Dang 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần(TH)

Câu 1.

�x 2  2 �
I �
ln xdx
�
�
x �
�
[2D3-1.3-2] (Trần Đại Nghĩa) Giá trị của
bằng
2
2
x
x
x2
x2
2
2
I  2 ln x  ln x   c
I   ln x  ln x   c
2
4
2
4
A.
.
B.
.
C.

I  ln 2 x 

x2
x2
ln x   c
2
4
.

D.

I

ln 2 x x 2
x2
 ln x   c
2
2
4
.

Lời giải
Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh
Chọn B

�x 2  2 �
ln x
I �
ln x dx  �
x ln x dx  2 � dx

�
�
x
� x �
Ta có
.
+)

�
x ln x dx 

x2
x2 1
x2
x2
ln x  � dx  ln x 
 c1
2
2 x
2
4
.

ln x
ln 2 x
� dx  �
ln x d  ln x  
 c2
2
+) x

.
Vậy
Câu 2.

I   ln 2 x 

x2
x2
ln x   c
2
4
.

[2D3-1.3-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm của
f  x   x  1  sin x 
hàm số
là
2
x
x2
 x sin x  cos x  C
 x cos x  sin x  C
A. 2
.
B. 2
.
x2
 x cos x  sin x  C
C. 2
.

x2
 x sin x  cos x  C
D. 2
.

Lời giải
Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn B
Ta có:
=

Câu 3.

f  x  dx  �
x  1  sin x  dx  �
xdx  �
x.sin xdx  �
xdx  �
xd  cos x 
�





x2
x2
 x cos x  �
cos xdx =  x cos x  sin x  C

2
2
.

[2D3-1.3-2]

(Lý
Nhân
Tông)
Một
nguyên
( x  a ) cos 3 x 1
( x  2) sin 3xdx  
 sin 3 x  2017
�
b
c
thì tổng S  a  b  c bằng
A. S  3
B. S  15
C. S  10
D. S  14
Lời giải
Chọn D
�
du = dx
�
�
u
=

x
2
�
�
��
�
1
�
�
dv = sin 3x dx
v =- cos 3x
�
�
�
3
Đặt:

hàm


1

1

1

1

cos 3 x dx    x  2  cos 3x  sin 3 x  C
 x  2  sin 3xdx    x  2  cos 3x  �

�
3
3
3
9
Do đó

 x  2  sin 3xdx  
�

 x  a  cos 3x  1 sin 3x  2017
b

c

Theo bài ra thì

Do đó ta suy ra: a  2, b  3, c  9 . Suy ra : S  a  b  c  14 .
Câu 4.

f ( x)  3 x  x  cos 3 x 
[2D3-1.3-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Họ nguyên hàm của hàm số
là :
cos 3 x
cos 3 x
x3  x sin 3x 
C
x3  x sin 3x 
C
3

3
A.
.
B.
.
C. x  x sin 3x  cos 3 x  C .
3

D.
Lời giải

x3  x sin 3x 

cos 3 x
C
3
.

Chọn B
I �
3 x( x  cos 3x) dx  �
3 x 2 dx  �
3x cos 3xdx
 3x 2  3x cos 3x  dx  �
I1  �
3 x 2 dx  x 3  C1

Tính

.

.

I2  �
3 x cos 3 xdx

du  3dx
�
u  3x
�
�
�� 1
�
dv  cos 3 xdx �
v  sin 3 x
�
� 3
Đặt
1
I 2  x sin 3x  �
sin 3 xdx  x sin 3 x  cos 3 x  C2
3

Vậy
Câu 5.

I �
3x ( x  cos 3x )dx x 3  x sin 3x 

cos 3x

C
3
.

[2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần
F  x   mx3   3m  n  x 2  4 x  3
là một nguyên hàm của hàm số
2
f  x   3 x  10 x  4
. Tính mn .
A. mn  1 .
B. mn  2 .
C. mn  0 .

