VDC-Hình_không_gian_P2_sản_phẩm

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHƠNG GIAN

HÌNH KHƠNG GIAN
SMN 
SMQ 
Câu 31. Cho hình chóp S .MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng 
và 
MNPQ 
MNPQ 
cùng vng góc với mặt phẳng 
, góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng 
0
bằng 60 , biết MN  a, MQ  2a , với a là số thực dương. Khi đó, tính theo a , khoảng cách
giữa hai đường thẳng SP và NQ bằng bao nhiêu?

a 93
A. 62 .

2 57 a
B. 19 .

a 93
C. 31 .

2 93a
D. 61 .

, B�lần lượt là trung điểm SA, SB . Gọi G là trọng tâm của tam
Câu 32. Cho hình chóp S . ABC có A�

giác ABC . Gọi điểm C �là điểm di động trên cạnh SC . Gọi G�là giao điểm của SG với
BC 
 A���
. Khi C �
di động trên SC , biểu thức nào sau đây có giá trị khơng thay đổi?
SG SC

A. SG � SC �
.

Câu 3.

2 SG SC
SG SC

3

B.
C. 3SG � SC �
.
D. SG� SC �
.
����
B�
Cho khối lập phương ABCD. A B C D cạnh a . Các điểm E , F lần lượt là trung điểm của C �
D . Mặt phẳng
và C ��

2

SG
SC
3
SG � SC �
.

 AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tích khối

V
1
V
chứa điểm A�
và V2 là thể tích khối chứa điểm C ' . Khi đó 2 là:
25
8
A. 47 .
B. 1 .
C. 17 .

17
D. 25 .

Câu 34. Cho tứ diện ABCD có đoạn AB là đoạn vng góc chung của BC với AD, độ dài các cạnh
AB  a , AD  BC  b

AB, CD    0    90
�
và góc  thay đổi thỏa mãn
,
,

0

tan  

0

thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tan  bằng.
b
A. 2a .

Câu 35.

b 3
B. a .

b
C. 3a .

2b
a . Nếu

b 2
D. a .

B C D cạnh bằng 1 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa CD�và
Cho hình lập phương ABCD. A����

B
 BDD��
tạo với mặt phẳng

một góc x nhỏ nhất, cắt hình lập phương theo một thiết diện có
diện tích S . Kết quả của S là
6
A. 6 .

6
B. 4 .

2 6
C. 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

6
D. 12 .

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHƠNG GIAN

 SBC 
Câu 36. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến
6
15
30
SAC
SAB


 là 10 , từ C đến 
 là 20 và hình chiếu vng góc của S
là 4 , từ B đến
xuống mặt đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp SABC .
1
A. 48 .

1
B. 16 .

1
C. 32 .

1
D. 6 .

B C có A�
A  A�
B  A�
C  2a , đáy là tam giác ABC đều cạnh a .
Câu 37. Cho hình lăng trụ ABC. A���
C là:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB�và A�

a 182
A. 28 .

a 94
B. 20 .

a 517
C. 47 .

2a 70
D. 35 .

Câu 38. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB  a 2 , AC  a 5 . Hình
 ABC  trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng
chiếu của điểm S trên mặt phẳng
 SAB  và mặt phẳng  ASC  bằng 60�. Thể tích của khối chóp S . ABC là
góc giữa mặt phẳng
30a 3
30a 3
30a 3
30a 3
2 .
6 .
4
A.
B.
C.
.
D. 12 .
Câu 39. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Biết AC  2a , BD  3a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SC

6 13
a

A. 19
.

19 13
a
B. 6
.

13 6
a
C. 19
.

16 13
a
D. 19
.

 bằng
B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC �
Câu 40. Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
a . Góc giữa hai mặt phẳng
B C bằng:
trụ ABC. A���
3a 3 15
A. 10 .

 ABC �


và

B�
 BCC �


3a 3 15
B. 20 .

bằng  với

9a 3 15
C. 10 .

cos  

1
3 . Thể tích khối lăng

9a 3 15
D. 20 .

B C . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A��
B ,
Câu 41. Cho lăng trụ tam giác ABC. A���

 MNP  chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa điểm B có thể tích
BC , CC �
. Mặt phẳng
V1

V
là 1 . Gọi V là thể tích khối lăng trụ đã cho. Tỉ số V bằng:
1
A. 3 .

25
B. 72 .

73
C. 216 .

49
D. 144 .

B C có độ dài cạnh bên bằng 4 và khoảng cách từ điểm A đến
Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC . A���

A�
 ABB�
 và
các đường thẳng BB�
, CC �lần lượt bằng 1 và 2 . Biết góc giữa hai mặt phẳng
A�
 ACC �
 bằng 60�. Tính thể tích khối lăng trụ

ABC. A���
BC .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

2
A. 3 .

B. 2 3 .

HÌNH KHÔNG GIAN

C. 3 2 .

3
D. 2 .

Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính diện tích của mặt cầu có tâm nằm
miền trong tứ diện, đi qua trọng tâm các tam giác ABC , ABD đồng thời tiếp xúc với hai mặt
phẳng

A.

