DS_C8_GOC - KHOANG CACH

CHỦ ĐỀ 6. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. GÓC:
1. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 , (Q): A’x  B’ y  C’ z  D’  0
được ký hiệu: 0o �(( P), (Q)) �90o , xác định bởi hệ thức
AA'  BB'  CC'

cos(( P), (Q)) 

.
A2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2
Đặc biệt: ( P )  (Q)  AA' BB 'CC ' 0.
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
a)Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương u (a; b; c ) và

u ' (a' ; b' ; c ' ) là 
cos  

aa ' bb ' cc '

a b c . a' b' c'
Đặc biệt: (d )  (d ' )  aa'bb'cc' 0.
2

2

2

2

2

(0 o  90 o ).

2

b)Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (a; b; c ) và mp ( ) có vectơ
pháp tuyến n (A; B; C).

sin   cos(n, u ) 

Aa  Bb  Cc
2

2

2

2

2

2

(0 o  90 o ).

A B C . a b c
Đặc biệt: (d ) //( ) hoặc (d )  ( )  Aa  Bb  Cc 0.
II. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song.
a)Khoảng cách từ M ( x0 ; y 0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ) có phương trình

Ax  by  Cz  D  0 là:
d(M,(P)) 

Ax0  By0  Cz0  D

.
A2  B 2  C 2
b)Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa
hai đường thẳng.
a)Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ chỉ
phương u :

uuuuur r
�
M M; u�
�0
�
d(M , d) 
.
r
u

b)Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một
điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ
chỉ phương u ' là:

Trang
1/31


r ur uuuuur
�
u; u'�
.M M
� � 0
d( d, d') 
.
r ur
�
u; u'�
� �
d)Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách
từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Nhớ và vận dụng được cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng; biết cách khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
- Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng; biết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song;
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng
đến mặt phẳng song song.
- Nhớ và vận dụng được cơng thức góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng.

- Áp dụngđược góc và khoảng cách vào các bài toán khác.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A  1;  2; 2  đến mặt phẳng ( ) :
x  2 y  2 z  4  0 bằng:

1
13
.
D. .
3
3
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) : 2 x  y  2 z  4  0 và
A. 3.

Câu 2.

B. 1.

C.

( ) : 2 x  y  2 z  2  0 .

A. 2.

B. 6.

C.

10
.

3

D.

4
.
3

Câu 3.

Khoảng cách từ điểm M  3; 2; 1 đến mặt phẳng (P): Ax  Cz  D  0 , A.C.D �0 .

Câu 4.

Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
3A  C  D
A  2 B  3C  D
d ( M , ( P)) 
.
A. d (M ,( P)) 
B.
A2  C 2
A2  B 2  C 2
3A  C
3A  C  D
.
d ( M , ( P )) 
.
C. d ( M , ( P )) 
D.

A2  C 2
32  12
Tính khoảng cách giữa mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  4  0 và đường thẳng d:

�x  1  t
�
�y  2  4t .
�z  t
�

4
.
C. 0.
D. 2.
3
Khoảng cách từ điểm A  2; 4; 3 đến mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  1  0 và (  ) :
A.

Câu 5.

1
.
3

B.

x  0 lần lượt là d ( A, ( )) , d ( A, (  )) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
A. d  A, ( )   3 . d  A, (  )  .
B. d  A, ( )   d  A, (  )  .

C. d  A, ( )  = d  A, (  )  .

D. 2. d  A, ( )  = d  A, (  )  .
Trang
2/31


Câu 6.

Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P): 2 x  y  3 z  4  0 nhỏ nhất?
A. M  0; 2;0  .

Câu 7.

B. M  0; 4;0  .

Khoảng cách từ điểm M  4; 5;6  đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng:
A. 6 và 4.

Câu 8.

� 4 �
0; ; 0 �.
D. M �
� 3 �

C. M  0; 4;0 .

Tính

B. 6 và 5.

khoảng

cách

C. 5 và 4.
A  x0 ; y0 ; z0 
điểm

từ

D. 4 và 6.
đến

mặt

phẳng

( P) : Ax  By  Cz  D  0 , với A.B.C.D �0 . Chọn khẳng định đúngtrong các
khẳng định sau:

A. d  A,( P)   Ax0  By0  Cz0 .
C. d  A,( P )  
Câu 9.

Ax0  By0  Cz0  D
A2  C 2

.

B. d  A,( P)  

Ax0  By0  Cz0

D. d  A,( P)  

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2

.

A2  B 2  C 2

.

Tính khoảng cách từ điểm B  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Chọn
khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
y0  1
.
A. y0 .
B. y0 .
C.
2

D. y0  1 .

Câu 10. Khoảng cách từ điểm C  2; 0; 0  đến mặt phẳng (Oxy) bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D.

2.

Câu 11. Khoảng cách từ điểm M  1;2;0  đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz). Chọn
khẳng định saitrong các khẳng định sau:
A. d  M ,(Oxz )   2.
B. d  M ,(Oyz )   1.
C. d  M ,(Oxy )   1.

D. d  M ,(Oxz )   d  M ,(Oyz )  .

Câu 12. Khoảng cách từ điểm A  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 ,
với D �0 bằng 0 khi và chỉ khi:
A. Ax0  By0  Cz0 � D.

B. A �( P ).

C Ax0  By0  Cz0   D.

D. Ax0  By0  Cz0 . = 0.

Câu 13. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định
đúngtrong các khẳng định sau:

A. (Q): x  y  z – 3  0.
B. (Q): 2 x  y  2 z – 3  0.
C. (Q): 2 x  y  – 2 z  6  0.
D. (Q): x  y  z – 3  0.
Hướng dẫn giải
Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng
cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng.
�x  1  t
�
Câu 14. Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường thẳng d1 : �y  2t , t �R và mặt
�z  3  t
�
phẳng (P): z  3  0 lần lượt là d ( H , d1 )

và d ( H , ( P)) . Chọn khẳng định

đúngtrong các khẳng định sau:
A d  H , d1   d  H ,( P )  .

B. d  H ,( P)   d  H , d1  .

Trang
3/31


C. d  H , d1   6.d  H ,( P )  .

D. d  H ,( P)   1 .

�x  2  t

�
Câu 15. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d : �y  4  3t , t �R bằng:
�z  2  5t
�
1
4
5
.
.
.
A
B.
C.
D. 0
35
35
35
r
r
r
r
u

2;

2;
0
;
v
2; 2; 2 . Góc giữa vectơ u và vectơ v bằng:

Câu 16. Cho vectơ 




A. 135�.



B. 45�.

C. 60�.

D. 150�.

�x  2  t
�x  1  t
�
�
Câu 17. Cho hai đường thẳng d1 : �y   1  t và d2 : �y  2
. Góc giữa hai đường
�z  3
�z   2  t
�
�
thẳng d1 và d2 là:
A 30�
.
B. 120�.
C. 150�.

