4. HÀM SỐ MŨ - LÔGARIT_P3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lơgarit

A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
4x
f ( x) = x
4 +2
Câu 1: Cho hàm số
. Tính tổng
1


 2 
 3 
 2013 
 2014 
S= f
÷+ f 
÷+ f 
÷+ L + f 
÷+ f 
÷
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
A.

2014

.

B.

2015

.

C.

1008

.

D.

1007

.

1
2

1
 1+ 1

3log 2 2
2log 4 x

f ( x) =  x
+ 8 x + 1÷ − 1

÷



Câu 2: Kí hiệu
2016.
A.

B.

1009.

)

(

f ( f ( 2017 ) )

. Giá trị của
2017.
C.

f ( x ) = a ln x + x 2 + 1 + b sin x + 6

Câu 3: Cho
trị của
10

A. .

f ( log ( ln10 ) )

B.

f ( x) =

Câu 4: Cho

9x
9x + 3

. Nếu

1
A. .

Câu 5: Cho hàm số
1
A. .
−x

C.

4

1008.

f ( log ( log e ) ) = 2

. Tính giá

8
D. .

.

f ( a ) + f ( b)

thì

là
3
C. .

.

D.

4

.

x

9
, x∈ R
3 + 9x

B.

9 + 9 = 23
x

2

. Biết rằng

.

a +b =1

B.
f ( x) =

2

D.

a, b ∈ ¡
với

bằng:

2

. Nếu

a+b = 3

.

f ( a ) + f ( b − 2)

thì

C.
A=

−x

1
4

5+3 +3
a
=
x
−x
1− 3 − 3
b
x

có giá trị bằng
3
4
D. .
a
b

a, b ∈ ¢

Câu 6: Cho
. Khi đó biểu thức
với
tối giản và
. Tích
có giá trị bằng:
10
−8
8
−10
A. .
B.
.
C. .
D.
.
x
−x
5+ 2 + 2
P=
x
−x
4 +4 =7
8 − 4.2 x − 4.2 − x
Câu 7: Cho
. Biểu thức
có giá trị bằng

3
5
P=
P=−
2
2
P=2
P = −2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
a.b

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x, y , z

0

2 x = 5 y = 10− z

Mũ – Lôgarit

A = xy + yz + zx

là ba số thực khác
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
Câu 8: Cho
bằng?
3
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
M = xy + yz + zx
2 x = 3 y = 6− z
x y z
0
Câu 9: Cho , , là các số thực khác thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
.
M =3
M =6
M =0
M =1
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
x
>
0;
y
>
0;
z
>
0;1
≠
t
>
0
a≠0 b≠0
c≠0
Câu 10:
Cho các số thực
,
,
thỏa mãn
ln x ln y ln z
=
=
= ln t

xy = z 2t 2
P = a + b − 2c
a
b
c
và
. Tính giá trị
bằng
1
.
4.
−2.
2.
2
A.
B.
C.
D.
9t
f ( t) = t
m
S
m
9 + m2
Câu 11: Xét hàm số
với
là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của
f ( x) + f ( y ) = 1
ex+ y ≤ e ( x + y )
x, y

S
sao cho
với mọi
thỏa mãn
. Tìm số phần tử của .
0.
1.
2.
A.
B.
C. Vô số.
D.
ax + a−x
a x − a−x
f ( x) =
g ( x) =
.
0 < a ≠ 1+ 2
2
2
Câu 12: Cho
và các hàm
,
Trong các khẳng định
sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
f 2 ( x ) − g 2 ( x ) = 1.
I.
g ( 2x ) = 2g ( x ) f ( x ) .
II.
f ( g ( 0) ) = g ( f ( 0) ) .

III.
g′ ( 2x ) = g′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′( x ) .
IV.
0.
1.
3.
2.
A.
B.
C.
D.
m2 x
f ( x ) = log 3
S
m
1− x
Câu 13: Cho hàm số
. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
sao
a +b
f ( a) + f ( b) = 3
e ≤ e ( a + b)
a, b
cho
với mọi số thực
thỏa mãn
. Tính tích các phần tử
S
của .

3 3
−3 3
27
−27
A.
B.
C.
D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

1
 2x 
f ( x ) = log 2 
÷
2
 1− x 
Câu 14: Cho hàm số
. Tính tổng
 1 
 2 
 3 
S= f
÷+ f 

÷+ f 
÷+ ... +
 2017 
 2017 
 2017 
A.

S = 2016.

f ( x) =
Câu 15: Cho

S = 1008.

B.

C.

 2015 
f
÷+
 2017 

 2016 
f
÷.
 2017 

S = 2017.

D.

S = 4032.

2016 x
2016 x + 2016

. Tính giá trị biểu thức
 1 
 2 
 2016 
S= f
÷+ f 
÷+…+ f 
÷
 2017 
 2017 
 2017 
2016

A. S = 2016

B. S = 2017
f ( x) =

Câu 16: Cho hàm số

25
25 x + 5

 2 
f
÷+
 2017 
S=

B.

 3 
f
÷+
 2017 

12101
.
6

C.

 4 
f
÷+ ... +
 2017 

17:

Cho
 1 
 2 
S= f

÷+ f 
÷+
 2017 
 2017 
S=
A.

5044
.
5

hàm
số
 3 
f
÷+ ... + f
 2017 
S=

B.

Câu

18:

Cho
 1 
P= f 
÷+
 2017 

A.

336

.

hàm
số
 2 
f
÷+ ... +
 2017 

B.

C.

.

D.

12107
.
6

x

16
16 x + 4

.

Tính

S=

S = 1008.

tổng

9 −2
.
9x + 3

D.

10089
.
5

x

Tính
 2016 
 2017 
f
÷+ f 
÷.
 2017 

 2017 

1008

S=

 2017 

÷.
 2017 

10084
.
5
f ( x) =

 2017 
f
÷.
 2017 

S = 1008.
f ( x) =

Câu

D. S =

.

 1 
S= f
÷+
 2017 

Tính tổng
6053
S=
.
6
A.

C. S = 1008

x

C.

4039
12

giá

trị

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
của

D.

biểu

8071
12

thức

.

