NBV 0h2 2 TÍCH vô HƯỚNG HAI VECTO và ỨNG DỤNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (401.67 KB, 21 trang )
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
TỐN 10
0H2-2
ĐT:0946798489
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC TO VÀ ỨNG DỤNG
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG........................................................................................................................................ 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ .......................................................................................................... 3
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC .......................................................... 4
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ ..................................................................... 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 7
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG........................................................................................................................................ 7
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GĨC CỦA HAI VÉCTƠ ........................................................................................................ 12
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC ........................................................ 13
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ ................................................................... 18
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG
Câu 1.
Cho hai vectơ u 2; 1 , v 3; 4 . Tích u.v là
Câu 2.
A. 11.
B. 10.
C. 5.
D. 2.
Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho a 2;5 và b 3;1 . Khi đó, giá trị của a.b bằng
B. 1.
A. 5 .
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Cho
A. 16 .
A 0;3 B 4;0 C 2; 5
;
;
. Tính AB.BC .
B. 9 .
C. 10 .
D. 1.
D. 9 .
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u i 3 j và
v 2 j 2i . Tính u.v .
A. u.v 4 .
B. u.v 4 .
C. u.v 2 .
D. u.v 2 .
Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j ; v 2; 1 . Tính biểu thức tọa độ của u.v .
A. u.v 1 .
B. u.v 1 .
C. u.v 2; 3 .
D. u.v 5 2 .
Cho hai véctơ a và b đều khác véctơ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a.b a . b .
B. a.b a . b .cos a, b .
C. a.b a.b .cos a, b . D. a.b a . b .sin a, b .
Câu 7.
C. 13 .
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4a .Tích vô hướng của hai vectơ AB và AC là
A. 8a 2 .
B. 8a .
C. 8 3a 2 .
D. 8 3a .
Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình vng ABCD có
cạnh a Tính AB. AD .
a 2
A. AB. AD 0 .
B. AB. AD a .
C. AB. AD .
D. AB. AD a 2 .
2
Câu 9.
Cho hai véc tơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
1 2 2 2
a b a b .
A. a.b a . b .cos a, b . B. a.b
2
1 2 2 2
2 2 2
ab a b .
C. a . b a.b .
D. a.b
2
ˆ 900 Bˆ 600
ABC
AB
a
A
Câu 10. Cho tam giác
có
,
và
. Khi đó AC.CB bằng
2
2
A. 2a .
B. 2a .
C. 3a 2 .
D. 3a 2 .
Câu 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính tích vô hướng AB.BC .
a 2
a 2
a 2 3
a 2 3
A. AB.BC
.
B. AB.BC
. C. AB.BC
.
D. AB.BC
.
2
2
2
2
Câu 8.
Cho tam giác ABC vng tại A có AB a; AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vơ hướng
BA. AM
a2
a2
2
2
.
A.
B. a .
C. a .
D. .
2
2
60 . Tích vơ hướng AB. AD bằng
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD
1
1
A. 1 .
B. 1.
C. .
D. .
2
2
60 . Tích vơ hướng BA.BC bằng
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD
1
1
A. 1 .
B.
C. 1 .
D. .
2
2
Câu 12.
Câu 15.
60 . Độ dài đường chéo AC bằng
Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD
7
A. 5 .
B. 7 .
C. 5 .
D. .
2
60 . Độ dài đường chéo BD bằng
Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD
A. 3 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 3 .
Câu 17. Cho các véc tơ a , b và c thỏa mãn các điều kiện a x, b y và z c và a b 3c 0 . Tính
A a.b b.c c.a .
3x 2 z 2 y 2
3z 2 x 2 y 2
3 y 2 x2 z 2
3z 2 x 2 y 2
A. A
. B. A
. C. A
. D. A
.
2
2
2
2
Câu 18. Cho ABC đều; AB 6 và M là trung điểm của BC . Tích vơ hướng AB.MA bằng
A. 18 .
B. 27 .
C. 18 .
D. 27 .
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại B , BC a 3 . Tính AC.CB .
Câu 16.
Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2
a 3
a 3
2
.
C.
.
D. 3a .
2
2
Cho hai vectơ a và b . Biết a 2, b 3 và a, b 300 . Tính a b .
2
A. 3a .
Câu 20.
