇒
La
L
a
L
bkE 1ln.
* Tính điện thế tại M.
13
B
A
M
λ
A
B
M
λ
d
Ed
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:
)(
+
==
a
dbk
r
kdq
dV
⇒
điện thế do cả thanh gây ra tại M là
∫∫
+
==
L
AB
a
d
bkdVV
0
.
Chú ý:
∫ ∫∫
+−=
+
−=
+
=
L LL
a
L
aL
a
ad
d
a
d
T
0 00
2
1ln
+−=⇒
a
L
aLbkV 1ln.
14
Bài 2:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài
L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo
quy luật
0.
2
>= b
λ
, với
constb =
;
là biến số theo
chiều dài. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do
thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu
A của thanh đoạn
aAM
=
như HV.
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, mỗi phần tử mang điện tích
dbddq
2
==
λ
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện tích
dq
có chiều dài
d
ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ, phần tử này
gây ra tại M một cường độ điện trường
Ed
có phương chiều như HV, độ lớn
2
2
2
)(
+
==
a
dbk
r
kdq
dE
⇒
điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là:
∫∫
+
==
L
AB
a
dbk
dEE
0
2
2
)(
Chú ý:
22
2
2
2
2
2
)(
2
)(
1
)(
2
1
)(
+
−
+
−=
+
+
−=
+
=
a
a
a
a
a
aa
a
J
1
2
0 0
22
0
2
0
2
2
1
.2
)(
2
)()(
Taa
La
a
L
a
d
a
a
d
ad
a
d
J
L LLL
−−
+
+=
+
−
+
−=
+
=
∫ ∫∫∫
Với
La
L
a
L
T
+
−
+= 1ln
1
đã tính ở bài 1 phần đường thẳng tích điện không đều
+−
+
+
=⇒
a
L
a
La
aLL
J 1ln2
)2(
1
+−
+
+
=⇒
a
L
a
La
aLL
bkE 1ln2
)2(
.
* Tính điện thế tại M.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là
bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:
)(
2
+
==
a
dbk
r
kdq
dV
.
⇒
điện thế do cả thanh gây ra tại M là
∫∫
+
==
L
AB
a
d
bkdVV
0
2
.
Chú ý:
∫ ∫ ∫
++−=
+
+−=
+
=
L L L
a
L
aLa
L
a
d
ada
a
d
J
0
2
2
0 0
2
2
2
1ln.
2
)(
++−=⇒
a
L
aLa
L
kbV 1ln.
2
2
2
15
B
A
M
λ
A
B
M
λ
d
Ed
Bài tập tự luyện
B1:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện
với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật
0.
>=
Xb
λ
, với
constb
=
;
X
là biến số theo chiều dài.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A
của thanh đoạn a như HV.
HD:
Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả
sau:
−=
−
−
+
=
)cos1(.
sin
sin1
sin1
ln.
α
α
α
α
bkE
bkE
Y
X
với
+
=
+
=
22
22
cos
sin
La
a
La
L
α
α
B2:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện
với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật
0.
2
>= Xb
λ
, với
constb
=
;
X
là biến số theo chiều dài.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A
của thanh đoạn a như HV.
HD:
Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả sau:
−
−
+
=
−+−=
α
α
α
αααα
sin
sin1
sin1
ln
)2cos3cossin.(
33
abkE
tgabkE
Y
X
với
+
=
+
=
22
22
cos
sin
La
a
La
L
α
α
B – BÀI TẬP VỀ MẶT TÍCH ĐIỆN
Bài 1:
Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm M nằm trên trục của
một đĩa tròn bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
0>
σ
.
Bài giải:
- Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng vòng tròn như hình vẽ.
- Xét một phần tử diện tích ds bất kì, trong đó
drrrdds 2).(
2
ππ
==
, phần tử
này tích điện là
drrdsdq 2
πσσ
==
(*) Nhận xét:
Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới
mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả
bài 1 phần cung tròn tích điện đều.
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một cường độ điện
trường
dE
cùng chiều với chiều dương của trục OZ (theo bài 1
dạng I (phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn:
drr
Zr
kZ
Zr
dqZk
dEdE
Z
)(
2
)(
2/3222/322
+
=
+
==
πσ
16
A
B
a
M
λ
X
Y
O
A
B
a
M
λ
X
Y
O
O
R
Z
M
q
dE
z
ds
R
r
O
Z
M
⇒
Cường độ điện trường do cả đĩa trên gây ra cũng sẽ có chiều cùng với chiều dương của trục OZ, độ
lớn:
+
−=
+
==
∫∫
2
0
2/322
1
1
12
)(
2
Z
R
kdr
Zr
r
kZdEE
R
S
πσπσ
* Tính điện thế tại M.
- Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một điện thế
2222
2.
zr
drrk
zr
kdq
dV
+
=
+
=
πσ
⇒
Điện thế do cả đĩa trên gây ra tại M là
][.2
2.
22
0
22
ZZRk
zr
drrk
dVV
R
S
−+=
+
==
∫∫
σπ
πσ
Nhận xét:
- Nếu
RZ >>
⇒
2
2/1
2
2
2
1
11
1
1
−≈
+=
+
−
Z
R
Z
R
Z
R
22
2
).(
Z
kq
Z
Rk
E ==⇒
σπ
⇒
đĩa có vai trò
như một điện tích điểm so với điểm M (với q là điện tích của cả đĩa tròn).
- Nếu
ZR >>
ta có:
0
1
1
2
→
+
Z
R
0
2
2
ε
σ
πσ
==⇒ kE
⇒
đĩa trong trường hợp này có thể coi như
mặt phẳng rộng vô hạn, tích điện đều.
- Nếu
RZ >>
⇒
0
22
=⇒≈+ VZZR
(điểm đang xét ở rất xa đĩa nên điện thế do đĩa gây ra tại đó
bằng 0).
- Nếu
ZR >>
RkVRZZR .2
22
πσ
=⇒≈−+⇒
Bài 2:
Một đĩa mỏng hình tròn bán kính R đặt ngoài không khí,
tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
0
>
σ
. Đĩa bị
khoét đi một phần bên trong, phần bị khoét đi là một hình
tròn bán kính
/
R
đồng tâm với đĩa tròn ban đầu. Xắc định
cường độ điện trường và điện thế tại M cách tâm O của đĩa
tròn đoạn Z.
Bài giải:
* Tính cường độ điện trường tại M.
Sử dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường.
Coi vật bị khoét trên như một hệ gồm một đĩa tròn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích mặt
0
>
σ
ghép sát đồng trục với một đĩa tròn bán kính
/
R
tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
σ
−
.
Gọi
−+
EE ;
lần lượt là độ lớn cường độ điện trường do từng đĩa gây ra tại M.
Áp dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện ta có:
+
−=
+
−=
−
+
2
/
2
1
1
12
1
1
12
Z
R
kE
Z
R
kE
πσ
πσ
17
Z
R
M
R
/
O
Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường ta có:
−+
+= EEE
Do hai véc tơ
−+
EE ;
cùng phương ngược chiều nên độ lớn cường độ điện trường tại M là:
+
−
+
=−=
−+
22
/
1
1
1
1
.2
Z
R
Z
R
kEEE
πσ
* Tính điện thế tại M.
- Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như bài 1 phần mặt tích điện.
- Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một điện thế
2222
2.
zr
drrk
zr
kdq
dV
+
=
+
=
πσ
⇒
Điện thế do cả đĩa trên gây ra tại M là
].[.2
2.
22/22
22
/
ZRZRk
zr
drrk
dVV
R
R
S
+−+=
+
==
∫∫
σπ
πσ
Bài 3:
Có hai mặt phẳng có dạng bán nguyệt giống hệt nhau bán kính
R đặt trong không khí. Hai mặt tích điện đều với mật độ điện
tích mặt lần lượt là
0
>
σ
và
σ
−
. Ghép hai mặt bán nguyệt lại
với nhau thành một mặt tròn tâm O bán kính R. Lấy trục OZ đi
qua tâm mặt tròn và vuông góc với mặt tròn. Xắc định cường độ
điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử
không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai mặt bán
nguyệt lại với nhau.
Bài giải:
- Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như hình vẽ.
(*) Nhận xét:
Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới
mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết
quả bài 4 dạng I (phần cung tròn tích điện đều).
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện có diện tích
ds
bất kì gây ra tại M một
cường độ điện trường
dE
có chiều vuông góc với trục OZ,
chiều hướng về phía mặt nhiễm điện tích âm (theo bài 4 dạng I
(phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn:
2/322
)(
.4
zr
dqkr
dE
+
=⇒
π
(1)
- Với
drrdq
r
q
r
q
2
.
.
2
.
