HE THONG KIEN THUC TOAN CUA QUANG HIEU

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Hệ thống kiến thức cơ bản

<i>Môn : Hình Học - THCS</i>

<i>Website: </i>

<b>1.</b> Điểm - Đờng thẳng

<i>- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,</i>
<i>B, C, ... để đặt tên cho điểm</i>

<i>- BÊt cứ hình nào cũng là một tập</i>
<i>hợp các điểm. Một điểm cũng là</i>
<i>một hình.</i>

<i>- Ngi ta dùng các chữ cái thờng a,</i>
<i>b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các</i>
<i>đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ</i>
<i>cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái</i>
<i>thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ...</i>
<i>)</i>

<i>- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm</i>
<i>C nằm trên đờng thẳng a hoặc </i>
<i>đ-ờng thẳng a đi qua điểm C), kí</i>
<i>hiệu là: </i>Ca

<i>- Điểm M khơng thuộc đờng thẳng a</i>
<i>(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a</i>
<i>hoặc đờng thẳng a khơng đi qua</i>

<i>điểm M), kí hiệu là: </i>Ma

2. Ba ®iĨm thẳng hàng

<i>- Ba im cùng thuộc một đờng</i>
<i>thẳng ta nói chúng thẳng hàng</i>

<i>- Ba điểm khơng cùng thuộc bất kì</i>
<i>đờng thẳng nào ta nói chúng khơng</i>
<i>thẳng hàng.</i>

<b>3. §êng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song</b>

<i>- Hai đờng thẳng AB và BC nh</i>
<i>hình vẽ bên là hai đờng thẳng</i>
<i>trùng nhau.</i>

<i>- Hai đờng thẳng chỉ có một điểm</i>
<i>chung ta nói chúng cắt nhau, điểm</i>
<i>chung đó đợc gọi là giao điểm</i>
<i>(điểm E là giao điểm)</i>

<i>- Hai đờng thẳng khơng có điểm</i>
<i>chung nào, ta nói chúng song song</i>
<i>với nhau, kí hiệu xy//zt</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>ờng thẳng bị chia ra bởi điểm O </i>
<i>đ-ợc gọi là một tia gốc O (có hai tia</i>
<i>Ox và Oy nh hình vẽ)</i>

<i>- Hai tia chung gc to thành đờng</i>
<i>thẳng đợc gọi là hai tia đối nhau</i>
<i>(hai tia Ox và Oy trong hình vẽ là</i>
<i>hai tia đối nhau)</i>

<i>- Hai tia chung gốc và tia này nằm</i>
<i>trên tia kia đợc gọi là hai tia trùng</i>
<i>nhau</i>

<i>- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng</i>
<i>nhau</i>

<b>5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thng</b>

<i>- Đoạn thẳng AB là hình gồm</i>
<i>điểm A, điểm B và tất cả các điểm</i>
<i>nằm giữa A và B</i>

<i>- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót</i>
<i>(hc hai đầu) của đoạn thẳng</i>
<i>AB.</i>

<i>- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ</i>
<i>dài đoạn thẳng l mt s dng</i>

6. Khi nào thì AM + MB = AB ?

<i>- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm</i>
<i>A và B thì AM + MB = AB. Ngợc</i>
<i>lại, nếu AM + MB = AB thì điểm</i>

<i>M nằm giữa hai điểm A và B</i>

<b>7. Trung điểm của đoạn thẳng</b>

<i>- Trung điểm M của đoạn thẳng</i>
<i>AB là điểm nằm giữa A, B và cách</i>
<i>đều A, B (MA = MB)</i>

<i>- Trung ®iĨm M của đoạn thẳng</i>
<i>AB còn gọi là điểm chính giữa của</i>
<i>đoạn thẳng AB</i>

<b>8. Na mt phng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau</b>

<i>- Hình gồm đờng thẳng a và một</i>
<i>phần mặt phẳng bị chia ra bởi a </i>
<i>đ-ợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a</i>
<i>- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ </i>
<i>đ-ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối</i>
<i>nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II)</i>
<i>đối nhau)</i>

<b>9. Gãc, gãc bĐt</b>

<i>- Góc là hình gồm hai tia chung</i>
<i>gốc, gốc chung của hai tia gọi là</i>
<i>đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh</i>
<i>của góc </i>

<i>- Gãc xOy kÝ hiƯu là </i>_xOy <i>_hoặc</i>_O

<i>hoặc </i>xOy

<i>- im O là đỉnh của góc</i>
<i>- Hai cạnh của góc : Ox, Oy</i>

<i>- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai</i>
<i>tia i nhau</i>

<b>10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhän, gãc tï.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>- So s¸nh hai gãc bằng cách so</i>
<i>sánh các số đo của chúng</i>

<i>- Hai góc xOy và uIv bằng nhau </i>
<i>đ-ợc kí hiệu là: </i>_xOy _uIv

<i>- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viÕt:</i>

   

xOyuIv uIv xOy

<i>- Gãc cã số đo bằng 900_{= 1v, là góc}</i>

<i>vuông</i>

<i>- Gãc nhá h¬n gãc vuông là góc</i>
<i>nhọn</i>

<i>- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ</i>
<i>hơn góc bẹt là góc tù.</i>

<b>11. Khi nào thì </b>_xOy _yOz _xOz

<i>- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox</i>
<i>và Oz thì </i>_xOy _yOz _xOz .

- <i>Ngợc lại, nếu </i>_xOy _yOz _xOz <i>thì</i>
<i>tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz</i>

<b>12. Hai góc kề nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï</b>

<i>- Hai góc kề nhau là hai góc có</i>
<i>một cạnh chung và hai cạnh còn</i>
<i>lại nằm trên hai nửa mặt phẳng</i>
<i>đối nhau có bờ chứa cạnh chung.</i>
<i>- Hai góc phụ nhau là hai góc có</i>
<i>tổng số đo bằng 900</i>

<i>- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã</i>
<i>tỉng sè ®o b»ng 1800</i>

<i>- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù</i>
<i>nhau đợc gọi là hai góc k bự</i>

<b>13. Tia phân giác của góc</b>

<i>- Tia phân giác của một góc là tia</i>
<i>nằm giữa hai cạnh của góc và tạo</i>

<i>với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau </i>
<i>- Khi:</i>_xOz__zOy __{xOy vµ xOz = zOy} 
<i>=> tia Oz là tia phân giác của góc</i>
<i>xOy</i>

<i>- Đờng thẳng chứa tia phân giác</i>
<i>của một góc là đờng phân giác của</i>
<i>góc đó (đờng thẳng mn là đờng</i>
<i>phân giác của góc xOy)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>a) Định nghĩa:</b> Đờng thẳng vng góc</i>
<i>với một đoạn thẳng tại trung điểm</i>
<i>của nó đợc gọi là đờng trung trực của</i>
<i>đoạn thẳng ấy</i>

<i><b>b) Tỉng qu¸t:</b></i>

<i>a là đờng trung trực của AB</i>

  


a AB t¹i I
IA =IB

<b>15. Các góc tạo bi mt ng thng ct hai ng thng</b>

<i><b>a) Các cặp gãc so le trong:</b></i>

 

1 3

A vµ B <i>; </i>A vµ B 4  2<i>.</i>

<i><b>b) Các cặp góc đồng vị:</b></i>

 

1 1

A vµ B <i>; </i>A vµ B 2  2<i>;</i>

 

3 3

A vµ B <i>; </i>A vµ B 4  4<i>.</i>

<i><b>c) Khi a//b thì:</b></i>

1 2

A và B <i>; </i>A vµ B 4  3<i> gọi là các cặp</i>

<i>góc trong cïng phÝa bï nhau</i>

<b>16. Hai đờng thẳng song song</b>

<i><b>a) DÊu hiÖu nhËn biÕt</b></i>

<i>- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng</i>
<i>thẳng a, b và trong các góc tạo</i>
<i>thành có một cặp góc so le trong</i>
<i>bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng</i>
<i>vị bằng nhau) thì a và b song song</i>
<i>với nhau</i>

<i><b>b) Tiên đề Ơ_clít</b></i>

<i>- Qua một điểm ở ngoài một đờng</i>
<i>thẳng chỉ có một đờng thẳng song</i>
<i>song với đờng thẳng đó</i>

<i><b>c, Tính chất hai đờng thẳng song song</b></i>

<i>- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

a

I B

A

1
4

2
3
4

3 2
1

b
a

B
A

c

b

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 <i>Hai gãc so le trong b»ng nhau;</i>

 <i>Hai góc đồng vị bằng nhau;</i>

 <i>Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.</i>

<i><b>d) Quan hƯ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song</b></i>

<i>- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vng</i>
<i>góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng</i>
<i>song song với nhau</i>

a c

a / / b
b c

 


 

<i>- Một đờng thẳng vng góc với một</i>
<i>trong hai đờng thẳng song song thì</i>
<i>nó cũng vng góc với đờng thẳng</i>
<i>kia</i>

c b

c a
a / / b

 

 




<i><b>e) Ba đờng thẳng song song</b></i>

<i>- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song</i>

<i>song với một đờng thẳng thứ ba thì</i>
<i>chúng song song với nhau</i>

<i>a//c vµ b//c => a//b</i>

<b>17. Gãc ngoµi của tam giác</b>

<i><b>a) Định nghĩa:</b> Gãc ngoµi cđa mét</i>
<i>tam giác là góc kỊ bï víi mét gãc</i>
<i>cđa tam gi¸c Êy</i>

<i><b>b) TÝnh chÊt:</b> Mỗi góc ngoài của tam</i>
<i>giác bằng tổng hai góc trong không</i>
<i>kề với nó</i>

ACx AB

<b>18. Hai tam giác bằng nhau</b>

c

b

a

c

b

a

c
b

a

x

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>nhau là hai tam giác có các cạnh </i>
<i>t-ơng ứng bằng nhau, các góc tt-ơng</i>
<i>ứng b»ng nhau</i>

     

ABC A 'B 'C '

AB A 'B '; AC A 'C '; BC B 'C '
A A '; B B '; C C '

 

  





<i><b>b) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác</b></i>
<i><b>*) Trờng hợp 1:</b> Cạnh - Cạnh - Cạnh</i>

<i><b>(c.c.c)</b></i>

<i>- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba</i>
<i>cạnh của tam giác kia thì hai tam</i>
<i>giác đó bằng nhau</i>

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A ' B '

AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c )
BC B 'C '

 

 



 _ 



<i><b>*) Trờng hợp 2: </b>Cạnh - Góc - Cạnh</i>

<i><b>(c.g.c)</b></i>

<i>- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam</i>
<i>giác này bằng hai cạnh và góc xen</i>
<i>giữa của tam giác kia thì hai tam</i>
<i>giác đó bằng nhau</i>

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A ' B '

B B ' ABC A 'B 'C '( c.g.c)
BC B 'C '

 

 




 _ 



<i><b>*) Trờng hợp 3:</b> Góc - Cạnh - Góc <b>(g.c.g)</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

C

'

B'

A'

C

B

C'
B'

A'

C
B

A

C'
B'

A'

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam</i>
<i>giác này bằng một cạnh và hai góc</i>
<i>kề của tam giác kia thì hai tam giác</i>
<i>đó bằng nhau</i>

 

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
B B '

BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g )
C C '

 







 



<i><b>c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông</b></i>

<i><b>Trng hp 1:</b> Nu hai cạnh góc vng của tam giác vng này</i>
<i>bằng hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác</i>
<i>vng đó bằng nhau.</i>

 <i><b>Trờng hợp 2</b>: Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh</i>
<i>ấy của tam giác vng này bằng một cạnh góc vng và một góc</i>
<i>nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai giác vng đó</i>
<i>bằng nhau.</i>

 <i><b>Trờng hợp 3:</b> Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác</i>
<i>vng này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng</i>
<i>kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.</i>

A

B

C

A'

B'

C'

C'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

 <i><b>Trờng hợp 4:</b> Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam</i>
<i>giác vng này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam</i>
<i>giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.</i>

<b>19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam</b>
<b>giác (</b><i>quan hệ giữa góc và cạnh đối diện</i>
<i>trong tam giác</i><b>)</b>

<i>- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh</i>
<i>lớn hơn là góc lớn hơn</i>

 

ABC : NÕu AC > AB th× B > C



 <i>Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn</i>

<i> </i>__{ABC : Nếu B > C thì AC > AB} 

<b>20. Quan hệ giữa đờng vng góc và đờng xiên, đờng xiên</b> <b>và</b>
<b>hình chiếu</b>

<i><b>Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng</b></i>
<i><b>xiên</b></i>

<i>- </i>Lấy Ad, kẻ AHd, lấy Bd và BH. Khi đó<i>:</i>

<i>- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vng góc</i>
<i>kẻ t A n ng thng d</i>

<i>- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên </i>
<i>đ-ờng thẳng d</i>

<i>- on thng AB gọi là một đờng xiên</i>
<i>kẻ từ A đến đờng thẳng d</i>

<i>- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của</i>
<i>đờng xiên AB trên đ.thẳng d</i>

<i><b>Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vng góc:</b></i>

<i>Trong các đờng xiên và đờng vng góc kẻ từ một</i> <i>điểm ở ngoài một</i>
<i>đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc là đờng ngắn nhất.</i>

<i><b>Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

A

B

C

_A'

B'

C'

C'

B'

A'

C

B

A

A

B

C

d

B

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng n</i>
<i>ng thng ú, thỡ:</i>

<i>Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn</i>

<i>Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn</i>

<i>Nu hai ng xiờn bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc</i>
<i>lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.</i>

<b>21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam</b>
<b>giác</b>

<i>- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn</i>
<i>độ dài cạnh còn lại.</i>

<i>AB + AC > BC</i>
<i>AB + BC > AC</i>
<i>AC + BC > AB</i>

<i>- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn</i>
<i>độ dài cạnh còn lại.</i>

<i>AC - BC < AB</i>
<i>AB - BC < AC</i>
<i>AC - AB < BC</i>

<i><b>- Nhận xét</b> : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn</i>
<i>hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.</i>

