Dang 2. Phương pháp đổi biến số(VDT

1

Câu 1.

[2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng
các số hữu tỉ.
Giá trị của a  b  c bằng
A.



10
3 .



B.

�
3x  5
0

5
3.

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5
3x  1  7
, với a, b, c là

10

C. 3 .
Lời giải

5
D. 3 .

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A
2
Đặt t  3 x  1 � t  3 x  1 � 2tdt  3dx

Đổi cận: x  0 � t  1 ; x  1 � t  2 .
1

1

2
2
dx
dx
2
tdt
2 �3
2 �



dt
� 
�

�
�
2
�
�
3
t

5
t

6
3
t

3
t

2
3
x

5
3
x

1

7
3

x

1

5
3
x

1

6
�
�
0
1
1
Ta có: 0





2
2
2
2
2
3ln t  3 1  2 ln t  2 1   3ln 5  3ln 4  2 ln 4  2 ln 3    10 ln 2  2 ln 3  3ln 5 
3
3

3
=
20
4

ln 2  ln 3  2 ln 5
3
3



a

Suy ra:
Vậy

20
4
b
3 ,
3 , c  2.

abc  

10
3 .
1

Câu 2.

[2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng
các số hữu tỉ.
Giá trị của a  b  c bằng
B. 5 .

A. 10 .

�x  5

2

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5
x3 9
, với a, b, c là

C. 10 .
Lời giải

D. 5 .

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A
2
Đặt t  x  3 � t  x  3 � 2tdt  dx

Đổi cận: x  2 � t  1 ; x  1 � t  2 .
1

1

dx

�
x

5
x

3

9
Ta có: 2



2

2

2

dx
tdt
2 �
�3
 2�
 2�
dt
� 

�
2
�
t

5
t

6
t

3
t

2
x

3

5
3
x

1

6
�
�
2
1

1
2



 2 3ln t  3 1  2 ln t  2 1  2  5ln 4  2 ln 3  3ln 5 

Suy ra: a  20 , b  4 , c  6 . Vậy a  b  c  10

=  20 ln 2  4 ln 3  6 ln 5


4

Câu 3.

[2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng
là các số hữu tỉ.
Giá trị của a  b  c bằng
A. 0 .

B.



4
3.

dx

�
4  x  1  5

2x 1

0

 a ln 3  b ln 5  c ln 7

, với a, b, c

4
D. 3 .

C. 1 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A
2
Đặt t  2 x  1 � t  2 x  1 � tdt  dx

Đổi cận: x  0 � t  1 ; x  4 � t  3 .
4

Ta có:

dx

�

0 4  x  1  5 2 x  1

3
3
dx
1 2  2t  1   t  2 
tdt

dt

�
�
2
�
3
2
t

1
t

2
2
t

5
t

2





0 4x  2  5 2x  1  2
1
1
4

3

3
1
1 �2
1 � 1�
� 1
1
1
�
 �
dt  �2 ln t  2  ln 2t  1 �  �
2ln 5  2ln 3  ln 7  ln 3 �
� 
�
�
2
3 1 �t  2 2t  1 � 3 �
�
3�
2
2

�
1
1
2
1
  ln 3  ln 5  ln 7
2
3
6

1
2
1
a   ,b  ,c   � a  b  c  0
2
3
6
Suy ra:
.

Câu 4.

�
ex  m
khi x �0
�
f  x  �
2 x 3  x 2 khi x  0
�
[2D3-2.2-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số

liên
tục trên R và
1

�f  x  dx=ae  b

3 c
,

1

A. 15 .

 a, b, c �Q  . Tổng a  b  3c

bằng

19
C.
.

B. 10 .

D. 17 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng Minh Tuấn; Fb: Minh Tuấn Hoàng Thị
Chọn C





2
lim f  x   lim  e x  m   m  1 lim f  x   lim 2 x 3  x  0
f  0  m  1
x
�
0
x
�
0
x �0
Ta có x �0
,
và
.

Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x  0 .
Suy ra

Khi đó

=

lim f  x   lim f  x   f  0 

x �0

x �0

hay m  1  0 � m  1 .

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

2 x 3  x 2 dx  �
 e x  1 dx= �3  x 2 d  3  x 2   �
 e x  1dx
�f  x  dx= �

2
3  x2  3  x2


3

0

1

  ex  x   e  2 3 
1

0

22
3 .


Suy ra a  1 , b  2 ,

c

22
3 .

Vậy tổng a  b  3c  19 .

Câu 5.

[2D3-2.2-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số
1

f  x  dx  2
�

thỏa 0
A. I  16 .

2

và

f  3 x  1 dx  6
�
0

B. I  18 .

f  x

liên tục trên �

7

I �
f  x  dx

. Tính

0

C. I  8 .

.

D. I  20 .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Mạnh Hà; Fb: Đỗ Mạnh Hà
Chọn D
1

2

A�
f  x  dx  2 B  �
f  3x  1 dx  6
0
0
,
đặt t  3 x  1 � dt  3dx .

x  0 � t 1
Đổi cận : x  2 � t  7
7

B
Ta có:

Vậy
Câu 6.

7

7

1

7

0

0

1

I �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  20

[2D3-2.2-3]

2

7

1
f  t  dt  6 � �
f  t  dt  18 � �
f  x  dx =18
3�

1
1
1
.

3sin x  cos x

(Chuyên

dx 
�
2sin x  3cos x
0

22
A. 3 .

Hạ

.
Long

lần

2-2019)

Biết

11
ln 2  b ln 3  c  b, c �Q 

3
22
B. 3 .

b
. Tính c ?
22
C. 3 .

22
D. 13 .

Lời giải
Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết
Chọn C
m  2sin x  3cos x   n  2 cos x  3sin x 
3sin x  cos x

2sin x  3cos x
Đặt: 2sin x  3cos x


 2m  3n  sin x   3m  2n  cos x
2sin x  3cos x

3
�
m
�
2m  3n  3

�
� 13
��
�
3m  2n  1 �
11
�
n
�
13 .
Đồng nhất hệ số ta có:

3
11
2sin x  3cos x    2 cos x  3sin x 

3sin x  cos x
13
13
dx  �
dx
�
2sin
x

3cos
x
2sin
x


3cos
x
0
0


2

Nên:


2



2



3
�3 11 2 cos x  3sin x �
�

.
dx

 x
�
�
13

13
2sin
x

3cos
x
13
�
�
0


2
0

11 2 2 cos x  3sin x
 �
dx
13 0 2sin x  3cos x




3 11 2 d  2sin x  3cos x 
3 11


dx 
 ln 2sin x  3cos x 2
26 13 �

2sin x  3cos x
26 13
0
0
� 11
b
�
b 11 26 22
� 13
�  .

