Dang 2. Phương pháp đổi biến số(TH)

6

Câu 1.

[2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho hàm số

f ( x)

¡

liên tục trên

và

∫ f ( x) dx = 10,
0

thì

3

∫ f ( 2x) dx bằng:
0

A.

30 .

B.

20 .

C. 10 .

D.

5.

Lời giải
Chọn D

t = 2 x ⇒ dt = 2dx .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 6.
Đặt:

3

Ta có:
Câu 2.

∫

6

6

1
1
f
t
d

t
=
f ( x ) dx=5
(
)
2 ∫0
2 ∫0
.

f ( 2 x ) dx =

0

[2D3-1.2-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Tất cả các nguyên hàm của hàm

f ( x) =
A.

1
3x − 2 là

2
3x − 2 + C
B. 3
.

2 3x − 2 + C .

2
3x − 2 + C

C. 3
.
−

Lời giải

D.

− 2 3x − 2 + C .

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn B
Áp dụng công thức ∫

1
2
dx =
ax + b + C
với a, b∈ ¡
a
ax + b

Hoặc cũng có thể dùng đạo hàm để kiểm tra ngược các đáp án.
PT 12.1.

Tất cả các nguyên hàm của hàm số

3
ln | 2 x + 1| + C
A. 2

.
C.

6ln | 2 x + 1| + C

f ( x) =
B.

3
2 x + 1 là

3ln | 2 x + 1| + C

.

2
ln | 2 x + 1| + C
D. 3
.

.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn A

k

k

dx = ln | ax + b | + C
Áp dụng công thức ∫ ax + b
với k , a, b∈ ¡
a
PT 12.2 .
A. 6.

Biết

1

4

−2

−2

∫ f ( x ) dx = 6 , tính ∫ f ( x ) dx = 6
B. 2.

C. 18.
Lời giải

D. 16.


Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn B
2

∫
0

2

4

1
1
f ( 3x − 2 ) dx = ∫ f ( 3 x − 2 ) d ( 3x − 2 ) = ∫ f ( t ) dt = 2
30
3 −2
.
2

Câu 3.

[2D3-1.2-2] (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho
2

2

1

1

∫ f ( x ) dx = 3
1

và

∫  2 f ( x ) + g ( x )  dx = 5 , khi đó ∫ g ( x ) dx bằng
A. 1 .

B.

− 1.

C. 11 .

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh
Chọn B
Ta có:
2

2

2

2

1

1

1

∫  2 f ( x ) + g ( x )  dx = 5 ⇔ 2∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 5 ⇔ 6 + ∫ g ( x ) dx = 5
1

2

⇔ ∫ g ( x ) dx = − 1
1

Câu 4.

[2D3-1.2-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết
nguyên hàm của

F ( x ) = e2 x ( a sin x + b cos x ) +

2
5 là một

f ( x ) = e2 x sin x ( a, b Ô ) . Tớnh giỏ tr biu thức T = a + 2b − 1.

2
A. 5 .

B.

3
C. 5 .

− 1.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh
Chọn B
Hàm số

f ( x)

xác định

∀ x∈ ¡

.

Ta có

2x
F ' ( x ) = 2e2 x ( a sin x + b cos x ) + e 2 x ( a cos x − b sin x ) = e  ( 2a − b ) sin x + ( a + 2b ) cos x 

F ( x)

là một nguyên hàm của

f ( x)

trên

¡ ⇔ F '( x) = f ( x) , ∀ x ∈ ¡

2x
2x
⇔ e  ( 2a − b ) sin x + ( a + 2b ) cos x  = e sin x , ∀ x ∈ ¡

Vậy

T = a+

2
 1
= + 2.  − ÷ − 1
2b − 1 5  5  =

− 1.

.

2

 a = 5
 2a − b = 1 ⇔ 
b = − 1
⇔
5 .
 a + 2b = 0 

Câu 5.

[2D3-1.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Tìm họ nguyên hàm

A.

C.

