Chuyen de can bac 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

<b>1. Khai phương một tích : </b><i>a</i> 0 <i>b</i>0 : <i>a b</i>.  <i>a b</i>. .

Muốn khai phương một tích của các số khơng âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.

<b>2. Nhân các căn bậc hai : </b><i>a</i> 0 <i>b</i>0 : <i>a b</i>.  <i>a b</i>. .

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả đó.

<b>Ví dụ 1 : Tính :</b>

a) 49.100 b) 36.1,44.81 c) 5. 20 d) 7. 126. 8
e) 1,47. 0,75 f) 4,32. 24. 0,18 g) 16. 7

_



_

2 h)





2
3 2 .
<b>Bài giải</b>

a) 49.100  49. 100 7.10 70  .

b) 36.1,44.81 36 1,44. 81 6.1,2.9 64,8  .

c) _{5. 20} _5.20 _{5 .2}2 2 _{5.2 10}

    .

d) _{7. 126. 8} _7.126.8 _{7.2.7.3 .2}2 3 _{7 .3 .2}2 2 4 _7.3.22 ₈₄

     .

e) _{1, 47. 0,75} _{1, 47.0,75} _{3.0, 49.3.0, 25} _{3 . 0,7}2

_

_{ }

2 _0,5

_

2 _{3.0,7.0,5 1,05}

    

f) 4,32. 24. 0,18  4,32.24.0,18 4,32 .

g) _{16. 7}

_

_

2 _{2 . 7}4

_

_

2 _{2 . 7}2 ₂₈

      .

h)



3 2

  

2  3 2 2 3 2

 

2 2  5 2 6.
<b>Ví dụ 2 : Tính :</b>

a)



3 2 2 3 3 2 2 3

 





_b)



5 2 3



5

c) ₁₃2 ₁₂2

 d)



 



2 2

3 2 . 2 3

e) 289 64 f)



1 2 3 1

 

 2 3



.

<b>Bài giải</b>

a)



3 2 2 3 3 2 2 3

 



 

 3 2

 

2 2 3



2 9.2 4.3 6  .

b)



5 2 3



5 5 5 2 3 5 5 2 15   _.

c) 132 122 



13 12 13 12

 





 25 5 .

d)

_

3 2 . 2

_{ }

2  3

_

2 

_

3 2 . 2

_{ }

2  3

_

2  3 2 . 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

---e) _{289 64} ₁₇2 ₈2



_{17 8 17 8}

 



_9.25 _{9. 25 3.5 15}

          .

f)



1 2 3 1

 

 2 3

 

 1 2

  

2 3 2  1 2 2

 

2 2 3 2 2 .

<b>Ví dụ 3 : a) So sánh 25 9</b> và 25 9.

b) Chứng minh rằng : <i>a</i>0,<i>b</i>0 : <i>a b</i>  <i>a</i> <i>b</i>.

<b>Bài giải</b>
a) Ta có



25 9

 

2  34



2 34;



25 9



2 



5 3



2 82 64 34 . Suy ra 25 9  25 9.
b) Ta có <i>a</i>0,<i>b</i>0 :



<i>a b</i>



2 



<i>a b</i>



2  <i>a b</i>  <i>a b</i>;

<i>a</i>0,<i>b</i>0 :



<i>a</i> <i>b</i>

  

2  <i>a</i> 22 <i>a b</i>

 

<i>b</i> 2   <i>a b</i> 2 <i>ab a b</i>  .

Vậy : <i>a</i>0,<i>b</i>0 : <i>a b</i>  <i>a</i> <i>b</i>.

<b>Ví dụ 4 : Tính</b>

a) <i>_A</i>_ ₄_ _{8. 2}_ ₂_ _{2 . 2}_ ₂_ ₂ b) <i>B</i> 10 24 40 60

<b>Bài giải</b>

a) <i>_A</i> ₄ _{8. 2} ₂ _{2 . 2} ₂ ₂ ₄ _{2 . 2}3



₂ _{2 2}



₂ ₂



           

<i>_A</i> _{4 2 2. 2}2



₂ ₂



2 _{2 2}

_

_{2 . 2}

_

₂ ₂2 ₂

         .

b) <i>_B</i> ₁₀ ₂₄ ₄₀ ₆₀ ₁₀ _3.23 _{2 .5}3 _{2 .3.5}2

       

<i>B</i> 2 3 5 2 2.3 2 2.5 2 3.5     

_

2 3 5

_

2  2 3 5.
<b>Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức</b>

a)

_

2

_

2

4 1 6 9 , 2

<i>A</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> b) <i>B</i> 9<i>a b</i>2



2 4 <i>ab a</i>



, 2,<i>b</i> 3.

c) 3 18 20

12 2 18 80

<i>C</i>   

  d)





2

4 2

3

2 3 6

<i>x</i>
<i>D</i>

<i>x</i> <i>x</i>




   , tìm giá trị nhỏ nhất của D.

