Dang 6. Tìm m để hàm số, đồ thị hàm số các hàm số khác có cực trị thỏa mãn điều kiện(VDT

Câu 1.

[2D1-2.6-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số
f�
 x    x  2  2 x 2  3x  4
y  f  x
�
liên tục trên và có
. Gọi S là tập các số nguyên
2
y  f x  4x  m
m � 10;10
để hàm số
có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng:
A. 10.
B. 5.
C. 14.
D. 4.









Lời giải
Tác giả: Trần Hải;Fb: Trần Minh Hải
Chọn B
2

�
x  2  0

f�
( x)  0 � �
�
x 2  3x  4  0
�
Ta có:

Đặt



y  g ( x)  f x 2  4 x  m



g�
( x)   2 x  4 f �
( x 2  4 x  m)

x2
�
�
2
�x 2  4 x  m  2  0
2x  4  0
�
g�

( x)  0 � � 2
��
( x  4 x  m)  0
�
�f �
h1  x   x 2  4 x  m  1  0(1)
�
�
h2 ( x )  x 2  4 x  m  4  0(2)
�





Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình (1) và (2) có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và
phương trình có lại có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm.
h1 (2) �0
�
�
�
�
�1  0
�
� �0
�
�2
��
h2 (2) �0
�

�
�
� �0
�1
�
�  0
�
�2
�
mà
Câu 2.

0 �m  5
�
�
 0 m5
�m �3 ۣ
�
�
�
�m  0
�

m � 10;10

do đó

m � 0;1;2;3;4

có 5 phần tử.

f  x
[2D1-2.6-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số
có đạo hàm
2
2
f�
 x   x  x  1  x  2mx  5  . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số
f  x
có đúng một điểm cực trị, tìm số tập con khác rỗng của S ?
A. 127 .

B. 15 .

C. 63 .

D. 31 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Sơn; Fb: Nguyễn Văn Sơn
Chọn C
Hàm số

f  x

có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi:
2
Trường hợp 1: Phương trình x  2mx  5  0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi

�
 m 2  5 �0 �  5 �m � 5

 * .


2
Trường hợp 2: Phương trình x  2mx  5  0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
là 1 . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi:
��
m 5
2
�
�


m

5

0
��
�
� ��
� 2
m   5 � m  3  **

1

2

m

5

0


�
�
m3
�
.
 5; 5 �
 * ,  ** suy ra m ��
�
�� 3 .
Từ
m ��� m � 2; 1;0;1;2;3
S   2; 1;0;1; 2;3
Do
hay
.
1
2
3
4
5
6
Suy ra số tập con khác rỗng của S bằng C6  C6  C6  C6  C6  C6  63 .

Câu 3.

[2D1-2.6-3] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m
3
y  x   2m  1 x 2  3m x  5
để hàm số
có 3 điểm cực trị.
� 1�
� 1�
0; �
� 1; � .
�; �
.
�
�
 1; � .
 �;0 .
A.
B. � 4 �
C.
D. � 4 �
Lời giải
FB: dacphienkhao
Chọn C
Xét hàm số

f  x   x 3   2m  1 x 2  3mx  5

, có

f�
 x   3x 2  2  2m  1 x  3m

.

y  f  x   x   2m  1 x 2  3m x  5
3

Hàm số
y  f  x

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
f�
 x   0 có hai
có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 �0  x2 � phương trình
x, x
x �0  x2
nghiệm 1 2 sao cho 1
.
Ta có phương trình

f�
 x  0

�
4m 2  5m  1  0
�  0
��
� �
�

m �0
�P �0
�

có hai nghiệm

x1 , x2

thoả mãn

1
�
m  1 �m 
�
4
�
�
m �0
�

Thử lại: +) với m < 0 thì phương trình
x1 < 0 < x2
(thỏa mãn).

x1 �0  x2

thì

m 0
.

f�
 x   3x 2  2  2m  1 x  3m

có hai nghiệm

x0
�
f�
 x   3x 2  6 x  0 � �
x  2 (thỏa mãn).
�
+) với m  0 thì
Vậy
Câu 4.

m � �;0

thỏa mãn u cầu bài tốn.

( x)  x 2 ( x  1)( x 2  2mx  5) .
[2D1-2.6-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f �
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị?
A. 0 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Lê Hải Thuy, Fb: Haithuy

Chọn C
Để hàm số

Ta có:

f  x

có đúng một điểm cực trị thì

f�
 x

đổi dấu đúng một lần.

�
x2  0
�
f�
 x   0 � �x  1
�
x 2  2mx  5  0
�

2
Đặt g( x)  x  2mx  5 . Để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị xảy ra các khả năng sau:

 m 2  5  0 � m  � 5 không thỏa mãn m
+) TH1: g ( x)  0 có nghiệm kép, điều kiện là �
nguyên.

+) TH2: g ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 . TH này xảy ra
0
�
��
� m  3.
�g  1  0
2
+) TH3: g ( x)  0 vô nghiệm tức  '  0 � m  5  0 �  5  m  5 , do m nguyên nên
m � 2; 1;0;1; 2
: có 5 giá trị của m . Vậy có 6 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 5.

f '  x    x  2

2

x

2

 4 x  3

với mọi x ��. Có bao
y  f  x 2  10 x  m  9 
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực
trị?
[2D1-2.6-3] (Hàm Rồng ) Cho hàm số

A. 18 . B. 17 .

C. 16 .

D. 15 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Mai Hoa, Fb: Mai Hoa.

Chọn C
Dấu của:

Vì

y '   2 x  10  . f '  x 2  10 x  m  9 

.

x5
�
�2
x  10 x  m  9  1
y '  0 � �2
�
x  10 x  m  9  2( L)
�2
x  10 x  m  9  3
�
.
x5
�

�2
��
x  10 x  m  9  1 (1)
�
x 2  10 x  m  9  3 (2)
�
Vậy hàm số đã cho có 5 cực trị
có 5 nghiệm phân biệt khác 5.
� Mỗi pt (1) và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 5.


25   m  8  0
�
�
25   m  6  0
��
� m  17
�
m �17
�
m �19
�

.

Vậy các giá trị m nguyên dương thõa mãn:
Câu 6.

m � 1; 2; 3....; 16

[2D1-2.6-3] (CổLoa Hà Nội)Cho hàm số

.

f  x   2001mx 4   m2  4  x 2  2019

số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
điểm cực tiểu?
A. 0 .
B.vô số.
C. 2 .
Lời giải

y  f  x

, với m là tham

có 2 điểm cực đại và 1
D. 1 .

Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh
Chọn B
f '  x   8004mx3  2  m2  4  x  2 x  4002 mx 2  m 2  4 

f '  x   8 x  0 � x  0 f "  0   8  0
+ TH1: m  0 thì
,
. Hàm số chỉ có một cực đại tại

x  0 nên không thỏa mãn đề bài.

x0
�
�
f '  x   0 � 2 4  m2
�
x 
� 4002m
m
�
0
+ TH2:
thì

m  2
�
4  m2
0� �
f ' x  0
0m2
�
Để hàm số có 3 cực trị thì
có 3 nghiệm phân biệt , khi đó 4002m

Phương trình

f ' x  0

có 3 nghiệm phân biệt

x  0; x1,2  �

4  m2
4002m .

Nếu 0  m  2 ta có bảng biến thiên

Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên 0  m  2 không thỏa mãn đề bài.
Nếu m  2 ta có bảng biến thiên


Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu nên m  2 thỏa mãn đề bài.
Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta làm như sau
f '  x   8004mx3  2  m2  4  x  2 x  4002 mx 2  m 2  4 

f '  x   8 x  0 � x  0 f "  0    8  0
+ Xét m  0 thì
,
. Hàm số chỉ có một cực đại tại

x  0 nên không thỏa mãn đề bài.

