hinh hoc chuong 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (184.55 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
A.LÝ THUYẾT:

§1. Phương trình tổng qt của đường thẳng:

1. Véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng:

*. Định nghĩa: Véc tơ n0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

 nếu giá của n vng góc với .
*. Chú ý:

+ n là véc tơ pháp tuyến của   kn cũng là véc tơ pháp tuyến của .
+ Đường thẳng  hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà

nó đi qua và biết một véc tơ pháp tuyến của .

2. Phương trình tổng quát củamột đường thẳng:

*. Đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ pháp tuyến
)

;
(a b

n có phương trình tổng quát là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0 hay ax + by

+ c = 0 với c = - (x0 + y0) và a2 + b2  0.
*. Các dang đặc biệt:

+ Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.

+ Đường thẳng ax + c + 0 song song hoặc trùng với trục Oy.

+ Đường thẳng ax + by =0 đi qua gốc tọa dộ.

+ Đường thẳng  1

b
y
a
x

đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b 

0).

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).

+ Khi  0 phương trình tổng quát đưa về dạng: y = kx + m với k là

hệ số góc, k = tan,  = (Ox, Mt).

3.V ị trí tương đối của hai đường thẳng:

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng qt:
(1): a1x + b1y = 0 và (2): a2x + b2y = 0.

a) (1) cắt (2) 

.0

2

1 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) (1) // (2) 





















.0

2

1

2

1

2

1 ac

cb

ba

c) (1)  (2) 

22

11

22

11

22

11

ac

cb

ba



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. Véc tơ chỉ phương của một đường thẳng:

*. Định nghĩa: Véc tơ u 0 được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng

 nếu giá của u song song hoặc trùng với .
*. Chú ý:

+ u là véc tơ chỉ phương của   ku cũng là véc tơ chỉ phương của .

+ Đường thẳng  hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà

nó đi qua và biết một véc tơ chỉ phương của .

+ Đường thẳng  có véc tơ pháp tuyến n(a;b) thì  có một véc tơ chỉ

phương là u (b; a).

2. Phương trình tham số của một đường thẳng:

*. Đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ chỉ phương

)
;
(a b

u  có phương trình tham số

(

2 2

).0

0
0



















b

a

bt

yy

at

xx

3. Phương trình chính tắc của một đường thẳng:

*. Đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ chỉ phương
)

;
(a b

u  có phương trình chính tắc  0   0 (a0,b0).

b
y
y
a

x
x

*. Nếu a = 0 (hoặc b = 0) thì đường thẳng khơng có phương trình chính tắc,
khi đó nó chỉ có phương trình tổng qt x – x0 = 0 (hoặc y – y0 = 0).

§3. Khoảng cách và góc:

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

*. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (): ax + by + c = 0

được tính theo cơng thức: ( , ) .

2
2

0
0
0

b
a

c
by
ax
M

d








*. Hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2)  (): ax + y + c = 0 thì:

+ M1, M2 nằm cùng phía đối với  (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) > 0.
+ M1, M2 nằm khác phía đối với  (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) < 0.

2. Góc giữa hai đường thẳng:

*. Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo
nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.

*. Ký hiệu góc giữa hai đường thẳng a và b.là (a, b).

*. Chú ý:
+ 00

 (a, b)  900.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ (a, b) = 900  a  b.

+ Nếu u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương của a, b thì:
. (a, b) = (u, v)  (u, v)  900.

. (a, b) = 1800 - (u, v)  (u, v) > 900.
§4. Đường trịn:

1. Phương trình đường trịn:

*. Trên mặt phẳng tọa độ, đường trịn (C) tâm I(x0; y0) bán kính R có phương

trình: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2.

2. Nhận dạng phương trình đường trịn:

Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 – c > 0 là

phương trình của đường trịn tâm I(-a; -b), bán kính R a2 b2 c.





3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn:

*. Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (I; R)  d(I, ) = R.

*. Đường thẳng  là tiếp tuyến tại M  (I; R) của đường tròn   đi qua M

và nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến.

§5. Đường Elíp:

1. Định nghĩa:

*. Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0).