<b>Bài giải</b>

a)

_

2

_

2 2



2

_

_

2



2



_

_

2



2

_

_

2

4 1 6 9 2 1 2.3 3 2 1 3 2 1 3

<i>A</i>  <i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i>   <i>x</i> ;

Khi <i>x</i> 2 <i>A</i>2 1 3







 2





2 2 1 3 2







2 2 19 6 2







.

b)<i>_B</i> ₉<i>_{a b}</i>2

_

2 ₄ <i>_ab</i>

_

₃2<i>_{a b}</i>2

_

2 ₄ <i>_ab</i>

_

₃<i>_{a b}</i>2 ₄ <i>_ab</i>

         .





2









2, 3 3 2 3 4 2 3 6 7 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

c)

2 2

2

2 2 4

3 18 20 3 2.3 2 5 3 3 2 2 5 1

2
12 2 18 80 2 3 2 2.3 2 5 2 3 2.3 2 2 5

<i>C</i>          

     

d)













2 2 2

4 2 2

4 2 2 2 2

3 3 3

2 3 6

2 3 6 3 2 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>D</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

  

  

     



 



2

2
2

2 2

3 1

, 3

2

3 2

<i>x</i>

<i>D</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  



  ;

Mặt khác <i>_x</i>2 ₂ _2, <i>_x</i>

    2 2

1 1

, : 3

2 2

<i>D</i> <i>x x</i>

<i>x</i>

   

 .

Biểu thức D đạt giá trị nhỏ nhất bằng của * 2
1

, : 3

2

<i>D</i>  <i>x x</i>  khi <i>x</i>0.
<b>Ví dụ 6 : Cho </b><i>a</i>0,<i>b</i>0,<i>c</i>0 :<i>a b c</i>   <i>ab</i>  <i>bc</i> <i>ca</i>.

<b>Bài giải</b>

0, 0, 0 :

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i>   <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> 2



<i>a b c</i> 



2



<i>ab</i>  <i>bc</i>  <i>ca</i>



 <i>a</i>2 <i>ab b b</i>  2 <i>bc c c</i>  2 <i>ca a</i> 0



 

   

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

<i>a</i>  <i>ab</i> <i>b</i>  <i>b</i>  <i>bc</i>  <i>c</i>  <i>c</i>  <i>ca</i> <i>a</i> 





 

 



2 2 2

0

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>  .

<b>Ví dụ 7 : Giải phương trình</b>

a) 16<i>x</i> 8 b) 4<i>x</i>  5 c) 9



<i>x</i> 1



21 d) 4 1

_

 <i>x</i>

_

2  6 0

e) <i>_x</i> ₄ ₆ <i>_x</i> <i>_x</i>2 ₁₀<i>_x</i> ₂₇

      f) <i>x</i> 2 4 <i>x</i><i>x</i>2 6<i>x</i>11

<b>Bài giải</b>

a) 16<i>x</i>  8 42<i>x</i>  8 4 <i>x</i>  8 <i>x</i>  2 <i>x</i>4.

b) 4<i>x</i>  5 ₂2<i>_x</i> ₅

 2 <i>x</i>  5 5

2

<i>x</i>   5

4

<i>x</i> .

c) 9



<i>x</i> 1



213 <i>x</i> 1 21  <i>x</i> 1 7 <i>x</i> 1 49 <i>x</i>50.

d) 4 1

_

 <i>x</i>

_

2  6 0 2 1



 <i>x</i>



2  6 0 



1 <i>x</i>



2  3 1 <i>x</i> 3;

 1 3

1 3

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 _ _

 

2
4

<i>x</i>
<i>x</i>




 _

 .

