P3-Phương Trình Đường Thẳng

SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Phần 3
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

Bài 44.

Bài 45.

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
Viết phương trình các đường thẳng:

A ( − 1;2;3) , B ( − 2;1;0 ) , C ( 4;0;1)

a)

d1

đi qua

A, B .

b)

d2

đi qua

A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM = 2 DM .

c)

d3

đi qua

D và vng góc với ( ABC ) .

d)

d4

đi qua

B và song song với CD .

e)

d5

đi qua

E ( 1;1;1)

f)

d6

đi qua

F ( − 1; − 2;4 )

g)

d7

đi qua

F ( − 1; − 2;4 ) ,

Cho hai mặt phẳng

và song song với

và

D ( 2; − 3;1) .

( ABC ) và ( Oxy ) .

và vng góc với

AB

và

CD .

vng góc với AB và song song với

( BCD ) .

( P ) : x − 2 y + z = 0, ( Q ) : x + y − z − 3 = 0 cắt nhau theo giao tuyến d .

(a) Viết phương trình đường thẳng

d.

(b) Viết phương trình đường thẳng

d1

đi qua

(c) Viết phương trình đường thẳng

d2

đi qua gốc

A ( 2; − 1;0 )

O

và vuông góc với

( P).

và song song với cả hai mặt phẳng

( Q).
Câu 46. Cho mặt phẳng

d1 :

( P ) : x − y + 2 z − 1 = 0 , hai đường thẳng

x−1 y+ 2 z +1
x+1 y −1 z − 2
=
=
; d2 :
=
=
−1
2
3
3
−1
6

(a) Tìm tọa độ giao điểm
(b) Tìm tọa độ điểm

M

của d1 và

và

A(1;2; − 3)

( P)

B đối xứng với A qua ( P )

(c) Viết phương trình đường thẳng
(i) ∆ 1 đi qua
(ii)

A , song song với ( P ) và vng góc với đường thẳng d 2

∆ 2 nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt hai đường thẳng d1 và d2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 1 Mã đề

( P ) và


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

(iii)

∆3 nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt và vng góc với đường thẳng d1

(iv)

∆ 4 đi qua A song song với mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d 2

(v) ∆ 5 đi qua

A , cắt đường thẳng d1 và vng góc d 2

(d) Viết phương trình mặt phẳng

( Q1 ) đi qua A và vng góc d1
(ii) ( Q2 ) đi qua A song song d1 và d 2
(i)

Bài 47.

Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ

A ( 0;0; − 3) , B ( 2;0; − 1)

cho hai điểm

và mặt phẳng

( P ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0 .
a) Viết phương trình đường thẳng
b) Tìm tọa độ giao điểm

c) Tìm tọa độ điểm

Bài 48.

C

I

đi qua

AB

( P)

nằm trên mặt phẳng

d) Tìm điểm

M

có hồnh độ bằng 1 sao cho

e) Tìm điểm

N

thuộc mặt phẳng

Cho hai điểm

mặt phẳng

( P)
d

AM + BM

sao cho

∆ ABC

là tam giác đều.

đạt giá trị nhỏ nhất.

AN 2 + BN 2
∆:

( P) .

đạt giá trị nhỏ nhất.

x−1 y + 2 z
=
=
−1
1
2.

G

đi qua trọng tâm

của tam giác

OAB

và vuông góc với

(OAB) .

M
∆1

Cho đường thẳng

Đường thẳng

∆2:

sao cho

là giao của hai mặt phẳng

MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
x − 2 y + z − 4 = 0 và x + 2 y − 2 z + 9 = 0 .

x−1 y − 2 z −1
=
=

1
1
2 .

( P)

chứa đường thẳng

b) Cho điểm M (2;1;4) . Tìm tọa độ điểm
có độ dài nhỏ nhất.

Cho đường thẳng

∆

thuộc đường thẳng

a) Viết phương trình mặt phẳng

x−1 y + 3 z − 3
=
=
d : −1
2
1

a. Tìm tọa độ điểm
bằng

với mặt phẳng

sao cho

A(1;4;2), B(− 1;2;4) , đường thẳng

b) Tìm tọa độ điểm

Bài 50.

A và vng góc với ( P ) .

của đường thẳng

a) Viết phương trình đường thẳng

Bài 49.

d

I

thuộc đường thẳng

H

thuộc đường thẳng

và măt phẳng

d

∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 .
∆2

sao cho đoạn thẳng

MH

( P) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0

sao cho khoảng cách từ

I

đến mặt phẳng

( P)

2.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

∆

Bài 51. Cho đường thẳng

A(1; − 1;2) .

x+1 y z − 2
= =
d: 2 1 1

Bài 53.

d

Cho đường thẳng

Bài 55.

thuộc

d

cắt

A và vng

góc với

d.

( P) : x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm
d và ( P)

M,N

lần lượt tại

sao cho

A

MN .

x−1 y+1 z
=
=
d: 2
2
−1

và điểm

A ( 1;0; − 1) . Viết phương trình mặt phẳng qua A

d . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên d .
x−1 y +1 z
=
=
2
−1 1

d:

sao cho tam giác

ABM

(THPT 2015) Cho mặt phẳng
phương trình đường thẳng

vng tại

và hai điểm

A ( 1; − 1;2 ) , B ( 2; − 1;0 ) . Xác định

M.

( P ) : x − y + 2z − 3 = 0 và hai điểm A ( 1; − 2;1) , B ( 2;1;3) . Viết

AB

AB

và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng

( P) .
(D2006) Cho điểm
Bài 56.

d2 :

là

x− 2 y z+ 3
= =
,
d : 1 − 2 3 mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm

Bài 54. (D2011) Cho đường thẳng

M

∆

đi qua

( P ) . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với ( P ) .

và

và vng góc với

tọa độ

và măt phẳng

Viết phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng
của

( P) , biết ∆

nằm trong mặt phẳng

trung điểm của đoạn thẳng

Bài 52.

và mặt phẳng ( P) . Viết phương trình tham số

A của đường thẳng d

b. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

A ( 1;2;3) và hai đường thẳng

d1 :

x− 2 y+ 2 z−3
=
=
,
2
−1
1

x−1 y −1 z +1
=
=
−1
2
1 .

(a) Tìm toạ độ điểm

A′

đối xứng với điểm

(b) Viết phương trình đường thẳng
Bài 57. Cho điểm

∆

A qua đường thẳng d1 .

đi qua

A , vuông góc với d1

và cắt

A ( 1;2; − 1) , mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z − 5 = 0 , đường thẳng

d:

a) Viết phương trình đường thẳng

d1

đi qua

A , cắt và vng góc với d .

b) Viết phương trình đường thẳng

d2

đi qua

A , cắt d

và song song với

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

d2 .
x−1 y−1 z
=
=
−2
−1 −2

( P) .
Trang 3 Mã đề

SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

d3

c) Viết phương trình đường thẳng
sao cho

Bài 58.

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

d4

đi qua

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

3AM = AN .

