Dang 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức(VDT

Câu 1.

[2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi

S

là tập hợp tất cả các số nguyên

số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình
Tổng tất cả các phần tử của S là
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải

z−1 = z− i
D.

m

sao cho tồn tại

và

2

z + 2m = m + 1 .

3.

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm

Chọn D

z + 2m = m + 1 ≥ 0

Ta có

Trường hợp 1:

m + 1 = 0 ⇒ z + 2m = 0 ⇒ z = − 2m = 2

Trường hợp 2:

m+ 1> 0

Đặt

(có một giá trị nên không thỏa mãn).

z = x + yi

 z − 1 = z − i
⇔

z
+
2
m
=
m
+

1
Ta có 
Xét trong hệ tọa độ
đường tròn

( C)

 x − y = 0
( 1)

2
2
2
 ( x + 2m ) + y = ( m + 1) ( 2 )

Oxy , (1) là phương trình đường thẳng d : x − y = 0 , (2) là phương trình

tâm

I ( − 2m;0 ) , bán kính R = m + 1

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt khi và
chỉ khi đường thẳng

⇔ d ( I,d ) =
Kết hợp với

2m

d

⇔ m 2 − 2m − 1 < 0 ⇔ 1 − 2 < m < 1 + 2
m + 1 > 0 và m ∈ ¢ ⇒ m ∈ S = { 0;1;2}
2

S

bằng 3.

[2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi
số

phức

tại hai điểm phân biệt

< m + 1 ⇔ 2 m 2 < m 2 + 2m + 1

Vậy tổng các phần tử của tập
Câu 2.

( C)

cắt đường tròn

z

thỏa

mãn

đồng

S

là tập hợp tất cả các số

thời

các

phương

2 z − 3 + 2i = m2 − 5m + 9 . Tích tất cả các phần tử của S
A.

6.

B.

5.

C. 2 .
Lời giải

m

trình

sao cho tồn tại đúng một

z+ 2+ i = z +1

và

là
D.

3.

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn A

m2 − 5m + 9 > 0
z = x + yi

Ta có
Đặt

ln đúng với mọi

 z + 2 + i = z + 1
⇔

2
2
z
−
3
+

2
i
=
m
−
5
m
+
9
Ta có 

m.

x + y + 2 = 0


2
1 2
2
2
 ( x − 3) + ( y + 2 ) = ( m − 5m + 9 )

2

( 1)
( 2)


Xét trong hệ tọa độ
đường tròn

( C)

Oxy , (1) là phương trình đường thẳng d : x + y + 2 = 0 , (2) là phương trình
I ( 3; − 2 ) , bán kính

tâm

R=

1 2
( m − 5m + 9 )
2

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ
khi đường thẳng

⇔ d ( I,d ) =

3
2

( C)

d

tiếp xúc với đường tròn

=

1 2
(2 m − 5m + 9 ) ⇔ m2 − 5m + 6 = 0 ⇔

⇒ S = { 2;3}

S

Vậy tích các phần tử của tập
Câu 3.

bằng 6.

[2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi

z1 , z2

số phức phân biệt

8.

S

là tập hợp tất cả các số nguyên

thỏa mãn đồng thời các phương trình

z + m + 2i = 5 . Số các phần tử của S
A.

m = 2

m = 3


B.

m

sao cho tồn tại

( 3 + 4i ) z + 25 = 20

2
và

là

7.

C. 6 .
Lời giải

D.

5.

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn D
Ta có

( 3 + 4i ) z + 25 = 10 ⇔

z + 3 − 4i = 2

⇒ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
R = 2.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

J ( − m; − 2 )

R = 5.

, bán kính

z

(1)

thỏa mãn (1) là đường trịn tâm

z + m + 2i = 5

thỏa mãn

Yêu cầu bài toán xảy ra khi hai đường tròn

( I ;2 ) , ( J ;5)

I ( − 3;4 ) , bán kính

(2) là đường tròn tâm

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

⇔ 3 < IJ < 7 ⇔ 9 < ( m − 3) + 36 < 49 ⇔ ( m − 3) < 13
2

2

⇔ − 13 < m − 3 < 13 ⇔ 3 − 13 < m < 3 + 13
mà m ∈ ¢ ⇒ m ∈ S = { 0;1;2;3;4;5;6}

⇒
Câu 4.

số các phần từ của

S

là 7.

[2D4-1.2-3] (Trần Đại Nghĩa) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa
mãn

z + ( 2 − 3i ) = 2

là đường trịn có phương trình nào sau đây?

A.

x2 + y 2 − 4 x − 6 y + 9 = 0 .

B.

x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 11 = 0 .

C.

x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 11 = 0 .

D.

x2 + y2 + 4 x − 6 y + 9 = 0 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin


Chọn D
Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Ta có

).

z + ( 2 − 3i ) = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 3) i = 2 ⇔

( x + 2 ) + ( y − 3)
2

2

=2

⇔ ( x + 2 ) + ( y − 3) = 4 ⇔ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 9 = 0 .
2

Câu 5.

