CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC THỨC

Chuyªn ®Ị 1: C¸c bµi to¸n vỊ biªn ®ỉi c¨n b¹c hai
Đề 1:
• Câu 1 :
Chứng minh : số A =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Hướng dẫn câu 1: A =
( )
( )
1
26
26
26
132532
2
2
=
+
+
=
+
+−+
• Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh : a+ b + c =
.cbabcacab
==⇔++
• Hướng dẫn câu 2

( ) ( ) ( )
cba
cbcababcacabcba
==⇔
=−+−+−⇔++=++
0
222
• Câu 3 : Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn
0
=−+
zyx
Chứng minh :
0
111
=
−+
+
−+
+
−+
zyxyxzxzy
• Hướng dẫn câu 3:

0
=−+
zyx
suy ra
xyzyxzyx 2
−=−+⇒=+
Tương tự : z + x - y =

xz2
; x + y - z =
xy2
Do đó ta có :
0
22
1
2
1
2
1111
=
−+
=−+=
−+
+
−+
+
−+
xyz
zyx
xyxzyz
zyxyxzxzy
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trò x,y,z thỏa mãn điều kiện :
zyxzyx
+−=+−
Hướng dẫn câu 4:
zyxzyx
+−=+−

⇔
zxyzyx
+=++−
điều kiện x,y,z ≥ 0 và x +z ≥y



=
=
⇔=−−⇔=+−⇔=+−⇔
zy
yx
zyyxxyzyxyxyzyxy 0))(()(.
Vậy x = y ≥0 hoặc y = z ≥0
• Câu 5 :Cho biết
(
)
(
)
333
22
=++++
yyxx
(1)
Hãy tính : E = x+ y.
• Hướng dẫn câu 5:
Nhân hai vế (1) cho
3
2
+−

xx
ta có : -3
(
)
33
2
=++
yy
(
3
2
+−
xx
)
⇔
(
)
(
)
)2(33
22
+−−=++
xxyy
Nhân hai vế (1) cho
3
2
+−
yy
ta có -3
(

)
33
2
=++
xx
(
3
2
+−
yy
)
⇔
(
)
(
)
)3(33
22
+−−=++
yyxx
Cộng 2 và 3 ta có : x+y = 0.
Câu 6 : Cho x và y thỏa
111
22
=−+−
xyyx
(1)
Chứng minh x + y = 1.
Hướng dẫn câu 6:
Cách 1: làm giống câu 5.

Cách 2: 1 suy ra
( ) ( )
(
)
01111111
2
2
2
2
2
222
=−−⇔−−=−⇔−−=−
yxxyyxxyyx
Suy ra
11
222
=+⇒−=
yxxy
Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và
zyzxyx
+++=+
(1)
Chứng minh :
0
111
=++
zyx
Hướng dẫn câu 7:
Điều kiện x+y, y + z và x+z ≥0
Bình phương hai vế (1) ta có

⇔=++⇔=++⇔=++
0))(())((
2
xzyzxyzxyzxzxyzx
0
111
=++
zyx
• Câu 8 :
Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh :
222
)(
1
)(
1
)(
1
accbba
−
+
−
+
−
là một số hửu tỉ
• Hướng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0
Ta có
222222
2
111
..

.2
111111
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
++=
++
+++=








++
• Câu 9: a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A =
xx
+
b) Tìm giá trò nhỏ nhất và giá trò lớn nhất của biểu thức :B =
xx
+−
3
• Hướng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại
x
là x ≥ 0 do đó A =

x
+ x ≥ 0 Nên MinA = 0 khi và chỉ khi
x =0
chú ý : cách giải sai : A =
4
1
4
1
4
1
2
1
2
−=⇒−≥−






+
MinAx
( Ở đây dấu bằng không thể
xảy ra vì khi đó
2
1
−=
x
là điều vô lí.
b) Điều kiện x ≤ 3 ; Đặt y =

x
−
3
suy ra y
2
= 3-x Do đó B = 3-y
2
+ y =
4
13
2
1
4
13
2
≤






−−
y
• Câu 10 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = x
2
y với các điều kiện x,y là số dương
và 2x + xy = 4.
• Hướng dẫn câu 10 :
Ta có A =

xyx.2
2
1
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2x và xy ta có :
A =
xyx.2
2
1
≤
2
4
)2(
2
1
2
=
+
xyx
Câu 11 :
ĐỀ II
Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2005-2006)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :









+
−<
+
1
11
2
)1(
1
kkkk
b) Chứng minh rằng :
2
)1(
1
.......
34
1
23
1
2
1
<
+
++++
nn
, với mọi số nguyên dương n .
Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T =
61230
1062315417
+

++−
Câu 3:
Rút gọn : B =
52253
20
+++
Câu 4: (65/400)
Tìm các số x,y, z thỏa
)(
2
1
21 zyxzyx ++=−+−+
Câu 5 : (67/400)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1. chứng minh rằng số :
A =
)1)(1)(1(
222
cba
+++
là một số hữu tỉ.
Câu 6 (80/1001)
Tìm x biết : x =
...135135
++++
trong đó các dấu chấm có nghóa là lặp đi lặp lại
cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Câ 7: (82/1001)
Rút gọn : A =
33
3312518233125182