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
f ( x ) = a ln 2017

a, b
Câu 19: Cho

(

Mũ – Lơgarit

)

là các số thực và

(

)

tính giá trị của biểu thức
P=6
P = −2
A.
B.

f ( x) = e
Câu 20: Cho

1
x2

+

với

C.

P=4

D.

P=2

m

f ( 1) . f ( 2 ) . f ( 3 ) ... f ( 2017 ) = e n

.
Biết rằng

m
n

,

0 < c ≠1

1

( x +1) 2

)

f 5logc 6 = 6
. Biết

P = f −6logc 5

1+

(

x 2 + 1 + x + bx sin 2018 x + 2

m, n
với

là các số tự

m − n2 .

nhiên và
tối giản. Tính
2
m − n = 2018
m − n 2 = −2018
A.
.
B.
.
f ( x ) = ( x 2 + 3x + 2 )

C.

cos( 2017π x )

m − n2 = 1

.

D.

m − n 2 = −1

.

( un )

Câu 21: Cho hàm số
và dãy số
được xác định bởi công thức tổng
un = log f ( 1) + log f ( 2 ) + ... + log f ( n )
n
quát
. Tìm tổng tất cả các giá trị của thỏa mãn điều
un2018 = 1
kiện
?
A.

21

B.

18

C.

3

D.

2018

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ, HÀM
LÔGARIT MỘT BIẾN SỐ

Câu 22: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau khơng đúng?
x
1
y= ÷
[ 0;3]
2
A. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn
.
x
( 0; 2 )
y=e
B. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên khoảng
.
y = log 2 x
[ 1;5)
C. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng
.
x
[ −1; 2 )
y=2
D. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng
.
2
ln x
y=
1; e3  .

x
Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên
4
1
9
ln 2 2
max
y
=
max
y
=
max
y
=
max
y
=
1;e3 
1;e3 
1;e3 
1;e3 
e2
e
e3
2









A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

[ 2;3]

y = x ( 2 − ln x )

Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là

max y = e
max y = −2 + 2 ln 2
max y = 4 − 2 ln 2
[ 2;3]

[ 2;3]

A.

.

B.

. C.

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1
e
e
.
B.
A

trên đoạn

C.

[ 2;3]

. D.

[ −1;1]

f ( x) = x e

2 x

Câu

max y = 1

[ 2;3]

.

?

2e

D.

0

x, y ∈ ( 0; 2018 )
Cho hai số thực x, y phân biệt thỏa mãn
.

1 
y
x

S=
− ln
 ln
÷
y − x  2018 − y
2018 − x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

26:

2
4
4
S≥
S≤
1009
1009
1009
A.
B.
C.
D.
a
b
b<4
Câu 27: Cho hai số thực dương
và
thỏa mãn
. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a 2a
a−2

4 b
7.4
P=
+ a
m
m
3
( 4a − b a ) b
m, n
n
n
là
với
là các số nguyên dương và
tối giản. Tính
S = m+n
.
43
33
23
13
A. .
B. .
C. .
D. .
2
y = 22log3 x − log3 x
x
Câu 28: Với giá trị nào của để hàm số
có giá trị lớn nhất?

2.
3.
2.
1.
A.
B.
C.
D.
y = ( 20 x 2 + 20 x − 1283) e 40 x
S≥

2
1009

Đặt

S≤

Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
−163.e280
−1283
A.
.
B.
.

y = x 2 + 3 − x ln x
Câu 30: Cho hàm số

M;N

. Gọi

[ 1; 2]

trên tập hợp các số tự nhiên là
157.e320
−8.e300
C.
.
D.
.
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

M .N
. Khi đó tích
là:
2 7 − 4 ln 2.
B.
2
2
y = 2 sin x + 2cos x
Câu 31: Tìm giá trị lớn nhất của
3
2
A. .
B. .

hàm số trên đoạn
2 7 + 4 ln 5.
A.

y=
Câu 32: Giá trị lớn nhất của hàm số

( π)

C.

C.

2 7 − 4 ln 5.

4

.

D.

2 7 + 4 ln 2.

5
D. .

sin 2 x

trên

¡

bằng?

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

π

1
B. .
f (x) = 2 x + 22− x
Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
là:
minf(x) = 4
minf(x) = −4
A.

A.

.

x∈¡

.

B.

x∈¡

.
f ( x ) = x ( 2 − ln x )

Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. 1 .
B. 4 − 2ln 2 .
M

m

C.

Mũ – Lôgarit
0

.

D.

π

.

minf(x) = 5

C. Đáp án khác.
[ 2;3] là
trên
C. e .

y = x 2 − 2 ln x

D.

x∈¡

.

D. −2 + 2ln 2 .
e−1 ; e 

Câu 35: Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
trên
là
2
−2
−2
M = e − 2, m = e + 2
M = e + 2, m = 1
A.
.
B.
.
−2
2
M = e + 1, m = 1
M = e − 2, m = 1
C.

.
D.
.
2
1;
2
[ ]
y = x ln x
Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
1
1
1
min y = 0
min y = −
min y =
min y = −
2e
e
e
[ 1;2]
[ 1;2]
[ 1;2]
[ 1;2]
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
1 
1
y = ln x − x 2 + 1.
 2 ; 2  .
2
M
Câu 37: Cho hàm số
Tìm giá trị lớn nhất
của hàm số trên
1
7
7
M= .
M = − ln 2.
M = + ln 2.
M = ln 2 − 1.
2
8
8
.
B.
C.
D.
A
y = e x ( x 2 − x − 5)
[ 1;3]
Câu 38: Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn
bằng:
3
−3
3
−5e
7e
2e
e3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
| x|
[ −2; 2]
y=2
Câu 39: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
?
1
1
max y = 4;min y = −
max y = 4; miny =
4
4
A.
B.

