6. HDG TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

B – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Một người đã cắt tấm bìa các tơng và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường
a ( cm )
nét đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vng cạnh
, chiều cao
h ( cm )
( a + h)
6m 2
và diện tích tồn phần bằng
. Tổng
bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn
nhất.
A.

a + h = 2cm

.

B.

a + h = 3cm

.

a + h = 4cm

C.

.

D.

a + h = 6cm

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
6 − 2a 2
S tp = 4ah + 2a = 6 ⇒ h =
.
4a
2

Diện tích tồn phần

6 − 2a 2 6a − 2a 3
V = a.a.h = a .
=
.
4a
4
2

Thể tích khối hộp chữ nhật:

f ( a) =

Khảo sát hàm
Với
Câu 2:

6 a − 2a 3
4

trên

( 0; 3 )

, ta được

f ( a)

lớn nhất tại

a = 1.

a = 1 → h = 1 
→ a + h = 2cm.

Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích
256
3 m3
bằng
, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Giá thuê nhân công để
500000

m3
xây bể là
đồng/ . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí
th nhân cơng sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để th nhân cơng xây dựng bể
đó là bao nhiêu?
A.

48

triệu đồng.

B.

47

triệu đồng.

C.

96

triệu đồng.

D.

46

triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn A

x ( m)
2x ( m )
h ( m)
Gọi
là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là
và
là chiều
cao bể.

Bể có thể tích bằng

256 3
256
128
m
2 x2h =
h= 2
⇒
3
3 ⇔
3x

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

128
256
2
=
6
x
+
2
x
=
+ 2 x2
2
S = 2 ( xh + 2 xh ) + 2 x
3x
x
2

Diện tích cần xây là:
S ( x) =
Xét hàm

256
256
+ 2x2 , ( x > 0) ⇒ S ′ ( x ) = − 2 + 4x = 0
⇔x=4
x
x

Lập bảng biến thiên suy ra

S min = S ( 4 ) = 96

.

.

.

Chi phí th nhân cơng thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là

96.500000 = 48000000

S min = 96

.

đồng.

Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cơ si để tìm min, cụ thể
S=
Câu 3:

256
128 128
+ 2 x2 =
+
+ 2x 2
≥ 3 3 1282.2 ⇔ S ≥ 96 ⇒ S min = 96

x
x
x

khi

128
= 2x 2
⇔ x=4
x

.

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật khơng nắp có chiều cao là 60cm, thể tích
96000cm3
. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m 2 và
loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m 2. Tính chi phí thấp nhất để hồn thành bể
cá.
A.

68.800

đồng.

B.

320.000

đồng.

C.

32.000

đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn D

Gọi

x ( m) , y ( m)

( x > 0, y > 0 )

là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

0, 6 xy = 0, 096 ⇒ y =
Theo giả thiết, ta có:

0,16
.
x

D.

83.200

đồng.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Sday = xy = x.
Diện tích mặt đáy:

→

giá tiền


→

giá tiền

≥ 84000.2 x.

Câu 4:

đồng.

0,16 

S xungquanh = 2 x.0, 6 + 2 y.0, 6 = 1, 2  x +
÷
x 


0,16 
0,16 



1, 2  x +
÷.70000 = 84000  x +
÷
x 
x 



Suy ra tổng chi phí
Cosi

0,16
= 0,16
x

0,16 ×100.000 = 16.000

Diện tích xung quanh:

Khối Đa Diện - Hình Học 12

đồng.

0,16 

f ( x ) = 84000  x +
÷+ 16000
x 


0,16
+ 16000 = 83.200
x

đồng.

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tơng theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vng
x ( cm )
h ( cm )
x
500cm3 .
cạnh
, chiều cao là
và thể tích là
Tìm độ dài cạnh hình vng sao cho
chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

A.

x = 5cm

.

B.

x = 10cm

.

C.

x = 2cm

Hướng dẫn giải
Chọn B

V = x.x.h = x 2 h = 500 ⇒ h =
Thể tích khối hộp

500
.
x2

.

D.

x = 3cm

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tơng nhất khi và chỉ khi diện tích tồn phần của hộp là nhỏ
nhất.
Diện tích tồn phần của hộp (không nắp)

x 2 + 4 x.