2
2
σπ
π
σ
π
σ
=⇒=⇒=
(2)
- Từ (1)(2)
2/322
2
)(
4
zr
drrk
dE
+
=⇒
σ
⇒
Cường độ điện trường do cả đĩa trên gây ra tại M cũng sẽ vuông góc với trục OZ, chiều hướng về phía
mặt nhiễm điện tích âm, độ lớn:
∫∫
+
==
R
S
dr
Zr
r
kdEE
0
2/322
2
)(
4
σ
2/322
2
2/322
22
2/322
2
)()()( Zr
Z
Zr
Zr
Zr
r
I
+
−
+
+
=
+
=
18
O
R
Z
M
σ
σ
−
dE
z
ds
O
M
dq
σ
σ
−
Z
RZR
Zr
dr
dr
Zr
Zr
I
rZr
R
RR
++
==
+
=
+
+
=
++
∫∫
22
0
0
22
0
2/322
22
1
ln
22
)(
)ln(
dr
Zr
Z
I
R
∫
+
=
0
2/322
2
2
)(
Đặt
t
dtZ
drtgtZr
2
cos
.
. =⇒=
⇒
)sin(.cos
0
2
Z
R
arctgdttI
Z
R
arctg
==
∫
−
++
=⇒ )sin(ln4
22
Z
R
arctg
Z
RZR
kE
σ
* Tính điện thế tại M.
Do tính đối xứng nên
0
=
V
.
Bài 4:
Một chỏm cầu rỗng bằng kim loại bán kính R, góc ở đỉnh chỏm cầu là
α
2
như HV. Chỏm cầu tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
0
>
σ
và đặt
ngoài không khí. Xắc định cường độ điện trường tại tâm O của chỏm cầu.
Bài giải:
+ Chia chỏm cầu thành nhiều phần tử nhỏ có chiều dài dL như HV.
+ Xét một phần tử nhỏ có diện tích dS bất kì, phần tử này cách O đoạn là z, vị trí của phần tử này được
xác dịnh bởi góc φ như hình vẽ.
+ Do dL rất nhỏ nên:
dLrdS 2
π
=
(1)
Theo hình vẽ có:
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
cos
.
sin
Rz
dRdL
Rr
(2)
Từ (1)(2)
ϕϕπ
dRdS .sin 2
2
=⇒
(3)
⇒
đện tích của phần tử trên là:
ϕϕσπσ
dRdSdq .sin 2.
2
==
(4)
+ Theo bài 1 phần cung tròn tích điện đều
⇒
cường độ điện trường do phần tử điện tích trên gây ra tại O
là:
ϕϕσπ
dk
zr
zdqk
dEdE
Z
.2sin
)(
2/322
=
+
==
(5)
⇒
Cường độ điện trường do cả chỏm cầu gây ra tại O là:
19
R
O
α
2
σ
dE
O
z
N
z
dS
r
R
φ
dL
φ
dφ
r
R
O
N
z
2
)2cos1(
.
2
.2sin
2cos
0
0
απσπσ
ϕϕπσ
ϕ
α
α
−
=−===
∫∫
kk
dkdEE
S
20
Nhận xét:
+
E
nằm trên trục đối xứng của chỏm cầu, điểm đặt tại O, chiều hướng từ O ra xa. Nếu
0<
σ
ta cũng thu
được kết quả tương tự nhưng chiều của
E
ngược lại.
+ Nếu
πα
22
=
ứng với cả quả cầu rỗng tích điện
0
=⇒
E
phù hợp với thực tế (cường độ điện trường
bên trong vật dẫn bằng 0).
+ Nếu
πα
=2
ứng với bán cầu rỗng
πσ
kE =⇒
.
Bài tập tự luyện
Bài 1:
Mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt
σ
đặt ngoài không khí. Mặt phẳng trên bị
khoét đi một phần, phần bị khoét có dạng một hình tròn bán kính R. Gọi OZ là trục đi qua tâm hình tròn
bị khoét, OZ vuông với mặt phẳng tích điện rộng vô hạn. Xắc định cường độ điện trường tại M nằm trên
trục OZ cách O đoạn là Z.
HD:
Sử dụng kết quả bài 1 và phần nhận xét của bài 1 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường
cách làm giống như bài 2 phần mặt tích điện.
2
2
2
2
1
2
1
1
122
Z
R
k
Z
R
kkE
+
=
+
−−=
πσ
πσπσ
Bài 2:
Có hai chỏm cầu rỗng có cùng bán kính R đặt ngoài không khí, góc ở đỉnh các chỏm cầu lần lượt là
1
2
α
và
1
22
απ
−
. Các chỏm cầu được tích điện với mật độ điện tích mặt lần lượt là
0;0
21
>>
σσ
. Ghép hai
chỏm cầu lại với nhau thành một quả cầu, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép. Xắc định
cường độ điện trường tại tâm O của quả cầu nói trên.
HD:
Sử dụng kết quả bài 4 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường.
)2cos1()2cos1(
2
221121
ασασ
π
−−−=−=
k
EEE
; với
12
222
απα
−=
.
Nếu
0
21
=⇒== E
σσσ
phù hợp với thực tế.
21
