Xác định nguyên hàm bằng phương pháp phân tích từng phần

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ

ỵ

+ Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=-
ò

Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh:
2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2

22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï

=+
ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+
ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï

=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-

ò
(2)
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.
2
=+-Û=++
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï

Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí

=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :

2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí
=
ïï
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø

òò

ln(cosx).tgxtgxxC.=+-+

Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a

ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx=
ò
(ĐHL_1999)

Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï

=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:
x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++
Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.=-+-
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx=-+-
ò


3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
-----+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221

a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï
+=-+=-
ỵỵ

Giải (I) và (II), ta được:
11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=-
Khi đó:
322
I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++

Bài toán 3: Tính
( )
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axax
1b
Iecos(bx)esin(bx)dx.(1)

aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa
=+-

ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+
+

· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
+ Bước 1: Ta có:
axax
Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++
ò

trong đó A, B là các hằng số.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 26
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

axaxax
ax
e.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)Bsin(bx)]e
[(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e.
=-+++
=++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
22
22
a
A
AaBb1
ab
BaAb0b
B
ab
ì
=
ï
+=
ì
ï
+

Þ
íí
-=
ỵ
ï
=
ï
+
ỵ

+ Bước 3: Vậy:
ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e
IC.
ab
+
=+
+

Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:

axax
12
Iecos(bx)dxvàIesin(bx)dx.==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I

1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
12
1b1b
Iecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3)
aaaa

=+=+
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubcos(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax

21
1b1b
Iesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4)
aaaa
=-=-
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


axax
12
2222
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]e
IC.IC.
abab
+-
=+=+
++

2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:

ax2ax2
12
Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.==
òò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
x2
Ie.cosxdx.=

ò

Giải:
Cách 1: Viết lại I dưới dạng:

xxxxx
111
Ie.(1cos2x)dx(edxe.cos2xdx)(ee.cos2xdx)(1)
222
=+=+=+
òòòò

· Xét
x
Je.cos2xdx.=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 27
Đặt:
xx
ucos2xdu2sin2xdx
dvedxve
==-
ìì
Þ
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
xx
Jecos2x2esin2xdx(2)=+
ò

· Xét:
x
Kesin2xdx.=
ò

Đặt:
xx
usin2xdu2cos2xdx
dvedxve
==
ìì
Þ
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
xxx
Kesin2x2ecos2xdxesin2x2J(3)=-=-
ò

Thay (3) vào (2), ta được:

xxx
1

Jecos2x2(esin2x2J)J(cos2x2sin2x)eC(4)
5
=+-Û=++
Thay (4) vào (1), ta được:

xxx
111
I[e(cos2x2sin2x)e]C(5cos2x2sin2x)eC
2510
=+++=+++
Cách 2:
xx
1
Ie.(1cos2x)dx(ab.cos2xc.sin2x)eC.(5)
2
=+=+++
ò

Lấy đạo hàm hai vế của (5), ta được:

xxx
x
1
e(1cos2x)(b.sin2x2c.cos2x)e(ab.cos2xc.sin2x)e
2
[a(2xb)cos2x(c2b)sin2x]e.(6)
+=-++++
=+++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

2a1a1/2
2(2cb)1b1/10.
2(c2b)0c1/5
==
ìì
ïï
+=Þ=
íí
ïï
-==
ỵỵ

Vậy:
x
1
I(5cos2x2sin2x)eC.
10
=+++
Bài toán 4: Tính
x
IP(x)edx
a
=
ò
với P là một đa thức thuộc R[X] và
*
R.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
x
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
xx
11
IP(x)eP'(x).e.dx.
aa
=-

aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 28
+ Bước 1: Ta có:
xx
IP(x).e.dxA(x)eC.(1)
aa
==+
ò

trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

xx
P(x).e[A'(x)A(x)].e(2)
aa
=+a
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được A(x).
+ Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
· Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
· Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 7: Tính :
3x

Ixedx.=
ò

Giải:
Đặt:
3x
3x
dudx
ux
1
ve
dvedx
3
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ
. Khi đó:
3x3x3x3x
1111
Ixee.dxxeeC.
3339