F ( x) =
F ( x) =

−1
6 ( 2 x + 1)

2

+C

2

+C

−1
4 ( 2 x + 1)

.

B.

.

D.
Lời giải

F ( x) =
F ( x) =

F ( x) = ∫
−1

6 ( 2 x + 1)

1

( 2 x + 1)

3

+C

2

+C

−1
6 ( 2 x + 1)

3

dx

.

.

Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai
Chọn C

Ta có:

F ( x) = ∫

1

dx = ∫ ( 2 x + 1) dx =
−3

( 2 x + 1)

3

1
−3
( 2 x + 1) d(2x+1)
∫
2
.

1 ( 2 x + 1)
−1

= .
+C=
+C
2
2 ( − 2)
4 ( 2 x + 1)
−2

Câu 6.

[2D3-1.2-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

1 2
ln x + ln x + C
A. 2
.

1 2
ln x + C
B. 2
.

f ( x) =

ln x
x là

(

)

C. ln 2 x + C .
D. ln ln x + C .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn

Chọn B

ln x

=
dx
Xét I = ∫ f ( x ) dx ∫ x
.
1
t = ln x ⇒ dt = dx
Đặt
x .
1
1
I = ∫ tdt = t 2 + C = ln 2 x + C
Khi đó
.
2
2
π
4

Câu 7.

[2D3-1.2-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Biết

∫  cos 2 x + 2 f ( x )  dx = 5

−

π
4

, khi đó

π
4

∫ f ( x ) dx

−

π
4

7
A. 2 .
Chọn D

bằng:
B.

3.

1
C. 2 .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy; Fb: Ngọc Duy


5=
Ta có

π
4

π
4

π
4

π
4

−

π
4

−

∫  cos 2 x + 2 f ( x )  dx = ∫ cos 2 x dx + ∫ 2 f ( x ) dx

−

π
4

π
4

π
4

π
4

π
4

−

−

1
= sin 2 x + 2 ∫ f ( x ) dx 1  π
 π   2 f ( x ) dx = 1 + 2 ∫ f ( x ) d x
π
=  sin − sin  − ÷ + ∫π
2

π
π
−
−

4

2

4

 2 

2

4

4

π
4

5 −1
∫ f ( x ) dx = 2 = 2

−

Suy ra
Câu 8.

π
4

.

[2D3-1.2-2] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số

f′

( x ) dx

Khi đó

∫

1
f
A. 2

( x) + C .

x

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên khoảng

( 0;+ ∞ ) .

bằng:

f

( x) + C .

dx ⇒

dx
= 2dt
.
x

B.

( )

( )

C. − 2 f x + C .
D. 2 f x + C .
Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga

Chọn D

t = x ⇒ dt =

Đặt

Vậy

Câu 9.

∫

f′

1
2 x

( x ) dx = 2
x

∫ f ′ ( t ) dt = 2 f ( t ) + C = 2 f ( x ) + C .

[2D3-1.2-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hai hàm số
và có đạo hàm lần lượt là

F ( x ) .G ( x ) = 2 x ln ( x − 1)
2

F ( x) , G ( x)

và

F ( x) , G ( x)

2 ( x 2 + 1) ln ( x − 1) − x 2 − 2 x + C

C.

2 ( x 2 + 1) ln ( x − 1) + x 2 − 2 x + C .

.

B.

∫ ( ) ( )

rằng

là

2 ( x 2 − 1) ln ( x − 1) − x 2 − 2 x + C .

(

) (

)

D. 2 x − 1 ln x − 1 − x + 2 x + C .
Lời giải
Tác giả: Hoàng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng
2

Chọn B
Cách 1. Dùng kiến thức ngun hàm

∫ ( x) d ( F ( x) ) .

Ta có f x .G x dx= F ′ x .G x dx= G
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt

( 1;+∞ ) . Biết

tách công thức MT trên

2 x2
F ( x ) .g ( x ) =
x − 1 . Họ nguyên hàm của f ( x ) .G ( x )

A.