2

[2D4-1.2-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Tìm số phức z biết rằng
điểm biểu diễn của z nằm trên đường trịn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng

d : x − 2y + 5 = 0 .

A.

z = 3 − 4i.

B.

z = 3 + 4i.

C.

z = 4 + 3i.

D.

z = 4 − 3i.

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A

Câu 6.

Giả sử

z = x + yi, x, y ∈ ¡

Suy ra:

z = 3 + 4i .

[2D4-1.2-3]

(Đặng

. Khi đó

Thành

x, y

x − 2y + 5 = 0
⇔
 2 2

là nghiệm của hệ pt:  x + y = 25

Nam

Đề

14)

Cho

số

x = 3

y = 4 .

x, y

thực

thỏa

mãn

( 2 x + yi ) + ( 3 − 2i ) ( x + y ) = 1, với i là đơn vị ảo là
A.

x = 1, y = − 2 .

B.

x = 2, y = − 1 .

C.

x = − 1, y = 2 .

D.

x = − 2, y = 1

Lời giải
Tác giả: Đỗ Thủy ; Fb: Đỗ Thủy
Chọn C

 5x + 3 y − 1 = 0  x = − 1
⇔
.
 − ( 2 x + y ) = 0  y = 2

( 2 x + yi ) + ( 3 − 2i ) ( x + y ) = 1 ⇔ 5 x + 3 y − 1 − ( 2 x + y ) i = 0 ⇔ 
Câu 7.

[2D4-1.2-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03)

Cho số phức

z = m + 3 + ( m 2 − m − 6 ) i với m∈ ¡ . Gọi ( P ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức
mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

125
A. 6 .

17
B. 6 .

( P ) và trục hoành bằng

C. 1.
Lời giải

z

trong

55
D. 6 .

Tác giả: Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim
Chọn A
Gọi

M ( x; y ) ( x; y ∈ ¡

) là điểm biểu diễn số phức z . Từ bài ra ta có:


 m = x − 3
⇔


2
y
=
x
−
3
−
x
−
3
−
6
(
)
(
)


x = m+ 3
⇔

2
y
=
m
−
m
−
6


( P)

Vậy

là một Parabol có phương trình: y =

Hồnh độ giao điểm của

( P)

m = x − 3

2
 y = x − 7x + 6

x2 − 7 x + 6 .

và trục hồnh là nghiệm của phương trình:

x = 1
x2 − 7 x + 6 = 0 ⇔ 
x = 6
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
6

S = ∫ x 2 − 7 x + 6 dx =
1

Câu 8.

( P ) và trục hoành bằng:

125
6 (đvdt).

[2D4-1.2-3] (Chuyên Thái Nguyên) Cho các số phức
các điểm biểu diễn các số phức
trịn đó là
A.

9.

B.

(

)

z

z + 1 = 2 . Biết rằng tập hợp

thỏa mãn

w = 1 + i 8 z + i là một đường trịn. Bán kính

36 .

r

của đường

C. 6 .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mộng ; Fb: Nguyễn Văn Mộng

Chọn C

(

Gọi w = x + yi x, y ∈
Theo đề bài ta có:

(

)

¡

)

(

)

(

)

(

w = 1 + i 8 z + i ⇔ w − i = 1 + i 8 z ⇔ w − i = 1 + i 8 ( z + 1) − 1 + i 8

(

)

(

) (

)

)

⇔ w − i + 1 + i 8 = 1 + i 8 ( z + 1) ⇔ ( x + 1) + y − 1 + 8 i = 1 + i 8 ( z + 1)
⇒

(

)

2

( x + 1) + y − 1 + 8 = 12 +
2

( )

2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w =
Câu 9.

(

[2D4-1.2-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi

( 1 + i 8 ) z + i là một đường trịn có bán kính r = 6.

z1 , z2

là hai trong các số phức thỏa mãn

và

z1 − z2 = 8 . Tìm mơ đun của số phức w = z1 + z2 − 2 + 4i .

A.

w = 6.

B.

w = 10 .

)

2

8 .2 ⇔ ( x + 1) + y − 1 + 8 = 36

C.

w = 16 .

D.

z − 1 + 2i = 5

w = 13 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phượng ; Fb: Nguyễn Thị Phượng
Chọn A


Gọi

A, B

Do

z − 1 + 2i = 5

lần lượt là điểm biểu diễn số phức

biểu diễn số phức

z1 , z2 . Gọi E

là trung điểm của

AB .