1
max y = 1; miny =
max y = 4; miny = 1
4
C.
D.
2
[ 1; 2]
y = x + 3 − x ln x
Câu 40: Cho hàm số
trên đoạn
. Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
là
4 ln 2 − 4 7
7 − 4 ln 2
4 ln 2 − 2 7
2 7 − 4 ln 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit
f ( x) =

4sin x + 6m +sin x
9sin x + 41+sin x

m
Câu 41: Tìm tất cả giá trị của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
1
3
nhỏ hơn .
2
13
m ≥ log 6 .
m ≥ log 6 .
m ≤ log 6
m ≤ log 6 3.
3
18
A.
B.
C.
D.
( an ) ; cấp số nhân ( bn ) thỏa mãn a2 > a1 ≥ 0; b2 > b1 ≥ 1 và
Câu 42: Cho cấp số cộng

f ( x ) = x 3 − 3x

sao cho

f ( a2 ) + 2 = f ( a1 )

f ( log 2 b2 ) + 2 = f ( log 2 b )

không

2
.
3
hàm số

và
. Số nguyên dương
n > 1 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bn > 2018an là?
A. 16
B. 15
C. 17
D. 18
x
9
f ( x) = x
9 + m 2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
Câu 43: Cho hàm số

f ( a) + f ( b) = 1

của S .
A. 81

e a +b ≤ e 2 ( a + b − 1)
với mọi số thực a, b thỏa mãn
. Tính tích các phần tử
B. −3

D. −9
x ∈ ( 1; +∞ )
a = a0
xa ≤ a x
a >1
Câu 44: Cho
. Biết khi
thì bất đẳng thức
đúng với mọi
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
1 < a0 < 2
A.

C. 3

2 < a0 < 3

e < a0 < e 2

.

B.

.

C.

e 2 < a0 < e 3

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

.

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lơgarit

B – HƯỚNG DẪN GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
11.D
21.A
31.A
41.A

2.C
12.D
22.B
32.A
42.A

3.A
13.C
23.A
33.A
43.D

4.A
14.B
24.A
34.B
44.C

5.A
15.C
25.A
35.D

6.D
16.C
26.A
36.D

7.D

17.A
27.A
37.A

8.B
18.C
28.B
38.D

9.C
19.A
29.B
39.A

10.D
20.D
30.B
40.D

TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
VẬN DỤNG:
f ( x) =

4x
4x + 2

Câu 1: [DS12.C2.4.D06.c] Cho hàm số
. Tính tổng
 1 
 2 

 3 
 2013 
 2014 
S= f
÷+ f 
÷+ f 
÷+ L + f 
÷+ f 
÷
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
A.

2014

.

B.

2015

.

1008

C.
.

Hướng dẫn giải

D.

1007

.

Chọn D.
f ( 1− x) =

Ta có:

41− x
4
2
=
=
1− x
x
4 + 2 4 + 2.4
2 + 4 x ⇒ f ( 1) + f ( 1 − x ) = 1

 1 
 2014 
 2 
 2013 
 1007 
 1008 
f

÷+ f 
÷ = 1, f 
÷+ f 
÷ = 1,..., f 
÷+ f 
÷= 1
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 
 2015 

Do đó:
⇒ S = 1007

.
1

1
 1+ 1
2
3log 2 2
2log 4 x
x
f ( x) =  x
+8
+ 1÷ − 1

÷




Câu 2: [DS12.C2.4.D06.c] Kí hiệu
2016.
1009.
A.
B.

Ta có

. Giá trị của

2017.

C.
Hướng dẫn gải:

f ( f ( 2017 ) )

D.

bằng:

1008.

1
1+
 1+ 2log1 x
log 2 x

4
x
=
x
= x1+ log x 2 = x log x ( 2 x ) = 2 x

.
 1
1
1
3.
2
 3log x2 2
3.log 2 2
log 2 2
x
=2
= 2 x = 2log2 x = x 2
8

Khi đó

1
2

1

2
f ( x ) = ( x + 2 x + 1) − 1 = ( x + 1)  2 − 1 = x.



2

f ( 2017 ) = 2017 ⇒ f ( f ( 2017 ) ) = f ( 2017 ) = 2017.

Suy ra
Chọn C.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

)

(

f ( x ) = a ln x + x 2 + 1 + b sin x + 6

a, b ∈ ¡

Câu 3: [DS12.C2.4.D06.c] Cho
với
f ( log ( log e ) ) = 2
f ( log ( ln10 ) )
. Tính giá trị của

10
2
4
A. .
B. .
C. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 1 
t = log ( log ( e ) ) = log 
÷ = − log ( ln10 ) ⇔ log ( ln ( 10 ) ) = −t
 ln10 
Đặt
Theo giả thiết ta có:

)

(

. Biết rằng

8
D. .

)

(

f ( t ) = a ln t + t 2 + 1 + b sin t + 6 = 2 ⇔ a ln t + t 2 + 1 + b sin t = −4

)

(

2
f ( log ( ln10 ) ) = f ( −t ) = a ln −t + t + 1 + b sin ( −t ) + 6

Khi đó

= a ln

1
t +1 + t

= −  a ln


2

(

− b sin t + 6

)

t 2 + 1 + t + b sin t  + 6 = 10

9x
9x + 3

f ( x) =

Câu 4: [DS12.C2.4.D06.c] Cho
1
A. .

B.

2

f ( a ) + f ( b)

a +b =1

. Nếu

thì
3
C. .
Hướng dẫn giải

.

là
D.

Chọn A.
a + b = 1 ⇔ b = 1− a
Cách 1:
.

a
b
9
9
9a
91−a
9a
3
f ( a) + f ( b) = a
+ b
= a
+ 1−a
= a
+
=1
9 + 3 9 + 3 9 + 3 9 + 3 9 + 3 3 + 9a

Cách 2: Chọn

1
a=b=
2

. Bấm máy

1
f  ÷+
2

f ( x) =

Câu 5: [DS12.C2.4.D06.c] Cho hàm số
giá trị bằng
1
A. .

B.

2

.

a

4

.

.

a

a

9
9
9
1
calc
f  ÷= a

+ a
= 2. a

1→ =1
a
=
2
9
+
3
9
+
3
9
+
3
 
2

.

x

9
, x∈R
3 + 9x

. Nếu

a+b = 3

f ( a ) + f ( b − 2)

thì

1
4

C.
Hướng dẫn giải

có

D.

3
4

.

Chọn A

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có:

Mũ – Lơgarit

b − 2 = 1− a

f ( a) =

9a
91− a
3
;
f
b
−
2
=
f
1
−
a
=
=
(
)
(
)
a
1− a
3+9
3+9
3 + 9a

⇒ f ( a ) + f ( b − 2) =

9a
3
+
=1
a
3 + 9 3 + 9a

.
A=

−x

9 + 9 = 23
x

Câu 6: [DS12.C2.4.D06.c] Cho
. Khi đó biểu thức
a, b ∈ ¢
a.b
và
. Tích
có giá trị bằng:
10
−8
8
A. .
B.