B.
A.
Câu 21.
2
11 .
B.
13 .
12 .
C.
D.
14 .
Cho hình thang ABCD vng tại A và D ; AB AD a, CD 2a. Khi đó tích vơ hướng AC.BD
bằng
3a 2
a 2
A. a 2 .
B. 0 .
C.
.
D.
.
2
2
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC vng tại A có
AB a; BC 2 a . Tính tích vơ hướng BA.BC .
a 2
a 2 3
A. BA.BC a 2 .
B. BA.BC .
C. BA.BC 2a 2 .
D. BA.BC
.
2
2
Câu 23. Cho tam giác ABC vng tại A có AB 4 . Kết quả BA.BC bằng
A. 16 .
B. 0 .
C. 4 2 .
D. 4 .
Câu 22.
Câu 24.
30, AC 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính giá trị
Cho tam giác ABC vng tại A có B
của biểu thức P AM . BM .
A. P 2 .
Câu 25.
B. P 2 3 .
C. P 2 .
60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD
AK 2 DK . Tính tích vơ hướng BK . AC
A. 3a 2 .
B. 6a 2 .
C. 0 .
Câu 26. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì AB. AC bằng:
A. -20.
B. 40.
C. 10.
Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8, AD 5 . Tích AB.BD
A. AB.BD 62 .
B. AB.BD 64 .
C. AB.BD 62 .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 28.
D. P 2 3 .
D. a 2 .
D. 20.
D. AB.BD 64 .
a
b
0
a
b
Cho hai vectơ và khác . Xác định góc
giữa hai vectơ và biết a.b a . b .
0
A. 90 .
0
B. 0 .
0
C. 45 .
0
D. 180 .
của tam giác ABC gần với giá trị nào
Tam giác ABC có A 1; 2 , B 0; 4 , C 3;1 . Góc BAC
dưới đây?
A. 90 .
B. 3652 .
C. 1437 .
D. 537 .
Câu 30. Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a, b
Câu 29.
bằng:
A. a; b 450 .
B. a; b 00 .
C. a; b 1800 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. a; b 900 .
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 31.
Câu 32.
ĐT:0946798489
a, b
(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hai véctơ
a 4; b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai véctơ a , b . Chọn phát biểu đúng.
thỏa
mãn:
3
D. cos .
8
Cho hai vectơ a 4;3 và b 1; 7 . Số đo góc giữa hai vectơ a và b bằng
A. 600 .
B. 300 .
0
A. 45 .
B. 900 .
1
C. cos .
3
0
0
C. 60 .
D. 30 .
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho a 2;5 , b 3; 7 . Tính góc giữa hai véctơ a và
b.
A. 60 .
B. 120 .
C. 45 .
D. 135 .
Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 2;1 và b 3; 6 . Góc giữa hai vectơ a và b bằng
A. 0 .
B. 90 .
C. 180 .
D. 60 .
1
a
b
0
a
Câu 35. Cho hai vectơ ; khác vectơ thỏa mãn a.b a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ ; b là
2
A. 60 .
B. 120 .
C. 150 .
D. 30 .
Câu 36. Cho véc tơ a 1; 2 . Với giá trị nào của y thì véc tơ b 3; y tạo với véctơ a một góc 45
y 1
y 1
B.
.
C.
.
D. y 1 .
y 9
y 9
Câu 37. Cho hai vecto a , b sao cho a 2 , b 2 và hai véc tơ x a b , y 2a b vng góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b .
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 30 .
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC
A. y 9 .
Tìm x để hai vectơ a ( x; 2) và b (2; 3) có giá vng góc với nhau.
A. 3.
B. 0.
C. 3 .
D. 2.
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u 3; 4 và v 8; 6 . Khẳng định nào đúng?
A. u v .
B. u vng góc với v .
C. u v .
D. u và v cùng phương.
Câu 38.
Câu 40.
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1;2 , B 3;1 . Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho
tam giác A B C vuông tại A .
A. C 6;0 .
B. C 0;6 .
C. C 6;0 .
D. C 0; 6 .
Câu 41.
Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 0;3 , C 5; 2 . Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của
tam giác ABC .
A. 0;3 .
Câu 42.