(E) = {M  MF1 + MF2 = 2a}, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

*. Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp

2. Phương trình chính tắc của Elíp:

*. Phương trình chính tắc của elíp:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) thì elíp có phương trình:

(E): 1



0, 2 2 2



2
2
2
2

c
a
b
b

a
b

y
a
x









*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y)  (E) là:

; 1

a
cx
a
MF
a

cx
a

MF    

3. Hình dạng của elíp:

a) Tính đối xứng của elíp:

Elíp (E): 2 1 ( 0)

2
2
2





 a b

b
y
a
x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Hình chữ nhật cơ sở:

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A1, A2,

B1, B2 gọi là các đỉnh của elíp.

*. Trục Ox (hay đoạn A1A2) được gọi là trục lớn. Trục Oy (hay đoạn B1B2)

được gọi là trục bé.

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q,
R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS.

c) Tâm sai của elíp:
a

c

e  0 < e < 1 và 2 2 1 e2.

a
c
a
a
b






d) Elíp và phép co đường tròn:

Đường tròn (T): x2 + y2 = a2

, bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp

có phương trình (E): 2 1 ( ).

2
2
2

ka
b

b

y
a
x






§6. Đường Hypebol:

1. Định nghĩa:

*. Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0).

(H) = {M  MF1 - MF2 = 2a}, trong đó a là số cho trước nhỏ hơn c.
*. Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của Hypebol:

*. Phương trình chính tắc của hypebol:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) thì hypebol có phương trình:

(H): 1



0, 0, 2 2 2



2
2

a
c
b
b

a
b

y
a
x









*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y)  (H) là:
.

; 1

1 a

cx
a
MF
a

cx
a

MF    

3. Hình dạng của Hypebol:

a) Tính đối xứng của hypebol:

*. Hypebol (H): 2 1 ( 0, 0)

2
2
2





 a b

b
y
a

x có nhận hai trục tọa độ làm trục đối

xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

*. Hai giao điểm của (H) với trục Ox được gọi là hai đỉnh của hypebol.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

*. Trục Oy (không chứa hai tiêu điểm) gọi là trục ảo, 2b gọi là độ dài trục
ảo.

*. Hypebol gồm hai nhánh nằm về hai phía trục ảo.

*. Tâm sai của hypebol: eac , do đó e > 1.

b) Hình chữ nhật cơ sở:

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại A, B, C, D tạo
thành hình chữ nhậtcơ sở ABCD.

*. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật cơ sở
gọi là hai đường tiệm cận của hypebol, phương trình của hai đường tiệm cận đó là:

x
a
b
y

§7. Đường Parabol:

1. Định nghĩa:

Cho điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F.

(H) ={M  MF = d(M, )}.

Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng  được gọi là đường

chuẩn của parabol (P). Khảng cách từ F đến  được gọi là tham số tiêu của

parabol.

2. Phương trình chính tắc của Parabol:

*. Phương trình chính tắc của parabol:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là trung điểm của FP = p (tham số tiêu), F 

Ox, P là hình chiếu của F trên . Khi đó 














 ;0

2
,

0
;
2

p
P
p

F và parabol có phương

trình:

y2 = 2px (p > 0), đường chuẩn : .

p
x

3. Các tính chất của parabol:

Từ phương trình chính tắc của parabol ta suy ra:

*. Parabol nằm về bên phải của trục tung.

*. Parabol có trục đối xứng là Ox.

*. Parabol cắt Ox tại điểm O và đó cũng là điểm duy nhất của Oy thuộc
parabol

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

*. Parabol y = ax2 + bx + c (a  0) có thể đưa về dạng Y = aX2 bằng phép
thế biến:





















a

b

X

x

a

Y

y

2

4

*. Paraol y = ax2 + bx + c có tiêu điểm 




 
a
b
F
4
2
1
;

0 , đường chuẩn :
.

4
1

a
y 

§8. Ba đường cơnic:

1. Đường chuẩn của Elíp:
Elíp 2 1 ( 0).

2
2

2




 a b

b
y
a
x

Khi đó các đường thẳng: 1:  0, 2:  0

e
a
x
e
a
x

được gọi là các đường chuẩn của elíp ứng với các tiếu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0).
Tính chất:M  (E), ta ln có: ( ; ) ( ; ) ( 1).

2
2
1

1  




 d M e e

MF
M

d
MF

1. Đường chuẩn của Hypebol:
(H): 2 1 ( , 0).

2
2
2




 a b

b
y
a
x

Khi đó các đường thẳng: 1:  0, 2:  0

e
a
x
e
a
x

được gọi là các đường chuẩn của hypebol ứng với các tiếu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0).
Tính chất:M  (H), ta ln có: ( ; ) ( ; ) ( 1).