<i>VD: AB - AC < BC < AB + AC</i>

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>- Ba đờng trung tuyến của một tam giác</i>
<i>cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi</i>
<i>đỉnh một khoảng bằng </i> 2

3 <i> độ dài đờng</i>

<i>trung tuyến đi qua đỉnh ấy:</i>

GA GB GC 2

DA  EB FC 3

<i>G là trọng tâm của tam giác ABC</i>

<b>22. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác</b>

<i>- Ba đờng phân giác của một tam</i>
<i>giác cùng đi qua một điểm. Điểm</i>
<i>này cách đều ba cạnh của tam</i>
<i>giác đó</i>

<i>- Điểm O là tâm đờng tròn nội</i>
<i>tiếp tam giác ABC </i>

<b>23. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác</b>

<i>- Ba đờng trung trực của một tam </i>

<i>giác cùng đi qua một điểm. Điểm </i>
<i>này cách đều ba đỉnh của tam giác </i>
<i>đó</i>

<i>- Điểm O là tâm đờng trịn ngoại tiếp</i>
<i>tam giác ABC</i>

<b>24. Ph¬ng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản </b>
<b>(</b><i>sử dụng một trong các cách sau đây</i><b>)</b>

<i><b>a) Chứng minh tam giác cân</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau</i>
<i>2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau</i>

<i>3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao</i>
<i>4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở</i>

<i>đỉnh</i>

<i><b>b) Chứng minh tam giác đều</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau</i>
<i>2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau</i>
<i>3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600</i>
<i><b>c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành</b></i>

<i>1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành</i>
<i>2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành</i>

<i>3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình</i>
<i>hành</i>

<i>4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

G

D

F

E

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>5. Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi</i> <i>đờng là</i>

<i>hình bình hành</i>

<i><b>d) Chøng minh mét tứ giác là hình thang:</b></i>

<i><b> </b>Ta chng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song</i>

<i><b>e) Chøng minh một hình thang là hình thang cân</b></i>

<i>1. Chng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau</i>
<i>2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau</i>

<i><b>f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật</b></i>

<i>1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật</i>

<i>2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật</i>
<i>3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhËt</i>

<i>4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau l hỡnh ch nht</i>

<i><b>g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi</b></i>

<i>1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau</i>

<i>2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau</i>

<i>3. Hỡnh bỡnh hành có hai đờng chéo vng góc với nhau</i>

<i>4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác ca mtgúc</i>

<i><b>h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông</b></i>

<i>1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau</i>
<i>2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc</i>

<i>3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc</i>
<i>4. Hình thoi có một góc vng</i>

<i>5. Hình thoi cú hai ng chộo bng nhau</i>

<b>25. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang</b>

<i><b>a) Đờng trung bình của tam giác</b></i>

<i> Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối</i>
<i>trung điểm hai cạnh của tam giác</i>

<i> Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ</i>
<i>ba và b»ng nưa c¹nh Êy</i>

<i>DE là đờng trung bình của tam giác </i>

1
DE / / BC, DE BC

2



E

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i> Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối</i>
<i>trung điểm hai cạnh bên của hình thang</i>

 <i> Định lí:</i> Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy

<i>EF là đờng trung bình của</i>
<i> hình thang ABCD</i>

EF//AB, EF//CD, EF AB CD
2

<b>26. Tam giỏc ng dng</b>

<i><b>a) Định lí Ta_lét trong tam gi¸c:</b></i>

<i>- Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai</i>
<i>cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng</i>
<i>ứng tỉ lệ</i>

AC '
AB '

B 'C '/ / BC ;

AB AC

AC ' C 'C

AB ' _; B 'B

B 'B C 'C AB AC

 

 

<i><b>b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:</b></i>

- <i>Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên</i>
<i>hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song</i>
<i>song với cạnh cịn lại của tam giác</i>

<i>VÝ dô:</i> AB ' AC ' B 'C '/ /BC

AB  AC  ; <i>Các trờng hợp khác tơng tự</i>
<i><b>c) Hệ quả của định lí Ta_lét</b></i>

<i><b>- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song </b></i>
<i><b>song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba </b></i>
<i><b>cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn</b></i>
<i><b>đúng trong trờng hợp đờng thẳng song song với một cạnh của </b></i>
<i><b>tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại (</b></i>

AC ' B 'C '

AB '

B 'C '/ / BC

AB AC BC

   <i><b>)</b></i>

<i><b>d) Tính chất đờng phân giác của tam giác:</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

F
E

D C

B
A

C'

B'

a

C

B

A

C'

B'

a
C

B

A

C' B'

a

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>- Đờng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối</i>
<i>diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó</i>

DB AB

DC  AC

D 'B AB
D 'C  AC
<i><b>e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : </b></i>

<i>- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng</i>
<i>nhau và các cạnh tơng ứng tỉ lệ</i>

     

A A '; B B '; C C '

ABC A ' B 'C ' _AB _AC _BC

k( tỉ số đồng dạng )
A 'B ' A 'C ' B 'C '

 _ _ _



  _{ }

  




<i><b>f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:</b></i>

<i>- </i>Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại
thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

MN / / BC AMN ABC

<i><b>*) Lu ý</b>: Định lí cũng đúng đối với trờng</i>
<i>hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai</i>
<i>cạnh của tam giác và song song với</i>

<i>cạnh còn lại</i>

<i><b>g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác</b></i>

<i>*)<b>Trờng hợp 1:</b> Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam</i>
<i>giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.</i>

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

AC BC

AB _ABC _{A 'B 'C '(c.c.c )}

A 'B ' A 'C' B 'C '

 

    

<i>*)<b>Trờng hợp 2:</b> Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của</i>
<i>tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam</i>
<i>giác đồng dạng</i>

D' B C

A

D C

B

A

a

N

M

C

B

A

C

'

B'

A'

C

B

A

S

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
BC

AB

A 'B ' B 'C ' _ABC _{A ' B 'C'( c.g.c )}
B B '

 



 _

  




 _

*)<i><b>Trờng hợp 3:</b> Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của</i>
<i>tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;</i>

 
 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A '

ABC A ' B 'C '(g.g )
B B '

 


 

  


 _

<i><b>h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông</b></i>

<i>*)<b>Trờng hợp 1</b>: Nếu hai tam giác vng có một góc nhọn bằng nhau thì</i>
<i>chúng đồng dạng.</i>

 
 

0

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A ' 90

ABC A ' B 'C '
C C'

 



  

  


 _

<i>*)<b>Trờng hợp 2:</b> Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này tỉ lệ</i>
<i>với hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác đó đồng</i>
<i>dạng.</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

C'

B'

C

B

A

C

'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A’

C

B

A

S

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AC

AB _ABC _{A 'B 'C '}

A 'B '  A 'C'   

<i>*)<b>Trờng hợp 3</b>: Nếu cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vng</i>
<i>này tỉ lệ với cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vng kia</i>
<i>thì hai giác đó đồng dng.</i>

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
BC

AB _ABC _{A 'B 'C '}

A 'B '  B 'C'   

<b>27. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng</b>
<b>dạng</b>

<i>- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số</i>
<i>đồng dạng</i>

<i>- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số</i>
<i>đồng dạng</i>

<i>- Cơ thĨ : </i>A 'B 'C ' ABC theo tØ sè k

<i>=> </i> A 'B 'C' 2

ABC

S

A 'H ' _{k vµ} _k

AH  S

<b>28. Diện tích các hình</b>

.

<i>S</i><i>a b</i>  2

<i>S</i><i>a</i> S 1 ah

2

 S 1 ah

2



1

S ah

2

 S 1 (a b)h EF.h

2

  

C'

B'

A'

C

B

A

a

h

a

h

a

F
E

b

h

a

S

a

b

_h

a

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

.



<i>S</i> <i>a h</i>

1 2
1

S d d

2



<b>29. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản </b>

<i>(dựng thc thng, thc o , thc có chia khoảng, compa, êke)</i>
<i>a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;</i>

<i>b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;</i>

<i>c) Dựng đờng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm</i>
<i>của một đoạn thẳng cho trc;</i>

<i>d) Dựng tia phân giác của một góc cho trớc;</i>

<i>e) Qua một điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với một đờng</i>
<i>thẳng cho trớc;</i>

<i>f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng</i>
<i>song song với một đờng thẳng cho trớc;</i>

<i>g) Dùng tam gi¸c biÕt ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa,</i>
<i>hoặc biết một cạnh và hai góc kề.</i>

<i>Ngi vit : Giỏo viên Phạm Văn Hiệu</i>

h

a

d1

d

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>30. HÖ thøc lợng trong tam giác vuông (lớp 9)</b>

<i><b>a) Mt s h thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông</b></i>

 2

b ab'

 2

c ac '

 2 2 2

a b c (Pi_ta_go)
 bc = ah

 2

h b ' c '

 1₂ 1₂ 1₂

b c h

<i><b>b) Tỉ số lợng giác cña gãc nhän</b></i>

 Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối

sin

c¹nh hun

  cos c¹nh kỊ

c¹nh hun
 

cạnh đối
tg

c¹nh kỊ

  cot g c¹nh kỊ

cạnh đối
 

 <i>Mét sè tÝnh chÊt cđa c¸c tØ sè lợng giác</i>

<i>+) nh lớ v t s lng giỏc ca hai góc phụ nhau</i>
<i> Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:</i>

<i> sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.</i>

<i>+) Cho </i> 0 0

0   90 <i>. Ta cã:</i>

<i> </i>₀__sin_{ }_1; ₀__cos_{ }_1; _sin2_{ }_cos2_{ }₁<i> </i>
<i> </i>tg sin ; cot g cos ; tg .cot g 1

cos sin

 

    

<i>So sánh các tỉ số lợng giác</i>

0 0

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0     90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g
<i><b>c) Mét sè</b></i> <i><b>hƯ thøc vỊ cạnh và góc trong tam giác vuông</b></i>

a
H

h

b'
b
c'

c

C
B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i>b = a.sinB;</i> <i>c = a.sinC</i>
<i>b = a.cosC;</i> <i>c = a.cosB</i>
<i>b = c.tgB;</i> <i>c = b.tgC</i>
<i>b = c.cotgC;</i> <i>c = b.cotgB</i>

<i>=> a = </i> b c b c

sinB  sinC  cosC cosB

<b>31. Đờng tròn, hình tròn, góc ở tâm, số đo cung</b>

<i>- Đờng tròn tâm O, bán kính R là hình</i>
<i>gồm các điểm cách O một khoảng bằng</i>
<i>R, kí hiƯu (O ; R).</i>

<i>- Hình trịn là hình gồm các điểm nằm</i>
<i>trên đờng tròn và các điểm nằm bờn</i>
<i>trong ng trũn ú.</i>

<i>- Trên hình vẽ:</i>

<i>+) Cỏc điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc)</i>
<i>đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R. </i>
<i>+) M nằm bên trong đờng tròn; OM < R</i>
<i>+) N nằm bên ngồi đờng trịn; ON > R</i>
<i>+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)</i>
<i>+) CD = 2R, là đờng kính (dây cung lớn</i>
<i>nhất, dây đi qua tâm)</i>

<i>+) </i>_AmB <i>_{lµ cung nhá (}</i> 0 0

0   180 <i>)</i>

<i>+) </i>_AnB <i> lµ cung lín </i>

<i>+) Hai điểm A, B là hai mút của cung</i>

<i>- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn </i>
<i>đ-ợc gọi là góc ở tâm (</i>_AOB <i>_{là góc ở tâm}</i>

<i>ch¾n cung nhá AmB)</i>

<i>- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn</i>
<i>- Số đo cung:</i>

<i>+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của</i>
<i>góc ở tâm chắn cung đó </i>



s® AmB<i> (</i>00   1800)

<i>+) Sè đo của cung lớn bằng hiệu giữa</i>
<i>3600_{và số ®o cđa cung nhá (cã chung}</i>

<i>hai mót víi cung lín)</i>

 0

s® AnB 360  

<i>+) Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800_,</i>

<i>số đo của cả đờng tròn bằng 3600</i>

<b>32. Quan hệ vng góc giữa đờng kính và dây</b>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>



0

180

 

0 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i>- Trong một đờng trịn, đờng kính vng</i>
<i>góc với một dây thì đi qua trung điểm</i>
<i>của dây ấy</i>

<i>AB </i>CD<i> t¹i H => HC = HD</i>

<i>- Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua</i>
<i>trung điểm của một dây không đi qua</i>
<i>tâm thì vng góc với dây ấy</i>

<b>33. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây</b>

<i><b>Định lí 1: </b>Trong một đờng trịn</i>

<i>a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm</i>
<i>b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau</i>

<i>AB = CD => OH = OK</i>
<i>OH = OK => AB = CD</i>

<i><b>Định lí 2: </b>Trong hai dây của một đờng trịn </i>
<i>a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn</i>
<i>b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn</i>

<i>AB < CD => OH > OK</i>
<i>OH > OK => AB < CD</i>

<b>34. </b>Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn

<i><b>a) Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau </b>(cú</i>
<i>hai im chung)</i>

<i>- Đờng thẳng a gọi là cát tuyến cđa (O)</i>
<i>d = OH < R vµ HA = HB = </i> 2 2

R  OH

<i><b>b) Đờng thẳng và đờng trịn tiếp xúc</b></i>
<i><b>nhau </b>(có một im chung)</i>

<i>- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)</i>
<i>- Điểm chung H là tiếp điểm</i>

<i>d = OH = R</i>

<i>*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng</i>
<i>là tiếp tuyến của một đờng trịn thì nó vng</i>
<i>góc với bán kính đi qua tiếp điểm.</i>

<i>a là tiếp tuyến của (O) tại H => a </i>OH
<i><b>c) Đờng thẳng và đờng trịn khơng giao</b></i>
<i><b>nhau </b>(khơng có điểm chung)</i>

<i>d = OH > R</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i>dÊu hiÖu sau:</i>

 <i>Dấu hiệu 1: Đờng thẳng và đờng trịn chỉ có một điểm chung (định</i>
<i>nghĩa tiếp tuyến)</i>