�
3

c
13
3

3
3 11
11
�
c

 ln 2  ln 3
26 13
13
. Do đó: � 26
.
a

Câu 7.

x3  x
I �
dx
2
x

1
0
[2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tính
.
1
I �
a 2  1 a 2  1  1�

I   a 2  1 a 2  1  1
�
�.
3
A.
.
B.
1
I �
a 2  1 a 2  1  1�

�
�.

3
C.

Chọn B
a

D.
.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm

x  x 2  1

a

x3  x

I   a 2  1 a 2  1  1

a

I �
dx  �
dx  �
x x 2  1dx
2
2
x 1
x 1
0

0
0
Ta có
.
2
2
2
Đặt u  x  1 � u  x  1 � udu  xdx .
2
Đổi cận: x  0 � u  1 , x  a � u  a  1 .
a 2 1

Vậy
Câu 8.

u3
I  �u 2du 
3 1
1

a 2 1

1
 �
 a 2  1 a 2  1 1�
�
3�
.

[2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân

1

I �
 1  x2  xdx
n

0

A.

I

theo n .

1
2n  2 .

B.

I

1
2n .

C.
Lời giải

I

1

2n  1 .

D.

I

1
2n  1 .

Tác giả: Đinh Hồng Đức; Fb: Duc Dinh
Chọn A
*
Với n �� , khi đó:

1
� xdx   dt
2
Đặt t  1  x � dt  2 xdx
Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  0
2

1 n
1 n
1 t n 1 1
1
t
d
t

t

d
t

.

�
�
21
20
2 n  1 0 2n  2
0

I 
Khi đó

1

1
d  1  x 2   2 xdx �  d  1  x 2   xdx
2
Cách 2: Ta có


1

I �
 1 x



2 n

0

n
1
1 1 x 
xdx   �
1  x2  d  1  x2    .

20
2
n 1

2 n 1 1

1

1
2n  2



0

2017

Câu 9.

[2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho hàm

f  x

thỏa mãn

�f  x  dx  1
0

. Tính tích phân

1

I �
f  2017 x  dx
0

A.

I

.

1
2017 .

B. I  0 .

C. I  2017 .
D. I  1 .
Lời giải

Tác giả: Đinh Hồng Đức; Fb: Duc Dinh

Chọn A

1
dt
2017
Đặt t  2017 x � dt  2017dx
Đổi cận: x  0 � t  0 ; x  1 � t  2017
� dx 

2017

I
Vậy

�f  t  .
0

1
1
dt 
2017
2017

2017

1

�f  t  dt  2017

0

.

Câu 10. [2D3-2.2-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số

y  f  x

xác

4

f  x  dx
3
�
f
x

3
x

x

1,

x
��


định và liên tục trên � thỏa mãn

. Tích phân 0
bằng:
25
7
A. 4 .
B. 88 .
C. 25 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen
Chọn A
3
dx   3t 2  3 dt
x

t

3
t
Đặt
. Khi đó:
.

Với x  0 � t  0 .

x  4 � t 1.
4

Vậy:

1

f  x  dx  �
f t
�
0

0

1

3

 3t   3t  3 dt  �
 t  1  3t 2  3 dt 
2

0

25
4

.

Câu 11. [2D3-2.2-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI)
1
x2
dx  a ln 12  b ln 7
2
�

3
3
x  4x  7
0
, với a , b là các số nguyên, khi đó a  b bằng
A. 9 .
B. 0 .
C. 9 .
D. 7 .

Biết

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Len; Fb: ĐinhLen
Chọn B
1
t  x 2  4 x  7 � dt   2 x  4  dx �  x  2  dx  2 dt
Đặt
.


Đổi cận: x  0 � t  7 ; x  1 � t  12 .
1

12

x2
1
1
dx  � dt  ln t

2
�
x  4x  7
2t
2
0
7

12
7

1
1
 ln12  ln 7  ln 12  ln 7
2
2
� a  1 ; b  1 .

3
3
Vậy a  b  0 .
1

Câu 12.

1 x

a

m

�1  x dx  b   n , với a, b, n, m �� , các phân số
[2D3-2.2-3] (THTT số 3) Cho tích phân


0

a m
,
b n tối giản. Tính a b  mn .
A. 3.
B. 5.

C. 8.

D. 2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng; Fb: Hana Nguyen
Chọn D
��
0  cos �
2. �
4 �và 1  cos 0 .
x

cos
2
t
�

d
x


2sin
2
t
d
t
Đặt
. Ta có
,
1  cos 2t 1  1  2sin 2 t

 tan 2 t
2
Ta có 1  cos 2t 1  2 cos t  1
.

Vậy

1 x
�1  x dx  � tan t  2sin 2t  dt
1

0

0



4

2


4
0


4
0







0

0

 2 �tan t sin 2t dt  4 �sin 2 t dt
4
4
4
 2�
dt  2 �
cos 2t dt
 1  cos 2t  dt  2�

0


4
0

 2t  sin 2t
�


4
0




1
2

a 1 m 1
a m
 , 
,
b 2 n 1 . Vì các phân số b n tối giản nên ta suy ra a  1, b  2, m  1, n  1 .

b
n
2
1
Do đó a  m  1  1  2 .

2

f  x  dx  a
�

Câu 13. [2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tích phân
1





I �
xf x 2  1 dx
0

A. I  4a .

1

. Hãy tính tích phân

theo a .
B.

I

a
4.

C.
Lời giải

I

a
2.

D. I  2a .

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu
Chọn C
2
Đặt t  x  1 � dt  2 xdx .
Đổi cận


1





2

I �
xf x 2  1 dx  �
f  t .
0

1

2

2

dt 1
1
a
 �
f  t  dt  �
f  x  dx 
2 21
21
2

.

3

x
a
I �
dx   b ln 2  c ln d
d
0 4  2 x 1
Câu 14. [2D3-2.2-3] (Ba Đình Lần2) Cho
, với a, b, c, d là các
a

số nguyên và d là phân số tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng
A.
16.
B. 4.
C. 28. D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Lương Pho ; Fb: LuongPho89
Chọn B
2
Đặt t  x  1 � x  t  1

� dx  2tdt
Đổi cận: x  0 � t  1; x  3 � t  2
2

2

2
� 7
t 2 1
6 � �t 3 2
�2
I  � .2t dt  �
t

2
t

3


dt  �  t  3t  6 ln t  2 �   12 ln 2  6 ln 3.
�
�
4  2t
t  2 � �3
3
�
1
1�
1

Suy ra a  7, b  12, c  6, d  3 . Do đó a  b  c  d  4.
8

1
1 a c
I �
dx  ln 
2 b d
3 x  x x 1
Câu 15. [2D3-2.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho
với a, b, c, d là
a c
,
các số nguyên dương và b d tối giản. Giá trị của abc  d bằng
A. 6 .
B. 18 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn A
2
Đặt t  x  1 � t  x  1 � 2tdt  dx .