Dấu

S tp = Sday + S xung quanh = x.x + 4.hx = x 2 + 4hx

500
2000
1000 1000 Cosi 3
2
2
=
x
+
=
x
+
+
≥ 3 10002 .
2
x
x
x
x

'' = ''

⇔ x2 =
xảy ra

1000 1000
=
⇔ x3 = 1000 ⇔ x = 10.
x
x

Chọn B
f ( x) = x2 +
Cách 2. Xét hàm

Câu 5:

2000
x

với

x>0

.
500 3
m
3

Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000
m3
đồng/ . Nếu biết xác định kích thước của bể hợp lí thì chi phí th nhân cơng sẽ thấp nhất, chi
phí thấp nhất đó là.
A.

80

triệu đồng.

B.

75

triệu đồng.

C.

70

triệu đồng.

D.

85

triệu đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn B

.
Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung quanh và đáy.
500


2
500
250 250 co − si
V = 2 x .h =
2
2
⇒
S
=
2
x
+
=
2
x
+
+
≥ 150
3

x
x
x
 S = 2 x 2 + 6 xh


Số chi phí thấp nhất là

150 × 500000 = 75

triệu.

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 6:

Khối Đa Diện - Hình Học 12
1152m 2

Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là
và chiều cao cố
định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phịng
hình chữ nhật có kích thước như nhau (khơng kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phịng theo kích
thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

A.

24m × 32m

.

B.

8m × 48m

.

C.

12m × 32m

.

D.

16m × 24m

Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt

x, y , h

lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phịng.

x.3 y = 1152 
→y=
Theo giả thiết, ta có

384
x

.

Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích tồn phần nhỏ nhất.
S tp = 4 xh + 6 yh + 3xy = 4 xh + 6.

Ta có

Vì

h

khơng đổi nên
f ( x) = x +

Khảo sát

S tp

384
576 

h + 1152 = 4h  x +
÷+ 1152
x
x 


f ( x) = x +
nhỏ nhất khi

576
x

với

x>0

, ta được

576
x

f ( x)

(với

x>0

nhỏ nhất khi

.

) nhỏ nhất.

x = 24 
→ y = 16

Chọn D
x+
Cách 2. BĐT Côsi

576
576
≥ 2 x.
= 48.
x

x

Dấu

'' = ''

⇔x=
xảy ra

576
→ x = 24.
x

.

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 7:

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập. Chiều cao của kim tự
144 m
230 m
tháp này là
, đáy của kim tự tháp là hình vng có cạnh dài
. Các lối đi và phịng
30%

10
T =5
bên trong chiếm
thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển gồm
xe,
xe
6

chở
tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng
dựng kim tự tháp là:
A.

740600

.

B.

76040

.

2,5.103 kg / m3

C.

74060

. Số lần vận chuyển đá để xây

.

D.

7406

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C

.

Thể tích kim tự tháp là

0.7V = 1777 440m

1
V = c.day 2 × c.cao = 2539 200m3
3

. Thể tích khối đá cần vận chuyển là

3

.

x

Gọi là số lần vận chuyển. Để đủ đá xây dựng kim tự tháp thì
x.10.6000
= 1777440 ⇒ x = 74060
2,5.103
.
Câu 8:

Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích bằng
200 m3
300
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Chi phí để xây bể là
nghìn
2
m
đồng/ (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung
quanh, khơng tính chiều dày của đáy và diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày của đáy và
thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể(làm trịn đến đơn vị triệu đồng).

36

46

triệu đồng.

A.

B.

75

triệu đồng.
C.

Hướng dẫn giải
Chọn D

51

triệu đồng.
D.

triệu đồng.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

h

x
2x
Gọi

x

Gọi

x

là chiều rộng của đáy,

h

là chiều cao của đáy.

Thể tích của khối hộp chữ nhật không nắp bằng
V = 2 x.x.h = 200 cm3 ⇒ h =

100
x2

Diện tích bể nước là
600
= 0 ⇔ x = 3 150
x2

f
Chi phí thấp nhất để xây bể là
Câu 9:

nên ta có

.

S = 2 x 2 + 6 xh = 2 x 2 +

f ′ ( x) = 4x −

200 m 3

(

600
= f ( x)
x

.

M in f ( x ) = f
. Suy ra
3

150

)

.

