CHUYEN DE NHI THUC NIUTON

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>ThS. </b></i>ð<i><b>oàn V</b></i>ươ<i><b>ng Nguyên toancapba.com </b></i>

<i><b>CHUYÊN ðỀ </b></i>

<b>NH</b>

Ị

<b> TH</b>

Ứ

<b>C NEWTON </b>

<b>A. TÓM T</b>Ắ<b>T GIÁO KHOA VÀ PH</b>ƯƠ<b>NG PHÁP GI</b>Ả<b>I TOÁN </b>

ðỊ<b>NH NGH</b>Ĩ<b>A </b>

Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:

(

)

n _{0 n} _{1 n 1} _{2 n 2 2} _{k n k k} _{n n}

n n n n n

a +b = C a +C a − b+C a − b +...+C a − b +...+C b

n

k n k k
n

k 0

C a − b (n 0, 1, 2, ...)

=

=

∑

= .

Số hạng thứ k+1 là T_{k 1}₊ =C a_nk n k k− b ,

(

)

k
n

n !
C

k ! n k !
=

− , thường ñược gọi là số hạng tổng quát.
<b>Tính ch</b>ấ<b>t </b>

i) Ck_n = Cn k_n− (0 ≤ ≤k n).

ii) C_nk +Ck 1_n− = C_{n 1}k₊ (1≤ ≤k n).

<b>PH</b>ƯƠ<b>NG PHÁP GI</b>Ả<b>I TỐN </b>

<b>I. Dùng </b>đị<b>nh ngh</b>ĩ<b>a và tính ch</b>ấ<b>t ch</b>ứ<b>ng minh ho</b>ặ<b>c rút g</b>ọ<b>n </b>đẳ<b>ng th</b>ứ<b>c </b>

<b>Ví d</b>ụ<b> 1. Ch</b>ứng minh ñẳng thức C_nk +3Ck 1_n− +3C_nk 2− +Ck 3_n− = C_{n 3}k₊ với 3 ≤ ≤k n.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Áp dụng tính chất ta có:

k k 1 k 2 k 3

n n n n

C +3C − +3C − +C − =

(

C_nk +C_nk 1−

) (

+2 Ck 1_n− +Ck 2_n−

) (

+ Ck 2_n− +Ck 3_n−

)

= Ck_{n 1}₊ +2C_{n 1}k 1−₊ +Ck 2_{n 1}₊− =

(

Ck_{n 1}₊ +Ck 1_{n 1}−₊

) (

+ Ck 1_{n 1}−₊ +Ck 2_{n 1}−₊

)

= C_{n 2}k₊ +Ck 1_{n 2}−₊ = Ck_{n 3}₊ .

<b>Ví d</b>ụ<b> 2. Tính t</b>ổng S= C14₃₀−C15₃₀ +C16₃₀ − −... C29₃₀ +C₃₀30.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Áp dụng tính chất ta có:

(

13 14

) (

14 15

) (

15 16

)

(

28 29

)

30

29 29 29 29 29 29 29 29 30

S = C +C − C +C + C +C − −... C +C +C
= C13₂₉ −C₂₉29 +C30₃₀ = C13₂₉.

<i><b>Cách khác: </b></i>

(

)

30

(

₀ ₁₂ ₁₃

) (

₁₄ ₂₉ ₃₀

)

30 30 30 30 30 30

1−1 = C −...+C −C + C − −... C +C

(

30 18 17

) (

14 29 30

)

30 30 30 30 30 30

C ... C C C ... C C 0

⇒ − + − + − − + =

(

16 15 14

)

30 30 30

S C C C S 0

⇒ − + − + =

16 15 14 14 15
30 30 30 30 30

2S C C C 2C C

⇒ = − + = − .

Vậy

14 15
30 30

2C C

S 67863915

2
−

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Ví d</b>ụ<b> 3. Rút g</b>ọn tổng:

0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0
2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1
S = C C +C C +C C +...+C C +...+C C .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Áp dụng cơng thức ta có:

(

)

k 2006-k
2007 2007-k

2007 ! (2007 k)!

C C .

k ! 2007 k ! (2006 k)!1!
−
=

− −

(

)

(

)

2007 ! 2006 !

2007.

k ! 2006 k ! k ! 2006 k !

= =

− −

= 2007Ck₂₀₀₆ với ∀ =k 0, 1, 2, ..., 2006.
Suy ra:

(

₀ ₁ _k ₂₀₀₆

)

(

)

2006

2006 2006 2006 2006

S =2007 C +C +...+C +...+C = 2007 1+1 .
Vậy S = 2007.22006.

<b>II. Khai tri</b>ể<b>n nh</b>ị<b> th</b>ứ<b>c Newton </b>
<b>1. D</b>ạ<b>ng khai tri</b>ể<b>n </b>

<b>D</b>ấ<b>u hi</b>ệ<b>u nh</b>ậ<b>n bi</b>ế<b>t: </b>

Các hệ sốñứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau.
i) Khai triển

(

a +b

)

n hoặc

(

a−b

)

n.

ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên.

<b>Ví d</b>ụ<b> 4. Tính t</b>ổng S= C₂₀₀₇0 −2C1₂₀₀₇ +2 C2 ₂₀₀₇2 −2 C3 ₂₀₀₇3 +...+22006C₂₀₀₇2006 −22007C₂₀₀₇2007.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007

(1−2) = C −2C +2 C −...+2 C −2 C .
Vậy S = −1.

<b>Ví d</b>ụ<b> 5. Rút g</b>ọn tổng S= C₂₀₀₇0 +3 C2 2₂₀₀₇ +3 C4 ₂₀₀₇4 +...+32004C₂₀₀₇2004 +32006C₂₀₀₇2006.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có các khai triển:

2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007

(1+3) = C +3C +3 C +...+3 C +3 C (1)
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007

(1−3) = C −3C + 3 C −...+3 C −3 C (2)
Cộng (1) và (2) ta ñược:

(

0 2 2 4 4 2006 2006

)

2007 2007

2007 2007 2007 2007

2 C +3 C + 3 C +...+3 C = 4 −2 .
Vậy S = 22006

(

22007 −1

)

.

<b>Ví d</b>ụ<b> 6. Rút g</b>ọn tổng S= 32006.2C1₂₀₀₇ +32004.2 C3 ₂₀₀₇3 +32002.2 C5 ₂₀₀₇5 +...+22007C₂₀₀₇2007.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có các khai triển:
2007

(3+2) = 32007C₂₀₀₇0 +32006.2C1₂₀₀₇ +32005.2 C2 ₂₀₀₇2 +...+3.22006C₂₀₀₇2006 +22007C₂₀₀₇2007 (1)
2007

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(

2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007

)

2007

2007 2007 2007 2007

2 3 .2C +3 .2 C +3 .2 C +...+2 C = 5 −1.
Vậy

2007

5 1

S

2
−

= .