 ACD 

S

và

 a2 6
12 .

 BCD  ?
B.

S

3 a 2
2 .

C.

S

2 a 2
9 .

D.

S

 a2
6 .

 P  là mặt phẳng song
Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi
song với mặt phẳng đáy và chia khối chóp thành hai khối đa diện nội tiếp trong hai mặt cầu có
2
tổng diện tích bằng 4 a . Tính thể tích của khối cầu nhỏ hơn trong hai khối cầu đó?

4 a 3
V
81 .
A.

 a3 2
V
3 .
B.

 a3 3
V
16 .
C.

 a3
V
6 .
D.

�
�
�
   qua
Câu 45. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a và ASB  BSC  CSA  30�. Mặt phẳng
C nhỏ nhất. Tính
A và cắt các cạnh SB , SC tại B�
, C �sao cho chu vi tam giác AB��
k

VS . AB��
C
VS . ABC .

A. k  2  2 .

B. k  4  2 3 .

C.

k

1
4.

D.



k  2 2 2

.

Câu 46. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a và AC  a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB và CD . Biết MN  a và MN là đoạn vng góc chung của AB và CD . Tính thể tích tứ
diện ABCD .
a3 6
A. 2 .

a3 6
B. 3 .

a3 3
C. 3 .

a3 3
D. 2 .

 SBC  là
Câu 47. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến
6
15
30
SAC
SAB




4 , từ B đến
là 10 , từ C đến
là 20 và hình chiếu vng góc của S xuống
đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
1
A. 36 .

1
B. 48 .

1
C. 12 .

1
D. 24 .

Câu 48. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 2 . Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và M là
trung điểm của đoạn AB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và CM .

A.

2
5.

B.

2
14 .

C.

2
10 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

3

D. 2 5 .

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHƠNG GIAN

Câu 49. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a 2 , AC  a 5 . Hình

 ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC . Biết rằng góc
chiếu của điểm S lên mặt phẳng
giữa mặt phẳng

 SAB 

và mặt phẳng

5a 3 6
A. 12 .

 ASC 

5a 3 10
B. 12 .

0
bằng 60 . Thể tích của khối chóp S . ABC là

a 3 210
24 .

C.

a3 30
D. 12 .

o �
o
o
�
�
Câu 50: Cho hình chóp S . ABC có SA  a , SB  2a , SC  3a và ASB  60 , BSC  90 , CSA  120 .
Tính thể tích khối chóp S . ABC .

a3 3
A. 6 .

a3 2
B. 4 .

a3 2
C. 2 .

a3 3
D. 3 .

2
2
Câu 51: Cho tứ diện ABCD có AB  a , diện tích các tam giác ABC và ABD lần lượt là 4a và 5a .

Góc giữa hai mặt phẳng

 ABC 

và

 ABD 

20a 3
B. 3 .

20 3a 3
3
A.
.

bằng 60�. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD .
3
C. 20 3a .

3
D. 20a .

Câu 52. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng

 SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SDA

,60�
,60�
,60�. Biết rằng tam giác
với mặt đáy lần lượt là 90�

SAB vuông cân tại S , AB  a và chu vi tứ giác ABCD là 9a . Tính thể tích V của khối chóp
S . ABCD .

A.

a3 3
4 .

V

3
B. V  a 3 .

C.

V

2a 3 3
9 .

D.

V

a3 3
9 .

Câu 53. Cho hình chóp S . ABCD tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Gọi E , M lần lượt là trung
SBD 
điểm các cạnh CD, SA . Tính tan của góc giữa EM và mặt phẳng 

.

A.

3.

B.

5 .

C.

2 .

D. 1 .

�
Câu 54. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với đáy, SA  BC  a và BAC  60�. Gọi H và K
lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SC . Tính cơsin của góc giữa hai mặt phẳng

 AHK 
A.

và

 ABC  .

21
7 .

1
B. 3 .

C.

21
3 .

5
D. 7 .

Câu 55. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3 , BC  4 , tam giác SAC
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy,
phẳng

 SAB 

5 34
A. 34 .

và

d  C ; SA   4

. Tính cơsin của góc tạo bởi hai mặt

 SAC  .
3 17
B. 17 .

2 34
C. 17 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

3 34
D. 34 .
Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

SAB    SBC  SA   ABC  SB  BC  a 2
Câu 56. Cho hình chóp tứ giác S . ABC có 
,
,
, các góc
�  45� �
 SAC  và  SBC  bằng
BSC
, ASB   . Tính cơsin của  để góc giữa hai mặt phẳng
45�.

182
A. 14 .

14
B. 14 .

6
D. 3 .

3
C. 3 .

B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC  a 6 .
Câu 57. Cho lăng trụ đứng ABC. A���

Góc giữa mặt phẳng
C A�
AC .
diện B��
3
A. V  3 3a .