(B2006)

d2 :

đi qua

A là trung điểm đoạn thẳng MN .

d) Viết phương trình đường thằng
sao cho

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

Cho

A ( 0;1;2 ) và

điểm

x−1 y +1 z − 2
=
=
1
−2

1

( P)

hai

đường

d1 :

thẳng

x y −1 z +1
=
=
2
1
−1 ,

A , đồng thời song song với d1 và d2 .
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho ba điểm A, M , N thẳng hàng.
a) Viết phương trình mặt phẳng

Bài 59.

Cho điểm
qua

Bài 60.

Câu 62.

(D2009) Cho các điểm

D

Cho điểm

d1 :

b) Viết phương trình đường thẳng

d 4 đi qua A

A( - 4; - 2;4)

và đường thẳng

A , cắt và vng góc với d

Cho mặt phẳng

đi qua

d:

( P) : x + y + z − 20 = 0.

Xác định tọa

CD song song với mặt phẳng ( P).

A

cắt hai đường thẳng
cắt

d1

d1 , d2 .

và vng góc với

x + 3 y - 1 z +1
=
=
2
-1
4

d2 .

. Viết phương trình đường thẳng

.

( P) : 2 x + 3 y - z - 7 = 0 và A( 3;5;0) . Viết phương trình đường thẳng d
∆:

Cho đường thẳng

trình đường thẳng

d

( P)

đi

x y −1 z +1
x−1 y +1 z
=
.
=
= , d2 : =
−1
2
−3
−1 2
1

d3

Cho điểm

và

sao cho đường thẳng

và hai đường thẳng

và vng góc với mặt phẳng

Bài 64.

AB

∆

Oz .

A ( 2;1;0 ) , B ( 1;2;2 ) , C ( 1;1;0 )

thuộc đường thẳng

A ( 1; − 2;1)

và cắt trục

a) Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua
Câu 63.

và đường thẳng

x+1 y z− 3
= =
2
1 − 2 . Viết phương trình đường thẳng

d:

A , vng góc với đường thẳng d

độ điểm
Bài 61.

A ( 1;2;3)

qua

. Tìm tọa độ điểm đối xứng của

A qua ( P)

đi qua

A

.

x+1 y− 2 z− 3
=
=
−2
1
3 và hai điểm A ( 1; − 1;1) , B ( − 1;2;3) . Viết phương
đi qua

A , vng góc với hai đường thẳng AB

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

và

∆

.

Trang 4 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Bài 65. Cho mặt phẳng

( P ) : x + y + z − 1= 0

chiếu vng góc của

A

trên

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

A ( − 1; − 1; − 2 ) , B ( 0;1;1) . Tìm

và hai điểm

( P ) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua

A, B

tọa độ hình

và vng góc với

( P) .
x+ 2 y− 2 z
=
=
Bài 66. (D 2009) Cho đường thẳng ∆ : 1
1
− 1 và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 4 = 0 . Viết
phương trình

Câu 67.

A ( 2;5;3)

(A 2008) Cho điểm

và đường thẳng

a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm
b) Viết phương trình măt phẳng

Câu 68.

(B2011) Cho đường thẳng
điểm của

∆

và

Bài 70.

∆:

sao cho tam giác

góc với

Câu 72.

(TN-2014) Cho điểm A

thuộc

và mặt phẳng

( P)

lớn nhất.

( P ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi I

MI

sao cho

A đến ( α )

vng góc với

∆

và

là giao

MI = 4 14 .

∆:

có diện tích bằng

x−1 y+1 z
=
=
2
−1 1

sao cho tam giác

( 1; − 1;0)

và mặt phẳng

M

3 5.

và hai điểm

AMB

A ( 1; − 1;2 ) , B ( 2; − 1;0 ) . Tìm tọa độ

vng tại

M.

( P ) : 2x-2y+z-1=0 . Viết phương trình tham số

A và vng góc với ( P ) . Tìm tọa độ điểm M ∈ ( P )

sao cho

AM vuông

OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( P ) .
Cho đường thẳng
từ

Câu 73.

sao cho khoảng cách từ

x− 2 y+1 z
=
=
1
−2 −1

MAB

M thuộc đường thẳng ∆

của đường thẳng đi qua

d

A trên đường thẳng d .

x+ 2 y−1 z + 5
=
=
1
3
− 2 và hai điểm A ( − 2;1;1) , B ( − 3; − 1;2 ) . Tìm điểm

(D2012) Cho đường thẳng
điểm

Bài 71.

∆

chứa

( P ) . Tìm tọa độ điểm M

Câu 69. Cho đường thẳng
thuộc

∆:

(α )

d:

x−1 y z − 2
= =
2
1
2

M

đến

∆

bằng

Cho đường thẳng
qua

x y−1 z
∆: =
=
2
1
2

. Xác định tọa độ điểm

M

trên trục hoành sao cho khoảng cách

OM .

∆:

x− 6 y+1 z+ 2
=
=
−3
−2
1 và điểm A ( 1;7;3) .Viết phương trình mặt phẳng ( P )

A và vng góc với ∆ . Xác định tọa độ điểm M

thuộc

∆

sao cho

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

AM = 2 30 .
Trang 5 Mã đề

đi


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Câu 74.

(B2009) Cho mặt phẳng
đường thẳng đi qua

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

( P ) : x - 2 y + 2z - 5 = 0

A và song song

và hai điểm

A ( − 3;0;1)

và

B ( 1; − 1;3) . Trong các

( P ) , hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ

với

B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu 75.

(B2003) Cho hai điểm
trung điểm

Bài 76

A ( 2;0;0 ) , B ( 0;0;8 )

I

của

C

sao cho

BC đến đường thẳng OA .

x y −1 z + 2
d
:
( A2007 ) Cho hai đường thẳng 1 2 = − 1 = 1 ; d2 : x = − 1 + 2t; y = 1 + t; z = 3

a) Chứng minh rằng

d1; d 2

chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng
đường thẳng

Bài 77

và điểm

uuur
AC = ( 0;6;0 ) . Tính khoảng cách từ

d

vng góc với mặt phẳng

( P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai

d1 và d 2 .

Cho đường thẳng

d1 :

x−1 y + 2 z +1
=

=
;
3
−1
2 d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng

( Q ) : x + y − z − 2 = 0; ( R ) : x + 3 y − 12 = 0 .
a) Chứng minh rằng

d1

d1

b) Mặt phẳng

Oxz cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại A; B . Tính diện tích tam giác OAB

điểm của

và

d2 .

∆

với

( P) , M

∆:

x−1 y z + 2
= =
2 1 −1

là điểm thuộc

(A2009) Trong không gian với hệ tọa độ

thẳng

∆1 :

và mặt phẳng

∆ . Tính khoảng cách từ M

đến

( P) biết MC = 6 .

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và hai đường

đến đường thẳng

nhau.

(D2010) Cho hai đường thẳng
thuộc

( P ) : x − 2 y + z = 0 . Gọi C là giao

x+1 y z + 9
x−1 y− 3 z +1
= =
∆2 :
=
=
1 1
6 ;
2
1
− 2 . Xác định tọa độ điểm

∆ 1 sao cho khoảng cách từ M

Câu 80.

chứa cả 2

đường thẳng

Câu 78. (A2010) Cho đường thẳng

Câu 79.

d 2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng ( P )

và

∆1 :

x−3 y z
= =
1
1 1

∆ 1 sao cho khoảng cách từ M

đến

∆ 2 và khoảng cách từ M

và

∆2 :

M

thuộc đường thẳng

đến mặt phẳng

( P)

bằng

x− 2 y −1 z
=
=

2
1
2 . Xác định tọa độ điểm

∆ 2 bằng 1.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề

M


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

GIẢI CHI TIẾT
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Phần 3
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ
,
Bài 44.

Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm
Viết phương trình các đường thẳng:

A ( − 1;2;3) , B ( − 2;1;0 ) , C ( 4;0;1)

a)

d1

đi qua

A, B .

b)

d2

đi qua

A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM = 2 DM .

c)

d3

đi qua

d)

D và vng góc với ( ABC ) .
d 4 đi qua B và song song với CD .

e)

d5

đi qua

E ( 1;1;1)

f)

d6

đi qua

F ( − 1; − 2;4 )

và song song với

và

D ( 2; − 3;1) .

( ABC ) và ( Oxy ) .

và vng góc với

AB

và

CD .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

g)

d7

đi qua

F ( − 1; − 2;4 ) ,

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

vng góc với AB và song song với

( BCD ) .

Lời giải

a)

uuur
Ta có: AB = ( − 1; − 1; − 3)

suy ra phương trình
b) Vì

d2

đi qua

d1 :

A

Tác giả:Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí

r
u
nên d1 có một véc tơ chỉ phương là = ( 1;1;3)

x+1 y− 2 z− 3
=
=
1
1
3

và cắt đoạn thẳng

 xM − xC = 2 ( xD − xM )
uuuur uuuur 
CM = 2 MD ⇔  yM − yC = 2 ( yD − yM )

 zM − zC = 2 ( zD − z M )

Khi đó

.

CD

tại điểm

M

sao cho

CM = 2 DM

nên ta có

1
8

 xM = 3 ( 2 xD + xC ) = 3

1

8

⇔  y M = ( 2 yD + yC ) = − 2 
→ M  ; −2;1÷
3
3


1


 z M = 3 ( 2 z D + zC ) = 1


uuuur  11
 1
AM =  ; − 4; − 2 ÷ = ( 11; − 12; − 6 )
d2
3
 3

đi qua

A ( − 1;2;3)

và có VTCP

r
u = ( 11; −12; −6 )

 x = − 1 + 11t

d 2 :  y = 2 − 12t (t ∈ ¡ )
 z = 3 − 6t
nên có phương trình là
.

c)

uur

r uuur uuur
r


Gọi n là VTPT của mặt phẳng ( ABC ) , ta có n =  AB, AC  = ( − 4; − 17;7 ) = u3

 x = 2 − 4t

d 3 :  y = − 3 − 17t
z = 7 + t
Vậy phương trình đường thẳng
.

d)

d4

uur uuur
u
d
đi qua B và song song với CD nên 4 có VTCP 4 = CD = ( − 2; − 3;0 ) .

 x = − 2 − 2t

d 4 :  y = 1 − 3t
z = 0
Vậy phương trình đường thẳng
.

e) Vì

d5

đi qua

E ( 1;1;1)

và song song với

( ABC ) và ( Oxy )

nên

d5

có VTCP

uur r r
u5 =  n, k 

 x = 1 − 17t

d5 :  y = 1 + 4t
uur
u5 = ( − 17;4;0 ) . Vậy phương trình đường thẳng  z = 1
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề

hay


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

f) Vì

d6

đi qua

F ( − 1; − 2;4 )

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

và vng góc với

AB

và

CD nên d6

có VTCP

uur uuur uuur
u6 =  AB, CD 

hay

 x = −1 − 9t

d
:
 y = −2 + 6t
6
uur
u6 = ( −9;6;1) . Vậy phương trình đường thẳng  z = 4 + t .
g) Vì

d7

đi qua

uur uuur uur
u7 =  AB, n2  ,

F ( − 1; − 2;4 ) ,
với

uur
n2

vng góc với

là VTPT của

AB

( BCD ) nên

( BCD )

d7

có VTCP

uur uuur uuur
n2 =  BC , BD  = ( 3; −2;20 ) .

Do vậy

và song song với

nên

 x = − 1 − 26t

d 7 :  y = − 2 + 11t
uur
u7 = ( −26;11;5 ) . Vậy phương trình đường thẳng  z = 4 + 5t .

Bài 45.

Cho hai mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + z = 0, ( Q ) : x + y − z − 3 = 0 cắt nhau theo giao tuyến d .

(a) Viết phương trình đường thẳng

d.

(b) Viết phương trình đường thẳng

d1

đi qua

(c) Viết phương trình đường thẳng

d2

đi qua gốc

A ( 2; − 1;0 )

O

và vng góc với

( P).

và song song với cả hai mặt phẳng

( P ) và

( Q).
Lời giải
Tác giả:Phạm Thị Hạnh; Fb: hộpthư tri

ân.
(a).
Vì

( P)

có 1 VTPT là

uur
uur
nP ( 2; − 2;1 ) , ( Q ) có 1 VTPT là nQ ( 1;1; −1 ) .

d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q )

nên

uur uur uur
ud =  nP , nQ  = ( 1;2;3) .

d có 1VTCP là:

t
x =

 y = − 3 + 2t .
M ( 0; − 3; − 6 ) ∈ d suy ra phương trình đường thẳng d là:  z = − 6 + 3t
(b). Đường thẳng

A ( 2; − 1;0 )

d1

vng góc với

( P ) nên

suy ra phương trình đường thẳng

d1

d1

nhận

uur
nP ( 2; − 2;1 )

làm VTCP, d1 đi qua

x = 2 + t

 y = − 1 − 2t .

t
là:  z =

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề

SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

(c). Vì đường thẳng

d2

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

song song với cả hai mặt phẳng

uur uur uur
u =  nP , nQ  = ( 1;2;3) . d 2

đi qua gốc

suy ra phương trình đường thẳng

( P ) và ( Q ) nên d2 có 1VTCP là:

O ( 0;0;0 )

x = t

 y = 2t .

là :  z = 3t

d2

Câu 46. Cho mặt phẳng

d1 :

( P ) : x − y + 2 z − 1 = 0 , hai đường thẳng

x−1 y+ 2 z +1
x+1 y −1 z − 2
=
=
; d2 :
=
=
−1
2
3
3
−1
6 và A(1;2; − 3)

(a) Tìm tọa độ giao điểm

M

của d1 và

(b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với
(c) Viết phương trình đường thẳng
(i) ∆ 1 đi qua

( P)

A qua ( P )

A , song song với ( P ) và vng góc với đường thẳng d 2

(ii)

∆ 2 nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt hai đường thẳng d1 và d2

(iii)

∆3 nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt và vng góc với đường thẳng d1

(iv)

∆ 4 đi qua A song song với mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d 2

(v) ∆ 5 đi qua A , cắt đường thẳng d1 và vng góc
(d) Viết phương trình mặt phẳng

d2

( Q1 ) đi qua A và vng góc d1
(ii) ( Q2 ) đi qua A song song d1 và d 2
(i)

Lời giải
(a) Gọi

M (1 − t;2t − 2;3t − 1) ∈ d1

M ∈ ( P ) ⇔ 1 − t − (2t − 2) + 2(3t − 1) − 1 = 0 ⇔ t = 0 . Vậy M (1; − 2; − 1)

(b) (b) Phương trình đường thẳng

∆

qua

A

vng góc với

( P)

 x = 1+ t

 y = 2−t

là  z = − 3 + 2t

Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng (P), suy ra

H ( 1 + t ;2 − t; − 3 + 2t ) ∈ ∆
Do đó

mà

H = ∆ ∩ ( P) .