<b>2. D</b>ạ<b>ng </b>ñạ<b>o hàm </b>
<b>2.1. </b>ðạ<b>o hàm c</b>ấ<b>p 1 </b>
<b>D</b>ấ<b>u hi</b>ệ<b>u nh</b>ậ<b>n bi</b>ế<b>t: </b>

Các hệ sốñứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 ñến n (hoặc giảm từ n ñến 1) (không kể dấu).

<i><b>Hai khai tri</b></i>ể<i><b>n th</b></i>ườ<i><b>ng dùng: </b></i>

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{k k} _{n n}

n n n n n

1+x = C +C x+C x +...+C x +...+C x (1)

(

)

n ₀ ₁ _{2 2}

( )

k _{k k}

( )

n _{n n}

n n n n n

1−x = C −C x +C x −...+ −1 C x +...+ −1 C x (2)
i) ðạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2).

ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi ñã ñạo hàm rồi thay số thích hợp.

<b>Ví d</b>ụ<b> 7. Tính t</b>ổng S= C1₃₀−2.2C2₃₀ +3.2 C2 ₃₀3 −...+29.2 C28 ₃₀29 −30.2 C29 ₃₀30.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

30 ₀ ₁ ₂ ₂ _{29 29} _{30 30}

30 30 30 30 30

1+x = C +C x+C x +...+C x +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

29

1 2 29 28 30 29

30 30 30 30

C +2C x+...+29C x +30C x = 30 1+x (2)
Thay x = – 2 vào (2) ta ñược:

(

)

29

1 2 2 3 28 29 29 30

30 30 30 30 30

C −2.2C +3.2 C −...+29.2 C −30.2 C = 30 1−2 .
Vậy S = −30.

<b>Ví d</b>ụ<b> 8. Rút g</b>ọn tổng S= C1₃₀ +3.2 C2 ₃₀3 +5.2 C4 ₃₀5 +...+27.2 C26 ₃₀27 +29.2 C28 29₃₀.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

30 ₀ ₁ ₂ ₂ _{29 29} _{30 30}

30 30 30 30 30

1+x = C +C x+C x +...+C x +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

29

1 2 29 28 30 29

30 30 30 30

C +2C x+...+29C x +30C x = 30 1+x (2)
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta ñược:

(

)

29

1 2 2 3 28 29 29 30

30 30 30 30 30

C +2.2C +3.2 C +...+29.2 C +30.2 C = 30 1+2 (3)

(

)

29

1 2 2 3 28 29 29 30

30 30 30 30 30

C −2.2C +3.2 C −...+29.2 C −30.2 C = 30 1−2 (4)
Cộng hai ñẳng thức (3) và (4) ta ñược:

(

1 2 3 4 5 26 27 28 29

)

(

29

)

30 30 30 30 30

2 C +3.2 C +5.2 C +...+27.2 C +29.2 C = 30 3 −1
Vậy S =15 3

(

29 −1

)

.

<b>Ví d</b>ụ<b> 9. Rút g</b>ọn tổng S= 2008C₂₀₀₇0 +2007C1₂₀₀₇ +2006C₂₀₀₇2 +...+2C₂₀₀₇2006 +C₂₀₀₇2007.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta có khai triển:

(

)

2007

x+1 =C0₂₀₀₇x2007 +C₂₀₀₇1 x2006 +C₂₀₀₇2 x2005 +...+C2006₂₀₀₇x+C₂₀₀₇2007 (1)
Nhân 2 vế (1) với x ta ñược:

(

)

2007

x x +1 =C₂₀₀₇0 x2008 +C₂₀₀₇1 x2007 +C2₂₀₀₇x2006 +...+C₂₀₀₇2006 2x +C2007₂₀₀₇x (2)

ðạo hàm 2 vế của (2) ta ñược:

0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007

2007 2007 2007 2007 2007

2008C x +2007C x +2006C x +...+2C x+C

= (1+2008x) x

(

+1

)

2006 (3)
Thay x = 1 vào (3) ta ñược:

0 1 2 2006 2007 2006

2007 2007 2007 2007 2007

2008C +2007C +2006C +...+2C +C = 2009.2 .

<i><b>Cách khác: </b></i>

Ta có khai triển:

(

)

2007

x+1 =C0₂₀₀₇x2007 +C₂₀₀₇1 x2006 +C₂₀₀₇2 x2005 +...+C2006₂₀₀₇x+C₂₀₀₇2007 (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

0 2006 1 2005 2 2004 2005 2006

2007 2007 2007 2007 2007

2007C x +2006C x +2005C x +...+2C x+C = 2007 x

(

+1

)

2006 (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñược:

0 1 2 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007

C +C +C +...+C +C = 2 (3)

0 1 2 2006 2006

2007 2007 2007 2007

2007C +2006C +2005C +...+C = 2007.2 (4)
Cộng (3) và (4) ta ñược:

0 1 2 2006 2007 2006

2007 2007 2007 2007 2007

2008C +2007C +2006C +...+2C +C = 2009.2 .
Vậy S = 2009.22006.

<b>Ví d</b>ụ<b> 10. Cho t</b>ổng S= 2C_n0 +3C1_n +4C2_n +...+(n+1)Cn 1_n− +(n+2)Cn_n, với n ∈ Z+.
Tính n, biết S= 320.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{n 1 n 1} _{n n}

n n n n n

1+x = C +C x+C x +...+C − x − +C x (1)
Nhân 2 vế (1) với x2 ta ñược:

(

)

n
0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2

n n n n n

C x +C x +C x +...+C − x + +C x + = x 1+ x (2)

ðạo hàm 2 vế của (2) ta ñược:

0 1 2 2 3 n 1 n n n 1

n n n n n

2C x +3C x +4C x +...+(n +1)C −x +(n+2)C x +

= 2x 1

(

+ x

)

n +nx (12 + x)n 1− (3)
Thay x = 1 vào (3) ta ñược:

0 1 2 n 1 n n 1

n n n n n

2C +3C +4C +...+(n+1)C − +(n+2)C =(4+n).2 − .
n 1

S = 320 ⇔ (4+n).2 − = 320 ⇒ n = 6.

<i><b>Cách khác: </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{n 1 n 1} _{n n}

n n n n n

1+x = C +C x+C x +...+C − x − +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

n 1

1 2 3 2 n n 1

n n n n

C +2C x+3C x +...+ nC x − = n 1+x − (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñược:

0 1 2 3 n 1 n n

n n n n n n

C +C +C +C +...+C − +C = 2 (3)

1 2 3 n 1 n n 1

n n n n n

C +2C +3C +...+(n−1)C − +nC = n.2 − (4)
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta ñược:

0 1 2 n 1 n n 1

n n n n n

2C +3C +4C +...+(n+1)C − +(n+2)C =(4+n).2 − .
n 1

S = 320 ⇔ (4+n).2 − = 320.
Vậy n = 6.