.
C. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

5 + 3x + 3− x a
=
1 − 3x − 3− x b

D.

a
b

với

−10

tối giản

.

9 x + 9 − x = 23 ⇔ ( 3x ) + ( 3− x ) + 2.3x.3− x = 25 ⇔ ( 3x + 3− x ) = 25 ⇔ 3x + 3− x = 5
2

2

2

Ta có

.
−x

5+3 +3
5 + 5 −5
=
=
x
−x
1− 3 − 3
1− 5
2 ⇒ a = −5, b = 2 ⇒ a.b = −10
Do đó:
.
.
x
−x
5+ 2 + 2
P=
x
−x
4 +4 =7
8 − 4.2 x − 4.2− x
Câu 7: [DS12.C2.4.D06.c] Cho
. Biểu thức
có giá trị bằng
3
5
P=

P=−
2
2
P=2
P = −2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A=

x

x
−x
x
−x
x −x
x
−x
4 x + 4 − x = 7 ⇔ ( 2 ) + ( 2 ) = 7 ⇔ ( 2 + 2 ) − 2.2 .2 = 7 ⇔ ( 2 + 2 ) = 9
2

Ta có

2 x + 2− x = 3 ⇒

2

P=

2

2

5+3
5 + 2 x + 2− x
=
= −2
x
−x
8 − 4.3
8 − 4.2 − 4.2

Như vậy
x, y , z
Câu 8: [DS12.C2.4.D06.c] Cho
A = xy + yz + zx
bằng?
3
A. .

là ba số thực khác

B.

0

.

0

thỏa mãn

2 x = 5 y = 10− z

1
C. .
Hướng dẫn giải

. Giá trị của biểu thức

D.

2

.

Chọn B.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

( 2 x.10 z ) y = 1
x
z
xy
yz

2
.10
=
1
1


2 .10 = 1
x
y
−z
x
y
2 = 5 = 10 ⇔ 2 = 5 = z ⇔  y z
⇔
⇔  xy xz
x
10
5 .10 = 1 ( 5 y.10 z ) = 1 5 .10 = 1


2 xy.10 yz.5 xy.10 xz = 1 ⇔ 10 xy + yz + zx = 1 ⇔ xy + yz + zx = 0
Khi đó

.
y
2 x = 3 y = 6− z
x
0
z
Câu 9: [DS12.C2.4.D06.c] Cho , , là các số thực khác thỏa mãn
. Tính giá trị biểu
M = xy + yz + zx
thức
.
M =3
M =6
M =0
M =1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
x ln 2 x

x ln 2
2x = 3y ⇒ y =
; 2 = 6− z ⇒ z = −
ln 3
ln 6
Ta có
.
2
 ln 2
ln 2
ln 2 
M = xy + yz + zx = x 2 
−
−
÷
 ln 3 ln 3.ln 6 ln 6 
Xét
 ln 2.ln 6 − ln 2 2 − ln 2.ln 3 
= x2 
÷
ln 3.ln 6


ln 2 ( ln 6 − ln 2 − ln 3)
= x2 ×
=0
ln 3.ln 6
a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 x > 0; y > 0; z > 0;1 ≠ t > 0
Câu 10: [DS12.C2.4.D06.c] Cho các số thực
,

,
thỏa mãn
ln x ln y ln z
=
=
= ln t
xy = z 2t 2
P = a + b − 2c
a
b
c
và
. Tính giá trị
bằng
1
.
4.
−2.
2.
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
ln x ln y ln z
ln x
ln y
ln z

=
=
= ln t ⇒ a =
= ln t x; b =
= ln t y; c =
= ln t z
a
b
c
ln t
ln t
ln t
 z 2t 2 
 xy 
P = a + b − 2c = ln t x + ln t y − 2 ln t z = ln t  2 ÷ = ln t  2 ÷ = 2.
z 
 z 

VẬN DỤNG CAO:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
f ( t) =

9t
9t + m 2

Mũ – Lôgarit

S
là tham số thực. Gọi là tập hợp tất
f ( x) + f ( y) = 1
ex+ y ≤ e ( x + y )
x, y
m
cả các giá trị của
sao cho
với mọi
thỏa mãn
. Tìm
S
số phần tử của .
0.
1.
2.
A.
B.
C. Vơ số.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
e x ≥ e.x
⇒ e x+ y ≤ e ( x + y ) ⇔ x + y = 1
 y
e ≥ e. y
Ta có nhận xét:

.
x + y =1
( Dấu ‘’=’’ xảy ra khi
).
f ( x) + f ( y ) = 1 ⇔ f ( x) + f (1 − x) = 1
Do đó ta có:
9x
91− x
9 + m 2 .9 x + 9 + m 2 .91− x
⇔ x
+
=1⇔
=1
9 + m 2 91− x + m2
9 + m 2 .9 x + m2 .91− x + m4

Câu 11: [DS12.C2.4.D06.d] Xét hàm số

với

m

⇔ 9 + m 2 .9 x + 9 + m 2 .91− x = 9 + m2 .9 x + m 2 .91− x + m 4
⇔ m4 = 9 ⇔ m = ± 3

.
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
f ( x) =

0 < a ≠ 1+ 2

Câu 12: [DS12.C2.4.D06.d] Cho
và các hàm
các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
f 2 ( x ) − g 2 ( x ) = 1.
I.
g ( 2x ) = 2g ( x ) f ( x ) .
II.
f ( g ( 0) ) = g ( f ( 0) ) .
III.
g′ ( 2x ) = g′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′( x ) .
IV.
0.
1.
3.
A.
B.
C.
Hướng dẫn gải:
Ta có
2

g ( x) =

,

D.

a x − a− x
.

2

Trong

2.

2

 a x + a− x   a x − a− x 
• f ( x) − g ( x) = 
÷ −
÷ =1⇒ I
2
2

 

2

ax + a−x
2

2

đúng.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

x
−x
x
−x
a 2 x − a −2 x ( a − a ) ( a + a )
a x − a−x a x + a−x
• g ( 2x ) =
=
= 2.
.
= 2 g ( x ) . f ( x ) ⇒ II
2
2
2
2

đúng.
 f ( g ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 1.