D. 60�.
Câu 18. Cho đường thẳng  :

x
y z

 và mặt phẳng (P): 5x  11y  2z  4  0 . Góc
1 2 1

giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) là:
A. 60�.
B.  30�
.
C. 30�
.
D.  60�.
Câu 19. Cho mặt phẳng ( ): 2x  y  2z  1  0; ( ) : x  2y  2z  3  0 . Cosin góc giữa
mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) bằng:

4
4
4
.
.
B.  .
C.
D. 
9
3 3
3 3

Câu 20. Cho mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z  2  0 và đường thẳng d là giao tuyến của
hai mặt phẳng ( ) : x  2y  1  0; ( ) : x  2z  3  0 . Gọi  là góc giữa đường
A.

4
9

thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A. 60�.
B. 45�.
C. 30�
.
D. 90�.
Câu 21. Cho mặt phẳng ( ) : 3x  2y  2z  5  0 . Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt
.
phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( ) một góc 45�
A. Vơ số.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 22. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60�
A. (P ): 2x  11y  5z  3  0 và (Q) : x  2y  z  2  0 .
B. (P ) : 2x  11y  5z  3  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .
C. (P ) : 2x  11y  5z  21  0 và (Q) : 2x  y  z  2  0 .
D. (P ) : 2x  5y  11z  6  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .
r
r
r r
Câu 23. Cho vectơ u(1; 1;  2), v(1; 0; m) . Tìm m để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng
45�.

Một học sinh giải như sau:
r r
1  2m
cos
u
,v 
Bước 1: Tính
6. m2  1

 

r r
Bước 2: Góc giữa u, v có số đo bằng 45�nên

1  2m
6. m2  1



1
2

� 1  2m  3(m2  1) (*)
Trang
4/31


Bước 3: Phương trình (*) � (1  2m)2  3(m2  1)
�

m 2  6
� m2  4m  2  0 � �
�
m  2  6.
�

Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1.
D. Đúng.
Câu 24. Cho hai điểm A(1;  1; 1); B(2;  2; 4) . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo
với mặt phẳng ( ) : x  2y  z  7  0 một góc 60�.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. Vơ số.

Câu 25. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng:
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.CD
AB.CD
r uuur .
r uuur .
A. cos  uuu
B. cos  uuu

AB
. CD
AB . CD
uuu
r uuur
uuu
r uuur
�
ABCD
.
AB.CD �
�
�
r uuur .
C. cos  uuu
D. cos  uuu
r uuur .
�
�
AB,CD
AB . CD
�
�
Câu 26. Cho hình lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh BB', CD, A' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là:
A. 30o.
B. 120o.
C. 60o.
D. 90o.
Câu 27. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đơi một vng góc.  ABC cân,

cạnh bên bằng a, AD  2a . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là:

4
A. .
5

2

B. 

5

.

4

C.

5

.

D.

1
5

.

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC =

5.
SAC vuông cân tại A. K là trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin góc
giữa đường thẳng CK và AB?
4

.

2

B.

.

4

C.

.

2

.
17
11
22
22
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(3;  4; 5); B(2; 7; 7);
C(3; 5; 8); D(2; 6; 1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60�?
A.

D.

A. DB và AC.
B. AC và CD.
C. AB và CB.
D.CB và CA.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1;
– 1) tạo với trục Oz một góc 30�?
A. 2(x  2)  (y  1)  (z  2)  3  0.

B. (x  2)  2(y  1)  (z  1)  2  0.

C. 2(x  2)  (y  1)  (z  2)  0.
D. 2(x  2)  (y  1)  (z  1)  2  0.
Câu 31. Cho mặt phẳng (P ):3x  4y  5z  8  0 . Đường thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ): x  2y  1  0; ( ): x  2z  3  0 . Góc giữa d và (P) là:
.
.
.
.
A. 120�
B. 60�
C. 150�
D. 30�
uuu
r uuur
Câu 32. Gọi  là góc giữa hai vectơ AB, CD . Khẳng định nào sau đây là đúng:
uuu
r uuur

uuu
r uuur
�
AB.CD �
AB.CD
�
�
r uuur .
A. cos  uuu
B. cos  uuu
r uuur .
AB . CD
AB . CD
Trang
5/31


uuu
r uuur
AB.CD
r uuur .
C. sin  uuu
AB . CD

uuu
r uuur
AB.DC
r uuur
D. cos  uuu
AB . DC

Câu 33. Cho ba mặt phẳng (P ): 2x  y  2z  3  0; (Q): x  y  z  2  1; (R): x  2y  2z  2  0
. Gọi 1;  2;  3 lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và
(P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.
A. 1   3   2.
B.  2   3  1.
C.  3   2  1.

D. 1   2   3.

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng    : x  2 y  2 z  m  0
vàđiểm A  1;1;1 . Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng    bằng 1?
A.  2.
B.  8.

C.  2 hoặc 8 .
D. 3.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng    cắt các trục Ox, Oy, Oz
lần lượt tại 3 điểm A  2;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4  . Khi đó khoảng cách từ gốc
tọa độ O đến mặt phẳng  ABC  là
A.

61
.
12

B.4.

C.

12 61
.
61

D.3.

�y  0
Oxyz cho điểm M  1;0;0  và
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ �
2 x  y  2z  2  0
�
N  0;0; 1 ,

mặt

phẳng

 P

qua

điểm M , N

và

tạo

với

mặt

phẳng

 Q  : x  y  4  0 mợt góc bằng 45O . Phương trình mặt phẳng  P  là
�y  0
A. �
.
2x  y  2z  2  0
�
2x  y  2z  2  0
�
C. �
.
2x  y  2z  2  0
�

y0
�
B. �
.
2x  y  2z  2  0
�
2x  2z  2  0
�
.
D. �
2x  2z  2  0
�
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 0; 1 , đường thẳng d qua điểm A và

tạo với trục Oy góc 45O . Phương trình đường thẳng d là
y
z 1
�x  2


�2
1
5
A. �
.
y
z 1
�x  2
� 2   5  1
�
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
C. �
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
�

y
z 1
�x  2



�2
1
5
B. �
y
z 1
�x  2
� 2   5  1
�
y
z 1
�x  2
� 2   5  1
D. �
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
�

Câu 38. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

 P : x  y  z  3  0

 Q  : x  y  z  1  0 . Khi đó mặt phẳng  R  vng góc với
 Q  sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  R  bằng
là
A. 2 x  2 z  2 2  0 .

và mặt phẳng

mặt phẳng  P  và
2 , có phương trình

B. x  z  2 2  0 .
Trang
6/31


�
xz2 2 0
D. �
.
xz2 2 0
�

C. x  z  2 2  0 .

Câu 39. Tập hợp các điểm M  x; y; z  trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng

 P  : x  y  2z  3  0

và  Q  : x  y  2 z  5  0 thoả mãn:

A. x  y  2 z  1  0 .

B. x  y  2 z  4  0 .

C. x  y  2 z  2  0 .

D. x  y  2 z  4  0 .

Câu 40. Tập hợp các điểm M  x; y; z  trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z  7  0 và mặt phẳng  Q  :2 x  y  2 z  1  0

thoả mãn:

x  3y  4z  8  0
�
B. �
.
3x  y  6  0
�
D. 3 x  3 y  4 z  8  0.