C
 AB�

và mặt phẳng

B�
 BCC �
 bằng

3
B. V  a .

60�. Tính thể tích V của khối đa

3
C. V  3a .

3
D. V  3a .

Hướng dẫn giải chi tiết
SMN 
Câu 31. [1H3-5.4-3] Cho hình chóp S .MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng 

và

 SMQ 

 MNPQ 

cùng vng góc với mặt phẳng

, góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng

 MNPQ 

0
bằng 60 , biết MN  a, MQ  2a , với a là số thực dương. Khi đó, tính theo a ,
khoảng cách giữa hai đường thẳng SP và NQ bằng bao nhiêu?

a 93
A. 62 .

2 57 a
B. 19 .

a 93
C. 31 .

2 93a
D. 61 .

Lời giải
Chọn D
�
 SMN    MNPQ 
�
� SM   MNPQ 
�
 SMQ    MNPQ 
�
.

�
�; MN  SNM
;  MNPQ     SN
 �  60
 SN

0

.

SM  MN tan 600  a 3 .
Cách 1:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Kẻ

HÌNH KHÔNG GIAN

Px //QN � Px //  SQN  � d  SP; NQ   d  QN ,  SP; Px    d  O,  SP; Px  

1
 d  M ,  SP; Px  
2
(Vì O là trung điểm của MP .

I là hình chiếu vng góc của M lên Px � Px   SMI  �  SP; Px    SMI  .
MI  2MK  2.

MQ.MN
MQ 2  MN 2



4a 5

5

là hình chiếu vng góc của M lên
Vậy

d  SP; QN  

SI � d  M ,  SP; Px    MH 

SM .MI
SM  MI
2

2



4a 93
31 .

2 93a
31 .

Cách 2:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC



HÌNH KHÔNG GIAN



N  a;0; 0  , Q  0; 2a;0  , S 0;0; a 3 , P  a; 2a;0 
uuur
NQ   a; 2a;0 

.
uur
SP  a; 2 a; a 3



.



.
uuur uur
2
2
2
�
NQ, SP �

�
� 2a 3; a 3; 4a .
uuu
r
NS   a; 0; a 3
.
uuur uur uuu
r
�
�
NQ
,
SP
.
NS
2a 93
�
�
d  SP, NQ  

uuur uur
31
�
NQ, SP �
�
�
.









Ngày 29/ 11/ 2018
, B�lần lượt là trung điểm SA, SB . Gọi G là trọng
Câu 32. [2H1-3.4-4] Cho hình chóp S . ABC có A�
tâm của tam giác ABC . Gọi điểm C �là điểm di động trên cạnh SC . Gọi G�là giao điểm của
BC 
SG với  A���
. Khi C �
di động trên SC , biểu thức nào sau đây có giá trị khơng thay đổi?

SG SC

A. SG � SC �
.

B.

2

SG
SC
3
SG � SC �
.

2 SG SC

C. 3SG � SC �
.

D.

3

SG SC

SG� SC �
.

Lời giải
Chọn D
TH
1
��
Gọi T , H lần lượt là trung điểm của A B , AB . Khi đó suy ra TS
A���
BC 
 C�
T �SG
Do G�là giao điểm của SG với 
nên G�

T / / CH
TH1: Nếu C �là trung điểm của SC � C �

, G�lần lượt là trung điểm các cạnh SC , SG
Ta có C �

�

SG SC

2
SG � SC �

SG SC
SG
SC
2SG SC 2
SG SC

0 2
3
 2


3

4
Nên: SG � SC � ; SG� SC � ; 3SG � SC � 3 ; SG� SC �
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHƠNG GIAN

�C
TH2: Nếu C �

SG 5 SC
 ;
1
Ta có SG� 3 SC �

�dt  SCG �

�
dt  SCG 
�
�
�dt  SCG �

�
�dt  SCG 
Do �

SC.SG � SG�

SC.SG SG
dt  SCG �
  2 . SG�
�

�
dt  SCG 
dt  SCH  3 SG
2
dt  SCH 
3

�dt  SG�
T  ST .SG � 1 SG �

 .
�
dt
SGH
SH
.
SG
2 SG


�
dt  SG�
T  1 SG �
�
�
 .
�dt  SG�
T
dt  SG�
T

dt  SCH  6 SG

�
�dt  SGH  1 dt  SCH 
3
Do �

Cộng lại ta được:

Mà

dt  SCG�
T  2 SG � 1 SG � 5 SG �
  dt  SG�
 .
 .