1
• 
⇒ f ( g ( 0 ) ) ≠ g ( f ( 0 ) ) ⇒ III
a−
2
a

−
1
 g f ( 0 ) = g ( 1) =
a=
)
 (
2
2a
g ( 2x ) = 2g ( x ) f ( x )

•

sai.
g ′ ( 2 x ) = 2  g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′ ( x )  ⇒ IV

Do
nên
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Chọn D.
a =1
Cách giải trắc nghiệm: Chọn
.

f ( x ) = log 3

sai.

m2 x
1− x

S
Câu 13: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số
. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực
f ( a) + f ( b) = 3
e a +b ≤ e ( a + b )
a, b
m
của tham số
sao cho
với mọi số thực
thỏa mãn
.
S
Tính tích các phần tử của .
3 3
−3 3
27
−27
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
a +b =1
Từ giả thiết ta có:
m2 ( 1 − a )
m2 a
f ( a ) + f ( b ) = f ( a ) + f ( 1 − a ) = log 3
+ log 3

= log 3 m 4 = 3
1− a
1− (1− a)
Và
⇔ m 4 = 27 ⇔ m = ± 4 27
.
− 27 = −3 3
S
Do đó tích phần tử thuộc là
.
Chọn C.
1
 2x 
f ( x ) = log 2 
÷
2
 1− x 
Câu 14: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số
. Tính tổng
1
2
3






 2015 
 2016 

S= f
÷+ f 
÷+ f 
÷+ ... + f 
÷+ f 
÷.
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 

A.

S = 2016.

Xét

S = 2017.
C.
Hướng dẫn gải:
 2 ( 1− x) 
1
 2x  1
f ( x ) + f ( 1 − x ) = log 2 

÷+ log 2 
2
 1− x  2
1 − ( 1 − x ) 

B.

S = 1008.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

S = 4032.

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
=

Mũ – Lôgarit

 2( 1− x)  1
 2x 2 ( 1 − x )  1
1
 2x  1
log 2 
.
 = log 2 
 = log 2 4 = 1
÷+ log 2 
2
x  2

 1− x  2
 x  2
1 − x

.

Áp dụng tính chất trên, ta được
  1 
  1008 
 2016     2 
 2015  
 1009  
S =f 
÷+ f 
÷ +  f 
÷+ f 
÷ + ... +  f 
÷+ f 
÷
 2017     2017 
 2017  
 2017  
  2017 
  2017 
= 1 + 1 + ... + 1 = 1008.

Chọn B.

f ( x) =

2016 x
2016 x + 2016

Câu 15: [DS12.C2.4.D06.d] Cho
 1 
 2 
S= f
÷+ f 
÷+…+
 2017 
 2017 

. Tính giá trị biểu thức

 2016 
f
÷
 2017 
2016

A. S = 2016

B. S = 2017

C. S = 1008

D. S =

Hướng dẫn giải
Chọn C.

f (1 − x ) =
Ta có:

2016
→ f ( x ) + f (1 − x ) = 1
2016 x + 2016

 1 
S= f
÷+
 2017 

Suy ra
 2015 
+f 
÷+ ... +
 2017 

 2 
f
÷+…+
 2017 

 1008 
f
÷+
 2017 

 2016 
 1 

f
÷= f 
÷+
 2017 
 2017 

 1009 
f
÷ = 1008
 2017 
f ( x) =

 2016 
f
÷+
 2017 

 2 
f
÷
 2017 

.

x

25
25x + 5

Câu 16: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số

.
 1 
 2 
 3 
 4 
 2017 
S= f
÷+ f 
÷+ f 
÷+ f 
÷+ ... + f 
÷.
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
Tính tổng
6053
12101
12107
S=
.
S=
.
S=
.
S = 1008.
6
6

6
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
S = 1008.
Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả:
16 x
f ( x) = x
16 + 4
Câu
17:
[DS12.C2.4.D06.d]
Cho
hàm
số
.
Tính
tổng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 1 

S= f
÷+
 2017 

 2 
f
÷+
 2017 

5044
.
5

S=
A.

Chọn A.

 3 
f
÷+ ... +
 2017 
S=

B.

Mũ – Lơgarit

 2017 
f

÷.
 2017 

10084
.
5

S=

S = 1008.

C.
Hướng dẫn giải

D.

10089
.
5

x + y =1

Nhận xét: Cho

Ta có

16 x
16 y
16 + 4.16 x + 16 + 4.16 y
f ( x) + f ( y) = x

+
=
=1
16 + 4 16 y + 4 16 + 4.16 x + 4.16 y + 16

 1 
S= f
÷+
 2017 
= 11+412
+ ...
+1+
43
1008 so hang

 2016 
f
÷+
 2017 

 2 
f
÷+
 2017 

 2015 
f
÷+ ... +
 2017 

 1008 
f
÷+
 2017 

 1009 
f
÷+
 2017 

 2017 
f
÷
 2017 

16
4 5044
= 1008 + =
16 + 4
5
5
.
f ( x) =

Câu 18: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số
 1 
 2 
 2016 
P= f 
÷+ f 

÷+ ... + f 
÷+
 2017 
 2017 
 2017 

A.

336

.

B.

1008

.

9x − 2
.
9x + 3

Tính giá trị của biểu thức

 2017 
f
÷.
 2017 
4039
12

C.
Hướng dẫn giải

.

8071
12

D.

.

Chọn C.
f ( x) + f (1− x) =

Xét:
Vậy ta có:
 1 
P= f 
÷+
 2017 

9 x − 2 91− x − 2 1
+
=
9 x + 3 91− x + 3 3

 2 
f

÷+ ... +
 2017 

.

 2016 
f
÷+
 2017 

 2017  1008   k 
f
÷= ∑  f 
÷+
 2017  1   2017 

k 

f 1 −
÷ +
 2017  

 2017 
f
÷
 2017 

.
1008
1

7 4039
⇔ P = ∑ + f ( 1) = 336 + =
12
12
1 3

.
f ( x ) = a ln 2017

a, b
Câu 19: [DS12.C2.4.D06.d] Cho

(

là các số thực và

)

(

f 5logc 6 = 6
Biết

P = f −6logc 5
, tính giá trị của biểu thức

(

)
với

)

x 2 + 1 + x + bx sin 2018 x + 2

.
0 < c ≠1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

P = −2

B.