�2001m  0
�
y  f  x
2001m(m 2  4)  0
+ Để hàm số
có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu thì �
m0
�

m0
m0
�
�
�
�� 2
��2
� ��
m  2 � m  2
m
(
m

4)

0
m

4

0
�
�
��
m2
��
.
Câu 7.

[2D1-2.6-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Có bao nhiêu

y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m
giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 7 điểm cực trị?
A. 3.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Lời giải
Tác giả: Mai Liên; Fb: mailien.
Chọn D

Xét hàm số

f  x   3 x 4  4 x 3  12 x 2  m

. Ta có

x0
�
��
x  1
�
3
2
x2
f�
 x   12 x  12 x  24 x  0 �
�

.

Bảng biến thiên:

Để hàm số

y  f  x

có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số

y  f  x

phải cắt trục Ox tại 4 điểm

�m  0
��
�0m5
m5 0
phân biệt �
.
� m � 1;2;3;4
Mà m ��
. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Câu 8.

[2D1-2.6-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa mãn
y  x 4  10 x 2  m
đồ thị hàm số
có đúng 7 điểm cực trị. Số phần tử của tập hợp S �� là
A. 24.
B. 23.

C. 26.
D. 25.
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Giang ; Fb: Giang Lê
Chọn A


x0
�
3
�
f
x

4
x

20
x

0
�


�
f  x   x 4  10 x 2  m
x�5
�
Gọi
. Ta có

Bảng biến thiên của hàm số

f  x   x 4  10 x 2  m

:

y  f ( x)
Ta có số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y  f ( x ) và
số nghiệm của phương trình f ( x)  0 (khơng trùng với các điểm cực trị của hàm số). Do đó để
y  x 4  10 x 2  m
hàm số
có đúng 7 điểm cực trị thì f ( x)  0 có 4 nghiệm phân biệt
� 0  m  25 . Vậy S ��  1; 2;...; 24 .
Câu 9.

[2D1-2.6-3] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị

y    x  1  3m 2  x  1  2
3

hàm số

1
m�
3 .
A.

1
m�

2.
B.

có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ.
C. m  5 .
D. m  5 .
Lời giải
Tác giả: Đào Thị Kiểm ; Fb: Đào Kiểm

Chọn B

y '  3  x  1  3m 2
2

Ta có

.

x 1  m
x  1 m
�
�
2
2
y�
 0 � 3  x  1  3m 2  0 �  x  1  m 2 � �
��
x  1  m
x  1 m
�

�
.
Để hàm số có 2 cực trị thì m �0 .
A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hồnh độ lần lượt là x A  1  m ; xB  1  m .
Gọi
Khi đó

A  1  m ;2m3  2  ; B  1  m ;  2m3  2 

.

Hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ nên OA  OB � OA  OB
2

2

�
m  0  ktm 
�
� 4m  m  0 �
1
�
m  �  tm 
�
2
.
3



�  1  m   2m 3  2
2

   1  m    2 m
2

2

3

2



2

1
m�
2.
Vậy
Câu 10. [2D1-2.6-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Hình vẽ bên là đồ thị
của hàm số y  f ( x) . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

y  f ( x  1)  m

có 7 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng


A. 6.

B. 9.

C. 12.

D. 3.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Thị Nhàn; Fb: NhanDo
Chọn D

( x)  f �
( x  1) .
Xét hàm số g ( x)  f ( x  1)  m . Ta có g �
Vì hàm số

f  x

có 3 điểm cực trị do đó hàm số g ( x )  f ( x  1)  m có 3 điểm cực trị.

y  f ( x  1)  m
Để hàm số
có 7 điểm cực trị thì phương trình f ( x  1)   m phải có có 4
nghiệm đơn phân biệt hay 3   m  2 � 2  m  3.
m � 1, 2
Vì m nguyên dương nên
, chọn D.
Câu 11. [2D1-2.6-3] (THTT lần5) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m không vượt quá
x2
y   xm2
8

2019 để hàm số
khơng có điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2018.
D. 2019.
Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Thúy Nhung; Fb: Thúy Nhung Đinh
Chọn B
Tập xác định:

Ta có

y�


D   m  2;  �

x xm2 2
x
1
y�


4 2 xm2 �
4 xm2

y�
 0 � x x  m  2  2  0 � x x  m  2  2  1

x2
 x m 2
 0 vô nghiệm hoặc có
8
Hàm số
khơng có điểm cực trị � phương trình y�
 1 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
nghiệm kép �
y

Vì m nguyên dương nên m  2  0
m  2  x  0
�
�
� m  2  x  0
�m  2  x  0
��
4
� �3
 1 � �2

m

2

x

 g  x
2
�

2
x  x  m  2  4
x   m  2 x  4
�
�
x
�
Ta có:
g�
 x  1

8 x3  8
 3  0 � x  2
x3
x


Từ bảng biến thiên của

 1

g  x

suy ra

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép �  m  2 �3 ۣ m 1

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương nên suy ra m  1 .

y  f  x

f '  x    x  1  x  m   x  3
có đạo hàm
g  x  f  x 
m � 5;5
với mọi x ��. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có 3 điểm cực trị?
A. 3.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Lời giải

Câu 12. [2D1-2.6-3] (Kim Liên) Cho hàm số

4

5

3

Tác giả: Lê Văn Kỳ, FB: Lê Văn Kỳ
Chọn C
Đồ thị hàm

f  x

được suy ra từ đồ thị hàm số

f  x

bằng cách.

- Bỏ phần bên trái trục Oy.
- Giữ và lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục Oy.

f  x
Ta thấy x  0 là một điểm cực trị của hàm số
.
g  x  f  x 
Do đó hàm số
có 3 điểm cực trị khi phần đồ thị bên phải trục Oy có một điểm
� f ' x
cực trị
đổi dấu 1 lần với x  0 � m  0 .
Mà

m � 5;5

và

m ��� m � 1; 2;3; 4;5 .

y  f  x
Câu 13. [2D1-2.6-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số
xác định trên �có
9
1
y f�

f  3  8 f  4   2 f  2   2
 x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi
;
;
. Biết rằng hàm số
đồ thị hàm số

y  2 f  x    x  1

2

có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 5.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền

Chọn D
Nhận xét: Số cực trị của hàm số
điểm của đồ thị hàm số

y  f  x

y  f  x

g ( x )  2 f  x    x  1 , x ��
2

Đặt

Ta có:

bằng số cực trị của hàm số

y  f  x

với trục hoành.

h  x   2 f  x    x  1 , x ��
và
.
2

h '  x   2 f '  x   2  x  1 � h '  x   0 � f '  x   x  1

(*)

Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hồnh độ giao điểm của đồ thị
x  1
�
�
x 1
 * � �

�
x2
�
x3
�
thẳng y  x  1 , ta có:
Ta có bảng biến thiên của hàm số

h  x

như sau:

Ta có:
h  2   2 f  2    2  1  0
2

vì

f (2) 
vì

h  4   2 f  4    4  1  0

f  4 

2

Suy ra

h  x  0

Suy ra

g  x  h  x

vì

1
2

f  3  8

h  3  2 f  3   3  1  0
2

cộng với số giao

9
2

có đúng hai nghiệm phân biệt
có đúng 5 điểm cực trị.

x1 � 3;  1

và

x2 � 3; 4 

.

y f�
 x

và đường


.
Câu 14. [2D1-2.6-3] (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số
y f�
 x  có đồ thị như hình bên dưới.

y  f  x

xác định trên R và hàm số

g  x  f  x  m
g  x
Đặt
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có đúng
7 điểm cực trị?

B. 3 .

A. 2 .

C. 1 .

D. vơ số.



Phân tích bài tốn:


giải.

