Dang 5. Bài toán thực tế(VDT

Câu 1.

[2D2-4.5-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Anh Minh muốn sau

3

năm nữa

có một khoản tiền 500 triệu đồng để mua ôtô. Để thực hiện việc đó, anh Minh xây dựng kế
hoạch ngay từ bây giờ, hàng tháng phải gửi một khoản tiền không đổi vào ngân hàng theo thể
thức lãi kép và không rút tiền ra trong

3

năm đó. Giả sử rằng lãi suất khơng đổi là

/tháng. Hỏi số tiền anh Minh phải gửi hàng tháng là bao nhiêu để sau
triệu? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)
A. 12.292.000 đồng.

B. 13.648.000 đồng.

C. 10.775.000 đồng.

0,65%

3 năm anh có được 500
D. 11.984.000 đồng.

Lời giải
Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung

Chọn A
Áp dụng công thức gửi tiết kiệm, ta có khoản tiền nhận được sau
đồng, lãi suất

36 tháng khi gửi mỗi tháng x

0,65% /tháng:

( 1+ α %)
N=x

n

−1

α%

( 1+ α %)

( 1 + 0,65% )
⇔ 500.000.000 = x

36

0,65%

−1

( 1 + 0,65% )

⇔ x ≈ 12.292.000 đồng.
Cách 2. Tự luận
Gọi

x đồng là số tiền anh Minh gửi mỗi tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là:
Sau tháng thứ hai, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là:

x ( 1 + 0,65% ) .

x ( 1 + 0,65% ) + x ( 1 + 0,65% ) .
2

…
…
…
Sau tháng thứ ba mươi sáu, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là

x ( 1 + 0,65% ) + x ( 1 + 0, 65% ) + ... + x ( 1 + 0,65% ) = x ( 1 + 0,65% )
36

35

Để số tiền có được là

500 triệu đồng thì

( 1 + 0,65% )

( 1 + 0,65% )
500.000.000 = x

0,65%

0,65%
36

−1

36

−1
.

( 1 + 0, 65% )

⇔ x ≈ 12.292.000 đồng.
Câu 2.

[2D2-4.5-3]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-

Bắc-Ninh-2019) Anh Minh muốn sau 3 năm nữa có một khoản tiền 500 triệu đồng để mua
ơtơ. Để thực hiện việc đó, anh Minh xây dựng kế hoạch ngay từ bây giờ, hàng tháng phải gửi

một khoản tiền không đổi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép và khơng rút tiền ra trong
đó. Giả sử rằng lãi suất không đổi là

3 năm

0,65% /tháng. Hỏi số tiền anh Minh phải gửi hàng tháng

3 năm anh có được 500 triệu? (kết quả làm trịn đến hàng nghìn)
A. 12.292.000 đồng.
B. 13.648.000 đồng. C. 10.775.000 đồng. D. 11.984.000 đồng.
là bao nhiêu để sau

Lời giải
Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung
Chọn A
Áp dụng công thức gửi tiết kiệm, ta có khoản tiền nhận được sau
đồng, lãi suất

36 tháng khi gửi mỗi tháng x

0,65% /tháng:

( 1+ α %)
N=x

n

−1

α%

( 1+ α %)

( 1 + 0,65% )
⇔ 500.000.000 = x

36

0,65%

−1

( 1 + 0,65% )

⇔ x ≈ 12.292.000 đồng.
Cách 2. Tự luận
Gọi

x đồng là số tiền anh Minh gửi mỗi tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là:
Sau tháng thứ hai, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là:

x ( 1 + 0,65% ) .

x ( 1 + 0,65% ) + x ( 1 + 0,65% ) .
2

…
…

…
Sau tháng thứ ba mươi sáu, số tiền trong ngân hàng của anh Minh là

x ( 1 + 0,65% ) + x ( 1 + 0, 65% ) + ... + x ( 1 + 0,65% ) = x ( 1 + 0,65% )
36

Để số tiền có được là

35

500 triệu đồng thì

( 1 + 0,65% )

( 1 + 0,65% )
500.000.000 = x

0,65%

0,65%
36

−1

36

−1
.

( 1 + 0,65% )

⇔ x ≈ 12.292.000 đồng.
Câu 3.

[2D2-4.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2)Sau khi tốt nghiệp đại học, anh Nam thực hiện một dự án
khởi nghiệp. Anh vay vốn từ ngân hàng 200 triệu đồng với lãi xuất 0,6% một tháng. Phương
án trả nợ của anh Nam là: Sau đúng 1 tháng kể từ thời điểm vay anh bắt đầu trả nợ, hai lần trả
nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền trả mỗi lần là như nhau và hoàn thành sau đúng
5 năm kể từ khi vay. Tuy nhiên khi dự án có hiệu quả và đã trả nợ được 12 tháng theo phương
án cũ anh Nam muốn rút ngắn thời gian trả nợ từ tháng tiếp theo, mỗi tháng a trả nợ cho ngân


hàng 9 triệu đồng . Biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu tháng kể từ thời điểm vay thì anh Nam trả hết nợ ?
A. 32 tháng.
B. 31 tháng
C. 29 tháng
D. 30 tháng
Lời giải
Tác giả: Hán Văn Sơn; Fb: Han Son
Chọn A

A là số tiền anh Nam phải trả theo phương án cũ.
Vậy số tiền anh Nam còn nợ ngân hàng sau n tháng là
n
n −1
200 ( 1 + 0,006 ) − A 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0,006 ) 


Gọi:

Số tiền anh Nam còn nợ ngân hàng sau 12 tháng
12
11
P = 200 ( 1 + 0,006 ) − A 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0,006 ) 



Số tiền anh Nam còn nợ ngân hàng sau

m

tháng theo phương án mới

P ( 1 + 0,006 ) − 9 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0,006 )

m

m −1




Theo bài ra ta có hệ phương trình:

 200 ( 1 + 0,006 ) 60 − A 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0,006 ) 59  = 0





12
11
m
  200 ( 1 + 0,006 ) − A 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0,006 )   ( 1 + 0,006 ) − 9 1 + (1 + 0,006) + ... + ( 1 + 0, 006




60

200 ( 1, 006 ) 0,006
A =
60
( 1,006 ) − 1

⇔
12
m
1,006 ) − 1 
1, 006 ) − 1
(
(

12
m
  200 ( 1,006 ) − A 0,006  ( 1,006 ) − 9 0, 006 = 0
( *)

 
Giải hệ

( *)

ta được

Vậy sau ít nhất
Câu 4.

m ≈ 19,54657 .

32 tháng thì anh Nam sẽ trả hết nợ. vậy chọn đáp án A

[2D2-4.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) (Sở Phú Thọ, lần 1, 2019) Ông A muốn mua một chiếc ơ
tơ giá trị 1 tỉ đồng, nhưng vì chưa đủ tiền nên ơng chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng
(số tiền trả góp mỗi tháng như nhau) với lãi suất 12% / năm và trả trước 500 triệu đồng. Hỏi
mỗi tháng ông phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm kể từ ngày
mua xe, ông trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiên sau ngày mua ơ tơ đúng một tháng và chỉ tính lãi
hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó?
A. 23.573.000 (đồng).
B. 23.537.000 (đồng).
C. 22.703.000 (đồng).
D. 24.443.000 (đồng).
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn B
Đặt

q = 1 + 1% = 1,01 .

T (triệu đồng), T = 500 .

Gọi số tiền ông A trả hàng tháng là X (triệu đồng).
Gọi số tiền ông A vay là


Gọi số tiền còn nợ sau

n tháng là Tn , n ∈ N * .

Ta có:

T1 = Tq − X
T2 = T1q − X = ( Tq − X ) q − X = Tq 2 − X ( q + 1)

(

)

(

)

T3 = T2 q − X = Tq 2 − X ( q + 1) q − X = Tq3 − X q 2 + q + 1
…

(

)

Tn = Tq n − X q n− 1 + q n−1 + ... + q + 1
qn − 1

Tn = Tq − X
Vậy
q −1
n

Áp dụng cơng thức trên ta có, sau đúng 24 tháng số tiền ơng A cịn nợ là

T24 = 500.1.0124 − X

1.0124 − 1
=0
0.01

500.1.0124.0.01
⇒X=
≈ 23.53673611
(triệu đồng)
1.0124 − 1
Bài toán tổng quát:
Một người vay ngân hàng số tiền

T (đồng) với lãi suất r

%/tháng.