300.000 ≈ 51

(

3

150

A.

3

)

.

B.

2500 ( m

3

)

.

C.

.

triệu đồng.

Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vng cạnh bằng
1,5 ( m )
. Thể tích nước trong hồ là

3750 ( m

)

50 ( m )

1250 ( m

3

)

. Lượng nước trong hồ cao

.

D.

1875 ( m

3

)

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích nước trong hồ là

V = 1,5.502 = 3750 ( m

3

)

.

0, 25 m 2

Câu 10: Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao lần lượt là
5
Mỗi mét khối gỗ này trị giá triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá bao nhiêu tiền?
A.

750 000

đồng.

B.

500 000

đồng.

C.

1500 000

đồng.

D.

và

3000 000

1, 2 m

.

đồng.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Hướng dẫn giải
Chọn C
V = S .h = 0, 25.1, 2 =
Thể tích của khối gỗ là
V .5000000 =
Vậy khối gỗ đó có giá :

3
m3 )
(
10

.

3
.5000000 = 1500000
10

.

Câu 11: Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp và có các kích thước
x, y, z ( dm )
x : y = 1: 3
18dm3 .
. Biết tỉ số hai cạnh đáy là
, thể tích khối hộp bằng
Để tốn ít vật
x+ y+z
liệu nhất thì tổng
bằng:

A.

26
dm
3

.

B.

10dm

.

C.

19
dm
2

.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có

x : y = 1: 3 ⇒ y = 3 x.
xyz = 18 ⇒ z =

Theo giả thiết, ta có

6
.
x2

Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là:
S tp = S day + S xungquanh

(do hộp không nắp)

6 
48
 6

= xy + 2 ( xz + yz ) = x.3 x + 2  x. 2 + 3x. 2 ÷ = 3 x 2 + .
x 
x
 x

f ( x ) = 3x 2 +
Xét hàm
x = 2 → y = 6, z =
Khi

48
x

trên

( 0; +∞ )

, ta được

3
19

→ x + y + z = dm.
2
2

f ( x)

nhỏ nhất khi

Chọn B

x = 2.

26dm

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
3x 2 +
Cách 2. BĐT Côsi

Dấu

'' = ''

⇔ x2 =
xảy ra

Khối Đa Diện - Hình Học 12

48
8 8
8 8

= 3  x 2 + + ÷ ≥ 3.3 3 x 2 . . = 36.
x
x x
x x


8 8
= → x = 2.
x x

.

Câu 12: Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
288 m3
bằng
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá th nhân công để xây
500000
m2
bể là
đồng/ . Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí th
nhân cơng sẽ thấp nhất. Hỏi ơng An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A.

90

triệu đồng.

B.

108

triệu đồng.

C.

54

triệu đồng.

D.

168

triệu đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo bài ra ta có để chi phí th nhân cơng là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện
tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.
a 2a c ( a ( m ) > 0, c ( m ) > 0 )
Gọi ba kích thước của bể là ,
, .
S = 2a 2 + 4ac + 2ac = 2a 2 + 6ac
Ta có diện tích cách mặt cần xây là
.
144
V = a.2a.c = 2a 2c = 288 ⇒ c = 2
a
Thể tích bể
.
144
864
432 432
432 432
S = 2a 2 + 6a. 2 = 2a 2 +

= 2a 2 +
+
≥ 3. 3 2a 2 .
.
= 216
a
a
a
a
a
a
Vậy
.
2
S min = 216 m
Vậy
216 × 500000 = 108
Chi phí thấp nhất là
triệu đồng.
Câu 13: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngồi của một cái hộp dạng hình hộp đứng khơng nắp
(nắp trên), có đáy là một hình vng. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít
nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là
4 dm3
.
A.

1 dm

.

B.

0,5 dm

.

C.

2 dm

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi

x , y ( x, y > 0 )

lần lượt là độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình hộp.

D.

1,5 dm

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
V = x2 y ⇔ 4 = x2 y ⇔ y =
Thể tích khối hộp là

S = x 2 + 4 xy = x 2 +
Diện tích cần mạ vàng
8
x = ⇔ x = 2 ⇒ y =1
x

4
x2

Khối Đa Diện - Hình Học 12

.

