Ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông

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LÊ THỊ TRÀ LINH

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✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❚❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ x ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣
f (x) = ax2 + bx + c✱

tr♦♥❣ ✤â a, b, c ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ợ a = 0

Pữỡ tr ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣
ax2 + bx + c = 0✱

tr♦♥❣ ✤â x ❧➔ ➞♥ ✈➔ a, b, c ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ✈ỵ✐ a = 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♠ët
tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉

✹


f ( x) > 0 ,

f ( x) < 0 ,

f ( x) ≤ 0,

f ( x) ≥ 0 ,

tr♦♥❣ ✤â f (x) ❧➔ ♠ët t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳
✶✳✷

◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐

❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐
f (x) = ax2 + bx + c = 0.

❚❛ ❝â

✭✶✳✶✮

c
b
f ( x) = 0 ⇔ x2 + x = −
a
a
b
b2
b2
c
2
⇔x +2 x+ 2 = 2 −
2a
4a
4a
a
2
2
b − 4ac
b
.
=

⇔ x+
2a
4a2
✣➦t ∆ = b2 − 4ac✱ ❦❤✐ ✤â ∆ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜✐➺t t❤ù❝ ừ ữỡ tr r
ã

< 0 t ữỡ tr ổ

ã

= 0 t ữỡ tr ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ x = − 2ba ✳

•

◆➳✉ ∆ > 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
√
−b + ∆
,
x1 =
2a

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✶✳

√
−b − ∆
x2 =
✳
2a

❚❛ ❝â

•

◆➳✉ b ❧➔ sè ❝❤➤♥✱ t❤➻ t❛ ✤➦t b = 2b′✱ ∆′ = b′2 − ac✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∆ = 4∆′ ✈➔

•

◆➳✉ ac < 0✱ t❤➻ ∆
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳

√
−b′ + ∆′
x1 =
,
2a
> 0✳

√
−b′ − ∆′
x2 =
✳
2a

❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧✉ỉ♥ ❝â ❤❛✐

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè

✺

Pữỡ

t trữớ ủ ừ số a

ã a = 0✱ t❤➻ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ♥❤➜t
c
bx + c = 0 ⇔ x = − ✳
b
• a = 0 t t ữợ s
ữợ



ữợ

t t t t❤➻
❤➔♠ sè ♣❤↔✐ ❝â ❤❛✐ ❝ü❝ trà tr→✐ ❞➜✉✳ ✣✐➲✉ tữỡ ữỡ ợ f (x) = 0
õ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1, x2 ✈➔ f (x1)f (x2) < 0✳
❉♦ ỗ t t trử t ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë ❧ỵ♥
❤ì♥ α t❤➻ ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
• f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = 0
• f ( x 1 ) f ( x2 ) < 0
S
>α
2

a < 0
• af ′ (α) > 0

f ( α ) > 0.

ã

t ỗ t t trử t ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë ♥❤ä
❤ì♥ α t❤➻ ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
• f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = 0
• f ( x1 ) f ( x2 ) < 0
∆
<α
2

a > 0
• af ′ (α) > 0

f ( α ) < 0.

•

✷
✻✵


❱➼ ❞ö ✸✳✺✳✶✳

❈❤♦ ❤➔♠ sè

y = f (x) = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1).

❚➻♠ tt tr ừ m ỗ t ❤➔♠ sè ❝➢t trư❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ✸ ✤✐➸♠
♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈ỵ✐ ở ữỡ

ỗ t số t trử t t ợ
ở ữỡ
✈➔ ✤õ ❧➔
 ′
2
2

f (x) = 3x − 6mx + 3(m − 1) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1 , x2
▲í✐ ❣✐↔✐✳




f (x′ 1 )f (x2 ) < 0
af (0) > 0

af (0) < 0




 S = m > 0.
2
∆ = 9m2 − 9(m2 − 1) > 0




3(m2 − 1) > 0
⇔ m>0



f ( x1 ) f ( x2 ) < 0



−(m2 − 1) < 0

m>1



x1 = m − 1
⇔
x2 = m + 1



f ( x1 ) f ( x2 ) < 0.

✭✸✳✶✷✮

❚❛ ❝â

f (x1 ) = (m − 1)(m2 − 3),

f (x2 ) = (m + 1)(m2 − 2m − 1)✳

m>1
(m − 1)(m2 − 3)(m + 1)(m2 − 2m − 1) < 0


m>1


  − √3 < m < − 1
√
⇔ 
1
−
21


 √
3√
√
⇔ 3 < m < 1 + 2.
√
√
sè ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ 3 < m < 1 + 2✳

(3.12) ⇔

❉♦ ✈➟②✱ ✤→♣

❱➼ ❞ö ✸✳✺✳✷✳

❈❤♦ ❤➔♠ sè s õ ỗ t (C )

1
1
y = f (x) = x3 − mx2 + mx − m.
3
3

❍➣② ①→❝ ✤à♥❤ m ✤➸ (C ) ❝➢t trö❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ✸ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë
♥❤ä ❤ì♥ ✶✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❛ ❝â
f ′ (x) = x2 − 2mx + m.