Người đó bắt đầu trả nợ ngân hàng sau đúng một tháng kể từ ngày vay, hai lần trả cách nhau
đúng một tháng và lãi hàng tháng được tính trên số dư nợ thực tế của tháng đó.
Đặt

q = 1 + r % . Ta có:

1. Nếu mỗi lần trả số tiền là

X (đồng) thì sau n tháng người đó cịn nợ số tiền là
qn − 1
Tn = Tq − X
q − 1 (đồng)
n

2. Để trả hết nợ sau đúng

n tháng thì người đó phải trả số tiền mỗi lần là
T .q n . ( q − 1)
X=
qn − 1

Câu 5.

(đồng)

[2D2-4.5-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Thầy giáo

10 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn 4 tháng. Biết rằng lãi
0,5% / tháng. Hỏi sau 2 năm thầy giáo thu được số tiền lãi gần nhất với

Công gửi vào ngân hàng
suất của ngân hàng là
số nào sau đây?
A. 1.262.000 đ.

B. 1.271.000 đ.

C. 1.272.000 đ.

D. 1.261.000 đ.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Mạnh Hà; Fb: Đỗ Mạnh Hà
Chọn A


Lãi suất theo kỳ hạn
Sau

2

năm ta có

6

4

tháng bằng

2% .

kỳ hạn, do đó số tiền cả gốc và lãi bằng: 10

( 1 + 2% )

6

= 11.261.624 đồng.

Do đó số tiền lãi bằng: 1.261.624 đồng.
Câu 6.

[2D2-4.5-3] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Anh An vay
ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7% /1 tháng theo phương thức trả góp, cứ mỗi tháng
anh An sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ. Hỏi sau
bao nhiêu tháng thì anh An trả được hết nợ ngân hàng? (Biết lãi suất ngân hàng không thay
đổi).
A.

21 tháng.

B.

23 tháng.

C.

22

tháng.

D.

20 tháng.

Lời giải
Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc
Chọn C
Gọi

N

là số tiền vay ngân hàng ban đầu,

tháng để sau

n tháng thì hết nợ.

Sau 1 tháng thì số tiền gốc và lãi là

r

là lãi suất mỗi tháng,

A

là số tiền phải trả mỗi

N + Nr , người đó trả A đồng nên số tiền còn nợ là:

N + Nr − A = N ( 1 + r ) − A .
Sau

2

tháng,

số

tiền

còn

nợ

là:

A
2
2
2
 N ( 1 + r ) − A +  N ( 1 + r ) − A r − A = N ( 1 + r ) − A  ( 1 + r ) + 1 = N ( 1 + r ) −  ( 1 + r ) − 1
.
r
Sau 3 tháng, số tiền còn nợ là

N ( 1+ r ) −

A
3
( 1 + r ) − 1 .
r

Sau n tháng, số tiền còn nợ là

N ( 1+ r ) −

A
n
( 1 + r ) − 1 .
r

3

n

Để trả hết nợ sau

⇒ N ( 1+ r ) −
n

n tháng thì số tiền này phải bằng 0 .

A
n
( 1 + r ) − 1 = 0 .
r

A  −A
A
n
n
 A 
⇔ ( 1 + r )  N − ÷=
⇔ ( 1+ r ) =

⇔ n = log1+ r 
÷
r r
A − Nr

 A − Nr  .
Áp dụng với

N = 100 (triệu đồng), r = 0,7% = 0,007 , A = 5 (triệu đồng).

5


⇒ n = log1,007 
÷ ≈ 21,62
5
−
100.0,007
.


Vậy sau

22

tháng thì anh An trả hết nợ.


Câu 7.

[2D2-4.5-3] (Nguyễn Khuyến) Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7,5%
một năm. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được
nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm ngườiđóthuđược (cả
số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giảđịnh trong khoảng thời gian này lãi
suất không thay đổi và ngườiđó khơng rút tiền ra?
A. 11 năm.

B.

C. 12 năm.

9 năm.

D. 10 năm.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen
Chọn D
Giả sử số tiền gửi ban đầu là

( n∈ ¥ ) .

V (vnđ) và sau ít nhất

n

năm thu được gấp đơi số tiền ban đầu

*

n

Số tiền người đó thu được sau năm gửi là V (1 + 0,075) .
Sau

n

n năm số tiền người đó thu được gấp đơi số tiền ban đầu nên ta có

V (1 + 0,075) n = 2V ⇔ 1,075n = 2 ⇔ n = log1.075 2 ⇔ n ≈ 9,58 .
Vậy sau ít nhất
đầu.
Câu 8.

10 năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban

[2D2-4.5-3] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)Để đủ tiền mua nhà, anh Hoàng vay ngân hàng
500 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85%/tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ
thời điểm vay, anh Hoàng trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền
lãi vay và tiền gốc. Biết rằng phương thức trả lãi và gốc khơng thay đổi trong suốt q trình anh
Hồng trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (Tháng cuối có thể trả
dưới 10 triệu đồng).
A.

67 .

B.

65 .

C. 68 .
Lời giải

D.

66 .

Tác giả: Chu Quốc Hùng; Fb:Tri Thức Trẻ QH
Chọn D
Gọi

x là số tiền hoàn nợ mỗi tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay.

Số tiền còn nợ ngân hàng sau một tháng là:

S + S .r = S ( 1 + r )

(triệu đồng).

S ( 1+ r ) − x

(triệu đồng).

S ( 1 + r ) − x +  S ( 1 + r ) − x  r − x = S ( 1 + r ) − x  ( 1 + r ) + 1

(triệu đồng).

Sau khi hồn nợ lần thứ 1 thì số tiền cịn nợ là:
Sau khi hồn nợ lần thứ

2

thì số tiền cịn nợ là:
2

Sau khi hồn nợ lần thứ

3 thì số tiền cịn nợ là:

{

}

S ( 1 + r ) − x  ( 1 + r ) + 1 + S ( 1 + r ) − x  ( 1 + r ) + 1 r − x
2

2


3
2
= S ( 1 + r ) − x  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + 1



(triệu đồng).

…
Lý luận tương tự, sau khi hoàn nợ lần thứ

S ( 1+ r ) − x ( 1+ r )

n

n−1

+ ( 1+ r )

n− 2

n thì số tiền còn nợ ngân hàng là:

+ ... + 1


( 1 + r ) − 1 = S 1 + r n − x  1 + r n − 1
= S ( 1+ r ) − x
( )
( ) 
r
( 1+ r ) − 1
n

n

S .r ( 1 + r )

Vì sau

n

n

x
n
n
S ( 1 + r ) −  ( 1 + r ) − 1 = 0 ⇔ x = 1 + r n − 1
( ) .

tháng trả hết nợ, cho nên:
r

500.106 (1 + 0,0085) n .0,0085
10.10 =
Thay vào cơng thức, ta có:
.
(1 + 0,0085) n − 1
6

Sử dụng máy tính tìm được
Câu 9.

n ; 65,38 . Vậy sau 66

tháng thì anh Hồng trả hết nợ.

[2D2-4.5-3] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là

4

1 tháng (chuyển vào tài khoản ngân hàng của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng).
Từ tháng 1 năm 2019 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi 1% trên 1
tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2019 mẹ đi rút toàn số tiền ( gồm số tiền của tháng 12 và số tiền
gửi từ tháng 1 ). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn
triệu đồng trên

đồng).
A.

50970000 đồng.

B.

50560000 đồng.

C. 50670000 đồng. D. 50730000 đồng.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Tiến Phúc ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc

Chọn D
Gọi sô tiền mẹ gửi vào ngân hàng vào đầu tháng hàng tháng là

A

đồng.