A. x  3 y  4 z  8  0.

C. 3 x  y  6  0.
Câu 41. Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng

 P  : x  y  2z  3  0

và  Oyz  .Khitọa độ điểm M là

� 3
� � 3
�

;0;0 �và �
; 0; 0 �
.
A. �
1 6
�
�
� � 6 1
� 6 1
�
;0;0
C. �
�
� 3
�và
�
�

Câu 42. Trong
d:

không

� 3
� � 3
�
;0;0 �và �
; 0; 0 �
.
B. �

1 6
1 6
�
�
� �

� 6 1
�
;
0;
0
.
�
�
� 3
�
�
�

gian Oxyz

cho

�
�
1 6
;
0;
0
D. �

�
� 3
�và
�
�

điểm

�
�
1 6
;
0;
0
.
�
�
� 3
�
�
�

A  3; 2; 4 

và

đường

thẳng

x  5 y 1 z  2


. Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một
2
3
2

khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là
A.  5;1; 2  và  6; 9; 2  .

B.  5;1; 2  và  1; 8; 4  .

C.  5; 1; 2  và  1; 5; 6  .

D.  5;1; 2  và  1; 5; 6  .

Câu 43. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A  1; 2;1 , B  2;1;3 ,

C  2; 1;1 và D  0;3;1 . Phương trình mặt phẳng

 P

đi qua 2 điểm A, B sao

cho khoảng cách từ C đến  P  bằng khoảng cách từ D đến  P  là

4x  2 y  7 z 1  0
�
.

A. �
2 x  3z  5  0
�

B. 2 x  3 z  5  0.

C. 4 x  2 y  7 z  15  0.

4 x  2 y  7 z  15  0
�
.
D. �
2 x  3z  5  0
�

Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi  P  là mặt phẳng chứa đường
thẳng d :

x 1 y  2
z


và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào
1
1
2

sau đây thuộc mp  P  ?
A. E  3;0; 4  .

B. M  3;0; 2  .

C. N  1; 2; 1 .

D. F  1; 2;1 .

Trang
7/31


Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M  0;  1; 2  , N  1; 1; 3 .
Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M , N và tạo với mặt phẳng  Q  :2 x  y  2 z  2  0
góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A  1; 2;3 cách mp  P  một khoảng là
7 11
4 3
D.
.
.
11
3
Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho  P  : x  2 y  2 z  1  0 và 2 đường
A. 3.

B.

5 3
.
3

C.

x 1 y z  9
x 1 y  3 z  1
 
; 2 :


.
1
1
6
2
1
2
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 , M có toạ độ là các số nguyên, M

thẳng 1 :

cách đều  2 và  P  . Khoảng cách từ điểm M đến mp  Oxy  là
A. 3.

B. 2 2.

C. 3 2.

D. 2.

Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 2 điểm A  1;5;0  ; B  3;3; 6  và
x 1 y 1 z


 . Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho
2
1
2
diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là

đường thẳng d :
A. 29.

B. 29.

C. 33.

D. 7.

Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A  10; 2;1 và đường
thẳng d :

x 1 y z 1
 
. Gọi  P  là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với
2
1
3

đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và  P  lớn nhất. Khoảng cách
từ điểm M  1; 2;3 đến mp  P  là
A.

97 3

.
15

2 13
3 29
D.
.
.
13
29
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng
d:

x 1 y z  2
 
. Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng
2
1
2

B.

76 790
.
790

C.

cách từ A đến  P  lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm M  1; 2;  1 đến mặt
phẳng  P  .

4
11
D. .
.
3
18
Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0

A.

11 18
.
18

B. 3 2.

C.

�x  1  t
�x  3  t �
�
�
và hai đường thẳng d : �y  t
; d ' : �y  1  t �.
�z  2  2t
�z  1  2t �
�
�
Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với  P  ; cắt d , d �và
tạo với d góc 30O. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

1
1
1
2
.
.
A.
B.
C.
D. .
.
2
5
2
3
Trang
8/31


Câu 51. Trong

không

gian

với

hệ

A  1;0;1 ; B  3; 2;0  ; C  1; 2; 2  . Gọi

trục

 P

toạ

độ

Oxyz , cho

3

điểm

là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng

khoảng cách từ B và C đến  P  lớn nhất biết rằng  P  không cắt đoạn BC .
Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng  P  ?
A.  G  2; 0; 3 .
Câu 52. Trong

không

B. F  3; 0; 2  .
gian

với

hệ

C.  E  1;3;1 .
trục

toạ

độ

D.  H  0;3;1
Oxyz ,

cho

A  1; 0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  trong đó b, c dương và mặt phẳng

các

điểm

 P  : y  z  1 0 .

1
Biết rằng mp  ABC  vng góc với mp  P  và d  O,  ABC    , mệnh đề nào sau
3
đây đúng?
A. b  c 1.
B. 2b  c 1.
C. b  3 c  1.
D. 3b  c  3.
Oxyz ,

Câu 53. Trong không gian với hệ trục toạ độ
cho 3 điểm

A  1; 2;3 ; B  0;1;1 ; C  1;0;  2  .
Điểm M � P  : x  y  z  2  0 sao cho giá trị của biểu thức T  MA2  2MB 2  3MC 2
nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách  Q  :2 x  y  2 z  3  0 một khoảng bằng
101
2 5
.
D.
.
54
3
Cho mặt phẳng ( ) : x  y  2z  1  0; ( ) : 5x  2y  11z  3  0 . Góc giữa mặt
phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) bằng
A. 120�
.
B. 30�
.
C. 150�
.
D. 60�
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình x  y  3  0. Điểm H(2; 1; 2) là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O
trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
.
.
.
.

A. 45�
B. 30�
C. 60�
D. 120�
r
r
r r
r r
r

Cho vectơ u  2; v  1; u, v  . Gócgiữa vectơ vvà vectơ u  v bằng:
3
60
�
.
30
�
.
.
.
A.
B.
C. 90�
D. 45�
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

A.
Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.
Câu 57.

121
.
54

B. 24.

C.

 

d:

�
2x  3y  3z  9  0. Góc giữa đường thẳng d và
x 3 y 1 z 1


, :�
9
5
1
�x  2y  z  3  0

đường thẳng  bằng
A. 90�
.

B. 30�
.
Câu 58. Trong không gian với hệ

C. 0�
.
trục toạ độ

( ) : 2x  y  2z  10  0; đường thẳng d :

Oxyz,

D. 180�
.
cho mặt

phẳng

x  1 1 y z  3
. Góc giữa đường


1
2
3

thẳng d và mặt phẳng ( ) bẳng
.
.
.