16
8 8
= x 2 + + ≥ 3 3 64
x
x x

đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ khi

.

Câu 14: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích bằng
500 3
m
3
. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ
500.000
/m 2

là
đồng
. Khi đó, kích thước của hồ nước sao cho chi phí th nhân cơng thấp nhất
là:

A. Chiều dài
10
m
3
.

C. Chiều dài

20m

30m

chiều rộng

chiều rộng

10m

15m

chiều cao

chiều cao

5

m
6

. B. Chiều dài

10
m
27

.

10m

chiều rộng

D. Một đáp án khác.

Hướng dẫn giải
Chọn B

2x ( m) ; x > 0

y ( m) ; y > 0

Gọi chiều dài bằng
, chiều cao bằng
.
500
500
2 x2 y =

y= 2
3
6x
Ta có
. Suy ra
.
Khi đó diện tích cần xây dựng bằng
500
500
250 250
= 2 x 2 + 6 x. 2 = 2x 2 +
= 2x 2 +
+
2
3
2
2 x + 6 xy
6x
x
x
x ≥ 3 2 × 250

Dấu bằng xảy ra khi

250
2x2 =
⇔ x=5
x

.

.

5m

chiều cao


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Vậy chọn
B.
6 3 cm3

Câu 15: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
.
Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng
bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng
B. Cạnh đáy bằng
C. Cạnh đáy bằng
D. Cạnh đáy bằng

4 3cm
2 6cm
2 3cm

2 2cm

và cạnh bên bằng
và cạnh bên bằng
và cạnh bên bằng
và cạnh bên bằng

1
cm
2

1cm

.

.

2cm

3cm

.
.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
S ∆ABC =

Khi đó

Theo giả thiết

3 2
x
4

ABC. A′B′C ′

VABC . A′B′C ′ = S ABC . AA′ =

và

Gọi

AB = x, AA′ = h.

3 2
x h.
4

3 2
24
x h=6 3⇒h= 2.
4
x

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Stp

có độ dài

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

S tp = 2S ∆ABC + 3S ABB′A′ =

3 2
3 2 72
x + 3hx =
x + .
2
2
x

ABC. A′B′C ′

ABC. A′B′C ′

, ta có

là nhỏ nhất.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
f ( x) =

Khảo sát
Với

3 2 72
x +
2
x

x = 2 3 cm → h = 2cm.

trên

( 0; +∞ )

, ta được

Khối Đa Diện - Hình Học 12

f ( x)

nhỏ nhất khi

x=2 3

.

Chn C

ỵ Dng 03: Max-Min din tớch thit din

Cõu 16: [2017] Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn cái thang
2m
phải ln được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm C cao

so với nền nhà và điểm C cách tường
1m
nhà
(như hình vẽ bên).

.

300.000

1

Giả sử kinh phí để sản xuất thang là
đồng/ mét dài. Hỏi ơng An cần ít nhất bao nhiêu
tiền để sản xuất thang? ( Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
1.249.000
2.350.000
600.000
3.125.000
A.
đồng.
B.
đồng.
C.
đồng.
D.
đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn A

.

Đặt

BC = x

Ta có :

.
∆BCE : ∆CDF

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
⇔

Khối Đa Diện - Hình Học 12

4 x2
BC CE
x
1
2
⇔ CD =
=
⇔
=
2
2
2 ⇔ CD =
CD DF

CD
x2 −1
CD 2 − 4 ⇔ x ( CD − 4 ) = CD

Vậy chi phí sản xuất thang là :

2x 
5
f ( x) =  x +
÷.3.10
2
x −1 

x >1
với
.
2

2x 
2
 2 x −1 − 2
÷

x
−
1
5
÷
′
f ( x ) = 3.10 1 +

5

÷ = 3.10  1 +
x2 −1

÷




f ′( x) = 0 ⇔
x=

(x

2

(


÷
3 ÷
x2 −1 ÷

−2

− 1) = 2 ⇔ x 2 − 1 = 4 ⇔ x 2 = 3 4 + 1

(

3

)

)

2x
x2 −1

.

.

3

.