B. 0; 3 .
C. 3;0 .
D. 3;0 .
Cho tam giác ABC có A 1;0 , B 4;0 , C 0; m , m 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G .
A. m 6 .
B. m 3 6 .
C. m 3 6 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. m 6 .
4
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Câu 43.
Cho tam giác ABC có A 1; 1 , B 3; 3 , C 6;0 . Diện tích DABC là
A. 6.
Câu 44.
Câu 45.
B. 6 2 .
C. 12.
D. 9.
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B 1;3 và C 3;1 . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác
ABC vng cân tại A .
A. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
B. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
C. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
D. A 0;0 hoặc A 2;4 .
Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm A 0; 4 , B 3; 4 , C 3;0 .
A.
Câu 46.
ĐT:0946798489
5
.
2
B.
10
.
2
C. 5 .
D. 3 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;0 ; B 1;1 ; C 5; 1 . Tọa độ trực tâm
H của tam giác ABC là
A. H 1; 9 .
B. H 8; 27 .
C. H 2;5 .
D. H 3;14 .
Câu 47.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A(1;1), B (1;3) và trọng tâm là
2
G 2; . Tìm tọa đợ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M .
3
A. M 0; 3 .
B. M 0;3 .
C. M 0; 4 .
D. M 0; 4 .
Câu 48.
Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 , C 3; 8 .Tọa độ chân đường
cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là
A. 1; 4 .
B. 1; 4 .
C. 1; 4 .
D. 4;1 .
Câu 49.
Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy M , N , P lần lượt nằm trên ba cạnh BC , CA, AB sao cho
BM 2 MC , AC 3 AN , AP x , x 0 . Tìm x để AM vng góc với NP .
4a
7a
5a
a
A. x
.
B. x .
C. x
.
D. x
.
5
12
12
2
Câu 50.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A 3; 1 , B 1; 2 và I 1; 1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a; b . Tính a 3b.
2
A. a 3b .
3
4
B. a 3b .
3
C. a 3b 1.
D. a 3b 2.
Câu 51.
Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB 2a , các cạnh đáy AD a và BC 3a . Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k AC . Tìm k để BM CD
4
3
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
9
7
3
5
Câu 52.
(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
A 3; 0 , B 3; 0 và C 2; 6 . Gọi H a; b là tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính a 6b .
A. a 6b 5 .
D. a 6b 8 .
2
Câu 53. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là :
A. Đường trịn đường kính BC .
B. Đường tròn B; BC .
C. Đường tròn C ; CB .
B. a 6b 6 .
C. a 6b 7 .
D. Một đường khác.
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 54. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB CA.CB là :
A. Đường trịn đường kính AB .
B. Đường thẳng đi qua A và vng góc với BC .
C. Đường thẳng đi qua B và vng góc với AC .
D. Đường thẳng đi qua C và vng góc với AB .
Câu 55. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB 2 KC 0 .
Một điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3MK AK . MA MB 2MC 0 .
Tập hợp điểm M là đường nào trong các đường sau.
A. Đường trịn đường kính IJ .
B. Đường trịn đường kính IK .
C. Đường trịn đường kính JK .
D. Đường trung trực đoạn JK .
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ
Câu 56.
Câu 57.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho AB 6; 2 . Tính AB ?
A. AB 2 10 .
B. AB 20 .
C. AB 4 10 .
Cho hai điểm A 1;0 và B 3;3 . Tính độ dài đoạn thẳng AB .
A. AB 13 .
Câu 58.
Câu 59.
B. AB 3 2 .
C. AB 4 .
D. AB 5 .
Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA 4 . Tính 2OA OB .
A. 2OA OB 4 .
B. 2OA OB 2 .
C. 2OA OB 12 .
D. 2OA OB 4 5 .
Cho hình thang vng ABCD vng tại A , D ; AB CD ; AB 2a ; AD DC a . O là trung
điểm của AD . Độ dài vectơ tổng OB OC bằng
A.
Câu 60.
D. AB 2 10 .
a
.
2
B.
3a
.
2
C. a .
D. 3a .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1; 2 ; B 1;1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn
tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài đoạn OM bằng
5
3
1
A. .
B. .
C. .
2
2
2
D.
7
.
2
Cho ABC đều cạnh 2a với M là trung điểm BC . Khẳng định nào đúng?
a 3
a 3
A. MB MC .
B. AM
.