Khi x  3 � t  2 ; Khi x  8 � t  3 .
3

Khi đó

3

3

1
2t
2t
I �
.2tdt  �2
dt  �
dt
2
2
2
2 t  1   t  1 t
2  t  1  t  1
2  t  1  t  1

3
 t  1   t  1 dt  3 �

 t  1   t  1 �
�
�
�
dt
2
2
2
�
�
�
t

1
t

1
t

1
t

1
t

1
t

1













2
2�
�
3�
3�
1
1 �
1  t  1   t  1
1
�
�

�
d
t

�.

2

2
�
� t  1  t  1  t  1 � 2 �2  t  1  t  1
 t  1
2�
�
�

�
�
dt
�
�

3
�
1 �1
1 � 1 � �
1
1 �
�

dt  �  ln t  1  ln t  1  
�� 
�
�
�
2 �t  1 t  1 �  t  1 2 �
2
t  1�

�
� �
2 �
2
3

3

�
1 t 1
1 � 1 1 1 �1 1 1 �
 � ln

 ln   � ln  �
2 t  1 t  1�
�
�2 2 2 4 �2 3 3 �


1 1 1 1 1 1 1 3 1
 ln  ln    ln 
2 2 2 3 4 3 2 2 12 � a  3 , b  2 , c  1 , d  12 .
Vậy abc  d  3.2.1  12  6 .
1

I �
x x 2  1dx

0
Câu 16. [2D3-2.2-3] (Ngô Quyền Hà Nội) Tính tích phân

2 2 1
2 2
I
I
3 .
3 .
A.
B.
C. I  2 2  1 .

.
D.

I

2 2 1
3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Sang ; Fb:Nguyen Thanh Sang
Chọn A
2
Đặt t  x  1 suy ra tdt  xdx .

Đổi cận: x  0 � t  1 ; x  1 � t  2 .
1

2

2

t3
2 2 1
I �
x x  1dx  �
t dt 

31
3
0
1
2

2

.
1

3x  1

�x  5

dx  a  b ln 5  c ln 3

Câu 17. [2D3-2.2-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho 0
là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a  b  c bằng :
A. 6.
B. -4.
C. 14.
Lời giải

với a , b , c

D. -2.
Tác giả:Đào Thị Kiểm ; Fb:Đào Kiểm

Chọn D
t 2  3x  1 � 2tdt  3dx � dx 

2t
dt
3 .

Đặt t  3x  1 . Ta có
t 2 1
t 2  16
x5 
5 
3
3 .
Ta có
Khi x  0 thì t  1 , x  1 thì t  2 nên ta có :
1
2
2
3x  1
t
2t
t2
2

dx  �2
� dt  2 �
dt
2
�
2 �
� 2
t

16
x

5
3
t

16
0
1
1
 2�
1

dt
�
�
t 4 t 4� .
3
1�
�

2  t  2 ln t  4  2 ln t  4  �
�
�1   4  4 ln 2  4 ln 6    2  4 ln 3  4 ln 5 
2

 2  4 ln 2  4 ln 3  4 ln 5  4 ln 6  2  4 ln 2  4 ln 3  4 ln 5  4ln  2.3 

 2  4 ln 2  4 ln 3  4 ln 5  4 ln 2  4 ln 3  2  4 ln 5  8ln 3 .
Suy ra a  b  c  2  4  8  2 .

.

.

Câu 18. [2D3-2.2-3]
(THANH
CHƯƠNG
1
NGHỆ AN
2019
LẦN
2
x
dx  a ln 3  b
2
�
2
2
x  2x  4
0

với a , b là các số thực. Giá trị của a  3b bằng
7
1
5
35
A. 27 .
B. 2 .
C. 18 .
D. 144 .

3)

Cho

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai


Chọn C
2

2

x
1
� x 1
�
dx  �
 2
dx

�2
�
2
�
x

2
x

4
x

2
x

4
x

2
x

4
�
�
0
Ta có: 0
2

2

x 1
1
 �2
dx  �2
dx
x  2x  4
x  2x  4
0
0

.
2

2
x 1
1
I1  �2
dx  ln  x 2  2 x  4   1  ln12  ln 4   1 ln 3
x  2x  4
2
0
0
2
2
Tính
.
2

1
1

dx
I 2  �2
dx  �
2
x

1

3
x

2
x

4


0
0
2

Tính

Đặt x  1  3 tan u

� dx 

.




3
�u 
�u 
du
2
cos u . Đổi cận: x  0
6 và x  2
3.

3


3

3
1
1
du
I2  � 2 .
du 
1 �  � 
�
2

3
 cos u 3  1  tan u 
�  �
3
�3 6 � 6 3 .

6
6
Suy ra
2

Vậy

x

dx  I
�
x  2x  4

1

2

0

 I 2  1 ln 3  
2
6 3.
2

2

�1 � � 1 � 5
a  3b  � � 3. � �
�2 � �6 3 � 18 .
Suy ra

2

2

3

x ln  x
�

2

 16  dx  a ln 5  b ln 2 

c
2

Câu 19. [2D3-2.2-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết 0
,
a
b
c
T

a

b

c
trong đó , , là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức
A. T  2 .

B. T  16 .
C. T  2 .
D. T  16 .
Lời giải
Tác giả: Mai Ngọc Thi; Fb: Mai Ngọc Thi
Chọn D
dt
� x dx 
2
2 .
Đặt t  x  16 � dt  2 x dx
Đổi cận: x  0 � t  16 ; x  3 � t  25 .
3
25
1
I �
x ln x 2  16 dx  �
ln tdt
2
0
16
.
� 1
du  dt
u  ln t � �
�
t
�
�
�

vt
dv  d t
�
Đặt �
.



25

I



25

25
1
1
1
ln
t
d
t

t
ln
t

dt  25 ln 5  32 ln 2  9

 
�
�
2 16
2
2 16
16
2

Vậy T  a  b  c  25  32  9  16 .
Cách 2.

.