P=6

Mũ – Lôgarit

P=4
C.
Hướng dẫn giải

D.

P=2

Chọn A
5logc 6 = 6logc 5 = x ⇒ −6logc 5 = − x
Ta có
f ( − x ) = a.ln 2017

Khi đó

= a.ln 2017

1
x +1 + x
2

= −  a.ln 2017


(

)

(

x 2 + 1 − x − bx sin 2018 x + 2

− bx sin 2018 x + 2

)

x 2 + 1 + bx sin 2018 x + 2  + 4


f ( x ) = 6 → P = f ( − x ) = − f ( x ) + 4 = −6 + 4 = −2

Mặt khác

f ( x) = e

1+

1
x2

+

1

( x +1) 2

Câu 20: [DS12.C2.4.D06.d] Cho

Biết rằng
m
n

m, n

m

f ( 1) . f ( 2 ) . f ( 3 ) ... f ( 2017 ) = e n

.

với

m − n2 .

là các số tự nhiên và
tối giản. Tính
2
m − n = 2018
m − n 2 = −2018
m − n2 = 1
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x>0
Xét các số thực
1
1
1+ 2 +
=
x ( x + 1) 2

(x

2

+ x + 1)

x 2 ( x + 1)

2

2

=

D.

m − n 2 = −1

x2 + x + 1
1
1
1
= 1+
= 1+ −
2
x +x
x ( x + 1)
x x +1

Ta có:

f ( 1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

.

.
1
1 
 1 1  1 1  1 1

−
1+ − ÷+ 1+ − ÷+ 1+ − ÷+…+ + 1+
÷
 1 2  2 3  3 4
 2017 2018 

=e

Vậy,
m 20182 − 1
=
n
2018
hay
20182 − 1
2018
Ta chứng minh
là phân số tối giản.
20182 − 1
d

2018
Giả sử là ước chung của
và
2
2018 − 1Md 2018Md ⇒ 20182 Md
1Md ⇔ d = ±1
Khi đó ta có
,
suy ra

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
1
2018−
2018

=e

20182 −1
2018

,

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
20182 − 1
2018

Mũ – Lôgarit

m = 20182 − 1, n = 2018

Suy ra
là phân số tối giản, nên
2
m − n = −1
Vậy
.
f ( x ) = ( x 2 + 3x + 2 )

.

cos ( 2017π x )

( un )

Câu 21: [DS12.C2.4.D06.d] Cho hàm số
và dãy số
được xác định
un = log f ( 1) + log f ( 2 ) + ... + log f ( n )
bởi công thức tổng quát
. Tìm tổng tất cả các giá trị
2018
un = 1
n
của thỏa mãn điều kiện
?
A.

21

B.

18

n

n

k =1

k =1

3
C.
Hướng dẫn giải

D.

un = ∑ log f ( k ) = ∑ cos ( 2017π k ) log ( k + 1) + log ( k + 2 )  =
Ta có:

2018

k
− k
( chẵn) ( lẻ).

n = 2p
Trường hợp 1:
(Chẵn), khi đó ta có khai triển sau:
un = ( log 3 + log 4 + ... + log ( 2 p + 1) + log ( 2 p + 2 ) ) − ( log 2 + log 3 + ... + log ( 2 p ) + log ( 2 p + 1) )
.
Như vậy

un = log ( p + 1)

n = 2 p +1

un2018 = 1 ⇔ p = 9 ⇔ n = 18

cho nên

.

Trường hợp 1:
(Lẻ), khi đó ta có khai triển sau:
un = ( log 3 + log 4 + ... + log ( 2 p + 1) + log ( 2 p + 2 ) ) − ( log 2 + log 3 + ... + log ( 2 p + 2 ) + log ( 2 p + 3) )
.
Như vậy

un = − log ( 4 p + 6 )

un2018 = 1 ⇔ p = 1 ⇔ n = 3

cho nên

Kết luận: Tổng các giá trị của

Chọn A.

n

.
un2018 = 1

thỏa mãn điều kiện

là 21.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lơgarit

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ, HÀM
LÔGARIT MỘT BIẾN SỐ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:
Câu 22: [DS12.C2.4.D07.a] Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau khơng đúng?
x
1
y= ÷
[ 0;3]
2
A. Hàm số

có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn
.
x
( 0; 2 )
y=e
B. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên khoảng
.
y = log 2 x
[ 1;5)
C. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng
.
x
[ −1; 2 )
y=2
D. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
( 0; 2 )
y = ex
Vì hàm số
đồng biến trên khoảng
.
ln 2 x
y=
1; e3  .
x

Câu 23: [DS12.C2.4.D07.b] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên
4
1
9
ln 2 2
max
y
=
max
y
=
max
y
=
max
y
=
1;e3 
1;e3 
1;e3 
1;e3 
e2
e
e3
2









A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x = 1 ∈ 1, e3 
′
2


 ln x  ln x ( 2 − ln x ) y′ = 0 ⇔ 
.
y′ = 
=
2
÷
2
 x = e ∈ 1, e3 
x
x






Ta có
;
4
4
9
max
y= 2.
y ( 1) = 0; y ( e 2 ) = 2 ; y ( e3 ) = 3 .
3
1;e 
e


e
e
Vậy
y = x ( 2 − ln x )
[ 2;3]
Câu 24: [DS12.C2.4.D07.b] Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là
max y = e
max y = −2 + 2 ln 2
max y = 4 − 2 ln 2
max y = 1
[ 2;3]

A.

[ 2;3]

.

B.

[ 2;3]

. C.
Hướng dẫn giải

[ 2;3]

. D.

.

Chọn A.
y′ = 2 − ln x − 1 = 1 − ln x y′ = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e ∈ [ 2;3]
Ta có
;
.
y ( 2 ) = 4 − 2 ln 2 y ( 3) = 6 − 3ln 3 y ( e ) = e
Khi đó:
;
;
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lơgarit

max y = e
[ 2;3]

Do đó:

.
f ( x) = x 2 e x

[ −1;1]

Câu 25: [DS12.C2.4.D07.b] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
?
1
e
2e
0
e
B.
C.