∫ ( ) ( )

tách công thức MT xác định

u = G ( x ) ,dv = d ( F ( x ) ) ⇒ u′ = G′ ( x ) , v = F ( x ) .

2


2 x2
= 2 x ln ( x − 1) − ∫
dx
Khí đó: ∫ G ( x ) d ( F ( x ) ) = F ( x ) .G ( x ) − ∫ F ( x ) .G′ ( x ) dx
x −1
2x2
2 


I=∫
dx = ∫  2 ( x + 1) +
÷dx = x 2 + 2 x + 2ln x − 1 + C
Ta tính
x −1
x
−
1


2

= x 2 + 2 x + 2ln ( x − 1) + C , ∀ x > 1 .

Suy ra

∫ f ( x ) .G ( x ) dx = 2 x ln ( x − 1) − ( x
2

= 2 ( x 2 − 1) ln ( x − 1) − x 2 − 2 x + C .

2

.

+ 2 x + 2ln ( x − 1) ) + C

Cách 2. Dùng kiến thức tích phân + Máy tính cầm tay + Góc tiếp cận khác

f ( x ) .G ( x ) đúng với mọi x
đúng trên các đoạn là tập con trên ( 1;+∞ ) .
Phân tích: họ ngun hàm

Ta có

cơng thức MT thuộc

( 1;+∞ ) nên sẽ

( F ( x ) .G ( x ) ) ′ = F ′ ( x ) .G ( x ) + F ( x ) .G′ ( x ) = f ( x ) .G ( x ) + F ( x ) .g ( x ) .

Suy ra

3

3

2

2

′
∫ ( F ( x ) .G ( x ) ) dx = ∫ ( f ( x ) .G ( x ) + F ( x ) .g ( x ) ) dx
3

3
2 x2
⇔ ( 2 x ln ( x − 1) ) − ∫
dx − ∫ f ( x ) .G ( x ) dx = 0 ( 1)

2
.
x
−
1
2
2
3

2

( ) ( )

Thay lần lượt các hàm số (bỏ hằng số C) vào vị trí f x .G x trong cơng thức (1). Kiểm tra
trên máy tính cầm tay. Phép thử nào cho kết quả bằng 0 thì đó là phương án đúng.
Nhận xét
1. Với các bài tốn tìm ngun hàm có các biểu thức liên quan đến đạo hàm. Ta có thể khai thác
theo các hướng dùng nguyên hàm từng phần (cách 1) hoặc xây dựng công thức đạo hàm kiểu

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C (Cách 2).

2. Với dạng toán tìm ngun hàm mà cho dạng cơng thức ở các đáp án. Ta có thể sử dụng máy
tính cầm tay tính thử tích phân với các cận thuộc tập xác định (cách 2).

Câu 10. [2D3-1.2-2] (THPT Nghèn Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số

1
A. 3 x + 1
3

2 3
x + 1 + C.
B. 3

+ C.

2
C. 3 x + 1
3

f ( x) =

+ C.

x2
x 3 + 1 là
1 3
x + 1 + C.
D. 3

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Chau Ngoc
Chọn B

2
2
2
u = x3 + 1 ⇔ u 2 = x3 + 1 ⇔ udu = x 2dx
I = ∫ du = u + C
Đặt

. Khi đó
.
3
3
3
Với

u = x +1
3

thì

I=

2 3
x + 1 + C.
3


Câu 11. [2D3-1.2-2] (Đoàn Thượng) Cho hàm số

y = f ( x)

thỏa mãn

f ′ ( x ) . f ( x ) = x4 + x2 .

Biết

f ( 0 ) = 2 . Tính f 2 ( 2 ) .

A.

f 2 ( 2) =

313
15 .

B.

f 2 ( 2) =

332
15 .

f 2 ( 2) =

324
15 .

f 2 ( 2) =

323
15 .