 <i>Dấu hiệu 2: Đờng</i> thẳng đi qua một điểm của đờng trịn và vng góc với
bán kính đi qua điểm đó

 

H O

a lµ tiÕp tun cđa (O)
a OH t¹i H



 _




 _

<b>36. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp,</b>
<b>bàng tiếp tam giác</b>

<i><b>a) Định lí: </b>Nếu hai tiếp tuyến của</i>
<i>một đờng trịn cắt nhau tại một điểm</i>
<i>thì:</i>

 <i>Điểm đó cách đều hai tiếp điểm</i>

 <i>Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là</i>
<i>tia phân giác của góc tạo bởi</i>
<i>hai tiếp tuyến</i>

 <i>Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là</i>
<i>tia phân giác của góc tạo bởi</i>
<i>hai bán kính đi qua các tiếp</i>
<i>điểm.</i>



ABAC;OABOAC;AOB AOC
<i><b>b) Đờng tròn nột tiếp tam giác</b></i>

<i>- ng trũn tiếp xúc với ba cạnh của</i>
<i>tam giác đợc gọi là đờng trịn nội tiếp</i>
<i>tam giác, khi đó tam giác gọi là tam</i>
<i>giác ngoại tiếp đờng tròn</i>

<i>- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam</i>
<i>giác là giao điểm của các đờng phân</i>

<i>giác các góc trong của tam giác</i>

<b>c) </b><i><b>Đờng tròn bàng tiếp tam giác</b></i>

<i>- ng trũn tip xỳc với một cạnh của</i>
<i>một tam giác và tiếp xúc với các phần</i>
<i>kéo dài của hai cạnh kia gọi là đờng</i>
<i>tròn bàng tiếp tam giác</i>

<i>- Tâm của đờng tròn bàng tiếp là</i>
<i>giao điểm của hai đờng phân giác</i>
<i>các góc ngồi tại hai đỉnh nào đó</i>
<i>hoặc là giao điểm của một đờng phân</i>
<i>giác góc trong và một đờng phân giác</i>
<i>góc ngồi tại một đỉnh</i>

<i>- Với một tam giác có ba đờng</i>
<i>trịn bàng tiếp (hình vẽ là </i>
<i>đ-ờng trịn bàng tiếp trong góc</i>
<i>A)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>37. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của hai</b>
<b>đờng trịn.</b>

<i><b>a) Hai đờng trịn cắt nhau</b></i>

<i>(cã hai ®iĨm chung)</i>
<i>- Hai điểm A, B là hai giao điểm</i>
<i>- Đoạn thẳng AB là dây chung</i>

R - r < OO' < R + r

<i>- Đờng thẳng OO’ là đờng nối tâm,</i>
<i>đoạn thẳng OO’ là đoạn nối tâm</i>

<i>*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối</i>
<i>tâm là đờng trung trực của dây chung</i>

<i><b>b)</b></i> <i><b>Hai đờng tròn tip xỳc nhau</b></i>

<i>(có một điểm chung)</i>
<i>- Điểm chung A gọi là tiếp điểm</i>

<i>+) Tiếp xúc ngoài tại A:</i>

OO'Rr

<i>+) Tiếp xúc trong tại A:</i>

OO'R r

<i><b>c) Hai ng trũn khụng giao nhau</b></i>

<i>(không có điểm chung)</i>
<i>+) ở ngoài nhau:</i>

OO'Rr

<i>+) Đựng nhau:</i>

OO'R r

<i>+) c biệt (O) và (O’) đồng tâm:</i>

OO'0

<i><b>d) Tiếp tuyến chung của hai ng</b></i>
<i><b>trũn</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<i>đoạn nối tâm</i>

<i>- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối</i>
<i>tâm</i>

<b>38. So sỏnh hai cung trong mt đờng tròn hay trong hai đờng</b>
<b>tròn bằng nhau.</b>

<i>- Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau</i>
<i>- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đợc gọi là cung lớn hơn</i>
<i>- Kí hiệu: </i>_AB _{CD; EF} _GH _GH _EF

<b>39. Liên hệ giữa cung và dây.</b>

<i><b>*) Định lí 1: </b></i>

<i>Vi hai cung nh trong một đờng tròn hay trong</i>
<i>hai đờng tròn bằng nhau:</i>

<i>a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau</i>
<i>b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau</i>

ABCDABCD ; AB CDAB CD

<i><b>*) Định lí 2: </b></i>

<i>Vi hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay trong</i>
<i>hai đờng tròn bng nhau:</i>

<i>a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn</i>
<i>b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn</i>

ABCDABCD ; AB CDAB CD

<b>40. Góc nội tiếp</b>

<i><b>a) Định nghĩa:</b></i>

<i>- Gúc ni tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng</i>
<i>trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của </i>
<i>đ-ờng trịn đó. </i>

<i>- Cung nằm bên trong góc đợc gọi là cung</i>
<i>bị chắn</i>

<i><b>b) §Þnh lÝ:</b></i>

<i>Trong một đờng tròn, số đo của góc nội</i>
<i>tiếp bằng nửa số đo ca cung b chn</i>

BAC <i>là góc nội tiếp chắn</i>

<i>cung nhá BC(h×nh a) và</i>
<i>chắn cung lớn BC(hình b)</i>

1

BAC
2

<i>sđ </i>_BC

<i><b> c) Hệ quả: </b>Trong một đơng trịn</i>

<i>+) C¸c gãc néi tiÕp bằng nhau chắn các cung bằng nhau</i>

<i>+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng</i>
<i>nhau thì bằng nhau</i>

<i>+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900_{) cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa}</i>

<i>gãc ë tâm cùng chắn một cung</i>

<i>+) Gúc ni tip chn na đờng trịn là góc vng.</i>

<b>41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyến và dây cung</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>a) Khái niệm:</b></i>

<i>- Gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc</i>
<i>có đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh là một</i>
<i>tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của</i>
<i>đờng tròn</i>

<i>- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn</i>
<i>- Hình vẽ: </i>

 _BAx <i> ch¾n cung nhá AmB</i>

 _BAy <i> ch¾n cung lớn AnB</i>

<i><b>b) Định lí:</b></i>

<i>- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây</i>
<i>cung bằng nửa số đo của cung bị chắn</i>

<i><b>c) Hệ quả:</b></i>

<i>Trong mt đờng trịn, góc tạo bởi tia tiếp</i>
<i>tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn</i>
<i>một cung thì bằng nhau.</i>



BAx ACB 1₂<i>s®</i>_AmB

 

 

1

BAx s® AmB
2

1

BAy s® AnB
2




<b>42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn. Góc có đỉnh ở bên ngồi</b>
<b>đờng trịn.</b>

<i><b>a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn.</b></i>

<i>- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng trịn đợc gọi</i>
<i>là góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn</i>

<i>- Hình vẽ: </i><i>_BEC_{là góc có đỉnh ở bên trong}</i>
<i>đ-ờng tròn chắn hai cung là </i>_{BnC , AmD} 

<i>- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn</i>

<i>bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn</i>

 s®BnC s® AmD 
BEC

2



 _n

m

o
e

c

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<i>- Góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn là góc có</i>
<i>đỉnh nằm ngồi đờng trịn và các cạnh đều có</i>
<i>điểm chung với đờng trịn</i>

<i>- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong</i>
<i>góc, hình vẽ bên: </i>_BEC <i>_{là góc có đỉnh ở bên}</i>

<i>ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là</i>

 

AmD vµ BnC

<i>- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn</i>
<i>bằng nửa hiệu số đo hai cung b chn</i>

sđBnC sđ AmD
BEC

2

<b>43. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc</b>

<i><b>a) Bài toán: </b>Với đoạn thẳng AB và góc </i><i> (</i>

0 0

0   180 <i>) cho tríc th× q tích các điểm M</i>

<i>thỏa mÃn </i>_AMB <i>_{lµ hai cung chứa góc}</i>

<i>dựng trên đoạn thẳng AB</i>

<i>- Hai cung chứa góc </i><i> dựng trên đoạn thẳng</i>
<i>AB đối xứng với nhau qua AB</i>

<i>- Khi α = 900_{thì hai cung chứa góc là hai nửa}</i>

<i>ng trũn đờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các</i>
<i>điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới một góc</i>
<i>vng là đờng tròn đờng kính AB (áp dụng</i>
<i>kiến thức này để chứng minh tứ giác nội tiếp)</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

E

O
D

B

C

A _m

n

1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<i><b>b) C¸ch vÏ cung chøa gãc </b><b>α</b></i>

<i>- Vẽ đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.</i>
<i>- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc </i>



<i>( </i><i>_BAx₌</i> <i>)</i>
<i>- Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax . Gọi O là giao</i>

<i>điểm của Ay với d </i>

<i>- VÏ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho</i>
<i>cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không</i>
<i>chứa tia Ax.</i>

<i><b>c) Cách giải bài toán quỹ tích</b></i>

<i>Mun chng minh qu tớch (hay tp hợp) các điểm M thỏa mãn tính</i>
<i>chất </i>_T<i> là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:</i>

<i>Phần thuận: Mọi điểm có tính chất </i>_T<i> đều thuộc hình H </i>
<i>Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất </i>_T<i> </i>

<i>KÕt ln: Q tÝch (hay tập hợp) các điểm M có tính chất </i>_T<i> là hình H</i>

<b>44. Tứ giác nội tiếp</b>

<i><b>a) Khái niệm tø gi¸c néi tiÕp</b></i>

<i>- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng</i>
<i>tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gi tt</i>
<i>l t giỏc ni tip)</i>

<i><b>b) Định lí:</b></i>

<i>- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc</i>

<i>i din bằng 1800</i> <i>Tứ giác ABCD nội</i>

<i>tiÕp (O), suy ra:</i>

    0

ACBD180
<i><b>c) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp</b></i>

 <i>_{Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180}0</i>

 <i>_{Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối}</i>

<i>diƯn</i>

 <i>_{Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định}</i>

<i>đ-ợc). Điểm đó là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác</i>

 <i>_{Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại}</i>

<i>díi mét gãc α</i>
<i>L</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i>- Đờng trịn đi qua tất cả các đỉnh của một đa</i>
<i>giác đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp đa giác và</i>
<i>đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn</i>
<i>- Đờng tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của</i>
<i>một đa giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp đa</i>
<i>giác và đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp </i>
<i>đ-ờng trịn</i>

<i>- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ</i>
<i>một đờng trịn ngoại tiếp, có một và chỉ một </i>
<i>đ-ờng tròn nội tiếp.</i>

<i>- Trong đa giác đều, tâm của đờng tròn ngoại</i>
<i>tiếp trùng với tâm của đờng tròn nội tiếp và </i>
<i>đ-ợc gọi là tâm của đa giác đều.</i>

<b>46. Một số định lí đợc áp dụng : </b><i>(khơng cn chng minh)</i>

<i><b>a) Định lí 1: </b></i>

<i>+) Tõm ca ng trịn ngoại tiếp tam giác vng là trung điểm của</i>
<i>cạnh huyền</i>

<i>+) Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng trịn ngoại</i>
<i>tiếp thì tam giác đó là tam giỏc vuụng</i>

<i><b>b) Định lí 2:</b></i>

<i>Trong mt ng trũn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì</i>
<i>bằng nhau</i>

<i><b>c) §Þnh lÝ 3:</b></i>

<i>Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một</i>
<i>cung thì i qua trung im ca dõy cng cung y.</i>

<i><b>d) Định lÝ 4: </b></i>

<i>Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung</i>
<i>(khơng phải là đờng kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung</i>
<i>bằng nhau</i>

<i><b>e) §Þnh lÝ 5:</b></i>

<i>Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một</i>
<i>cung thì vng góc với dây căng cung ấy và ngợc lại, đờng kính vng</i>
<i>góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.</i>

<b>47. Độ dài đờng trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện</b>
<b>tích hình quạt trịn</b>

<i><b>a) Độ dài đờng trịn</b></i>

<i>Cơng thức tính độ dài đờng trịn (chu vi hình</i>
<i>trịn) bán kính R là:</i>

<i> </i> C =2 R  <i> Hc </i> C =<i>d</i>

<i>Trong đó: C : là độ dài đờng tròn</i>
<i> R: là bán kính đờng trịn</i>
<i> d: là đờng kính đờng trịn</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

3,1415...

 <i> là số vô tỉ.</i>

<i><b>b) Độ dài cung tròn</b></i>

<i>Độ dài cung tròn n0_là:</i> .

180
<i>R n</i>
<i>l</i> <i> </i>
<i>Trong đó: l : là độ dài cung tròn n0</i>

<i> R: là bán kính đờng trịn</i>
<i> n: là số đo độ của gúc tõm</i>

<i><b>c) Diện tích hình tròn</b></i>
2

.
<i>S</i> <i>R</i>

<i>Trong ú: </i>

<i>S : là diện tích hình tròn . </i>
<i>R : là bán kính hình tròn . </i>
<i> </i><i> 3 , 14 </i>

<i><b>d) Diện tích hình quạt tròn</b></i>
2

quat
R
S =

360

<i>n</i>



<i> Hc </i> .