1)

Biết

rằng

hàm

số

D. mn  3 .

Lời giải
Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886
Chọn B
Vì

F  x

là một nguyên hàm của hàm số

f  x

nên

F�
 x   f  x  , x ��

� 3m  3
m 1
�
��
��
2  3m  n   10
� 3mx  2  3m  n  x  4  3 x  10 x  4, x �� �
�n  2 .
Vậy m.n  2 .
2

Câu 6.

2

[2D3-1.3-2] (Hải Hậu Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số

f  x   x  1  2sin x 

là:


A.

x 2   2 x  2  s inx  C

2
B. x  2 x cos x  2sin x  C .
1 2
x  2 x cos x  2sin x  C
D. 2
Lời giải
Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ

.

1 2
x  2 x cos x  2sin x  C
C. 2
.
Chọn D
x  1  2sin x  dx  �
x dx  �
2 x sin x dx
�
x dx 
�
Có:

.

2

x
C
2





I �
2 x sin x dx   �
2 x d  cos x    2 x cos x  2 �
cos x dx  2 x cos x  2sin x  C

1

x  1  2sin x  dx  x
�
2
Vậy

2

 2 x cos x  2sin x  C
2

Câu 7.

[2D3-1.3-2] (Sở Quảng NamT) Biết
hữu tỉ. Tính P  a  b  c .
A. P  3 .
B. P  0 .

x ln  x
�

2

1

.

 1 dx  a ln 5  b ln 2  c

với a , b , c là các số

C. P  5 .
D. P  2 .
Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga

Chọn B
1
t  x 2  1 � dt  2 xdx � xdx  dt
2 .
Đặt

Đổi cận: x  1 � t  2 ; x  2 � t  5 .
2

�I �
x ln  x 2  1 dx 
1

Đặt

� 1
u  ln t
du  dt
�
�
��
t
�
dv  dt �
�
vt
�

�I 

5

1
ln tdt
2�
2

.

.

5 5 �
1�
dt �
 t ln t   �
�
2 2 �
2�

1
 5ln 5  2ln 2  3
2
5
3
 ln 5  ln 2 
2
2
5
3
� a  ; b  1; c  
2
2.
Vậy P  0 .



Câu 8.

[2D3-1.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Nguyên hàm của hàm số
x2  2
f  x 
ln x
x
là
A.
C.

2 ln 2 x 
ln 2 x 

x2
x2
ln x   C
2
4
.

x2
x2
ln x   C
2
2
.

B.

ln 2 x 

x2
x2
ln x   C
2
4
.

ln 2 x x 2
x2
 ln x   C
2
4
D. 2
.


Lời giải
Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai
Chọn B
x2  2
2
I �
ln x dx  �
x ln x dx  �ln x dx
x
x
Đặt
.
1

�
du  dx
�
u  ln x
�
�
x
��
�
2
dv  x dx � x
�
v
I1  �
x ln x dx
� 2

. Đặt
x2
x2 1
x2
x2
I1  ln x.  � . dx  ln x   C1
2
2 x
2
4
Khi đó
.
2

1
I 2  �ln x dx
t  ln x � dt  dx � I  2 t dt  t 2  C  ln 2 x  C
2
2
2
�
x
x

. Đặt
.
x2
x2
I  I1  I 2  ln x  ln x   C
2
4
Vậy
.
2

Câu 9.

[2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
f  x   x 4  xe x
Định Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số
là
1 5
1
x   x  1 e x  C

x 5   x  1 e x  C
5
5
A.
.
B.
.
1 5
x  xe x  C
C. 5
.

D.

4 x 3   x  1 e x  C

.

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Minh Thúy.
Chọn B

x
Ta có: �

4

 xe x  dx  �
x 4 dx  �
xe x dx

1

x dx= x
�
5
+)
4

+) Đặt

5

 C1

.

.

ux
du  dx
�
�
�� x .
�
x
dv  e dx �
ve
�

xe dx  xe  �
e dx  xe
Suy ra: �
x

x
�
Vậy

4

x

 xe x  dx 

x

x

 e x  C2   x  1 e x  C2

1 5
x   x  1 e x  C
5
.

Câu 10. [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm một nguyên hàm
F  0   2.
A.

F  x 

2x
1
2
ln 2
ln 2 .

F  x  2 1

B.

x

C.

.

.

D.

F  x

F  x   2x  2
F  x 

của hàm số

.

2x
1
2
ln 2
ln 2 .

f  x   2x ,

biết


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung
Chọn D
2x
1
F  x 
C
C  2
F
0

2


ln 2
ln 2
Ta có:
. Từ

suy ra
Vậy

F  x 

2x
1
2
.
ln 2
ln 2

Câu 11. [2D3-1.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Họ nguyên hàm
f  x    2 x  1 e x
của hàm số
là
x
 2 x  3 e  C .
 2 x  3 e x  C .
A.
B.
 2 x  1 e x  C .
 2 x  1 e x  C .
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn A
Gọi

I �
 2 x  1 e x dx

.

u  2x  1 �
du  2dx
�
�
�
�
dv  e x dx �
v  ex .
Đặt �

� I   2 x  1 e x  2�
e x dx   2 x  1 e x  2e x  C   2 x  3 e x  C
Câu 12. [2D3-1.3-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG x  1  e2 x  d x
nguyên hàm �
x2 1 2 x 1 2 x
 x.e  e  C
4
A. 2 2
.

.

HƯNG YÊN NĂM 2019) Tìm họ các
x2
1

 x.e 2 x  e 2 x  C
2
B. 2
.

x2 1 2 x 1 2 x
 x.e  e  C
4
C. 2 2
.

x2
 x.e 2 x  e 2 x  C
D. 2
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb:Nguyen Chi

Chọn C

Đặt

du  dx
�
ux
�
�
�
��
�

1
dv   1  e 2 x  dx �
v  x  e2 x
�
�
2

Suy ra:

1

� � 1 2x �
�
dx
�
�x  e �
� � 2 �
2
2x
� 1 �x e
 x �x  e 2 x � 
C
4
� 2 � 2

�
x  1  e  dx  x �x  e
�
� 2
2x



2x

x 2 x 2 x e2 x
 e 
 C.
2 2
4

Câu 13. [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f  x   e2 x 1

.


1

f  x  dx  e
�
2
A.

C.

f  x  dx  2e
�

2 x 1

2 x 1

C

C

f  x  dx  e
B. �

.

.

D.

2 x 1

f  x  dx  e
�

C

x2  x

.

C

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn A
f  x  dx  �
e
�
Ta có

2 x 1

dx 

1 2 x 1
1
e
d  2 x  1  e 2 x 1  C
�
2
2
.

Câu 14. [2D3-1.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hàm số
x
�
f
0

0,

f
x





2
f  x
x  1 . Họ nguyên hàm của hàm số g  x   4 x. f  x  là
thỏa mãn
x 2 ln  x 2  1  x 2
 x2  1 ln  x2   x2  C .
A.
B.
.
C.

x

2

 1 ln  x 2  1  x 2  C

.

D.
Lời giải

x

2

 1 ln  x 2  1  x 2

.

Tác giả: Lê hữu Đức; Fb: Le Huu Duc
Chọn C
x
1
f  x   �2
dx  ln  x 2  1  C �
x 1
2
Ta có
Vì

f  0  0

nên

C�
 0 � f  x 

1
ln  x 2  1
2

��

g  x  dx  �
2 x.ln  x 2  1 dx
2x
�
�
du  2
dx
u  ln  x 2  1
�
�
��
x 1
�
dv  2 x.dx
�
�
v  x2  1
�
Đặt
Nên

g  x  dx   x
�

2

 1 ln  x 2  1  �
2 xdx   x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C

f  x   x.e 2 x

Câu 15. [2D3-1.3-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Họ nguyên hàm của hàm số
là
1
� 1�
1
F  x   e 2 x �x  � C
F  x   e2 x  x  2   C
2
� 2� .
2
A.
B.
.
C.

F  x   2e

2x

 x  2  C .

� 1�
F  x   2e2 x �x  � C
� 2� .
D.

Lời giải.
Chọn A

�du  dx

� ux
�
� � 1 2x
�
2x
v e
�dv  e dx �
� 2
Đặt
.
F  x   x.e2 x 

1 2x
1
1
1
� 1�
e dx  x.e 2 x  e 2 x  C  e 2 x �x  � C
�
2
2
4
2
� 2� .


2
Câu 16. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x)  x ln x là
1 2
x  2 ln 2 x  2 ln x  1  C

4
A.
. B.

1 2
x  2 ln 2 x  2 ln x  1  C
4
.
1 2
x  2 ln 2 x  2 ln x  1  C
2
.

C.

D.

1 2
x  2 ln 2 x  2 ln x  1  C
2
.

Lời giải
Tác giả: Hồ Liên Phượng; Fb: Ho Lien Phuong
Chọn B
1
�
du  2 ln x . dx
2
�

�
u  ln x
�
x
�� 2
�
dv  xdx
x
�
�
v
� 2
Đặt:

x2 2
I�
x ln xdx  ln x  �
x ln x dx
2
Ta có:
2

1
�
du1  dx
�
u

ln
x

�1
�
x
��
�
2
dv1  xdx
x
x2
1
x2
x2
�
�
v

�
J

ln
x

xdx

ln
x

 C�
J �
x ln x dx

�1 2
2
2�
2
4
Xét
, đặt

�I 

x2 2
x2
x2
x2
ln x  ln x   C   2 ln 2 x  2 ln x  1  C.
2
2
4
4

f  x   x  e3 x  1
Câu 17. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Họ nguyên hàm của hàm số
là:
2
2
1
x
1
x
 3x  1 e3 x   C

 3x  1 e3 x   C
2
2
A. 9
.
B. 9
.

1
x2
3x
 3x  1 e   C
2
C. 9
.

1
x2
3x
 3x  1 e   C
2
D. 9
.
Lời giải
Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc

Chọn C
du  dx
�
ux

�
�
�
� � 1 3x
�
3x
d
v

e

1
d
x
v e x


�
�
� 3
Đặt
.
1
�1 3 x
�
x  e3 x  1 dx  xe3 x  x 2  �
dx
� e  x�
�
3

�3
� .
Khi đó


1
1
x2
1
x2
1 3x
1 3x
xe  x 2  �
e dx  �
xdx  xe3 x  x 2  e3 x   C   3 x  1 e3 x   C
3
3
3
9
2
9
2
.

Câu 18. [2D3-1.3-2] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số
f  x   2 x  sin x  1
là


x 2  x  cos x   C

2
A. x  2 x cos x  2 sin x  C .

B.

C. x  2 x cos x  2 sin x  C .

D. x  2 x cos x  2 sin x  C .

2

.

2

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Nguyễn Lan
Chọn A
u  2x
�
du  2dx
�
��
�
dv   sin x  1 dx �
v   cos x  x
Đặt �

Ta có

2 x  sin x  1 dx 2 x   cos x  x   2 �
  cos x  x  dx  2 x.cos x  2 x
�

2

 2sin x  x 2  C

 x 2  2 x.cos x  2 sin x  C (C là hằng số).

Câu 19. [2D3-1.3-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Họ nguyên hàm của
f  x   x e x  sin x
hàm số
là
x
 x  1 e  x cos x  sin x  C .
 x  1 e x  x cos x  sin x  C .
A.
B.
 x  1 e x  x cos x  sin x  C .
 x  1 e x  x cos x  sin x  C .
C.
D.





Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu
Chọn A
ux
�
du  dx
�
�
�
x
�
dv   e  sin x  dx
v  e x  cos x
��
Đặt �
f  x  dx  x e x  cos x  �
e x  cos x dx  x e x  cos x  e x  sin x  C
�



 

  x  1 e x  x cos x  sin x  C





.

Câu 20. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho biết

x
f ( x) 

2

 a



F ( x) 

1 3
1
x  2x 
3
x là một nguyên hàm của

2

.

Tìm nguyên hàm của g ( x)  x cos ax.
1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C
4
A. x sin x  cos x  C .
B. 2

.
1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C
4
C. x sin x  cos x  C .
D. 2
.
x2

Lời giải
Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim
Chọn C



x2  a
1 3
1
f ( x) 
F ( x)  x  2 x 
x2
3
x là một nguyên hàm của
Do:
Với x �0 ta có:



2

nên


2
x 2  1
x2  a 


1  x  a
2
F '( x)  f ( x) � x  2  2 
�

, x �0
x
x2
x2
x2
� a  1 � g  x   x.cos x .
2

Ta có:

A.

2

g ( x )dx  �
x cos xdx  �

xd(sin x)  x sin x  �
sin x dx  x sin x  cos x  C
�
.

Câu 21. [2D3-1.3-2] (Hàm Rồng ) Biết
tỉ. Tính ab ?
ab  

2

1
8.

B.

ab 

x cos 2 x dx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C
�
1
8.

C.

ab 

1
4.

với a , b là các số hữu

D.

ab  

1
4.

Lời giải
Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai
Chọn B
du  d x
�
�
ux
�
�� 1
�
v  sin 2 x
�
dv  cos 2 x dx
� 2
Đặt �
.
��
x cos 2 x dx 

1
1

1
1
x sin 2 x  �
sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C
2
2
2
4
.

1
1
1
� a  ; b  � ab 
2
4
8.
f  x

Câu 22. [2D3-1.3-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số
f�
 x   xe x  1 và f  0   1 . Khi đó f  1 bằng
A. e + 1 .

B. 2.

C. e + 2 .

, biết

D. 3.

Lời giải
Tác giả: Võ Hữu Thường Kiệt; Fb: Kiệt Võ
Chọn D
Ta có

Đặt

f  x  �
f�
x.e x dx  �
dx  I1  x  C
 x  dx  �
 x.e x  1 dx  �

với

I1  �
x.e xdx

.

ux
du  dx
�
�
� � x � I1  xe x  �
e xdx  xe x  e x  C
�

x
dv  e d x �
ve
�

� f  x   I1  x  C  xe x  e x  x  C

f  0   1 � C  2 � f  x   xe x  e x  x  2 � f  1  3

.

Câu 23. [2D3-1.3-2] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
f  x   2 x  sin 2 x
là:
1
1
x 2  cos 2 x  C
x 2  cos 2 x  C
2
2
2
2
A.
.
B. x  2 cos 2 x  C . C.
. D. x  2 cos 2 x  C .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Ngọc; Fb: Van Ngoc Nguyen
Chọn C

(2 x  sin 2 x) dx  x
�

2

1
 cos2 x  C
2
.

Có
Câu 24. [2D3-1.3-2]

(THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)

Tính

x
3

F  x  �
xe dx
A.
C.

. Chọn kết quả đúng.
x
3

F  x   3  x  3 e  C
F  x 

.

x
3

F  x    x  3 e  C

B.

x
3

x 3
e C
3
.

F  x 

D.

.

x
3

x3

e C
3
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn A
x
3

x
3

Đặt u  x � du  dx và dv  e dx � v  3e .
x

Ta có

x

x

x

x

F  x   3 xe 3  �
3e 3 dx  3xe 3  9e 3  C  3  x  3 e 3  C

.

Câu 25. [2D3-1.3-2] ( Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x( x  cos x) là:
3
3
A. x  3( x sin x  cos x)  c .
B. x  3( x sin x  cos x)  c .
3
C. x  3( x sin x  cos x)  c .

3
D. x  3( x sin x  cos x)  c .

Lời giải
Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Tốn Vitamin
Chọn A
I �
3 x( x  cos x) dx  �
(3 x 2  3 x cos x) dx  �
3 x 2 dx  3�
x cos xdx

Đặt

I1  �
3x 2 dx  x 3  C1

ux
�
�du  dx
��

�
v  sin x
�dv  cos xdx �

;

I2  �
x cos x dx

.

.

I2  �
x cos xdx  x sin x  �
sin x d x  x sin x  cos x  C2

.

I  I1  3I 2  x  3 x sin x  3cos x  C  x  3( x sin x  cos x)  C
.
3

3

F  x 

x 2 ln x x 2

a

b là

Câu 26. [2D3-1.3-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho
f  x   x ln x
một nguyên hàm của hàm số
, trong đó a, b là các hằng số thực. Giá trị 3a  b
bằng
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 5 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn C
Ta có:

F  x  �
f  x  dx  �
x ln x dx

.


1
�
u  ln x � du  dx
�
�
x

�
2
x
�
dv  x dx � v 
2
Đặt �
.

F  x 

Khi đó:

x2
x
x2
x2
.ln x  �dx  .ln x   C
2
2
2
4

� a  2; b  4 .
Vậy 3a  b  2 .
Câu 27. [2D3-1.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
f  x   x  2  e3 x 
là
1
1

x 2  e3 x  3x  1  C
x 2  e 2 x  x  1  C
9
9
A.
.
B.
.
1
1
2 x 2  e 2 x  x  1  C
x 2  e3 x  3 x  1  C
3
9
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả:Đặng Quang; Fb: Dang Quang
Chọn D
f  x  dx  �
x  2  e  dx  �
2 xdx  �
xe
�
3x

3x

dx  x 2  K

với

K �
xe3 x dx

.

du  dx
�
ux
�
�
� � 1 3x
�
1
1
1
1
v  e � K  xe3 x  �e3 x dx  xe3 x  e3 x  C
dv  e3 x dx �
�
� 3
3
3
3
9
.
Đặt

f  x  dx  x
�
Vậy

2

1
 e3 x  3x  1  C
9
.

F  x  �
 x2  x  1 e x dx

Câu 28. [2D3-1.3-2] (THTT số 3) Tìm họ nguyên hàm
.
2
x
2
F  x  x  3 e  C
F  x  x  x  4 ex  C
A.
B.


F  x   x
C.



2

 3x  4  e x  C


F  x   x
D.



2

 3x  4  e x  C

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đức Quy ; Fb: Nguyễn Đức Quy
Chọn D
Ta có:

f  x  F ' x  �
'   2 x  3 e x   x 2  3x  4  e x   x 2  x  1 e x
 x 2  3x  4  e x �
�
�
.

F ( x)  

Câu 29. [2D3-1.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho
f ( x)

x . Tìm nguyên hàm của hàm số f '( x) ln x .
ln x 1
f '( x) ln xdx  3  5  C
�
x
5x
A.
.
B.

1
3 x 3 là một nguyên hàm của hàm số

f '( x) ln xdx  
�

ln x 1

C
x3 3x 3
.


�f '( x) ln xdx 
C.

ln x 1

C
x3 3x3

.

ln x 1

C
x3 5 x5
.

f '( x) ln xdx 
�
D.

Lời giải
Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Phản biện: Nguyễn HoàngĐiệp; Fb:Điệp Nguyễn
Chọn C

� 1
f  x
1 �
1
 F�
 x  �
� 3 � 4 � f  x   3
x .Do đó
�3 x � x
Ta có x
1
�
u  ln x

d
u

dx
�
�
�
�
x
�
3 � �
d
v

dx � 1
�
v 3
x4
�
�
x
Đặt
.

3

3

f '( x ) ln xdx  � ln xdx
�

x
4

ln x
1
ln x 1
 �4 dx 

C
3
x
x
x 3x 3
.

� ln xdx 
Suy ra x
4

Câu 30. [2D3-1.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH)
y  e x sin x . Họ nguyên hàm của hàm số trên là
1 x
1
e cos x  e x sin x  C
2
A. 2
.
1 x
1
e cos x  e x sin x  C

2
C. 2
.

Cho

hàm

số

1
1
 e x cos x  e x sin x  C
2
B. 2
.
1
1
 e x cos x  e x sin x  C
2
D. 2
.

Lời giải
Chọn D
Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt

I �
e x sin x dx

.

�
�
u  ex
du  e x d x
��
�
x
e x cos x dx
dv  sin x dx
v   cos x � I  e cos x  �
�
�
Đặt
.

�
�
u1  e x
du1  e x dx
�
�
�
dv1  cos x dx
v1  sin x
�
Đặt �
.

� I  e x cos x  e x sin x  �
e x sin x dx  e x cos x  e x sin x  C1  I

.

1 x
1 x
1
C  C1
� 2 I  e x cos x  e x sin x  C1 � I   2 e cos x  2 e sin x  C
2 ).
(với

f  x    2 x  3 ln x
Câu 31. [2D3-1.3-2] (Sở Hà Nam) Họ nguyên hàm của hàm số
là
2
2
 x2  3x  ln x  x2  3x  C
 x2  3x  ln x  x2  3x  C
A.
.
B.
.
C.

 x2  3x  ln x 

x2
 3x  C

2
.

D.

 x 2  3x  ln x 

x2
 3x  C
2
.

Lời giải
Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le
Chọn B


1
�
u  ln x
du  dx
�
�
��
x
�
dv

2
x


3
dx


�
2
�
I �
 2 x  3 ln xdx . Đặt
v  x  3x .
�
Ta có:
Khi đó

I   x 2  3x  ln x  �
 x  3 dx   x 2  3x  ln x 

x2
 3x  C
2
.
f ( x) =

Câu 32. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số
( 0;p) là
 x cot x  ln  sin x   C.
x cot x  ln sin x  C.
A.
B.

x cot x  ln sin x  C .
 x cot x  ln  sin x   C.
C.
D.
Lời giải

x
sin 2 x trên khoảng

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu
Chọn A
�
u=x
�
du = dx
�
�
�
��
�
1
x
�
v =- cot x
dv = 2 dx �
F ( x ) = � 2 dx
�
�
sin x
�

sin
x
Gọi
. Đặt

x
cos x
F ( x) = � 2 dx =- x cot x + � dx
sin x
sin x
Khi đó:
d ( sin x )
=- x cot x + �
=- x cot x + ln sin x + C.
sin x
Vì

x �( 0; p)

Vậy:

ln sin x = ln ( sin x )
nên sin x > 0 , suy ra
.

F ( x ) =- x cot x + ln ( sin x ) + C.

Phân tích và bình luận:
Bài tốn sử dụng ngun hàm từng phần dạng đặc biệt kết hợp giữa đa thức và lượng giác:
x

x
2
2
�sin 2 x dx; �cos2 xdx; �x tan xdx; �x cot xdx và xét dấu hàm lượng giác.
Câu 33. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số
� p�
�
�
0; �
�
�
�
� 2 �là
A.

F ( x) = x tan x + ln ( cos x ) + C.

C.

F ( x ) = x tan x - ln ( cos x ) + C .

B.

f ( x) =

x
cos 2 x trên khoảng

F ( x ) =- x tan x + ln ( cos x ) + C.

F ( x) = x tan x - ln cos x + C.
D.
Lời giải
Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A


u=x
�
�
�
du = dx
�
�
�
�
�
1
x
�
v = tan x
dv =
dx �
F ( x ) = � 2 dx
�
�
2
�
cos

x
cos
x
Gọi
. Đặt

x
F ( x) = � 2 dx = x tan x cos x
Khi đó:

sin x

�cos xdx

d ( cos x)
= x tan x + �
= x tan x + ln cos x + C.
cos x
� p�
x ��
0; �
�
�
�
�
ln cos x = ln ( cos x )
�
�
2
Vì

nên cos x > 0 , suy ra
.

Vậy:

F ( x) = x tan x + ln ( cos x ) + C.