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Trần Công Diêu; Fb: Trần Công Diêu

Chọn B

Theo đề:

∫

f ′ ( x ) . f ( x ) = x 4 + x 2 . Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

f 2 ( x)
x5 x3
f ′ ( x ) . f ( x ) dx = ∫ ( x + x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫ ( x + x ) dx ⇒
+C = +
2
5 3
4

2

4

2

22
2 x 5 2 x3
332
2
f ( 0) = 2 ⇒ + C = 0 ⇒ C = − 2 ⇒ f ( x ) =
+
+ 4 ⇒ f 2 ( 2) =
Mà
2
5

3
15
Câu 12. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho

A, B, C ∈ ¡

∫ 2 x ( 3x − 2 )

. Tính giá trị của biểu thức 12 A +

23
A. 252 .

241
B. 252 .

6

dx = A ( 3x − 2 ) + B ( 3x − 2 ) + C với
8

7

7B .
52
C. 9 .

7
D. 9 .

Lời giải.

Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom.
Chọn D

Đặt

t = 3x − 2

⇒ dt = 3dx ⇒ dx =

dt
3.

Khi đó.

2 t + 2 6 = 2 ( t 7 + 2t 6 ) dt =
2
x
3
x
−
2
d
x
=
t dt 9 ∫
)
∫ (
3∫ 3

6

=

2  t 8 2t 7 
 +
÷+ C
9 8 7 

.

1
4
8
7
( 3x − 2 ) + ( 3x − 2 ) + C .
36
63

Từ đó ta có

A=

1
4
7
B=
12 A + 7 B =
36 ,
63 . Suy ra

9.

Câu 13. [2D3-1.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

20 x 2 − 30 x + 7
3

f ( x) =
; +∞ ÷

trên khoảng  2
2x − 3
 là?

( 4 x + 2 x + 1)
C. ( 3 x − 2 x + 1)
A.

2

2x − 3 + C .

2

2x − 3

( 4x − 2 x + 1) 2x − 3 .
. D. ( 4 x − 2 x + 1) 2 x − 3 + C .
B.

2

2


Lời giải
Tác giả:Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809
Chọn D

t2 + 3
x =
t = 2x − 3 ⇒ 
2

Đặt
 dx = tdt .

20 x 2 − 30 x + 7
5t 4 + 15t 2 + 7
dx = ∫
. tdt = ∫ ( 5t 4 + 15t 2 + 7 ) dt == t 5 + 5t 3 + 7t + C
∫
Ta có
t
2x − 3

= t ( t 4 + 5t 2 + 7 ) + C = 2 x − 3.  (2 x − 3) 2 + 5(2 x − 3) + 7  + C = ( 4 x 2 − 2 x + 1) 2 x − 3 + C .
Câu 14. [2D3-1.2-2] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Biết

∫ x ( 2 x + 1)

A.

100

( 2 x + 1)
dx =

102

a

4.

( 2 x + 1)
−

101

+C

b

B.

2.

,

a, b ∈ ¡

a − b bằng
D. 0 .

. Giá trị của hiệu

C. 1 .
Lời giải
Tác giả: Đinh Mạnh Thắng; Fb: Dinh Thang

Chọn A

∫ x ( 2 x + 1)

100

dx =

1
100

2
x
+
1
−
1

2
x
+

1
dx =
(
)
(
)

2∫

1
101
100
=  ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) − ∫ ( 2 x + 1)
4
Do đó
Vậy

a = 408, b = 404 .

1
101
100
2
x
+
1
d
x
−
2

x
+
1
dx 
(
)
(
)
∫

2 ∫
102
101
2
x
+
1
2
x
+
1
(
)
(
)
d ( 2 x + 1)  =
−
+C

408

404

a − b = 4.

Câu 15. [2D3-1.2-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số

A.
C.

f ( x) =

sin x

( 2 + sin x )

f ( x) = −

2

+C

.

1
+C
.
2 + sin x

f ( x)

biết

f ′( x) =

cos x

( 2 + sin x )

B.

f ( x) =

1
+C
.
2 + cos x

D.

f ( x) =

sin x
+C
.
2 + sin x

2

.