H ∈ ( P) ⇔ (1 + t ) − (2 − t ) + 2(− 3 + 2t ) − 1 = 0 ⇔ t =

4
3

 7 2 −1
H ; ; ÷
3 3 3  .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) thì

H

là trung điểm của

AA '

 11 − 2 7 
⇒ A ' ; ; ÷

 3 3 3

(c)Viết phương trình đường thẳng

uur uur uur


⇒
u
∆1 =  nP ; ud2  = ( − 4;0;2 )
(i)Vì ∆ 1 song song với ( P ) và vuông góc với đường thẳng d 2
 x = 1 − 2t

uur  y = 2

và có véc tơ chỉ phương u∆1 là  z = − 3 + t

∆ 1 qua A
(ii)Gọi M = d1 ∩ ( P ) ⇒ M (1; −2; −1) (theo câu a) và M ∈ ∆ 2
Phương trình

 −19 17 13 
N = d 2 ∩ ( P) ⇒ N 
; ; ÷
Gọi
 16 16 8  và N ∈ ∆ 2
uuuur  − 35 49 21 
uuuur r
MN = 
; ; ÷

Véc tơ chỉ phương của ∆ 2 là
 16 16 8  , lấy véc tơ cùng phương MN là u = ( − 5;7;6)
 x = 1 − 5t

∆ 2 :  y = − 2 + 7t
 z = − 1 + 6t
Vậy phương trình

(iii)Gọi

∆3

M = d1 ∩ ( P) ⇒ M (1; −2; −1)

( P ) , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 suy ra M ∈ ∆3 và véc tơ chỉ
uuur uur uur


u
phương ∆ =  nP ; ud  = ( − 7; − 5;1)

nằm trong mặt phẳng
3

Vậy phương trình

∆3

1

 x = 1 − 7t

∆ 2 :  y = − 2 − 5t
 z = −1+ t
là


E = ∆ 4 ∩ d2 ⇒ E (−1 + 3t ;1 − t;2 + 6t ) ∈ d 2
uuur uur
∆
/
/(
P
)
⇒
AE.nP = 0
Do 4
uuur
uur
AE
(3
t
−
2;
−
1
−
t
;6
t

+
5);
n
Ta có
P (1; − 1;2)
(iv)Gọi

uuur uur
−9
⇒ AE.nP = ( 3t − 2 ) .1 + 1.(1 + t ) + 2.(6t + 5) = 0 ⇔ t =
16
uuur  − 59 − 7 26 
AE = 
; ; ÷
Do đó véc tơ chỉ phương của ∆ 4 là
 16 16 16 

r
u = (− 59; − 7;26)

Vậy phương trình

∆4

, lấy véc tơ cùng phương là

 x = 1 − 59t

 y = 2 − 7t


là  z = − 3 + 26t

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 11 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

∆5 đi qua A , cắt đường thẳng d1 và vng góc d 2
Gọi F = d1 ∩ ∆5 ⇒ F (1 − t ; −2 + 2t ; −1 + 3t ) ∈ d1
uuur uur
∆
d
Vì 5 đi qua A và vng góc 2 nên AF .u2 = 0
uuur
uur
AF
=
(
−
t
;2
t
−
4;3
t
+

2);
u
Ta có
2 = (3; − 1;6)
(v)

uuur uur
− 16
AF .u2 = − 3t − 2t + 4 + 18t + 12 = 0 ⇔ t =
13
uuur  16 −84 −22 
AF =  ;
;
÷
Do đó véc tơ chỉ phương của ∆ 5 là
 13 13 13 

r
u = (8; − 42; − 11)

lấy véc tơ cùng phương là

 x = 1 + 8t

 y = 2 − 42t

là  z = − 3 − 11t

Vậy phương trình ∆ 5
(d) Viết phương trình mặt phẳng

r

(i)Véc tơ pháp tuyến của ( Q1 ) là n(− 1;2;3)
Phương trình mặt phẳng ( Q1 ) là − 1( x − 1) + 2( y − 2) + 3( z + 3) = 0 ⇔
(ii) ( Q2 ) đi qua A song song d1 và d 2

− x + 2 y + 3z + 6 = 0

r ur uur


n
Do đó véc tơ pháp tuyến của ( Q2 ) là = u1 ; u2  = (15;15; −5) cùng phương với ( 3;3; − 1)
Vậy phương trình

( Q2 ) là 3 ( x − 1) + 3( y − 2) − 1( z + 3) = 0 ⇔ 3x + 3 y − z − 12 = 0


Bài 47.

Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ

cho hai điểm

A ( 0;0; − 3) , B ( 2;0; − 1)

và mặt phẳng

( P ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0 .
a) Viết phương trình đường thẳng
b) Tìm tọa độ giao điểm
c) Tìm tọa độ điểm

C

I

d

đi qua

A và vng góc với ( P ) .

của đường thẳng

nằm trên mặt phẳng

( P)

d) Tìm điểm

M

có hồnh độ bằng 1 sao cho

e) Tìm điểm

N

thuộc mặt phẳng

( P)

AB

với mặt phẳng

sao cho

AM + BM

sao cho

∆ ABC

( P) .
là tam giác đều.

đạt giá trị nhỏ nhất.

AN 2 + BN 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải
Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng
a) ( P ) :3 x − 8 y + 7 z − 1 = 0 ⇒ ( P )

có 1 VTPT là

r
n = ( 3; −8;7 )

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Do

d ⊥ ( P) ⇒ d

Đường thẳng
b) Ta có:

d

nhận

r
n = ( 3; −8;7 )

I ∈ AB ⇒

làm VTCP.

 x = 3t

 y = − 8t

đi qua A ( 0;0; − 3) , có 1 VTCP là ( 3; − 8;7 ) , có phương trình:  z = − 3 + 7t .

uuur
AB ( 2;0;2 ) ⇒

Đường thẳng

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

AB

Đường thẳng

AB

có 1 VTCP là

x = t

y = 0

đi qua A ( 0;0; − 3 ) , có 1 VTCP là ( 1;0;1) , có phương trình:  z = − 3 + t

Giả sử tọa độ điểm

I ( t;0; − 3 + t )

I ∈ ( P ) ⇒ 3.t − 8.0 + 7 ( − 3 + t ) − 1 = 0 ⇔ 10t − 22 = 0 ⇔ t =

∆ ABC
của AB
c)

là tam giác đều

⇒ CA = CB ⇒ C

Mà

C ∈ ( P) ⇒ C ∈ ∆ = ( P) ∩ ( Q)

Gọi

J

là trung điểm của

Mặt phẳng

( Q)

( 1;0;1)

đi qua

11 ⇒ I  11 ;0; − 4 

÷
5 .
5
5

nằm trên mặt phẳng

( Q ) , là mặt phẳng trung trực

AB ⇒ J ( 1;0; − 2 )

J ( 1;0; − 2 )

và có 1 VTPT là

ur
n1 = ( 1;0;1)

có phương trình là:

1( x − 1) + 0 + 1( z + 2 ) = 0 ⇔ x + z + 1 = 0
r − 1 r ur
3x − 8 y + 7 z − 1 = 0
∆:
u = .  n; n1  = ( 2; − 1; − 2 )
có 1 VTCP
x + z +1 = 0
4

 −8 y + 7 z − 1 = 0  y = −1
x=0⇒
⇔
Cho
z +1 = 0
 z = −1 ⇒ N ( 0; − 1; − 1) ∈ ∆
 x = 2t

∆ :  y = −1− t
 z = − 1 − 2t
Phương trình đường thẳng

Do

C∈ ∆ ⇒

Khi đó,

Giả sử

∆ ABC

C ( 2t; − 1 − t; − 1 − 2t )

là tam giác đều khi

AC = AB ⇔ AC 2 = AB 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 13 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

t = 1
⇔ ( 2t ) + ( 1 + t ) + ( 2 − 2t ) = 2 + 0 + 2 ⇔ 9t − 6t − 3 = 0 ⇔ 
t = − 1
3 .

2

Với

2

2

t = 1 ⇒ C ( 2; − 2; − 3)

2

2

2

2

.

1
 2 2 1
t = − ⇒ C  − ;− ;− ÷
Với
3
 3 3 3 .
d)

M

có hồnh độ bằng 1

Ta thấy:

A ( 0;0; − 3)

và

điểm của đoạn thẳng
Ta có:

⇒ M ∈ (α ) :x = 1

B ( 2;0; − 1)

AB

với

(α )

nằm ở hai phía so với mặt phẳng
là

M0

AM + BM ≥ AB , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M

⇒ ( AM + BM ) min = AB

( α ) . Khi đó, gọi giao

khi và chỉ khi

M

trùng

M0

trùng

M0

x = t

M 0 ∈ AB :  y = 0
⇒

 z = − 3 + t Giả sử M ( t ;0; − 3 + t )
0


M 0 ∈ ( α ) : x = 1 ⇒ t = 1 ⇒ M 0 ( 1;0; − 2 )
Vậy,

M ( 1;0; − 2 ) .

e) Ta có:

( 3.0 − 8.0 + 7.( − 3) − 1) ( 3.2 − 8.0 + 7 ( − 1) − 1) = ( − 22 ) .( − 2 ) > 0

⇒ A ( 0;0; − 3)
Ta có:

B ( 2;0; − 1) nằm cùng phía so với mặt phẳng ( P ) :3x − 8 y + 7 z − 1 = 0
uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2
AN 2 + BN 2 = AN + BN = AJ + JN + BJ + JN
và

(

) (

)

uuur2
uuur uuur uuur2 uuur2
uuur uuur uuur2

uuur uuur uuur
= AJ + 2. AJ .JN + JN + BJ + 2.BJ .JN + JN = AJ 2 + BJ 2 + 2. AJ + BJ .JN + 2 JN 2
r uuur
= AJ 2 + BJ 2 + 2.0.JN + 2 JN 2 = AJ 2 + BJ 2 + 2 JN 2

(

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

)

Trang 14 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Mà

AJ = BJ =

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

AB
2 : khơng đổi

⇒ AN 2 + BN 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi JN
Gọi

H

là hình chiếu vng góc của

J

lên

nhỏ nhất

( P ) . Đường thẳng IH

có 1 VTCP là

( 3; − 8;7 ) , đi

 x = 1 + 3t

 y = − 8t

qua J ( 1;0; − 2 ) , có phương trình:  z = − 2 + 7t
Giả sử

H ( 1 + 3t ; − 8t ; − 2 + 7t ) , ta có: H ∈ ( P ) ⇒ 3 ( 1 + 3t ) − 8. ( − 8t ) + 7. ( − 2 + 7t ) − 1 = 0

6
 79 48 80 
⇒ H  ;− ;− ÷
61
 61 61 61 
 79 48 80 
H  ;− ;− ÷

= JH khi và chỉ khi N trùng  61 61 61 

⇔ 122t − 12 = 0 ⇔ t =

JN min

 79 48 −80 
N  ;− ;
÷
Vậy,  61 61 61  .


Bài 48.

Cho hai điểm

A(1;4;2), B(− 1;2;4) , đường thẳng

a) Viết phương trình đường thẳng
mặt phẳng

G

x−1 y + 2 z
=
=
−1
1
2.

G

đi qua trọng tâm

của tam giác

OAB

và vng góc với

(OAB) .

b) Tìm tọa độ điểm

a) Do

d

∆:

M

thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Lời giải
Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran

là trọng tâm của tam giác

OAB ⇒ G(0;2;2) .

uuur
uuur
uuur uuur


OA
=
(1;4;2),
OB
=
(
−
1;2;4)
⇒
OA
Ta có:
 ; OB  = ( 12; −6;6 ) .
Do đường thẳng

(OAB) ⇒

d

đi qua trọng tâm

đường thẳng

d

G

của tam giác

OAB

và vng góc với mặt phẳng

r 1 uuur uuur
u =  OA; OB  = ( 2; − 1;1)
có véctơ chỉ phương là
.
6

 x = 2t

d : y = 2−t , t∈¡
 z = 2+ t
Ta có


Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 15 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

 x = 1− t

x −1 y + 2 z

∆:
=
= ⇒ ∆ :  y = −2 + t, t ∈ ¡ .
−1
1
2
 z = 2t
b)

Do

M

Ta có:

thuộc đường thẳng

∆

suy ra ta giả sử

M ( 1 − t ; − 2 + t;2t ) .

uuur
uuur
MA = ( t;6 − t ;2 − 2t ) , MB = ( −2 + t;4 − t;4 − 2t ) .

MA2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 ≥ 28 . Dấu đẳng thức xảy ra khi ⇔ t = 2 .

2

(

)

Suy ra M − 1;0;4 .

Bài 49.

Cho đường thẳng

Đường thẳng

∆2:

∆1

x − 2y + z − 4 = 0

là giao của hai mặt phẳng

và

x + 2 y − 2z + 9 = 0 .

x−1 y − 2 z −1
=
=
1

1
2 .

a) Viết phương trình mặt phẳng

( P)

chứa đường thẳng

∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 .

b) Cho điểm M ( 2;1;4) . Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ 2 sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran
a) Do

∆ 1 là giao của hai mặt phẳng x − 2 y + z − 4 = 0

và

x + 2 y − 2z + 9 = 0

5

 x = − 2 + 2t

13

∆1 :  y = − + 3t , t ∈ ¡ .