2
2
1
1





 d M e e

MF
M

d
MF

3. Định nghĩa đường cônic:

Cho điểm F cố định và đường thẳng  cố định không đi qua F. Tập hợp

những điểm M sao cho tỷ số d(MMF,) ằng một số dương e khơng đổi cho trướ
được gọi là đường cơnic.

Tính chất: Elíp là đường cơnic có tâm sai e < 1.
Parabol là đường cơnic có tâm sai e = 1.
Hypebol là đường cơnic có tâm sai e > 1.

B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các véc tơ:
).
5
;
2
(
),
5
;
2
(
),
3
;
2
(     

 b c

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) Tìm tọa độ của các véc tơ sau:

.
3
)
(
2
;

4
3
;

2b c v a b c w a b c

a

u        

b) Tim các số p và q thỏa mãn cpaqb.

2. Cho ba điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).
a) CMR: ABC.

b) Tính chu vi và diện tích của ABC.

c) Tìm điểm I sao cho: IA2IB 3IC0.

d) Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

ABC.

e) Viết phương trình các đường cao, trung tuyến của ABC.

g) Viết phương trình các đường phân giác trong, phân giác ngồi của ABC.

3. Cho điểm M(2; 5). Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d có
phương trình: 2x – y + 4 = 0.

4. Giả sử điêm M(x; y). Tìm tọa độ của:
a) Điểm M1 đối xứng với M qua Ox.

b Điểm M2 đối xứng với M qua Oy

c Điểm M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ.

d Điểm M4 đối xứng với M qua đường thẳng y = x.

5. Viết phương trình đường thằng trong mỗi trường hợp sau :

a) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao
cho OAB vuông cân.

b) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao
cho M là trung điểm của AB.

6. Hai cạnh của một hình bình hành ABCD có phương trình: x – 3y = 0 và
2x + 5y + 6 = 0. Đỉnh C(4; -1). Viết phương trình hai cạnh cịn lại.

7. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 5) và cách đề hai điểm A(-1;
2) và B(5; 4).

8. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x
+ 3y +15 = 0, x – 12y + 3 = 0 và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua điểm (2; 0).

b) Vng góc với đường thẳng x – y – 100 = 0.
c) Song song với đường thẳng 5x – 4y – 1 = 0.

9. Viết phương trình của đường thẳng ’ đối xứng với đường thẳng

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

10. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng:
a) 3x – 2y -5 = 0 và 3x – 2y + 7 = 0.

b) 4x + y – 1 = 0 và 3x – y + 1 = 0.

11.Cho đường thẳng : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0).

a) CMR: Hai điểm O và A nằm về cùng phía đối với đường thẳng .

b) Tìm điểm O’ đối xứng với O qua A.

c) Tìm điểm M  sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

12. a) Cho hai đường thẳng có phương trình

























ty

tx

ty

tx

4

53 :)(;

22

31 :)(

2

1

Chuyển phương trình của các đường thẳng trên về dạng

tổng quát.

b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
(1): 4x +5y + 6 = 0; (2): 2x – 3y + 3 = 0.

13. Cho ABC đỉnh A(-1; -3).

a) Cho biết hai đường cao: BH: 5x + 3y –25 = 0
CK: 3x + 8y – 12 = 0
Hãy xác định tọa độ của các đỉnh B và C.

b) Xác định tọa độ các đỉnh B, C nếu đường trung trực của AB là d:
3x + 2y – 4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4; -2). (ĐH Cần thơ - 1998)

14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc, cho ABC có

đỉnh A(-1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng d: y = x, phân giác trong của
góc C nằm trên đường thẳng d’: x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình cạnh BC.

(ĐH Kiến trúc Hà nội - 1998)

15. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - y + 2 = 0 sao cho ABC

vuông tại C, biết A(1; -2); B(-3; 3). (ĐH Luật Hà nội - 1998)

16. Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC; 300





BAD . Biết

b

AD
a

AB ,  . Hãy biểu diễn các véc tơ BC, CD, AC, BD theo các véc tơ a, b

(ĐH Luật Hà nội - 1998)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp OAB.

(ĐH Mỹ thuật công nghiệp Hà nội - 1998)

18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho, ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các

cạnh AB: 4x + y + 15 = 0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0.

a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC.

b) Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.

(ĐHQG TP. Hồ Chí Minh - 1998)

19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 6), B(4; 0), C(3; 0), một
đường thẳng (): y = m di động cắt AB và AC lần lượt tại M và N, gọi các hình

chiếu của M, N trên trục Ox là P, Q gọi H, E là trung điểm của AO, BC; ký hiệu I
là tâm của hình chữ nhật MNQP.

a) CMR: H, E, I thẳng hàng.

b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

c) Xác định điểm T  AC sao cho OT  BT.

(ĐH Thái nguyên - 1998)

20. Cho ba điểm A(-3; 4); B(-5; -1); C(4; 3) trong hệ trục tọa độ Oxy.

a) Tính độ dài AB, BC, CA. Hãy cho biết tính chất (nhọn, tù, vng)
của ABC.

b) Tính độ dài đường cao AH và viết phương trình đường thẳng AH.

(ĐH Cần thơ - 1999)

21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông đỉnh A(0; 5) và một đường
chéo nằm trên đường thẳng y – 2x = 0. Tìm tọa độ tâm hình vng và tọa độ của
các đỉnh cịn lại. (ĐH Đà lạt 
-1999)

22. Cho ABC có đỉnh A(2; -1) và phương trình các đường cao là:

2x – y + 1 = 0 và 3x + y + 2 = 0. Lập phương trình trung tuyến qua đỉnh A

của ABC. (ĐH Hàng hải

-1999)

23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC với các đỉnh A(-6; -3); B(-4; 3)

a) Viết phương trình đường thẳng d chứa phân giác trong của góc A.
b) Tìm điểm P  d sao cho tứ giác ABCD là hình thang.

(ĐH Sư phạm Hà nội 2 - 1999)

24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, trong đó A(1; 3);
B(4; -1).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

25. Cho ABC có A(2; -1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và

C lần lượt là: dB: x - 2y + 1 = 0, dC: x + y + 3 = 0.

Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. (ĐH Thương mại - 2000)

26. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR:

a) ABCD  AB2 + BD2 = AD2 + BC2.

b) AB CD và AD BC thì AC BD

27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng d có
phương trình d: 4x + 3y - 12 = 0.

a) Gọi B và C là giao điểm của d với Ox, Oy. Xác định trực tâm

ABC.

b) Điểm M chạy trên d, trên nửa đường thẳng đi qua A và M, lấy điểm
N sao cho AM.AN 4. Điểm N chạy trên đường cong nào? Viết phương trình

đường cong đó. (ĐH Nông nghiệp I - 2001)

28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1).

a) Xác định tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho SABM 3SABC

 .

(ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001)

29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2,5; 2) và hai đường thẳng có
phương trình: y = 0,5x và y = 2x. Lập phương trình đường thẳn d đi qua M và cắt
hai đường thẳng trên tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

(ĐH Hàng hải - 2001)

30. Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với Ox, Oy đồng thời đi qua điểm
M(2; 1).

31 Cho phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y – 5 = 0 (C).

a) CMR: (C) là phương trình của một đường trịn mà ta phải xác định tâm và
bán kính.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) đi qua điểm A(-1; 0).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua điểm B(3; -1).
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) vng góc với đường
thẳng x + 2y = 0.

e) Tìm điều kiện của m để đường thẳng (dm): x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc

với đường tròn (C).

32. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trịn sau:
(C): x2 + y2 = 1 và (C’): (x – 8)2 + (y – 6)2 = 16.

33. Cho phương trình của họ đường cong (Cm):

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a) Với giá trị nào của m thì (Cm) là một đường trịn?

b) Xác định tâm và bán kính của đường trịn (C3) ứng với m = 3.

c) Tìm tập hợp tâm của các đường trịn (Cm).

34. Cho phương trình 2 họ đường trịn (Cm):x2 + y2 – 2mx + 2(m + 1)y - 1=0

và (C’m): x2 + y2 – x + (m – 1)y + 3 = 0. CMR: tập hợp những điểm có cùng

phương tích đối với cả hai đường tròn trên là một đường thẳng khi m thay đổi.
đồng thời CMR: đường thẳng đó ln đi qua một điểm cố định.

35. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 







2
9
;
2
1

A và đường tròn (C) có

phương trình : x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0.

a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường trịn (C).
b) CMR: điểm A ở trong đường trịn (C).

c) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung đi qua A sao cho độ dài
dây cung ngắn nhất.

36. Cho hai đường thẳng (d): mx + y – m = 0 và (): x – my + 1 = 0. CMR:

tập hợp các giao điểm của (d) và () khi m thay đổi là một đường tròn mà ta phải

tìm tâm và bán kính.

