Gián án Bài tập Casio:Số học (hay)

Dạng 9.Số học
1) Tìm một số biết nhân số đó với 15 rồi cộng với lập phơng của số đó sẽ bằng 6 lần bình
phơng của số đó cộng với 31 lần số đó?
2) Tìm một số biết nếu nhân số đó với 12 rồi thêm vào lập phơng của số đó thì kết quả bằng 6 lần bình
phơng của số đó cộng với 35 .
3/ Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2007! Chia hết cho 7
a
.
4/ Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc cùng một số d .
HD:Ta có:13511

r(mod a)
13903

r(mod a)
14589

r(mod a)


392

0(mod a)
1078

0(mod a)
686

0(mod a)

a =ƯCLN(392;1078;686) = 98

Đáp số:a = 98.
5/Luỹ thừa bậc 5 của một số gồm các chữ số:1,2,3,3,7,9.Tìm số đó?
6/Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoả mãn:
a/Số tạo thành bởi 3 chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi 3 chữ số đầu 1 đơn vị.
b/Là số chính phơng.
7/Cho 4 số nguyên , nếu cộng ba số nguyên bất kỳ ta đợc các số là 180 , 197, 208 , 222 . Tìm số lớn
nhất trong các số nguyên đó .
8/Cho a = 2
8
+ 2
11
+2
n
.Tìm số tự nhiên n để a là số chính phơng.
HD:
+Nếu n = 8 thì a = 2
8
+ 2
11
+2
8
= 5.2
9
Loại
+Nếu n < 8 thì a = 2
8
(9+2
n-8
) với n

N
*
Loại
+Nếu n>8 thì ta có:
a = 2
8
(9+2
n-8
) với n

N
*
Vì a là số chính phơng thì 9 + 2
n-8
= p
2



2
n-8

= p
2

- 9 ,p >3


2
n-8

= (p-3)(p+3) ,p >3
Vì 2
n-8
là tích của hai số có hiệu [(p+3)-(p-3)=6] và mỗi số phải là luỹ thừa của 2.

3 8
3 2
p
p
+ =


=


p =5

n =12
9/Tìm các chữ số a, b , c , d để ta có :
5 7850a bcdì =
.
10/Cho biết tỷ số của 7x - 5 và y + 13 là hằng số và y = 20 khi x = 2 .
Hỏi khi y = 2010 thì x bằng bao nhiêu ?
11/Tìm tất cả các số tự nhiên có không quá 10 chữ số mà khi ta đa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên
thì số đó tăng gấp 5 lần .
12/ Biết rằng số a =
1 2 3 4 5 6 7
80 3a a a a a a a
là lập phơng của một số tự nhiên.Hãy tìm số a.

13/ Tính tổng các chữ số của số A
2
biết A = 99998 (Số A có 2007 chữ số 9).
14)Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4,
Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 .
15) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4,
Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 , Chia 9 d 8, Chia 10 d 9 .
16/ Tìm số có 10 chữ số sao cho chia cho 5 d 2 , chia cho 9 d 2 , chia cho 735 d 20.
17/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 123 thì đợc thơng lớn nhất là 97 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên
trên.
18/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 678 thì đợc thơng lớn nhất là 397 và số d lớn nhất.Tìm số tự
nhiên trên.
19/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102011 thì đợc thơng lớn nhất là 2012 và số d lớn nhất.Tìm số
tự nhiên trên.
20/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:222;255;249;234.
Tìm số nguyên lớn nhất.
21/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:4691;5568;5599;4706.
Tìm số nguyên lớn nhất.
22/Tổng các chữ số của một số có 2 chữ số cho trớc cộng với bình phơng của tổng 2 chữ số ấy cho ta
chính số đó.Tìm số đã cho.
23/Tìm x,y sao cho:
62 427xy
M
99
24/Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98.
25/Tìm một số tự nhiên biết số đó chia cho 26 thì đợc số d bằng 2 lần bình phơng của số thơng.
26/Tìm 3 số nguyên tố khác nhau biết tích 3 số đó gấp 3 lần tổng của chúng.
27/Chứng minh rằng luôn tìm ra đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số.
28/Cho p là số nguyên tố >3 .Hỏi p
2

+2003 là số nguyên tố hay là hợp số.
29/Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại thì ta
đợc một số chính phơng.
30/Chứng minh rằng :a=19
k
+ 5
k
+ 1995
k
+ 1996
k
không là số chính phơng.
31/Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
( )
2
2
1
2
abc n
cba n

=


=


32/Hãy xét xem số a = 1
k
+ 9

k
+ 19
k
+ 1993
k
,
k Z
+

và k lẻ có phải là một số chính phơng không?
HD:Vì k lẻ nên:1
k

1(mod 4)
9
k

1
k
(mod 4)

1(mod 4)
19
k

(-1)
k
(mod 4)

-1(mod 4)

1993
k

1
k
(mod 4)

1(mod 4)
Vậy: a

2(mod 4)


a không phải là số chính phơng.
33/Chứng minh rằng số b = 1 +9
2k
+ 77
2k
+ 1977
2k
không phải là số chính phơng với
k Z
+

.
HD:Ta có:1

1(mod 3)
9
2k

0
2k
(mod 3)