D.
A.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
f / ( x ) = xe x ( x + 2 ) f / ( x ) = 0 ⇔ x = 0
[ −1;1]
x = −2
Trên đoạn
, ta có:
;
hoặc
(loại).
1
f ( −1) = ; f ( 0 ) = 0; f ( 1) = e
e
Ta có:
max f ( x ) = e
[ −1;1]

Suy ra:
VẬN DỤNG:

x, y ∈ ( 0; 2018 )
Câu 26: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hai số thực x, y phân biệt thỏa mãn
. Đặt

1 
y
x
S=

− ln
 ln
÷
y − x  2018 − y
2018 − x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

S≥

2
1009

B.

S≤

2
1009

S≥

C.
Hướng dẫn giải

4
1009

D.

S≤

4
1009

Theo định lý Lagrange ta có:
f ( y) − f ( x)
2018
2018
2
S=
= f '( u ) =
≥
=
2
y−x
u ( 2018 − u )  u + 2018 − u  1009

÷
2


.
t


f ( t ) = ln 
÷
 2018 − t  và u là số nằm giữa x và y .
Trong đó
Chọn A.

a

b

b<4

Câu 27: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hai số thực dương và thỏa mãn
. Biết giá trị nhỏ nhất của
4a b 2 a
7.4a − 2
P=
+ a
m
m
a
a 3
4
−
b
(
) b
m
,
n
n
n
biểu thức
là
với
là các số nguyên dương và

tối giản.
S = m+n
Tính
.
43
33
23
13
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lơgarit

a

4
x =  ÷ ( x > 1)
b

Biến đổi biểu thức và đặt
ta có
a
4
a
 ÷
7 4
x
7
27
b

P=
+  ÷ = f ( x) =
+ x ≥ min f ( x ) = f ( 3) =
3
3
16
( x − 1) 16 ( 1;+∞ )
  4 a  16  b 
  ÷ − 1÷
÷
 b 


.

2log3 x − log32 x

y=2

x
Câu 28: [DS12.C2.4.D07.c] Với giá trị nào của để hàm số
có giá trị lớn nhất?
2.
3.
2.
1.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
D = ( 0; +∞ )
y = 22log3 x − log3 x
Tập xác định của hàm số
là
.
2
2 log 3 x  2log3 x −log32 x
′  2
 2 − 2 log 3 x  2log3 x −log32 x
y′ = 22log3 x −log3 x = 
−
.ln 2 = 
.ln 2
÷2
÷2
 x ln 3 x ln 3 

 x ln 3 
Ta có
.
2
2 log 3 x  2log3 x −log3 x
 2
y′ = 0 ⇔ 
−
.ln 3 = 0 ⇔ log 3 x = 1 ⇔ x = 3
÷2
x ln 3 
 x ln 3
.
Bảng biến thiên
x
+∞
0
3

(

)

+

y′

−

0

2

y

2

y = 22log3 x − log3 x

Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số

đạt giá trị lớn nhất bằng
y = ( 20 x 2 + 20 x − 1283) e40 x

2

tại

x=3

.

Câu 29: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập hợp các
số tự nhiên là
−163.e280
157.e320
−8.e300
−1283
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
y′ = ( 40 x + 20 ) e 40 x + ( 20 x 2 + 20 x − 1283) 40e 40 x = ( 800 x 2 + 840 x − 51300 ) e 40 x
y′ = 0 ⇒ x = −

342
300
;x =
40
40

.

Bảng xét dấu đạo hàm

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x

−∞

y′

+

−

342
40

Mũ – Lôgarit
+∞

300
= 7,5
40

0 −

0 +

y ( 7 ) = −163.e 280 ; y ( 8 ) = 157.e320

.
min y = −163.e .
280

Vậy

y = x 2 + 3 − x ln x
Câu 30: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số

[ 1; 2]

M;N
. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và

M .N
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó tích
là:
2 7 + 4 ln 5.
2 7 − 4 ln 2.
2 7 − 4 ln 5.
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
D = ( 0; +∞ )
Tập xác định
.
x
x − x2 + 3
y′ =
− ( ln x + 1) =
− ln x

x2 + 3
x2 + 3
Ta có
.
x − x2 + 3
x2 + 3 > x ⇒ x − x2 + 3 < x − x ≤ 0 ⇔
<0
x2 + 3
Do
.
x ≥ 1 ⇒ ln x ≥ 0 ⇒ − ln x ≤ 0
Và
.
2
x− x +3
y′ =
− ln x < 0
[ 1; 2]
x2 + 3
Do đó
. Nên hàm số nghịch biến trên
.
M = y ( 1) = 2 N = y ( 2 ) = 7 − 2 ln 2
Khi đó
;
.
M .N = 2 7 − 4 ln 2
Vậy
.
2

2
y = 2 sin x + 2cos x
Câu 31: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị lớn nhất của
3
2
4
A. .
B. .
C. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
t = sin 2 x t ∈ [ 0;1]
Đặt
,
.
t
[ 0;1]
y = 2 + 21−t
Tìm GTLN của
trên
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

2 7 + 4 ln 2.

5

D. .

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
y′ = 2 ln 2 − 2 ln 2 = 0
1−t

t

f (0) = 3

f (1) = 3
;
;
max y = 3

⇔ 2t = 21−t ⇔ t =

1
f  ÷= 2 2
2

1
2

Mũ – Lôgarit

.

.

[ 0;1]

Vậy

.
y=

Câu 32: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất của hàm số
A.

π

sin 2 x

trên

Với mọi số thực
max y = π

, ta có

bằng?
D.

Chọn A.
x

¡

0
C. .
Hướng dẫn giải

1
B. .

.

( π)

sin 2 x ≤ 1

y=
và

( )
π

sin 2 x

≤ π
. Lại có

π

.

π 
y  ÷= π
4

. Suy ra

¡

.
f (x) = 2 x + 2 2− x
Câu 33: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
minf(x) = 4
minf(x) = −4
A.

x∈¡

.

B.

x∈¡

là:

.
C. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải

minf(x) = 5

D.

x∈¡

.