dt  SCH  dt  SCH  3 SG 6 SG 6 SG

dt  SCG �
T  dt  SCT  SC.ST 1
  dt  SG�



dt  SCH  dt  SCH  dt  SCH  SC .SH 2

SG 5

Suy ra SG� 3

SG SC 2
SG
SC 1 2SG SC 1
SG SC
2
3





3

4
Nên SG� SC � 3 ; SG� SC � 3 ; 3SG � SC � 3 ; SG � SC �
T không song song CH
TH3: Nếu C �

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

TH
1

��
Do T , H lần lượt là trung điểm của A B , AB . Khi đó suy ra TS
A���
BC 
 C�
T �SG
Do G�là giao điểm của SG với 
nên G�

Trong mặt phẳng

 SCH  , gọi K  CH �C �
T ( Giả sử

K thuộc tia đối của tia CG )

T , ta có:
Xét SGH có cát tuyến KG�
KG TH G�
S
.
.
1
KH TS G�
G
(theo định lý Mênêlauyt)
TH
1
Do TS
nên suy ra:

KG G �
G SG  G �
S SG



1
KH G �
S
G�
S
G�
S

KC  CG SG

1
KH
SG �
KC CG SG
�


1
KH KH SG�
KC 2 CH SG
�



1
KH 3 KH SG �
�

KC 2 �KH  KC � SG
 �
1
�
KH 3 � KH � SG �
SG 1 KC 5
�


 1
SG� 3 KH 3
�

T , ta có:
Xét SHC có cát tuyến KC �
KC TH C �
S
.
.
1
KH TS C �
C
(theo định lý Mênêlauyt)

TH
1

Do TS
nên suy ra:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

KC C �
C SC  C �
S SC



1
KH C �
S
C�
S
C�
S

HÌNH KHÔNG GIAN

 2

SG 1 KC 5 1 �SC
SG SC

�5

  �  1� � 3

4
S �3
SG � C �
S
Từ (1) và (2) suy ra SG� 3 KH 3 3 �C �
.
SG SC

4
S
Trường hợp K thuộc tia tia CG kéo dài chứng minh tương tự ta được SG� C �
.
3

Câu 3.

Như vậy chọn câu D.
B C D cạnh a . Các điểm E , F lần lượt là trung
[2H1-3.3-4] Cho khối lập phương ABCD. A����
B�
D . Mặt phẳng  AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là
điểm của C �
và C ��

V
1

V
thể tích khối chứa điểm A�
và V2 là thể tích khối chứa điểm C ' . Khi đó 2 là:
25
8
17
A. 47 .
B. 1 .
C. 17 .
D. 25 .
Lời giải
Chọn A
B �EF , N  A��
D �EF , AM �BB�
 P, AN �DD�
Q
Gọi M  A��

Ta có:

FN 

1
a
2

A�
N  A�
M 

3a
1
1
a
; ND�
 MB�
 NA�
 D�
A�

2
3
2
2.

1
1 1 3a 3a 9a3
�
V �  AA .S �  a.
. 
A NM 3 2 2 2
24 .
+) AA MN 3
V �
NF ND�NQ 1
1
ND FQ
�



�V �  V
ND FQ 27 NAA�
M
V
NM NA�NA 27
FD�
Q / /
MA�
A


�
NAA
M
+) mp
mp
.
1
V �  V
MB
PE
M
27 NAA�
Tương tự:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

25
25 9a3 25a3
� 2 �
�V  V � V
V
 1 �
V
 V


1
AA MN
NFD�
Q MEB�
P �
M 27 NAA�
M 27 24
72
� 27 �NAA�
3
3
3  25a  47a
V2  V
.
V


a
ABCD. A����
BCD 1
72
72
Câu 34. [2H1-3.6-3] Cho tứ diện ABCD có đoạn AB là đoạn vng góc chung của BC với AD, độ dài
các cạnh AB  a , AD  BC  b và góc  thay đổi thỏa mãn
tan  

AB, CD   
�
,

00    900 ,

2b
a . Nếu thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tan  bằng.

b
A. 2a .

b 3
B. a .

b 2
D. a .

b
C. 3a .

Lời giải
Chọn D

+) Ta có:





2
1
1
�, AD �ab
V  VABCD  .BC . AD.d  BC , AD  .sin �
BC , AD   .b.b.a.sin BC
6
6
6 .

� max V 

ab2
,
6 đạt được khi BC  AD.

�BC  AB
� BC  ( ABD).
�
BC


AD
�
+) Theo giả thiết

�
�  �
AB, CD   �
ED, CD   CDE
+) Dựng hình chữ nhật ABED � DE  CE
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

tan  

+) Vậy

HÌNH KHÔNG GIAN

CE b 2

.
ED
a

4/11/2018

Câu 35.

B C D cạnh bằng 1 . Gọi  P  là mặt
[1H3-3.3-4] Cho hình lập phương ABCD. A����

B�
 BDD�
 một góc x nhỏ nhất, cắt hình lập phương
phẳng chứa CD�và tạo với mặt phẳng
theo một thiết diện có diện tích S . Kết quả của S là
6
A. 6 .

6
B. 4 .

2 6
C. 3 .