4 +1
Hay
.
Khi đó chi phí sản xuất thang là 1.249.000 đồng.
Câu 17: Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn
·
tháp hình tứ giác đều S . ABCD cạnh bên SA = 600 mét, ASB = 15° . Do có sự cố đường dây điện
tại điểm Q (là trung điểm của SA ) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn
3

đoạn thẳng: AM , MN , NP , PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có
AM + MN
k=

NP + PQ .
được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỉ số
A. 2 .

3
B. 2 .

4
C. 3 .

5
D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A

Giả sử trải các mặt hình chóp đều trên đường trịn tâm S và bán kính R = SA . Ta có ∆SAA′ có
·ASA′ = 15o.4 = 60o ⇒ ∆S AA′
đều.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Mà đoạn đường AQ ngắn nhất khi A , M , N , P , Q thẳng hàng. Khi đó N là trọng tâm
AM + MN AN
k=
=
=2

′
∆SAA . Suy ra
NP + PQ
NQ
.

Câu 18: Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều để
16
đựng
lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh
đáy của bình là.
A.

23 4 m

.

B.

4m

.

C.

2 3 2 dm

.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn D

.
Gọi

x

là độ dài cạnh đáy và

h

là chiều cao của hình lăng trụ đứng
V = 16 = h.x 2

Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là

( x, h > 0 )

3
64
⇒h=
4
3x 2

.

.

Để tiết kiệm chi phí nhất thì diện tích tồn phần của hình lăng trụ là nhỏ nhất.
Stp = x 2
Suy ra

3
3 192
+ 3 xh = x 2
+
= f ( x)
2
2
3x

.

4 dm

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
f ′ ( x ) = 3x −

Ta có

Khối Đa Diện - Hình Học 12

192
; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 3 = 72 ⇔ x = 4
2

3x

.

Bảng biến thiên.

Vậy

Minf ( x ) = 24 3 dm 2

tại

x = 4 ( dm )

.

Câu 19: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập. Chiều cao của kim tự
144 m
230 m
tháp này là
, đáy của kim tự tháp là hình vng có cạnh dài
. Các lối đi và phịng
30%
10
bên trong chiếm
thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển gồm
xe, mỗi xe chở
3
3
2,5.10 kg / m

6
tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng
. Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng
kim tự tháp là:
A.

740600

.

B.

76040

.

C.

7406

.

D.

74060

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Gọi cạnh của hình chóp là

Thể tích kim tự tháp:

a = 230

,chiều cao

h = 144

1
V = ha 2 = 2539 200m3
3

0.7V = 1777 440m3

Thể tích khối đá cần vận chuyển
.
x
Gọi là số lần vận chuyển. Để đủ đá xây dựng kim tự
tháp thì
Câu 20: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần
tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy
x = x0
chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi
là giá trị làm cho hộp kim loại có
V0
V0
thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate ngun chất có giá trị là . Tìm .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. 48 đvtt

B. 16 đvtt

C. 64 đvtt

Khối Đa Diện - Hình Học 12

D.

64
3

đvtt

Hướng dẫn giải
Phân tích: Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực thể kết hợp với cả phần tính thể tích khối đa
diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I
phần giải thích.
Trước tiên ta nhận thấy
V = ( 6 − x ) ( 12 − 2 x ) x = 2 x ( x − 6 )

2

= 2 x ( x 2 − 12 x + 36 ) = 2 x 3 − 24 x 2 + 72 x

Xét hàm số

f ( x ) = 2 x 3 − 24 x 2 + 72 x

trên

( 0; 6 )

x = 6
f ' ( x ) = 6 x 2 − 48 x + 72; f ' ( x ) = 0 ⇔ 
x = 2
max f ( x ) = f ( 2 ) = 64
( 0;6 )

Khi đó
đvtt. Đến đây nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà khơng đắn đo
gì. Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy là bạn đã sai, bởi đề bài u cầu tìm thể tích chocolate nguyên
1 3
3
1− =
.64 = 48
4 4
4
chất mà không phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là
thể tích hộp. tức là
đvtt
Câu 21: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của rubic có 9 ơ vng), biết chu vi mỗi ơ (ơ hình vng
trên một mặt) là 4cm.
A. 27 cm3.