<b>2.2. </b>ðạ<b>o hàm c</b>ấ<b>p 2 </b>
<b>D</b>ấ<b>u hi</b>ệ<b>u nh</b>ậ<b>n bi</b>ế<b>t: </b>

Các hệ sốñứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 ñến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12

ñến n2 (không kể dấu).
Xét khai triển:

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{3 3} _{n 1 n 1} _{n n}

n n n n n n

1+x = C +C x+C x +C x +...+C − x − +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

n 1

1 2 3 2 4 3 n n 1

n n n n n

C +2C x+3C x +4C x +...+nC x − = n 1+x − (2)
i) Tiếp tục ñạo hàm 2 vế của (2) ta ñược:

2 3 4 2 n n 2

n n n n

1.2C +2.3C x+3.4C x +...+(n−1)nC x − = n(n−1)(1+x)n 2− (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta ñược:

(

)

n 1

1 2 2 3 3 4 4 n n

n n n n n

C x +2C x + 3C x +4C x +...+nC x = nx 1+x − (4)

ðạo hàm 2 vế của (4) ta ñược:

2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2

n n n n

1 C +2 C x+3 C x +...+n C x − = n(1+nx)(1+ x) − (5)

<b>Ví d</b>ụ<b> 11. Tính t</b>ổng S =1.2C2₁₆−2.3C3₁₆ +3.4C₁₆4 − −... 14.15C₁₆15 +15.16C₁₆16.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

16 ₀ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ _{15 15} _{16 16}

16 16 16 16 16 16

1+x = C +C x+C x +C x +...+C x +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

15

1 2 3 2 15 14 16 15

16 16 16 16 16

C +2C x +3C x +...+15C x +16C x = 16 1+x (2)

ðạo hàm 2 vế của (2) ta ñược:

2 3 4 2 16 14 14

16 16 16 16

1.2C +2.3C x+3.4C x +...+15.16C x = 240(1+x) (3)
Thay x = – 1 vào ñẳng thức (3) ta ñược:

2 3 4 15 16

16 16 16 16 16

1.2C −2.3C +3.4C − −... 14.15C +15.16C = 0.
Vậy S = 0.

<b>Ví d</b>ụ<b> 12. Rút g</b>ọn tổng S =1 C2 1₂₀₀₇ +2 C2 ₂₀₀₇2 +3 C2 ₂₀₀₇3 +...+2006 C2 ₂₀₀₇2006 +2007 C2 2007₂₀₀₇.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có khai triển:

(

)

2007 ₀ ₁ ₂ ₂ _{2006 2006} _{2007 2007}
2007 2007 2007 2007 2007

1+x = C +C x+C x +...+C x +C x (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

2006

1 2 3 2 2007 2006

2007 2007 2007 2007

C +2C x+3C x +...+2007C x = 2007 1+ x (2)
Nhân x vào 2 vế của (2) ta ñược:

1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007

C x+2C x +3C x +...+2006C x +2007C x

= 2007x 1

(

+x

)

2006 (3)

ðạo hàm 2 vế của (3) ta ñược:

2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006

2007 2007 2007 2007 2007

1 C +2 C x+3 C x +...+2006 C x +2007 C x

= 2007(1+2007x)(1+x)2005 (4)
Thay x = 1 vào ñẳng thức (4) ta ñược

2 1 2 2 2 3 2 2007 2005

2007 2007 2007 2007

1 C +2 C +3 C +...+2007 C = 2007.2008.2 .
Vậy S = 2007.2008.22005.

<b>3. D</b>ạ<b>ng tích phân </b>
<b>D</b>ấ<b>u hi</b>ệ<b>u nh</b>ậ<b>n bi</b>ế<b>t: </b>

Các hệ sốđứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 ñến 1

n+1 hoặc tăng dần từ
1

n+1 ñến 1.
Xét khai triển:

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{n 1 n 1} _{n n}

n n n n n

1+x = C +C x+C x +...+C − x − +C x (1).
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a ñến b ta ñược:

(

)

b b b b b

n ₀ ₁ _{n 1} _{n 1} _n _n

n n n n

a a a a a

1+ x dx = C dx+C xdx+...+C − x − dx+C x dx

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

n 1 b b ₂ b _n b _{n 1} b

0 1 n 1 n

n n n n

a a a a

a

1 x _x _x _x _x

C C ... C C

n 1 1 2 n n 1

+ ₊

−

+

⇒ = + + + +

+ +

2 2 n n n 1 n 1

0 1 n 1 n

n n n n

b a b a b a b a

C C ... C C

1 2 n n 1

+ +

−

− − − −

⇒ + + + +

+

n 1 n 1

(1 b) (1 a)

n 1

+ +

+ − +

=

+ .

Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.

ðể nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng

n 1 n 1
n
n

b a

C
n 1

+ ₋ +

+ .

<b>Ví d</b>ụ<b> 13. Rút g</b>ọn tổng

2 2 3 3 9 9 10 10

0 1 2 8 9

9 9 9 9 9

3 2 3 2 3 2 3 2

S C C C ... C C

2 3 9 10

− − − −

= + + + + + .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

9 ₀ ₁ _{2 2} _{8 8} _{9 9}

9 9 9 9 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(

)

3 3 3 3 3

9 ₀ ₁ ₈ ₈ ₉ ₉

9 9 9 9

2 2 2 2 2

1 x dx C dx C xdx ... C x dx C x dx

⇒

∫

+ =

∫

+

∫

+ +

∫

+

∫

(

)

10 3 3 ₂ 3 ₃ 3 ₉ 3 ₁₀ 3

0 1 2 8 9

9 9 9 9 9

2 2 2 2 2

2

1 x _x _x _x _x _x

C C C ... C C

10 1 2 3 9 10

+

⇒ = + + + + +

10 10 2 2 9 9 10 10

0 1 8 9

9 9 9 9

4 3 3 2 3 2 3 2

C C ... C C

10 2 9 10

− − − −

⇒ = + + + + .

Vậy

10 10
4 3
S
10
−
= .

<b>Ví d</b>ụ<b> 14. Rút g</b>ọn tổng

2 3 4 n n 1

0 1 2 3 n 1 n

n n n n n n

2 2 2 2 2

S 2C C C C ... C C

2 3 4 n n 1

+
−

= + + + + + +

+ .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

n ₀ ₁ _{2 2} _{3 3} _{n 1 n 1} _{n n}

n n n n n n

1+x = C +C x+C x +C x +...+C − x − +C x

(

)

2 2 2 2 2

n ₀ ₁ ₂ ₂ _n _n

n n n n

0 0 0 0 0

1 x dx C dx C xdx C x dx ... C x dx

⇒

∫

+ =

∫

+

∫

+

∫

+ +

∫

(

)

n 1 2 2 ₂ 2 _n 2 _{n 1} 2

0 1 n 1 n

n n n n

0 0 0 0

0

1 x _x _x _x _x

C C ... C C

n 1 1 2 n n 1

+ ₊

−

+

⇒ = + + + +

+ +

2 3 n n 1 n 1

0 1 2 n 1 n

n n n n n

2 2 2 2 3 1

2C C C ... C C

2 3 n n 1 n 1

+ +

− −

⇒ + + + + + =

+ + .