Lời giải
Tác giả: Đinh Gấm; Fb: đinh gấm
Chọn C

Ta có:

f ( x) = ∫

cos x

( 2 + sin x )

2

dx = ∫

1

( 2 + sin x )

2

d ( 2 + sin x ) = −

Câu 16. [2D3-1.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số

f ′ ( x) =

1
2

4
f
e
=
0
f
e
và
.
Tính
.
x.ln x

( )

( )

f ( x)

1
+C
2 + sin x
.
xác định trên

( e;+ ∞ )

thỏa mãn

A.

f ( e4 ) = ln 2 .

f ( e4 ) = − ln 2 .

B.

( )

( )

C. f e = 3ln 2 .
D. f e = 2 .
Lời giải
Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng
4

4

Chọn A
Cách 1.

1
dx, f ( e 2 ) = 0
Từ giả thiết suy ra
.
x.ln x
1
1

f ( x) = ∫
dx = ∫
d ( ln x ) = ln ( ln x ) + C
Ta có
,
x.ln x
ln x
f ( x) = ∫

∀x> e.

f ( e2 ) = 0 ⇔ ln ( ln e2 ) + C = 0 ⇔ C = − ln 2 ⇒ f ( x ) = ln ( ln x ) − ln 2 .

Suy ra f
Cách 2.

( e ) = ln ( ln e ) − ln 2 = ln 4 − ln 2 = 2ln 2 − ln 2 = ln 2 .
4

4

e4

1
dx = f ( e 4 ) − f ( e 2 )
2
∫
Ta có e2 x ln x
với f e = 0

( )

e4

1
dx
⇔ f e 4 = ln ln e4 − ln ln e2 = ln 2 .
2 x ln x
e

f (e ) = ∫
4

Suy ra
Cách 3. Dùng máy tính cầm tay
Dạng tốn: Cho hàm

f ( x)

biết

( )

f ′ ( x)

(

và

) (

f ( a)

)

. Tính

f ( b)

b

b

a

a

f ′ ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) ⇒ f ( b ) = ∫ f ′ ( x ) dx + f ( a )
∫
Suy luận: Nếu a < b ta có
.
Thao tác trên máy tính:
b

∫ f ′ ( x ) dx + f ( a )

Nhập vào máy tính a
rồi gán cho một biến nhớ, giả sử A.
Gọi biến nhớ A ra màn hình rồi trừ lần lượt kết quả ở các đáp án A, B, C, D. Phép trừ nào cho
giá trị bằng 0 thì đáp án đó sẽ đúng.

e4

1

∫ dx
Thao tác trên màn hình x ln x , gán biến nhớ và thực hiện trừ lần lượt cho kết quả ở các đáp
e2

án A, B, C, D . Phép thử nào cho kết quả bằng 0 thì đáp án đó đúng.
Câu 17. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho

F ( 2 ) = 4 . Giá trị F ( − 1)

A.

3.

F ( x)

là nguyên hàm của

f ( x) =

1
x + 2 thỏa mãn

bằng:
B. 1 .

C. 2

Lời giải

3.

D.

2.

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan
Chọn D

Ta có

F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫

1
dx = 2 x + 2 + C
.
x+ 2


Theo đề bài

F ( 2) = 4

nên

4 + C = 4 ⇔ C = 0 ⇒ F ( − 1) = 2 .

Câu 18. [2D3-1.2-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Gọi

số
A.

f ( x) =

F ( x)

là nguyên hàm của hàm

x

8 − x 2 thỏa mãn F ( 2 ) = 0 . Khi đó phương trình F ( x ) = x có nghiệm là:

x = 0.

B.

x = 1.