2x
�
du  2
dx
2
�
�
u

ln
x

16



�
�
x  16
��
�
x2
x 2  16
dv  xdx
�
�
v
8 
� 2
2 .
Đặt
3 3
3
2
x

16
I �
x ln  x 2  16  dx 
.ln  x 2  16   �
x dx
9
2
 25 ln 5  32 ln 2 
0
0

0
2
T

a

b

c

25

32

9


16
Vậy
.

Câu 20. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm số
f  x
x � 0; a 
f  x  0
f  x . f  a  x  1
liên tục và a  0 . Giả sử với mọi
ta có
và
. Tính

a
dx
I �
1 f  x
0
.
a
a
I
I
I  a ln  a  1
3.
2.
A.
B.
C. I  2a .
D.
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong
Chọn B
f  x  0

Từ giả thiết:

và

f  x . f  a  x  1

, ta suy ra:

f  a  x 

1
f  x

.

Đặt x  a  t � dx  dt ; Với x  0 � t  a, x  a � t  0 .
0
a
a
f  t  dt
dx
dt
dt
I �
�
�
�
1 f  x a 1 f  a  t  0 1 1
1  f  t   a f  x  dx
0
0
�
f  t
0 1 f  x
a

Khi đó:

Suy ra
Vậy

a
a f  x  dx
a  1  f  x   dx
a
dx
2I  �
�
�
�
dx  a
1 f  x
0 1 f  x
0 1 f  x
0
0

I

.

.

a
2.

Câu 21. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Biết

x2

�f  t  dt  x cos   x  , x ��
0

A. 1 .

. Tính
1

B. 4 .

f  4

.
C. 1 .
Lời giải

1
D. 4 .

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: />Chọn D
Đặt
x2

F  x  �
f  x  dx � F �
 x  f  x

�f  t  dt  x cos   x  � F  t 

0

x2
0

. Ta có:

 x cos   x  � F  x 2   F  0   x cos   x 

.


Đạo hàm hai vế ta có:
2 xf  x 2   cos   x    x sin   x 

Chọn x  2 �

.

4 f  4   cos  2   2 .sin  2  � f  4  

1
4.

1

I �
x ln  2  x 2  dx  a ln 3  b ln 2  c

Câu 22. [2D3-2.2-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho

các số hữu tỷ. Giá trị của a  b  c bằng
3
2.
B. 1 .
A.

0

C. 0 .

với a , b , c là

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Đoàn Phạm Hồng Hưng; Fb: Đoàn Phạm Hồng Hưng
Chọn C
2
�
�u  ln  2  x 
�
dv  xdx
Đặt �

�
du 
�
�
��
�v 

�

2x
dx
2  x2
x2
2
.
1

1

�x 2
� 1 x2 2 x
I �
x ln  2  x  dx  � ln  2  x 2  �  � .
dx
2
�2
�0 0 2 2  x
0
2

Khi đó,

1

1
�x 2
x3

2 �
 � ln  2  x  �  � 2 dx
�2
�0 0 2  x
1

1

 1
.
1

1

x3
2x �
2x
�
I 1  � 2 dx = �
dx  �
xdx  �2
dx
�x  2
�
2 x
x 2�
x 2
�
0
0

0
0
Xét
1
d  x2  2
1
x2
x2

� 2

 ln  x 2  2   1  ln 3  ln 2
0
2 0 0 x 2
2 0
2
.
1

1

 1 , suy ra
Thay vào

I

1
1
3
1

ln 3   ln 3  ln 2  ln 3  ln 2 
2
2
2
2.

� 3
a
�
2
�
�b  1
�
1
�c  
2 �a b c  0.
Vậy �

Câu 23. [2D3-2.2-3]
e
2 ln x  1

(THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho
a c

b d

a c
;
1

với a , b , c là các số nguyên dương, biết b d là các phân số tối
giản. Tính giá trị a  b  c  d ?
A. 18 .
B. 15 .
C. 16 .
D. 17 .

�
x  ln x  2 

2

dx  ln

Lời giải


Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn C
Đặt

t  ln x � dt 

dx
x .

Đổi cận: x  1 � t  0; x  e � t  1 . Khi đó:
1
� 3
2 � �3

9 1
�

dt  �
 2 ln t  2 �  ln 
�
�
I �
dx  �
dt  �
2
2
2
� t  2 
t2�
4 2
�0
0�
1 x  ln x  2 
0  t  2
� �t  2
.
e

2 ln x  1

1

2t  1

1

Vậy a  b  c  d  9  4  1  2  16 .
Câu 24. [2D3-2.2-3]
1

�x  5

2

(THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)

Biết

rằng

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5
x39
, với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của

a  b  c bằng

A. 10 .

B. 10 .

D. 5 .

C. 5 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn A
Đặt t 

x3 .

2
Ta có t  x  3 � 2tdt  dx .

Đổi cận: x  2 � t  1 , x  1 � t  2 .
2

1

2
2
2t
dx
2tdt
2t
dt
I�
�
�
dt  �
2
2
t  2   t  3

t

3

5
t

9
t

5
t

6

x

5
x

3

9
1

2
1
1
Khi đó
.

2

6 �
� 4
I �

dt  4 ln t  2  6 ln t  3 2
�
�
 1  20 ln 2  4ln 3  6 ln 5 .
t

2
t

3
� 
1�
Do đó a  20, b  4, c  6 .
Vậy a  b  c  20  4  6  10 .
1

Câu 25. [2D3-2.2-3] (CổLoa Hà Nội) Biết rằng
nguyên. Tính T  abc .
A. 8 .
B. 8 .

�
1

2

dx
 a ln 3  b ln 2  c
x3
, với a, b, c là các số
C. 12 .

D. 12 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến
Chọn A
1

I

�
1

2

dx
x3

2
Đặt t  x  3 � t  x  3 � 2tdt  dx .


Đổi cận:

x
t

2
1
2

1
2
2

2

2t
1
I  � dt  �
2dt  2 � dt  2  2 ln 1  t
1 t
1 t
1
1
1
Khi đó

2
1

 2  2ln 3  2ln 2
.