=-=-+
ò

Ví dụ 8: Tính :
322x
I(2x5x2x4)edx=+-+
ò

Giải:
Ta có:
322x322x
I(2x5x2x4)edx(axbxcxd)eC.(1)=+-+=++++
ò

Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

322x322x
(2x5x2x4)e[2ax(3a2b)x(2b2c)xc2d]e(2)+-+=++++++
Đồng nhất đẳng thức ta được:
2a2a1
3a2b5b1
2b2c2c2
c2d4d3
==
ìì
ïï
+==
ïï
Û
íí

+=-=-
ïï
ïï
+==
ỵỵ

Khi đó:
322x
I(xx2x3)eC.=+-++

Bài toán 5: Tính Ix.lnxdx,vớiR\{1}.
a
=-
ò

Đặt :
1
1
dudx
ulnx
x
1
dvxdx
vx
1
a
a+
ì
=
ï

=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
a+
ỵ

Khi đó:
111
2
xxxx
IlnxdxlnxC.
111(1)
a+aa+a+
=-=-+
a+a+a+ a+
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 29
Ví dụ 9: Tính
2
Ixln2xdx.=
ò

Đặt :
2
3
dx
du
uln2x
x
1
dvxdx
vx
3
ì
=
ï
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ
. Khi đó:
333
2
xxx

Iln2xxdxln2xC.
339
==-+
ò

BÀI TẬP
Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x)lnx;= b/
22x
f(x)(x1)e=+ ; c/
2
f(x)xsinx;=
d/
x
f(x)esinx;= e/ f(x)x.cosx;= f/
x2
f(x)e(1tgxtgx).=++
ĐS: a/
xlnxxC-+
b/
22x
1
(2xx3)eC;
4
-++
c/
2
(2x)cosx2sinxC;-++ d/
x
1

e(sinxcosx)C;
2
-+
e/ 2x(x6)sinx6(x2)cosxC;-+-+ f/
x
etgxC.+
Bài 17. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
x
f(x)e;= b/
2
lnx
f(x);
x
ỉư
=
ç÷
èø
c/
22
f(x)(x1)cosx;=+
d/
2x
f(x)e.cos3x;
-
= e/ f(x)sin(lnx);= f/
2
f(x)xK,(K0);=+¹
ĐS: a/
x

2(x1)eC;-+ b/
2
lnx
2lnx2xC;
x
--+
c/
32
(x1)(x1)sin2x(x1)cos2xsin2x
C;
6448
+++
++-+
d/
2x
e
(3sin3x2cos3x)C;
13
-
-+ e/
[ ]
x
sin(lnx)cos(lnxC;
2
++
f/
22
xK
xKlnxxKC.
22

+++++
Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
3
f(x)xlnx= (HVQY_1999) b/
2
f(x)(x2)sin2x=+ (ĐHPĐ_2000)
c/ f(x)xsinx= (ĐHMĐC_1998)
ĐS: a/
44
11
xlnxxC;
416
-+ b/
2
1x1
(x2)cos2xsin2xcos2xC;
224
-++++
c/
3
2xcosx6xsinx12xcosx12sinxC.-++-+


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 30
Vấn đề 6: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác đònh nguyên hàm của f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ là

tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x)± dễ xác đònh hơn so với
hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
+ Bước 2: Xác đònh các nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x),± tức là:

1
2
F(x)G(x)A(x)C
(I)
F(x)G(x)B(x)C
+=+
ì
í
-=+
ỵ

+ Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được:
1
F(x)[A(x)B(x)]C
2
=++
là họ nguyên hàm của hàm số f(x).