C. x = − 1 .
D. x = 1 − 3 .
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa

Chọn D

Ta có:

Đặt

F ( x) =

8− x

2

dx

t = 8 − x 2 ⇒ t 2 = 8 − x2 ⇒ 2tdt = − 2 xdx ⇒ xdx = -tdt

F ( x) = ∫
Mà

∫

x

x
8 − x2

dx = ∫

− tdt
= − ∫ dt = − t + C = − 8 − x 2 + C
t

F ( 2 ) = 0 ⇒ − 8 − 22 + C = 0 ⇒ C = 2

F ( x ) = − 8 − x2 + 2

Ta có:

 2 − x ≥ 0
F ( x ) = x ⇔ − 8 − x2 + 2 = x ⇔ 8 − x2 = 2 − x ⇔ 
2
2
 8 − x = ( 2 − x )
x ≤ 2

x ≤ 2
⇔ 2
⇔  x = 1− 3 ⇔ x = 1− 3
 2x − 4x − 4 = 0  
  x = 1 + 3

Vậy ta chọn đáp án D.


Câu 19. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Biết

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

1
 3
F− ÷
1 − 2 x và F ( − 4 ) = 3 . Tính  2  .
 3 1
 3 5

 3 9
F  − ÷=
F  − ÷=
F  − ÷=
A.  2  2 .
B.  2  2 .
C.  2  2 .
f ( x) = 1−

Lời giải

 3  13
F  − ÷=
D.  2  2 .

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan
Chọn C

1 

F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  1 −
÷ dx = x + 1 − 2 x + C
Ta có:
.
1− 2x 

 3 9
F  − ÷=
Mà F ( − 4 ) = 3 nên C = 4 . Vậy  2  2 .

Câu 20. [2D3-1.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho

f ( x) =

F ( x)

4x + 2
x + x + 1 và F ( − 2 ) = ln81 . Tính F ( 2 ) .

là một nguyên hàm của hàm số

2

A.

F ( 2 ) = ln 9 .

C.

F ( 2 ) = ln 7 − ln 9 .

B.

F ( 2 ) = 2ln 7 − ln 9 .

( )

(

)

D. F 2 = 2 ln 7 + ln 3 .
Lời giải
Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm

Chọn D
Cách 1.
Ta có:

F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫

• Đặt

4x + 2
dx
x + x+1
2

u = x2 + x + 1

⇒ du = ( 2 x + 1) dx ⇔ 2du = 2 ( 2 x + 1) dx ⇔ 2du = ( 4 x + 2 ) dx
4x + 2
2du
2
d
x
=
∫ u = 2ln u + C = 2ln x + x + 1 + C .
• Khi đó ∫ x 2 + x + 1

F ( x ) = 2ln x 2 + x + 1 + C , mà F ( − 2 ) = ln81 , thay vào ta được:

Vậy nên

F ( − 2 ) = 2ln ( − 2 ) + ( − 2 ) + 1 + C
2

• Do đó

⇔ ln81 = 2ln3 + C ⇔ C = ln81 − 2ln3 = 2ln3

F ( x ) = 2ln x 2 + x + 1 + 2ln 3

⇒ F ( 2 ) = 2ln 22 + 2 + 1 + 2ln 3 = 2ln 7 + 2ln 3 = 2 ( ln 7 + ln 3) .
Cách 2. Minh Thuận
• Hàm số

f ( x) =

2

4x + 2
x + x + 1 liên tục trên ¡ .
2

2

2

4x + 2
4x + 2
f
x
d
x
=
d
x
=
F
2
−
F
−
2
⇒
F
2
=
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫ x2 + x + 1

∫ x 2 + x + 1 dx + F ( − 2 ) .
−2
−2
−2

• Dùng MTCT bấm và so sánh với đáp án.

5

Câu 21. [2D3-1.2-2]

(Sở

Điện

Biên)

∫ f ( x ) dx = 6

Cho

1

5

và

∫ g ( x ) dx = 8 .
1

5

∫ 4 f ( x ) − g ( x )  dx bằng:
1

A. 16.

B. 14.

C. 12.
Lời giải

Chọn A

Ta có

5

5

5

1

1

1

∫  4 f ( x ) − g ( x )  dx = 4∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 4.6 − 8 = 16.

D. 10.

Giá

trị

của