Chọn A.

f (x) = 2 x + 22− x = 2 x +

4
4
≥ 2 2 x. x = 4
x
2
2

min f ( x) = f (1) = 4
x∈¡

Vậy:

f ( x ) = x ( 2 − ln x )
[ 2;3] là
Câu 34: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
A. 1 .
B. 4 − 2ln 2 .
C. e .

D. −2 + 2ln 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
f ′ ( x ) = 1 − ln x
f′ x =0⇔ x=e
, cho ( )
f 2 = 4 − 2 ln 2 f ( 3) = 6 − 3ln 3
f e =e
Khi đó: ( )
,
và ( )
min f ( x ) = 4 − 2 ln 2
Nên [ 2;3]
.
y = x 2 − 2 ln x
m
M
Câu 35: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
trên
−1
e ; e 
là

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
M = e 2 − 2, m = e −2 + 2
A.

M = e−2 + 2, m = 1
.

B.

−2

M = e + 1, m = 1
C.

Mũ – Lôgarit

.
M = e − 2, m = 1
2

.

D.
Hướng dẫn giải

.

Chọn D.
e−1; e 

y = x 2 − 2 ln x
Hàm số

xác định và liên tục trên
 x = −1 ∉ e −1 ; e 


2
y′ = 0 ⇔ 
2 2x − 2
−
1
y′ = 2 x − =
 x = 1 ∈ e ; e 



x
x
, cho
−1
−2
y ( e ) = e + 2 y ( 1) = 1 y ( e ) = e2 − 2
Ta có:
,
,
2
M = e − 2, m = 1
Vậy
.

[ 1; 2]
y = x 2 ln x
Câu 36: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
1
1
1
min y = 0
min y = −
min y =
min y = −
2e
e
e
[ 1;2]
[ 1;2]
[ 1;2]
[ 1;2]
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 x = 0 ∉ [1, 2]

y = x 2 ln x ⇒ y ' = 2 x ln x + x ⇒ y ' = 0 ⇔ 
−1/2
 x = e ∉ [1, 2]
y (1) = 0; y (2) = 4 ln 2
⇒ Miny = 0
[1,2]

y = ln x −
Câu 37: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số
1 
 2 ; 2  .

A

.

1
M= .
2

B.

1 2
x + 1.
2

Tìm giá trị lớn nhất

M=

M = ln 2 − 1.

C.

7
− ln 2.
8

M

của hàm số trên

M=
D.

7
+ ln 2.
8

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Đặt

1
y = f ( x ) = ln x − x 2 + 1.
2

TXĐ: Đặt

1 
D =  ; 2
2 

f ( x)

thì

liên tục trên

D

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

1
1
y = ln x − x 2 + 1 ⇒ y′ = − x
2
x

1 

 x = 1∈  2 ; 2 ÷
1


y′ = 0 ⇔ − x = 0 ⇔ 

x
1 
 x = −1 ∉  ; 2 ÷
2 

f ( 1) =

1
2

1 7
1
f  ÷ = ln +
2 8 f ( 2 ) = ln 2 − 1
2
;
;
1 
 2 ; 2 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên

là

1
.
2
y = e x ( x 2 − x − 5)

[ 1;3]

Câu 38: [DS12.C2.4.D07.c] Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
3
−3
3
−5e
7e
2e
e3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
y = e x ( x 2 − x − 5 ) ⇒ y′ = e x ( x2 − x − 5) + e x ( 2 x − 1) = e x ( x 2 + x − 6 )

bằng:

x = 2

y′ = 0 ⇔ 
 x = −3
f ( 1) = −5e, f ( 2 ) = −3e 2 , f ( 3) = e3

max y = e3 .
Vậy

[ −2; 2]

y = 2| x|
Câu 39: [DS12.C2.4.D07.c] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
1
max y = 4;min y = −
max y = 4; miny =
4
4
A.
B.
1
max y = 1; miny =
max y = 4; miny = 1
4
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
t= x,
x ∈ [ −2; 2] ⇒ t ∈ [ 0; 2]
Đặt

với
f ( t ) = 2t
[ 0; 2] f ( t )
[ 0; 2]
Xét hàm
trên đoạn
;
đồng biến trên
max y = max f ( t ) = 4 min y = min f ( t ) = 1
[ −2;2]

[ −2;2]

[ 0;2]

trên

?

[ 0;2]

;
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x ∈ [ −2; 2] ⇒ x ∈ [ 0; 2 ]

Hoặc với

Mũ – Lôgarit
x

. Từ đây, suy ra:

x

20 ≤ 2 ≤ 22 ⇔ 1 ≤ 2 ≤ 4

y = x 2 + 3 − x ln x

[ 1; 2]

Câu 40: [DS12.C2.4.D07.c] Cho hàm số
trên đoạn
và giá trị nhỏ nhất là
4 ln 2 − 4 7
7 − 4 ln 2
4 ln 2 − 2 7
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
[ 1; 2]

Xét trên
hàm số liên tục.
x
y′ =
− ln x − 1 < 0
2
∀x ∈ [ 1; 2]
x +3
,
min y = y ( 2 ) = 7 − 2 ln 2
max y = y ( 1) = 2

D.

2 7 − 4 ln 2

.

x∈[ 1;2]

x∈[ 1;2]

Nên

. Tích của giá trị lớn nhất

và
max y. min y = 2 7 − 4 ln 2
x∈[ 1;2 ]

x∈[ 1;2]

Do đó:
VẬN DỤNG CAO:
m
Câu 41: [DS12.C2.4.D07.d] Tìm tất cả giá trị của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
sin x
m + sin x
1
4 +6
f ( x ) = sin x 1+sin x
9 +4
3
không nhỏ hơn .
2
13
2
m ≥ log 6 .
m ≥ log 6 .
m ≤ log 6 .
m ≤ log 6 3.
3
18
3
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn gải:

2sin x
sin x
2
m2
+
6
 ÷
 ÷
3
3 .
f ( x) =  
2sin x
2
1 + 4.  ÷
3
Hàm số viết lại
3
2
 ≤t ≤
sin x
2
2 .
t + nt
3
2
t =  ÷ ⇒ f ( t) =
m
2

1 + 4t

3
n = 6 > 0
Đặt
với
2 3
1
f ( t) ≥
 3 ; 2 
n>0
3
''
''
Bài tốn trở thành Tìm
để bất phương trình
có nghiệm trên đoạn
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25