BO DE THI HSG TOAN 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.59 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THAØNH PHỐ 
Năm học 2002-2003.

Bài1:(4điểm).

Cho phương trình : (2 1) 2 2 1 0




 x mx

m .

a/ Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
b/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1;x2thõa 1

2
2
2

1  x 

x .

Bài 2: (5điểm).

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây;

a/ 7 5 2 12 38







 x x x x ; b/

















7

8

2
2

xy

y

x

y

x

y

x

; c/

















1 y

x

y

x

Bài 3: (3điểm).

a/ Cho a > c, b > c , c > 0 . chứng minh : c(a c) c(b c)  ab.

b/ Cho x1,y1. Chứng minh

xy
y

x    

 1

1
1

2
2

Bài 4: (3điểm).

Từ điểm a ở ngồi đường trịn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C
là các tiếp điểm ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và
AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến này cắt AB ở K

.Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn .
Bài 5: (2điểm).

Cho tam giác ABC vng tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đường
thẳng lưu động và vng góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E
. Xác định vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất .

Baøi 6: (3điểm).

Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Qua A vẽ hai
đường thẳng (d) và (d’) đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng
(d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng
minh rằng CD = MN.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút
Bài 1: (2điểm).

Cho biểu thức

x
x
x

x
x

x

K ) 2003

1
1
4
1

1
1

( 2














 .

a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định .
b/ Rút gọn biểu thức K.

c/Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên .
Bài 2: (2điểm).

Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a/ Đi qua điểm A( 1; 2003).

b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0;
c/ Tiếp xúc với parabol 2.

4
1

x

y .

Bài 3: (3điểm).

a/ Giải bài tốn bằng cách lập phương trình:

Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng
7m . Tính diện tích hình chữ nhật đó.

b/ chứng minh bất đẳng thức :

2003
2002

2002
2003
2003

2002




 .

Bài 4: (3điểm).

Cho tam giác ABC vng tại A .Nửa đường trịn đường kính AB căùt BC tại D .
Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.

a/ Chứng minh CDEFlà một tứ giác nội tiếp .

b/ Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q .Tứ
giác MPNQ là hình gì ? Tại sao?

c/ Gọi r,r1,r2 theo thứ tự là bán kính đường trịnnoij tiếp các tam giác ABC, ADB,
ADC. Chứng minh rằng 2

2
2
1
2 r r

r  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: (3điểm).

Giải phương trình : x21  x2 4 x2 2x4.

Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức

a
b
a

b
a
b
a
b

a
b







, với a,b trái dấu .
Bài 3: (3điểm).

Ruùt goïn 3 2(1 2 3 4) 2 4 2 3

3
8
14

3
)
3
6
12

(      



 .

Bài 4: (3điểm).

Trong các hình chữ nhật có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ?

Tìm diện tích đó.

Bài 5: (4điểm).

Cho đường trịn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O) .Kẻ tiếp tuyến AM,AN
;đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt tại B ,C .
Chứng minh :

a/ Tứ giác MNCB là hình thang cân .
b/MA.MB R2

 .

c/K thuộc cung nhỏ MN .Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lựot tại P, Q .Chứng
minh :

4
.

2
BC
CQ

BP 

Bài 6: (4điểm).

Cho đường trịn (O)và đường kính AB .Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O ).
Gọi N là điểm di động trên (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O).

a/ Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b/ Tìm quỹ tích tâm Q của đường trịn nội tiếp tam giác MNB.

ĐỀ THI VAØO 10 HỆ CHUYÊN –TỈNH HÀ TÂY
Năm học 2003-2004.

Bài 1: (2điểm).

Cho biểu thức )

1
2
1
(
:
)
1
2

1
1
(












x
x
x

x
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1/ Rút gọn P ;

2/ Tìm x sao cho P< 0 ;
Bài 2: (1,5điểm).

Cho phươngtrình : 2 (2 1) 2 0





 m x m

mx .

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn : 22 2003

1 x 

x .

Bài 3: (2điểm ).

Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dịng nước )và một ca nơ cùng
rời bến A để xi dịng sơng .Ca nơ xi dịng được 144km thì quay về bến A ngay ,
cả đi lẫn về hết 21 giờ .Trên đường ca nô trở về bến A , khi cịn cách bến A 36 kmthì
gặp bè nứa trơi nói ở trên .Tìm vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước .
Bài 4: (3,5điểm ).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .C là trung điểm của đoạn
thẳng AO , Đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn
trên tại I . K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK
cắt nửa đường tròn đã cho tại M .Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt
Cx tại điểm N tia BM cắt Cx tại D.

1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D cùng nằm trên một đường tròn .
2/ Chứng minh tam giác MNK cân .

3/Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
4/Chứng minh rằng khi K di động trên CI thì tâm đuường trịn ngoại tiếp tam
giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định .

Bài 5: (1 điểm ).

Cho a,b,c là ba số bất kì đều khác khơng và thõa mãn : acbc3ab0.

Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm :

.
0
)
)(

)(

( 2 2 2









bx c bx cx a cx ax b
ax

ĐỀ THI VAØO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH
Năm học 2003-2004.

Bài 1 : (1,5 điểm).

Cho phương trình : 2 1 0.



x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

.
13

10 1 1

1 x x

x

P   

Bài 2( 2 điểm).

Cho biểu thức : Px 5 x(3 x) 2x.Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của P khi

3
0x .

Bài 3: ( 2 điểm ).

a/Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho : 2 2 2 2007



b c

a .

b/ Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x,y, z sao cho :

.
0
7
5
3
2
2
2








y z x y z

x

Baøi 4 :( 2,5điểm).

Cho tam giác ABC vng tại A .Vẽ đường cao AH .Gọi (O) là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHC .Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì
khác A .Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E sao cho BD =
BE = BA . Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N .

a/ chứng minh rằng tứ giác BDNE nôị tiếp .

b/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc
với nhau .

Bài 5 ( 2 điểm) .

Có n điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng .Hai điểm bất kì được
nối với nhau một đoạn thẳng ,mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh đỏ hoặc vàng .
Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh ,một đoạn màu đỏ , một đoạn màu vàng
;không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và khơng có
tam giác nào tạo bỡi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu .

a/ Chứng minh rằng khơng tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng
một điểm .

b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài .

ĐỀ THI VAØO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH
Năm học 2003-2004.

Bài 1: 1/ Chứng minh rằng : phương trình

0
)

(
2
)

( 2 2 2 3 3 4 4








 b x a b x a b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2/ Giải hệ phương trình















35 )1

(

)1

(

5 y

x

xy

y

x

Bài 2 : 1/ Với mỗi số nguyên dương n, đặt



22 1 2 1 1; 22 1 2 1 1;








   n n n

n

n b

a

Chứng minh rằng với mọi n , an.bnchia hết cho 5 va øan .bn khơng chia hết cho 5.

2/tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao tích của chúng
bằng tổng của chúng

Bài 3: Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao A1H  AB,A1K  AC.Đặt
.

, 1

1B x AC y

A  

1/ Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác ABC và AHK Hãy
tính tỉ số rr' theo x, y .tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó.

2/Chứng minh rằng Tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường trịn . Tính bán kính của
đường trịn đó theo x,y.

Bài 4:

1/Cho đường trịn (C) tâm O và điểm A khác O nắm trong đường tròn một đường
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N .Chứng minh rằng đường

tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O .

2/ Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn . I là một
điểm di động trên (D) Đường trịn đường kính IO căÉt (C) tại M,N. Chứng minh rằng
MN luôn đi qua một điểm cố định .

Bài 5:

1/ Cho một bảng vng 4x 4 ô.Trên các ô của hình vuông này ,ban đầu người
ta ghi 9số 1và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số ) .Với mỗi phép biến đổi bảng cho
phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng hay trên cột đã chọn ,đổi đồng
thời các số 0 thành số1, các số 1 thành số 0 . Chứng minh rằng sau một số phép biến
đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0.

2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ , 15 hiệp sĩ
tóc vàng và, 17 hiệp sĩ tóc xanh . Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau
thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc
vàng Thì cả hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn
lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất cả các hiệp sĩ có cùng mùa
tóc được khơng?