C. AM
.
D. AM a 3 .
2
2
Câu 62. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a ; CD 6a thì AB CD ?
Câu 61.
Câu 63.
Câu 64.
A. 4a .
B. 8a .
C. 2a .
D. 4a .
Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a . Khi đó 2 AB AC bằng
A. a 3 .
B. a 5 .
C. 5a .
Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
D. 2a .
A 2;1 B 2; 1 C 2; 3 D 2; 1
,
,
,
. Xét ba mệnh đề:
Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
I ABCD là hình thoi.
II ABCD là hình bình hành.
III AC cắt BD tại M 0; 1 .
Chọn khẳng định đúng
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Chỉ II và III đúng.
Câu 65.
D. Cả ba đều đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có A 1;4 , B 2;5 , C 2;7 . Hỏi tọa độ điểm I
tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là cặp số nào?
A. 2;6 .
B. 0;6 .
C. 0;12 .
Câu 66.
D. 2;6 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A 1; 17 ; B 11; 25 . Tìm tọa độ điểm C thuộc
tia BA sao cho BC 13.
A. C 14; 27 .
B. C 8; 23 .
C. C 14; 27 và C 8; 23 .
Câu 67.
D. C 14; 27 và C 8; 23 .
(THPT NƠNG CỐNG - THANH HĨA LẦN 1_2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A ,
a 2
BC a 3 , M là trung điểm của BC và có AM .BC
. Tính cạnh AB, AC .
2
A. AB a, AC a 2 . B. AB a , AC a .
C. AB a 2, AC a . D. AB a 2, AC a 2 .
Câu 68.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 3;1 . Giả sử A a ;0 và B 0; b (với a, b là các số
thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính
giá trị của biểu thức T a 2 b2 .
A. T 10 .
B. T 9 .
C. T 5 .
D. T 17 .
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG
Chọn B
u 2; 1
Với
u .v 2. 3 1 4 10
v 3; 4
Chọn D
Ta có a.b 2. 3 5.1 1 .
Chọn
D
Ta có AB 4; 3 ; BC 6; 5
Vậy AB.BC 4. 6 3 . 5 9 .
Chọn B
Theo giả thiết ta có u 1;3 và v 2; 2 .
Khi đó u.v 1. 2 3.2 4 .
Chọn A
Ta có u i 3 j u 1;3 .
Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Vậy u.v 1.2 3. 1 1 .
Câu 6.
Chọn B
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ.
Câu 7.
Chọn A
1
Ta có AB. AC AB . AC cos AB, AC 4a.4a.cos 60 4a.4a. 8a 2 .
2
Câu 8.
Chọn A
Vì ABCD là hình vng nên AB CD do đó AB. AD 0 .
Câu 9.
Chọn C
2
2 2 2
a.b a . b .cos a, b a . b .cos2 a, b nên C sai.
Câu 10. Chọn D
Gọi D là điểm đối xứng với A qua C .
3
2
Khi đó: AC.CB CD.CB CD.CB.cos150 a 3.2a.
.
2 3a
Câu 11.
Chọn D
a2
Ta có AB.BC AB BC cos AB, BC a.a.cos120 .
2
Câu 12. Chọn D
A
B
M
C
Ta có tam giác ABC vng tại A và có AM là trung tuyến nên AM
AM
BC
2
AB 2 AC 2
2
BC
.
2
a 2 3a 2
a.
2
60 .
Tam giác AMB có AB BM AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB
a2
Ta có BA. AM AB. AM AB . AM .cos ( AB , AM ) a.a.cos 60 .
2
Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 13.
ĐT:0946798489
Chọn B
D
A
C
B
2.1.cos 60 1 .
AB. AD AB . AD .cos AB; AD AB. AD.cos BAD
Câu 14.
Chọn C
D
A
C
B
60
Theo giả thiết: BAD
ABC 120 .
BA.BC BA . BC .cos BA; BC AB.BC.cos
ABC 2.1.cos120 1 .
Câu 15.
Chọn B
D
A
C
B
Ta có:
2 2 2
AC AB AD AC AB AD 2 AB. AD AC 2 22 12 2.1 AC 7 .
Câu 16.
Chọn A
D
A
C
B
2 2 2
BD BA BC BD BA BC 2 BA.BC BD 2 22 12 2. 1
BD 3 .