Số tiền mẹ lĩnh vào đầu tháng 12 là T đồng.
Lãi suất hàng tháng mẹ gửi tại ngân hàng là r %.
Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm
Ta có:

+) Đầu tháng 1 mẹ gửi vào

⇒
⇒

2

cuối tháng

+) Đầu tháng

11 tháng.

A + Ar = A ( 1 + r ) đồng.

số tiền của mẹ gửi vào là:

2

nên thời gian được tính lãi suất là

A đồng.

cuối tháng 1 số tiền của mẹ là:

+) Đầu tháng

2019

số tiền của mẹ là:

A + A ( 1 + r ) đồng.

 A + A ( 1 + r )  ( 1 + r ) = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r )

3 số tiền mẹ gửi vào là: A + A ( 1 + r ) + A ( 1 + r )

2

.

2

đồng.


⇒

cuối tháng

3 số tiền của mẹ là:

 A + A( 1+ r ) + A( 1+ r ) 2  ( 1+ r ) = A( 1+ r ) + A( 1+ r ) 2 + A( 1+ r ) 3
.


Cứ như vậy đến cuối tháng thứ

11 số tiền của mẹ là:

2
11
2
11
A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) + ... + A ( 1 + r ) = A  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... + ( 1 + r )  = T1 .



Ta thấy

 ( 1 + r ) + ( 1 + r ) 2 + ... + ( 1 + r ) 11 

 là tổng của 1 cấp số nhân với u1 = 1 + r ,n = 11,q = 1 + r .

⇒ T1 = A

u1 ( 1 − q11 )
1− q

. Ta có:

A = 4000000
r = 1% = 0.01

⇒ T1 ≈ 46730000 đồng.
Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm

2019 ⇒ T = T1 + 4000000 = 50730000 đồng.

Câu 10. [2D2-4.5-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Ông A vay ngân hàng 200 triệu

đồng với lãi suất 1%/tháng. Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách sau: Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,
số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư
nợ thực tế của tháng đó và sau đúng hai năm kể từ ngày vay ông A trả hết nợ. Hỏi số tiền mỗi
tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A.

9,85 triệu đồng.

B.

9,44 triệu đồng.

C.

9,5 triệu đồng.

D.

9,41 triệu đồng.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Như Quyền ; Fb:Nguyễn Như Quyền
Chọn D

( 1 + r ) .A.r = ( 1 + 1% ) .200.1% ≈ 9, 41
m=
n
24
( 1 + r ) −1

( 1 + 1% ) − 1
Ta có
(triệu đồng).
n

24

m (triệu đồng) là số tiền cần trả mỗi tháng, r ( % ) là lãi suất mỗi tháng, A (triệu
đồng) là số tiền vay ban đầu, n (tháng) là số tháng trả để ơng A trả hết nợ.
Trong đó:

Câu 11. [2D2-4.5-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cơ Ngọc vay ngân hàng một số tền với lãi suất 1% /
tháng. Cơ ấy muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày cho vay,
cô ấy bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở

5 triệu đồng và cô ấy trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay (số tiền hoàn nợ
tháng cuối cùng có thể ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số
mỗi tháng là

dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào trong các số dưới
đây?
A.

224

triệu đồng.

B.

222

triệu đồng.

C.

221 triệu đồng.

D. 225 triệu đồng.

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Nga ; Fb: Nga Lê.


Chọn A
Gọi số tiền cô Ngọc vay là

A , số tiền trả hàng tháng là m . Với lãi suất là 1% / tháng thì :

A + Ar − m = A ( 1 + r ) − m .

Cuối tháng 1 còn nợ :

Cuối tháng 2 còn nợ: A ( 1 + r ) − m +  A ( 1 + r ) − m  r − m = A ( 1 + r ) − m  ( r + 1) + 1 .
2

Cuối tháng

 A ( 1 + r ) 2 − m  ( r + 1) + 1  ( 1 + r ) − m





3 còn nợ :

3
2
= A ( 1 + r ) − m  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + 1 .



Cứ như vậy cuối tháng

n còn nợ:

A( 1+ r ) − m ( 1+ r )


+ ( 1+ r )

n

n−1

n− 2

+ ... + ( 1 + r ) + 1


( 1+ r ) − 1 = A 1+ r n − m ( 1+ r )
= A( 1+ r ) − m

( )
r
( 1+ r ) − 1
n

n

n

−1
.

n
( 1+ r ) − 1
1+ r ) − 1
(
n
⇔
A
=
m
n
A( 1+ r ) − m
=0
1
+
r
r .
(
)

Để trả hết nợ thì
r
n

( 1 + 1% ) − 1 = 224,76
A= 5
60
( 1 + 1% ) 1%
( triệu).
60

Áp dụng cơng thức ta có:

Câu 12. [2D2-4.5-3] (Đặng Thành Nam Đề 10) Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10
giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sơi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10
lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng khơng đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số
lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ?
A. 10 − log 4 (giờ).

B. 10log 4 (giờ).

C. 1 + 10log 4 (giờ).

D. 10 − 10log 4 (giờ).

Lời giải
Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông
Chọn A
Gọi

S0

là số lượng lá bèo ban đầu được thả xuống hồ.

Sau 1 giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là
Sau 2 giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là
……….
Sau

n

giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là

S1 = 10S0 ;
S2 = 102 S0 ;
Sn = 10n S0 .

Sau 10 giờ số lượng lá bèo phủ kín mặt hồ nên ta có
Giả sử sau

k

giờ ( 0 <

S10 = 1010 S0 .

k < 10 ) thì số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ


 1010 

1
1 10
1010
k
k
Sk = S10 ⇔ 10 S0 = .10 S0 ⇔ 10 =
⇔ k = log 
÷ = 10 − log 4
4
4
4
Khi đó:
.
 4 
Câu 13. [2D2-4.5-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Một thầy giáo muốn tiết kiệm tiền để mua cho mình

0.5% / tháng. Hỏi
sau ít nhất bao nhiêu tháng thầy giáo có thể mua được chiếc xe ô tô 400 000 000 VNĐ?
A. n = 45 .
B. n = 60 .
C. n = 62 .
D. n = 55 .
một chiếc xe ô tô nên mỗi tháng gửi ngân hàng

8 000 000

VNĐ với lãi suất

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien
Chọn A
* Bài toán tổng quát: Hàng tháng gửi vào ngân hàng với số tiền là
tháng là

r % . Sau n

tháng người gửi có

Tn

a

(đồng), với lãi suất hàng

số tiền.
Lời giải

+ Cuối tháng thứ

I , người gửi có số tiền: T1 = a.r + a = a ( r + 1) ;

+ Đầu tháng thứ

II , người gửi có số tiền: a ( r + 1) + a ;

+ Cuối tháng thứ

II , người gửi có số tiền:

2
T2 =  a ( r + 1) + a  +  a ( 1 + r ) + a  r =  a ( r + 1) + a  ( r + 1) = a  ( r + 1) + ( r + 1)  ;


2
a  ( r + 1) + ( r + 1)  + a ;



+ Đầu tháng thứ

III , người gửi có số tiền:

+ Cuối tháng thứ

III , người gửi có số tiền:

{

}

2
3
2
T3 = a  ( r + 1) + ( r + 1)  + a ( r + 1) = a  ( r + 1) + ( r + 1) + ( r + 1) 



;

…
+ Cuối tháng thứ

n , người gửi có số tiền:

Tn = a  ( r + 1) + ( r + 1)

n

n −1

n
a ( r + 1)  ( r + 1) − 1


+ ... + ( r + 1)  =

.
r

*Áp dụng bài toán:

r = 0.5% = 0.005 , a = 8.106 , Tn = 400.10

6

. Ta có:

n
8.106. ( 0.005 + 1)  ( 0.005 + 1) − 1


 ⇔ ( 1.005) n = 251 ⇔ n = log 251 ≈ 44,5 ≤ 45
400.106 =
1.005
.
201
201
0.005


Câu 14. [2D2-4.5-3] (Sở Hà Nam) Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi
kép, kì hạn là một quý với lãi suất 3%/quý. Sau đúng 6 tháng người này gửi thêm 100 triệu
đồng vào ngân hàng nói trên với kì hạn và lãi suất như trước đó. Hỏi sau 1 năm người này nhận
được số tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với giá trị nào dưới đây? (giả sử trong một năm lãi suất
ngân hàng không đổi và người này không rút tiền ra).
A. 218,64 triệu đồng. B. 210,26 triệu đồng. C. 208,55 triệu đồng. D. 212,68 triệu đồng.
Lời giải
Tác giả: Lê Mai Thanh Dung; Fb: Thanh Dung Lê Mai
Chọn A
6 tháng = 2 quý.
Số tiền người đó có sau 6 tháng là: 100.