<b>Ghi nhớ : </b>

2 ₂ ₂

0, 0 :

2 2

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> _  _  

 

e) <i>_x</i> ₄ ₆ <i>_x</i> <i>_x</i>2 ₁₀<i>_x</i> ₂₇

     

Điều kiện : 4 0

6 0

<i>x</i>
<i>x</i>

 




 

 

4
6

<i>x</i>
<i>x</i>







 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

---Mặt khác <i>x</i>2 10<i>x</i>27



<i>x</i>2 2.5<i>x</i>25



 2



<i>x</i> 5



2  2 2, <i>x</i>,(1).



 

2



2

2

4 6

4 6 4 6

1

2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>    <i>x</i> <i>x</i>

       

  

 

 

 4 6 1

2

<i>x</i>   <i>x</i>



 <i>x</i> 4 6 <i>x</i> 2, <i>x</i>: 4 <i>x</i> 6,(2).

Từ (1) và (2) ta có :

2 ₁₀ _{27 2}

4 6 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   




   










2

5 0

4 6 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _ _




   




<i>x</i>5.

f) <i>_x</i> ₂ ₄ <i>_x</i> <i>_x</i>2 ₆<i>_x</i> ₁₁

     

Điều kiện : 2 0

4 0

<i>x</i>
<i>x</i>

 




 

 

2
4

<i>x</i>
<i>x</i>







 2 <i>x</i> 4.

Mặt khác <i>x</i>2 6<i>x</i>11



<i>x</i>2 2.3<i>x</i>9



 2



<i>x</i> 3



2  2 2, <i>x</i>,(1).



 

2



2

2

2 4

2 4 2 4

1

2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>    <i>x</i> <i>x</i>

       

  

 

 

 2 4 1

2

<i>x</i>   <i>x</i>



 <i>x</i> 2 4 <i>x</i> 2, <i>x</i>: 2 <i>x</i> 4,(2).

Từ (1) và (2) ta có :

2 ₆ _{11 2}

2 4 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   




   










2

3 0

2 4 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _ _




   




<i>x</i>3.

LUYỆN TẬP

<b>Bài tập 1 : Tính a) 36.81 b) 64.2,89.0,0625 c) 3. 48 d) 5. 60. 27</b>
e) 0,025. 144 f) 2, 45. 40. 1,62 g) 81. 2

_



_

2 h)





2
7 5 .
<b>Bài tập 2 : Tính a) </b>



2 3 3 5 2 3 3 5

 





_b) ₁₅2 ₁₂2



c)

_

2 5 .

_{ }

2 2 2

_

2 d)





2
3 5  3 5

e)



12  27 3 . 3



_f)



5 2 3

 

5 3 2



.

<b>Bài tập 3 : Khơng dùng máy tính, so sánh a) 10 và 2</b> 3 b) 2 3 và 2 6.

<b>Bài tập 4 : Tính : a) </b><i>A</i>2 40 12 2 75 3 5 48

b) <i>_B</i>_ ₂_ _{3. 2}_ ₂_ _{3 . 2}_ ₂_ ₂_ _{3 . 2}_ ₂_ ₂_ ₃

c) <i>_C</i> _ ₄_ _{5 3 5 48 10 7 4 3}_ _ _ d) <i>_D</i>_ _{6 2 2 3}_ ₂_ ₁₂_ _{18 128} .
<b>Bài tập 5 : Rút gọn biểu thức</b>

a) <i>_A</i> _{9 1 8}

_

<i>_x</i> ₁₆<i>_x</i>2

_

2_,<i>_x</i> ₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) 24 2 12 20
3 18 2 27 45

<i>C</i>   

  d)





2

4 2

2

3 2 6

<i>x</i>
<i>D</i>

<i>x</i> <i>x</i>




   , tìm giá trị nhỏ nhất của D.

<b>Bài tập 6 : Giải phương trình</b>

a) 9<i>x</i> 6 b) <i>x</i> 5 7 c) <i>x</i> 3 1 0  d) 64



<i>x</i> 1



40

e) 9 3

_

 <i>x</i>

_

2 15 0 f) <i>x</i> 1 3 <i>x</i> <i>x</i>2 4<i>x</i>6

g) ₃ <i>_x</i> _{3 4 4} <i>_x</i> <i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₆

      h) <i>x</i> 1 8 2 <i>x</i> <i>x</i>2 4<i>x</i>7.

LIÊN HỆ GIỮA CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

<b>1. Khai phương một thương : </b><i>a</i> 0 <i>b</i> 0 : <i>a</i> <i>a</i>

<i>b</i> <i>b</i>

    .