Vậy

n 1
3 1
S
n 1
+ ₋
=
+ .

<b>Ví d</b>ụ<b> 15. Rút g</b>ọn tổng sau:

2 3 100 101

0 1 2 99 100

100 100 100 100 100

2 1 2 1 2 1 2 1

S 3C C C ... C C

2 3 100 101

− + − +

= + + + + + .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có khai triển:

(

)

100 ₀ ₁ ₂ ₂ ₉₉ ₉₉ _{100 100}

100 100 100 100 100

1+x = C +C x+C x +...+C x +C x

(

)

2

100

1

1 x dx

−

⇒

_∫

+ =

2 2 2 2

0 1 99 99 100 100

100 100 100 100

1 1 1 1

C dx C xdx ... C x dx C x dx

− − − −

+ + + +

∫

∫

∫

∫

.

(

)

101 2 2 ₂ 2 ₁₀₀ 2 ₁₀₁ 2

0 1 99 100

100 100 100 100

1 ₁ ₁ ₁

1

1 x _x _x _x _x

C C ... C C

101 1 ₋ 2 ₋ 100 ₋ 101 ₋

−

+

⇒ = + + + +

101 2 100 101

0 1 99 100

100 100 100 100

3 2 1 2 1 2 1

3C C ... C C

101 2 100 101

− − +

⇒ = + + + + .

Vậy

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>III. Tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng trong khai tri</b>ể<b>n nh</b>ị<b> th</b>ứ<b>c Newton </b>
<b>1. D</b>ạ<b>ng tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng th</b>ứ<b> k </b>

Số hạng thứ k trong khai triển (a+b)n là Ck 1 n (k 1) k 1_n−a − − b − .

<b>Ví d</b>ụ<b> 16. Tìm s</b>ố hạng thứ 21 trong khai triển (2−3x)25.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Số hạng thứ 21 là C 2 ( 3x)20 5₂₅ − 20 = 2 .3 C x5 20 ₂₅20 20.

<b>2. D</b>ạ<b>ng tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng ch</b>ứ<b>a xm</b>

i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a +b)n là C ak n k k_n − b = M(k).xf(k) (a, b chứa x).
ii) Giải phương trình f(k)= m ⇒ k₀, số hạng cần tìm là k0 n k0 k0

n

C a − b và hệ số của số hạng chứa xm
là M(k0).

<b>Ví d</b>ụ<b> 17. Tìm s</b>ố hạng khơng chứa x trong khai triển

18

x 4

2 x

 _

 + 

 _

  .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Số hạng tổng quát trong khai triển

(

)

18

18

1 1

x 4

2 x 4x

2 x

− −

 _

 +  = +

 _

  là:

(

) (

18 k

)

k

k 1 1 k 3k 18 18 2k

18 18

C 2 x− − 4x− = C 2 − x − .
Số hạng không chứa x ứng với 18−2k = 0 ⇔ k = 9.

Vậy số hạng cần tìm là C 29₁₈ 9.

<b>Ví d</b>ụ<b> 18. Tìm s</b>ố hạng chứa x37 trong khai triển

(

x2 −xy

)

20.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Số hạng tổng quát trong khai triển

(

x2 −xy

)

20 là:

k 2 20 k k k k 40 k k

20 20

C (x ) − ( xy)− = −( 1) C x − y .
Số hạng chứa x37ứng với 40− =k 37 ⇔ k = 3.

Vậy số hạng cần tìm là −C x y3₂₀ 37 3 = −1140x y37 3.

<b>Ví d</b>ụ<b> 19. Tìm s</b>ố hạng chứa x3 trong khai triển

(

1+ +x x2

)

10.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Số hạng tổng quát trong khai triển

(

1+ +x x2

)

10 = _1+x 1

(

+x

)

_10 là C x (1₁₀k k +x)k.
Suy ra số hạng chứa x3ứng với 2 ≤ ≤k 3.

+ Với k = 2: C x (1₁₀2 2 +x)2 = C (x₁₀2 2 +2x3 +x )4 nên số hạng chứa x3 là 2C x₁₀2 3.
+ Với k = 3: C x (1₁₀3 3 + x)3 có số hạng chứa x3 là C x₁₀3 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Cách khác: </b></i>

Ta có khai triển của

(

1+ +x x2

)

10 = _1+x 1

(

+x

)

_10 là:

0 1 2 2 2 3 3 3 10 10 10

10 10 10 10 10

C +C x(1+ x)+C x (1+x) +C x (1+x) +...+C x (1+x) .
Số hạng chứa x3 chỉ có trong C x (12₁₀ 2 +x)2 và C x (1₁₀3 3 +x)3.

+ C x (12₁₀ 2 +x)2 = C (x₁₀2 2 +2x3 + x )4 ⇒ 2C x₁₀2 3.
+ C x (1₁₀3 3 +x)3 = C (x₁₀3 3 +3x4 +3x5 +x )6 ⇒ C x₁₀3 3.
Vậy số hạng cần tìm là 2C x₁₀2 3 +C x₁₀3 3 = 210x3.

<b>3. D</b>ạ<b>ng tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng h</b>ữ<b>u t</b>ỉ

i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a +b)n là

m r
k n k k k p q

n n

C a − b = C .α β. (α β, là hữu tỉ).

ii) Giải hệ phương trình ₀

m

p _(k _{, 0} _k _n) _k

r
q
 ∈

 _∈ _{≤ ≤} _⇒


 ∈


ℕ

ℕ
ℕ

.

Số hạng cần tìm là k0 n k0 k0
n

C a − b .

<b>Ví d</b>ụ<b> 20. Tìm s</b>ố hạng hữu tỉ trong khai triển

10
3
1

5
2

 _

 ₊ _

 _

  .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Số hạng tổng quát trong khai triển

10
1 1
10

2 3
3

1 1 2 .5

5

2 2

 _

 _

 _ _{ +}_ _

 +  =  

 __ _ 

 

  _ _

 

là

k k
k ₂ ₃
10
1

C 2 .5

32 .

Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa ñiều kiện:

(

)

k

k 0

2 _k _{, 0} _k ₁₀

k k 6

3

 ∈ 

 =

 _∈ _{≤ ≤} _⇒ 

 _

 _ =

 ∈ 



ℕ

ℕ
ℕ

.

+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ là 1 C₁₀0 1
32 = 32.
+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là 1 C 2 .5₁₀6 3 2 2625

32 = 2 .

Vậy số hạng cần tìm là 1
32 và

2625
2 .

<b>4. D</b>ạ<b>ng tìm h</b>ệ<b> s</b>ố<b> l</b>ớ<b>n nh</b>ấ<b>t trong khai tri</b>ể<b>n Newton </b>

Xét khai triển (a+bx)n có số hạng tổng quát là C ak n k k k_n − b x .