Đây là bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có nhiều cách

y f�
 x  nên sẽ lập được bảng biến thiên của
Đề bài cho biết đồ thị hàm số
y  f  x
y  g  x
hàm số
nên sẽ biết được số cực trị của hàm số, do hàm
là hàm số chẵn nên
�
đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
hàm số luôn có một điểm cực trị là x  0 .
g  x
Vậy để hàm
có đúng 7 điểm cực thì đồ hàm số đó phải có đúng 3 điểm cực trị bên phải
trục Oy .




Số điểm cực trị của đồ thị của hàm số

y  f  x  m
trị của hàm số
.

y  g  x

bên phải trục tung là số điểm cực

 C  của hàm số y  f  x  suy
Lưu ý kiến thức về phép tịnh tiến đồ thị: Từ đồ thị
y  f  x  m
 C  sang trái m đơn vị nếu m  0 và
ra đồ thị của hàm số
bằng cách tịnh tiến
 C  sang phải m đơn vị nếu m  0 và công thức chuyển hệ trục tọa độ là:
tịnh tiến
�x  X  m
�
� X 1  0  X 2 � X 1  m  m  X 2  m � x1  m  x2
�y  Y
.
Lời giải


Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu
Chọn A
Từ đồ thị của hàm số

y f�
 x

ta có bảng biến thiên của hàm số

y  f  x

như sau:


g  x  f  x  m
xác định trên R � Hàm số
là hàm số chẵn trên R � Đồ
y  g  x
thị của hàm số
nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số

y  f  x

y  f  x  m
có đúng 7 điểm cực trị thì hàm số
phải có đúng 3 điểm cực trị phía
m  3
�
�
m  2 .
bên phải trục tung � 3 �m  1 , do m nguyên nên �
Để

g  x

PHÂN TÍCH CÂU 49: ( Cơ Trần Thị Thanh Thủy – chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên )
FB: Song Tử Mắt Nâu
Câu 15. [2D1-2.6-3] (Liên Trường Nghệ An) (Trần Thị Thanh Thủy) Cho hàm số
y f�
 x  có đồ thị như hình bên dưới.
trên R và hàm số

y  f  x

xác định

g  x  f  x  m
g  x
Đặt
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có đúng
7 điểm cực trị?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. Vơ số.

Chọn A
* Phân tích bài tốn:

Đây là bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm số.
g  x  f  x  m
Hàm số
là hàm số chẵn suy ra đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
Do đó hàm số ln có một cực trị là x  0 .


g  x
g ' x  0
Vậy để hàm số
có đúng 7 điểm cực trị thì
phải có 3 nghiệm dương phân biệt
hoặc có 4 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0 và 3 nghiệm còn lại lớn hơn 0.
Cách 1

f�
 x   0 � x  3; x  1; x  2; x  5 .
ta thấy
�
�f  x  m  khi x �0
y  g  x   f  x  m  �
�f   x  m  khi x  0
Ta có
y  g  x  f  x  m
Dễ thấy hàm số
là hàm số chẵn trên �. Do đó hàm số
y  g  x  f  x  m
y  f  x  m
có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
có 3 điểm cực trị

dương.
x  m  3 �
x  m  3
�
�
x  m  1 �
x  m  1
y  f  x  m  � y�
 f�
��
 x  m  0 � �
�
�
xm2
x  m  2
�
�
xm5
x  m  5 .
�
�
Xét hàm số
Từ đồ thị hàm số

y f�
 x

Dựa vào đồ thị hàm số

y f�

 x

y  f  x  m
, để hàm số
có 3 điểm cực trị dương thì
�m  1  0
� 3 �m  1
�
�m  3 �0
.

Cách 2
Xét hàm số

g  x  f  x  m

g ' x 

Ta có:

�
�f '  x  m   0
. f ' x  m  0 � �
x2
�x �0

x

�x
�

�x
��
�x
�x
f ' x  m  0
�
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra:

 m  3

�x
�
 m  1 �x
��
m2
�x
�x
m5
�

 m  3
 m  1
 m  2
 m  5

�m  3 �0 �m �3
��
��
� m   3; 2
g  x


m

1

0
m


1
�
�
Để hàm số
có 7 cực trị
.