Muốn khai phương một thương <i>a</i>

<i>b</i> , trong đó <i>a</i> là số khơng âm cịn <i>b</i> là số dương, ta có thể

khai phương số <i>a</i> và số <i>b</i> rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
<b>2. Khai phương một tích : </b><i>a</i> 0 <i>a</i> 0 : <i>a</i> <i>a</i>

<i>b</i>
<i>b</i>

    .

Muốn chia căn bậc hai của số <i>a</i> không âm cho căn bậc hai của số <i>b</i> dương, ta có thể chia số

<i>a</i>_{cho số}<i>_b</i>_{rồi khai phương kết quả đó.}

<b>Ví dụ 1 : Tính :</b>
a) 25

121 b)
9
1

16 c)
999

111 d)
2
18
e) 149₂2 762₂

457 384



 f)

49 1

: 3

8 8 g) 2,5. 14,4 h)

9 4

1 .5 .0,01
16 9
i)



5 3 3 5 : 15



k)<i>a</i> <i>b</i> _: <i>b</i> _,<i>_b</i> _0;<i>_a</i>2 <i>_b</i> ₀

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>



  

 .

<b>Bài giải</b>
a) 25 25 5

121  121 11 b)

9 25 25 5

1

16  16  16 4.
c) 999 999 9 3

111

111    d)

2 2 1 1 1

18 9 3

18    9  .

e)



 





 



2 2

2 2

149 76 149 76

149 76 73.255 255 255 255

457 384 457 384 457 384 73.841 841 841 29

 



    

   .

f) 49: 31 49 : 25 49. 8 7
8 8  8 8  8. 25 5.

g) 2,5. 14, 4 25 144. 25. 144 5.12 6
10 10 10 10 10

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

---h) 1 9 .5 .0, 014 16 9 45 4 1. . 25.49 49 49 7

16 9 16 9 100 16.9.100 16.9.4 16. 9. 4 24

 

     .

i)

_

_

   

2 2

5 3

5 3 3 5 3 5 1 1

5 3 3 5 : 15 5 3 5 3 5 3

15 15 5 3

15 5 3



          .

k)



 



 

 

2

2 ₂

2

2

0; 0 : :

.

<i>a</i> <i>b a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b b</i> <i>_b</i>

  

 

     

 .

<b>Ví dụ 2 : Tính :</b>

a)



27 12 2 6 : 3 3



_b)



_{12 2 18 .}



2

2



c) 1 2 1 2 : 72

1 2 1 2

   



 

 _ _ 

 

d) 1 1 .2 2

3 2 3 2 1 2



 



 

  

 

<b>Bài giải</b>

a)

_

₂₇ _{12 2 6 : 3 3}

_

3 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2





1 2 2

3

3 3 3 3



  

     .

b)









 

2

2 2 12 18

12 2 18 . 12 2 18 . 2 6 2 9 6 6

2 ₂ 2 2

         _.

c)



 





 





 



 

2 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

: 72 : 72 : 72

1 2 1 2 1 2 1 2 ₁ ₂

        

 _ _ 

  

 

 _ _  _ _

  

1 2 1 2 : 72 2 2.2: 72 4 2 4 2 4 4 2

1 2 72 6 3

1 2 1 2 72 36

 _ _  _

      

 

 _ _  _

  .

d)







 







3 2 3 2 4 2 2 1

1 1 2 2 2 2 4 2 2

. . . 4 2

3 4

3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 1

   

  

 

    

 



       

  .

<b>Ví dụ 3 : Phân tích thành thừa số</b>

a) 22 33 b) 10 2 10 c) <i>a</i> 5<i>a</i>

d) <i>_{a b}</i> <i>_a</i>2 <i>_b</i>2

   e) <i>a</i> 1 2 <i>a</i> f) <i>x y</i>  <i>y x</i>

g) <i>a b</i>  <i>a</i>  <i>b</i> h) , , ,<i>a b x y</i> 0 : <i>ax</i>  <i>by</i>  <i>bx</i>  <i>ay</i> .

<b>Bài giải</b>

a) 22 33 2.11 3.11 2. 11 3. 11



2 3



11.
b) 10 2 10 2 5 



 10



2



 

5 2 2.5



2 5



5 2



_.
c) <i>a</i> 5<i>a</i>

_{ }

<i>a</i> 2 5. <i>a</i>  <i>a</i>

_

<i>a</i> 5

_

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

e) <i>_a</i> _{1 2} <i>_a</i>

 

<i>_a</i> ₂ <i>_a</i> ₁2



<i>_a</i> ₁



       .

f) <i>x y y x</i> 

 

<i>x</i> 2 <i>y</i> 

 

<i>y</i> 2 <i>x</i>  <i>x y</i>.



<i>x</i> <i>y</i>



.

g) <i>a b</i>  <i>a</i> <i>b</i>

    

<i>a</i> 2 <i>b</i> 2 <i>a</i> <i>b</i>

 

 <i>a</i> <i>b</i>

 

<i>a</i> <i>b</i>

 

 <i>a</i>  <i>b</i>



;

<i>a b</i>  <i>a</i>  <i>b</i> 



<i>a</i> <i>b</i>1

 

<i>a</i> <i>b</i>



h) , , ,<i>a b x y</i>0 : <i>ax</i>  <i>by</i>  <i>bx</i> <i>ay</i>.

 <i>ax</i>  <i>by</i> <i>bx</i> <i>ay</i>  <i>a x</i>.  <i>b y</i>.  <i>b x</i>.  <i>a y</i>. ;

 <i>ax</i>  <i>by</i> <i>bx</i> <i>ay</i>  <i>a</i>



<i>x</i> <i>y</i>



 <i>b</i>



<i>x</i> <i>y</i>

 

 <i>a</i>  <i>b</i>

 

<i>x</i> <i>y</i>



.

<b>Ví dụ 4 : a) So sánh 25 16</b> và 25 16.

b) Chứng minh rằng : <i>a b</i> 0 : <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> .

<b>Bài giải</b>
a) Ta có



25 16

  

2  9 2 9;

và



25 16

 

2  25



2 2 25. 16



16



225 2.5.4 16 1 9    .

a) Ta có <i>a b</i> 0 :



<i>a b</i>



2 



<i>a b</i>



2  <i>a b</i>  <i>a b</i>0;

và



<i>a</i> <i>b</i>

  

2  <i>a</i> 2 2 <i>a b</i>

 

<i>b</i> 2  <i>a</i> 2 <i>ab b a b</i>    2 <i>ab</i> 0 đpcm.
<b>Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức</b>

a) 2 2
2

<i>A</i>  b) 2 3
2 6

<i>B</i> 

 c) 1

<i>a a</i>
<i>C</i>

<i>a</i>






d) 6 2 5
5 1

<i>D</i> 

 e)

5 2 6

3 2

<i>E</i>  

 f)





2

27 3
48

<i>a</i>

<i>F</i>  

g) <i>G</i> 9 12<i>a</i>₂ 4<i>a</i>2
<i>b</i>

 

 h)









2

<i>ab</i>

<i>H</i> <i>a b</i>

<i>a b</i>

 



<b>Bài giải</b>

a)

 





2

2 2 2 1 2

2 2

2 1

2 2 2

<i>A</i>        .

b)

 

2





2 3 2 3 2 3 1

2 6 ₂ _{2 3} 2 2 3 2

<i>B</i>      

 _  .

c)

 





2

1

1 1 1

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a a</i>

<i>C</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

  



   

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

---d)

 





2 2

2

5 2 5 1 5 1 5 1

6 2 5

1

5 1 5 1 5 1 5 1

<i>D</i>         

   

.

e)

 

 





2 2 2

3 2 3 2 2 3 2 3 2

5 2 6

1

3 2 3 2 3 2 3 2

<i>E</i>          

   

.

f)









2 2

3 3

27 3 9 3

48 16 4

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>F</i>       .

g)









2 2

2
2

2 2 2

3 2

3 2.3.2 2 3 2

9 12<i>a</i> 4<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>G</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>



  

 

    ...

h)









2





; 0

; 0

<i>ab a b</i>

<i>ab</i> <i>ab</i>

<i>H</i> <i>a b</i> <i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i> <i>ab a b</i>

 _ _



    _



 _   .