2

<i>quat</i>

<i>R</i>
<i>S</i>

<i>Trong ú:</i>

<i> S là diện tích hình quạt tròn cung n0</i>

<i> R là bán kính </i>

<i>l</i>

<i> l di cung n0_{của hình quạt trịn}</i>
<i> 3 , 14</i>

<b>48. Ph¬ng pháp chứng minh một số bài toán hình học thờng gặp</b>
<b>khi ôn thi vào THPT </b>

<i><b>a) Chứng minh tam giác cân</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau</i>
<i>2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau</i>

<i>3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao</i>
<i>4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở</i>

<i>đỉnh</i>

<i><b>b) Chứng minh tam giác đều</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau</i>
<i>2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau</i>
<i>3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600</i>
<i><b>c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành</b></i>

<i>1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành</i>
<i>2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành</i>

<i>3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình</i>
<i>hành</i>

<i>4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i><b> </b>Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song</i>

<i><b>e) Chøng minh một hình thang là hình thang cân</b></i>

<i>1. Chng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau</i>

<i>2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau</i>

<i><b>f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật</b></i>

<i>1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật</i>

<i>2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật</i>
<i>3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhËt</i>

<i>4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau l hỡnh ch nht</i>

<i><b>g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi</b></i>

<i>1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau</i>

<i>2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau</i>

<i>3. Hỡnh bỡnh hành có hai đờng chéo vng góc với nhau</i>

<i>4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác ca mt gúc</i>

<i><b>h) Chứng minh một tứ giác là hình vu«ng</b></i>

<i>1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau</i>
<i>2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc</i>

<i>3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc</i>
<i>4. Hình thoi có một góc vng</i>

<i> 5. Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau</i>

<i><b>i) Chứng minh hai ng thng vuụng gúc</b></i>

<i>Ph ơng pháp 1 : NÕu hai gãc cđa mét tam gi¸c cã tỉng b»ng 900_th×</i>

<i>tam giác đó là tam giác vng => gúc cũn li bng 900_{=> hai}</i>

<i>đ-ờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông là vuông góc với nhau.</i>

<i>Ph ơng pháp 2 : Nếu một đờng thẳng vng góc với một trong hai </i>
<i>đ-ờng thẳng song song thì nó cũng vng góc với đđ-ờng thẳng kia</i>

 <i>Ph ơng pháp 3 : Vận dụng tính chất, nếu một tam giác có một đờng</i>
<i>trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là</i>
<i>tam giác vng => hai đờng thẳng chứa hai cạnh góc vng là</i>
<i>vng góc với nhau.</i>

 <i>Ph ơng pháp 4: Vận dụng tính chất ba đờng cao ca tam giỏc</i>

<i>Ph ơng pháp 5 : VËn dơng hai gãc kỊ phơ nhau (hai gãc kề có tổng</i>
<i>bằng 900₎</i>

<i>Ph ơng pháp 6 : Vận dụng tính chất hai cạnh kề của hình chữ nhật,</i>
<i>hình vuông thì vuông góc với nhau</i>

<i>Ph ơng pháp 7 : Vận dụng tính chất của tam giác cân</i>

<i>Trong tam giỏc cõn, ng phõn giỏc, ng trung tuyến xuất phát</i>
<i>từ đỉnh đồng thời là đờng cao</i>

 <i>Ph ơng pháp 8 : Vận dụng tính chất hai đờng chéo của hình thoi</i>
<i>vng góc với nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 9 : Vận dụng hai tam giác đồng dạng với nhau (hoặc</i>
<i>hai tam giác bằng nhau), trong đó có một tam giác vng.</i>

 <i>Ph ơng pháp 10 : Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai góc</i>
<i>kề bù thì vuông góc víi nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 11 : Dựa vào định lí đảo của định lí Py - ta - go</i>

<i>Ph ơng pháp 12 : Chứng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900_,</i>

<i>suy ra góc đối diện cũng bằng 900_{=> hai ng thng cha hai}</i>

<i>cạnh của góc là vuông góc với nhau.</i>

 <i>Ph ơng pháp 13 : Vận dụng tính chất đờng nối tâm</i>

 <i>Ph ơng pháp 14 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực.</i>

<i><b>k) Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

 <i>Ph ơng pháp 1 : Chứng minh hai đờng thẳng chứa hai cạnh đối của</i>
<i>hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình vng, hình thoi)</i>

 <i>Ph ơng pháp 2 : Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song</i>
<i>song: Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b và trong các góc</i>
<i>tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc</i>
<i>đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 3 : Hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ</i>
<i>ba thì song song với nhau.</i>

 <i>Ph ơng pháp 4 : Hai đờng thẳng cùng vng góc với đờng thẳng thứ</i>
<i>ba thì song song với nhau.</i>

 <i>Ph ơng pháp 5 : áp dụng định lí đảo của định lí Ta - lét</i>

<i><b>m) Chøng minh hai gãc b»ng nhau</b></i>

 <i>Ph ơng pháp 1 : Chứng minh hai góc đó là hai góc tơng ứng của hai</i>
<i>tam giác bằng nhau </i>

 <i>Ph ơng pháp 2 : Chứng minh hai góc đó là hai góc tơng ứng của hai</i>
<i>tam giác đồng dạng </i>

 <i>Ph ơng pháp 3 : Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh</i>

 <i>Ph ơng pháp 4 : Nếu hai đờng thẳng song song => hai góc so le</i>
<i>trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau.</i>

 <i>Ph ơng pháp 5 : Chứng minh hai góc của cùng một tam giác câ<b>n</b></i>
 <i>Ph ơng pháp 6 : Chứng minh hai góc của cựng mt tam giỏc u</i>

<i>Ph ơng pháp 7 : Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba</i>

<i>Ph ơng pháp 8 : Chứng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau</i>
<i>kh¸c</i>

 <i>Ph ơng pháp 9 : Chứng minh hai góc cùng phơ hc cïng bï víi</i>
<i>mét gãc thø ba</i>

 <i>Ph ơng pháp 10 : Chứng minh hai góc nội tiếp cùng chắn một cung</i>
<i>hoặc chắn hai cung bằng nhau</i>

<i>Ph ơng pháp 11 : Chứng minh hai góc có số đo bằng nhau.</i>

<i><b>n) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau</b></i>

<i>Ph ơng pháp 1 : Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tơng ứng</i>
<i>của hai tam gi¸c b»ng nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 2 : Sử dụng tính chất hai đờng chéo của hình bình</i>
<i>hành, hình chữ nhật, hình vng cắt nhau tại trung im ca mi</i>
<i>ng</i>

<i>Ph ơng pháp 3 : Vận dụng tính chất hai cạnh bên của tam giác cân</i>
<i>bằng nhau</i>

<i>Ph ng phỏp 4 : Vận dụng tính chất ba cạnh của tam giác đều bằng</i>
<i>nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 5 : Vận dụng sự bằng nhau của các cạnh đối của hình</i>
<i>bình hành, hình chữ nhật, hình thoi , hình vng.</i>

 <i>Ph ơng pháp 6 : Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn</i>
<i>thẳng thứ ba</i>

<i>Ph ơng pháp 7 : Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh bên của</i>

<i>hình thang cân</i>

<i>Ph ng pháp 8 : Trong một đờng tròn hoặc trong hai đờng tròn</i>
<i>bằng nhau, hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 9 : Trong một đờng tròn hoặc trong hai đờng trịn</i>
<i>bằng nhau, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau</i>

 <i>Ph ơng pháp 10 : Vận dụng định lí, nếu một đờng thẳng đi qua</i>
<i>trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai</i>
<i>thì nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba</i>

 <i>Ph ơng pháp 11 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

 <i>Ph ơng pháp 2 : Vận dụng tiên đề ơ-clít</i>

<i>Qua một điểm ở ngồi một đờng thẳng, chỉ có một đờng thẳng</i>
<i>song song với đờng thẳng ó cho</i>

<i>Ph ơng pháp 3 : Vận dơng tÝnh chÊt:</i>

<i>Qua một điểm ở ngồi một đờng thẳng, chỉ có một đờng thẳng</i>
<i>vng góc với đờng thẳng đã cho</i>

 <i>Ph ơng pháp 4 : Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi</i>
<i>qua điểm còn lại.</i>

 <i>Ph ơng pháp 5 : Vận dụng tính chất của hình bình hành là</i>
<i>hai đờng chéo của chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng.</i>

<i><b>p) Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy</b></i>

 <i>Ph ơng pháp 1 : Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam</i>
<i>giác: Ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, ba </i>
<i>đ-ờng trung trực.</i>

 <i>Ph ơng pháp 2 : Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm</i>
<i>trên đờng thẳng thứ ba.</i>

 <i>Ph ơng pháp 3 : Chứng minh các đờng cùng đi qua một điểm cố</i>
<i>định.</i>

<i>L</i>

<i> u ý : Các phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bởi những kĩ năng khác</i>
<i>nhau.</i>

<i><b>q) Chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn</b></i>

 <i> Ph ơng pháp 1 : Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố</i>
<i>định, khoảng cách đó là bán kính của đờng trịn.</i>

 <i> Ph ơng pháp 2 : Nếu một điểm nhìn một đoạn th¼ng díi gãc </i> 0

90 <i>,</i>

<i>thì theo quỹ tích cung chứa góc, điểm đó thuộc đờng trịn nhận</i>
<i>đoạn thẳng ấy là đờng kính</i>

 <i> Ph ơng pháp 3 : Nếu chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng</i>

<i>tròn, ta có thể chứng minh tứ giác nội tiếp</i>

 <i> Ph ơng pháp 4 : Nếu chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng</i>
<i>trịn, ta có thể chứng minh bốn điểm đó là bốn đỉnh của hình</i>
<i>vng, hình chữ nhật, hình thang cân.</i>

<i><b>r)</b></i><b> </b><i><b>Chứng minh quỹ tích của điểm là đờng tròn</b></i>
 <i>B ớc 1 : Tìm điểm cố định</i>

 <i>B ớc 2 : Chứng minh khoảng cách của điểm chuyển động với điểm</i>
<i>cố định khơng đổi.</i>

 <i>B íc 3 : KÕt luËn. </i>

<i>Điểm chuyển động trên đờng tròn, nhận điểm cố định làm tâm,</i>
<i>khoảng cách khơng đổi là bán kính.</i>

<i><b>s) Chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp</b></i>

<i>Ph ơng pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800</i>

 <i>Ph ơng pháp 2: Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong</i>

<i>của đỉnh đối diện</i>

 <i>Ph ơng pháp 3: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có</i>

<i>thể xác định đợc). Điểm đó là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác</i>

 <i>Ph ơng pháp 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa</i>

<i>hai đỉnh cịn lại dới một góc α</i>

 <i>Ph ¬ng pháp 5: Để chứng minh một tứ giác là tø gi¸c néi tiÕp ta cã</i>

<i>thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật,</i>
<i>hình vng, hình thang cân.</i>

<i><b>t) Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn;</b></i>
<i><b>chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến chung của hai đờng</b></i>
<i><b>tròn</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

 <i>Ph ơng pháp 1 : Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm của</i>
<i>đờng trịn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó.</i>

 

H O

a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H





<i>Ph ơng pháp 2 : </i>

<i> chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc</i>
<i>với đờng tròn (O) tại điểm A ta chứng</i>
<i>minh góc tạo bởi đờng thẳng d với dây</i>
<i>AB nào đó bằng góc nội tip chn cung</i>
<i>AB.</i>

<i>Cho hình vẽ:</i>

<i>Nếu </i>_BAx _ACB<i>_{thì d là tiÕp tun cđa}</i>

<i>đờng trịn</i>



<i>Ph</i>

<i> ơng pháp 3</i>

<i> : Sử dụng định lí đảo của định lí về</i>

<i>góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung</i>

<i>Cho h×nh vÏ:</i>

<i>NÕu </i>BAx 1 s® AmB
2

 <i> thì Ax là một tia</i>
<i>tiếp tuyến của đờng tròn</i>

<i><b>u) Phơng pháp chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các đoạn</b></i>
<i><b>thẳng, các cạnh của hai tam giác, các đoạn thẳng với bán</b></i>
<i><b>kính của đờng trũn , ...</b></i>

<i>Ph ơng pháp 1 : áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông</i>

<i>Ph ơng pháp 2 : Chứng hai tam giác đồng dạng</i>

 <i>Ph ơng pháp 3 : Vận dụng hai cặp tam giác đồng dạng để có</i>
<i>tỉ số trung gian (nguyên tắc bắc cầu)</i>

a c

b d a _{a' hay ab' = a'b}
b b'

a' c
b' d






 







 <i>Ph ơng pháp 4 : Vận dụng công thức tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c</i>

 <i>Ph ơng pháp 5 : Vận dụng định lí Py - ta - go</i>

 <i>Ph ơng pháp 6 : Phơng pháp định lợng (tính tốn hai vế)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<i>*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - </i>

phân dạng và phơng pháp giải

<i>Môn : Đại Số - THCS</i>

<i>Website: </i>

I - Các loại phơng trình

<b>1. Phơng trình bậc nhất</b>

<i>- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a</i>0<i>)</i>

<i>- Phơng trình cã nghiƯm duy nhÊt x = </i> b

a



<i>- Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và</i>
<i>xét các trờng hợp sau:</i>

<i>Nếu A </i>0<i> phơng trình có nghiệm x = </i> B
A

<i>Nếu A = 0 , B </i>0<i> phơng trình trở thành 0.x = B </i>

<i>=> phơng trình vô nghiệm</i>

<i>Nếu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm</i>

<b>2. Phơng trình tích</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<i>- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0</i>

<i>- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hc B(x) = 0</i>
<i>- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=> </i> A( x ) 0

B( x ) 0




 _



<i>- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> </i>

A( x ) 0
B( x ) 0
C( x ) 0



<b>3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu</b>

<i>- Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 bớc:</i>

<i>Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình</i>

<i>Bc 2: Quy ng mu hai v của phơng trình rồi khử mẫu</i>

 <i>Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc</i>

 <i>Bíc 4: (kÕt ln) </i>

<i>Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mãn</i>
<i>ĐKXĐ chính là nghiệm của phơng trình đã cho, giá trị của x</i>
<i>không thuộc ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi)</i>

<b>4. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyt i</b>

<i>- Định nghĩa: </i> A A nếu A 0
A nếu A < 0

<i>- Các dạng phơng trình </i>

 f ( x )  0 f ( x )0

 f ( x ) k( k0 )f ( x )k
 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )




 _{ }




<i>Hay </i>f ( x ) g( x )



f ( x )



2



g( x )



2<i>, đa về phơng tr×nh tÝch</i>

 f ( x ) g( x )<i> <=> </i>

f ( x ) 0
f ( x ) g( x )

f ( x ) 0
f ( x ) g( x )

  





_ _
 

 

<i> hc <=> </i>

g( x ) 0
f ( x ) g( x )

g( x ) 0
f ( x ) g( x )

  





_ _
 


 