.
A. 30�
B. 90�
C. 60�
D. 45�
Câu 59. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình các đường thẳng
qua A(3; – 1;1), nằm trong (P): x – y  z – 5  0 và hợp với đường thẳngd:

x y2 z

 một góc 45 0 là
1
2
2
Trang
9/31


�x  3  t
�x  3  3t
�
�
A. 1 : �y   1  t, t �R;  2 : �y   1  2t, t �R.
�z  1
�z  1  5t
�
�
�x  3  2t
�x  3  15t
�

�
B. 1 : �y   1  2t, t �R;  2 : �y  1  38t, t �R.
�z  1
�z  1  23t
�
�
�x  3  t
�x  3  15t
�
�
C. 1 : �y   1  t, t �R;  2 : �y   1  8t, t �R.
�z  1
�z  1  23t
�
�
�x  3  t
�x  3  15t
�
�
D. 1 : �y  1  t, t �R;  2 : �y  1  8t , t �R.
�z  1  t
�z  1  23t
�
�

Câu 60. Cho hình lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh A'B', BC, DD ' . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng
(MNP) là
.
.

.
.
A. 30�
B. 120�
C. 60�
D. 90�
Câu 61. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi(P) là mặt phẳng chứa đường
�x  1  2t
�
thẳng d : �y  2  t và tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng
�z  3t
�

cách từ điểm A  1; 4; 2  đến mp  P  là
A.

12 35
.
35

B.

4 3
.
3

C.

20 6
.

9

D.

2 6
.
3

Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M  2;1; 12  , N  3;0; 2  . Gọi

 P

là mặt phẳng đi qua M , N và tạo với mặt phẳng  Q  :2 x  2 y  3z  4  0 góc

có số đo nhỏ nhất. Điểm A  3;1;0  cách mp  P  một khoảng là
A.

6 13
.
13

B.

22
.
11

C.

6

.
2

D.

1
.
22

Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho  P  : x  y  z  7  0 và hai đường
x 1 y 1 z  2
x  2 y 3 z  4


; 2 :


.
1
1
1
2
3
5
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 , M có toạ độ là các số dương, M cách

thẳng 1 :

đều  2 và  P  . Khoảng cách từ điểm M đến mp( P ) là
A. 2 3.

B. 2.

C. 7.

D.

2
.
3

Trang
10/31


Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 2 điểm A  1; 4;3 ; B  1;0;5  và
�x  3t
�
đường thẳng d : �y  3  2t . Gọi C là điểm trên đường thẳng d  sao cho diện
�z  2
�

tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa điểm C và gốc toạ độ O là
A.

B. 14.

6.

C.

D. 6.

14.

Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng
d:

x 1 y z  2
 
. Gọi  P  là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường
2
1
2

thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và  P  lớn nhất. Khoảng cách từ điểm

B  2;0;  3 đến mp  P  là
A. 7 2 .
3

B. 5 2 .
3

C. 7.

D.

18
.

18

Câu 66. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A  4; 3; 2  và đường thẳng
�x  4  3t
�
d : �y  2  2t . Gọi
�z  2  t
�

 P

là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng

cách từ A đến  P  lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm B  2;1; 3 đến mặt
phẳng  P  đó.
A. 2 3.
Câu 67. Trong

B. 2.
khơng

gian

C. 0.
với

hệ

trục

toạ

D. 38.
Oxyz , cho

độ

3

điểm

A  1; 1;  2  ; B  1; 2; 1 ; C  3; 4; 1 . Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng
khoảng cách từ B và C đến  P  lớn nhất biết rằng (P) không cắt đoạn BC .
Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng  P  ?
A. F  1; 2; 0  .
Câu 68. Trong

B.  E  2; 2;1 .

không

gian

với

hệ

C.  G  2;1; 3 .
trục

toạ

D.  H  1; 3;1 .

độ Oxyz,

cho

A  a;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; c  trong đó a, c dương và mặt phẳng
Biết rằng mp  ABC  vng góc với mp  P  và d  O,  ABC   
sau đây đúng?
A. a  4 c  3.
Câu 69. Trong không

B. a  2 c  5.
gian với hệ

C. a  c 1.
trục toạ độ

các

điểm

 P  :2 x  z  3  0 .

2
, mệnh đề nào
21

D. 4a  c  3.
Oxyz ,
cho 3

điểm

A  2; 2; 3 ; B  1; 1; 3 ; C  3; 1;  1 . Điểm M � P  : x  2 z  8  0 sao cho giá trị của
biểu

thức

T  2MA2  MB 2  3MC 2

 Q  :  x  2 y  2z  6  0

nhỏ

nhất.

Khi

đó,

điểm

M

cách

một khoảng bằng

2
4
A. .
B.2.
C. .
D. 4.
3
3
Câu 70. Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1;– 6) đến mặt phẳng ( ) : x  y  z  1  0 .
Trang
11/31


A. 8 3 .
B. 9.
C. 3 3.
D. 3.
3
Câu 71. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): 2 x  y  2 z  0 và (Q)
2x  y  2z  7  0 .

7
7
.
B. 7.
C. .
D. 2.
9
3

Câu 72. Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) bằng
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Câu 73. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  4  0 và đường thẳng d:
A.

�x  1  5t
�
�y  2  2t .
�z  4t
�
8
4
A. .
B. 0.
C. .
D. 4.
3
3
Câu 74. Khoảng cách từ giao điểm A của mặt phẳng ( R ) : x  y  z  3  0
đến mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  1  0 bằng

7
5
4
A. .
B. .
C. .

3
3
3
Câu 75. Cho hai mặt phẳng ( P ) : x  y  2 z  1  0, (Q) : 2 x  y  z  0

với trục Oz

D. 0.
và đường thẳng d:

�x  1  3t
�
�y  2  t .
�z  1  t
�
Gọi d (d , ( P )) , d (d , (Q )) , d (( P), (Q)) lần lượt là khoảng cách giữa đường thẳng d
và (P), d và (Q), (P) và (Q). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
6
C. d (( P ),(Q))  0.
D. d (d , (Q ))  0.
.
2
Câu 76. Khoảng cách từ điểm C (2;1; 0) đến mặt phẳng (Oyz) và đến đường thẳng  :
A. d (d , ( P ))  0.

B. d ( d , (Q )) 

�x  1  t
�
�y  4  t lần lượt là d1 và d 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

�z  6  2t
�
sau:
A. d1  d 2 .
B. d1  d 2 .
C. d1  0.
D. d 2 =1.
Câu 77. Khoảng cách từ điểm B(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng 1. Chọn khẳng định
đúngtrong các khẳng định sau:
A. (P): 2 x  y  – 2 z  6  0.
B. (P): x  y  z – 3  0.
B. (P): 2 x  y  2 z – 2  0.
D. (P): x  y  z – 3  0 .
Câu 78. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng    :2 x  y  2 z  1  0 và mặt phẳng

   :2 x  y  2 z  5  0 . Tập hợp các điểm M cách đều mặt phẳng    và   
A. 2 x  y  2 z  3  0.
C. 2 x  y  2 z  3  0.

