Bat dang thuc co loi giai hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.54 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BẤT

Đ

ẲNG THỨC VÀ H

Ư

ỚNG DẪN

1.

Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh:

b c c a a ba  b  c 32

  

Hướng dẫn:

Ta đặt

2
2
2

y z x
a

x b c

x z y

y c a b

z a b x y z

c

 




 

 

 

 

   

 

   

   





nên BĐT

 12 y z x x x z y y x y z z 23

 

x y y z z x 2 x y. 2 y z. 2 z x. 6

y x z y x z y x z y x z

     

          

 

   

(đúng)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

 a b c 

2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:

x2y2z2 3

.

Chứng minh :

xy yz zx 3

z  x  y 

Hướng dẫn:

Đặt

xy
a

z
yz
b

x

zx
c

y
















với

a b c, , 0

từ giả thiết

x2y2z2 3  ab bc ca  3

Và BĐT cần CM



CM BĐT

a b c  3

mặt khác ta có BĐT sau:

a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3(ab bc ca) 3

           

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

 x  y z 1

3. Cho x, y, z >0 thoả

x y z  1

. Chứng minh:

1 4 9 36

x yz 

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có thể đặt:

a
x

a b c
b
y

a b c
c
z

a b c




  








 





  



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nên BĐT



CM

a b c 4.a b c 9.a b c 36

a b c

     

  

b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22

a a b b c c

      

b 4.a c 9.a 4.c 9.b 2 b.4.a 2 c.9.a 2 4. .9.c b 22

a b a c b c a b a c b c

     

          

     

(đúng)

Dấu “=” xảy ra

1
6

2 1

3 3

1
2

x
b a

y
c a

z








 

    



 






4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:

xyz(x y z y z x z x y  )(   )(   )

Hướng dẫn:

Ta đặt

x b c
y c a
z a b
 



 

  



với

a b c, , 0

nên BĐT



CM BĐT

(a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

mặt khác ta có

(a b b c c a)( )( ) 8abc a b c( )2 b c a( )2 c a b( )2 0

          

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

 x y z

5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

Chứng minh :

a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

b c a

     

      

     

     

Hướng dẫn:

Do

abc1

nên ta có thể đặt

x
a

y
y
b

z
z
c

x
















với

x y z, , 0

Nên BĐT có thể viết lại

x 1 z y 1 x z 1 y 1

y y z z x x

     

      

     

   

 

 xyz(x y z y z x z x y  )(   )(   )

(đã CM ở VD4)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

Chứng minh :

3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2

a b c b c a c a b 

Hướng dẫn:

Ta đặt

1
1

a
x
b

y
c

z
















với

x y z, , 0

và do

abc1

nên

xyz1

Nên BĐT

2 2 2 3

x y z

y z z x x y

   

  

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:



 







2 2 2

x y z

y z z x x y x y z

y z z x x y

 

           

    

 

2 2 2 33 3

2 2 2

xyz

x y z x y z

y z z x x y

   

     

  

 

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

 a b c  1

7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

xyz   x y z 2

.

Chứng minh :

x y z  xyz

Hướng dẫn:

Từ

2 1 1 1 1

1 1 1

xyz x y z

x y z

       

  

Ta đặt

1 , 1 , 1

1x a 1y b1z c

với

a b c, , 0

1 1 1

, ,

a b c b a c c a b

x y z

a a b b c c

     

      

Nên BĐT cần CM



CM BĐT

. . . 3

a b b c c a

b c c a   c a a b   a b b c  

Mặt khác ta có:

. 1

a b a b

b c c a a c b c

 

   

     

. 1
2

b c b c

c a a b b a c a

 

   

     

. 1
2

c a c a

a b b c c b a b

 

   

     

Nên

. . . 1 3

2 2

a b b c c a a b b c c a

b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b

 

         

             