Suy ra a  2, b  2, c  2 . Vậy T  abc  8 .
Câu 26. [2D3-2.2-3] (CỤM TRẦN KIM HƯNG HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân
2 3
1
a.
� 1 �
a
I  ��
1 2 �
. 14  x 2  2 .dx 
c 3 d
x
x
b
�
1 2 �
, trong đó (a, b, c, d ��, b là phân số tối
giản). Tính tổng S  a  b  c  d .
A. S  3 .
B. S  7 .
C. S  2 .
D. S  11 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hồng Hải; Fb: Nguyễn Hồng Hải
Chọn A
2 3

Ta có:

1
� 1 �
I  ��
1 2 �
. 14  x 2  2 .dx 
x �
x
1 2 �

2

2 3

� 1 �
� 1�
1 2 �
. 16  �x  �.dx
��
x �
� x�
1 2 �

1
� 1 �
�  �
 4sin t � �
1 2 �
dx  4 cos tdt t ��
 ; �
x

� x �
� 2 2�
Đặt
,


x  1 2 � t 
x  2  3 �t 
4 ; với
3.
Đổi cận: Với
x


3


3


3

I �
4 cos t. 16   4sin t  dt  16 �
cos tdt  8 �
 1  cos 2t  dt   8 x  4 sin 2t 
2


4

I


4

2 3

2


4


3

4



2
2 3 4
3

1
a.
� 1 �
. 14  x 2  2 .dx 
 c 3  d � a  2, b  3, c  2, d  4
2 �

x
b
�

1
��
� x

1 2
Mà
Vậy S  a  b  c  d  3 .

.

Câu 27. [2D3-2.2-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết

3

cos 2 x  sin x cos x  1
dx  a  b ln 2  c ln(1  3)
3
� 4
 cos x  sin x cos x
4

A. P  0 .

B. P  4 .

với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P  a.b.c

C. P  2 .
D. P  6 .

Lời giải
Tácgiả:Quỳnh Giao; Fb:QGiaoDo
Chọn B
Ta có:



3


3

cos x  sin x cos x  1
2  tan x  tan 2 x dx
d
x

.
3
� 4
�
1  tan x
cos 2 x
 cos x  sin x cos x

2

4

4


2 �
�
�1
�
�
.d  tan x   � tan 2 x  2 ln  tan x  �3
�tan x 
�
1  tan x �
�2
�
 �
4
4  1  2 ln 2  2 ln 1  3 .

3





Vậy P  4
Phát triển
Đây là dạng tích phân của hàm số lượng giác mà tử số và mẫu số là các biểu thức đẳng cấp với
sin x và cos x đồng thời số mũ của tử kém số mũ của mẫu hai đơn vị.

Phương pháp chung là chuyển về theo tan x .
Câu 28. [2D3-2.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
2
x
dx  a  b ln 3  c ln 2
2
�
(
x

1)
1
NGÃI) Giả sử tích phân
trong đó a , b , c là các số hữu tỉ. Tính
2
2
2
tổng S  a  b  c .
77
73
67
1
A. 36 .
B. 36 .
C. 36 .
D. 64 .
Lời giải
Tác giả: Tú Nguyễn ; Fb: Tú Nguyễn
Chọn B
2

2

2

2

2

x
x 1
1
1
1
dx  �
dx  �
dx  �
dx  �
dx
2
2
2
2
�
(
x

1)
(
x


1)
(
x

1)
(
x

1)
(
x

1)
1
1
1
1
1
Ta có
 ln x  1

Suy ra

2
1 2
1

   ln 3  ln 2
1 x 1 1

6
.

a

1
6 ; b  1 ; c  1 .
2

73
2
�1� 2
S  a b c  �
 � 1   1 
36 .
� 6�
Vậy
2



2

1

�x
1

3

x
1 �b
�
dx  ln �  d �
,
1
a �c
�

Câu 29. [2D3-2.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho 2
b
số nguyên dương và c tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng
A. 12.
B. 10.
C. 18.

với a, b, c, d là các

D. 15.

Lời giải
Tác giả:; Fb: Huuhung Huynh
Chọn B
Cách 1: Ta có


1

1

2

2

x
x2
I  � 3 dx  �
dx
x 1
x3 ( x 3  1)
1
1

3
2
3
2
. Đặt t  x  1 � t  x  1 � 2tdt  3 x dx

2
t dt
2
3
I �

2
3
3 t t 1
2

1
3
x  �t 
2
2 2 ; x  1 � t  2 . Khi đó
Đổi cận
Đặt y  t  1  t  1
t
Đổi cận

3
2 2

t 2�y
2
I
3

t  1  t 1

� dy 
3

�y

2 2

2 1 

1 

2 1 
2 2 2

2 2 2

2dy 4
 ln y
�
y
3
4
8

2 t 2 1

4

8

3
2 2
2
2 1

2 2

dt �

1 



2

dt

�t
3

2

1

2 2

2dy
dt

y
t 2 1

3 2 2
32 2
2 2


48
2 2
2 2

2 2
;
2
2 1

 2 2 2

4
2 2  2 1 (2 2  2) 2 1 3
 ln
 ln
 ln(  2)
4
3
3
8
3 2
8

Do đó a  b  c  d  10
1
1
x
x2
d
x

dx.
�
�

x3  1
1
1
x3  x 3  1
2
Cách 2: Ta có 2
Đặt t  x � dt  3x dx. Đổi cận
3

2

x

1
1
� t  ; x  1 � t  1.
2
8

� 1�
1
d�
t �
1
2
dt
1
1
1
1

1 �3
2�
� 1� 1
�
�
3
I �
 �
 ln t   �
t  � 1  ln �  2 �
.
2
2
3 �2
t (t  1) 3 1 � 1 � 1 3
� 2� 4
�
1
8
t  �
8
8
�
2
4
�
�
Khi đó
1

Vậy a  b  c  d  3  3  2  2  10.
3

Câu 30. [2D3-2.2-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho
a, b, c ��. Giá trị của a  b  c bằng
3
B. 8 .

A. 1.

1
I �
dx  a  b ln 2  c ln 3
1

8
x

1
1

C. 2.

với

1
D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Duc Minh.

Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong
Chọn D
t
� dx  dt
4 .
Đặt t  8 x  1 � t  8 x  1 � 2tdt  8dx
Đổi cận: x  1 � t  3
x 3�t 5
2


5

5

1 t
1 � 1 � 1
I  � dt  �
1
dt   t  ln t  1 
�
�
4
1

t
4
1

t

�
�
4
3
3
Ta có:
1
1 1
1
 �
  ln 2  ln 3
 5  ln 6    3  ln 4  �
�
�
4
2 4
4
.
1
1
1
a , b , c
2
4
4.
Suy ra
1
abc 
2.
Do đó

5
3

Câu 31. [2D3-2.2-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số
2

y  f  x
3





I�
f � x  1 dx
1

f  x  dx  1
�

f  2   2
liên tục và có đạo hàm trên � thỏa mãn
;

A. I  5 .

.

B. I  0 .

0

C. I  18 .

. Tính tích phân

D. I  10 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: Bien Nguyen Thanh
Chọn D
Đặt

t  x  1 � t 2  x  1 � 2tdt  xdx .

Đổi cận: x  1 � t  0 ; x  3 � t  2 .
I

3



2



2

2

0

0

2t. f �
f  t  dt  4 f  2   2 �
f  x  dx
 t  dt  2t. f  t  0  2�
�f � x  1 dx  �

1

Khi đó:
 8  2  10 .

2

0

Câu 32. [2D3-2.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

f  x

liên tục trên � thỏa mãn
2

1

f  2 x   3 f  x  x ��

,
. Biết rằng
A. I  5 .
B. I  6 .

f  x  dx  1
�

. Tính tích phân
C. I  3 .
Lời giải.

0

I �
f  x  dx
1

.
D. I  2 .

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng ; Fb: Mạnh Dũng.
Chọn A

Ta có:
Đặt

1

1

1

0

0

0

3  3.1  3.�
f  x  dx  �
3 f  x  dx  �
f  2 x  dx 

2 x  t � d  2 x   dt
1

1

1
f  2 x  d  2 x  , x ��
2�
0
.

, với x  0 � t  0 ; x  1 � t  2 .
2

2

1
1
1
� 3 �
f  2x  d  2x  �
f  t  dt  �
f  x  dx , x ��
20
20
20

�

2

1

2

0

0

1

(do hàm số

f  x  dx  6, x �� � �
f  x  dx  �
f  x  dx  6, x ��

�

.

f  x

liên tục trên �).


2

� 1 �
f  x  dx  6 , x ��
1
.
2

��
f  x  dx  5, x ��
1
.
Câu 33. [2D3-2.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số

y  f  x


2

1

x. f  x  dx  2019
sin 2 x. f  cosx  dx
�
�
0; 1

0
0
liên tục trên
và thỏa mãn
. Giá trị của tích phân
A. 2019 .

C. 2019 .

B. 4038 .

D. 4038 .

là

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb: Nguyễn Ngọc Tâm
Chọn B
Đặt t  cos x � dt   sin xdx .

x

Đổi cận: x  0 � t  1 ;


�t 0
2
.

Ta có:

2


2

0

1

0

1

0

sin 2 x. f  cosx  dx  �
2 sin x.cosx. f  cosx  dx   �
2t. f  t  dt  2 �
t. f  t  d t
�
0

1

 2�
x. f  x  dx  4038
0

.

Câu 34. [2D3-2.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 1 Cho hàm số

f  x

liên tục trên � thỏa mãn

1

f  mx   nf  x   p

,

x �� m �0  .

Biết rằng

f  x  dx  q
�
 q �0  .
0

Tính tích phân

m

I �
f  x  dx
1

.
Lời giải.
Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng ; Fb: Mạnh Dũng.

1
1
1
1
1
n  n . f x dx  n f x dx  f  mx   p dx  f  mx  dx  p dx , x ��
 
 
n  .q
�
�
�
�
q �
q
q
q
q
q
0

0
0
0
0
Ta có:
.
1
1
1
p 1
1
p
�n
f  mx  d  mx   x 
f  mx  d  mx   , x ��
�
�
mq 0
q 0 mq 0
q
.
1

� p�
��
f  mx  d  mx   �
n �
.mq , x ��
� q�
0

.
Đặt
1

mx  t � d  mx   dt
�

, với x  0 � t  0 ; x  1 � t  m .

p�

f  mx  d  mx   �
n �
.mq , x ��
�
� q�
0

.


m

m

� p�
��
f  t  dt  �
f  x  dx  �
n �

.mq , x ��
f  x
� q�
0
0
(do hàm số
liên tục trên �).
1

m

� p�
��
f  x  dx  �
f  x  dx  �
n �
.mq , x ��
� q�
0
1
.
m

� p�
� q�
f  x  dx  �
n �
.mq , x ��
� q�
1

.
m
� p�
��
f  x  dx  �
n �
.mq  q
q
 nmq  mp  q , x ��.
�
�
1
m

��
f  x  dx  nmq  mp  q , x ��
1
.
Câu 35. [2D3-2.2-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số
1

f  2 x   5 f  x   x x ��
,
. Biết rằng
A. I  11 .
B. I  15 .

f  x

liên tục trên � thỏa mãn

2

f  x  dx  2
�

I �
f  x  dx
1
. Tính tích phân
.
C. I  19 .
D. I  14 .
Lờigiải
Tác giả:Trịnh Thanh; Fb:Deffer Song

0

Chọn C
Ta có:
1

x2
21

��
f  2 x  dx  �
�
5 f  x  x�
dx  5 �
f  x  dx  �

x dx  5.2 
�
�
f  2x   5 f  x   x
2 0 2
0
0
0
0
1

1

1

1

1

1

f  2 x  dx  �
f  2x d  2x
�
2

0
Mặt khác 0
2
2

1
21
� �
f  x  dx 
��
f  x  dx  21
20
2
0

Do đó:

2

2

1

1

0

0



2

1

.

2

1
1
f  t  dt  �
f  x  dx
�
20
20

.

.

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx
�

 21  2  19 .

Câu 36. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019)Cho hàm số
1
2

1
3

f  x

liên tục trên

 0;1

và thỏa mãn

f  2 x  dx  13
f  x  dx  1 �
�
,

0

1
6

. Tính tích phân

1

I �
x 2 f  x 3  dx
0

A. I  6 .

.

B. I  8 .

C. I  7 .
Lời giải

D. I  9 .

Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh
Chọn D


1
2

f  2 x  dx  13
�
Xét

1
6

Đổi cận:

x

1
u  2 x � du  2dx � du  dx
2
, đặt
.

1
1
1
�u 
x  � u 1
6
3;
2
.

1
2

13  �
f  2 x  dx 
1
6

Ta có
1

Xét

I �
x 2 f  x3  dx
0

1

1

3

3

1
f  u  du � �
f  u  du  26
2�
1
1

.

1
t  x 3 � dt  3 x 2dx � dt  x 2 dx
3
, đặt
.

Đổi cận: x  0 � t  0 ; x  1 � t  1 .
Vậy ta có:
1

1

1

1

1

3

3

1
13
1
13
1
1

f
t
d
t

f
t
d
t

f
t
d
t

f  t  dt  �

f  u  du






2
3
�
�
�
�
I �
x f  x  dx 3 0
30
31
30
31
0

1
1
 .1  .26  9
3
3
.
1

 x  1

2

I  �2
dx  a ln b  c
x

1
0

Câu 37. [2D3-2.2-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân
c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b  c .
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .

, trong đó a ; b ;

D. 0 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan
Chọn A
1

 x  1

2

1

1

1

1

x2  1  2x
1
� 2x �
I  �2
dx  � 2
dx  �
1 2
dx  �
dx  �2
d  x 2  1
�
�
x 1
x 1
x 1 � 0
x 1
0
0
0�
0
1

 1  ln x  1  1  ln 2
2

0

.

a  1 , b  2 , c  1 nên a  b  c  2 .
ln 2

I

1

�e  3e
x

0
Câu 38. [2D3-2.2-3] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Biết
trong đó a , b , c là các số nguyên dương. Tính P  2a  b  c .
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .

x

dx  1  ln a  ln b  ln c 
4
c
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang
Chọn D


ln 2

I

1
dx ln 2
ex
3
x
 �2 x
dx
e  x 4
e  4e x  3
0
e
.

�
0

Ta có

x
x

Đặt t  e � dt  e dx .

Đổi cận: x  0 � t  1 ; x  ln 2 � t  2 .
2

2
2
t 1 � 1 � 3
dt
dt
1 �1
1 �  1�
1�
ln

I �


d
t
 �
ln  ln �
�
�
�
�
�
2
�
2� t 3 �

t  1  t  3 2 1 �t  1 t  3 �
t  4t  3
2� 5
2�
1 
1
1
1
I   ln 3  ln 5  ln 2 
2
.
2

� a  3, b  5, c  2 .

Vậy P  2.3  5  2  3 .
Câu 39. [2D3-2.2-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Người ta cần trồng một vườn hoa (phần
tơ đậm như hình vẽ). Biết đường viền ngoài và đường viền trong khu đất trồng hoa là hai
đường elip. Đường elip ngồi có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là 10m và 6m .
2
Đường elip trong cách đều elip ngồi một khoảng bằng 2dm (hình vẽ). Kinh phí cho mỗi m
trồng hoa là 100.000 đồng. Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa gần với số nào
sau đây?

A. 490008 .

B. 314159 .

C.122522 .

D. 472673 .

Lời giải
Tác giả: Lê Tuấn Anh ; Fb: Anh Tuan Anh Le.
Phản biện: Ngô Nguyễn Anh Vũ , Fb: Euro Vu.
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

x2
x2 y 2
�
y

�
3
1


1
25 .
Đường elip ngồi có a  5, b  3 nên có phương trình: 25 9


x2
y2

1
2
2
Đường elip trong có a  4,8; b  2,8 nên có phương trình: (4,8) (2,8)

x2
� y  �(2,8) 1 
2
 4,8  .
4,8

5

Diện tích khu đất trồng hoa cần tìm:

S  4�
3 1
0

x2
x2
dx  4 �
(2,8) 1 
dx �4,90088454
25
(4,8) 2
0

.

Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa : 4, 90088454.100000  490088, 454 (đồng).
Cách khác: sử dụng cơng thức diện tích hình elip: S   ab .
Diện tích khu đất trồng hoa cần tìm: S   .5.3   (4,8)(2,8)  4,90088454 .
Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa : 4,90088454.100000  490088, 454 (đồng).
Câu 40. [2D3-2.2-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số

3

3

f  x

 2;3
liên tục trên đoạn

thỏa mãn
3
B. I  2019 .

A. I  6057 .

f  x  dx  2019
�
2

I
. Tính

2

x fx
�
2

3

1

C. I  673 .

 1 dx

.

D. I  2019 .

Lời giải
Tác giả: Vũ Thị Loan; Fb: Loan Vu
Chọn C
3
2
Đặt t  x  1 � dt  3 x dx .

Đổi cận

3

2

3

3

1
1
1

I�
x f  x  1 dx  �
f  t  dt  �
f  x  dx  �
2019  673
3
3
3
1
2
2
Khi đó
.
2

3

Câu 41. [2D3-2.2-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hàm số

y  f  x

3

mãn
A. 1.

f  4  x   f  x  , x � 1;3

và

xf  x  dx  2
�
1

B. 2.

. Giá trị

C. 1 .

liên tục trên đoạn

 1;3 , thỏa

3

2�
f  x  dx
1

bằng
D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường
Chọn D

Ta có

3

3

1

1

I �
xf  x  dx  �
tf  t  dt  2

Đặt t  4  x � dt  dx .
Đổi cận t  1 � x  3; t  3 � x  1 .

.


3

1

3

3

1

1

I �

tf  t  dt   �
 4  x  f  4  x  dx  �
 4  x  f  4  x  dx  �
 4  x  f  x  dx
1

3

3

3

3

1

1

1

�
4 f ( x )dx  �
xf ( x)dx  4 �
f  x  dx  I
3

3

1

1

� 2 I  4�
f  x  dx � 2 �
f  x  dx  I  2

.

3

Vậy

2�
f  x  dx  2
1

.

Câu 42. [2D3-2.2-3]
(THẠCH
THÀNH
I
THANH
HÓA
2019)
Biết
2
�
1
1

1 �
a3
a
3 x
3

2

dx

c
�
�
2
8
11
�
�
�
x
x
x
b
1�
�
với a , b , c nguyên dương, b tối giản và c  a . Tính
S  abc .
A. S  51 .
B. S  39 .
C. 67 .

D. 75 .
Lời giải
Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop
Chọn B
2
2
�
�
1
1
1 �
1
1 � 1 ��
3 x
3
3 x
3
I �

2

dx


2
x  2 ��
dx
�
�
�

2
8
11 �
2
9 �
�
�
�
�
x
x
x
x
x
x
�
�
1�
1�
�
�
Xét
2
2
�
�
1
1 3
1 �
1 �

� 2 �3
3 x
�

2.
x

dx

1

x

dx
�
�
�
�
�
2
3
2
3
2 �
�
�
�
x
x
x

x
x
�
�
1�
1 �
�
� .

Đặt

t  3 x

2�
1
1 � 3t 2 dt  �
3
1 3 �
dx
�
2 �t  x 2
x
� x � .
x

Đổi cận x  1 � t  0 ;
3

7
4

3

x  2�t 

7
4

3

3

7
4.