B. 2 x  y  2 z  3  0.
D. 2 x  y  2 z  3  0.

Trang
12/31

là


Câu 79. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng    : x  2 y  2 z  1  0 và mặt phẳng

   : 2 x  y  2 z  1  0 . Tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng   

và    là

x y20
x y20
�
�
.
.
A. �
B. �
3x  3 y  4 z  4  0
3x  3 y  4 z  4  0
�
�
x y20
x y20
�
�
.
.
C. �
D. �
3x  3 y  4 z  4  0
3x  3 y  4 z  4  0
�
�
D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A B A C A D A C C A B D A C C A A D A B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D C A D D A C C B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A D A C A A B A D C C A A A B A C A D A

Trang
13/31


Câu 1.

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A  1;  2; 2  đến mặt phẳng ( ) :
x  2 y  2 z  4  0 bằng:

A. 3.

B. 1.

C.

13
.
3

D.

1
.
3

Hướng dẫn giải
1.x A  2. y A  2.z A  4
d ( A, ( )) 
 1.
12  22  (2) 2
Câu 2.

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) : 2 x  y  2 z  4  0 và
( ) : 2 x  y  2 z  2  0 .

A. 2.

B. 6.

C.

10
.
3

D.

4
.
3

Hướng dẫn giải
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm
bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
( ) .
Ta
lấy
điểm
H(2;
0;
0)
thuộc
Khi
đó

d  ( ),(  )   d  H ,(  )  

2.2  1.0  2.0  2
22  (1) 2  (2) 2

 2.

Câu 3.

Khoảng cách từ điểm M  3; 2; 1 đến mặt phẳng (P): Ax  Cz  D  0 , A.C.D �0 .

Câu 4.

Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
3A  C  D

A  2 B  3C  D
d ( M , ( P )) 
.
A. d ( M , ( P)) 
B.
A2  C 2
A2  B 2  C 2
3A  C
3A  C  D
.
d ( M , ( P )) 
.
C. d ( M , ( P)) 
D.
A2  C 2
32  12
Tính khoảng cách giữa mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  4  0 và đường thẳng d:

�x  1  t
�
�y  2  4t .
�z  t
�

1
4
.
B. .
C. 0.
D. 2.

3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) .
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách
từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng.
Ta lấy điểm H  1; 2; 0  thuộc đường thẳng d. Khi đó:
A.

d (d , ( ))  d ( H , ( )) 
Câu 5.

2.1  1.2  2.0  4

4
 .
22  (1) 2  (2) 2 3

Khoảng cách từ điểm A  2; 4; 3 đến mặt phẳng ( ) : 2 x  y  2 z  1  0 và (  ) :

x  0 lần lượt là d ( A, ( )) , d ( A, (  )) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
Trang
14/31


A. d  A, ( )   3 . d  A, (  )  .

B. d  A, ( )   d  A, (  )  .

C. d  A, ( )  = d  A, (  )  .

D. 2. d  A, ( )  = d  A, (  )  .

Hướng dẫn giải
2.x A  y A  2.z A  1
x
d  A, ( )  
 1 ; d  A, (  )   A  2.
22  12  22
12
Kết luận: d  A, (  )   2.d  A, ( )  .
Câu 6.

Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P): 2 x  y  3 z  4  0 nhỏ nhất?
A. M  0; 2;0  .

Câu 7.

B. M  0; 4;0  .

� 4 �
0; ; 0 �.
D. M �
� 3 �

C. M  0; 4;0 .

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của
trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y
=  4. Vậy M(0;  4;0).
Cách giải khác
Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so
sánh chọn đáp án.
Khoảng cách từ điểm M  4; 5;6  đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng:
A. 6 và 4.
Hướng dẫn giải

B. 6 và 5.

C. 5 và 4.

D. 4 và 6.

d  M ,  Oxy    z M  6 ; d ( M , (Oyz ))  xM  4.

Câu 8.

Tính

khoảng

cách

từ

điểm

A  x0 ; y0 ; z0 

đến

mặt

phẳng

( P) : Ax  By  Cz  D  0 , với A.B.C.D �0 . Chọn khẳng định đúngtrong các
khẳng định sau:

A. d  A,( P)   Ax0  By0  Cz0 .
C. d  A,( P )  
Câu 9.

Ax0  By0  Cz0  D
A2  C 2

.

B. d  A,( P)  

Ax0  By0  Cz0

D. d  A,( P)  

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2

.

A2  B 2  C 2

.

Tính khoảng cách từ điểm B  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Chọn
khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
y0  1
.
A. y0 .
B. y0 .
C.
2

D. y0  1 .

Câu 10. Khoảng cách từ điểm C  2; 0; 0  đến mặt phẳng (Oxy) bằng:
A. 0.
Hướng dẫn giải

B. 2.

C. 1.

D.

2.

Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên d  C ,(Oxy)   0

Câu 11. Khoảng cách từ điểm M  1;2;0  đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz). Chọn
khẳng định saitrong các khẳng định sau:
A. d  M ,(Oxz )   2.
B. d  M ,(Oyz )   1.
C. d  M ,(Oxy )   1.

D. d  M ,(Oxz )   d  M ,(Oyz )  .

Trang
15/31


Câu 12. Khoảng cách từ điểm A  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 ,
với D �0 bằng 0 khi và chỉ khi:
A. Ax0  By0  Cz0 � D.

B. A �( P ).

C Ax0  By0  Cz0   D.

D. Ax0  By0  Cz0 . = 0.

Câu 13. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Chọn khẳng định
đúngtrong các khẳng định sau:
A. (Q): x  y  z – 3  0.
B. (Q): 2 x  y  2 z – 3  0.
C. (Q): 2 x  y  – 2 z  6  0.
D. (Q): x  y  z – 3  0.
Hướng dẫn giải
Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng

cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng.
�x  1  t
�
Câu 14. Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường thẳng d1 : �y  2t , t �R và mặt
�z  3  t
�
phẳng (P): z  3  0 lần lượt là d ( H , d1 )

và d ( H , ( P)) . Chọn khẳng định

đúngtrong các khẳng định sau:
A d  H , d1   d  H ,( P )  .

B. d  H ,( P)   d  H , d1  .

C. d  H , d1   6.d  H ,( P )  .

D. d  H ,( P)   1 .

Hướng dẫn giải
Vì H thuộc đường thẳng d1 và H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ
điểm H đến đường thẳng d1 bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt
phẳng (P) bằng 0.

�x  2  t
�
Câu 15. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d : �y  4  3t , t �R bằng:
�z  2  5t
�
1

4
5
.
.
.
A
B.
C.
D. 0
35
35
35
Hướng dẫn giải
+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với (P). Viết phương trình (P)
+ Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và (P). Tìm tọa độ H
+ Tính độ dài EH.
Khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d bằng EH.
Cách giải khác:
Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng
d bằng 0.
r
r
r
r
u

2;

2;
0

;
v
2; 2; 2 . Góc giữa vectơ u và vectơ v bằng:
Câu 16. Cho vectơ 






A. 135�.
B. 45�.
C. 60�.
Hướng dẫn giải
rr
r r
u.v
2. 2  2. 2  2.0
cos(u, v)  r r 
Ta có
2
u. v
(2)2  (2)2 .
2  2

   

D. 150�.

2


 22

1

r r
2 � (u, v)  135�.