<i>Hc <=> </i> g( x ) 0

f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )




 

<i>Hc <=> </i>





2





2

g( x ) 0

f ( x ) g( x )









<i>- Chó ý: </i>A2 A2<i>; </i>A A<i> vµ </i> A  B AB A B

<b>5. Phơng trình vô tỉ</b>

f ( x ) A( A0 )f ( x )A2<i> (víi f(x) lµ mét ®a thøc)</i>







2

f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>



f ( x ) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0

f ( x ) g( x )






 _ 

 _



<i><b>*)Lu ý:</b> Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần</i>
<i>xác định điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng.</i>
<i>Nếu khơng có thể th li trc tip.</i>

<b>6. Phơng trình trùng phơng</b>

<i>Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:</i>

4 2

ax bx c 0 (a0 )

<i>Đặt x2_{= t (}</i>_t₀<i>_{), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình}</i>

<i>bậc hai ẩn t : </i> 2

at bt c 0<i> (*)</i>

 <i>Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa mãn </i>t0
 <i>Thay vào đặt x2_{= t và tìm x = ?}</i>

<b>7. Phơng trình bậc cao</b>

<i><b>a)</b></i> <i>Phơng trình bậc ba dạng: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0}</i>

<i>Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm ngun thì nghiệm đó</i>
<i>là ớc của hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc</i>

<i>dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên của phơng trình,</i>
<i>khi đã biết một nghiệm thì dễ dàng phân tích VT dới dạng</i>
<i>tích và giải phơng trình tích (hoặc chia a thc)</i>

<i><b>b)</b></i> <i>Phơng trình bậc bốn dạng: ax4_{+ bx}3_{+ cx}2_{+ dx + e = 0}</i>

<i>Híng dÉn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên</i>

<i><b>c)</b></i> <i>Phơng trình bậc bốn dạng: </i>

<i>x4_{+ ax}3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 (víi d =}</i>
2
c
a

 
 
  <i>).</i>

<i>Ph</i>

<i> ¬ ng ph ¸ p: </i>

<i>Víi x = 0, thay vào phơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là</i>
<i>nghiệm hay không ?</i>

<i>Vi x </i>0. Chia c hai vế cho x<i>2_{, sau đó ta đặt t = x +}</i> c
ax
<i><b>d)</b></i> <i>Phơng trình bậc 4 dạng: </i>

<i>(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)</i>
<i>Ph</i>

<i> ơ ng ph á p: Đặt t = x2_{+ mx +}</i>abcd
2
<i><b>e)</b></i> <i>Phơng trình bậc bốn d¹ng: </i>

<i>(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2_{(víi ab = cd = k)}</i>

<i>Ph</i>

<i> ơ ng ph á p: </i>

<i>Chia cả hai vế cho x2_{. Đặt t = x +}</i>k
x

II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn

<i><b>1) Định nghĩa:</b></i>

<i>Mt bt phng trỡnh dng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) vi a </i>0<i> c </i>

<i>gọi là một bất phơng trình bậc nhất một ẩn</i>

<i><b>2) Cách giải:</b> ax + b > 0 <=> ax > - b</i>
<i>NÕu a > 0 th× x</i> <i>b</i>

<i>a</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<i>NÕu a < 0 thì x</i> <i>b</i>
<i>a</i>

<i><b>3) Kiến thức có liên quan:</b></i>

<i>Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập</i>
<i>nghiệm và dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó</i>

 <i> Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức)</i>
<i>từ vế này sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử</i>
<i>đó => ta có thể xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế</i>

 <i>Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng</i>
<i>một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi</i>
<i>chiều BPT nếu số đó âm. </i>

<i><b>4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức</b></i>

<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c</i>

<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)</i>
<i>a > b, c > d => a + c > b + d</i>
<i>a > b > 0, c > d > 0 => ac > b</i>
<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c, </i>

<i>+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc</i>
<i>+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc</i>

<i>- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> </i> 3 3

a  b <i> vµ a > b <=> </i>a3 b3

<i>- NÕu </i>a0, b0<i> th× a > b <=> </i> _a _ _b <i> vµ a > b <=> </i> 2 2

a  b

<i>- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A</i>

A, nÕu A 0
A

A, nÕu A < 0.








<i>Ta cã: A2≥ _{0, |A|}≥ _0,</i> 2

A A

<i>- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực khơng âm, ta có:</i>

a b _ab

2

 _ <i>_DÊu_“₌_”_{x¶y ra <=> a = b}</i>

III <b>–</b> Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc ba.
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ

<i>- Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc h÷u tØ ta phải tuân theo thứ</i>
<i>tự thực hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu</i>
<i>thức có các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông,</i>
<i>ngoặc nhọn.</i>

<i>- Vi nhng bi toỏn tỡm giỏ trị của phân thức thì phải tìm điều</i>
<i>kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)</i>

2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i> A

B <i> xác định (có nghĩa) khi B </i>0

<i>- Biểu thức có dạng </i> _A <i> xác định (có nghĩa) khi A </i>0

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i> A

B <i> xác định (có nghĩa) khi B > 0</i>

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i> A B

C

 <i>_{xác định (có nghĩa) khi}</i> A 0

C 0





</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i> A B
C

 <i> xác định (có nghĩa) khi </i> A 0

C 0

3. Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba

Lớ thuyt chung:
<i>a) Cỏc công thức biến đổi căn thức</i>

<i>1) </i> 2

A A

<i>2) </i> _AB _ _A _{B ( víi A} __{0 vµ B}_₀₎

<i>3) </i> A A (víi A 0 vµ B > 0)

B  _B 

<i>4) </i> 2

A B A B (víi B0)

<i>5) </i> 2

A B  A B (víi A0 vµ B0)

2

A B  A B (víi A < 0 vµ B 0)

<i>6) </i> A 1 AB (víi AB 0 vµ B 0)

B  B  

<i>7) </i> A A B (víi B > 0)
B

B



<i>8) </i>





2

2

C A B

C _{(víi A} _{0 vµ A} _{B )}

A B A B

  

 



<i>9) </i> C C



A B



_{(víi A} _{0 , B} _{0 vµ A} _B)
A B

A B

   






<i>*) L u ý :</i>

<i>Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :</i>
<i>- Quy đồng mẫu số chung (nếu cú)</i>

<i>- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có)</i>
<i>- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)</i>

<i>- Thc hin các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , …</i>
<i>theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng</i>
<i>- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)</i>
<i>b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:</i>

1) (a + b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
2) (a - b)2_{= a}2_{- 2ab + b}2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3) a2_{- b}2_{= (a + b).(a - b)}

    

a b ( a b).( a b) (a,b 0)

4) (a + b)3_{= a}3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3

5) (a - b)3_{= a}3_{- 3a}2_{b + 3ab}2_{- b}3

6) a3 b3 (a b)(a 2  abb )2

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

7) a3  b3 (a b)(a 2 ab b ) 2

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2_{= a}2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc}

9) _{( a}_ _b_ _c)2 _{  }_{a b} _c__{2 ab}__{2 ac}__{2 bc} _(a,b,c _₀₎

10) a2 a

Ph©n dạng bài tập chi tiết

Dạng 3.1 : Tính <b></b> Rút gọn biểu thức không có điều kiện
Dạng 3.2 : Rút gän biĨu thøc cã ®iỊu kiƯn

Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá
trị nguyên

Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 3.9 : Bài tập tng hp

IV <b></b> Các dạng toán về hàm số

Lí thuyết chung

<b>1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).</b>

<i>Nu i lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi</i>
<i>giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y</i>
<i>thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.</i>

<i>*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + </i> ₃ <i> ; ...</i>

<i>*) Chó ý: </i>

<i>Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị khơng đổi thì y đợc</i>
<i>gọi là hàm hằng.</i>

<i>*) VÝ dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7; ...</i>

<b>2) C¸c c¸ch thêng dïng cho một hàm số </b>

<b>a)</b> <i><b>Hàm số cho bởi bảng.</b></i>

<b>b)</b> <i><b>Hàm số cho bởi công thức.</b></i>

<b>-</b> <i>Hm hng: l hm có cơng thức y = m (trong đó x là biến, </i>m <i>)</i>

<b></b>

<b></b>

<i>-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y = ax + b </i>
<i> Trong đó: x là biến,</i>a,b, a0<i>. </i>

<i> a là hê số góc, b là tung độ gốc.</i>

<i>Chó ý: NÕu b = 0 thì hàm bậc nhất có dạng y = ax (</i>_a_₀<i>)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<i> (trong đó x là biến, </i>a,b,c, a 0<i>).</i>

<i>Chó ý: Nếu c = 0 thì hàm bậc hai có d¹ng y = ax2_{+ bx (}</i>



a 0<i>)</i>
<i> NÕu b = 0 vµ c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax2₍</i>



a 0<i>)</i>

<b>3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.</b>

<i>Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x </i> <i>. Với x1, x2 bất kì thuộc</i>

<i>R</i>

<b>a)</b> <i>Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng</i>
<i>lên thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.</i>

<i>Nếu </i>x₁ x mà f(x ) < f(x )₂ ₁ ₂ <i> thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R</i>

<b>b)</b> <i>Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm đi thì</i>
<i>hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến.</i>

<i>NÕu </i>x₁ x mµ f(x ) > f(x )₂ ₁ ₂ <i> thì hàm số y = f(x) nghịch biến /R</i>

<b>4) Du hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.</b>
<b>a)</b> <i>Hàm số bậc nhất y = ax + b (</i>a0<i>).</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên </i><i>.</i>

<i>- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên </i><i>.</i>

<b>b)</b> <i>Hm bc hai một ẩn số y = ax2₍</i>_a_₀<i>_{) có thể nhận biết đồng biến và}</i>

<i>nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.</i>
<i>- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.</i>

<b>5) Khái niệm về đồ thị hàm số.</b>

<i>Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các</i>
<i>cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.</i>

<i>Chú ý: Dạng đồ thị: </i>

<b>a)</b> <i>Hµm h»ng.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng y = m (trong</i>
<i>đó x là biến, </i>_m <i>) là một </i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song với</i>
<i>trục Ox.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng x = m (trong</i>
<i>đó y là biến, </i>_m <i>) là một </i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song </i>

<i>víi trơc Oy.</i>

<b>b)</b> <i>Đồ thị hàm số y = ax (</i>_a_₀<i>) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các</i>
<i>điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<i>*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn</i>
<i>điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và</i>
<i>A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (</i>_a_₀<i>)</i>

<b>c)</b> <i>Đồ thị hàm số y = ax + b (</i>a,b 0<i>) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp</i>
<i>các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hồnh tại điểm (</i><i>b</i>

<i>a</i>

<i>, 0).</i>

<i>*) C¸ch vÏ: Có hai cách vẽ cơ bản</i>

<i>+) Cỏch 1: Xỏc nh hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng</i>
<i>hạn nh sau:</i>

<i>Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)</i>
<i>Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)</i>

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b0<i>)</i>

<i>+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:</i>
<i>Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) </i>Oy

<i>Cho y = 0 => x = </i> b

a

 <i>, ta đợc N(</i> b

a

 <i>; 0) </i>Ox

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b0<i>)</i>

<b>d) </b> <i>Đồ thị hàm số y = ax2₍</i> _

a 0<i>) là một đờng cong Parabol có đỉnh</i>
<i>O(0;0). Nhận trục Oy làm trc i xng</i>

<i> - Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.</i>
<i> - Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.</i>

O x

y

a < 0

O

x
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<b>*) </b> <i>_{Hai đờng thẳng}_{y = ax + b (}</i>a0<i>) và y = a’x + b’ (</i>a'0<i>)</i>

<b>+</b> <i>_{Trïng nhau nÕu a = a}_’_{, b = b}_’_.</i>

<b>+</b> <i>_{Song song víi nhau nÕu a = a}_,_b</i><i>_b_.</i>

<b>+</b> <i>_{Cắt nhau nếu a}</i><i>_a_.</i>

<b>+</b> <i>_{Vuông gãc nÕu a.a}_’_{= -1}_.</i>

<b>*)</b> <i>_{Hai đờng thẳng ax + by = c và}_a_’_{x + b}_’_{y = c}_’_{(a, b, c, a}_’_{, b}_{’, c’}</i> <i>_≠₀₎</i>
<b>+</b>

<i>Trïng nhau nÕu </i> a b c

a '  b '  c '

<b>+</b>

<i>Song song víi nhau nÕu </i> a b c

a '  b '  c '

<b>+</b>

<i>C¾t nhau nÕu </i> a b

a '  b '

<b>7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (</b>a0<b>) và trục Ox</b>

<i>Giả sử đờng thẳng y = ax + b (</i>a0<i>) cắt trục Ox tại điểm A.</i>

<i>Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (</i>a0<i>) là góc tạo bởi tia Ax và tia</i>

<i>AT (với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ </i>
<i>d-ơng).</i>

<b></b>

<b></b>

<i>-Nếu a > 0 thì góc </i><i> tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc</i>
<i>tính theo cơng thức nh sau: </i>tg a<i> (cần chứng minh mới đợc</i>
<i>dùng).</i>

<i>Nếu a < 0 thì góc </i><i> tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc </i>
<i>tính theo cơng thức nh sau:</i>

 1800  <i> với </i>tg a <i> (cần chứng minh mới đợc dựng).</i>

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dạng 1: Nhận biết hàm số</b>

<b>Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.</b>

<b>Dng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến</b>.