<b>Ví dụ 6 : Giải phương trình</b>

a) 2<i>x</i> 50 0 b) 3<i>x</i> 3 12 27

c)



7 <i>x</i>

 

8 <i>x</i>



 <i>x</i> 11 d) 1



17 3 1



1



23 4 1



11  <i>x</i> 15  <i>x</i> .
e) 2 3 2

1

<i>x</i>
<i>x</i>




 f)

4 3
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>



<b>Bài giải</b>

a) 2<i>x</i> 50 0  2<i>x</i> 2. 25 0 <i>x</i> 5 0 <i>x</i>5. b)

3<i>x</i> 3 12 27  3



<i>x</i> 1



2 3 3 3 <i>x</i> 1 5 <i>x</i>6.

c)



7 <i>x</i>

 

8 <i>x</i>



 <i>x</i> 11_56 7 <i>x</i> 8 <i>x</i>

 

<i>x</i> 2  <i>x</i> 1156 15 <i>x</i> 11
₁₅ <i>_x</i> __{56 11}_ ₁₅ <i>_x</i> _₄₅ <i>_x</i> _{ }₃ <i>x</i>9.

d) 1



17 3 1



1



23 4 1



11  <i>x</i> 15  <i>x</i> . Điều kiện <i>x</i> 1 0 hay <i>x</i>1.

17 3 1 23 4 1

11 11 <i>x</i> 15 15 <i>x</i> 

4 3 23 17

1 1

15 <i>x</i>  11 <i>x</i> 15 11

 4 3 1 23.11 17.15

15 11 <i>x</i> 15.11



 

  

 

  

44 45 253 254
1

15.11 <i>x</i> 15.11

 

   <i>_x</i>_ _{1 2}_{ }<i>x</i>5.

e) 2 3 2
1

<i>x</i>

<i>x</i>




 , điều kiện để

2 3
1

<i>x</i>
<i>x</i>



 có nghĩa là

2 3
0
1
<i>x</i>
<i>x</i>


 

2 3 0
1 0
<i>x</i>
<i>x</i>

 


 

 hoặc

2 3 0
1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 


 2 3 0

1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 


3
2

1
<i>x</i>
<i>x</i>




 

 3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 2 3 0
1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 


3
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>





 


<i>x</i>1.

(e) 2 3 22

1
<i>x</i>
<i>x</i>


 
2 3
4 0
1
<i>x</i>
<i>x</i>

 
 

2 3 4 4
0
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
  


 
1 2
0
1
<i>x</i>
<i>x</i>


 
1
2

<i>x</i> .

Vậy phương trình có một nghiệm 1
2

<i>x</i> .

f) 4 3 3
1

<i>x</i>
<i>x</i>




 , điều kiện để

4 3
1

<i>x</i>
<i>x</i>



 có nghĩa là :

4 3 0
1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 


 4 3 0

1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 



3
4
1
<i>x</i>
<i>x</i>




  

 3
4

<i>x</i> .

4 3
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>


 









2
2
2

4 3
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>




4 3 9 0

1
<i>x</i>
<i>x</i>

 
 

4 3 9 9
0
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
  

 
5 6
0
1
<i>x</i>

<i>x</i>
 



 6 3

5 4

<i>x</i>   : vậy phương trình vơ nghiệm.

<b>Ví dụ 7 : So sánh 12</b> 11 và 11 10.

<b>Bài giải</b>

Ta có



 

 

 



2 2

12 11 12 11 12 11 ₁

12 11

12 11 12 11 12 11

  

   

  

;

và



 

 

 



2 2

11 10 11 10 11 10 ₁ ₁

11 10

11 10 11 10 11 10 12 11

  

    

   

.

Vậy 12 11 11 10.

<b>Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : </b> 0, 0 :

2 2

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>    .

<b>Bài giải</b>
Theo bất đẳng thức Cô-si 0, 0 :

2

<i>a b</i>

<i>a</i> <i>b</i>   <i>ab</i><i>a b</i> 2 <i>ab</i> .

Cộng <i>a b</i> vào hai vế của bất đẳng thức, ta có 2



<i>a b</i>



  <i>a b</i> 2 <i>ab</i>

2

_

<i>a b</i>

_



 

<i>a</i> 22 <i>a b</i>

 

<i>b</i> 22

_

<i>a b</i>

_





<i>a</i> <i>b</i>



2





2

2 4

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>_ 

 ...

<b>Ví dụ 9 : Chứng minh rằng </b>

2 2

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>      

2 2

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

---

2 2

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>      

Đặt <i>X</i>  <i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>

<i>X</i>2  <i>a</i> <i>b a</i>  <i>b</i>2



<i>a</i> <i>b a</i>

 

 <i>b</i>



2<i>a</i>2 <i>a</i>2 <i>b</i> 2



<i>a</i> <i>a</i>2 <i>b</i>



.