6
D. 12 .

Lời giải
Chọn B

CO   BDD�
B�
B�
 . Gọi  là giao tuyến của  P  và  BDD�
.

Gọi O là trung điểm BD . Ta có
Kẻ OH   � CH   .
Suy ra
Có

�
  �
P  ,  BDD�
B�
OH , CH   OHC
  �
.

sin  

OC OC
��
�
 sin OD
C
��
� min   OD
C.
CH CD�

  �  qua D�và vng góc với OD�
Dấu đẳng thức xảy ra khi OD�
.

E

 P  là mặt phẳng  CD�
Giả sử  cắt BD tại E , dễ thấy DE  BD  2 , suy ra
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

E
BC ��
D
 CD�
 A�
Mặt phẳng
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến là đường thẳng d qua D�và
C tại trung điểm M của B��
C .
song song với CE . Đường thẳng d cắt B��
MC
Thiết diện là tam giác D�
.

Tam giác MCD�có

MD�
 MC 

5
6
S D�MC 
 2 nên dễ tính được
4 .
2 , CD�

Ngày 24 / 10 / 2018
Câu 36. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A
6
15
30
SAC
SAB

 là 10 , từ C đến 
 là 20 và hình chiếu vng
đến
là 4 , từ B đến
góc của S xuống mặt đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp SABC .

 SBC 

1
A. 48 .

1

B. 16 .

1
C. 32 .

1
D. 6 .

Lời giải
Chọn A
Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng

 ABC 

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC , BC , AB .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

1
3 h 3
VS . ABC  .h.

3

4
12 .
Đặt SH  h �

2S
6VS . ABC
SP  SAB  2S ABC 

AB
d  C ;  SAB  
Ta có

h 3
2  h 10
30
20
.

� PH  SP 2  SH 2  3h
Tương tự, tính được HM  2h , HN  h .
1
1
  HP  HM  HN    3h  2h  h   3h
S

S

S

S

HAB
HAC
HBC
2
2
Ta có ABC
.

Mặt khác
� 3h 

Vậy

S ABC 

3
4 .

3
3
�h
4
12

VS . ABC 

3 3
1
.


12 12 48 .

B C có A�
A  A�
B  A�
C  2a , đáy là tam giác ABC
Câu 37. [1H3-5.4-3] Cho hình lăng trụ ABC. A���
C là:
đều cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB�và A�

a 182
A. 28 .

a 94
B. 20 .

a 517
C. 47 .

2a 70
D. 35 .

Lời giải
Chọn C

A  A�
B  A�
C  2a � Hình chiếu G của A�lên mặt đáy là trọng tâm tam giác ABC .
+) A�

+) AG  BC tại F .
B  AB  AC � Tam giác KCB vuông tại C .
B AK � AK  A��
+) Dựng hình bình hành A��

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

�AG  CB
�
AG / /  A�
KC 
+) �KC  CB � KC / / AG �
.
+)

d  AB�
, A�
C   d  AB�
,  A ' KC    d  A,  A ' KC    d  G,  A ' KC  

.

E tại P . Dễ dàng chứng minh

+) Dựng GE vng góc với KC tại E , GP vng góc với A�
d G, A�
KC    GP
được  
.
+)

GE  CF 

a
2 (do GECF là hình chữ nhật).
2

�2
3 � a 33
A ' G  A�
A  AG  4a  �
�3 .a 2 �
� 3
�
�
+)
.
2

2

2

1

1
1
a 517


GP 
2
2
2
GA� GE �
47 .
+) GP
Vậy

d  AB�
, A�
C 

a 517
47 .

Câu 38. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a 2 ,
AC  a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm của đoạn thẳng
BC . Biết rằng góc giữa mặt phẳng  SAB  và mặt phẳng  ASC  bằng 60�. Thể tích của khối
chóp S . ABC là
30a 3
30a 3
30a 3
30a 3
2 .

6 .
4
A.
B.
C.
.
D. 12 .
Lời giải
Chọn D

HK   SAB 
Kẻ HE  AB tại E , kẻ HK  SE tại K . Khi đó E là trung điểm AB và
.
CI   SAB 
Lấy điểm I sao cho K là trung điểm của BI . Suy ra
.
Kẻ CM  SA tại M . Khi đó ta có

�  60�
  SAB  ,  SAC    CMI
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đặt SH  h . Ta có

CI  2 HK 

HÌNH KHÔNG GIAN

2ah 5
5a 2  4 h 2 .

Kẻ HN  AC tại N , suy ra AC  SN .

Ta có

SN  h 2 

4h 2  2a 2
7a 2
SA  h 2 

2
4
,

2a 2

4

SN . AC  CM .SA � CM 
Do
Ta có

sin 60�

4h 2  7 a 2
2
.

SN . AC
4h 2  2a 2 .a 5

SA
4h 2  7a 2 .