Trang
16/31


�x  2  t
�x  1  t
�
�
Câu 17. Cho hai đường thẳng d1 : �y   1  t và d2 : �y  2
. Góc giữa hai đường
�z  3
�z   2  t
�
�
thẳng d1 và d2 là:
A 30�
.
Hướng dẫn giải

B. 120�.

C. 150�.

D. 60�.

ur uu
r
Gọi u1; u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
ur
uu
r
u1  (1; 1; 0); u2  (1; 0; 1)

Áp dụng cơng thức ta có cos d1,d2 

uu
r uu
r
u
.
u
uu
r uu
r
1
1 2
1
 cos u1, u2  uu
 .
r uu
r 

1  1. 1  1 2
u1 . u2





�  d1,d2   60�.
Câu 18. Cho đường thẳng  :

x
y z

 và mặt phẳng (P): 5x  11y  2z  4  0 . Góc
1 2 1

giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) là:
A. 60�.
B.  30�
.
C. 30�
.
Hướng dẫn giải

D.  60�.

r r

Gọi u; n lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng  và
r

r
mặt phẳng (P). u   1;  2; 1 ; n   5; 11; 2
Áp

dụng

cơng

thức

ta

có

rr
un
.
r r
1.5 11.2  1.2
1
sin ,(P )  cos u, n  r r 
 .
u. n
52  112  22 . 12  22  12 2

 





� , P   30�
.

Câu 19. Cho mặt phẳng ( ): 2x  y  2z  1  0; ( ) : x  2y  2z  3  0 . Cosin góc giữa
mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) bằng:
4
9
Hướng dẫn giải

4
B.  .
9

A.

C.

4
3 3

4

D. 

.

3 3

.

uur uur

Gọi n , n lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) và ( ) .


uur

uur

Ta có n (2;  1; 2); n (1; 2;  2) .
Áp dụng công thức:

uur uur
n . n
uur uur
cos(( ),( ))  cos(n , n )  uur uur 
n . n

2.1 1.2 2.2
2  (1)  2 . (1  2  (2)
2

2

2

2

2

2



4
.
9

Câu 20. Cho mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z  2  0 và đường thẳng d là giao tuyến của
hai mặt phẳng ( ) : x  2y  1  0; ( ) : x  2z  3  0 . Gọi  là góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A. 60�.
B. 45�.
C. 30�
.
D. 90�.
Trang
17/31


Hướng dẫn giải
�
�x 
2t
�
� 1
Đường thẳng d có phương trình: �y   t , t �R . Suy ra VTCP của d là
� 2
3

�
z   t
�
�
2
uu
r
ud (2; 1; 1)
uur r
ud.n
uur r
2.3  1.4  1.5
3

Ta có sin d,(P )  cos ud, n  uur r 
.
2
u .n
22  12  12 . 32  42  52





d

� (d,(P ))  60�.

Câu 21. Cho mặt phẳng ( ) : 3x  2y  2z  5  0 . Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt
.

phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( ) một góc 45�
A. Vơ số.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
uur
Gọi n  a; b; c là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) cần lập.

uur uur
n . n
uur uur
cos ( ),( )  cos n , n  uur uur 
n . n





3.a 2.b  2.c
32  (2)2  22 . a2  b2  c2



2
2

� 2(3a  2b  2c)2  17(a2  b2  c2)
Phương trình trên có vơ số nghiệm.

uur
Suy ra có vơ số vectơ n (a; b; c) là véc tơ pháp tuyến của ( ) . Suy ra có vơ
số mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựng hình.
Giả sử tồn tại mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán. (Đi qua A và tạo
với mặt phẳng ( ) một góc 45�). Gọi  là đường thẳng đi qua A và vng
góc với mặt phẳng ( ) . Sử dụng phép quay theo trục  với mặt phẳng ( ) .
Ta được vô số mặt phẳng ( ') thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 22. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60�
A. (P ): 2x  11y  5z  3  0 và (Q) : x  2y  z  2  0 .
B. (P ) : 2x  11y  5z  3  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .
C. (P ) : 2x  11y  5z  21  0 và (Q) : 2x  y  z  2  0 .
D. (P ) : 2x  5y  11z  6  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .
Hướng dẫn giải
Áp dụng cơng thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
uur uur
nP .nQ
1
cos (P ),(Q)  uur uur  cos60�
2
n .n
P

Q

Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị
vào biểu thức để tìm giá trị đúng.
Trang
18/31

Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính tốn nhanh
nhất.

r
r
r r
Câu 23. Cho vectơ u(1; 1;  2), v(1; 0; m) . Tìm m để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng
45�.

Một học sinh giải như sau:
r r
1  2m
cos
u
,v 
Bước 1: Tính
6. m2  1

 

r r
Bước 2: Góc giữa u, v có số đo bằng 45�nên

1  2m
6. m  1
2



1
2

� 1  2m  3(m2  1) (*)
Bước 3: Phương trình (*) � (1  2m)2  3(m2  1)
�
m 2  6
� m2  4m  2  0 � �
�
m  2  6.
�

Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1.
D. Đúng.
Hướng dẫn giải
Phương trình (*) chỉ bình phương được hai vế khi biến đổi tương đương nếu
thỏa mãn 1  2m�0 . Bài toán đã thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai
nghiệm m  2  6 .
Câu 24. Cho hai điểm A(1;  1; 1); B(2;  2; 4) . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo
với mặt phẳng ( ): x  2y  z  7  0 một góc 60�.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. Vô số.
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
uuu

r
uur
AB(1;  1; 3), n (1;  2; 1)
uur
Gọi n (a; b; c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) cần lập.
uur uur
n .n
uur uur
cos ( ),( )  cos n , n  uur uur
n . n







1.a 2.b  1.c
12  (2)2  12 . a2  b2  c2



1
.
2

� 2(a  2b  c)2  3(a2  b2  c2) (1)
Mặt khác vì mặt phẳng ( ) chứa A, B nên:
uur uuu
r

n .AB  0 � a  b  3c  0 � a  b  3c
Thế vào (1) ta được: 2b2 13bc  11c2  0 (2)

uur
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra có 2 vectơ n  a; b; c thỏa
mãn.
Suy ra có 2 mặt phẳng.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Trang
19/31


Dựng hình
Câu 25. Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng:
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.CD
AB.CD
r uuur .
r uuur .
A. cos  uuu
B. cos  uuu
AB . CD
AB . CD
uuu
r uuur
uuu

r uuur
�
ABCD
.
AB.CD �
�
�
r uuur .
C. cos  uuu
D. cos  uuu
r uuur .
�
AB,CD �
AB . CD
�
�
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ở lý thuyết.
Câu 26. Cho hình lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh BB', CD, A'D ' . Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là:
A. 30o.
B. 120o.
C. 60o.
D. 90o.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A �O(0; 0; 0)
Suy ra B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0)
A'(0; 0; a); B'(a; 0; a); C '(a; a; a); D '(0; a; a)

�

� � a �
a � �a
M �a; 0; �
; N � ; a; 0�
; P �0; ; a�
2 � �2
�
� � 2 �
uuur � a a �uuuur �a
� uuur uuuur
 a; ; �
; NC '  � ; 0; a�� MP.NC '  0
Suy ra MP  �
� 2 2�
�2
�
� (MP , NC ')  90�
Câu 27. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đơi một vng góc.  ABC cân,
cạnh bên bằng a, AD  2a . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là:
2
4
4
.
.
A. .
B. 
C.
5
5
5

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A �O(0; 0; 0)
Suy ra B(a; 0; 0); C(0; a; 0); D(0; 0; 2a)
uuur
uuuu
r
Ta có DB(a; 0;  2a); DC(0; a;  2a)
uuur uuur
DB. DC
uuur uuur
4
cos(DB, DC)  cos(DB; DC)  uuur uuur  .
5
DB . DC

D.