0(mod 3)
77
2k

(-1)
2k
(mod 3)

1(mod 3)
1977
2k

0
2k
(mod 3)

0 (mod 3)
Vậy: b

2 (mod 3) (Vô lý)

b không phải là số chính phơng.
34/Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và
chia cho 5 d 4.
HD:Ta có: a

1(mod 2)
a

2(mod3)
a

3(mod 4)
a

4(mod 5)

20a

40(mod 60)
15a

45(mod 60)
12a

48(mod 60)

47a

133(mod 60)

13(mod 60)

47a=60t+13

60 13 13 13
47 47
t t
a t
+ +
= = +
Đặt
13 13 47 13 8
3 1
47 13 13
t k k
k t k
+
= = = +
Đặt
8 13 5
13 8 8
k u u
u k u= = = +
Đặt
5 8 3
8 5 5
u v v
v u v= = = +
Đặt
3 5 2
5 3 3
v p p
p v p= = = +
Đặt

2 3
3 2 2
p q q
q p q= = = +
Đặt
2
2
q
l q l= =
(với t,k,u,v,p,q,l

Z
+
)

p=2l+l=3l

v=3l+2l=5l

u=5l+3l=8l

k=8l+5l=13l

t=3.13l-1+8l=47l-1

a=47l-1+13l=60l-1
Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất

Chọn l=1

a=59
Đáp số:a=59.
35/Chứng minh rằng số
{
{
11...1 10...05 1A
= ì +
là số chính phơng.
HD:Ta có :A =(10
1994
+10
1993
+...+10+1)
ì
(10
1995
+5)+1
=
1995
1995
10 1
(10 5) 1
9

ì + +
=
2
1995
10 2

3

+
ữ

Mà : 2

2 (mod 3)
10
1995

1(mod 3)

10
1995
+2

3(mod 3)

0(mod 3)
Chứng tỏ: 10
1995
+2
M
3
Vậy A là số chính phơng.
36/ Với giá trị nào của k
N
thì:
1995 1995

2 5
3 19
1995 1997
k k
A
= +
chia hết cho 4.
HD:Ta có: 1995

-1 (mod 4)
1997

1 (mod 4)
1995
2
3
( 1) 1 (mod 4)
k
A
+
Vậy : A
M
4

1995
2
3
( 1) 1 4
k
+

M
k lẻ
37/Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 2933, 1799 , 2357 cho a ta đợc cùng một số d.
38/Cho a = 111 (2n chữ số 1) và b = 444 ( n chữ số 4)
Chứng minh rằng:a + b + 1 là số chính phơng.
39/Chứng minh rằng số:
{
{
22499...910...09A
=
là số chính phơng với n

2
1995 số 1 1994 số 0
n-2 số 9 n số 0
40/Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n+1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số
tự nhiên,n

1).
Chứng minh rằng:a+b+c+8 là số chính phơng.
41/ Cho số a
n

=
57421 35n+
Tìm n

N (1000

n

2000 ) để a
n
có giá trị cũng là số tự nhiên.
42/Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy u
n
= n +
2
2003
n
.
43/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102010 thì đợc thơng lớn nhất là 2010 và số d bé nhất.Tìm số
tự nhiên trên.
44/ Cho số a = 1.2.317 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ chữ số 1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a , biết ớc số đó :
a/ Là lập phơng của một số tự nhiên.
b/ Là bình phơng của một số tự nhiên.
45/ Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 215
2
+ 314
2
.
46/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1 2 3 4x y z
mà chia hết cho 13.
47/
a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636đợc viết dới dạng phân số tối giản .Thế thì tổng của tử và
mẫu là:
A.15 B.45 C.114 D.135 E.150
b/ Mệnh đề sau đây đúng không:(0,3333).(0,6666) = (0,2222)

c/ Nếu F = 0,4818181 đợc viết dới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
48/ Xét phơng trình dạng Fermat:
1 2 1 2
... ...
n n n
n n
x x x x x x= + + +
Phát biểu bằng lời:Tìm các số có n chữ số sao cho tổng luỹ thừa bậc n của các chữ số bằng chính số ấy.
Trong các số sau đây số nào là nghiệm của phơng trình trên:153; 370;371; 407; 1634; 8280; 9474;
54748; 92727; 93084; 548834; 1741725; 4210818; 9800817; 9926315; 24678050; 24678051;
33467290; 55213479; 88593477; 146511208; 472335975; 534494836; 912985153; 4679307774;
6693271456.
49/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n
3
là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều bằng 1, tức là
n
3
= 1111111 ( dấu biểu thị các số đứng giữa).Tìm n và n
3
.
50/Giả sử a là một số tự nhiên cho trớc.
a/ Tìm hai chữ số tận cùng của a để bình phơng của a có tận cùng là 89.
b/Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a mà bình phơng của nó là một số bắt đầu bằng chữ số 19 và kết thúc bằng
chữ số 89 .
c/ Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n
2
là một số 12 chữ số có dạng :n
2
= 2525******89 .(Trong đó
sáu dấu * biểu thị sáu chữ số ,có thể khác nhau).Tìm các chữ số đó.

51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 3 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây: