Dang 2. Tìm cực trị dựa vào BBT, đồ thị(VDC)

Câu 1.

[2D1-2.2-4] (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số
y f  x
vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

B. 8 .

A. 6 .

y  f  x

liên tục trên � và có đồ thị như hình

C. 7.
Lời giải

D. 9.

Tác giả: Lê Thị Phương Liên ; Fb: Phuonglien Le
Chọn C
Gọi các nghiệm của phương trình

�
�f 
y�
�
� f

f  x  0

lần lượt là x1 ; x2 ; x3 trong đó x1  0  x2  1  x3 .

�f  x  , x � 0; x2  � x3 ; �
�
 f  x  , x � x2 ; x3 
�
�
x  khi f  x  �0
�f   x  , x � �;  x3  �  x2 ;0 
 x  khi f  x   0 �
 f   x  , x �  x3 ;  x2 
�

�f �
 x  , x � 0; x2  � x3 ; �
�
f�
 x  , x � x2 ; x3 
�
y�
�
f�
  x  , x � �;  x3  �  x2 ;0 
�
�f � x , x �  x ;  x
 3 2
�  

y�

 0 � x  �1

y�
không xác định tại

x0
�
�
x  �x2
�
�
x  �x3
�

Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số

y f  x

như sau:

.


Nên hàm số có 7 cực trị.
Cách 2: (Admin Hue Tran)

f  x  0
có một cực trị dương là x  1 và phương trình
có 2 nghiệm dương
y f  x

f  x 0
nên hàm số
có 3 cực trị và phương trình
có 4 nghiệm nên hàm số
y f  x
có 7 cực trị.
Hàm số

y  f  x

Cách khác:

Từ đồ thị của hàm số

Ta có đồ thị hàm số

Và đồ thị hàm số

y  f  x

y f  x

là:

là:

y  f  x


Từ đồ thị suy ra hàm số

Câu 2.

y f  x

có 7 điểm cực trị.

[2D1-2.2-4] (Chuyên Vinh Lần 3)
f  x
y  f ' x
Cho hàm số
có đồ thị hàm số
được cho như hình vẽ bên. Hàm số
1 2
y  f  x   x  f  0
 2;3 ?
2
có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng

Bài giải (Nguyễn Việt Hải)

Đặt

g  x  f  x 

Ta có:

x2
 f  0
2

g ' x  f ' x  x

,

x  2( L)
�
�
g ' x  0 � �
x0
�
x2
�

( Nhận xét: x  2 là nghiệm bội lẻ, x  0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn tuy nhiên
không ảnh hưởng đáp số bài toán)


Suy ra hàm số
Câu 3.

y  g  x

có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng

 2;3

[2D1-2.2-4] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019)Cho
y  f  x
f  0  0
hàm số đa thức

có đạo hàm trên �,
và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của
f�
 x  . Hỏi hàm số g  x   f  x   3x có bao nhiêu điểm cực trị ?
đạo hàm

B. 5 .

A. 4 .

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú
Chọn B
Xét hàm số

h  x   f  x   3x x ��
,
.

h�
 x  f �
 x   3 , x ��.
x  1
�
�
x0

h�
 x  0 � f �
 x   3 � �
�
x 1
�
x2 .
�

h�
 x  không đổi dấu.
Với x  2 là nghiệm kép vì qua nghiệm x  2 thì
�
 x   3 x � �;  1 � 0;1
�f �
�
f�
 x   3 x � 1;0  � 1; 2  � 2;  � .
 x  , ta có: �f �
Dựa vào đồ thị hàm số của
Mặt khác

h  0   f  0   3.0  0

Bảng biến thiên của hàm

.

h  x   f  x   3x

Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số

:

g  x   f  x   3x  h  x 

:


� Hàm số g  x   f  x   3 x  h  x  có 5 điểm cực trị.

Câu 4.

[2D1-2.2-4] ( Sở Phú Thọ) Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

3
2
Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x)  2 f ( x)  4 f ( x)  1 là
A. 4 .
B. 9 .
C. 5 .

D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Trang; Fb: Trang Nguyen
Chọn C

g '( x)  6 f '( x) f 2 ( x)  8 f '( x) f ( x)  2 f '( x) f ( x)  3 f ( x)  4 

.

�
�f '( x )  0
�
g '( x)  0 � �f ( x)  0
�
4
�f ( x)  
3.
�

Từ bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) ta có:

+

x  1
�
f '( x)  0 � �
x 1
�
�
x0
�

.

x
x
x x

x
x
+ Phương trình f ( x)  0 có 2 nghiệm 1 và 2 (giả sử 1 < 2 ). Suy ra 1 < 1 và 1 < 2 .

.

4
3 có 4 nghiệm x3 , x4 , x5 x6 (giả sử x3 < x4 < x5 < x6 ). Và 4 giá
+ Phương trình
trị thỏa mãn yêu cầu sau: x1  x3  1 ; 1  x4  0 ; 0  x5  1 ; 1  x6  x2 .
f ( x)  

Bảng biến thiên của hàm số y  g ( x)


Suy ra hàm số y  g ( x) có 5 điểm cực tiểu.
Câu 5.

[2D1-2.2-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số đa thức
f  x   mx5  nx 4  px3  qx 2  hx  r  m, n, p, q, h, r ��
y f�
 x  (như
,
. Đồ thị hàm số
3 5 11
hình vẽ bên dưới) cắt trục hồnh tại các điểm có hồnh độ lần lượt là 1 ; 2 ; 2 ; 3 .

Số điểm cực trị của hàm số
A. 6.

g  x  f  x   m  n  p  q  h  r 

B. 7.

là

C. 8.
Lời giải

D. 9.

Tác giả: Thu Hương ; Fb: Hương Mùa Thu
Chọn B
3 5 11
f�
 x   0 nên:
Vì 1 , 2 , 2 , 3 là nghiệm của phương trình

3�
� 5�
� 11 �
f�
 x   5mx 4  4nx 4  3 px 2  2qx  h  5m  x  1 �
�x  �
�x  �
�x  �
� 2�
� 2�
� 3 �.
55 �

� 20 3 43 2 14
5mx 4  4nx 4  3 px 2  2qx  h  5m �x 4 
x  x  x �
3
4
3
4 �.
�
Suy ra

Đồng nhất hệ số, ta được

Suy ra

g  x  f  x 

n

25
215
35
275
m; p 
m; q  m; h 
m
3
12
3
4
.

93
mr
2




h  x  f  x 

Xét

� h�
 x  f �
 x  0



Đặt

có bốn nghiệm phân biệt, nên

h  x   0 � mx 5 

Xét

� x5 

93
mr

2
.
có bốn cực trị.

25 4 215 3 35 2 274
93
mx 
mx  mx 
mx  r 
mr
4
12
3
4
2

25 4 215 3 35 2 274
93
x 
x  x 
x 0
4
12
3
4
2
.

k  x   x5 

25 4 215 3 35 2 274
93
x 
x  x 
x
4
12
3
4
2 .

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình
Vậy hàm số
Câu 6.

h  x

g  x

h  x  0 � k  x  0

có 3 nghiệm đơn phân biệt.

có 7 cực trị.

[2D1-2.2-4] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình bên dưới

m � 100;100
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số

2
h( x)  f ( x  2)  4 f ( x  2)  3m
có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử
thuộc S bằng
A. 5047 .
B. 5049 .
C. 5050 .
D. 5043 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Lệ Hoài; Fb: Hoài Lệ
GV phản biện: Nguyễn Văn Mạnh; Fb: Nguyễn Văn Mạnh
Chọn B
2
'
'
'
Đặt g ( x)  f ( x  2)  4 f ( x  2)  3m � g ( x)  2 f ( x  2). f ( x  2)  4 f ( x  2)


�'
� x 2 1
�f ( x  2)  0
g ( x)  2 f ( x  2). f ( x  2)  2  0 � �
��
� x23
f ( x  2)  2
�
�
x  2  a �(1; 0)
�

�
'

'

x  1
�
�
��
x 1
'
�
x  a  2 � 3; 2 
�
là 3 nghiệm đơn của g ( x)  0 .
Suy ra hàm số y  g ( x) có 3 điểm cực trị.
Đặt t  f ( x  2) � t �R và mỗi giá trị t �R thì phương trình t  f ( x  2) ln có nghiệm.
g ( x)  f 2 ( x  2)  4 f ( x  2)  3m � h(t )  t 2  4t  3m

y  g ( x)
Vì hàm số g ( x) có 3 cực trị nên để hàm số
có 3 điểm cực trị thì.
t 2 4�
t 3��
m 0,
�۳
t R

4 3m 0

m

4
3 .( Vì hàm y  h(t ) là hàm bậc hai có hệ số a  0

)
Do

m � 100;100 ; m �Z � m � 2,3, 4,...,100

.

Vậy tổng các giá trị của m là 2  3  4  ...  100  5049 .
Câu 7.

[2D1-2.2-4] (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên �, và có
( x) như hình vẽ.
đồ thị hàm số y  f �

2
Khi đó đồ thị hàm số y  [f(x)] có
A.2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu
C.1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D.2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Nguyễn HoàngĐiệp; Fb: ĐiệpNguyễn

Chọn D
2
 2. f ( x). f �
( x)
Ta có y  [f(x)] � y�


x0
�
�
x 1
�
�f ( x )  0
y�
0� �
��
x 3
( x)  0
�
�f �
x  a �(0;1)
�
�
x  b �(2;3)
�
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị có 2 điểm CĐ và 3 điểm CT

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B
11.A

2.B
12.B

3.C
13.D

4.C
14.C

5.A
15.C

6.B
16.B

7.C
17.C

8.B
18.D

9.B
22.C

10.C
23.D

24.D
36.C
48.B

25.A
37.D
49.A

26.B.A
38.B
50.D

29.D
39.C

30.A
40.B

31.D
41.B

32.D
42.A

33.C
43.B

34.A
44.D.

35.C
47.B

Câu 8.

[2D1-2.2-4] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số
biến thiên như hình vẽ:
-�

x

1
+

f '( x)

2
0

-

0
0

y  f  x

+�
+

+�

f ( x)

- 1

- �

m  �; m
Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m (với
y  m f  x 
có đúng 7 điểm cực trị?
A. 2024 .

B. 3 .

xác định trên R và có bảng

C. 4 .
Lời giải

2019

) để đồ thị hàm số

D. 2020 .

Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien
Chọn A
+ Từ bảng biến thiên của hàm số
hình vẽ sau:

y  f  x

ta có đồ thị hàm số

y  f  x

và

y f  x

như


Đồ thị

y = f ( x)

+ Từ đồ thị ta có

Đồ thị

y= f ( x)

y= f ( x)
có 5 điểm cực trị.

y= f ( x)
y = f ( x)
(Chú ý: Hàm số

có a = 2 điểm cực trị dương nên hàm số
có số điểm cực
2
a
+
1
=
5
trị là
 Nên khơng cần vẽ đồ thị)
y =m+ f ( x )
có 5 điểm cực trị nên hàm số
cũng có 5 điểm cực trị (Vì
y =m+ f ( x )
y= f ( x)
đồ thị hàm số
được suy ra từ đồ thị
bằng cách tịnh tiến theo phương
trục Oy )
+ Vì hàm số

y= f ( x)

+ Số điểm cực trị của hàm số

y  m f  x 

bằng số cực trị của hàm số
f  x m0
nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình

.

y  m f  x 

và số

f ( x ) +m = 0
y  m f  x 
Vậy để
có 7 điểm cực trị thì phương trình
có hai nghiệm đơn
hoặc bội lẻ.
+ Ta có

f  x   m  0 � f  x   m

.

5   m �1 �
1 �m  5
�
��
�
y f  x
0 � m
m �0
�
Từ đồ thị hàm số
ta có: �
+ Từ giả thiết

m �2019 � 2019 �m �2019

 1

 2

 1 ,  2  và kết hợp điều kiện m �� ta có 2024 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu
Vậy từ
cầu bài toán.
Câu 9.