 ₂



2



₂ 2

2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>X</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>b</i>    

2
2

2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>    ,(1).

Đặt <i>Y</i>  <i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>

<i>Y</i>2  <i>a</i> <i>b a</i>  <i>b</i> 2



<i>a</i> <i>b a</i>

 

 <i>b</i>



2<i>a</i> 2 <i>a</i>2 <i>b</i> 2



<i>a</i> <i>a</i>2 <i>b</i>



.





2



2

2 2

2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>Y</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>b</i>    

2
2

2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>    ,(2).

Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), ta được đpcm.
<b>Ví dụ 10 : Cho </b>





_

_

2

2 2

2
2

1 4

3 12

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

   

a) Rút gọn <i>y</i>;

b) Tìm giá trị ngun của <i>x</i> để <i>y</i> có giá trị nguyên.
<b>Bài giải</b>

a)





_

_

 

2 2

2 2 2 2 2 2

2 ₂ ₂

2 2

1 4 2 1 4

3 12 6 3 12

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    

         ;

 





_

_

2 2

2 2 2 2 ₂

2

2 2

2 2

2 1 1 ₁

6 3 3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   _

          .



_

_

2 ₁ ₂ 2 ₃ ₁

3 <i>x</i> 3 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

      

  ;



_

_

2

1 3 1

3 <i>x</i> 0 <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> 3 <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

       

 ;



_

_

2 ₁ ₂ 2 ₃ ₁

0 <i>x</i> 3 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

      .

b) Nếu <i>x Z</i> thì <i>x</i> 3 <i>Z</i> _{, để}<i>y Z</i> _thì<i>x</i>2  1 <i>x</i> 1 <i>x</i> <i>x</i>1;<i>x</i>1_.

LUYỆN TẬP

<b>Bài tập 1 : Tính :</b>

a) 2 7

81 b)
1
1

49 c)
444

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

e) 1652 1242
164



f)



4 3 3 4 : 12



g) 3,6. 16,9 h) 2 3: 3

3 2 3





<b>Bài tập 2 : Tính :</b>

a)



7 48 3 27 2 12 : 3 



_b) 14 7 15 5 : 1

1 2 1 3 7 5

 _ _ 



 

  

 

c) ₁₅ 2 _{8 15 16,} 3 5

5 3

<i>a</i>  <i>a</i>  <i>a</i>  d) 5 2 6 8 2 15

7 2 10

  



<b>Bài tập 3 : Phân tích thành thừa số</b>

a) 77 55 b) 5 3 5 c) 2<i>m</i> 3<i>m</i>

d) <i>_m</i>2 ₄<i>_m</i> ₄ <i>_m</i>2 ₄

    e) <i>m</i> 3 2 3<i>m</i> f) <i>a b b a</i>

g) 1 3 5 15 h) 10 14 15 21

i) 35 14 15  6 j) 3 18 3 8

<b>Bài tập 4 : Dùng phép biến đổi căn thức so sánh 169 144</b> và 169 144.

<b>Bài tập 5 : Rút gọn biểu thức</b>
a) 3 3

1 3



 b)

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>



c) 7 4 3
3 2




d) 6 2 5
5 1

<i>D</i> 

 e)

5 2 6

3 2

<i>E</i>  

 f)





2

48 2
75

<i>m</i>

<i>F</i>  

g)

2
2
9<i>x</i> 6<i>x</i> 1

<i>G</i>

<i>a</i>

 

 h)





2 2

9
2

<i>H</i> <i>m n</i>

<i>m</i> <i>mn n</i>

 

 

<b>Bài tập 6 : Giải phương trình</b>

a) 5<i>x</i> 45 0 b) 2<i>x</i> 8 18 50 98

c)



5 <i>x</i>1 3

 

 <i>x</i>1



 <i>x</i> 12 e) 3 4 3
1

<i>x</i>
<i>x</i>




 f)

5 4
5
1

<i>x</i>
<i>x</i>




 .

<b>Bài tập 7 : Áp dụng công thức </b>

2 2

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>      

2 2

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>      

Tính : a) 3 5  3 5  2 b) 2 3 2 3 2.

<b>Bài tập 8 : Cho </b>





_

_

2

2 2

2
2

3 12

2 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

   

a) Rút gọn <i>y</i>;

</div>

<!--links-->