7

4
3
I �
t.3t dt  3 �
t dt  t 4  21 3 7  21 3 14
4 0
16 4 32
0
0
Vậy
.
2

3

Từ đó ta suy ra a  21 ; b  32 ; c  14 � S  a  b  c  39 .
Câu 43. [2D3-2.2-3] (KonTum 12 HK2) Cho hàm số
1

f  3x   f  x   2 x , x ��
và
10
A. 4 .
B. .

f  x

liên tục trên � thỏa mãn

3

f  x  dx  5
�

f  x  dx
�

. Giá trị 1
bằng
7
C. .
D. 12 .
Lời giải

Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng

0

Chọn C
Cách 1: Ta có:

1

1

0

0

f  3x   f  x   2 x � �
f  3x  dx  �
�
�f  x   2 x �
�dx


1

1

1

1

0

0

0

0

��
f  3 x  dx  �
f  x  dx  �
2 xdx � �
f  3x  dx  5  x
1

Mặt khác

1

1

1

3

1

2 1
0

1

��
f  3 x  dx  4
0

f  3 x  dx  �
f  3 x  d  3x   �
f  t  dt  �
f  x  dx
�
3
3
3
0

0

0

3

0

(2)

1

f  x  d x  3�
f  3x  dx  3.4  12

�

Từ (1) và (2) suy ra 0
3

(1)

3

0

3

.

1

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  12  5  7
�

Do đó

1

.
1
13
13

f
3
x
d
x

f
3
x
d
3
x

f
t
d
t

f  x  dx .
 
    � 
�
�
�
3
3
3
0
0
0

0
0

0

1

Cách 2: Ta có

1

3

Khi đó

1

1

3

1

0

1

0

f  x  dx  3�

f  3 x  dx � �
f  x  dx  �
f  x  d x  3�
�
�f  x   2 x �
�dx
�
0

0

3

1

1

1

0

0

��
f  x  dx  2 �
f  x  dx  3�
2 xdx
3

��

f  x  dx  2.5  3x 2  10  3  7
1

0

1

.
HẾT

Câu 44. [2D3-2.2-3]
2x  2
�
�
f  x   �ln x
�
�x
trị S  a  b.
A. S  3 .

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)
Cho
hàm
số
khi x �1
2
1
f  x  dx  a  ln 2 2
khi x  1
�

b
. Biết tích phân 0
trong đó a, b ��. Tính giá
B. S  5 .

C. S  3 .

D. S  1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn D
2

Ta có

1

2

2

ln x
ln 2 x
1
f
x
d
x


2
x

2
d
x

d
x


1

  1  ln 2 2




�
�
�
2 1
2
0
0
1 x

� a  1, b  2

� S  a  b  1  2  1 .

Câu 45. [2D3-2.2-3]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-32x  2
khi x �1
�
�
f  x   �ln x
khi x  1
�
�x
Bắc-Ninh-2019)
Cho
hàm
số
.
Biết
tích
phân
2

1

f  x  dx  a  ln
�
b
0

A. S  3 .

2

2

trong đó a, b ��. Tính giá trị S  a  b.
B. S  5 .
C. S  3 .

D. S  1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn D


2

Ta có

1

2

2

ln x
ln 2 x
1
f  x  dx  �
  1  ln 2 2
 2 x  2  dx  � dx  1 

�
2 1
2
0
0
1 x

� a  1, b  2

� S  a  b  1  2  1 .
Câu 46. [2D3-2.2-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hàm số
ln 2
3
3
 2 x  3 f  x  dx  3
x
f
e

1
d
x

5
I

f  x  dx


�

�
�
x

1
0
�
2
2
liên tục trên . Biết
và
. Tính
.
I

8
A. I  2 .
B. I  4 .
C. I  2 .
D.
.

f  x

Lời giải
Tác giả: Vũ Danh Được; Fb: Danh Được Vũ
Chọn B
Đặt

t  e x  1 � dt  e x dx � dx 

dt
t 1 .

Đổi cận x  0 � t  2; x  ln 2 � t  3 .
3
3
f  t
f  x
x
f
e

1
d
x

5
�
d
t

5
�
dx  5


�
�
�

t 1
x 1
0
2
2

ln 2

Do đó
3

Ta có

 2 x  3 f  x  dx  3  2 x  2  1 f  x  dx  3 �2 f

�

�

x 1

2

�
�
2�

x 1

2

.

 x 

f  x �
dx  3
�
x 1 �

.

f  x
2 I  � dx  3 � 2 I  8 � I  4
x 1
2
Suy ra
.
3

Câu 47. PT 36.1.

[2D3-2.2-3]

(PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH)

Cho

1

hàm số f ( x) liên tục trên � thỏa mãn f (2 x )  4 f ( x )  x , x ��. Biết rằng

f ( x)dx  1
�
0

.

2

Tính tích phân
A. I  9 .

I �
f ( x)dx

.
B. I  6 .

1

D. I  8 .

C. I  5 .
Lời giải

Tác giả: Vũ Danh Được; Fb: Danh Được Vũ
Chọn B
1

1

1

1

�
K �
f  2 x  dx  �
4 f  x  x�
f  x  dx  �
xdx  4  1  7
�
�dx  4�
0
0
0
0
2 2.
Ta có
Đặt t  2 x � dt  2dx . Đổi cận x  0 � t  0; x  1 � t  2 .
2

K

2

2

1

f  t  dt � �
f  t  dt  7 � �
f  x  dx  7
2�
0
0
0

2

1

2

0

0

1

�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx

�

.

2

2

1

1

0

0

f  x  dx  �
f  x  dx
I �
f ( x )dx  �

 7 1  6 .


Câu 48. [2D3-2.2-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)
Cho
1
1
f  x  dx
�f  x  dx  8
� x
1;1
chẵn, liên tục trên đoạn 
và 1
. Tích phân 1 1  e bằng
A. 2 .
B. 5 .
C. 4 .

D. 6 .

f  x

là hàm số

Lời giải
Tác giả: Bùi Bài Bình; Fb: Bui Bai
Chọn C

f  x  dx 0 f  x  dx 1 f  x  dx
I  � x  � x  � x  I1  I 2
1 e
1 e
1 e
1
1
0
1

Gọi

0

Xét

I1 

f  x  dx

�1  e

x

1

Đặt: t   x � dt  dx .
Đổi cận:
x
1
t
1

0
0

0
f  t  dt 1 et . f  t  dt
� I1   �  t  �
1  et
1 1 e
0

.

t
et . f  t  dt 1 f  t  dt 1  e  1 f  t  dt 1
� I  I1  I 2  �
� t �
�

f  t  dt
1  et
1 e
1  et
0
0
0
0
1

1

1

f  x  dx  4
�f  x  dx  8 � �

Lại có
Vậy I  4 .
1

0

.

.