<b>a)</b> <i>Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (</i>a0<i>).</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên </i><i>.</i>

<i>- NÕu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên </i><i>.</i>

<b>b)</b> <i>Hm bc hai mt ẩn số y = ax2₍</i>_a_₀<i>_{) có thể nhận biết đồng biến và}</i>

<i>Ngửụứi vieỏt : Giaựo viẽn Phám Vaờn Hieọu</i>

A

T



x
y

O
(a > 0)

A
T



x
y

O
(a < 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<i>nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.</i>
<i>- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.</i>

<b>Dạng 4: </b>Vẽ đồ thị hàm số

<i>Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các</i>
<i>cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.</i>

<i>Chú ý: Dạng đồ thị: </i>

<b>a)</b> <i>Hµm h»ng.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng y = m (trong</i>
<i>đó x là biến, </i>m <i>) là một </i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song với</i>
<i>trục Ox.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng x = m (trong</i>
<i>đó y là biến, </i>m <i>) là một </i>
<i>đ-ờng thẳng ln song song </i>

<i>víi trơc Oy.</i>

<b>b)</b> <i>Đồ thị hàm số y = ax (</i>_a_₀<i>) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các</i>
<i>điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.</i>

<i>*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn</i>
<i>điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và</i>
<i>A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (</i>_a_₀<i>)</i>

<b>c)</b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax + b (}</i>_a,b _₀<i>_{) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hp}</i>

<i>các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (</i><i>b</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<i>*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản</i>

<i>+) Cỏch 1: Xỏc định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng</i>
<i>hạn nh sau:</i>

<i>Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)</i>
<i>Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)</i>

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b0<i>)</i>

<i>+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:</i>
<i>Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) </i>Oy

<i>Cho y = 0 => x = </i> b

a

 <i>, ta đợc N(</i> b

a

 <i>; 0) </i>Ox

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b0<i>)</i>

<b>d) </b> <i>Đồ thị hàm số y = ax2₍</i>


a 0<i>) là một đờng cong Parabol có đỉnh</i>

<i>O(0;0). Nhận trục Oy làm trc i xng</i>

<i> - Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.</i>
<i> - Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.</i>

<b>Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.</b>

*) Điểm thuộc đờng thẳng.

- §iĨm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) khi vµ chØ khi yB= axB + b
*) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2<b>₍</b>



a 0<b>)</b>

- §iĨm A(x0; y0) (P)  y0 = ax02_.
- §iĨm B(x1; y1) (P)  y1  ax12_.

<b>Dạng 6: Xác định hàm số</b>

<b>Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số</b>

*) Ph ¬ ng ph ¸ p:

Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (_a_₀; a,b có chứa
tham số) ln đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:

 <i>Bớc 1:</i> Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luôn

đi qua với mọi giá trị của tham số m

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

O x

y

a < 0

O

x
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

 <i>Bớc 2:</i> Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi
về dạng <=> A( x ,y ).m₀ ₀ B( x ,y )₀ ₀ 0, đẳng thức này luôn đúng
với mọi giá trị của tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m

 <i>Bớc 3: </i>Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm.

(

A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0_{, có vơ số nghiệm}




 




0 0

0 0

A(x ,y ) 0
B(x ,y ) 0

)

<b>Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị</b>
<b>8.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.</b>

Giao điểm của hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
Là nghiệm của hệ phơng trình 1 1

2 2

y a x b
y a x b

 




 



<b>8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.</b>

Cho (P) : y = ax2_(a__{0) vµ (d) : y = mx + n.}

 Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2_{= mx + n.}

Giải phơng trình tìm x.

Thay giỏ tr x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2_{hoặc y = mx + n}
ta tìm đợc y.

+ Giá trị của x tìm đợc là hồnh độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.

<b>8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.</b>

Cho (P) : y = ax2_(a__{0) vµ (d) : y = mx + n.}

Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2_{= mx + n. (*)}

+ Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0) (d) và (P) không có điểm
chung.

+ Phơng tr×nh (*) cã nghiƯm kÐp (= 0)  (d) tiÕp xúc với (P).
+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > 0 hoặc ac < 0)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

<b>8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.</b>
<b>8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.</b>

<b>8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng</b>
<b>thẳng.</b>

Cho (d) : y = ax + b và (P): y = a’x2_(a’__{0)(a’, a, b có chứa tham số)}
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm a’x2_{= ax + b. (*)}

+ (d) vµ (P) không có điểm chung

Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0)

+ (d) tiÕp xóc víi (P) _{Phơng trình (*) có nghiệm kép (}_{= 0).}

Nghim kép là hồnh độ điểm tiếp xúc

+ (d) c¾t (P) tại hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai

nghiệm phân biệt (_{> 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hồnh độ}

cđa hai giao ®iĨm

<b>8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng</b>
<b>thẳng.</b>

Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2_(a’_0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)

Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(xA; yA).

Cách làm: Thay tọa độ của A vào hàm số của (d); (P) để tìm giá trị của tham
số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó xA</b>  xB và yA yB<b>.</b>

Ph

ơng pháp:

Gi phng trỡnh ng thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng
y = ax + b (a 0).

Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình:

A A

B B

y ax b

y ax b

Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng
thẳng (d) cần lập

<b>9.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc</b>
<b>là k.</b>

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dng
y = kx + b

Bớc 2: Đờng thẳng này đi qua M(x0 ; y0) => y₀ kx₀ b
=> by₀  kx₀

 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = kxy₀  kx₀

<b>9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm </b>
<b>A(m; yA) và B(m; yB) trong ú yA </b><b> yB.</b>

Ph

ơng pháp:

Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) (d) : x = m;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m

<b>9.4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm </b>
<b>A(xA; n) và B(xB; n) trong ú xA </b><b> xB.</b>

Ph

ơng pháp:

Do A(xA; n) (d): y = n;
Do B(xB; n) (d) : y = n;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n

<b>9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(xA ; yA) và tiếp</b>
<b>xúc với đờng cong </b>_y __{ax (a}2 _₀₎

 Bíc 1: Giả sử phơng trình cần lập là y = a’x + b’

 Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong 2

yax (a0 )
khi và chỉ khi phơng trình hồnh độ giao điểm 2

ax a ' xb' cã
nghiƯm kÐp. Ta cho  0, t×m ra một hệ thức giữa a và b (1)

Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(xA ; yA) => y_A a ' x_A b' (2)

 Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a’ và b’.
Giải hệ tìm đợc a’ và b’ => phơng trình cần lập

<b>9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với</b>
<b>đờng cong </b>_y __{ax (a}2 _₀₎

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b
Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b

 Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong _y __{ax (a}2 _₀₎
<=> phơng trình hồnh độ giao điểm

2 2

kxbax ax  kx b0 cã nghiÖm kÐp

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Cho  0( ' 0 ) => b = ?

 Bíc 3: Tr¶ lời

<b>Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng</b>

<b>10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.</b>

Bc 1: Lp phng trỡnh ng thng i qua hai điểm.

 Bớc 2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đờng thẳng vừa lập.

<b>10.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng.</b>

 Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn
giản nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ của điểm cịn lại vào phơng trình đờng thẳng
vừa lập. Giải phơng trình và tìm tham số.

<b>Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui</b>

<b>11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.</b>

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

 Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng cịn lại.

<b>11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng đồng qui.</b>

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng đơn giản nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng cịn
lại. Giải phơng trình và tìm tham số.

<b>Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số</b>

<b>12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất</b>

Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) cắt (d2)  a1  a2

+) (d1) // (d2)  a1 = a2

+) (d1)  (d2)  a1 = a2 vµ b1 = b2

+) (d1)  (d2)  a1.a2 = -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)

<b>12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm</b>
<b>trên trục tung.</b>

Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trơc tung th×  



1 2

1 2

a a (1)
b b (2)
Giải (1)

Giải (2) và chọn những giá trị thoả m<b>Ã</b>n (1).

<b>12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm</b>
<b>trên trục hoành.</b>

Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì

1 2

1 2

1 2

a a (1)

b b

(2)

a a

<i>Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.</i>

<b>Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax +</b>
<b>b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện</b>
<b>tích bằng c</b>

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác thì ta có điều kiện cần là: a0, b0 => điều kiện của
m

 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B
lần lợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hồnh

 A(0 ; b) vµ B( b ;0
a

 ₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

SOAB = 1 OA.OB 1 b . b c

2 2 a



  

=> m = ? (kiÓm tra víi ®iỊu kiƯn ë bíc 1)

<b>Dạng 14: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng </b>

<b>y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác cân</b>
<b>Cách 1:</b>

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác thì ta có điều kiện cần là: a0, b0

=> ®iỊu kiƯn cđa m

 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B
lần lợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hồnh

 A(0 ; b) vµ B( b ;0
a

 ₎

 Bớc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=> b b

a


 (*)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở
bớc1)

<b>Cách 2: </b>Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân
khi và chỉ khi đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x
hoặc song song với đờng thẳng y = - x

<b>Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai </b>
<b>đ-ờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ nằm trong các góc phần</b>
<b>t của hệ trục tọa độ.</b>

 Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là
nghiệm của hệ phơng trình: ax by c

a ' x b' y c'

 




 



 Bíc 2:

+) NÕu A nằm trong góc phần t thứ I thì điều kiƯn lµ: x 0
y 0







+) NÕu A n»m trong góc phần t thứ II thì điều kiện là: x 0

y 0






+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thứ III thì điều kiện là: x 0

y 0

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ IV thì điều kiện là: x 0

y 0

Bớc 3: Tìm m = ?

<b>D¹ng 16: </b>

<b>Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0</b>

 Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=> A 0
B 0







 Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị ca tham s

V - Các dạng toán về hệ phơng trình

Lí thuyết chung

<b>1.</b> <i>Định nghĩa:</i>

<i>Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>






 



ax by c

(I)

a' x b' y c '<i> (trong đó a, b, c, a’ , b’, c’ có thể chứa tham số)</i>
<b>2.</b> <i>Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm </i>

<i>- NghiÖm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) lµ nghiƯm chung của hai phơng trình</i>

<i>trong hệ</i>

<i>- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ </i>
<i>ph-ơng trình vô nghiệm</i>

<i>- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm)</i>
<i>của nó.</i>

<i>*) iu kin h hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy</i>
<i>nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.</i>

ax by c
a' x b' y c '

 




 



<i> (a, b, c, a’, b, c khác 0)</i>
<i>+ Hệ có vô số nghiệm nÕu </i> a b c

a' b ' c '

<i>+ HÖ v« nghiƯm nÕu </i> a b c

a' b ' c '

<i>+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu </i> a b

a' b'

<i>+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là </i>
<i>ab’</i> <i>– a’b = 0</i>

<b>3.</b> <i>Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai Èn .</i>

ax by c
a' x b' y c '

 




 



a) <i>Phơng pháp cộng đại số.</i>

<i>*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số</i>

 <i><b>Bớc1:</b> Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp</i>
<i>(nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai </i>
<i>ph-ơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.</i>

 <i><b>Bớc 2:</b></i> <i>áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình</i>
<i>mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai</i>
<i>ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn)</i>

 <i><b>Bớc 3:</b> Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra</i>
<i>nghiệm của hệ đã cho</i>

<i>*) Tỉng qu¸t:</i>

<i>+ NÕu cã </i> ax by c

ax b ' y c '

 


  

 _   
  


(b b ')y c c '
ax b ' y c '

<i>+ NÕu cã </i> ax by c

ax b' y c '

 




 



 <i> </i> (b b ')y c c '

ax b ' y c '

  




 



<i>+ NÕu cã </i> ax by c

k.ax b ' y c '

 


 

 _  
 


k.ax kby kc
k.ax b ' y c ' 

(kb b ')y k.c c '
ax by c

b) <i>Phơng pháp thế.</i>

<i>*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

<i>hệ đã cho</i>
<i>*) Tổng quát:</i>

ax by c
a' x b ' y c '

 


 


a c
y x
b b

a' x b ' y c '


 


 _ _



 



 
 _ __ _ _ _
 _ _

a c
y x
b b
a c

a ' x b ' x c '
b b

c) <i>Phơng pháp đồ thị</i>

<i>- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình</i>
<i>trong hệ</i>

<i>- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng</i>

<i>+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa</i>
<i>vào đồ thị đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và</i>
<i>kết luận nghiệm của hệ</i>

<i>+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vơ nghiệm</i>

<i>+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vơ số nghiệm</i>

<i><b>Chú ý: </b>Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ:</i>
<i>(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn</i>
<i>bậc hai.)</i>

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số</b>

<b>Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số</b>

Ph

ơng pháp:

Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình

Bc 2: Gii h phng trỡnh khụng cha tham s va thu c.

<b>Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số</b>

- Dựng phng phỏp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo
tham số m), làm xuất hiện phơng trình có dạng :

Ax = B (1) (hc Ay = B)

Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0

phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B 0 phơng trình (1) vô nghiệm

=> hệ phơng trình vô nghiệm

Nếu A 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất B

A

=> hệ phơng trình có nghiệm duy nhÊt

B
x

A
y y(m )

 _



 


<b>Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm</b>
<b>duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm.</b>

<i>*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất,</i>
<i>có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.</i>

ax by c

a' x b ' y c '

 




 



<i> (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

<i>+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu </i> a b c

a' b ' c '

<i>+ HƯ v« nghiƯm nÕu </i> a b c
a' b ' c '

<i>+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhất nếu </i> a b

a' b'

<b>Dạng 5: Tìm giá trÞ tham sè khi biÕt dÊu cđa nghiƯm cđa hƯ </b>
<b>ph-ơng trình</b>

<b>Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình</b>
<b>6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>

Cho hệ phơng trình : _  

    


ax by c (1)

a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0
0
x x
y y









C¸ch 1:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.
Cách 2:

Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình
chứa ẩn là tham số

<b>6.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>

Cho hệ phơng trình: ax by c

a x b y c

 




    


cã nghiÖm 0

0

x x

y y








 Bớc 1: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình của hệ phơng
trình ta đợc 0 0

0 0

ax by c

a x b y c

 




  

Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.

<b>Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.</b>

Cho hệ phơng trình : ax by c (1)

a x b y c (2)

 




    

 (I)

Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m<b>·</b>n: px + qy = d (3)

 Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ (I) có
nghiệm duy nhất

 Bớc 2: Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả m<b>ã</b>n (3)  (x; y) là
nghiệm của (1), (2), (3). Kết hợp 2 phơng trình đơn giản nhất để
đ-ợc một hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng
trình cũn li

Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn lµ tham sè

<b>Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy</b>
<b>nhất (x0 ; y0) là những số nguyên</b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất

 Bíc 2: Phân tích x0 ; y0 dới dạng

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

0

y c víi c, d Z

B(m )

  

0
0

b

x Z Z A(m ) ¦ ( b)

A(m ) _m _?

d

y Z Z B(m ) ¦ (d )

B(m )

 _    

*) Đặc biƯt nÕu :

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

  

0 d

y c víi c, d Z

A(m )

  

=> x ,y₀ ₀ ZA(m ) ¦ C( b,d ) m?