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dấu “=” xảy ra

 x  y z 2

8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a

2

+b

2

+1



ab+a+b

a

2

+b

2

+c

2

+d

2

+e

2



a(b+c+d+e)

a

3

+b

3



ab(a+b)

a

4

+b

4



a

3

b+ab

3

Hướng dẫn:

a) a2+b2+1

 ab+a+b
 2a2+2b2+2 2ab+2a+2b

(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)  0
( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2  0

Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+1

 ab+a+b với mọi a,b

b) a2+b2+c2+d2+e2

 a(b+c+d+e)
 a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e) 0

 0

4
4

2
2













































 ab b a ac c a ad d a ae e

a

 0

2
2


















 b a c a d a e

a

Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+c2+d2+e2

 a(b+c+d+e)

c) a3+b3

 ab(a+b)  a3+b3 - ab(a+b)  0  (a+b)2(a2-2ab+b2)  0

 (a+b)2(a-b)2 0

Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a3+b3

 ab(a+b)

d) a4+b4

 a3b+ab3 (a4- a3b )+(b4-ab3)  0  a3(a- b )+b3(b-a)  0

 (a- b )( a3- b3)  0  (a- b )2( a2+ab+ b2)  0

 (a- b )2





















4
3
2

2
2

b
b

a  0

Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a4+b4

 a3b+ab3

9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a+b+c)

2



3(ab+bc+ca)

b) a

2

(1+b

2

)+b

2

(1+c

2

)+c

2

(1+a

2

)



6abc

Hướng dẫn:

a) (a+b+c)2

 3(ab+bc+ca)
 2(a+b+c)2  6(ab+bc+ca)

 2a2+2b2+2c2+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca 0
 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 0

Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)2

 3(ab+bc+ca)

b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 a2+a2b2+b2+b2c2+c2+c2a2-6abc 0
 (a-bc)2+(b-ac)2+(c-ab)2 0

Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)

 6abc

10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 .

Chứng minh rằng: a

4

+b

4



a

3

+b

3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 .

Chứng minh rằng: a

4

+b

4

+c

4



a

3

+b

3

+ c

3

Hướng dẫn:

a) a4+b4

 a3+b3

 2(a4+b4)  ( a3+b3)(a+b)
 (a-b)2 2 43 2 0




















b b

a

Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =21
b) a4+b4+c4

 a3+b3+ c3

3 ( a4+b4+c4 ) ( a3+b3+ c3)(a+b+c)

   2 43   2 43   2 34 2 0

2
2

2
2
2



































































 b a b b b c b c c c a c a a

</div>

Bat dang thuc co loi giai hay

<b> </b>

<b>BẤT </b>

<b> Đ</b>

<b> ẲNG THỨC VÀ H</b>

<b> Ư</b>

<b> ỚNG DẪN</b>

<b> </b>

<b> 1. </b>

<b>Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh: </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Ta đặt

nên BĐT

(đúng)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

<b> 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: </b>

<b>. </b>

<b> Chứng minh : </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Đặt

với

từ giả thiết

Và BĐT cần CM

CM BĐT

mặt khác ta có BĐT sau:

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

<b> 3. Cho x, y, z >0 thoả </b>

<b>. Chứng minh: </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Từ giả thiết ta có thể đặt:

Nên BĐT

CM

(đúng)

Dấu “=” xảy ra

<b> 4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: </b>

<b> Hướng dẫn:</b>

Ta đặt

với

nên BĐT

CM BĐT

mặt khác ta có

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

<b> 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .</b>

<b> Chứng minh : </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Do

nên ta có thể đặt

với

Nên BĐT có thể viết lại

<b> </b>

<b> </b>

(đã CM ở VD4)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.

<b> 6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .</b>

<b> Chứng minh : </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Ta đặt

với

và do

nên

Nên BĐT

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:



 

 







Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

<b> 7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: </b>

<b>. </b>

<b> Chứng minh : </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

Từ

Ta đặt

với