CI
� 3CM 2  4CI 2
CM
. Suy ra



15a 2 4h 2  2a 2
4h 2  7 a 2



80a 2 h 2
� 8h 4  14a 2 h 2  15a 4  0
2
2
5a  4 h







� 4h 2  3a 2 2h 2  5a 2  0 � h 

a 3
.
2

1
1 a 3 1
30a 3
V  .SH .S ABC  .
. .a 5.a 2 
3
3 2 2
12 .
Vậy thể tích của khối chóp S . ABC là
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết AC  2a , BD  3a . Tính khoảng cách giữa hai

Câu 39. [1H3-5.4-4]

đường thẳng AB và SC
6 13
a
A. 19

.

19 13
a
B. 6
.

13 6
a
C. 19
.

16 13
a
D. 19
.

Lời giải
Chọn A

2

�3 � 13
AB  OA2  OB 2  a 2  � a � 
a
2
2
�
�
Ta có:

.
Tam giác SAB đều,
Do

AB 

SC � SCD  // AB

nên

13
AB 3
13
3
39
a
SK 

a.

a
2
2
2
2
4
nên
.

d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  K ,  SCD  

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

.
Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

 ABCD  dựng KE  CD ; dựng KH  SE , ta chứng minh được KH   SCD 
Trong
� d  K ,  SCD    KH
.
1
1
1
1
1




2
2
2
2
2
KH

KS
KE
� 39 � KE
16
1
a�
�


2
4
�
�
39a
KE 2 .
Ta có:

Trong

 ABCD 

dựng AI  CD .

3a
.2a
OD. AC
6a 13
2
� AI 



 KE
CD
13
13
a
2
Ta có: AI .CD  OD. AC
.
1
16
13
6 13


� HK 
a
2
2
2
39a 36a
19 .
Từ đó suy ra KH

Vậy

d  AB, SC   d  K ,  SCD    KH 

6 13
a

19
.

B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
Câu 40. [2H1-3.2-3] Cho hình lăng trụ đều ABC. A���

 ABC �


bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng
B C bằng:
tích khối lăng trụ ABC. A���
3a 3 15
A. 10 .

 ABC �


3a 3 15
B. 20 .

và

B�
 BCC �


9a 3 15
C. 10 .

bằng  với

cos  

1
3 . Thể

9a 3 15
D. 20 .

Lời giải
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

A�

B�

C�



K

A

H
B

M

C

M  1 .
Gọi M là trung điểm AB , kẻ CK  C �
�AB  CM
�
M  � AB  CK
�� AB   CC �
Ta có �AB  CC
Từ

 1

và

 2

 2 .

� CK   ABC �
 � CK  d  C ,  ABC �
  � CK  a .

�
� BC �
  CHK  �     ABC �
B�
 ,  BCC �
   CHK
Kẻ CH  BC �
.

Do

cos  

1
2 2 � CH  CK  3a
� sin  
sin  2 2 .
3
3

Đặt AB  x .
1
1
1
1 � 1 � 1
4
8
1





 2 2
2
2
2
2 �
2 �� 2 
2
�
CM
CH
BC � CC � a 3 x
9a
x �xa 3
Ta có: CK

� CC �


3a
5.

.S ABC
B C là V  CC �
� Thể tích khối lăng trụ ABC. A���





3a a 3

.
4
5

2

3



9a 3 15
20 .

B C . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
Câu 41. [2H1-3.10-3] Cho lăng trụ tam giác ABC. A���

 MNP  chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa
B , BC , CC �
các cạnh A��
. Mặt phẳng
V1
V
điểm B có thể tích là 1 . Gọi V là thể tích khối lăng trụ đã cho. Tỉ số V bằng:
1
A. 3 .

25

B. 72 .

73
C. 216 .

49
D. 144 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Trong mặt phẳng

B�
 BCC �
,

gọi

HÌNH KHÔNG GIAN

D  NP �B��
C . Trong mặt phẳng

BC 
 A���
,

gọi

R  MD �A��
C . Trong mặt phẳng  ABC  , qua N kẻ NQ P MD  Q �AB  . Khi đó mặt phẳng

 MNP 

B C theo thiết diện là ngũ giác MQNPR .
cắt khối lăng trụ ABC . A���

1
C�
D  NC  NB � C �
D  DB�
PNC  PDC �(g.c.g) nên
3
.
DC � 1
3

SDMB� SA���
BC
4
B và DB� 3 nên
Ta có M là trung điểm của A��

.

P MI suy ra R là trung điểm của
C , ta có B�
I  IC �
 C�
D và RC �
Gọi I là trung điểm của B��
1
1
S DRC � S DMB� SA���
BC
6
8
MD . Do đó
.
Gọi

S

là điểm đồng quy của ba đường thẳng

MQ ,

B�
B và

DP , ta có

SQ SB SN NB 1





SM SB� SD DB� 3 .
1 3 3
3
1
1
1 1 1
1
� VS .DMB� � � V  V VS . NQB  VS .DMB� V VPDRC � � �V  V
3 2 4
8 ;
27
72 ;
3 2 8
48 .
1 � 49
�3 1
V1  VS .DMB� VS .NQB  VPDRC � �   �
V
V
8
72
48
144
�
�
Do đó

.