✣➸ (C ) ❝➢t trö❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ✸ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë ♥❤ä ❤ì♥ ✶✱ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ
 ❧➔
f ′ (x) = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1 < x2 < 1
f (1) > 0

f (x )f (x ) < 0
 ′ 1 22
∆ =m −m>0





f ′ (1) = 1 − m > 0





S = m < 1
⇔ 2
1 1 1


− m >0



3 3 3



1

 (m2 − m)(1 − 2x1 )(m2 − m)(1 − 2x2 ) < 0
9
m<1
⇔
(1 − 2x1 )(1 − 2x2 ) < 0.

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ t❛ ❝â
❉♦ ✤â✱

✭✸✳✶✸✮

x 1 + x 2 = 2m
x1 x2 = m.

(3.13) ⇔ 1 − 4m + 4m < 0

✭✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✮✳

◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❣✐→ trà ♥➔♦ ❝õ❛ m t❤ä❛ ②➯✉ ❝➛✉ ❜➔✐ t♦→♥✳
✷
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✺✳✶✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔✐✱ f (x1) ✈➔ f (x2) ð tr➯♥ ữủ t
ớ f (x) f (x) rỗ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡✱ ❦❤ỉ♥❣ ♥➯♥ t➼♥❤ ❝ư
t❤➸ x1, x2 s rt ự t
ỹ tữỡ ừ ỗ t sổ ố ợ ữớ t



t sỹ tữỡ ừ ỗ t số ố ợ ởt
ữớ t ởt t♦→♥ r➜t ❦❤â ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤å❝ s✐♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❱➻ ✈➟②✱
tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤➾ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❤➔♠ sè ❜➟❝
❜è♥ trị♥❣ ♣❤÷ì♥❣✿
f (x) = ax4 + bx2 + c = 0 (a = 0)✳
❱➼ ❞ư ✸✳✺✳✸✳

❈❤♦ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
y = f (x) = x4 + 2(2m + 1)x2 − 3m

(C )✳

❚➻♠ m ✤➸ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➢♥ tr➯♥ trư❝ ❤♦➔♥❤ ❜❛ ✤♦↕♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✣➦t y = x2 ✈➔ ①➨t ❤➔♠ sè
g (y ) = y 2 + 2(2m + 1)y − 3m.

✣➸ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ (C ) ❝❤➢♥ tr➯♥ trö❝ ❤♦➔♥❤ ❜❛ ✤♦↕♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ (C ) ♣❤↔✐
❝➢t trö❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ✹ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❝➜♣ sè
❝ë♥❣✳

√
X A = − y2 ,

❚❛ ♣❤↔✐ ❝â

√
X B = − y1 ,

XC =

√

y1 ,

XD =

√
√
√
√

− y1 − ( − y2 ) = y1 − ( − y1 )
√
√
√
√
√
y2 − y1 = y1 + y1 = 2 y1
⇔
⇔ y 2 = 9y 1 > 0 .

✻✸

√

y2 ✳


❉♦ ✈➟②✱ g(y) ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t y1, y2 > 0 ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤ä❛ ♠➣♥ y2 = 9y1✱
tù❝ ❧➔
 ′
∆ >0


 2


af
(0)
>
0

4 m + 7m + 1 > 0








S
 −3m > 0
 >0
⇔ −2m − 1 > 0
2


b


10y1 = −2(2m + 1)


y
+
y
=
10
y
=
−



1
2
1


a

9y12 = −3m

c

2
 y 1 y 2 = 9y 1 =
√a

−7 − 33



m
<

8
⇔
⇔ m = − 3.
m = 3

m=1
12



ừ ữớ t ợ ừ

t ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣

mx2 + nx + p
✳
y = f ( x) =
dx + e
♠ët t✐➺♠ ❝➟♥ ✤ù♥❣ x = de ỗ

õ
t số ❧➔♠
❤❛✐ ♥❤→♥❤ ♥➡♠ ✈➲ ❤❛✐ ♣❤➼❛ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥✳
❳➨t ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = kx + q✳ ❱➜♥ ✤➲ ✤➦t r t ữớ
t t ỗ t❤à t↕✐ ✷ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❤♦➦❝ t ỗ t
t t tở ởt ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ t❛ ①➨t ✈à
tr➼ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳
mx2 + nx + q
−e
kx + q =
, d = 0, x =
.
✭✸✳✶✹✮
dx + e

d
✣➸ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ t❤✉ë❝ ♠ët ♥❤→♥❤ t❤➻ ✭✸✳✶✹✮ ♣❤↔✐ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
t❤ä❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
x 1 < x2 < −

e
d

❤♦➦❝ − de < x1 < x2.