<b>Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là </b>
<b>P(x,y) = ax2_{+ bx + c}_{nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.}</b>

<b>C¸ch 1: </b>

 Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình
có nghiệm duy nhất

 Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:
P(x,y) = kA2_{(x) + d (d là hằng số).}

 k < 0  kA2_(x)_₀_ _kA2_{(x) + d}__{d } _P(x,y)__d

Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.

 k > 0  kA2_(x)_₀_ _kA2_{(x) + d}__{d } _P(x,y)__d

Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.

<b>C¸ch 2: </b>

P(x,y) = ax2_{+ bx + c}_ _ax2_{+ bx + c – P(x,y) = 0}

Bớc 1: Tính hoặc '.

Bớc 2: Đặt ®iỊu kiƯn   0 ( ' 0)

 Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y).

P(x,y)  e  Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc
khi

='= 0  x b
2a


 = b '

a


.

 P(x,y)  e  Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc
khi

='= 0  x b
2a


 = b '

a


<b>D¹ng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào</b>
<b>tham số</b>

1. Ph ơng pháp :

Cho hệ phơng trình: ax by c
a ' x b ' y c '

 




 

 trong đó a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham

sè m. T×m hƯ thøc liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
m ?

*) Cách 1:

Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ ta rút m theo x và y lµ
m = A(x,y)

 Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai của hệ ta đợc
hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

sè m

*) Cách 2: Sử dụng đối với hệ phơng trình có tham số m di dng bc
nht

Bớc 1: Từ hệ phơng trình ax by c m A( x, y )
a ' x b ' y c ' m B( x, y )

  

 



 

  

 

 Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). Đây là hệ thức liên hệ giữa x và y
không phụ thuộc vào tham số m

L

u ý : Ta cần rút gọn các hệ thức sao cho ngắn gọn, đơn giản nhất

<b>Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng</b>
<b>đơng</b>

- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một
tập nghiệm (tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và

ngợc lại)

<b>Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và</b>
<b>giải một số hệ phơng trình khơng ở dạng hệ hai phơng trình bậc</b>

<b>nhất hai n (h c bit)</b>

VI <b></b> Phơng trình bậc hai một ẩn

Phần I: Phơng trình không chứa tham số

<b>I.</b> <i>Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình</i>
<i>bậc hai) là phơng trình có dạng _ax</i>2 <i>_bx</i> <i>_c</i> _₀ ₍<i>_a</i> __{0 )}

<i>Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các h s</i>

<b>II.</b> <i>Phân loại.</i>

<b>1.</b> <i>Phơng trình khuyết c: ax2_{+ bx = 0 (a}</i><i>₀₎</i>

<i>Phơng pháp giải: </i>
<i>ax2_{+ bx = 0 (a, b}</i>_<i>₀₎</i>

 <i> x(ax + b) = 0</i>

x 0

b
x

a




<i>Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = </i>b
a

<b>2.</b> <i>Phơng trình khuyết b: ax2_{+ c = 0 (a, c}</i><i>₀₎</i>

<i>Phơng pháp gi¶i: </i>
<i>ax2_{+ c = 0 (a}</i>_<i>₀₎</i>

 x2 c
a

+)
+)

<i>Nếu </i> c

a

<i> < 0 </i> <i> Phơng trình vô nghiệm.</i>
<i>Nếu </i> c

a

<i> > 0 </i> <i> Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: </i>




1

c
x

a <i>; </i>




2

c
x

a

<b>3.</b> <i>Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2_{+ bx + c = 0 (a , b, c}</i>_<i>₀₎</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

<i>+) </i><i> < 0 </i> <i> Phơng trình vô nghiệm</i>

<i>+) </i><i> > 0 </i> <i> phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:</i>
<i>x1 = </i>b 

2a <i>; x2 = </i>

b 
2a

<i>+) </i><i> = 0 </i> <i> Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =</i>
b
2a



<i>* ) C « ng th ø c nghi Ö m thu g ä n </i>
<i>NÕu b = 2b’ (b’ = </i>

2

<i>b</i>

<i>)</i><i> ta cã : </i><i>’ = b’2_{- ac}</i>

<i>+ Nếu </i><i> > 0 </i><i> phơng trình có hai nghiệm phân biệt là :</i>

1 2

' ' ' '

; x

<i>b</i> <i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i>

    

<i>+ Nếu </i><i> = 0 </i><i> phơng trình cã nghiÖm kÐp </i>
<i>x1 = x2 = </i>

'

<i>b</i>
<i>a</i>



<i>+ NÕu </i><i>’ < 0 </i><i> phơng trình vô nghiệm</i>

Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số

<b>Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số</b>

Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình

<b>Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham số </b>

T

ỉ ng qu ¸ t:

Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
+ NÕu b  0 th× phơng trình có nghiệm x = c

b
+ NÕu b = 0 vµ c  0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.

Với a 0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt sè:

 = b2_{– 4ac ( hay}__{’ = b’}2_{– ac)}

+ NÕu  < 0 (’ < 0) thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu = 0 ( = 0) thì phơng trình có nghiệm kép :

x1 = x2 = - b
2a =

'

<i>b</i>
<i>a</i>



+ Nếu > 0 ( > 0) thì phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 = b  b ' '

2a a ; x2 =

     



b b ' '

2a a

<b>Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm</b>

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay
trực tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m
thì phơng trỡnh cú nghim

Trờng hợp 2: a 0, phơng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm <=>





0 ' 0

   

<b>Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai</b>
<b>nghiệm phân bit</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Phơng trình bậc hai một ẩn có hai nghiƯm ph©n biƯt
<=> 0

0( ' 0 )

<i>a</i> 



   


<b>Dạng 5: Tìm điều kiện của tham s phng trỡnh cú nghim</b>
<b>kộp</b>

Phơng trình bậc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=> 0

0( ' 0 )

<i>a</i>



   


<b>Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vơ nghiệm</b>

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay
trực tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m
thì phơng trình vụ nghim

Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bËc hai mét Èn v« nghiƯm
<=>  0



 ' 0

<b>Dạng 7: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt</b>

Để chứng minh phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:

Cách 1: Chứng minh: 0

0
<i>a</i>
<i>ac</i>

Cách 2: Chøng minh: _ 

 


a 0
0
Ch

ó ý : Cho tam thøc bËc hai  = am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh ₂

m

a 0

b 4ac 0





   



<b>Dạng 8: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm</b>
<b>cùng dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có</b>
<b>hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai</b>
<b>nghiệm là hai số đối nhau, có hai nghiệm là hai s nghch o</b>
<b>ca nhau</b>

Cho phơng trình 2

0

<i>ax</i> <i>bx</i><i>c</i> ; trong đó a, b, c chứa tham số
Theo định lí Vi - ét, ta có :

1 2

1 2

<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>
  

a) Phơng trình có hai nghiƯm cïng dÊu <=>

0
0
0

<i>a</i>
<i>P</i>



 

 _

<b> </b>hc
0
0
0
<i>a</i>
<i>ac</i>







b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=> 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

c) Phơng trình có hai nghiệm dơng <=>
0
0
0
0

<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>









d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>









e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>









f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>






_


g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

<=>
1 2
0
0
0
<i>a</i>
<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>




 



   



h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

<=>
1 2
0
0
1
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>




 


  



<b>D¹ng 9: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiƯm</b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = b

a vµ x1.x1 =
c
a

 Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x1 + x1 và x1.x1 ; sau đó thay
giá trị của x1 + x1 và x1.x1 vào để tính giá trị của biểu thức.

Chó ý:

   
2 2 2

a b (a b) 2ab

    

3 3 3

a b (a b) 3ab(a b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

 2   2 

(a b) (a b) 4ab

 2    

( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)

   

4 4 2 2 2 2 2

a b (a b ) 2a b

  

    

3 3

a b a a b b

( a b)(a ab b) (a,b 0)

<b>Dạng 10: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x1,</b>
<b>x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:</b>

a) <i>x</i>₁ <i>x</i>₂  b)

1 2

1 1 <i>_n</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  c)

2 2

1 2

<i>x</i>  <i>x</i> <i>k</i> d) <i>x</i>₁3 <i>x</i>₂3 <i>t</i>,

. . . . . . . .

 <b>Bớc 1: </b>Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm
x1, x2. Giải hệ ĐK: 0

0

<i>a</i>



 


=> m = ?

 <b>Bíc 2: </b>Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:

1 2

1 2

<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>

 _ _ _




 _ _



 <b>Bớc 3:</b> Biến đổi điều kiện của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất
đẳng thức) để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích
hai nghiệm có đợc ở bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải
phơng trình hoặc bất phơng trình với biến là tham số để tìm giá
trị của tham số. Tiếp theo kiểm tra xem các giá trị tham số tìm
đ-ợc có thỏa m<b>ã</b>n hệ điều kiện ở bớc 1 hay khơng ?

Hoặc có bài tốn ta kết hợp điều kiện của đề bài với một hệ thức Vi
- ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn là x1,
x2); sau đó ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham
số.

<b>Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có một nghiệm x = x1.</b>

<b>Tìm nghiệm cịn lại</b>

 <b>Bíc 1: </b>Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:

2

1 1 0 ?

<i>ax</i> <i>bx</i> <i>c</i> <i>m</i>

<b>Bớc 2:</b> Để tìm nghiệm còn lại x2 ta thùc hiƯn theo hai c¸ch:
C

á ch 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng
trình bậc hai và giải phơng trình này ta tìm đợc x2

C

á ch 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: <i>x</i>₂ <i>S</i> <i>x</i>₁ hoặc x = P : x₂ ₁

<b>Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai khi biÕt tríc hai nghiƯm sè</b>

 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiệm x1, x2 . Ta có phơng trình với ẩn x lµ :





2

1 2 1 2 1 2

(<i>x</i> <i>x</i> ) <i>x</i> <i>x</i>  0 <i>x</i>  (<i>x</i> <i>x</i> )<i>x</i><i>x x</i> 0
Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng

Bớc 1: Tìm S = <i>x</i>₁ <i>x</i>₂ và P = <i>x x</i>_{1 2}

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là 2

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Phơng trình có nghiệm <=> <i>_S</i> ₄<i>_P</i>

<b>Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai khi biết mối liên hệ giữa hai</b>
<b>nghiệm của phơng trình cÇn lËp víi hai nghiệm của phơng</b>
<b>trình cho trớc.</b>

Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm của phơng trình.

Bớc 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình đ<b>Ã</b> cho

1 2 1 2

b c

x x , x .x

a a



  

 Bíc 3: TÝnh tỉng và tích hai nghiệm của phơng trình cần lập x3 và

x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2.

Bớc 4: Lập phơng trình.

<b>Dng 14: Tỡm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ</b>
<b>thuộc vào tham số</b>

 <b>C¸ch 1: </b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.
Giải hệ điều kiện 0

0

<i>a</i> 



 


 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:




  






  




1 2

1 2

b

S x x

a
c
P x .x

a

 Bớc 3: Khử tham số trong hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ
giữa S và P. Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm
của phơng trình.

 <b>C¸ch 2: </b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.
Giải hệ điều kiện 0

0

<i>a</i> 



 


 Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2.

Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).

<b>Dạng 15: Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa tam thøc bËc hai </b>

2

y ax bxc (a 0 )

<b>C¸ch 1:</b>

Biến đổi y = kA2_{(x) + m (m là hằng số).}

 k < 0  kA2_(x)_₀_ _kA2_{(x) + m}__m_ _y__m

Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.

 k > 0  kA2_(x)

 0  kA2_{(x) + m}

 m  y  m

Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.

<b>C¸ch 2: </b>

y = ax2_{+ bx + c}_ _ax2_{+ bx + c – y = 0}
+ Bíc 1: TÝnh  hc '.

+ Bíc 2: Đặt điều kiện 0 ( ' 0)

Giải bất phơng trình chứa ẩn y.

y  m  Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

='= 0  x b
2a


 = b '

a


.

 y  m  Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi
='= 0  x b

2a


 = b '
a


<b>D¹ng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ </b>
<b>giữa hai nghiệm</b>

Bớc 1: Kiểm tra sự có nghiệm của phơng trình

Bớc 2: Tính x₁ x₂ b, x .x₁ ₂ c

a a



  

 Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x1; x2) về
dạng có chứa x1+ x2 và x1.x2

 Bớc 4: Thay x1 + x2 và x1.x2 vào biểu thức A. Khi đó A trở thành
tam thức bậc hai ẩn là tham số.

 Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham
số thích hợp.

<b>Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không</b>

<b>phụ thuộc vµo tham sè</b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm

1 2

x , x

 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:



 



 _


1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

 Bíc 3: Tính giá trị của biểu thức theo x1+ x2 và x1.x2 ; thấy kết quả
là một hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ

thuộc vào tham sè



<b>Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình</b>
<b>thỏa mãn bất đẳng thức đã cho.</b>

<b>D¹ng 19: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng</b>

Nếu hai số u và v thoả m<b>Ã</b>n  



u v S
u.v P (S

2 __{4P). Th× u và v là nghiệm}
của phơng trình x2_{- Sx + P = 0} _(*)

- Nếu phơng trình (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x , x₁ ₂. Do x, y có vai trò

nh nhau nên có hai cặp số thỏa m<b>Ã</b>n là 1

2
u x
v x

hoặc 2

1
u x
v x

- Nếu phơng trình (*) có nghiệp kÐp x₁ x₂ a => u = v = a

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) nào
thỏa m<b>ã</b>n yêu cầu đề bài

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

Cho hai phơng trình ax bx c 0 (a 0 ) và a ' x b ' xc '0 (a '0 )
Trong đó a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m

*) C ¸ ch 1 :

Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng
trình:

2
2

ax bx c 0 (a 0)
a ' x b' x c ' 0 (a ' 0)

 _ _{ } _




    



cã nghiƯm

 Trõ vÕ víi vÕ cđa hai ph¬ng trình trong hệ ta có phơng trình
dạng:

A(m).x = B(m)

+) Nu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của
m, sau đó thay trực tiếp vào hai phơng trình  giải hai phơng
trình khơng chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai
phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?