37. Cho đường thẳng (d): (m2 – 1)x + 2my + 3(m2 + 1) = 0. CMR: khi m

thay đổi đường thẳng (d) ln ln tiếp xúc với một dtrịn cố định mà ta phải tìm

tâm và bán kính.

38. Cho phương trình: x2 + y2 – 2mx – 2(m – 1)y = 0 (C
m).

a) CMR: m (Cm) đều là phương trình của một đường trịn. Tìm bán kính

nhỏ nhất của đường trịn đó.

b) Tìm tập hợp tâm các đường trịn (Cm).

c) CMR: các đường trịn (Cm) ln đi qua hai điểm cố định.

d) Tìm m để đường trịn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d) : x + y – 1 = 0.

39. Cho các đường tròn (C) và (Cm) có phương trình lần lượt là: x2 + y2 – 1 =

0 và x2 + y2 +2(m– 1)x – 4my - 5 = 0.

a) Tìm tập hợp tâm các đường trịn (Cm) khi m thay đổi.

b) CMR: có hai đường tròn (C1) và (C2) trong số các đường trịn (Cm) tiếp

xúc với (C).

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

40. Cho hai điểm A(6; 1), (9; 4) và đường thẳng (): x – y – 2 = 0. Viết

phương trình đường trịn đi qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng ().

41. Cho hai đường trịn có phương trình là (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 – 13 = 0

và (C’): (x + 3)2 + (y – 1)2 – 36 = 0.

a) CMR: (C) và (C’) cắt nhau.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

c) Tính độ dài đoạn dây cung chung.

42. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) biết rằng:

a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc .
4
3



k

b) Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-2; 2).

43. a) Cho đường tròn (C): x2 + y2 = a2 và điểm M(x

0; y0)  (C). CMR: tiếp

tuyến của (C) tại M có phương trình x0x + y0y – a2 = 0.

b) Cho đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = a2 và điểm M(x

0; y0)  (C).

CMR: tiếp tuyến của (C) tại M có p.trình (x0 – a)(x – a) + (y0 – b)(y – b)2 – a2 = 0.

44. Lập phương trình chính tắc của elíp (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự ằng 6.

b) Một tiêu điểm là F1



 3; 0



và điểm 









2
3
;
1

M  (E).

45. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục thực bằng 8 và tiêu cự bằng 10.

b) Tiêu cự ằng 20 và một tiệm cận có phương trình: 4x – 3y = 0.
46. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tiêu điểm là (2; 0). b) Đường chuẩn là x + 3 = 0.

47. Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elíp (E)
có phương trình: 1.

9
25

2
2


 y

x

48. Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ hypebol
(H) có phương trình: 1.

9
16

2
2


 y

x

49. Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:
a) y2 = 8x (P

1) b) y2 + 4x = 0 (P2)

50. Cho các đường tròn C1(O1; R1), C2(O2; R2), (C1) chứa trong (C2) và O1 

O2 Gọi M là tâm của đường trịn (C) thay đổi nhưng ln tiếp xúc trong với (C2) và

tiếp xúc ngoài với (C1). CMR: M di động trên một elíp.

51. Cho điểm A cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua A. M là

điểm di động sao cho m > 0, đường trịn C(M, m) ln tiếp xúc với  và đường

trịn C’(M, 2m) luôn đo qua A. CMR: M di động trên một hypeol.

52. Cho điểm A cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua A. Xét

các đường trịn (C) thay đổi có tâm M, biết rằng (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với

. CMR: M di động trên một parabol.

53. Cho elíp 1

9
16
:
)

(

2
2


 y

x

E và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

54. Cho điểm M(x; y) với y b t
t

a

x , tan

cos 

 , tham số t   k

2 , k  Z.

Tìm quỹ tích các điểm M.

55. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A1(-a; 0), A2(a; 0). Gọi (C) là đường tròn thay

đổi đi qua A1, A2; đường kính MM’ của (C) ln song song với Ox. Tìm quỹ tích

các điểm M, M’.

56. Tìm quỹ tích tâm các đường trịn chắn trên hai trục Ox và Oy hai đoạn
thẳng có độ dài lần lượt là 2a và 2b.

57. CMR: tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên hypebol đến hai
đường tiệm cận là một số khơng đổi.

58. Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a 
 0).