( 1 + 3% )

2

= 106,09 (triệu đồng).

Sau khi gửi thêm 100 triệu, số tiền người này gửi trong ngân hàng là 206,09 triệu đồng.
Số tháng còn lại là 6 tháng = 2 quý.

Số tiền sau 1 năm người đó nhận được là:

206,09. ( 1 + 3% ) ≈ 218,64 (triệu đồng).
2

Câu 15. [2D2-4.5-3] (Ba Đình Lần2) Một người vay ngân hàng

100

triệu đồng với lãi suất là

/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng
tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới
tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A.

22 .

B.

23 .

C. 24 .
Lời giải

0,7%

5 triệu đồng và cứ trả hàng
5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu
D.

21 .

Tác giả:Nguyễn Thị Thanh Huyền ; Fb: Huyền Kem Huyền Kem
Chọn A
Gọi số tiền vay ban đầu là

M , số tiền hoàn nợ mỗi tháng là m , lãi suất một tháng là r .

Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn nợ ngân hàng là
Sau khi hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ là

M + Mr = M ( 1 + r )

M ( 1+ r ) − m

(triệu đồng).

(triệu đồng).

Sau khi hoàn nợ lần thứ hai, số tiền còn nợ là

M ( 1 + r ) − m +  M ( 1 + r ) − m  r − m = M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m
2

Sau khi hoàn nợ lần thứ ba, số tiền còn nợ là

M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m +  M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m r − m



2

2

= M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m (triệu đồng).
3

2

Lập luận tương tự, sau khi hoàn nợ lần thứ

n , số tiền còn nợ là

(triệu đồng).


m ( 1 + r )

n
n−1
n− 2
M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) − ... − m ( 1 + r ) − m = M ( 1 + r ) −
r
n

Sau tháng thứ

n −1

⇔ m = ( m − Mr ) ( 1 + r )

Vậy sau

− 1


.

n trả hết nợ thì ta có

m ( 1+ r )
n
M ( 1+ r ) − 
r

Thay số với

n −1

Mr ( 1 + r )
− 1
 =0⇔ m=
n
( 1+ r ) − 1

n

n

⇔ ( 1+ r ) =

n

m ⇔ n = log  m 
÷
( 1+ r ) 
 m − Mr 
m − Mr

M = 100.000.000 , r = 0,7% , m = 5.000.000 ta tính được n ≈ 21,62 (tháng).

22 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.

Câu 16. [2D2-4.5-3] (Chun Bắc Giang) Ơng Bình gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất

0,9% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi
thêm tiền vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau 3 năm số tiền ơng Bình nhận được cả
gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông Bình
khơng rút tiền ra (kết quả được làm trịn đến hàng nghìn).
A.

220.652.000 đồng.

B.

221.871.000 đồng.

C. 221.305.000 đồng. D. 222.675.000 đồng.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy ; Fb: Ngọc Duy

Chọn A
Tổng số tiền lãi và gốc sau

3 năm (tức 36 tháng) khi gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng lãi suất

0,9% /tháng là
S1 = 100 ( 1 + 0,9% ) (triệu đồng).
36

Sau tháng thứ hai, số tiền ơng Bình thu được cả vốn lẫn lãi (khơng tính tới phần vốn và lãi của
số tiền 100 triệu lúc đầu)

2 
1
( 1 + 0,9% ) − 1 ( 1 + 0,9% )
(triệu đồng).
0,9%

Sau tháng thứ ba, số tiền ơng Bình thu được cả vốn lẫn lãi (khơng tính tới phần vốn và lãi của
số tiền 100 triệu lúc đầu)

2 
2
( 1 + 0,9% ) − 1 ( 1 + 0,9% )
(triệu đồng).
0,9%

Sau tháng thứ 36, số tiền ơng Bình thu thu được cả vốn lẫn lãi (khơng tính tới phần vốn và lãi
của số tiền 100 triệu lúc đầu) là

S2 =

2 
35
( 1 + 0,9% ) − 1 ( 1 + 0,9% )
(triệu đồng).
0,9%

Vậy tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau

3 năm ông Bình được nhận là


S = S1 + S2 ≈ 220,652

(triệu đồng).

Câu 17. [2D2-4.5-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm

4.000.000 đồng/tháng. Cứ 3 năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm 7% / 1 tháng. Hỏi
sau 36 năm làm việc anh ta được nhận tất cả bao nhiêu tiền? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn
đồng).

2.575.937.000 đồng.
C. 1.931.953.000 đồng.

1.287.968.000 đồng.
D. 3.219.921.000 đồng.

A.

B.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tú; Fb: Nguyễn Ngọc Tú
Chọn A

3 , anh Hưng nhận được u1 = 4.000.000 × 36

Từ năm thứ nhất đến hết năm thứ

đồng.

Từ đầu năm

4

đến hết năm thứ

6 , anh Hưng nhận được u2 = 4.000.000 × 36 × ( 1 + 7% )

Từ đầu năm

7

đến hết năm thứ

9 , anh Hưng nhận được

u3 = 4.000.000 × 36 × ( 1 + 7% )

đồng.
2

đồng.

…
Từ đầu năm
đồng.
Vậy, sau

34

đến hết năm thứ

36 , anh Hưng nhận được u2 = 4.000.000 × 36 × ( 1 + 7% )

11

36 năm làm việc, anh Hưng nhận được tổng số tiền là

1 − ( 1 + 7% )
u1 + u2 + ... + u12 = 4.000.000 × 36 ×
= 2.575.936.983 ≈ 2.575.937.000
1 − ( 1 + 7% )
đồng.
12

Câu 18. [2D2-4.5-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Ông A vay ngân hàng

100

triệu đồng với lãi

suất 1% / tháng . Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ
ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền
hồn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ơng A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng
mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông
ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 3,03 triệu đồng.

B.

2, 25

triệu đồng.

C.

2, 20

triệu đồng.

D.

2, 22

triệu đồng.

Lời giải
Tác giả: Đổng Quang Phúc ; Fb: Đổng Quang Phúc
Chọn D

T = 100

Gọi

T

là số tiền vay ban đầu, suy ra

Gọi

r

là lãi suất trên một tháng, suy ra

Gọi

triệu đồng.

r = 1% / tháng .

a là số tiền ông A phải trả hàng tháng.

Cuối tháng 1 , ơng A cịn nợ số tiền là:

T ( 1+ r ) − a

1 42 43
T1

.


Cuối tháng 2 , ơng A cịn nợ số tiền là:

= T ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a
1 4 4 44 2 4 4 4 43

T1 ( 1 + r ) − a =  T ( 1 + r ) − a  ( 1 + r ) − a

2

T2

.

T ( 1 + r ) 2 − a ( 1 + r ) − a  ( 1 + r ) − a
=
T
1
+
r
−
a
(
)
Cuối tháng 3 , ơng A cịn nợ số tiền là: 2



= T ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43
3

2

T3

.

n

Lặp lại quá trình như vậy cho tới cuối tháng , theo nguyên lý quy nạp ta dễ dàng có được:

n

Cuối tháng , ơng A cịn nợ số tiền là:

Tn = T ( 1 + r ) − a ( 1 + r )
n

n−1

− a ( 1+ r )

= T ( 1 + r ) − a 1 + ... + ( 1 + r )

n

Ta nhận thấy 1 + ... +

( 1+ r )

n− 2

n− 2

số hạng đầu u1 = 1 , công bội

1 + ... + ( 1 + r )

n− 2

+ ( 1+ r )

n− 2

− ... − a

n−1
+ ( 1+ r )  .