ðặt u_k = C a_nk n k k− b , 0 ≤ ≤k n ta có dãy hệ số là

{ }

u_k .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bước 1: giải bất phương trình k
k 1
u

1

u ₊ ≥ ta tìm được k0 và suy ra uk0 ≥ uk0+1 ≥...≥ un.
Bước 2: giải bất phương trình k

k 1
u

1

u ₊ ≤ ta tìm được k1 và suy ra uk1 ≥ uk1−1 ≥...≥ u0.
Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là

{

}

0 1
k k
max u , u .
<i><b>Chú ý: </b></i>

ðểđơn giản trong tính tốn ta có thể làm gọn như sau:
Giải hệ bất phương trình k k 1 ₀

k k 1

u u
k
u u
+
−
 _≥

 _⇒
 ≥

 . Suy ra hệ số lớn nhất là

0 0 0
k n k k
n

C a − b .

<b>Ví d</b>ụ<b> 21. Tìm h</b>ệ số lớn nhất trong khai triển

(

1+0, 2x

)

17.

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Khai triển

(

1+0, 2x

)

17 có số hạng tổng quát là C (0, 2) x₁₇k k k.
Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

k k k 1 k 1

17 17

k k k 1 k 1

17 17

17 ! 17 !

5

C (0, 2) C (0, 2) k ! 17 k ! (k 1)! 16 k !

17 ! 17 !

C (0, 2) C (0, 2) ₅

k ! 17 k ! (k 1)! 18 k !

+ +
− −
 _≥

 _≥ _ ₋ ₊ ₋
 _⇔ 
 
 ≥ 
 
 ≥
 _
− − −


5(k 1) 17 k 2 k 3

18 k 5k

 ₊ _≥ ₋



⇔ _{ − ≥} ⇔ ≤ ≤

 .

+ Với k = 2: hệ số là C (0, 2)₁₇2 2 = 5, 44.
+ Với k = 3: hệ số là C (0, 2)₁₇3 3 = 5, 44.
Vậy hệ số lớn nhất là 5,44.

<b>Ví d</b>ụ<b> 22. Tìm h</b>ệ số lớn nhất trong khai triển

10
2x
1
3
 _
 + 
 _
  .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Khai triển

(

)

10

10

10

2x 1

1 3 2x

3 ₃

 _

 +  = +

 _

  có số hạng tổng quát là

k 10 k k k
10

10
1

C 3 2 x
3

− _.

Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

k 10 k k k 1 9 k k 1

10 10

k 10 k k k 1 11 k k 1

10 10

10 ! 10 !

3 2

C 3 2 C 3 2 k ! 10 k ! (k 1)! 9 k !

10 ! 10 !

C 3 2 C 3 2

2 3

k ! 10 k ! (k 1)! 11 k !

− + − +
− − − −
 _≥

 ≥  − + −

 _⇔ 
 
 _≥ 
 
 ≥
 _
− − −


3(k 1) 2(10 k) 17 k 22 k 4

2(11 k) 3k 5 5

 ₊ _≥ ₋



⇔ _ ⇔ ≤ ≤ ⇒ =

− ≥

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Vậy hệ số lớn nhất là 4₁₀ 6 4
10

1 1120

C 3 2

27

3 = .

<b>5. D</b>ạ<b>ng tìm h</b>ệ<b> s</b>ố<b> ch</b>ứ<b>a xk trong t</b>ổ<b>ng n s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng </b>ñầ<b>u tiên c</b>ủ<b>a c</b>ấ<b>p s</b>ố<b> nhân (tham kh</b>ả<b>o) </b>

Tổng n số hạng ñầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:
n

n 1 2 n 1

1 q

S u u ... u u

1 q
−

= + + + =

− .

Xét tổng S(x)= (1+bx)m 1+ +(1+bx)m 2+ +...+(1+bx)m n+ như là tổng của n số hạng ñầu tiên
của cấp số nhân với u₁ =(1+bx)m 1+ và công bội q = (1+bx).

Áp dụng cơng thức ta được:

n m n 1 m 1

m 11 (1 bx) (1 bx) (1 bx)
S(x) (1 bx)

1 (1 bx) bx

+ + +

+ − + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số của số hạng chứa xk trong S(x) là 1

b nhân với hệ số của số hạng chứa
k 1

x + trong khai
triển (1+bx)m n 1+ + − +(1 bx)m 1+ .

<b>Ví d</b>ụ<b> 23. Tìm h</b>ệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển và rút gọn tổng sau:

(

)

4

(

)

5

(

)

6

(

)

15
S(x)= 1+ x + 1+x + 1+x +...+ 1+x .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có:

12 16 4

41 (1 x) (1 x) (1 x)
S(x) (1 x)

1 (1 x) x

− + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số của số hạng chứa x4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong (1+x)16.
Vậy hệ số cần tìm là C₁₆5 = 4368.

<i><b>Nh</b></i>ậ<i><b>n xét: </b></i>

Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra ñẳng thức:

4 4 4 4 5

4 5 6 15 16

C +C +C +...+C = C .

<b>Ví d</b>ụ<b> 24*. Tìm h</b>ệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển và rút gọn tổng sau:

(

)

(

)

2

(

)

99

(

)

100

S(x)= 1+x +2 1+ x +...+99 1+ x +100 1+x .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có:

(

)

(

)

(

)

98

(

)

99

S(x)= 1+x 1_ +2 1+x +...+99 1+ x +100 1+ x _

 .

ðặt:

(

)

(

)

2

(

)

98

(

)

99

f(x) = +1 2 1+x +3 1+x +...+99 1+x +100 1+x

(

)

2

(

)

3

(

)

99

(

)

100
F(x) =(1+x)+ 1+ x + 1+ x +...+ 1+x + 1+x

S(x) f(x) xf(x)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Suy ra hệ số của số hạng chứa x2 của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x2 của f(x), bằng tổng 2
lần hệ số số hạng chứa x2 và 3 lần hệ số số hạng chứa x3 của F(x).

Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có:

100 101

1 (1 x) (1 x) (1 x)

F(x) (1 x)

1 (1 x) x

− + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số số hạng chứa x2 và x3 của F(x) lần lượt là C₁₀₁3 và C₁₀₁4 .
Vậy hệ số cần tìm là 2C₁₀₁3 +3C₁₀₁4 =12582075.

<i><b>Nh</b></i>ậ<i><b>n xét: </b></i>

Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra ñẳng thức:

2 2 2 2 2 3 4

2 3 4 99 100 101 101

2C +3C +4C +...+99C +100C = 2C +3C .

<b>Ví d</b>ụ<b> 25*. Tìm h</b>ệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau:

(

)

(

)

2

(

)

n 1

(

)

n

S(x)= 1+ x +2 1+x +...+(n−1) 1+x − +n 1+ x .

<b>Gi</b>ả<b>i </b>

Ta có:

(

)

(

)

(

)

n 2

(

)

n 1

S(x)= 1+x 1_ +2 1+x +...+(n−1) 1+x − +n 1+x − _

 .

ðặt:

(

)

(

)

2

(

)

n 2

(

)

n 1

f(x) = +1 2 1+ x +3 1+x +...+(n−1) 1+x − +n 1+x −

(

)

2

(

)

3

(

)

n 1

(

)

n
F(x) =(1+x)+ 1+ x + 1+ x +...+ 1+x − + 1+ x

S(x) f(x) xf(x)

⇒ = + và F (x)/ = f(x).

Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x),
bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x2 của F(x).

Tổng F(x) có n số hạng nên ta có:

n n 1

1 (1 x) (1 x) (1 x)

F(x) (1 x)

1 (1 x) x

+

− + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số số hạng chứa x và x2 của F(x) lần lượt là C2_{n 1}₊ và C3_{n 1}₊ .
Vậy hệ số cần tìm là C2_{n 1} 2C_{n 1}3 n(n 1)(2n 1)

6

+ +

+ +

+ = .

<i><b>Nh</b></i>ậ<i><b>n xét: </b></i>

Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra ñẳng thức:

2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)

1 2 3 ... (n 1) n

6

+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>B. BÀI T</b>Ậ<b>P </b>

<b>Tính giá tr</b>ị<b> c</b>ủ<b>a các bi</b>ể<b>u th</b>ứ<b>c </b>

1)

3 2

5 5 5

2 2

A A P

M

P P

−

= + 2)

2

5 4 3 2 5

4 3 2 1

3 2

5 5 5 5

P P P P A

M

P 2P

A A A A

 _

 _



=_ + + + _



 −

 

<b>Rút g</b>ọ<b>n các bi</b>ể<b>u th</b>ứ<b>c </b>

3) M = P_n −P_{n 1}₋ 4) M = +1 P₁ +2P₂ +3P₃ +...+2007P₂₀₀₇
5) M = A_{n 1}k₋ +kAk 1_{n 1}₋− , với 2 ≤ <k n 6) M = An 2_{n k}+₊ +A_{n k}n 1₊+ , với 2 ≤ <k n

7)

2 2 2 2

2 3 4 n

1 1 1 1

M ...

A A A A

= + + + + , với n ≥ 2

8) M = C_nk +4Ck 1_n− +6C_nk 2− +4C_nk 3− +C_nk 4− , với 4 ≤ ≤k n

<b>Rút g</b>ọ<b>n các t</b>ổ<b>ng khai tri</b>ể<b>n sau </b>

9) S= C_2n0 +C_2n2 +C_2n4 +...+C2n_2n
10) S = C1_2n +C3_2n +C_2n5 +...+C_2n2n 1−

11) S = C₂₀₀₃0 +3 C2 ₂₀₀₃2 +3 C4 ₂₀₀₃4 +...+32002C₂₀₀₃2002
12) S = C4₂₀₀₇ +C₂₀₀₇6 +C₂₀₀₇8 +...+C2006₂₀₀₇

13) S = 22006C1₂₀₀₇ +22004C3₂₀₀₇ +22002C₂₀₀₇5 +...+2 C2 2005₂₀₀₇
14) S = C16₃₀ +C17₃₀ +C18₃₀ +...+C30₃₀

15) S = C15₃₀ −C16₃₀ +C17₃₀ −C18₃₀ +...−C30₃₀

<b>Rút g</b>ọ<b>n các t</b>ổ<b>ng </b>ñạ<b>o hàm sau </b>

16) S = C1₃₀ −2.2C₃₀2 +3.2 C2 ₃₀3 −4.2 C3 4₃₀ +...−30.2 C29 30₃₀
17) S = 30C0₃₀−29C1₃₀ +28C₃₀2 −...+2C28₃₀ −C29₃₀ +C₃₀30

18) S = 2n.32n 1− C_2n0 −(2n−1).32n 2− C1_2n +(2n−2).32n 3− C2_2n − −... C2n 1_2n−
19) S = C .31_n n 1− +2C .32_n n 2− +3C .3_n3 n 3− +...+(n−1)C_nn 1− 3+nCn_n

20) S = C 21 n 1_n −.3+2C 2_n2 n 2 2− 3 +3C 23 n 3 3_n − 3 +...+(n−1)C_nn 1− 2.3n 1− +nC 3_nn n
21) S = 2C2_n +2.3C_n3 +3.4C_n4 +...+(n−1)nC_nn

22) S = 2C2_2n −2.3C 2_2n3 +3.4C 2_2n4 2 −...+(2n−1)2nC 2_2n2n 2n 2−
23) S =(n−1)nC 2_n0 n 2− +...+3.4Cn 4 2_n− 2 +2.3C_nn 3− 2+2C_nn 2−
24) S = C1_n +2 C 32 _n2 + 3 C 32 _n3 2 +...+n C 32 _nn n 1−

25) S = n C 22 _n0 n +(n−1) C 22 1 n 1_n − +...+2 C2 n 2 2_n− 2 +2C_nn 1−

<b>Rút g</b>ọ<b>n các t</b>ổ<b>ng tích phân sau </b>

26)

2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

2 1 2 1 2 1

S C C C ... C

2 3 n 1

+

− − −

= + + + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

27) S a₀ 1a₁ 1a₂ ... 1 a₉₉ 1 a₁₀₀

2 3 100 101

= + + + + + , trong đó:

100 2 99 100

0 1 2 99 100

(x−2) = a +a x+a x +...+a x +a x .
28) S C₂₀₀₇0 1C2₂₀₀₇ 1C₂₀₀₇4 ... 1 C₂₀₀₇2004 1 C2006₂₀₀₇

3 5 2005 2007

= + + + + +

<b>Tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng trong các khai tri</b>ể<b>n sau </b>

29) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3−x)25
30) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2−x )2 25

31) Số hạng không chứa x trong khai triển

12
1
x

x

 _

 + 

 _

 

32) Số hạng không chứa x trong khai triển

12
28

3 ₁₅

x x x−

 _

 _

 ₊ _

 _

 

 

33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển

21
3

3

a b

b a

 _

 ₊ _

 _

 _

 

<b>Tìm h</b>ệ<b> s</b>ố<b> c</b>ủ<b>a s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng trong các khai tri</b>ể<b>n sau </b>

34) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

12

x 3

3 x

 _

 − 

 _

 

35) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

12
5
3

1

x
x

 _

 ₊ _

 _

 

36) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển __1+ x (12 −x)__8
37) Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển

(

1+ +x x2 +x3

)

10
38) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x2 − +x 2)10

39) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (1+ +x 3x )2 10
40) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển:

3 4 5 50

S(x)=(1+x) +(1+x) +(1+x) +...+(1+x)
41) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển:

3 4 5 22

S(x)=(1+2x) +(1+2x) +(1+2x) +...+(1+2x)
42) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1+x) (x10 +1)10.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

44) Rút gọn tổng S =

(

C₂₀₀₇0

) (

2 + C1₂₀₀₇

)

2 +...+

(

C2006₂₀₀₇

) (

2 + C₂₀₀₇2007

)

2

<b>Tìm s</b>ố<b> h</b>ạ<b>ng h</b>ữ<b>u t</b>ỉ<b> trong khai tri</b>ể<b>n c</b>ủ<b>a các t</b>ổ<b>ng sau </b>

45)

(

316 + 3

)

7 46)

(

3 + 3 2

)

9 47)

10
5

1
5
3
 _
 ₊ _
 _

  48)

10
5
2
2
3
 _
 ₋ _
 _
 

<b>Tìm h</b>ệ<b> s</b>ố<b> l</b>ớ<b>n nh</b>ấ<b>t trong khai tri</b>ể<b>n c</b>ủ<b>a các t</b>ổ<b>ng sau </b>

49)

(

1+2x

)

21 50)

11
1 2x
2 3
 _
 + 
 _

  51)

(

)

100
1+0, 5x .