CMR: nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng
nằm trên một đường trịn.

59. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1): 3x + 4y + 5 = 0 và (d2) :

4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường trịn có tâm nằm trên đường thẳng
(): x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2).

60. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường cơnic có phương trình chính tắc:

.
2
:
)
(
,
1
:

)
(
,
1
:
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
px
y
P
b
y
a
x
H
b
y
a
x

E      và điểm M0(x0; y0) thuộc cônic.

CMR:a) Tiếp uyến của (E) tại M0(x0; y0) có dạng: 2 1.
0
2
0


b
y
y
a
x
x

b) Tiếp uyến của (H) tại M0(x0; y0) có dạng: 2 1.
0
2

0  

b
y
y
a
x
x

c) Tiếp uyến của (P) tại M0(x0; y0) có dạng: y0yp(x0x).

61. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (): Ax + By + C = 0 và ba

đường cônic ( ): 1, ( ): 1, ( ): 2 2 .

2
2
2
2
2
2
2
2
px
y
P
b
y
a
x
H
b
y
a
x

E      CMR:

a) () là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi a2A2 + b2B2 = C2.

b) () là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi a2A2 - b2B2 = C2.

c) () là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi pB2 = 2AC.

62. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elíp 2 1

2
2
2


b
y
a
x

(0 < b < a) với hai tiêu
điểm F1(-c; 0), F2(c; 0). Một điểm M di động trên (E) sao cho 









2
;
0
2



M
F
x

a) Tính F2M theo a, b và .

b) Đường thẳng F2M cắt (E) tại điểm thứ hai M’. CMR: '

1
1

2
2M F M

F  có

giá trị khơng đổi.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Viết phương trình chính tắc của elíp (E) đi qua điểm 








3
;
2

3
7

M và có

chung các tiêu điểm với hypebol đã cho.

64. Trong mặt phẳng Oxy, cho elíp (E) có khoảng cách giữa các đường
chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M  (E) là 9 và 15.

a) Viết phương trình chính tắc của elip.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M.
65. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x.

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại M.

c) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2. CMR: AB = x1 + x2 + 4.

66. Cho điểm P(1, 1). Hai đường thẳng phân biệt thay đổi luôn đi qua P cắt
Ox, Oy lần lượt tại các điểm A1, A2; B1, B2. Tìm quỹ tích giao điểm Q của hai

đường thẳng A1B2 và A2B1.

67. Cho hai điểm A, A’  Ox và hai điểm B, B’  Oy sao cho hai đường

thẳng AB và A’B’ cắt nhau tại Q. CMR: trung điểm của các đoạn thẳng OQ,

AB’ và A’B thẳng hàng.

68. Hai đường thẳng có phương trình 1: 2x – 3y +1 = 0, 2: 4x + y – 5 = 0.

Gọi A = 1  2. Tìm trên 1 và 2 hai điểm B và C sao cho ABC có trọng tâm

G(3; 5).

69. Hai đường thẳng 1: A1x + B1y +C = 0, 2: A2x + B2y + C = 0. Một điểm

I(x0; y0) 1, 2.

a) Tìm điều kiện để điểm M(x; y) nằm trong góc chứa điểm I tạo thành bởi
hai đường thẳng đó.

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường phân giác của góc nói trên.
70. Cho A, B nằm trên elíp có tâm O sao cho OA  OB. Chứng minh

rằng:

2
2

1
1

OB

OA  có giá trị khơng đổi.

71. Hai đỉnh đối diện của một hình ình hành nằm trên hypebol (H), các canh
của hình bình hành song song với các đường tiệm cận của hypebol (H). Chứng
minh rằng đường thẳng nối hai đỉnh đối diện cịn lại của hình bình hành ln ln
đi qua tâm đối xứng của (H).

72. Cho đường thẳng : Ax + By + C = 0 và điểm I(x0; y0).

a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng  qua điểm I.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16></div>

hinh hoc chuong 3

.0

2

2

1

1













































.0

.0

.0

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

<i>ac</i>

<i>ac</i>

<i>cb</i>

<i>cb</i>

<i>ba</i>

<i>ba</i>

22

11

22

11

22

11

<i>ac</i>

<i>ac</i>

<i>cb</i>

<i>cb</i>

<i>ba</i>

<i>ba</i>



(

).0



















<i>b</i>

<i>a</i>

<i>bt</i>

<i>yy</i>

<i>at</i>

<i>xx</i>