V1 49

Vậy V 144 .
B C có độ dài cạnh bên bằng 4 và khoảng cách từ
Câu 42. [2H1-3.12-4] Cho lăng trụ tam giác ABC. A���
điểm A đến các đường thẳng BB�
, CC �lần lượt bằng 1 và 2 . Biết góc giữa hai mặt phẳng

A�
A�
 ABB�
 và  ACC �
 bằng 60�. Tính thể tích khối lăng trụ
2
A. 3 .

B. 2 3 .

ABC. A���
BC .

C. 3 2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

3
D. 2 .
Trang 19 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

Lời giải
Chọn B

Kẻ AE  BB�tại E , kẻ AF  CC �tại F .

A�
A�
 ABB�
 và  ACC �
 là AA�và  AFE   AA�nên góc
Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng
A�
A�
 ABB�
 và  ACC �
 bằng góc giữa AE và AF .
giữa hai mặt phẳng
0
�
 Trường hợp 1: Góc EAF  60 .

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác AEF ta tính được EF  3 .
Suy ra tam giác AEF vuông tại E .

AE   BCC �
B�
.
Ta có AE  BB�
, AE  EF nên
3
3 1
3 1
VABC . A���
VA. BCC �
. AE.S BCC �
. . AE.BB�
.EF  2 3
BC 
B�
B�
2
2 3
2 3
.
0
�
 Trường hợp 2: Góc EAF  120 .

Tương tự tính được EF  7
S AEF 

1
3
AE. AF .sin120�

2
3 .

d  A, EF  

2 S AEF
21

EF
7 .

3
3 1
3 1
VABC . A���
VA. BCC �
. .d  A, FE  .S BCC�B� . .d  A, FE  .BB�
.EF  2 3
BC 
B�
2
2 3
2 3
.

Ngày 10/ 9 / 2018
Câu 43. [2H2-2.3-4] Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính diện tích của mặt cầu
có tâm nằm miền trong tứ diện, đi qua trọng tâm các tam giác ABC , ABD đồng thời tiếp xúc
với hai mặt phẳng

A.

S

 a2 6
12 .

 ACD 

và

B.

 BCD  ?

S

3 a 2
2 .

C.

S

2 a 2
9 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

D.

S

 a2
6 .

Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

Lời giải
Chọn D

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB , CD . Và G , H lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC , ABD .
Do QC  QD nên tam giác QCD cân tại Q . Vì GH P CD nên tam giác QGH cân tại Q .
Từ đó suy ra QP là đường trung trực của GH .
Ta dễ dàng chứng minh được
Kết hợp với

QP � ABP 

CD   ABP 

suy ra

 ABP 

nên

GH   ABP 

.

là mặt phẳng trung trực của GH .

�
Mặt khác vì PQ là phân giác của góc APB , do đó để mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng
 ACD  và  BCD  thì tâm I của mặt cầu phải nằm trên PQ .
Đặt IP  x , ta có

QC  QD 

a 3
a 2
PQ 
2 ;
2 .

1
a
2
a 2
MG  CP 
MP  PQ 
3
6 đồng thời

3
3 suy
Gọi M là trung điểm của GH khi đó ta có
2

2
�a 2
� �a �
IG  MI  MG  �

x

�
�
�3
� �
�6 �
�
�
ra
.
2

2

d  I ,  BCD  

Đồng thời ta có:

� d  I ,  BCD  

d  Q,  BCD  

d  I ,  BCD  
x
�

IP
1

d  A,  BCD   a 2
QP
2
2

� 3a 2
x
�
4
2
�
2 �
�
�
x a 6 x 3 � R  IG  x 3  �a 2  x � �a � � a 2
� �

.

x

.
�3
� �
3
3
�
� �6 � �
a 2 3
4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

Mặt khác tâm mặt cầu nằm miền trong tứ diện do đó
Vậy

S

x

a 2
x 3 a 6
�R


4
3
12 .

 a2
6 .

 P  là mặt
Câu 44. [2H2-2.2-4] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi
phẳng song song với mặt phẳng đáy và chia khối chóp thành hai khối đa diện nội tiếp trong hai
2
mặt cầu có tổng diện tích bằng 4 a . Tính thể tích của khối cầu nhỏ hơn trong hai khối cầu đó?

4 a 3
V
81 .
A.

 a3
V
6 .
D.

 a3 3
V
16 .
C.

 a3 2
V

3 .
B.
Lời giải

Chọn D

Ta giả sử SH  x , khi đó ta dễ dàng chứng minh được các tam giác SHN và SOB vuông cân,
do đó HS  HM  HN  HP  HQ  x .
Vậy khối chóp S .MNPQ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R1  x với

0 x

a 2
2 .