<b>C. H</b>ƯỚ<b>NG D</b>Ẫ<b>N GI</b>Ả<b>I </b>

1)

3 2

5 5 5

2 2

A A P 60 20 120

M 80

P P 2 2

− −

= + = + = .

2)

2

5 4 3 2 5

4 3 2 1

3 2

5 5 5 5

P P P P A

M

P 2P

A A A A

 _
 _

=_ + + + _

 −
 

120 24 6 2 20
21
120 60 20 5 2

 _



= _ + + + __ = .

3) P_n −P_{n 1}₋ = n ! (n− −1)!=(n−1)! n−(n−1)! =(n−1)!(n−1)= (n−1)P_{n 1}₋ .
4) Từ câu 3 ta có:

n n 1 n

nP = P ₊ −P ⇒ M = +1 P₁ +2P₂ + 3P₃ +...+2007P₂₀₀₇

= +1

(

P₂ −P₁

) (

+ P₃ −P₂

) (

+ P₄ −P₃

)

+...+

(

P₂₀₀₈ −P₂₀₀₇

)

= P₂₀₀₈.
5)

(

)

(

)

k k 1

n 1 n 1

(n 1)! (n 1)!

M A kA k

n k 1 ! n k !

−

− − − −

= + = +

− − −

(

1

)

(

k

)

(

n k

)

(

k

)

(n 1)! (n 1)!

n k 1 ! n k ! n k ! n k !

   ₋ 
   
= − _ + _ = − _ + _
− − − − −
   
   

(

)

(

)

kn

n(n 1)! n !

A

n k ! n k !

−

= = =

− − .

6)

(

)

(

)

n 2 n 1
n k n k

(n k)! (n k)!

M A A

k 2 ! k 1 !

+ +
+ +
+ +
= + = +
− −

(

)

n 1
n k
(n k)! k (n k)! k

kA
k 1 ! (n k) (n 1) !

+
+

+ +
= = _ _ =
− _ + − + _ .
7)

(

)

(

)

2
k

k 2 !

1 1 1 1 1

k ! k ! k(k 1) k 1 k

A

k 2 !

−

= = = = −

− −

−

2 2 2 2

2 3 4 n

1 1 1 1

M ...

A A A A

⇒ = + + + + 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

2 2 3 3 4 n 1 n n

  _  _ _  _

   

=__ − _{ }__+_ − __{ }_+_ − ___+ +_{ −}_ − ___ = − .

8) M = Ck_n +4C_nk 1− +6Ck 2_n− +4C_nk 3− +Ck 4_n−

=

(

C_nk +Ck 1_n−

) (

+3 C_nk 1− +C_nk 2−

) (

+3 Ck 2_n− +C_nk 3−

) (

+ C_nk 3− +C_nk 4−

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

= C_{n 2}k₊ +2Ck 1_{n 2}−₊ +Ck 2_{n 2}−₊ =

(

Ck_{n 2}₊ +C_{n 2}k 1−₊

) (

+ Ck 1_{n 2}−₊ +Ck 2_{n 2}−₊

)

= C_{n 3}k₊ +C_{n 3}k 1−₊ = Ck_{n 4}₊ .
9)

(

1+1

)

2n = C0_2n +C1_2n +C_2n2 +C_2n3 +...+C_2n2n 1− +C_2n2n (1)

(

1−1

)

2n = C0_2n −C1_2n +C_2n2 −C_2n3 +...−C_2n2n 1− +C_2n2n (2)
Cộng (1) và (2) ta ñược 22n = 2 C

(

0_2n +C_2n2 +C_2n4 +...+C_2n2n

)

.
10) Trừ 2 khai triển

(

1+1

)

2n,

(

1−1

)

2n ta ñược S= 22n 1− .
11)

(

1+3

)

2003+ −

(

1 3

)

2003 ⇒S = 22002

(

22003−1

)

.

12) (1 + 1)2007 + (1 – 1)2007⇒ 2 S

(

−C0₂₀₀₇ −C₂₀₀₇2

)

= 22007 ⇒ =S 22006 +C₂₀₀₇0 +C₂₀₀₇2 .

13)

(

2+1

)

2007–

(

2−1

)

2007

(

)

2007
2007 2007

2007

3 1

2 S C 3 1 S

2
+

⇒ − = − ⇒ = .

14)

(

1+1

)

30 = C₃₀0 +C1₃₀ +...+C15₃₀ +C16₃₀ +...+C₃₀30

30 30 16 15 16 30 15 30

30 30 30 30 30 30

2 C ... C C C ... C 2S C 2

⇒ = + + + + + + ⇒ + = .

15) − −

(

1 1

)

30 = −C0₃₀ +C1₃₀ − −... C14₃₀ +C15₃₀ −C16₃₀ +...−C30₃₀

(

30 29 16 15

)

15 15 16 30

30 30 30 30 30 30 30 30

0  C C ... C C C  C C ... C

⇒ = −__ + − − + − __ + − + −

15

15 30

30

C

2S C 0 S

2

⇒ − = ⇒ = .

16)

(

1+x

)

30 = C₃₀0 +C x1₃₀ +C x₃₀2 2 +C x3₃₀ 3 +...+C x₃₀30 30 (1)

ðạo hàm 2 vế của (1) ta ñược:

(

)

29 ₁ ₂ ₃ ₂ _{30 29}

30 30 30 30

30 1+x = C +2C x +3C x +...+30C x (2)
Thay x = – 2 vào 2 vế của (2) ta ñược:

1 2 2 3 3 4 29 30

30 30 30 30 30

C −2.2C +3.2 C −4.2 C +...−30.2 C = −30.

17) S =1 18) S = n.22n.

19) Khai triển, ñạo hàm và thay x = 1 của (3 + x)n suy ra S = n.4n 1− .
20) Khai triển, ñạo hàm và thay x = 1 của (2 + 3x)n suy ra S = 3n.5n 1− .

21) Khai triển, ñạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (1 + x)n suy ra S= (n−1)n.2n 2− .
22) Tương tự 21) S= 2n(2n−1).