❍♦➦❝ ✤➸ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ✈➲ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤➻ ✭✸✳✶✹✮ ♣❤↔✐ ❝â ✷
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✻✹


e
x 1 < − < x2 ✳
d
❱➼ ❞ö ✸✳✺✳✹✳

x2 − 2 x
õ ỗ t (P )
số y =
x1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d)y = −x + k ổ t ỗ t (P ) t
t A ✈➔ B ❀
✷✳ ❚➻♠ k ✤➸ OA⊥OB ✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✶✳ ❍♦➔♥❤ ✤ë ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ (d) ✈➔ (P ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

x2 − 2 x
= −x + k ⇔ 2x2 − (k + 3)x + k = 0.
✭✸✳✶✺✮
x−1
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ x = 1 ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✺✮✳ ❚❛ ❝â
∆ = (k − 1)2 + 8 > 0 ợ ồ x R.

õ ữỡ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✺✮ ❧✉ỉ♥ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈ỵ✐ ♠å✐ k R
ữớ t (d) ổ t ỗ t❤à (P ) t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳
✷✳ ❚❛ ❝â ❤➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ OA ✈➔ OB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔
a=

−xA + k
y
−xA + k
yA
=
✈➔ b = B =
✳
xA
xA
xB
xA

❉♦ ✤â✱ OA⊥OB ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

−xA + k −xB + k
= −1

xA
xB
xA xB − k ( xA + xB + k 2 )
= − 1.
⇔
xA xB

a.b = −1 ⇔

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐❡t✱ t❛ ❝â

xA + xB =

✭✸✳✶✻✮

k
k+3
✈➔ xA xB = ✳
2
2

❚❤❛② ✈➔♦ ✭✸✳✶✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ k = 1✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ OA⊥OB ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
k = 1✳
✷
❱➼ ❞ö ✸✳✺✳✺✳

❈❤♦ ❤➔♠ sè s ợ ỗ t (C )
y=

2x + 4

x+1



✈➔ (d) ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ E (−4, 2) ✈➔ ❝â ❤➺ sè ❣â❝ m✳ ❳→❝ ✤à♥❤ m ✤➸ (d)
❝➢t (C ) t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B ❧➛♥ ❧÷đt t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ (C )✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❝â ❞↕♥❣
y = m(x + 4) + 2 = mx + 4m + 2.

❍♦➔♥❤ ✤ë ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ (d) ✈➔ (C ) ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳

2x + 4
f (x) = mx2 + 5mx + 4m − 2 = 0
⇔
✭✸✳✶✼✮
mx + 4m + 2 =
x = −1
x+1
✣➸ (d) ❝➢t (C ) t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ t❤➻ ✭✸✳✶✼✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠
x1 , x2 t❤ä❛ ♠➣♥

x1 < −1 < x2 ⇔ mf (−1) < 0 ⇔ m > 0.
✷

✻✻

❑➌❚ ▲❯❾◆
Ù♥❣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐
t♦→♥ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣ ✑ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ✤➲ r❛✱
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✏

❝ö t❤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿

✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➟♥
❞ư♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳ ◆❤í ✤â✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â
❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳
✷✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❝ì ❜↔♥ ✤➳♥ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔
❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè✳

❍② ✈å♥❣ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ t✐➳♣ tư❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❤ì♥✱ ♥❤➡♠ ❝â t❤➸ ❧➔ ♠ët
t➔✐ ❧✐➺✉ t ồ s s ữợ ố t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳

✻✼


❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖
❬✶❪ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❍↕♦✱ ❱ô ❚✉➜♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ❙→❝❤ ●✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✶✵✱ ◆❳❇
●✐→♦ ❞ö❝✳
❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✷✵✵✷✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤✱ ◆❳❇ ử
Pỏ ỗ ữù ồ s ❣✐ä✐ t♦→♥ ✤↕✐ sè ✶✵✱ ◆❳❇
✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✹❪ ◆❣✉②➵♥ ❚✐➳♥ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✶✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ð tr÷í♥❣
♣❤ê t❤ỉ♥❣ tr✉♥❣ ❤å❝✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳

❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❙ì♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ✣↕✐ sè ✶✵ ✲ ❈→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ✈➔
♣❤→t tr✐➸♥✱ ◆❳❇ ❚ê♥❣ ủ ỗ
ự Pữỡ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣✱
◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✳

✻✽