Câu 17. Chọn B
a b 3c 0 a b c 2c .
2 2 2
2
a b c 2 A 4c .
2
2
a b c 2c .
Sử dụng tính chất bình phương vơ hướng bằng bình phương độ dài ta có:
3z 2 x 2 y 2
x2 y2 z 2 2 A 4 z 2 A
. Vậy chọn đáp án B.
2
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 18.
ĐT:0946798489
Chọn D
A
B
30 .
Ta có AB, AM BAM
6 3
AB.MA AB. AM AB . AM .cos AB, AM 6.
.cos 30 27 .
2
Chọn D
Câu 19.
C
M
A
C
B
CB
ACB AC.CB.
BC 2 3a 2 .
Ta có AC.CB AC . CB .cos AC, CB AC.CB.cos
AC
Câu 20. Chọn B
Ta có: a b
ab
Câu 21.
2
2
a 2 b2 2ab a 2 b 2 2 a . b .cos a, b ,
4 3 2.2. 3.cos300 13 a b 13 .
Chọn A
Ta có: AC.BD AD DC AD AB
AD 2 AB AD AB
AD 2 2 AB 2 AD. AB
AD 2 2 AB 2 a 2 .
A
B
C
H
Câu 22.
Chọn A
Vẽ AH BC , H BC .
Có BA.BC BH .BC BH .BC BA2 a 2 (theo tính chất tích vơ hướng và phép chiếu).
Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Câu 23.
ĐT:0946798489
Chọn A
AB
4
ABC
Vì BA.BC
ABC nên cos BA.BC cos
.
BC BC
4
4.4 16
Do đó BA.BC BA . BC .cos BA.BC AB.BC.
BC
Câu 24.
.
Chọn A
C
M
30°
A
B
2
Ta có: P AM . BM ( AB BM ). BM AB. BM BM
AC
BC
4; AB AC.cot 30 2 3; BM 2
sin 30
2
BM 4; AB. BM 2 3.2.cos150 6 P 2 ⇒ Chọn A
Câu 25. Chọn D
B
C
O
A
K
D
2
Ta có BK AB AD ; AC AB AD
3
2
2
1
Khi đó BK . AC ( AB AD )( AB AD ) AB 2 AD 2 AB AD
3
3
3
2
1
BK . AC 4a 2 .9a 2 2a.3a.cos 60 a 2
3
3
Câu 26. Chọn D
82 52 7 2 1
cos AB, AC
2.5.8
2
1
AB. AC AB. AC .cos AB, AC 5.8. 20
2
Câu 27. Chọn B
A
D
B
E
C
Giả sử E là điểm đối xứng với A qua B ta có AB BE
Xét ABD có BD AB 2 AD 2 89
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
AB
8
8
cos
Xét ABD có cos
ABD
suy ra cos AB; BD cosDBE
ABD
BD
89
89
8
Ta có AB.BD AB . BD .cos AB; BD 8. 89.
64
89
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 28. Chọn D
0
Ta có: a.b a . b .cos . Mà a.b a . b nên cos 1 . Suy ra, 180 .
Câu 29.
Chọn C
Ta có AB 1; 2 ; AC 2; 1 .
AB. AC
2 2 4
1437 .
cos BAC
BAC
5
5. 5
AB . AC
Câu 30.
Chọn C
a.b
Ta có:
a.b
Câu 31.
a.b
0
cos a; b 1 a; b 180 .
a . b cos a, b
Chọn D
Ta có
2
a b 4 a b 16 a 2 2a.b b 2 16
42 2.4.3.cos 32 16 cos
3
8
Câu 32.
Chọn A
a.b
25
1
4.1 3.7
Ta có cos
nên 450 .
2
2
2
2
25 2
2
a.b
4 3 . 1 7
Câu 33.
Chọn D
2.3 5. 7
a.b
1
.
Ta có cos
4 25. 9 49
2
a .b
Câu 34.
Chọn B
2.3 1. 6
a.b
cos a, b
0 a, b 90 .
2
a.b
22 12 . 32 6
Câu 35.
Chọn A
Ta có a a .
1
1
Vậy a.b a . b cos a, b a . b cos a, b a, b 60 .