23) Khai triển, ñạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (x + 1)n suy ra S= (n−1)n.2n 2− .

24) Khai triển (1 + x)n, ñạo hàm, nhân với x rồi ñạo hàm lần nữa, thay x = 3, S = n(1+3n).4n 2− .
25) Tương tự 24) S= 2n(1+2n).3n 2− .

26) Khai triển (1 + x)n, tích phân từ 1 ñến 2,

n 1 n 1

3 2

S

n 1

+ ₋ +

=

+ .

27)
1

100

0

(x−2) dx =

∫

1 1 1 1 1

2 99 100

0 1 2 99 100

0 0 0 0 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

(

)

101 1
0
x 2

101

−

⇒ =

1 1 1 1

1 ₂ ₃ ₁₀₀ ₁₀₁

0 1 2 99 100

0 0 0 0 0

x x x x x

a a a ... a a

1 + 2 + 3 + + 100 + 101

101

0 1 2 99 100

2 1 1 1 1 1

a a a ... a a

101 2 3 100 101

−

⇒ = + + + + + . Vậy

101

2 1

S

101
−

= .

28) Khai triển (1 + x)2007, tích phân từ – 1 ñến ,

2005
2
S

251

= .

29) C 3 x12 13 12₂₅ 30) −C 2 x17 8 34₂₅ 31) C6₁₂ = 924.

32) Số hạng tổng quát của

12 12

28 4 28

3 ₁₅ ₃ ₁₅

x x x− x x−

 _  _

 _  _

 +  =  + 

 _  _

   

 

    là

( ) k

4 _{12 k} 28k _{16 1}
5

k ₃ ₁₅ k

12 12

C x x C x

 _
 − 


− − _ _

= .

Suy ra số hạng không chứa x ứng với k thỏa 1 k 0 k 5
5

− = ⇔ = .

Vậy số hạng không chứa x là C5₁₂ = 792.

33) Số hạng tổng quát của

21
21 ₁ ₁ _{1 1}

3 6 6 2
3

3

a b

a b a b

b a

− −

 

 _ _ _

 ₊ _ ₌ _ ₊ _

 _ _ 

 _ _ 

  

  _ _ là

k 7 2k
7

k ₂ ₂ ₃
21

C a − b− + .

Suy ra 7 k 7 2k k 9

2 2 3

− = − + ⇔ = . Vậy số hạng cần tìm là

5 5
9 _{2 2}
21
C a b .
34) 55

9 35) 495.

36) __1+ x (12 −x)__8 = __x (12 −x)+1__8

= C x (10 16₈ −x)8 +...+C x (14 8₈ −x)4 +C x (1₈3 6 −x)3 +...+C₈8.
Suy ra hệ số của số hạng chứa x8 chỉ có trong 2 số hạng C x (14 8₈ −x)4 và C x (13 6₈ −x)3.
+ C x (1₈4 8 −x)4 = C x4 8₈

(

C₄0 −C x1₄ +...+C x₄4 4

)

nên có hệ số chứa x8 là C C4₈ 0₄.

+ C x (1₈3 6 −x)3 = C x₈3 6

(

C₃0 −C x₃1 +C x₃2 2 −C x₃3 3

)

nên có hệ số chứa x8 là C C3 2₈ ₃.
Vậy hệ số cần tìm là C C4₈ 0₄ +C C3 2₈ ₃ = 238.

37)

(

1+ +x x2 +x3

)

10 =

(

1+x

)

10

(

1+x2

)

10

=

(

C₁₀0 +C x₁₀1 +...+C x₁₀10 10

)(

C₁₀0 +C x₁₀1 2 +...+C x₁₀10 20

)

.
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x5 chỉ có trong 3 số hạng:

1 2 5
10 10

C .C x , C .C x₁₀3 1₁₀ 5 và C .C x₁₀5 ₁₀0 5.
Vậy hệ số cần tìm là C .C₁₀1 2₁₀ +C .C₁₀3 1₁₀ +C .C₁₀5 ₁₀0 =1902.

38) (x2 − +x 2)10 = _2−x(1−x)_10

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

+ −C 2 x (1₁₀3 7 3 −x)3 có hệ số của số hạng chứa x3 là −C 2₁₀3 7.
Vậy hệ số cần tìm là −2C 22₁₀ 8 −C 2₁₀3 7 = −38400.

39) (Tương tự) 1695.

40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có:

48 51 3

31 (1 x) (1 x) (1 x)
S(x) (1 x)

1 (1 x) x

− + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số của số hạng chứa x3 là hệ số của số hạng chứa x4 của (1+x)51.
Vậy hệ số cần tìm là C4₅₁ = 249900.

41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có:

20 23 3

31 (1 2x) (1 2x) (1 2x)
S(x) (1 2x)

1 (1 2x) 2x

− + + − +

= + =

− + .

Suy ra hệ số của số hạng chứa x3 là hệ số của số hạng chứa x4 của 1(1 2x)23

2 + .

Vậy hệ số cần tìm là 1C 24₂₃ 4 70840

2 = .

42) (1+x) (x10 +1)10=

(

C₁₀0 +C x₁₀1 + + +... C x₁₀10 10

)(

C x₁₀0 10 +C x1₁₀ 9 +...+C₁₀10

)

.
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x10 là:

( ) ( )

₀ 2 ₁ 2

( )

₁₀ 2

10 10 10

C + C +...+ C .

Mặt khác (1+x) (x10 +1)10 = (1+ x)20 có hệ số của số hạng chứa x10 là C10₂₀.
Vậy S = C10₂₀ = 184756.

43) (1+x) (110 +x)20=

(

C₁₀0 +C x1₁₀ +...+C x₁₀10 10

)(

C₂₀0 +C x1₂₀ +...+C x₂₀20 20

)

.

Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x10 là:

0 10 1 9 2 8 9 1 10 0

10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
C C +C C +C C +...+C C +C C .
Mặt khác (1+x) (110 +x)20 =(1+x)30 có hệ số của số hạng chứa x10 là C10₃₀.
Vậy S = C10₃₀.

44) S = C2007₄₀₁₄ 45) Số hạng cần tìm là C 16.34₇ 2 = 5040.
46) Số hạng cần tìm là C 2₉9 3 = 8 và C 3 .23 3₉ = 4536.

47) Số hạng cần tìm là 0₁₀
5

1 1

C

243

3 = và

10 5 2
10
5
1

C 3 .5 25

3 = .

48) Số hạng cần tìm là ₁₀0 10
2

1 1024

C 2

9

3 = ,

5 6
10
2

1

C 2 .3 5376
3

− _{= −}

và 10 2₁₀ 2
2

1

C 2 .3 4

3 = .

49) Hệ số lớn nhất là C 2₂₁14 14 50) Hệ số lớn nhất là 6₁₁
6
2

C
3 .
51) Hệ số lớn nhất là 66₁₀₀ 66 66₁₀₀

100 34

1 1

C 2 C

2 = 2 .

</div>

<!--links-->