1
5

.

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC =

5.
SAC vuông cân tại A. K là trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin góc
giữa đường thẳng CK và AB?
A.

4

.

17
Hướng dẫn giải

B.

2
11

.

C.

4
22

.

D.

2
22

.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD  AC 2  CD2  1
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A �O(0; 0; 0)

Trang
20/31


Suy ra B(0; 2; 0); C(1; 2; 0); D(1; 0; 0)





�1
S 0; 0; 5 ; K � ; 0;
�2
�
uuur � 1
CK
 ;  2;
�
Suy ra
�2
�

5�
�
2 �
�

r
5 �uuu
;

AB
�  0; 2; 0
2 �
�
uuur uuu
r
CK . AB
uuur uuu
r
4
cos CK , AB  cos CK ; AB  uuur uuu
.
r 
22
CK . AB





Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(3;  4; 5); B(2; 7; 7);
C(3; 5; 8); D(2; 6; 1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60�?
A. DB và AC.
Hướng dẫn giải

B. AC và CD.

C. AB và CB.

D.CB và CA.

uu
r uur

Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào cơng thức: cos(d,d')  cos(ud ,ud' để kiểm
tra.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1;
– 1) tạo với trục Oz một góc 30�?
A. 2(x  2)  (y  1)  (z  2)  3  0.

B. (x  2)  2(y  1)  (z  1)  2  0.

C. 2(x  2)  (y  1)  (z  2)  0.
Hướng dẫn giải
Gọi
phương
trình
mặt

D. 2(x  2)  (y  1)  (z  1)  2  0.
phẳng

r
A(x  2)  B(y  1)  C(z  1)  0; n( A; B; C)
r
Oz có vectơ chỉ phương là k(0; 0; 1) .
rr
nk
.
Áp dụng công thức sin(( ), Oz)  uur uur  sin30�
n. k

( )

cần

lập

có

dạng

Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để
viết phương trình mặt phẳng.
Câu 31. Cho mặt phẳng (P ):3x  4y  5z  8  0 . Đường thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ): x  2y  1  0; ( ): x  2z  3  0 . Góc giữa d và (P) là:
.
.
.
.
A. 120�
B. 60�
C. 150�
D. 30�
Hướng dẫn giải
uur

Ta có nP (3; 4; 5)

uu
r

uur uur
nd  �
n , n � (2; 1; 1)
�
�

uur uu
r
nP .ud
3
Áp dụng công thức sin((P ), d)  uur uur 
.
2
nP . ud
uuu
r uuur
Câu 32. Gọi  là góc giữa hai vectơ AB, CD . Khẳng định nào sau đây là đúng:

uuu
r uuur
�
AB.CD �
�
�
A. cos  uuu
r uuur .
AB . CD

uuu
r uuur

AB.CD
r uuur .
B. cos  uuu
AB . CD

Trang
21/31


uuu
r uuur
AB.CD
r uuur .
C. sin  uuu
AB , CD

uuu
r uuur
AB.DC
r uuur
D. cos  uuu
AB . DC

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ở lý thuyết.
Câu 33. Cho ba mặt phẳng (P ): 2x  y  2z  3  0; (Q): x  y  z  2  1; (R): x  2y  2z  2  0
. Gọi 1;  2;  3 lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và
(P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.
A. 1   3   2.
B.  2   3  1.

C.  3   2  1.

D. 1   2  3.

Hướng dẫn giải
Áp dụng cơng thức tính góc giữa hai mặt phẳng. Sử dụng máy tính bỏ túi để
tính góc rồi so sánh các giá trị đó với nhau.
VẬN DỤNG
Câu 34. Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng    : x  2 y  2 z  m  0
vàđiểm A  1;1;1 . Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng    bằng 1?
A.  2.
B.  8.

C.  2 hoặc 8 .
D. 3.
m5  3
m  2
5 m
�
�
1 � �
��
Hướng dẫn giải: d  A,     
m  5  3 �
m  8
3
�
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng    cắt các trục Ox, Oy, Oz
lần lượt tại 3 điểm A  2;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4  . Khi đó khoảng cách từ gốc

tọa độ O đến mặt phẳng  ABC  là
61
12 61
B.4.
C.
D.3.
.
.
12
61
Hướng dẫn giải
x y z
12 61
   1 � 6 x  4 y  3 z  12  0 ; d  O,  ABC   
Cách 1:    :
2 3 4
61
Cách 2: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc,
A.

khi

đó

1
1
1
1
61
12 61





� d  O,  ABC   
2
2
2
144
61
d  O,  ABC   OA OB OC
2

�y  0
Oxyz cho điểm M  1;0;0  và
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ �
2 x  y  2z  2  0
�
N  0;0; 1 ,

mặt

phẳng

 P

qua

điểm M , N

và

tạo

với

mặt

phẳng

 Q  : x  y  4  0 mợt góc bằng 45O . Phương trình mặt phẳng  P  là
�y  0
A. �
.
2x  y  2z  2  0
�
2x  y  2z  2  0
�
C. �
.
2x  y  2z  2  0
�

y0
�
B. �
.
2x  y  2z  2  0
�
2x  2z  2  0

�
.
D. �
2x  2z  2  0
�

Hướng dẫn giải

Trang
22/31


uur
2
2
2
Gọi vectơ pháp tuyến của mp  P  và  Q  lần lượt là nP  a; b; c   a  b  c �0  ,
uur
nQ  P  qua M  1;0;0  �  P  : a  x  1  by  cz  0

 P

qua N  0;0; 1 � a  c  0

 P

uur uur
O
hợp với  Q  góc 45O � cos nP , nQ  cos 45 �





Với a  0 � c  0 chọn b  1 phương trình  P  : y  0

a b



2a 2  b 2 2

a0
�
1
��
a  2b
2
�

Với a  2b chọn b  1 � a  2 phương trình mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  2  0 .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 0; 1 , đường thẳng d qua điểm A và
tạo với trục Oy góc 45O . Phương trình đường thẳng d là
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
A. �
.
y

z 1
�x  2
� 2   5  1
�
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
C. �
y
z 1
�x  2
� 2  5  1
�

y
z 1
�x  2
� 2  5  1
B. �
y
z 1
�x  2
� 2   5  1
�
y
z 1
�x  2
� 2   5  1
D. �

y
z 1
�x  2
� 2  5  1
�

Hướng dẫn giải

r
Cách 1: Điểm M  0; m;0  �Oy , j  0;1;0  là vectơ chỉ phương của trục . Oy ,

uuuu
r r
uuuu
r
O
AM  2; m; 1 cos AM , j  cos 45 �





m



m2  5

1
� m  � 5 nên

2

có

2

đường

thẳng:
x2
y
z 1 x  2
y
z 1


;


2
1
2
1
5
 5
ur
ur r
uu
r
uu

r r
1
1
Cách 2: u1 2; 5; 1 � cos u1 , j 
; u2 2;  5; 1 � cos u2 , j 
2
2

















Đường thẳng d đi qua điểm A  2;0;1 nên chọn đáp án A.