4

 z = 4t

Suy ra


 5 13 
r
M  − ; − ;0 ÷
Ta có ∆ 1 qua
 2 4  và có VTCP u1 = ( 2;3;4 ) .
Ta có

∆2

qua

r
N (1;2;1) và có VTCP u 2 = ( 1;1;2 )

∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2
uur ur uur
Suy ra VTPT của mặt phẳng ( P) là nP = [u1 ; u2 ] = (2;0; − 1) .
Do mặt phẳng

( P)

chứa đường thẳng

5 13
uur
M (− ; − ;0)
Mặt phẳng ( P) qua
2 4 có VTPT nP = ( 2;0; −1) ⇒ ( P ) : 2 x − z + 5 = 0 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

MH ⊥ ∆ 2 .
uuuur
Giả sử H ( 1 + t;2 + t ;1 + 2t ) ⇒ MH = ( −1 + t ;1 + t ; −3 + 2t ) .
uuuur r
Ta có MH .u 2 = 0 ⇔ 1. ( 1 + t ) + 1. ( − 1 + t ) + 2. ( − 3 + 2t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M (2;3;3).

MH

b) Để

Bài 54.

có độ dài nhỏ nhất thì

Cho đường thẳng

x−1 y + 3 z − 3
=
=
d : −1
2
1

a. Tìm tọa độ điểm
bằng

I

và măt phẳng

thuộc đường thẳng

d

( P) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0

sao cho khoảng cách từ

I

đến mặt phẳng

( P)

2.

b. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng

∆

A của đường thẳng d

nằm trong mặt phẳng

và mặt phẳng ( P) . Viết phương trình tham số

( P) , biết ∆

đi qua

A và vng

góc với

d.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb:quang Nam
a.

I ∈ d ⇒ I = (1 − t; − 3 + 2t;3 + t )
2(1 − t ) + ( − 3 + 2t ) − 2(3 + t ) + 9

d ( I ,( P)) = 2 ⇔

2 + 1 + (− 2)
2

2

2

t=4
= 2 ⇔ 2 − 2t = 2 ⇔ 
t = −2

3

t = 4 ⇒ I = (− 3;5;7) , t = − 2 ⇒ I = (3; − 7;1) .
b.

A ∈ d ⇒ A = (1 − t; − 3 + 2t;3 + t )

A ∈ ( P) ⇔ 2(1 − t ) + (− 3 + 2t ) − 2(3 + t ) + 9 = 0 ⇔ 2 − 2t = 0 ⇔ t = 1 ⇒ A = (0; − 1;4)

r
n = (2;1; − 2) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) .
r
u = (− 1;2;1) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d .
Gọi

r
v

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng

r r
Vì v ⊥ n

r r
và v ⊥ u

nên chọn

d.

r rr
v =  n; u  = ( 5;0;5)

Phương trình tham số đường thẳng

cùng phương với véc tơ

( 1;0;1)

∆ là:

 x=t

 y = −1
z = 4+ t


Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 17 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

x+1 y z − 2
= =
d: 2 1 1

Bài 55. Cho đường thẳng

A(1; − 1;2) .

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

và măt phẳng

Viết phương trình đường thẳng

trung điểm của đoạn thẳng

∆

cắt

( P) : x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm
d và ( P)

lần lượt tại

M,N

sao cho

A

là

MN .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb:quang Nam

M ∈ d ⇒ M = (− 1 + 2t; t;2 + t )
Vì

A là trung điểm của đoạn thẳng MN

nên tọa độ điểm

N

là:

 xN = 2 xA − xM = 3 − 2t

 y N = 2 y A − yM = − 2 − t
 z = 2z − z = 2 − t
A

M
 N
Vì

uuuur
N ∈ ( P) ⇒ 3 − 2t + (− 2 − t ) − 2(2 − t ) + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M = (3;2;4) , AM = (2;3;2)

Đường thẳng

∆

đi qua

A

và nhận

uuuur
AM làm véc tơ chỉ phương có phương trình là:

x−1 y +1 z − 2
=
=
2
3
2 .


Bài 56.

Cho đường thẳng
của

d

và

x− 2 y z+ 3
= =
,
d : 1 − 2 3 mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm

( P ) . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với ( P ) .
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Hoàng Hưng , FB: Nguyễn Hưng

x = 2+ t

 y = − 2t ( t ∈ ¡ )

Phương trình tham số của đường thẳng d :  z = − 3 + 3t
.
Gọi

Gọi

M = d ∩ ( P ) . Tọa độ điểm M

( Q)

là nghiệm của hệ phương trình:

 3
t = 2
x = 2 + t

7
 z = −3 + 3t
3

 x =
7
⇔
2 ⇒ M  ; − 3; ÷.

2
2
 y = −2t
 y = −3
 2 x + y − 2 z − 1 = 0 
z = 3

2
là mặt phẳng chứa

d

và vng góc với

( P) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

d

có vectơ chỉ phương

vectơ pháp tuyến của

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

r
u = ( 1; − 2;3) , ( P )

có vectơ pháp tuyến

r
r
n = ( 2;1; − 2 ) . Gọi n( Q)

là

( Q) .

r

r
 n( Q ) ⊥ u
r
rr
r
r


n
=
u
Khi đó: .  n( Q ) ⊥ n ., chọn ( Q )  , n  = ( 1;8;5 ) .
Ta có:

A ( 2;0; − 3) ∈ d ⇒ A ∈ ( Q ) .

Phương trình mặt phẳng ( Q )

đi qua điểm

A ( 2;0; − 3)

và có vectơ pháp tuyến

r
n( Q ) = ( 1;8;5 )

là

1. ( x − 2 ) + 8 ( y − 0 ) + 5 ( z + 3) = 0 ⇒ x + 8 y + 5 z + 13 = 0.

Bài 57.

Cho đường thẳng
và vng góc với

x−1 y+1 z
=
=
d: 2
2
−1

và điểm

A ( 1;0; − 1) . Viết phương trình mặt phẳng qua A

d . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên d .
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Hoàng Hưng , FB: Nguyễn Hưng

d

có vectơ chỉ phương

( P ) ⊥ d , chọn

r
u = ( 2;2; − 1) . Gọi ( P )

r r
n = u = ( 2;2; − 1)

Phương trình mặt phẳng

là mặt phẳng qua

là vectơ pháp tuyến của

A và vng góc với d .

( P) .

( P ) : 2 ( x − 1) + 2 ( y − 0 ) − 1.( z + 1) = 0 ⇒ 2 x + 2 y − z − 3 = 0.

 x = 1 + 2t

 y = − 1 + 2t ( t ∈ ¡ )

Phương trình tham số của đường thẳng d :  z = − t
.
Gọi

H

hình chiếu vng góc của

A trên d ⇒ H ∈ d ⇒ H ( 1 + 2t ; − 1 + 2t ; − t )

uuur r uuur r
1
uuur
AH = ( 2t ; − 1 + 2t ;1 − t ) . Ta có: AH ⊥ u ⇒ AH . u = 0 ⇔ 4t + 2 ( 2t − 1) − ( 1 − t ) = 0 ⇔ t = 3 .
 5 1 1
H  ; − ; − ÷.
Vậy  3 3 3 
Cách khác (góp ý của người PB): Tìm hình chiếu vng góc của
của

d

và

A trên d : H

là giao điểm.

( P) .



Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 19 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Bài 54.