−++
Câu 8: (84/1001)
Cho số x =
33
549549
−++
a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x
2
- 3x - 18 = 0 .
b) Tính x .
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a)
15252
33
=−++
b)
6
8
33
3223223
>






−++
( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)

a)Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A =
15
−+−
xx
b) Giải phương trình:
15
−+−
xx
= -x
2
+ 2x +1
Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999)
Tính giá trò biểu thức : A = (3x
3
+8x
2
+2 )
2006
với x =
56145
38517)25(
3
−+
−+
Câu 12 ( bài 11/tr120 cđbđtvà cực trò)
Cho a,b,c ≥ 0
Chứng minh rằng: a
2
+ b

2
+ c
2
≥
abccabbca
++
ĐỀ 3:
• Câu 1 :
Cho A =
20002001;19992000
−=−
B
;So sánh A và B.
Hướng dẫn : Ta có :
20002001
1
20002001
20002001
20002001
19992000
1
19992000
19992000
19992000
+
=
+
−
=−=
+

=
+
−
=−=
B
A
Do đó A > B
• Câu 2:Rút gọn biểu thức :
3242)4321(23
3814
3
)3612(
+++−−−
−
−
.
• Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây)
Tìm các giá trò của x,y,z thỏa mãn phương trình:
.3000)(
2
1
200220012000
−++=−+−+−
zyxzyx
Hướng dẫn:Đk : x≥ 2000 ;y≥ 2001 ; z ≥ 2002
Phương trình đã cho tương đương
0)2002()12001()12000(
222
=−+−−+−−
zyx

Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
• Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh đẳng thức :
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−
−
+
++
+
Hướng dẫn:
Ta có VT =
1
33
32
33
32
4

)13(
1
2
32
4
)13(
1
2
32
22
=
−
−
+
+
+
=
−
−
−
+
+
+
+
• CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh rằng số : x
0

3236322
+−−++=

là một nghiệm của phưong trình:
x
4
- 16x
2

+ 32 = 0
Hướng dẫn: Ta có
:
03216
166438)336(4)32(4
)3362322()8(
833623228
33623228
2
0
4
0
4
0
2
0
22
2
0
0
2
0
2
0

=+−⇔
+−=+−++⇔
−++=−⇔
≤−++=−⇔
−−+−=
xx
xx
x
x
x
2
x kiện Điều
Vậy x
0
là nghiệm của phương trình x
4
- 16x
2

+ 32 = 0
• Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây)
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:
.6)223()223(
=−++
nn
Hướng dẫn:
Đặt
.)223()223(
nn
a

−=>+=
a
1
thì 0a với
Phương trình đã cho tương đương a+
6
1
=
a
⇔ a
2
-6a + 1 =0 có nghiệm a
1
= 3-2
223;2
2
+=
a
- Với a
1
= 3-2
;2
suy ra
2)223()223(
223
1
223)223(
21
−=⇒+=+=
+

=−=+
−−
n
n
(loại).
- Với a
1
= 3+2
;2
suy ra
2)223(223)223(
2
=⇒+=+=+
n
n
Vậy n = 2
• Câu 7:
a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì
cba
cba
111111
222
++=++
b) Rút gọn :
22222222
2007
1
2006
1
1....

5
1
4
1
1
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
++++++++++++=
B
• Câu 8 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :
A =
x
x
x
x 2002
2
2001
−
+
+
−
Hướng dẫn:

Đk x ≥ 2002
Đặt a =
2001
−
x
; và b =
2002
−
x
Ta có a
2
= x -2001 ⇒ x +2= a
2
+ 2003
và x-2002 = b
2
; x = b
2
+ 2002.
A =
b
b
a
a
b
b
a
a
2002
1

2003
1
20022003
22
+
+
+
=
+
+
+
p dụng bất đẳng thức côsi ta có :
20022003
2003
≥+≥+
b
2002
và b
a
a
Do đó A ≤
2002
1
2003
1
+
; Đẳng thức xảy ra khi
4004
2002
2003

2003
2002
2
2
=⇔





=
=
⇔







=
=
x
b
a
a
a
b
b
• CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh)

a) Tính giá trò biểu thức : P = x
3
+ y
3
- 3(x+y) + 2004.
Trong đó
3333
221721217;223223
−++=−++=
yx
.
b) Rút gọn :
P =
20072003
1
...
1713
1
139
1
95
1
51
1
+
++
+
+
+
+

+
+
+
Hướng dẫn :
343221721217
63;223223
3
33
3
33
=−⇒−++=
=−⇒−++=
yyy
xxx
Do đó : P = x
3
+ y
3
- 3(x+y) + 2004= x
3
-3x + y
3
-3y +2004=6+34+2004=2044.
• Câu 10: