HSG toan 8 hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng GD&ĐT Huyện Lục Ngạn

Trờng THCS Mỹ An Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyệnNăm học: 2010-2011
Môn :Toán - Lớp : 8

<i>(Thời gian làm bài: 120 phút)</i>
<b>Bài 1</b> (2đ):

Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z sao cho:

<i>x</i>
1

+ 1<i>_y</i> +

<i>z</i>
1

=1

<b>Bài 2</b> (1đ):

So sánh 23100_{và 3}2100

<b>Bài 3</b> (2đ):

Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mÃn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 vµ
chia cho 5 d 4.

<b>Bµi 4</b> (2đ):

Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN ( N

AH).Vẽ tia AE MN tại E. AE

cắt MH tại B

Tính S<i>ABM</i> _{, S}<i>ABH</i> _{biÕt AM= p, AN= q}

<b>Bµi 5</b> (1đ):

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số a= 28₊₂11₊₂n_{là số chính phơng}

<b>Bài 6</b> (2đ):

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x2_{+ y}2_{+ z}2_{= x}2_y2_.

<i>Ngời ra đề</i> <i>Xác nhận của hiu trng</i>

Nguyễn Trọng Khái Nguyễn Anh Xuân

<b>hớng dẫn chấm thi Học kỳ II</b>

Môn: Toán 8
Năm học:2010- 2011

Câu Đáp án Thang

điểm
Bài 1

(2đ) Giả sử x y z > 0 1<i>_x</i> + <i>y</i>

1

+

<i>z</i>
1



<i>z</i>
3

 1

<i>z</i>
3

 0< z3

+ Nêu z= 1

<i>x</i>
1

+1<i>_y</i> =0 Không có giá trị x, y thoả mÃn

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+ Nếu z = 2 

<i>x</i>
1

+ 1<i>_y</i> =

2
1

Cã x y 

<i>x</i>
1

+ 1<i>_y</i>  2<i>_y</i> 

2
1

 2<i>_y</i>  0< y  4 y=
{1,2,3,4}

ã y=1 thì

<i>x</i>
1

+ 1 =

2
1

Không có giá trị nào của x thoả

mÃn

ã y= 2 th×

<i>x</i>
1
+
2
1
=
2
1

Không có giá trị nào của x thoả
mÃn

• y= 3 th×

<i>x</i>
1
+
3
1
=
2
1

 x=6  (6,3,2) là 1 nghiệm
ã y= 4 thì

<i>x</i>
1
+
4
1
=
2
1

 x=4  (4,4,2) lµ 1 nghiƯm

+ NÕu z = 3 

<i>x</i>
1

+ 1<i>_y</i> =

3
2

Cã x y 

<i>x</i>
1

+ 1<i>_y</i>  2<i>_y</i> 

3
2

 2<i>_y</i>  0< y  3 y= {1,2,3 }
ã y=1 thì

<i>x</i>
1

+ 1 =

3
2

Không có giá trị nào của x thoả
mÃn

ã y= 2 th×

<i>x</i>
1
+
2
1
=
3
2

 x=6 (6,2,3) là 1 nghiệm
ã y= 3 th×

<i>x</i>

1
+
3
1
=
3
2

 x=3  (3, 3, 3) lµ 1 nghiƯm
VËy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 2

(1®) Ta cã (3₂ )2> 2  (3₂ )100> 2

 3100_{> 2. 2}100

100 100 100 100

3 2.2 2 2

2 2 4 3

Vậy ₃100 ₂100

2 3

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 3

(2đ) Ta cã: a

1(mod 2) ; a2(mod3) ; a3(mod 4) ; a4(mod 5)

 20a40(mod 60)

15a45(mod 60)
12a48(mod 60)

 47a133(mod 60)13(mod 60)

 47a=60t+13

 60 13 13 13

47 47

<i>t</i> <i>t</i>

<i>a</i> <i>t</i>

Đặt 13 13 47 13 3 1 8

47 13 13

<i>t</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>t</i> <i>k</i>

Đặt 8 13 5

13 8 8

<i>k</i> <i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> <i>k</i> <i>u</i>

     Đặt 5 8 3

8 5 5

<i>u</i> <i>v</i> <i>v</i>

<i>v</i> <i>u</i> <i>v</i>

  

Đặt 3 5 2

5 3 3

<i>v</i> <i>p</i> <i>p</i>

<i>p</i> <i>v</i> <i>p</i>

     Đặt 2 3

3 2 2

<i>p</i> <i>q</i> <i>q</i>

<i>q</i> <i>p</i> <i>q</i>

Đặt 2

2

<i>q</i>

<i>l</i> <i>q</i> <i>l</i>

 (víi t,k,u,v,p,q,lZ+)

 p=2l+l=3l  v=3l+2l=5l  u=5l+3l=8l

(0,25®)

(0,25®)

(0,25®)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 k=8l+5l=13l  t=3.13l-1+8l=47l-1  a=47l-1+13l=60l-1

Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất Chọn l=1 a=59

Đáp số:a=59.
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 4
(2đ)

Ta có:<i>_{AME BME}</i> <i>_BAH</i> vµ EA = EB; MA = MB = p

*AHB đồng dạng AEN ( g.g)



<i>AE</i>
<i>AH</i> ₌

<i>AN</i>
<i>AB</i>

 AH = AE.

<i>AN</i>
<i>AB</i> ₌
<i>q</i>
<i>AB</i>
2
2

* AHB đồng dạng MEA (g.g)



<i>EA</i>
<i>BH</i> ₌

<i>AM</i>
<i>AB</i>

 BH = AE .

<i>AM</i>
<i>AB</i> ₌

<i>p</i>
<i>AB</i>

2

2

* Xét ABH vuông tại H  AB2 = BH2+AH2

 AB2₌
2
4
4<i>p</i>
<i>AB</i>
+ 2
4
4<i>q</i>
<i>AB</i>

 AB2₌

2
2
2
2_.
4
<i>q</i>
<i>p</i>
<i>q</i>
<i>p</i>


 AH = 2 2

2_.
2
<i>q</i>
<i>p</i>
<i>q</i>
<i>p</i>

 ; BH = 2 2

2_.
2
<i>q</i>
<i>p</i>
<i>p</i>
<i>q</i>


* DiÖn tÝch  ABM : S =

2
1

. AH. MB = 2 2

3_.
<i>q</i>
<i>p</i>

<i>q</i>
<i>p</i>

 (®vdt)

* DiÖn tÝch  ABH : S =

2
1

. AH. HB = ₂ ₂ ₂

3
3
)
(
.
.
2
<i>q</i>
<i>p</i>
<i>q</i>
<i>p</i>
 (®vdt)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 5

(1đ) + Nếu n = 8  a = 2

8₊₂11₊₂8_{= 2}9 _{(1+4) = 5. 2}9 _(lo¹i)

+ NÕu n< 8  a = 28_{.( 9 + 2}n-8₎_ _{n = { 1,2 ...7}}_ _{a không phải là số}

chính phơng

+ Nếu n > 8  a =28_{.( 9 + 2}n-8₎

a là số chính phơng  ( 9 + 2n-8_{) = p}2_ ₂n-8_{= (p-3).(p+3)}

Cã (p+3)-(p-3) =6  2n-8 _{lµ tÝch cđa hai sè cã hiệu bằng 6 và mỗi số phải là}

luỹ thừa cña 2
p - 3 = 2

p + 3 = 8
p = 5
Víi p =5  2n-8_{= 2.8 = 2}4 _ _{n - 8 = 4}_ _{n = 12}

KL : n = 12

(0,25đ)
(0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 6

(2đ) Vì x , y cã vai trß nh nhau ta cã:

VP = x2_y2_{= (xy)}2





)
4
(mod
1
)
4
(mod
0

TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP

_

0 (mod 4)

Tõ (*) suy ra z lẻ

Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuéc Z)

Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d Z

 VT

_

2 (mod 4)

Vô lý.

TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP



1 (mod 4)
Từ (*) suy ra chẵn.

Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuéc Z)

Khi đó VT có dạng (4d +2) , d Z

 VT

_

2 (mod 4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

TH3:x ch½n ,y ch½n : VP

_

0 (mod 4)

Từ (*) suy ra z chẵn .Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c
PT (*)  4a2 _{+ 4b}2 _{+ 4c}2 _{= 16a}2_b2

 a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 4a}2_b2

Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn .Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C .
PT (*)  4A2 _+4B2 _{+ 4C}2 _{= 64A}2_B2

 A2 _{+ B}2 _{+ C}2 _{= 16A}2_B2

Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) là nghiệm của phơng trình (*) thì
0 _; 0 _; 0

2<i>k</i> 2<i>k</i> 2<i>k</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>Z</i> <i>Z</i> <i>Z</i>

   , <i>k N</i>*
Do đó : x0 = y0 = z0 = 0

Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình.
KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 )

(0,25®)

(0,25®)
(0,25®)

<i>Ngời ra đề</i> <i>Xác nhận của hiệu trởng</i>

</div>

<!--links-->