(D2011) Cho đường thẳng
tọa độ

M

thuộc

d

d:

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

x−1 y +1 z
=
=
2
− 1 1 và hai điểm A ( 1; − 1;2 ) , B ( 2; − 1;0 ) . Xác định

sao cho tam giác

ABM

vuông tại

M.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

+ Điểm
+

M

thuộc đường thẳng

d:

x−1 y+1 z
=
=
2
− 1 1 ⇒ M ( 1 + 2t ; − 1 − t ; t ) .

uuuur
uuuur
AM ( 2t ; − t; t − 2 ) , BM ( 2t − 1; − t ; t )

Tam giác

ABM

vuông tại

.

uuuur uuuur
M ⇔ AM ⊥ BM ⇔ AM .BM = 0

t = 0
⇔ 2t. ( 2t − 1) + ( − t ) + ( t − 2 ) t = 0 ⇔ 6t − 4t = 0 ⇔  2
t =
 3.
2

+ Với

+ Với

2

t = 0 ⇒ M ( 1; − 1;0 ) .
t=

2 ⇒ M  7 ;− 5; 2 

÷
 3 3 3 .
3

Vậy có hai điểm

M

thỏa mãn u cầu bài tốn.


Bài 55.

(THPT 2015) Cho mặt phẳng
phương trình đường thẳng

( P ) : x − y + 2z − 3 = 0 và hai điểm A ( 1; − 2;1) , B ( 2;1;3) . Viết

AB

và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

AB

với mặt phẳng

( P) .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu
+

uuur
A ( 1; − 2;1) , B ( 2;1;3) ⇒ AB ( 1;3;2 ) .

Đường thẳng

AB

có véc tơ chỉ phương

uuur
AB = ( 1;3;2 ) và đi qua điểm A ( 1; − 2;1)

có phương

 x = 1+ t

 y = − 2 + 3t

trình tham số là:  z = 1 + 2t .
+ Tọa độ giao điểm

I

của đường thẳng

AB

với mặt phẳng

( P)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

là nghiệm của hệ phương

Trang 20 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

x = 1+ t

 y = − 2 + 3t


 z = 1 + 2t
trình  x − y + 2 z − 3 = 0

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

⇒ 1 + t − ( − 2 + 3t ) + 2 ( 1 + 2t ) − 3 = 0 ⇔ 2t = − 2 ⇔ t = − 1

x = 0

⇒  y = − 5 ⇒ I ( 0; − 5; − 1)
 z = −1
.

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng

AB

với mặt phẳng

( P)

I ( 0; − 5; − 1) .

là

x− 2

(D2006) Cho điểm
Bài 56.

d2 :

y+ 2

z−3

A ( 1;2;3) và hai đường thẳng d1 : 2 = − 1 = 1 ,

x−1 y −1 z +1
=
=
−1
2
1 .

(a) Tìm toạ độ điểm

A′

đối xứng với điểm

(b) Viết phương trình đường thẳng

∆

A qua đường thẳng d1 .

đi qua

A , vuông góc với d1

và cắt

d2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp
(a) Mặt phẳng

(α )

đi qua A

( 1;2;3)

và vng góc với

d1

có phương trình là:

2( x − 1) − ( y − 2) + ( z − 3) = 0 ⇔ 2 x − y + z − 3 = 0 .
Toạ độ giao điểm

H của d1 và ( α )

là nghiệm của hệ:

x−2 y+ 2 z−3  x = 0
=
=


−1
1 ⇔  y = − 1 ⇒ H (0; − 1;2)
 2
 2 x − y + z − 3 = 0
 z=2
.

Vì

A ' đối xứng với A qua d1 nên H

(b) Vì

∆

đi qua

Toạ độ giao điểm

là trung điểm của

A vng góc với d1 và cắt d2 , nên ∆

B

của

d2

và

(α )

AA′ ⇒ A′ (− 1; − 4;1) .
đi qua giao điểm

B

của

d2

và

(α ) .

là nghiệm của hệ:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề

SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

 x −1 y −1 z +1  x = 2
=
=


2
1 ⇔  y = − 1 ⇒ B (2; − 1; − 2)
 −1
 2 x − y + z − 3 = 0
 z = −2
.


r uuur
u
Vectơ chỉ phương của ∆ là: = AB = (1; − 3; − 5) .
x−1 y − 2 z − 3
=
=
là: 1
−3
−5 .

Vậy phương trình của ∆

Bài 57. Cho điểm

A ( 1;2; − 1) , mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z − 5 = 0 , đường thẳng

d:

a) Viết phương trình đường thẳng

d1

đi qua

A , cắt và vng góc với d .

b) Viết phương trình đường thẳng

d2

đi qua

A , cắt d

c) Viết phương trình đường thẳng
sao cho

đi qua

( P) .

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

A là trung điểm đoạn thẳng MN .

d) Viết phương trình đường thằng
sao cho

d3

và song song với

x−1 y−1 z
=

=
−2
−1 −2

d4

đi qua

3AM = AN .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trung Thành; Fb: Thanh Nguyen

uur
Mặt phẳng ( P ) đi qua K ( 5;0;0 ) và có một vec tơ pháp tuyến là nP = ( 1; − 1;2 ) .
r
Đường thẳng d đi qua E ( 1;1;0 ) và có một vectơ chỉ phương là u = ( − 2; − 1; − 2 ) .

Đường thẳng

d

 x = 1 − 2t

 y = 1− t

có phương trình tham số là  z = − 2t ( t là tham số)

a) Viết phương trình đường thẳng

d1

đi qua

A , cắt và vng góc với d .

Cách 1.
Gọi

d1

H ( 1 − 2t ;1 − t ; − 2t )

đi qua

là giao điểm của đường thẳng

d

với đưởng thẳng

d1 . Vì đường thẳng

A , cắt và vng góc với d nên ta có

1
uuur
r uuur r
⇔
t
=

AH = ( −2t ; − 1 − t ;1 − 2t ) ⊥ u ⇔ AH .u = 0 ⇔ − 2 ( − 2t ) − 1( − 1 − t ) − 2 ( 1 − 2t ) = 0
9.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

uuur  2 10 7 
ur
AH =  − ; − ; ÷
u
Do đó
 9 9 9  , nên 1 = ( −2; − 10;7 ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
x−1 y− 2 z+1
d
:
d1 . Vậy d1 có phương trình chính tắc là 1 − 2 = − 10 = 7 .
Cách 2.

( Q)

Gọi

là mặt phẳng chứa

uur r uuur
nQ =  u ; AE  = ( − 3;2;2 )
Đường thẳng

d1

A và d , khi đó mặt phẳng ( Q )

.

nằm trong mặt phẳng

ur r uur


u
phương là 1 =  u ; nQ  = ( 2;10; − 7 ) .
Vậy

d1

có một vectơ pháp tuyến là

( Q)

d1 :

có phương trình chính tắc là

cắt và vng góc với

d

nên nó có một vectơ chỉ

x−1 y− 2 z+1
=
=
2
10
−7 .