[2D1-2.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho f ( x) là một hàm đa thức và có đồ thị của hàm số
2
f '( x ) như hình vẽ bên. Hàm số y  2 f ( x)  ( x  1) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?


A. 9.

B. 3.

C. 7.

D. 5.

Lời giải
Tác giả:Thanh Toàn ; Fb: Thanh Toàn
Chọn D
2
Xét hàm số g ( x)  2 f ( x)  ( x  1) .

 Tìm số điểm cực trị của

g  x

x0
�
�
x 1
g '( x)  0 � 2 f '( x)  2( x  1)  0 � f '( x)  x  1 � � .
�
x2
�
x3
�
Ta có :

f�
 x  tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ
Kẻ đường thẳng y  x  1 cắt đồ thị
x  0; x  1; x  2; x  3 trong đó tại các điểm có hồnh độ x  2; x  3 là các điểm tiếp xúc,

g�
 x  chỉ đổi dấu khi qua các điểm x  0; x  1 . Vì vậy hàm số g  x  có hai điểm cực trị
do đó
x  0; x  1
 Ta tìm số nghiệm của phương trình
Bảng biến thiên:
�

�

0
0

-

+

g  x   0.

1
0

-

2
0

-

3
0

�
-

g(1)
g(0)

�

y=0

Suy ra phương trình có tối đa ba nghiệm phân biệt.
 Vậy hàm số

y  g ( x)

có tối đa 2 + 3 = 5 điểm cực trị.

Câu 10. [2D1-2.2-4] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho hàm số
y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên �và đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên. Tìm số điểm
f  f  x  1
cực trị của hàm số y  2019
.


A. 13.

B. 11.

C. 10.

D. 12.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb:Hương Nguyễn
Phản biện: Hoàng Vũ; Fb: Hoàng Vũ
Chọn D

Ta có

f f x 1
y '  f '  x  f '  f  x   1 2019     ln 2019

�f '  x   0
(1)
��
�
y'  0
�f '  f  x   1  0 (2)

x1  1
�
�
x2  1
f ' x  0 � �
�
x3  3
�
x4  6
�
Giải (1) :

�f ( x)  1  1
�f ( x )  0
�f ( x)  1  1
�f ( x )  2
�

f '  f ( x)  1  0 �
��
�f ( x)  1  3
�f ( x )  4
�
�
�f ( x)  1  6
�f ( x )  7
Giải (2) :
Dựa vào đồ thị ta có
+) f ( x)  0 có 1 nghiệm x5  6 là nghiệm bội l,

x  1; 1  x7  1;1  x8  3;3  x9  6;6  x10  x5
+) f ( x)  2 có 5 nghiệm 6
là các nghiệm bội
1,
+) f ( x)  4 có 1 nghiệm x11  x6 là nghiệm bội 1,

x  x11
+) f ( x)  7 có 1 nghiệm 12
là nghiệm bội 1,


Suy ra y '  0 có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y ' đổi dấu.
f  f  x  1
Vậy hàm số y  2019
có 12 điểm cực trị.

Câu 11. [2D1-2.2-4] (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số
số như hình vẽ bên dưới.

y  f  x

có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm

g  x   2 f  x  2    x  1  x  3
Số điểm cực tiểu của hàm số
là
3
A. 2 .
B. 1 .
C. .
Lời giải

D. 4 .

Tác giả : Võ Thị Ngọc Ánh ; Fb: Võ Ánh
Chọn A

g�
 x  2 f �
 x  2  2x  4 .
Ta có
g�
 x  0 � f �
 x  2    x  2 .
f�
 t   t .  1
Đặt t  x  2 ta được
 1 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị f �

 t  và đường thẳng d : y  t (hình vẽ)

f�
 t

và đường thẳng y  t ta có
t  1
x  3
�
�
�
�
t0
x  2
�
��
�
�
t 1
x  1
�
�
f�
 t   t �t  2 hay �x  0 .
ta có
g  x
Bảng biến thiên của hàm số
.
Dựa vào đồ thị của

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.