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp cụt ABCD.MNPQ . Khi đó dễ thấy I nằm trên
tia đối tia OH . Ta đặt OI  t . Ta có: R2  IN  IC .
IN  IH  HN   OH  t   x
2

Mà

2

2

2

. Và

IN 2  IC 2 �  OH  t   x 2  t 2 
2

Vậy

2

IC 2  IO 2  OC 2  t 2 

a2
2 .

a2
a2
� OH 2  2t .OH  t 2  x 2  t 2 
2
2

2

�a 2
�
�a 2
� 2 a2
��

x

2
t

.

x
�
�
�
�2
�
�2
� x  2
�
�
�
�
� 2 x 2  a 2 x  a 2t  2tx  0
xt
�
�
�  x  t  2x  a 2  0 �
a 2
�
x
l.
�
2



Với

x  t � R2  x 2 



a2
2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Tổng diện tích mặt cầu:

Suy ra:

V

HÌNH KHƠNG GIAN

4 a 2  4  R12  R22  � R12  R22  a 2 � x 2  x 2 

a2
a
 a 2 � R1  x 
2
2.

 a3
6 .

�
�
�
Câu 45 . [2H1-3.3-4] Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a và ASB  BSC  CSA  30�. Mặt
phẳng



k

Tính

C nhỏ nhất.
qua A và cắt các cạnh SB , SC tại B�
, C �sao cho chu vi tam giác AB��

VS . AB��
C
VS . ABC .

A. k  2  2 .

B. k  4  2 3 .

C.

k

1
4.

D.



k  2 2 2

.

Lời giải
Chọn B
Cắt hình chóp theo đường SA và trải trên mặt phẳng ta được hình vẽ .

 B��
C  C�
A  AB�
 B��
C  C�
A�
C . Ta có p  AB�
Gọi p là chu vi của tam giác AB��
.

pmin khi và chỉ khi A, B�
, C�
, A�thẳng hàng.
 SC �

x.
 SA��
C (g.c.g) nên SB�
 SC �
Ta có SAB�
. Đặt SB�

��
��
A�có C
SA�
 30�và SC
A�
 45�(do ASA�vuông cân).
Tam giác  SC �
SA�
SC �
a.sin 45�

�x 
a
�
A  105�. Khi đó ta có sin105� sin 45�
sin105�
Suy ra SC �

k

VS . AB��
SB�

.SC � 2
C

x 
VS . ABC
SB.SC







.

3 1

2

3 1  4  2 3

.

Câu 46. [2H1-3.12-3] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a và AC  a 2 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AB và CD . Biết MN  a và MN là đoạn vng góc chung của AB và CD .
Tính thể tích tứ diện ABCD .
a3 6
A. 2 .

a3 6

B. 3 .

a3 3
C. 3 .

a3 3
D. 2 .

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHƠNG GIAN

Chọn C

CB�
D
BD��
. A CB�
D . Vì MN  AB và MN  CD nên MN   A�
Dựng hình hộp AC �

BD��
. A CB�
D là hình hộp đứng.

� AC �
D � AC �
BD�là hình chữ nhật
Mặt khác AB  CD � AB  C ��

BD��
. A CB�
D là hình hộp chữ nhật.
� AC �
2
 AC 2  CC �
 a , BC �
 AB 2  AC '2  a 3
 MN  a , AC �
Ta có CC �

V
3
� VAC �BD�. A�CB�D  a 3 � ABCD

1
a3 3
 VAC�BD�. A�CB�D 
3
3 .

Ngày 7/ 11/ 2018
Câu 47. [2H1-3.12-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến
6
15

30
 SBC  là 4 , từ B đến  SAC  là 10 , từ C đến  SAB  là 20 và hình chiếu vng góc của
S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
1
A. 36 .

1
B. 48 .

1
C. 12 .

1
D. 24 .

Lời giải
Chọn B

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

HÌNH KHÔNG GIAN

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của chân đường cao H lên các cạnh AB, BC , CA .
1
3 h 3

VS . ABC  h.

3 4
12 .
Đặt SH  h . Ta có

Ta có:

VS . ABC 

h 3 1
1 30 1
 d  C ,  SAB   .S SAB  .
. SP. AB � SP  h 10
12
3
3 20 2
.

� PH  SP 2  SH 2  3h .
Hoàn toàn tương tự như trên ta có HM  2h, HN  h .
Mặt khác:
Vậy:

SABC  S HAB  SHBC  SHAC �

VS . ABC 

3 1
3

  3h  2h  h  � h 
4
2
12 .

1 3 3 1
.

3 12 4
48 .

Ngày 21 / 6 / 2018
Câu 48. [1H3-5.4-3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 2 . Gọi G là trọng tâm của tứ diện
ABCD và M là trung điểm của đoạn AB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và
CM .

A.

2
5.

B.

2
14 .

C.

2
10 .

3

D. 2 5 .

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X