+ ( 1+ r )

n−1

là tổng các số hạng của một cấp số nhân có

q = 1 + r . Áp dụng cơng thức tính tổng, ta có:

 qn − 1  ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) − 1
= u1 
=
÷=
q
−
1
1
+
r
−
1
r
(
)
.


n

n −1

n số hạng,

n

 ( 1 + r ) n − 1

Tn = T ( 1 + r ) − a 

r
Do đó:

 .
n

n
 ( 1 + r ) n − 1
Tr ( 1 + r )
Tn = 0 ⇔ T ( 1 + r ) − a 
=0 ⇔ a=
n
r
( 1+ r ) − 1 .
Để trả hết nợ thì


n

Vì sau đúng 5 năm thì ơng A trả hết nợ nên

a=

100.1% ( 1 + 1% )

( 1 + 1% )

60

−1

n = 60 . Thay T = 100, r = 1%, n = 60 ta được:

60

≈ 2, 22

triệu đồng. Chọn D

Câu 19. [2D2-4.5-3] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Sau một tháng thi cơng thì cơng trình xây dựng
Nhà học thể dục của trường THPT Toàn Thắng đã thực hiện được một khối lượng công việc.
Nếu vẫn tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa cơng trình sẽ hồn
thành. Để sớm hồn thành cơng trình và kịp đưa vào sử dụng, cơng ty xây dựng quyết định từ
tháng thứ hai, mỗi tháng tăng 4% khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi cơng trình sẽ
hồn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?
A. 19.
B.18.
C. 17.
D. 20.
Lời giải
Tác giả: Lieutuan ; Fb:Lieutuan Nguyen
Chọn B
Gọi khối lượng công việc công ty xây dựng đã làm được trong tháng thứ nhất là

x, ( x > 0 ) .


Theo đúng tiến độ như tháng thứ nhất cơng trình hoàn thành sau đúng 23 tháng nữa nên tổng

khối lượng cơng việc phải hồn thành là

24 x.

Theo bài ra, để sớm hồn thành cơng việc thì khối lượng cơng việc mỗi tháng công ty xây dựng
phải làm lập thành cấp số nhân có

u1 = x

cơng bội

Giả sử cơng trình được hoàn thành ở tháng thứ

q = 1,04 .

n sau khi khởi công.

1,04n − 1
x.
= 24 x ⇔ 1, 04 n = 1 + 24.0,04 ⇔ n ; 17,158.
Ta có phương trình:
0,04
Vậy cơng trình được hồn thành ở tháng thứ 18 sau khi khởi công.
Câu 20. [2D2-4.5-3] (Đặng Thành Nam Đề 17) Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm
ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng. Cứ đều đặn sau đúng một tháng kể từ ngày gửi người đó rút
ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó
gần nhất với phương án nào dưới đây? (biết rằng lãi suất khơng thay đổi và tiền lãi mỗi tháng
tính theo số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó).
A. 104 triệu đồng.
B. 106 triệu đồng.

C. 102 triệu đồng.
D. 108 triệu đồng.
Lời giải
Chọn A
Đặt

A = 100 triệu đồng, x = 0,5 triệu đồng, r = 0,6% .

Số tiền còn lại sau tháng thứ 1:

T1 = A(1 + r ) − x.

Số tiền còn lại sau tháng thứ 2:

T2 = [ A(1 + r ) − x ] .(1 + r ) − x = A(1 + r ) 2 − x(1 + r ) − x .

Số tiền còn lại sau tháng thứ 3:

T3 =  A(1 + r ) 2 − x(1 + r ) − x  .(1 + r ) − x = A(1 + r )3 − x(1 + r ) 2 − x(1 + r ) − x .
…………………………………………………………………………………………….
Số tiền còn lại sau tháng thứ 36 :

T36 = A(1 + r )36 − x(1 + r )35 − x(1 + r )34 − ... − x(1 + r ) − x .
= A(1 + r )36 − x  (1 + r )35 + (1 + r )34 + ... + (1 + r ) + 1 .
(1 + r )36 − 1
= A(1 + r ) − x
≈ 104,005
( triệu đồng).
r
36

Câu 21. [2D2-4.5-3] (Sở Đà Nẵng 2019) Anh A vay 50 triệu đồng để mua một chiếc xe giá với lãi suất
1,2%/ tháng. Anh ta muốn trả góp cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, anh bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ
mỗi tháng là như nhau và anh A trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng
ngân hàng chỉ tính lãi khơng đổi là 1,2% trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi
tháng anh A cần phải trả gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 2,41 triệu đồng.

B. 2,40 triệu đồng.
C. 2,46 triệu đồng.
Lời giải

D.

3,22 triệu đồng.

Tác giả:Lê Công Hùng
Chọn A


Gọi

M , r, m

lần lượt là tiền vay ngân hàng, lãi suất ngân hàng và số tiền trả cố định hàng tháng.

Sau tháng thứ 1 thì số tiền anh A còn nợ ngân hàng là:

M (1 + r ) − m

Sau tháng thứ 2 thì số tiền anh A cịn nợ ngân hàng là:

M (1 + r ) 2 − m[ ( 1 + r ) + 1]

Tương tự như vậy thì sau tháng thứ

n thì số tiền anh A còn nợ ngân hàng là:

M ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) + ( 1 + r )

n
m 1 − ( 1 + r ) 
n

= M ( 1+ r ) − 
1 − ( 1 + r ) 

+ ... + 1


n −1

n

n−2

Theo bài tốn thì sau 2 năm ( tức là 24 tháng) thì hết nợ

⇒ M ( 1+ r )

24

Thay số vào:

24
24
m 1 − ( 1 + r ) 
M ( 1 + r ) 1 − ( 1 + r ) 


−
=0⇔ m=
1 − ( 1 + r ) 
1 − ( 1 + r ) 24 



M = 50.000.000; r = 1,2%;

Câu 22. [2D2-4.5-3] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Ông
yết

m = 2410103,252 ~ 2,41 triệu.

ta có:

A

đến tiệm điện máy để mua ti vi với giá niêm

17.000.000 đồng, ông trả trước 30% số tiền. Số tiền cịn lại ơng trả góp trong 6

tháng, lãi

suất 2,5% / tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày mua, ơng bắt đầu trả góp; hai lần liên tiếp
cách nhau đúng một tháng, số tiền trả góp ở mỗi tháng là như nhau. Biết rằng mỗi tháng tiệm
điện máy chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Nếu mua theo hình thức trả góp như

A phải trả nhiều hơn số giá niêm yết gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 2.160.000 đồng.
B. 1.983.000 đồng.
C. 883.000 đồng.
D. 1.060.000 đồng.
trên thì số tiền ông

Lời giải

Tác giả: Minh Thế ; Fb: Yyraya Tore
Chọn D
Gọi số tiền ơng

A cịn nợ là A = 17.106.70%

, số tiền trả hàng tháng là

2,5% / tháng thì :
A + Ar − m = A ( 1 + r ) − m .

Cuối tháng 1 còn nợ :

Cuối tháng

2

A ( 1 + r ) − m +  A ( 1 + r ) − m  r − m

còn nợ:

= A ( 1 + r ) − m  ( r + 1) + 1 .
2

Cuối tháng

 A ( 1 + r ) 2 − m  ( r + 1) + 1  ( 1 + r ) − m




3 còn nợ :

= A ( 1 + r ) − m  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + 1 .