ĐỀ THI VÀO 10 CHUN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG
Năm học 2003-2004.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

}.
1
;

0
,

{     

 ax by x y x y

T Chứng minh các số : va ab

b
a

ab



đều thuộc tập T .
Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC với các cạnh AB, AC . Chứng minh đường phân giác trong của góc B , đường
trung bình song song với AB của tam giác ABC và đường thẳng DE đồng qui.
Bài 3;

1/ Giải hệ phương trình





















85 )

)(

(

45 )

)(

(

2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

2/ Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho các số : c a
c
b
b

a1, 1, 1 laø các số nguyên dương .

Bài 4 : Tìm đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : 2
)
7
2
(

)
7
2
(






g
f

.
Bài 5 Tìm số nguyên tố p để 4 2 1



p và 6 2 1


p là các số nguyên tố .

Bài 6 : Cho phương trình : 2 0.



ax b

x có hai nghiệm x1 x2. Đặt

2
1

x
x

x
x
u

n
n
n




 (n là số tự nhiên ). Tìm giá trị của a,b sao cho đẳng thức :

n
n

n u u u

u 1 2  3 (1) . Với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra un un1 un2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

KHÓA THI: 2002-2003.
Bài 1: Rút gọn biểu thức :

5
3
10

5
3
5

3
10

5
3













A .

Bài 2: Gọi avà b là hai nghiệm của phương trình bậc hai : 2 1 0.



 x

x Chứng minh

rằng các biểu thức P a b a3 b3,Q a2 b2 a4 b4vaR a2001 b2001 a2003 b2003,













 laø

những số nguyên và chia hết cho 5 .

Baøi 3: 1/ Cho hệ phương trình

)1(

.

4

1

2 

















m

y

xy

x

xy

x

a/ Giải hệ phương trình khi m=7 .

b/ Tìm m sao cho hệ phương trình (1) cónghiệm .

Bài 4 : Cho hai đường trịn (C1);(C2) tiếp xúc ngồi với nhau tại T hai đường tròn

này nằm trong đường tròn (C3)và tiếp xúc vơí (C3)tương ứng tại Mvà N . tiếp
tuyến chung tại T của (C1);(C2)cắt (C3)tại P . PM cắt (C1)tại điểm thứ hai là
Avà MN cắt (C1)tại điểm thứ hai là B . PN cắt (C2) tại điểm thứ hai là D và MNø
cắt (C2) tại điểm thứ hai là C.

Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp .

Chứng minh rằng các đường thẳng AB , CD và PT đồng qui .

Bài 5 :Một ngũ giác có tính chất : tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp
của một ngũ giác đều có diện tích bằng 1. tính diện tích của ngũ giác đó .

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH BẮC NINH
KHÓA THI: 2002-2003.

BÀI 1:1/ Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn : 2 3 3026


 y

x .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 2: 1/ Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn
hơn m : 2 0.



x m

x

2/ Tìm các giá trị của a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

0
1
)
7
(

4xx  a x  .

3/Tìm x thõa maõn : 7x2 8x 10 x2 8x 10 2x







 .

Bài 3 : Cho đường trịn tâm O bán kính R và dây cung AB cố định trương cung 1200

.Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B ); M trên cung nhỏ AB ( M
không trùng Avà B) . Hạ ME , MF thứ tự vng góc với AC và BC .

1/ Cho M cố định hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi .
2/ Cho M cố định hãy chứng minh giá trị MEAC MFBC không thay đổi khi C

thay đổi .

3/ Khi M thay đổi hạ MK vng góc với AB .Hãy xác định vị trí của M sao cho
MK

AB
MF

BC
ME
AC



 đạt giá trị nhỏ nhất .

Bài 4 : Cho tam giác đều ABC .Lấy điểm M ngoài Tam giác sao cho MA 2;MB=2

(cùng đơn vị đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc MAC 15 độ ( tia CM nằm giữa hai

</div>

BO DE THI HSG TOAN 9























7

8

<i>xy</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>





















1

1

1

1

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>





















35

)1

(

)1

(

5

<i><sub>y</sub></i>

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>y</i>

<i>x</i>























85

)

)(

(

45

)

)(

(

<i>y</i>