+) NÕu A(m )0 => x = B(m )

A(m ) (chứa tham số). Thay vào một

trong hai phơng trình ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó
thay từng giá trị của m vào hai phơng trình  giải hai phơng
trình khơng chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai
phơng trình có nghiệm chung hay không ?

+) NÕu A(m )0 => x = B(m )

A(m ) (không chứa tham số), kết luận
ngay đây là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay nghiệm
chung đó vào một trong hai phơng trình ta rút ra giá trị của m

 KÕt ln: øng víi gi¸ trị m nào thì hai phơng trình có nghiệm
chung, nghiệm chung là gì ?

*) C ỏ ch 2 : Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài tốn đơn giản
Từ hai phơng trình

2

ax bx c 0 => m = A(x)

2

a ' x b ' xc '0 => m = B(x)

Ta có: A(x) = B(x). Giải phơng trình này ta đợc nghiệm chung của
hai phơng trình, sau đó thay nghiệm chung đó vào một trong hai phơng
trình ta tìm đợc giá trị của tham số m, nếu cần thiết thử lại để kiểm tra
C

á ch 3 : Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản

Từ một trong hai phơng trình ta rút m theo x và thế vào phơng
trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình này ta tìm đợc nghiệm
chung, sau đó tìm m = ?

<b>D¹ng 21: Chøng minh trong hai phơng trình bậc hai một ẩn có</b>
<b>ít nhất một phơng trình có nghiệm </b>

Cho hai phơng trình 2 2

ax bx c 0 (a 0 ) và a ' x b ' xc '0 (a '0 )
Trong đó a, b, c,a ', b', c ' chứa tham số

Chøng minh ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiƯm

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Ph

¬ ng ph ¸ p :
C

¸ ch 1 : Gäi ₁,₂ lần lợt là biệt thøc cña hai phơng trình. Ta cÇn
chøng minh

+)    ₁ ₂ 0 => ₁ 0 hc 2 0 hc 1,2 0

+)   ₁. ₂ 0 => ₁ 0 hc 2 0

VËy Ýt nhÊt một trong hai phơng trình trên có nghiệm
C

¸ ch 2 : Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Giả sử cả hai phơng trình đều vơ nghiệm. Khi đó  ₁ 0, ₂ 0
Ta lập luận dẫn đến điều vơ lí => phải có ít nhất một trong hai
biệt thức khơng âm. Vậy có ít nhất một trong hai phơng trình trên
có nghiệm

<b>Dạng 22: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình tơng đơng</b>

- Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có
cùng một tập nghim

*) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc nhất

Tỡm nghim ca hai phơng trình theo tham số và cho hai nghiệm
bằng nhau, từ đó tìm đợc giá trị của tham số hai phng trỡnh tng
-ng

*) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai một ẩn
Xét hai trờng hợp

Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung

Trc ht tỡm giỏ trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm
chung sau đó thay giá trị của tham số vào hai phơng trình và
tìm tập nghiệm của chúng. Nếu tập nghiệm bằng nhau thì hai
phơng trình tơng đơng => giá trị ca tham s

Trờng hợp 2: Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=> 1

2

0
0

=> Giá trị của tham số

Đặc biệt: Nếu nhận thấy một trong hai phơng trình có hai nghiệm
( ₁ 0 hoặc  ₂ 0₎

=> Hai phơng trình tơng đơng khi hai nghiệm của phơng
trình này cũng là hai nghiệm của phơng trình kia, do đó ta
có thể áp dụng vi - ét cho cả hai phơng trình và tìm tham số.
Cụ thể ta có: x₁ x₂ b b' ;x x_{1 2} c c' m ?

a a ' a a '

  

     

<b>Dạng 23: Tìm giá trị của tham sè khi biÕt nghiƯm cđa phơng</b>
<b>trình</b>

<b>23.1: Tìm giá trị của tham sè khi biÕt một nghiệm của phơng</b>
<b>trình.</b>

Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}_{0) cã mét nghiƯm x = x1.}
C

¸ ch gi ¶ i:

 Bíc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12_{+ bx1 + c = 0.}

Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn là tham số.

<b>23.2: Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phơng trình.</b>

Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0}(1)_(a__{0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2.}
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

   


  


2
1 1
2

2 2

ax bx c 0

ax bx c 0

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.
C

á ch 2:

Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: Theo Vi - Ðt



 



 _


1 2
1 2
b
x x
a
c

x .x
a

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.

<b>Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn</b>
<b>luôn dơng hoặc luôn luôn âm với mọi x</b>

Cho tam thøc bËc hai f(x) = _ax2 __bx__c _(a__{0 )}

f(x) =









2

2 2

2

2 2

b c b b 4ac b

a( x x ) a x a x

a a 2a _4a 2a _4a

 _   _ 

   _   _  _   _

   

   

+) NÕu  0 =>





2
2
b
x
2a _4a


  > 0. Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số
a, ta có các trờng hợp sau

 f(x) > 0, x <=> a 0
0



 


 f(x) < 0, x <=> a 0
0



 



 f(x) ≥ 0, x <=> a 0
0



 


 f(x) ≤ 0, x <=> a 0
0



 


+) NÕu 0 f ( x ) a( x b )2
2a

    

=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x = b
2a

Khi x = b

2a

 _{th× f(x) = 0}

VII <b></b> Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình.

Lí thuyết chung

<b>1. Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình </b>

B

ớ c 1: Lập phơng trình.

- Chn n s và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đ<b>ã</b> biết;
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

B

ớ c 2: Giải phơng trình.
B

í c 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem trong c¸c nghiệm của phơng trình,
nghiệm nào thoả m<b>Ã</b>n điều kiƯn cđa Èn, nghiƯm nào không rồi kết
luận.

<b>2. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng tr×nh </b>

B

í c 1: LËp hệ phơng trình.

- Chn hai n s v xỏc định điều kiện thích hợp cho chúng;

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đ<b>ã</b> biết;
- Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

B

í c 2: Giải hệ hai phơng trình nói trên .
B

í c 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem trong c¸c nghiƯm cđa hƯ phơng trình,
nghiệm nào thoả m<b>Ã</b>n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiệm nào không rồi kết
luận.

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dng 1: Toỏn chuyn động</b>

- Ba đại lợng: S, v, t
- Quan hệ: S = vt; t = S

v ; v =
S

t (dùng cơng thức S = v.t từ đó tìm
mối quan hệ giữa S , v và t)

- Chó ý bài toán canô :

Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc

*) Toán đi gặp nhau cần chú ý đến tổng qu<b>ã</b>ng đờng và thời gian bắt
đầu khởi hành.

*) Toán đuổi kịp nhau chú ý đến vận tốc hơn kém và qu<b>ã</b>ng đờng đi đợc
cho đến khi ui kp nhau

<b>Dạng 2: Toán về quan hệ giữa các số</b>

ab 10a b

abc 100a 10b c

Điều kiÖn: 0 < a  9; 0  b, c  9 (a, b, c Z )

<b>Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, năng suÊt</b>

*) Bài toán làm chung, làm riêng:
+ Qui ớc: Cả cơng việc là 1 đơn vị.

+ Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc
bao nhiêu phần cơng việc.

+ C«ng thức: Phần công việc = 1

Thời gian
+ Số lợng công việc = Thời gian . Năng suất.
*) Bài toán năng suất:

+ Gm ba i lợng: Tổng sản phẩm ; năng suất; thời gian
+ Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất . Thời gian;

=> Thời gian = Tổng sản phẩm

Năng suất ; Năng suất =

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

<b>Dạng 4: Toán diện tích</b>

<b>Dạng 5: Toán có quan hệ hình học</b>
<b>Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa</b>

<b>Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm</b>

VIII <b></b> Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

<b>Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung</b>

<i>a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức</i>
<i>có nhân tử chung. Cụ thể:</i> AB + AC + AD = A(B + C + D)

<i>b) Các bớc tiến hành:</i>
<i>B</i>

<i> c 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu</i>
<i>ngoặc.</i>

<i>B</i>

<i> í c 2 : ViÕt các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa</i>
<i>thức cho nhân tử chung.</i>

<b>Phng phỏp 2: Dựng hằng đẳng thức</b>

<i>a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng </i>
<i>thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.</i>
<i>b) Các hằng đẳng thức quan trọng </i>

1) a2_{+ 2ab + b}2_{= (a + b)}2

    2 

a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
2) a2_{- 2ab + b}2_{= (a - b)}2

    2 

a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
3) a2_{– b}2_{= (a + b).(a – b)}

4) a b ( a b).( a b) (a,b0)
5) a3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3_{= (a + b)}3

     

3 3 3

a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
6) a3_{- 3a}2_{b + 3ab}2_{- b}3_{= (a - b)}3

     

3 3 3

a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)

7) a3 b3 (a b)(a 2  ab b ) 2

  3  3     

a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an _{+ b}n_{=(a + b)(a}n-1 _{- a}n-2_{b + ... - ab}n-2 _{+ b}n-1_).

8) a3  b3 (a b)(a 2 abb )2

  3  3     

a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an _{- b}n_{= (a - b)(a}n-1 _{+ a}n-2_{b + ... + ab}n-2 _{+ b}n-1_).
9) a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)}2

        2 

a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)

<b>Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử</b>

<i>Phng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích</i>
<i>thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng</i>
<i>đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi</i>
<i>nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

<i>B</i>

<i> ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng</i>
<i>nhóm.</i>

<i>B</i>

<i> ớ c 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt</i>
<i>nhân tử chung.</i>

<i>B</i>

<i> ớ c 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.</i>

<b>Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc</b>
<b>thêm, bớt cùng một hạng tử</b>

<i>*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra</i>
<i>những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:</i>

<i>*) Các tr ờng hợp :</i>

<i>a, Trờng hợp đa thức dạng ax2_{+ bx + c ( a, b, c}</i>_<i>_{Z; a, b, c}</i>_<i>₀₎</i>

<i>TÝnh : </i><i> = b2 - 4ac:</i>

<i>- Nếu </i><i> = b2 - 4ac < 0: Đa thức khơng phân tích đợc.</i>

<i>- NÕu </i><i> = b2 - 4ac = 0: §a thøc chun vỊ dạng bình phơng của một nhị </i>

<i>thức bậc nhất</i>

<i>- Nếu </i><i> = b2 - 4ac > 0 </i>

<i>+) </i><i> = b2 - 4ac = k2 ( k </i><i> Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.</i>

<i>+) </i><i> = b2 - 4ac </i><i> k2 đa thức phân tớch c trong trng s thc R.</i>

<i>b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:</i>
<i>- Nhẩm nghiệm của đa thức:</i>

<i>+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử b»ng 0 </i><i> ®a thøc cã nghiƯm</i>
<i>b»ng 1.</i>

<i>+) NÕu tỉng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ </i>
<i>số của các hạng tử bậc lẻ </i><i> ®a thøc cã nghiƯm b»ng - 1.</i>

<i>- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm ngun thì nghiệm nguyên đó </i>
<i>phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng </i> p

q <i> thì</i>

<i>p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử cã bËc cao </i>
<i>nhÊt".</i>

<i>- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức,</i>
<i>hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thc.</i>

<b>Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)</b>

- <i>Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) </i>
<i>(q(x) là thơng của phép chia)</i>

<i>*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0</i>

<b>Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)</b>

<i>- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều</i>
<i>biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử</i>
<i>dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích</i>
<i>đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 .</i>

<i>- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để</i>
<i>chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp</i>

<b>Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định</b>

<i>Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng</i>
<i>kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải.</i>

<b>Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam</b>
<b>thức bậc hai</b>

<i>- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2_{+ bx + c có nghiệm x}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

<i><b>1. Giải phơng trình bậc cao:</b></i>
<i><b>2. Giải bất phơng trình bậc cao:</b></i>

<i><b>3. Chng minh ng thức, bất đẳng thức:</b></i>

<i><b>4. Chøng minh mét biĨu thøc lµ sè chÝnh ph¬ng</b></i>
<i><b>4. Chøng minh tÝnh chia hÕt</b></i>

<i><b>6. Rót gän, Tính giá trị biểu thức</b></i>

<i><b>7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức</b></i>
<i><b>8. Giải phơng trình nghiệm nguyªn</b></i>

<i><b>9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị ngun</b></i>



Thầy giáo : Phạm Văn Hiệu

<i>*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link ny - </i>

Ghi chú

Nếu muốn tham khảo các bài tập của từng phần, từng dạng. Xin

mời các quý thầy cô và các em học sinh h y truy cập vµo website cđa

<b>·</b>

Quang Hiệu theo địa chỉ:

Tài liệu này đợc viết với rất nhiều tâm huyết, chắc chắn có những

sai sót khơng mong muốn. Vậy Quang Hiệu rất mong đợc sự góp ý của

các đồng chí l nh đạo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh trên

<b>ã</b>

mọi miền tổ quốc để cho tài liệu này đợc hồn thiện hơn, góp phần nhỏ

bé nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập do Bộ giáo dục và o to

phỏt ng.

Quang Hiệu đ viết tài liệu này bằng office 2010, kết hợp với các

<b>Ã</b>

phn mm v hỡnh chuyên dụng nh corel 12; flash 8.0 ; GSP 4.05 ;

chụp hình snagit 8.0 và sử dụng nhiều dạng phơng chữ khác nhau; nếu

q thầy cơ khơng có đủ fonts chữ trong máy thì một số phần sẽ khơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

trình duyệt đầy đủ (nếu muốn có đầy đủ fonts chữ đẹp nhất của Quang

Hiệu thì h y truy cập vào website của tôi để tải về máy, sau đó coppy

<b>ã</b>

và paste tất cả fonts vào hệ điều hành windows theo đờng dẫn sau:

C:\WINDOWS\Fonts . Chúc các bạn thành công)

</div>

<!--links-->
HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN CỦA QUANG HIỆU

• 65
• 2
• 27