3

2

Cứ như vậy cuối tháng

n còn nợ:

A( 1+ r ) − m ( 1+ r )


+ ( 1+ r )

n

n−1

n− 2

+ ... + ( 1 + r ) + 1


( 1+ r ) − 1 = A 1+ r n − m ( 1+ r )
= A( 1+ r ) − m
( )
r
( 1+ r ) − 1
n

n

n

−1
.

m . Với lãi suất là

Sau

6

tháng trả hết nợ thì

A( 1+ r )

⇒ 17.106.70%. ( 1 + 2,5% ) −
6

6

( 1+ r )
−m

6

−1

r

=0

.

m 
6

( 1 + 2,5% ) − 1 = 0
.
2,5%

⇔ m ≈ 2.160.445 (đồng).
Số tiền ông A đã trả: 17.106.30% + 6m ≈ 18.062.668 (đồng).
Số tiền đã trả chênh lệch so với giá niêm yết là: 18.062.668 − 17.000.000 = 1.062.668 (đồng).
Câu 23. [2D2-4.5-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Anh
lương khởi điểm là

x

C

đi làm với mức

(triệu đồng)/ tháng, và số tiền lương này được nhận vào ngày đầu tháng.

36 tháng kể từ ngày đi làm, anh C được tăng
20% số tiền lương để gửi tiết kiệm ngân hàng với

Vì làm việc chăm chỉ và có trách nhiệm nên sau

10% . Mỗi tháng, anh ta giữ lại
kì hạn 1 tháng và lãi suất là 0,5% /tháng, theo hình thức lãi kép (tức tiền lãi của tháng này
được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo). Sau 48 tháng kể từ ngày đi làm, anh C
nhận được số tiền cả gốc và lãi là 100 triệu đồng. Hỏi mức lương khởi điểm của người đó là
lương thêm

bao nhiêu?

A.

8.991.504 đồng.

B. 9.991.504 đồng.

C. 8.981.504 đồng.

D.

9.881.505 đồng.

Lời giải
Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop
Chọn A
Gọi số tiền mỗi tháng anh gửi tiết kiệm ngân hàng trong
anh gửi tiết kiệm sau tháng thứ
Đặt

q = 1 + 0,5% = 1,005

Gọi

Sn

là số tiền sau tháng thứ

36 tháng đầu là A ; số tiền mỗi tháng

36 là B .

n ta có

S1 = A + A.0,5% = A.q
S2 = ( S1 + A) + ( S1 + A ) .0,5% = ( S1 + A ) .q = Aq 2 + Aq .
….

q 36 − 1
S36 = ( S35 + A ) + ( S35 + A ) .0,5% = ( S35 + A ) .q = Aq + Aq + K + Aq = Aq.
q −1 .
36

35

S37 = ( S36 + B ) + ( S36 + B ) .0,5% = ( S36 + B ) .q = S36 .q + B.q .
S38 = ( S37 + B ) + ( S37 + B ) .0,5% = ( S37 + B ) .q = S36 q 2 + Bq 2 + Bq .
….


q36 − 1
q12 − 1
S48 = S36 .q + Bq + Bq + ... + Bq = Aq .
+ Bq.
q −1
q −1 .
12

12

Theo giả thiết ta có

11

13

A = 20% x = 0,2 x ; B = 20% ( x + 10% x ) = 0,22 x ; S48 = 108 .

36
q12 − 1 
q36 − 1
q12 − 1
8 
13 q − 1
8
+ 0, 22.q.
0, 2 xq .
+ 0, 22 x.q.
= 10 ⇔ x = 10 :  0, 2q .
÷
q −1
q −1 
Vậy
q −1
q −1

13

⇔ x ≈ 8991504 đồng.
Email:
Câu 24. [2D2-4.5-3] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua

nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và
chịu lãi suất là 0,9%/tháng cho số tiền chưa trả. Với hình thức hồn nợ như vậy thì sau bao lâu
anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân hàng?
A. 65 tháng.
B. 67 tháng.
C. 66 tháng.
D. 68 tháng.
Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn B
Gọi

r

là lãi suất của khoản vay.

- Số nợ của Việt sau tháng thứ nhất là:

T1 = 500.( 1+ r ) - 10

(triệu đồng).

- Số nợ của Việt sau tháng thứ hai là:
2
2
T2 = T1 ( 1 + r ) - 10 = 500.( 1 + r ) - 10 ( 1 + r ) - 10 = 500.( 1 + r ) - 10 éë1 +( 1 + r ) ùû(triệu đồng).

…
- Số nợ của Việt sau tháng thứ

n là:

n
n- 1
Tn = 500.( 1 + r ) - 10 éê1 +( 1 + r ) +... +( 1 + r ) ù
ú
ë
û(triệu đồng)

Giả sử sau tháng thứ

n , Việt trả được hết số nợ, khi đó

n
n- 1 ù
é
Tn = 0 Û 500.( 1+ r ) = 10 êë1 +( 1 + r ) +... +( 1 + r ) úû

⇔ 50. ( 1 + r )

n

( 1+ r )
=

n = log1,009

Vậy
hàng.

r

n

−1

⇔ ( 1+ r ) =
n

1
 1 
⇔ n = log1+ r 
÷
1 − 50r
 1 − 50r 

1
»
1- 50.0,009 66,73. Tức là sau khoảng 67 tháng Việt trả được hết nợ ngân

Câu 25. [2D2-4.5-3] (Hùng Vương Bình Phước) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%
/tháng theo cách sau: mỗi tháng (vào đầu tháng) người đó gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng và
ngân hàng tính lãi suất (lãi suất khơng đổi) dựa trên số tiền tiết kiệm thực tế có trong ngân
hàng. Hỏi sau 10 năm, số tiền của người đó có được gần nhất với số tiền nào dưới đây (cả gốc
và lãi, đơn vị triệu đồng)?


A. 880,29 .

B. 880,16 .

C. 880 .
D. 880,26 .
Lời giải
Tác giả:Trần Đức Phương; Fb:Phuong Tran Duc

Chọn D
Ta có: 10 năm = 120 tháng. Đơn vị của Ti là triệu đồng.
+ Sau tháng thứ nhất, tổng tiền gốc và lãi là:

T1 = 5(1 + 0,6%)

+ Đầu tháng thứ hai, người đó gửi thêm 5 triệu nên tiền gốc đầu tháng thứ hai là
Sau tháng thứ hai, tổng tiền gốc và lãi là:

T1 + 5

2
T2 = ( T1 + 5) ( 1 + 0,6% ) =  5 ( 1 + 0,6% ) + 5 ( 1 + 0,6% ) = 5  ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) 



T2 + 5

+ Đầu tháng thứ ba, người đó gửi thêm 5 triệu nên tiền gốc đầu tháng thứ ba là
Sau tháng thứ ba, tổng tiền gốc và lãi là:

3
2
T3 = ( T2 + 5 ) ( 1 + 0,6% ) = 5  ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) 




+ Đầu tháng thứ tư, người đó gửi thêm 5 triệu nên tiền gốc đầu tháng thứ tư là
Sau tháng thứ tư, tổng tiền gốc và lãi là:

T3 + 5

4
3
2
T4 = ( T3 + 5) ( 1 + 0,6% ) = 5  ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) 



…
Sau120 tháng tổng tiền gốc và lãi là:

120

120
119
2
n
T120 = 5.  ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) + ... + ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% )  = 5∑ ( 1 + 0,6% )

 n =1

Tới đây có 2 cách để tính T120

+ Cách trắc nghiệm: dùng chức năng tính tổng xích ma trong máy tính suy ra
+ Cách tự luận: Đặt

S = ( 1 + 0,6% )

120

+ ( 1 + 0,6% )

119

T120 ≈ 880,265

+ ... + ( 1 + 0,6% ) + ( 1 + 0,6% ) , ta thấy S là
2

 u1 = 1 + 0,6%

tổng của một cấp số nhân có 120 số hạng và  q = 1 + 0,6% , nên
1 − ( 1 + 0,6% )
S = ( 1 + 0,6% ) .
⇒ T120 = 5.S ≈ 880, 265
1 − ( 1 + 0,6% )
120

Câu 26. [2D2-4.5-3] (Liên Trường Nghệ An) Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, vì hồn cảnh gia đình
khó khăn nên được ngân hàng cho vay vốn trong 4 năm đại học, mỗi năm 10 triệu đồng vào
đầu năm học để nạp học phí với lãi suất

7,8% / năm (mỗi lần vay cách nhau đúng 1 năm). Sau

khi tốt nghiệp đại học đúng 1 tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số tiền là

m

đồng/tháng với lãi suất 0,7% / tháng trong vòng 4 năm. Số tiền mỗi tháng Nam cần trả cho
ngân hàng gần nhất với số nào sau đây (ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế).
A. 1.468.000 (đồng).
B. 1.398.000 (đồng).
C. 1.191.000 (đồng).
D. 1.027.000 (đồng).
Lời giải


Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn B
Đặt

q1 = 1 + r1 = 1,078 .

Số tiền Nam nợ cuối năm thứ nhất là:

A1 = 10q1 .

Số tiền Nam nợ cuối năm thứ hai là : A2 = ( A1 +10) q1 = 10q1

2

+10q1

.

….

Số tiền Nam nợ cuối năm thứ tư là:
Đặt

A4 = 10q14 +10q13 +10q12 +10q1 =

10q1 4
( q1 - 1)
r1
.

q2 =1 + r2 =1,007 .

Số tiền Nam còn nợ sau khi trả nợ lần 1 là:

B1 = A4 q2 − m

Số tiền Nam còn nợ sau khi trả nợ lần 2 là:

B2 = B1q2 − m = A4q22 − m ( q2 + 1)

.
.

….

 q2 k − 1 

Bk = A4 q2 − m 
÷
là:
 r2  .
k

Số tiền Nam còn nợ sau khi trả nợ lần

k

Vì sau 4 năm (48 tháng), Nam trả hết nợ nên ta có phương trình:

B48 = 0 ⇔ m ≈ 1.352.187 (đồng).
Câu 27. [2D2-4.5-3] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Một người vay ngân hàng

90.000.000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm, mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc là
như nhau và tiền lãi. Giả sử lãi suất không thay đổi trong tồn bộ q trình trả nợ là 0.8% trên
tháng. Tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong tồn bộ q trình trả nợ là
A. 103.120.000 đồng.

B. 103.420.000 đồng. C. 103.220.000 đồng. D. 103.320.000 đồng.
Lời giải
Tác giả: Lưu Trung Tín; Fb: Lưu Trung Tín

Chọn D
Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau là
Tháng đầu tiên, người đó phải trả số tiền lãi là
Tháng thứ hai, người đó phải trả số tiền lãi là

90.000.000 × 0.8% = 36 × 2.500.000 × 0.8% .

87.500.000 × 0.8% = 35 × 2.500.000 × 0.8% .

Tháng cuối cùng, người đó phải trả số tiền lãi là
Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là

90.000.000 ÷ 36 = 2.500.000 đồng.

2.500.000 × 0.8% = 1× 2.500.000 × 0.8% .

( 1 + 2 + ... + 36) × 2.500.000 × 0.8% = 13.320.000 đồng.


Vậy tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong tồn bộ q trình trả nợ là

90.000.000 + 13.320.000 = 103.320.000 đồng.
Câu 28. [2D2-4.5-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Ông Nam vay ngân hàng 500 triệu đồng để mở
cửa hàng điện dân dụng với lãi suất 0.8%/tháng theo thỏa thuận như sau: sau đúng 6 tháng từ
ngày vay ông Nam bắt đầu trả nợ, hai lần trả nợ liên tiếp cách nhau 1 tháng với số tiền trả mỗi
tháng là 10 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi
kể từ khi vay, sau thời gian bao lâu ông Nam trả hết nợ cho ngân hàng?( Giả thiết trong thời
gian đó lãi suất cho vay khơng thay đổi và tháng cuối cùng ơng Nam có thể trả ít hơn 10 triệu).
A.
72 tháng.
B. 67 tháng.
C. 68 tháng. D.
73
tháng.
Lời giải
Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên

Chọn D

P = 500 triệu. Lãi suất hàng tháng là r = 0,008 .
Gọi số tiền trả hàng tháng kể từ tháng thứ 6 là T = 10 triệu.
Gọi số tiền ông Nam vay ban đầu là

Theo công thức lãi kép, số tiền nợ của ông Nam sau 5 tháng là:

A = P ( 1+ r ) .
5

Số tiền nợ còn lại sau 6 tháng là:

S1 = A ( 1 + r ) − T .

Số tiền nợ còn lại sau 7 tháng là:

S2 = ( A ( 1 + r ) − T ) ( 1 + r ) − T = A ( 1 + r ) − T ( 1 + r ) − T .

Tương tự, số tiền nợ còn lại sau

Sn = A ( 1 + r ) − T ( 1 + r )
n

Sau

n−1

n + 5 tháng là:

− T ( 1+ r )

n− 2

− ...... − T = A ( 1 + r )

n

( 1+ r )
−T
r

n

−1
.

n + 5 tháng ông Nam trả hết nợ khi và chỉ khi

Sn = 0 ⇔ A ( 1 + r )

n

( 1+ r )
−T

n

⇔ 500000000. ( 1,008 ) ( 1,008 )
Giải ra ta được

−1

r

5

Vì

2

n

=0

( 1,008)
− 10000000

n

0,008

−1

=0

.

n ≈ 67,56 .

n là số tự nhiên nên ta lấy n + 5 = 73 tháng.

Câu 29. [2D2-4.5-3] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Anh A gửi
ngân hàng 900 triệu (VNĐ) với lãi suất 0,4% mỗi tháng theo hình thức lãi kép, ngân hàng tính
lãi trên số dư thực tế của tháng đó. Cứ cuối mỗi tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi trả sinh hoạt
phí. Hỏi sau bao lâu thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết (tháng cuối cùng có thể rút
dưới 10 triệu để cho hết tiền)?
A. 111 tháng.

B. 113 tháng.

C. 112 tháng.
Lời giải

D. 110 tháng.

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn
Chọn C
Bài tốn này ta có thể áp dụng cơng thức gửi tiền và rút tiền hàng tháng để tiết kiệm thời gian
khi làm bài tập trắc nghiệm. Công thức đã được chứng minh theo phương pháp tự luận.


Sn = A ( 1 + r )

n

( 1+ r )
−X

n

−1
.

r

Trong đó:

Sn : là số tiền cịn lại sau n

tháng.

A : là số tiền gửi ban đầu.

r : là lãi suất của ngân hàng.
n : thời gian gửi
X : là số tiền rút hàng tháng.
Áp dụng vào bài toán:
Gọi

n là thời gian gửi tiền của anh A. Cho đến khi rút hết tiền thì số dư bằng 0 nên ta có:

0 = 900000000 ( 1 + 0, 4% )

⇔ ( 1 + 0, 4% ) =
n

n

( 1 + 0, 4% )

− 10000000

n

−1

0, 4%

25
25
⇔ n = log1+ 0,4% ≈ 111,79
.
16
16

Vậy sau 112 tháng số tiền trong ngân hàng của anh A sẽ hết.
Câu 30. [2D2-4.5-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Một người vay ngân hàng
số tiền 50 triệu đồng, mỗi tháng trả ngân hàng số tiền 4 triệu đồng và phải trả lãi suất cho số
tiền cịn nợ là 1,1% theo hình thức lãi kép. Giả sử sau
với số nào dưới đây?
A. 13.
B. 15.
C. 16.

n

tháng người đó hết nợ. Khi đó

n

gần

D. 14.

Lời giải
Tác giả: Lê Hương; Fb: Lê Hương
Chọn D

Sử dụng cơng thức trả góp

P(1 + r) n =

M
 (1 + r) n − 1
, trong đó P : số tiền vay ban đầu.
r

r: lãi suất hàng tháng.
M: số tiền trả mỗi tháng.