B. 1728 cm3.

C. 1 cm3.

D. 9 cm3.

Hướng dẫn giải
Đây là một bài tốn ăn điểm, nhưng nếu đọc khơng kĩ từng câu chữ trong đề bài các độc giả rất
có thể sai
Ta có khối rubic như sau:


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Hướng sai 1: Nghĩ rằng mỗi cạnh của ô vuông là 4 nên chiều dài mỗi cạnh của khối rubic là
a = 4.3 = 12 ⇒ V = 123 = 1728 ⇒ B
Hướng sai 2: Nghĩ rằng chu vi mỗi ô vuông là tổng độ dài của cả 12 cạnh nên chiều dài mỗi cạnh
1
1
a = .3 = 1 ⇒ V = 13 = 1 ⇒ C
3
3
là , nên độ dài của khối rubik là
Hướng sai 3: Nhầm cơng thức thể tích sang cơng thức tính diện tích nên suy ra ý

D.

Cách làm đúng: Chu vi của một ô nhỏ là 4 cm nên độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1cm, vậy độ dài cạnh
của khối rubic là

a = 3.1 = 3 cm ⇒ V = 3.3.3 = 27 cm3

.

Chọn A.
Câu 22: Cắt một miếng giấy hình vng ở hình

1

và xếp thành một hình chóp tứ
20cm OM = x ( cm )
2
giác đều như hình . Biết cạnh hình vng bằng
,
.
x
Tìm để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?
A.
C.

x = 9cm

x = 6cm

.

B.

.

D.

x = 8cm

x = 7cm

.
.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Ta có:

OM = x ⇒ AC = 2 x AM = 2 x
,
.
OH =

Suy ra:

x
x
x
MH =
SH = 10 2 −
2
2
2
,

,
.

2

2

x   x 
 10
SO = SH 2 − OH 2 = 
−
÷ −
÷ = 20 ( 10 − x )
2  2
 2
1
1
20
V = SO.S đáy =
20 ( 10 − x ) .2 x 2 =
40 − 4 x .x 2
3
3
3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

5

20  40 − 4 x + x + x + x + x 
20 152
.2
( 40 − 4 x ) .x.x.x. ≤

÷ =
3
5
3



20
⇔V =
3

Dấu

"="

Khối Đa Diện - Hình Học 12

xảy ra khi

40 − 4 x = x ⇔ x = 8

.

1dm

1dm

1,8dm
1,2m

Câu 23:

3m

Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng khối hộp chữ
3m
nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là
;
1, 2m 1,8m
;
(người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài
20cm
10cm
5cm
, chiều rộng
, chiều cao
. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để
xây bể đó và thể tích thực của bể chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát khơng
đáng kể).
A.
C.

738

738

viên,
viên,

5742

5740

lít.

B.

lít.

D.

730

730

viên,
viên,

5742

5740

lít.
lít.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Thể tích của bể là
Thể tích của

V = 18.11.29 = 5742 ( l )
1dm3

1

viên gạch là
738
ít nhất cần dùng là
viên.

.

, thể tích cần xây dựng là

(30 + 11).18 = 738dm3

, suy ra số viên

15cm
Câu 24: Cho một cây nến hình lăng trụ lục gác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là
và
5cm
. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến
nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng
A.

1500 ml

.

B.

600 6 ml

.

C.

1800 ml

Hướng dẫn giải
Ta có

AB = 10 cm,AD=5 3 cm

.

D.

750 3 ml

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

S ABCD = 50 3
V = S ABCD .h = 750 3
Chọn D

20cm
Câu 25: Một miếng bìa hình trịn có bán kính là
. Trên biên của miếng bìa, ta xác định 8 điểm
A, B, C , D, E , F , G, H
theo thứ tự chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau. Cắt bỏ theo các nét
ABNCDPEFQGHM
liền như hình vẽ để có được hình chữ thập
rồi gấp lại theo các nét đứt
MN , NP, PQ, QM
tạo thành một khối hộp khơng nắp. Thể tích của khối hộp thu được là:

(

4000 2 − 2

4−2 2

2

A.

(

4000 2 − 2
C.

)

4000

)

(

4000
.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Theo giả thuyết ta có

)

3

2

B.
4−2 2

2− 2

(

2− 2

.

)

3

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

AB = CD = EF = GH = MN = NP = PQ = QM = 2r sin

= 40sin

π
= 40
8

1 − cos
2

2π

8.2

π
4 = 20 2 − 2

Và
MH = MA = NB = NC = PD = PE = QG = QH =

AH
= 10 4 − 2 2
2

2

Vì vậy

(



V = MN .MQ.MA =  20 2 − 2 ÷ .10 4 − 2 2 = 4000 2 − 2



)

4−2 2

ABCD
AD = 60cm AB = 40cm

Câu 26: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật
có
,
. Ta gập tấm nhơm theo
PQ
MN
DC
AB
hai cạnh
và
vào phía trong cho đến khi
và
trùng nhau như hình vẽ bên để
dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất
bằng
A.

3
4000 3 ( cm )

B.

3
2000 3 ( cm )

C.

3
400 3 ( cm )

D.

3
4000 2 ( cm )

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đáy của lăng trụ là tam giác cân có
60 − 2x
x
bên bằng , cạnh đáy bằng

cạnh

Đường cao tam giác đó là
2

 60 − 2 x 
AH = x − 
÷ = 60 x − 900
 2 
2

H

là trung điểm

,

với

NP

Diện tích đáy là
S = S ANP =

1
1
AH .NP = 60 x − 900. ( 30 − x ) =
2
30

( 60 x − 900 ) ( 900 − 30 x ) ( 900 − 30 x )

3

⇒S≤

1  900 
2

÷ = 100 3 ( cm )
30  3 

Diện tích đáy lớn nhất là

100 3cm2

nên thể tích lớn nhất là

V = 40.100 3 = 4000 3 ( cm3 )

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

ABCD
AD = 60cm
MN
Câu 27: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật
có
. Ta gấp tấm nhơm theo 2 cạnh
và
PQ
DC
AB
vào phía trong đến khi
và
trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng
x
trụ khuyết hai đáy. Tìm để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

A.

x = 20

.

B.

x = 15

.

C.

x = 25

.

D.

x = 30

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

PN = 60 − 2 x

, gọi

H

là trung điểm của

1
S ∆ANP = . ( 60 − 2 x ) 60 x − 900 = ( 60 − 2 x )
2

(

khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi
f '( x) =

−45 ( x − 20 )
15 x − 225

max f ( x ) = 100 3

PN

suy ra

AH = 60 x − 900

)

15 x − 225 = f ( x )

f ( x)

, do chiều cao của khối lăng trụ
max.

= 0 ⇔ x = 20, f ( 20 ) = 100 3, f ( 15 ) = 0

khi

x = 20

x ( cm ) .
Câu 28: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng
Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập
phương, người ta đục một lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vng là tâm
của mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vng song song với các cạnh của hình lập phương và
y ( cm )
có độ dài
như hình vẽ bên. Tìm thể tích V của khối gỗ sau khi đục biết rằng
x = 80 cm; y = 20 cm.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

490000 cm3

.

B.

432000cm3

.

C.

Khối Đa Diện - Hình Học 12

400000cm3

.

D.

390000cm3

.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích cần tìm bằng thể tích khối lập phương ban đầu trừ đi 6 khối hộp chữ nhật có đáy là hình
x− y
( cm ) ;
y ( cm )
2
vng cạnh
, chiều cao
rồi trừ đi thể tích khối lập phương có độ dài cạnh
y ( cm )
bằng
. Vì vậy,
80 − 20 2
 x− y 2

3
3
V = x3 − 6 
.20 − 203 = 432000 ( cm3 ) .
÷ y − y = 80 − 6.
2
 2 

x ( cm )

Câu 29: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng
.Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập
phương, người ta đục một lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm của lỗ hình vng là tâm
của mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh của hình lập phương và có
S
y ( cm )
V
S
V
độ dài
(như hình vẽ bên).Tính tỉ số
,trong đó
của khối gỗ sau khi đục và
là tổng
diện tích mặt (trong và ngồi)khối gỗ sau khi đục.

A.

C.

6( x + 3y)
S
=
V ( x − y) ( x + 2y)

2( x + 3y)
S
=
V ( x − y) ( x + 2y)

.

.

B.

D.

3( x + 3y )
S
=
V ( x − y) ( x + 2y)

9( x + 3y)
S
=
V ( x − y) ( x + 2y)

Hướng dẫn giải
Chọn A

.