 P : x  y  z  3  0

Câu 38. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

 Q  : x  y  z  1  0 . Khi đó mặt phẳng  R  vng góc với
 Q  sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  R  bằng
là
A. 2 x  2 z  2 2  0 .
C. x  z  2 2  0 .

và mặt phẳng

mặt phẳng  P  và
2 , có phương trình

B. x  z  2 2  0 .
�
xz2 2 0
D. �
.
xz2 2 0
�

Hướng dẫn:
uur
uur
uur uur
�
nP  1;1;1 , nQ  1; 1;1 � �
n
�P , nQ �  2;0; 2 
Mặt phẳng  R  : 2 x  2 z  D  0 � d  O,  R   

�

D4 2
2��
8
D  4 2
�

D

Trang
23/31


Vậy phương trình mp  R  : x  z  2 2  0; x  z  2 2  0
Câu 39. Tập hợp các điểm M  x; y; z  trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng

 P  : x  y  2z  3  0

và  Q  : x  y  2 z  5  0 thoả mãn:

A. x  y  2 z  1  0 .

B. x  y  2 z  4  0 .

C. x  y  2 z  2  0 .

D. x  y  2 z  4  0 .

Hướng dẫn: M  x; y; z  . Ta có

d  M , P   d  M , Q  �

x  y  2z  3
6



x  y  2z  5
6

� x  y  2 z  3  x  y  2z  5 � x  y  2z  1  0
Câu 40. Tập hợp các điểm M  x; y; z  trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z  7  0 và mặt phẳng  Q  :2 x  y  2 z  1  0

thoả mãn:

x  3y  4z  8  0
�
B. �
.
3x  y  6  0
�

A. x  3 y  4 z  8  0.
C. 3 x  y  6  0.
Hướng dẫn giải

D. 3 x  3 y  4 z  8  0.

Cho điểm M  x; y; z  , d  M ,  P    d  M ,  Q   �

x  2 y  2z  7
3



2x  y  2z  1
3

x  3 y  4z  8  0
�
��
.
3x  y  6  0
�
Câu 41. Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng

 P  : x  y  2z  3  0

và  Oyz  .Khitọa độ điểm M là

� 3
� � 3
�
;0;0 �và �
; 0; 0 �
.
A. �
1 6
�

�
� � 6 1
� 6 1
�
;0;
0
C. �
�
� 3
�và
�
�

� 3
� � 3
�
;0;0 �và �
; 0; 0 �
.
B. �
1 6
1 6
�
�
� �

� 6 1
�
;
0;0

.
�
�
� 3
�
�
�

�
�
1 6
;
0;0
D. �
�
� 3
�và
�
�

�
�
1 6
;
0;
0
.
�
�
� 3

�
�
�

Hướng dẫn giải: Điểm M  m;0; 0  �Ox ; d  M ,  P    d  M ,  P   �

m3
6

 m

3
�
m
�
�
m3  m 6
1 6
��
��
3
�
m  3  m 6
�
m
�
� 1 6

Câu 42. Trong
d:

không

gian Oxyz

cho

điểm

A  3; 2; 4 

và

đường

thẳng

x  5 y 1 z  2


. Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một
2
3
2

khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là
A.  5;1; 2  và  6; 9; 2  .

B.  5;1; 2  và  1; 8; 4  .

C.  5; 1; 2  và  1; 5; 6  .

D.  5;1; 2  và  1; 5; 6  .

Hướng dẫn giải
Trang
24/31


uuuu
r
Cách 1: M  5  2t ;1  3t ; 2  2t  �d ; AM  2  2m;3  3m; 2  2m 

�
M  5;1; 2 
m0
�
2
� AM  17 � 17  1  m   17 � �
��
m  2 �
M  1; 5;6 
�
Cách 2: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng d có 2 cặp điểm trong đáp
án B và C
thuộcđường thẳng d . Dùng cơng thức tính độ dài AM suy
ra đáp án C thỏa mãn.
Câu 43. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A  1; 2;1 , B  2;1;3 ,

C  2; 1;1 và D  0;3;1 . Phương trình mặt phẳng

 P

đi qua 2 điểm A, B sao

cho khoảng cách từ C đến  P  bằng khoảng cách từ D đến  P  là

4x  2 y  7z 1  0
�
.
A. �
2 x  3z  5  0
�

B. 2 x  3z  5  0.

C. 4 x  2 y  7 z  15  0.

4 x  2 y  7 z  15  0
�
.
D. �
2 x  3z  5  0
�

Hướng dẫn giải:
Trường hợp 1:  P  qua AB và song song với CD , khi đó:
uuu
r uuur
�

AB
 P  có vectơ pháp tuyến là �
� , CD �  8; 4; 14  và

C � P 

�  P  : 4 x  2 y  7 z  15  0.
Trường hợp 2:  P  qua AB cắt CD tại trung điểm I
uur
I  1;1;1 � AI  0; 1;0  , vectơ pháp tuyến của  P  là

của đoạn CD . Ta có
uuur uur
�
AB, AI �
�
�  2;0;3 nên

phương trình  P  : 2 x  3z  5  0 .
VẬN DỤNG CAO

Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi  P  là mặt phẳng chứa đường
thẳng d :

x 1 y  2
z


và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào
1

1
2

sau đây thuộc mp  P  ?
A. E  3;0; 4  .

B. M  3;0; 2  .

C. N  1; 2; 1 .

D. F  1; 2;1 .

Hướng dẫn giải:
r
r r
Gọi n  a; b; c  ; n �0 là VTPT của  P  ;  là góc tạo bởi  P  và Oy ,  lớn nhất khi
r
r
r
sin lớn nhất. Ta có n vng góc với u d nên n  b  2c; b; c 
r r
b
sin   cos n, j 
2
2b  5c 2  4bc
Nếu b  0 thì sin = 0.

 

Nếu b �0 thì

sin  

1
2
c
2
� 5c 2 � 6 . Khi đó, sin lớn nhất khi  
b
5
� 
�
5� 5
�b

� chọn b  5; c   2
Vậy, phương trình mp  P  là x  5 y  2 z  9  0 . Do đó ta có N � P  .
Trang
25/31