Ta được:

50(1 + 1,1%)n =

⇔ n = log1.011

4
 (1 + 1,1%) n − 1
1,1%

80
≈ 13,52
.
69

Câu 31. [2D2-4.5-3] ( Sở Phú Thọ) Ông A muốn mua một chiếc ô tô trị giác 1 tỉ đồng, nhưng vì chưa
đủ tiền nên ơng chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp mỗi tháng là như
nhau) với lãi suất 12%/ năm và trả trức 500 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng ông phải trả số tiền gần
nhất vói số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm, kể từ ngày mua xe, ông trả hết nợ, biết kỳ trả


nợ đầu tiên sau ngày mua ô tô đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế
của tháng đó?
A. 23.573.000 (đồng).
B. 23.537.000 (đồng).
C. 22.703.000 (đồng).
D. 24.443.000 (đồng).
Lời giải
Tác giả: Đoàn Phạm Hồng Hưng; Fb: Đồn Phạm Hồng Hưng
Chọn B
Chú ý: Cho bài tốn sau:
Vay M đồng từ ngân hàng với lãi suất x% = r mỗi tháng. Hỏi háng tháng phải trả bao nhiêu để
sau n tháng hết nợ. (Trả tiền vào cuối tháng).
PP giải:
Cuối tháng thứ nhất, số tiền người đó cịn nợ là

N1 = M ( 1 + r ) − a

đồng

Cuối tháng thứ hai, số tiền người đó cịn nợ là

N 2 = N1. ( 1 + r ) − a = M ( 1 + r ) − a ( 1 + r ) − a
2

Cuối tháng thứ ba, số tiền người đó cịn nợ là:

N3 = N 2 ( 1 + r ) − a = M ( 1 + r ) − a ( 1 + r ) − a. ( 1 + r ) − a
3

2

…
Cuối tháng thứ n số tiền người đó cịn nợ là:

(

N n = M ( 1 + r ) − a 1 + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... + ( 1 + r )
n

2

n −1

)

= M ( 1 + r ) − a.
n

( 1+ r )

n

−1

r

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền còn nợ sau n tháng là 0, tức là ta giải phương trình

M ( 1+ r )

n

( 1+ r )
− a.
r

n

−1

M ( 1 + r ) .r
n

=0⇔ a=

( 1+ r )

n

− 1 (số tiền phải trả mỗi tháng).

Lãi suất là 12%/ năm nên mỗi tháng lãi suất là 1%.
Thời gian trả trong 2 năm, tức là 24 tháng.
Trả tước 500 triệu nên số nợ ban đầu ông A nợ là 500 triệu.
Áp dụng cơng thức mua trả góp, ta có số tiền ông A phải trả mỗi tháng là:

M . ( 1 + r ) .r
n

a=

( 1+ r )

n

−1

500.000.000. ( 1 + 0,01) .0,01
24

=

( 1 + 0,01)

24

−1

≈ 23.536736 ≈ 23.537.000

(đồng).

Câu 32. [2D2-4.5-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Anh Bảo gửi 27
triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một quý.
Hỏi thời gian tối thiểu bao nhiêu để anh Bảo có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vỗn lẫn lãi?
A. 16 quý.
B. 20 quý.
C. 19 quý.
D. 15 quý.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh
Chọn A
Bài toán lãi kép:


Kí hiệu số tiền gửi ban đầu là

n kì hạn là Sn = A. ( 1 + r % )

n

A , lãi suất một kì hạn là r %

thì số tiền cả gốc và lãi có được sau

.

Anh Bảo nhận được số tiền ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn và lãi nên ta có:

27 ( 1 + 1,85% ) ≥ 36 ⇔ n ≥ 15.693 .

n

Vậy thời gian tối thiểu để anh Bảo nhận được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi là 16 quý.
Câu 33. [2D2-4.5-3] (Sở Phú Thọ) Ông A muốn mua một chiếc ơ tơ giá trị 1 tỉ đồng, nhưng vì chưa đủ
tiền nên ơng chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp mỗi tháng như nhau)
với lãi suất 12% / năm và trả trước 500 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng ông phải trả số tiền gần nhất
với số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm kể từ ngày mua xe, ông trả hết nợ, biết kì trả nợ
đầu tiên sau ngày mua ơ tơ đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của
tháng đó?
A. 23.573.000 (đồng).
B. 23.537.000 (đồng).
C. 22.703.000 (đồng).
D. 24.443.000 (đồng).
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn B
Đặt

q = 1 + 1% = 1,01 .

T (triệu đồng), T = 500 .
Gọi số tiền ông A trả hàng tháng là X (triệu đồng).
Gọi số tiền ơng A vay là

Gọi số tiền cịn nợ sau

n tháng là Tn , n ∈ N * .

Ta có:

T1 = Tq − X
T2 = T1q − X = ( Tq − X ) q − X = Tq 2 − X ( q + 1)

(

)

(

)

T3 = T2 q − X = Tq 2 − X ( q + 1) q − X = Tq3 − X q 2 + q + 1
…

(

)

Tn = Tq n − X q n −1 + q n −1 + ... + q + 1
qn − 1
Tn = Tq − X
Vậy
q −1
n

Áp dụng cơng thức trên ta có, sau đúng 24 tháng số tiền ơng A cịn nợ là

1.0124 − 1
T24 = 500.1.01 − X
=0

0.01
24

500.1.0124.0.01
⇒X=
≈ 23.53673611
(triệu đồng)
1.0124 − 1
Bài toán tổng quát:
Một người vay ngân hàng số tiền

T (đồng) với lãi suất r

%/tháng.


Người đó bắt đầu trả nợ ngân hàng sau đúng một tháng kể từ ngày vay, hai lần trả cách nhau
đúng một tháng và lãi hàng tháng được tính trên số dư nợ thực tế của tháng đó.
Đặt

q = 1 + r % . Ta có:

1. Nếu mỗi lần trả số tiền là

X (đồng) thì sau n tháng người đó còn nợ số tiền là
Tn = Tq n − X

qn − 1
q − 1 (đồng)

n tháng thì người đó phải trả số tiền mỗi lần là
T .q n . ( q − 1)
X=

2. Để trả hết nợ sau đúng

qn − 1

(đồng)

Câu 34. [2D2-4.5-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Ơng A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất
0,67% /tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông ta bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn
nợ mỗi tháng đều bằng nhau và bằng 3 triệu. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số
dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi bằng cách hồn nợ đó, ơng A cần trả ít nhất bao nhiêu tháng kể
từ ngày vay đến lúc trả hết nợ ngân hàng (giả định trong thời gian này lãi suất không thay đổi)
A. 17 tháng.

B. 19 tháng.

C. 18 tháng.
D. 20 tháng.
Lời giải
Tác giả: Lê Quang; Fb: Quang Lê

Chọn C
Sau đúng 1 tháng, số tiền cịn nợ của ơng A là:

T1 = 50. ( 1 + 0,67% ) − 3

Sau đúng 2 tháng, số tiền cịn nợ của ơng A là:

T1 = 50. ( 1 + 0,67% ) − 3 ( 1 + 0,67% ) − 3

= 50. ( 1 + 0, 67% )

2

( 1 + 0,67% )
− 3.

2

1

2

1

T3 = 50. ( 1 + 0,67% )

( 1 + 0,67% )
− 3.

3

3

−1

Tn = 50. ( 1 + 0,67% )

( 1 + 0,67% )
− 3.

n

n

−1

( 1 + 0,67% )
− 3.

n

−1

0.67%

Sau đúng 3 tháng, số tiền còn nợ của ơng A là:

0,67%

………………….

Sau đúng n tháng, số tiền cịn nợ của ơng A là:
Ơng A trả hết nợ: Tn

=0

suy ra

50. ( 1 + 0,67% )

n

0, 67%

0,67%

−1

=0



3
⇔ n = log( 1+ 0,67%) 
÷ ≈ 17, 732....
 3 − 50.(0,67%) 
Vì trả vào cuối tháng nên:

n = 18 .

Câu 35. [2D2-4.5-3] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Một người vay ngân hàng số tiền

400 triệu đồng,

mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kỳ trả đầu

tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất khơng đổi trong suốt q trình gửi, hỏi số tiền còn phải
trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn).
A. 2.921.000 .

B. 3.387.000 .

C. 2.944.000 .

D. 7.084.000 .