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Thể tích hình cần tính bằng thể tích khối lập phương ban đầu trừ đi 6 khối hộp chữ nhật có đáy là
x− y
cm
y cm
2
hình vng cạnh
,chiều cao
,rồi trừ đi thể tích khối lập phương có độ dài cạnh bằng
y cm
.

Vì vậy:

2
 x− y 2
3
V = x3 − 6 
÷y − y = ( x − y ) ( x + 2 y )
 2 

Tổng

.

tích
các
mặt
của
y
(
x
−
y
)
V = 6 ( x 2 − y 2 ) + 6.4.
= 6 ( x − y) ( x + 3y )
2

Vậy

diện

6( x + 3y)
S
=
V ( x − y) ( x + 2y)

khối

gỗ

sau

khi

đục

là

.

Chọn A
V ( m3 )

k
k
Câu 30: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích
, hệ số cho trước (
x, y , h > 0
- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi
lần lượt là chiều rộng, chiều
x, y , h > 0
x, y , h
dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định
xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.
lần lượt là
x = 23

( 2k + 1) V ; y =
4k

2

3

A.
x=

3

x=

3

x=

3

( 2k + 1) V ; y =
4k

2

3

B.

( 2k + 1)
3

( 2k + 1) V ; y = 6

3

4k

C.
4k

2

( 2k + 1)
2kV

( 2k + 1) V ; y = 2
2

2kV

D.

2

2

2

;h =

3

2

;h =

3

2kV

( 2k + 1)

3

;h = 23

2kV

( 2k + 1)

;h =

k ( 2k + 1) V
.
4
k ( 2k + 1) V
4

.

k ( 2k + 1) V

.
4
k ( 2k + 1) V
4

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi

x , y , h ( x, y , h > 0 )
k=

Ta có:

h
⇔ h = kx
x

lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.
V = xyh ⇔ y =
và

V
V
= 2
xh kx

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Nên diện tích tồn phần của hố ga là:
S = xy + 2 yh + 2 xh =

( 2k + 1) V
kx

+ 2kx 2

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi
( 2k + 1) V
x=3
4k 2
y = 23

Khi đó

2kV

( 2k + 1)

2

,h =

3

k ( 2k + 1) V
4

.

Câu 31: Cho một tấm nhôm hình vng cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt bỏ các tam giác cân
bên ngoài của tấm nhơm, phần cịn lại gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
x ( m)
x
, sao cho bốn đỉnh của hình vng gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm
để khối chóp
nhận được có thể tích lớn nhất.

x=

2 2
5

A.

x=
B.

1
2

x=

C.

2
4

x=

D.

Hướng dẫn giải

y=
Ta có:

1 − 2x
1
⇒z=
+ y2
2
4
2

Chiều cao của hình chóp:

2

 2 
 2 
1
1

2
2
h = z − 
x÷
=
+
y
−
x
=
−
x

÷
÷
 2 ÷
4
2 2
 2 


2

2
3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
⇒ Vchop =

Vchop

y'=

Khối Đa Diện - Hình Học 12

1 2 1
2
x . −
x
3
2 2
y = x2

lớn nhất khi hàm số

1
2
−
x
2 2

đạt GTLN

−5 2 x 2 + 4 x
4

1
2
−

x
2 2

x = 0
y ' = 0 ⇔ −5 2 x + 4 x = 0 ⇔ 
x = 2 2

5
2

Chọn A.
a
Câu 32: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện đều và tất cả các cạnh đều bằng , người ta cưa viên đá
theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích
bằng nhau. Tính diện tích thiết diện của viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên.
a2
a2
a2
a2
3
3
3
3
4
4
4
4
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Từ giả thiết

1
1
⇒ VS . A′B′C ′D′ = VS . ABCD ⇒ VS . A′B′C ′ = VS . ABC
2
2

( Do khối chóp tứ giác đều)

3

V
1
a2
SA′ 
SA
a
a
2
′

′
⇒ S . A′B′C ′ = = 
′
⇒
S
=
A
B
=
⇒
SA
=
=
=
td
3
3
VS . ABC
2  SA ÷
4
2 3 2 ⇒ A′B′ = SA′ 3 2


Câu 33: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, khơng có nắp ở phía trên với thể tích

.

1, 296m3 .

Người thợ

a, b, c
này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước
như