2
2
Câu 36. Chọn D
a.b
3 2y
Ta có: cos a, b
.
a.b
5. 9 y 2
Góc giữa hai véc tơ a và b bằng 45 suy ra cos a, b
Nguyễn Bảo Vương: />
3 2y
5. 9 y 2
2
1 .
2
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
6 4 y 0
90 10 y 2 6 4 y
2
2
90 10 y 6 4 y
3
y
y 1 .
2
2
y 8y 9 0
Câu 37. Chọn C
Vì hai véc tơ x a b , y 2a b vng góc với nhau nên
2 2
2 2
a b . 2a b 0 2a b a.b 0 2. a b a . b .cos a, b 0
2
2. 2 22 2.2.cos a, b 0 cos a, b 0 a, b 90 .
1
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC
Chọn A
Vectơ a ( x; 2) và b (2; 3) có giá vng góc với nhau a.b 0 2 x 6 0 x 3
Vậy x 3 .
Câu 39. Chọn B
Ta có: u.v 3. 8 4.6 0 . Do đó, u v .
Câu 40. Chọn B
C Oy C 0; y
AB 4; 1 , AC 1; y 2 .
AB 0
Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác vuông tại A AC 0 AB. AC 0 y 6.
AB AC
Vậy C 0;6 .
Câu 38.
Câu 41.
Chọn A
A
B
C
Ta có AB 1;1 ; AC 6; 4 ; BC 5; 5 .
Nhận thấy rằng AB. BC 1.5 1.(5) 0 nên tam giác ABC vuông tại B.
Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC trùng với đỉnh B 0;3 .
Câu13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ u 1; 2 và v 4m ; 2m 2 . Tìm m để vectơ
u vng góc với v .
1
1
A. m .
B. m . C. m 1 .
D. m 1 . Chọn A
2
2
1
Hai vectơ u v u.v 0 4m 2. 2m 2 0 8m 4 0 m .
2
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 42.
ĐT:0946798489
Chọn B
m
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , suy ra G 1; .
3
m
m
Ta có GA 2; ; GB 3; .
3
3
m2
Để tam giác GAB vuông tại G thì GA.GB 0 6
0 m 3 6 .
9
Câu 43. Chọn A
Ta có AB (2; 2) , BC 3;3
Ta thấy AB.BC 0 nên tam giác ABC vuông tại B .
Vậy S ABC
Câu 44.
1 1
AB . BC .2 2.3 2 6
2
2
Chọn B
Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
AB 2 AC 2
AB AC
Gọi A x ; y . Tam giác ABC vuông cân tại A
AB AC
AB. AC 0
1 x 2 3 y 2 3 x 2 1 y 2
2 x y
2 x y
2
2
2
x y 2x 4 y 0 x 2x 0
1 x 3 x 3 y 1 y 0
2 x y
x 0, y 0
.
x 0
x
2,
y
4
x 2
Vậy A 0;0 hoặc A 2; 4 .
Câu 45.
Chọn A
Tính được AB 3, BC 4 và AC 5 . Suy ra AB 2 BC 2 AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B .
1
5
Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp R AC .
2
2
Câu 46. Chọn B
AH
BC
BC 0 1
AH .
Gọi H x; y là trực tâm của tam giác ABC
.
BH AC
BH . AC 0
Ta có:
AH x 1; y ; BC 6; 2 ; BH x 1; y 1 , AC 4; 1 .
6 x 1 2. y 0
6 x 2 y 6 x 8 .
Suy ra: 1
4 x y 5
y 27
4
x
1
1.
y
1
0
Vậy H 8; 27 .
Câu 47.
Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A
G
B
I
C
Ta có G là trọng tâm ABC
x A xB xC
xC 3 2 1 1 6
x
G
xC 3 xG x A xB
3
2
yC 3 yG y A yB
y y A yB yC
yC 3. 1 3 2
3
G
3
C 6; 2
Ta có M Oy M 0; m
Gọi I là trung điểm của đoạn BC ta có:
xB xC
5
x
x
I
I
2
2 I 5; 1
2 2
y yB yC
y 1
I 2
I
2
Ta có
5
1
BM 1; m 3 ; CM 6; m 2 ; CB 7;5 ; IM ; m
2
2
m 3 m 2 6 0
BM .CM 0
MBC vuông cân tại M khi:
1
5
5 m 7. 0
IM .CB 0
2
2
m 2 m 12 0
m 3 M 0; 3 .
m 3
Câu 48. Chọn C
Gọi D x ; y là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC ta có AD.BC 0 và D , B , C thẳng
hàng
Mà AD x 4; y 3 ; BC 5; 15 ; BD x 2; y 7 nên ta có hệ
Câu 49.
x 4 3 y 3 0
x 1
.
3 x 2 y 7 0
y 4
Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
AB b
a2
Đặt , ta có b c a và b.c a.a.cos 600
2
AC c
2 2 1
Ta có AM AB BM b BC b c b b 2c
3
3
3
1 x
x 1 1
PN AN AP AC AB b c
3 xb ac
3
a
a
3
3a
Theo u cầu bài tốn ta có AM PN AM .PN 0 b 2c 3xb ac 0
2
2
a3
3xb a b.c 6 x b.c 2ac 0 3xa 2 3xa 2 2a 3 0
2
5a
.
x
12
Chọn A
Câu 50.
A
H
B
C
Giả sử C xC ; yC và H xH ; y H . Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
x A xB xC
xI
x 1
3
C 1; 4
C
yC 4
y A yB yC y
I
3
Ta có AH xH 3; yH 1 ; BC 2; 6
BH xH 1; yH 2 ; AC 2; 3
H là trực tâm tam giác ABC nên
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
10
xH
AH .BC 0
2 xH 3 6 yH 1 0
3
2 xH 1 3 yH 2 0
y 8
BH . AC 0
H
9
10
8
2
a ;b S .
3
9
3
Câu 51. Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B , điểm A thuộc trục Oy và
điểm C thuộc trục Ox .
Theo bài ra ta có B (0; 0), A(0; 2), C (3; 0), D (1; 2)
x 3t
Khi đó AC (3; 2) . Phương trình tham số của đthẳng AC là
y 2 2t
Gọi M AC M (3t ; 2 2t ) . Ta có BM (3t ; 2 2t ) và DC (2; 2) .
2
6 6
Để BM DC thì BM .DC 0 6t 4 4t 0 t M ; .
5
5 5
6 4
52
Khi đó AM ; AM
và AC 3; 2 AC 13 .
5
5 5
AM
52 2
Vì AM k AC và AM , AC cùng chiều k
.
AC 5 13 5
Câu 52. Chọn C
Ta có AH a 3; b , BC 1;6 , BH a 3; b , AC 5; 6 .
a 2
AH .BC 0
AH BC
a 6b 3
Vì H là trực tâm ABC nên
5.
BH AC
5a 6b 15
BH . AC 0
b 6
a 6b 7 .
Câu 53. Chọn A
2
2
CM .CB CM CM .CB CM 0 CM .MB 0 .
Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC .
Câu 54. Chọn B
CM .CB CA.CB CM .CB CA.CB 0 CM CA .CB 0 AM .CB 0 .
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vng góc với BC .
Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A
I
K
Câu 55.
B
C
J
Chọn C
Ta có: MA MB 2MC 4MK KA KB 2 KC 4MK .
1
AB AC
Lấy điểm J thỏa mãn AK 3KJ . Ta có AK AI AC
, mà AK 3KJ nên
2
4
2
1 4 1 2
AJ AK KJ AK AK AK AB AC .
3
3
3
3
1 2
2 2 2
Lại có BJ AJ AB AB AC AB AB AC BC .
3
3
3
3
3
2
Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức BJ BC .
3
Ta có 3MK AK 3MK 3KJ 3MJ .
Như vậy 3MK AK . MA MB 2MC 0 3MJ . 4MK 0 MJ .MK 0 .
Từ đó suy ra điểm M thuộc đường trịn đường kính JK .
Vì J , K là các điểm cố định nên điểm M ln thuộc một đường trịn đường kính JK là đường
trịn cố định (đpcm).
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ
Câu 56. Chọn A
AB 62 22 40 2 10
Câu 57.
Chọn D
AB
Câu 58.
3 1
2
2
3 0 5 .
Chọn D
O
A
B
D
Gọi D là điểm đối xứng của O qua A .
2OA OB OD OB BD BD OB2 OD 2 82 42 4 5
Câu 59.
Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
C
D
I
O
B
A
Gọi I là trung điểm của BC OB OC 2OI OB OC 2OI .
Xét hình thang ABCD có OI là đường trung bình OI
Vậy OB OC 3a .
Câu 60.
Chọn B
Điểm M thuộc trục Oy M 0; y .
Ta
có
tam
giác
MAB
4 4 y 1 2 y y
Câu 61.
AB CD 3a
.
2
2
cân
tại
2
M MA MB 12 2 y
2
3
3
. Vậy OM .
2
2
Chọn D
Độ dài đường cao AM trong tam giác đều cạnh 2a là:
Vậy khẳng định đúng là AM a 3 .
2a 3
a 3.
2
Câu 62.
Chọn D
Hai vectơ AB và CD ngược hướng nhau nên AB CD CD AB 4a .
Câu 63.
Chọn B
2
2
2 AB 4 AB. AC AC 4 AB 2 AC 2 ( vì AB AC AB. AC 0 )
4a 2 a 2 5a 2 2 AB AC a 5 .
Ta có: 2 AB AC
Câu 64.
2
1 1 y
2
Chọn C
Ta có AB 0; 2 ; DC 0; 2 ; AC 4; 4 .
Suy ra AB , AC không cùng phương và AB DC .
Nên ABCD là hình bình hành. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Suy ra AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường và điểm đó có tọa độ M (0; 1) , suy ra (III) đúng.
Ta có AB 0; 2 , suy ra AB 2 2 ; AD 4; 2 , suy ra AD 20 , nên AB AD , suy
ra ABCD khơng là hình thoi. Mệnh đề (I) sai.
Câu 65. Chọn B
Ta có:
AB 3;1 AB 10 .
AC 1;3 AC 10 .
BC 4; 2 BC 20 .
Nhận thấy AB 2 AC 2 BC 2 và AB AC nên ABC là tam giác vuông cân tại A , suy ra tâm
I là trung điểm cạnh huyền BC . Vậy I 0;6 .
Câu 66. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Giả sử C xC ; yC . Theo bài ra ta có C thuộc tia BA nên BC ; BA cùng hướng.
x 11 yC 25
k
Với BC xC 11; yC 25 ; BA 12;8 ta có: BC k BA k 0 C
12
8
8 x 212
2 x 53
yC C
(1)
8 xC 12 yC 212 0 yC C
12
3
+) BC 13
2
xC 11 yC 25
2
2
2
13 xC 11 yC 25 13 (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
2
2
2 x 53
13
2
2
2 x 22
25 13 xC 11 C
xC 11 C
13 xC 11 13
9
3
3
xC 14
2
xC 11 9
xC 8
2.(14) 53
27 .
Với xC 14 thế vào (1) ta được: yC
3
14 11 3 1
0 (loại).
Khi đó k
12
12 4
2.(8) 53
23 .
Với xC 8 thế vào (1) ta được: yC
3
8 11 3 1
0 (thỏa mãn).
Khi đó k
12
12 4
Vậy C 8; 23 .
2
B
H
Câu 67.
M
A
C
Chọn A
Vẽ AH BC , H BC .
Có HM là hình chiếu của AM lên BC .
a 2
Suy ra AM BC HM .BC , mà AM BC
, BC a 3 .
2
a2
a 3
Suy ra HM cùng chiều BC và HM .BC
, HM
.
6
2
a 3 a 3 a 3
Có BH BM HM
.
2
6
3
Có AB 2 BH .BC a 2 AB a và AC a 2 .
Vậy AB a và AC a 2 .
Câu 68. Chọn A
Ta có MA a 3; 1 , MB 3; b 1 . MAB là tam giác vuông tại M khi và chỉ khi
MA.MB 0 3 a 3 b 1 0 b 10 3a *
Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Với a 0, b 0 suy ra 0 a
ĐT:0946798489
10
**
3
1
1
3
3
3 3
2
2
2
MA.MB
a 3 1. 9 b 1 a 2 6a 10 a 3 .
2
2
2
2
2 2
3
Do đó min S MAB đạt được khi a 3 (thỏa mãn điều kiện ** ), khi đó b 1 .
2
2
2
Vậy T a b 10 .
SMAB
Nguyễn Bảo Vương: />
21