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số:
sinx
f(x).
sinxcosx
=
-

Giải:
Chọn hàm số phụ:
cosx
g(x)
sinxcosx
=
-

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

sinxcosx
f(x)g(x)
sinxcosx
+
+=
+


1
2
sinxcosxd(sinxcosx)
F(x)G(x)dxlnsinxcosxC.
sinxcosxsinxcosx
sinxcosx
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
sinxcosx
+-
Þ+===-+
--

-
-==Þ-==+
-
òò
ò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)lnsinxcosxC
1
F(x)(lnsinxcosxx)C.
2
F(x)G(x)xC
ì
+=-+
ï
Þ=-++
í
-=+
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số:
4
44
cosx
f(x)
sinxcosx
=

+

Giải:
Chọn hàm số phụ:
4
44
sinx
g(x)
sinxcosx
=
+

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

44
1
44
sinxcsx
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC
sinxcosx
+
+==Þ+==+
+
ò


4422
4422222
2
cosxsinxcosxsinxcos2x

f(x)g(x)
1
sinxcosx(cosxsinx)2cosx.sinx
1sin2x
2
--
-===
++-
-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 31
2
2
2cos2xd(sin2x)1sin2x2
F(x)G(x)dxlnC
2sin2x
sin2x2
22sin2x2
-
Þ-==-=-+
-
-
+
òò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)xC

112sin2x
F(x)xlnC.
12sin2x
2
222sin2x
F(x)G(x)lnC
222sin2x
+=+
ì
ỉư
+
ï
Þ=++
ç÷
í
+
-
-=+
èø
ï
-
ỵ

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số:
2
f(x)2sinx.sin2x.=
Giải:
Chọn hàm số phụ:
2
g(x)2cosx.sin2x.=

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:
22
1
22
2
f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2sin2xF(x)G(x)2sin2xdxcos2xC
f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2cos2x.sin2xsin4x
1
F(x)G(x)sin4xdxcos4xC
4
+=+=Þ+==-+
-=-=-=-
Þ-=-=+
ò
ò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)cos2xC
11
F(x)cos2xcos4xC.
1
24
F(x)G(x)cos4xC
4
+=-+
ì
ï
ỉư

Þ=-++
í
ç÷
-=++
èø
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số:
x
xx
e
f(x).
ee
-
=
-

Giải:
Chọn hàm số phụ:
x
xx
e
g(x).
ee
-
-
=
-

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

xx
xx
xxxx
xx
1
xxxx
xx
2
xx
ee
f(x)g(x)
ee
eed(ee)
F(x)G(x)dxlneeC
eeee
ee
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
ee
-
-
--
-
--
-
-
+
+=
-

+-
Þ+===-+
--
-
-==Þ-==+
-
òò
ò

Ta được:
xx
1
xx
2
F(x)G(x)lneeC
1
F(x)(lneex)C.
2
F(x)G(x)xC
-
-
ì
+=-+
ï
Þ=-++
í
-=+
ï
ỵ

BÀI TẬP
Bài 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
sinx
f(x);
sinxcosx
=
+
b/
2
f(x)sinx.cos2x.= c/
x
xx
e
f(x)
ee
-
=
+

ĐS: a/
1
(xlnsinxcosxC;
2
-++ b/
11
(sin2xsin4xx)C;
44
--+ c/
xx

1
(xlnee)C.
2
-
+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 32
Vấn đề 7: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ

Để xác đònh nguyên hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương
pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp tam thức bậc hai
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần
5. Sử dụng các phương pháp khác nhau.

1. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ dựa trên tam thức bậc hai
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau:
1.
2
2
xdx1
lnxaC
2xa
=±+
±

ò
(1)
2.
22
dx1xa
lnC,vớia0
2axaxa
-
=+¹
+-
ò
(2)
Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
42
xdx
I
x2x2
=
--
ò

Giải:
Ta có:
2
422222
dxxdx1d(x1)
2x2x2(x1)3(x1)3
-
==
------

òòò


22
22
11x131x13
.lnClnC.
2
3x1343x13
----
=+=+
-+-+

· Chú ý: Cũng có thể trình bày bài toán tường minh hơn bằng việc đổi biến số trước khi
áp dụng các công thức (1), (2). Cụ thể:
Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
4222
xdxxdx
x2x2(x1)3
=
----
òò

Đặt
2
tx1=-

Suy ra:
222
xdx1dt

dt2xdx&..
2(x1)3t3
==
---

Khi đó :
2
2
2
1dt11t31x13
I.lnClnC.
22
t3
23t343x13
---
==+=+
-
+-+
ò