Nhận xét: Trong thực hành giải toán trắc nghiệm chúng ta chỉ cần dùng máy tính cầm tay bấm

ur
u
=
trực tiếp 1

r r uuur
 u ;  u ; AE  
  cho ra ngay một vec tơ chỉ phương của d1 .
 

b) Viết phương trình đường thẳng

d2

đi qua

A , cắt d

và song song với

( P) .

Cách 1.
Gọi

( Q)

là mặt phẳng chứa

uur r uuur
nQ =  u ; AE  = ( − 3;2;2 )
Vì

d2

đi qua

d2 ⊂ ( Q )

Vì

Do đó d 2

A và d , khi đó mặt phẳng ( Q )

.

A , cắt đường thẳng d
và

có một vectơ pháp tuyến là

nên

d2 ⊂ ( Q ) .

uur uur uur
u
d 2 P ( P ) nên d 2 có một vectơ chỉ phương là 2 =  nP ; nQ  = ( − 6; − 8; − 1) .

x−1 y− 2 z+1
=
=
có phương trình chính tắc là 6
8
1 .

Cách 2.
Gọi

d1

H ( 1 − 2t ;1 − t ; − 2t )

là giao điểm của đường thẳng

song song với mặt phẳng

d

với đưởng thẳng

d 2 . Vì đường thẳng

( P ) nên ta có

3
uuur
uur uuur uur
AH = ( −2t ; − 1 − t ;1 − 2t ) ⊥ nP ⇔ AH .nP = 0 ⇔ 1( − 2t ) − 1( − 1 − t ) + 2 ( 1 − 2t ) = 0 ⇔ t = 5 .
uuur  6 8 1 
uur
AH =  − ; − ; − ÷
Do đó
 5 5 5  , nên d 2 có một vectơ chỉ phương là u2 = ( 6;8;1) .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

x−1 y− 2 z+1
=

=
Do đó d 2 có phương trình chính tắc là 6
8
1 .

d3

c) Viết phương trình đường thẳng
sao cho

đi qua

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

A là trung điểm đoạn thẳng MN .

Cách 1.
Vì
Vì

M có dạng M ( 1 − 2t ;1 − t ; − 2t ) .
A là trung điểm của đoạn MN nên

M = d3 ∩ d

nên tọa độ điểm

 xN = 2 x A − xM
 x N = 1 + 2t


 yN = 2 y A − yM ⇔  yN = 3 + t
 z = 2z − z
 z = − 2 + 2t ⇔ N ( 1 + 2t ;3 + t ; − 2 + 2t ) .
 N
A
M
 N
Vì

N = d2 ∩ ( P)

nên tọa độ điểm

N

thỏa mãn phương trình mặt phẳng

( P ) , do đó

11
1 + 2t − ( 3 + t ) + 2 ( − 2 + 2 t ) − 5 = 0 ⇔ t = 5 .

uuuur  22 16 17 
uur
AM =  − ; − ; − ÷
Khi đó
5 5  , nên d 3 có một vectơ chỉ phương là u3 = ( 22;16;17 ) .
 5

x−1 y− 2 z+1
=
=
Vậy d 3 có phương trình chính tắc là 22
16
17 .
Cách 2.
Vì

M = d3 ∩ d

Gọi

( P′ )

Lấy

B ( x ; y ; z)

M

nên tọa độ điểm

là mặt phẳng đối xứng với
là điểm tùy ý trên

M ( 1 − 2t ;1 − t ; − 2t ) .

có dạng

( P)

qua

A.

( P ) , gọi B′ ( x′ ; y′ ; z′ )

là điểm đối xứng với

B

qua

A.

 x = 2 x A − x′ = 2 − x′

 y = 2 y A − y′ = 4 − y′

Ta có  z − 2z A − z′ = − 2 − z′ ⇔ B ( 2 − x′ ;4 − y′ ; − 2 − z′ ) .
Vì

B ∈ ( P)

Vì

B

( *)
Vì

nên ta có

( 2 − x′ ) − ( 4 − y′ ) + 2 ( − 2 − z′ ) − 5 = 0 ⇔ x′ − y′ + 2 z′ + 11 = 0

là điểm tùy ý trên

nên mặt phẳng

N ∈ ( P) , M

( P′ )

( P)

và

B′ đối xứng với B

có phương trình là

đối xứng với

N

qua

qua

( *) .

A có tọa độ B′ thỏa mãn phương trình

x − y + 2z + 11 = 0 .

A nên M = d ∩ ( P′ ) . Do đó ta có

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 24 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

P3-Phương Trình Đường Thẳng Trong Oxyz

11 ⇒ M  − 17 ; − 6 ; − 22 
⇔
t
=

÷

( 1 − 2t ) − ( 1 − t ) + 2 ( − 2t ) + 11 = 0
 5 5 5 .
5
uuuur  22 16 17 
uur
AM =  − ; − ; − ÷
u
Khi đó
5 5  , nên d 3 có một vectơ chỉ phương là 3 = ( 22;16;17 ) .
 5

x−1 y− 2 z+1
=
=
Vậy d 3 có phương trình chính tắc là 22
16
17 .
d) Viết phương trình đường thằng
sao cho
Vì

d4

đi qua

3AM = AN .

M = d4 ∩ d

nên tọa độ điểm

M

có dạng

A , cắt d

và mặt phẳng

( P)

lần lượt tại

M, N

uuuur
M ( 1 − 2t ;1 − t ; − 2t ) ⇒ AM = ( − 2t ; − 1 − t ;1 − 2t ) .

Xét hai trường hợp sau:
•

Trường hợp 1:

uuuur uuur
3AM = AN

 xN − 1 = 3 ( − 2t )
 xN = 1 − 6t

⇔  y N − 2 = 3 ( − 1 − t ) ⇔  y N = − 1 − 3t


 z = 2 − 6t ⇔ N ( 1 − 6t ; − 1 − 3t ;2 − 6t ) .
 z N + 1 = 3 ( 1 − 2t )
 N
Vì

N ∈ ( P)

nên ta có

uuur  2 16 13 
1 ⇒ uAM
=  − ;− ; ÷
( 1 − 6t ) − ( − 1 − 3t ) + 2 ( 2 − 6t ) − 5 = 0 ⇔ t = 15
 15 15 15  , do đó d 4 có một

uur
vectơ chỉ phương là u4 = ( 2;16; − 13)

.

x−1 y− 2 z+1
=
=
Vậy d 3 có phương trình chính tắc là 2
16
− 13 .
•

Trường hợp 2:

uuuur uuur
− 3AM = AN

 x N − 1 = − 3 ( − 2t )
 xN = 1 + 6t

⇔  y N − 2 = − 3 ( − 1 − t ) ⇔  y N = 5 + 3t

 z = − 4 + 6t ⇔ N ( 1 + 6t ;5 + 3t ; − 4 + 6t ) .
 z N + 1 = − 3 ( 1 − 2t )
 N
Vì

N ∈ ( P)

nên ta có

uuur  34 32 19 
17 ⇒ uAM
=  − ;− ;− ÷
( 1 + 6t ) − ( 5 + 3t ) + 2 ( − 4 + 6t ) − 5 = 0 ⇔ t = 15
 15 15 15  , do đó d 4 có một

uur
vectơ chỉ phương là u4 = ( 34;32;19 ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 25 Mã đề