I ( 1; − 2 ) , bán kính R = 5 . Gọi C
uuur uuur uuur uur uuur uur uur
w ta có OC = OA + OB − 2OI = 2OE − 2OI = 2 IE .

nên

A, B

thuộc đường tròn tâm

là điểm

w = 2 IE = 2 IB 2 − EB 2 = 2 25 − 16 = 6 .
Câu 10. [2D4-1.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho số phức z thoả mãn
không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
miền phẳng này
A.

S=π

.

B.

S = 2π

.

z

z − 1 ≤ 1 và z − z

có phần ảo

là một miền phẳng. Tính diện tích

1
S= π
C.
2 .

D.

S

của

S = 1.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Trang; Fb: Trang Nguyen

Chọn C
Đặt

z = x + yi ( x , y ∈ ¡ ) theo giả thiết ta có z − z = ( x + yi) − ( x − yi) = 2 yi

 x + yi − 1 ≤ 1
⇔

2
y
≥
0


và

 ( x − 1) 2 + y 2 ≤ 1

 y ≥ 0
.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

π R2 π
S=
= .
Vì vậy
2
2

z là nửa hình trịn tâm I (1;0) , R = 1 .


Câu 11. [2D4-1.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho số phức
thay đổi. Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn số phức
phẳng giới hạn bởi

z = m + (m3 − m)i, với m là tham số thực
z là đường cong (C ) .Tính diện tích hình

(C ) và trục hồnh.

1
A. 2 .

1
B. 4 .

3
C. 4 .

3
D. 2 .

Lời giải
Tác giả:Huỳnh Minh Khánh ; Fb:Huỳnh Khánh
Chọn A
Đặt

z = x + yi( x, y ∈ ¡ ) .

x = m
⇔

3
3
3
3
Ta có: z = m + (m − m)i ⇔ x + yi = m + (m − m)i
y = m − m ⇒ y = x − x.
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong

Phương trình hồnh độ giao điểm:

x3 − x =

Diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong
0

(C ) có dạng: y = x3 − x .

x = 0
⇔  x = 1
0  x = −1 .

(C ) và trục hoành:

1

1 1 1

S = ∫ (x3 − x)dx − ∫ (x3 − x) = + =
4 4 2
−1
0
Câu 12. [2D4-1.2-3] (TTHT Lần 4) Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức
thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A.

6 ≤ z ≤ 8.

B.

2 ≤ z + 4 + 4i ≤ 4 .

C. 2 ≤
Lời giải

z − 4 − 4i ≤ 4 .

D.

4 ≤ z − 4 − 4i ≤ 16 .

Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
Chọn C


Dễ thấy điểm

I ( 4;4 ) là tâm của hai đường trịn.

Đường trịn nhỏ có phương trình là:
Đường trịn to có phương trình là:

( x − 4) + ( y − 4)
2

( x − 4) + ( y − 4)
2

2

2

= 4.

= 16 .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là

2 ≤ z − 4 − 4i ≤ 4 .

Câu 13. [2D4-1.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Xét số phức
số phức

z

z

z+ 2
thỏa mãn z + i là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của

là một đường trịn, tâm

 3
I  1; ÷
A.  2  .

I

của đường trịn có tọa độ là

1

I  − 1; − ÷
B. 
2 .

C. I
Lời giải

1 
I  ;1÷
D.  2  .

( 2;1) .

Tác giả: Lê Thị Huệ ; Fb: lê huệ

Chọn B
Đặt

z = x + yi , với x , y ∈ ¡

.

z + 2 x + yi + 2 ( x + 2 ) + yi ( x + 2 ) + yi  .  x − ( y + 1) i 
=
=
=
x 2 + ( y + 1) 2
Ta có z + i x + yi + i x + ( y + 1) i
=

x ( x + 2 ) + y ( y + 1) −  ( x + 2 ) ( y + 1) − xy  i
x 2 + ( y + 1) 2

x2 + y 2 + 2x + y x + 2 y + 2
= 2
− 2
i
x + ( y + 1) 2
x + ( y + 1) 2 .

x2 + y 2 + 2x + y
z+ 2
⇔ 2
=0
Số phức z + i là số thuần ảo

x + ( y + 1)2
2

1 5

⇔ x + y + 2 x + y = 0 ⇔ ( x + 1) +  y + ÷ =
2 4 .

2

2

2

1

I  − 1; − ÷
Vậy tâm 
2 .
Câu 14. [2D4-1.2-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi

z1 , z2

là hai trong các số phức

z

thỏa mãn

z − 3 + 5i = 5 và z1 − z2 = 6 . Tìm mơđun của số phức ω = z1 + z2 − 6 + 10i .

A.

ω = 10 .

B.

ω = 32 .

C.

ω = 16 .

D.

ω = 8.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My
Phản biện:Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc


Chọn D
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
bán kính

R = 5.

z

z − 3 + 5i = 5 là đường tròn ( C )

thỏa mãn

z1 , z2

Gọi

M,N

Gọi

H

Do

z1 − z2 = 6 ⇒ MN = 6 ⇒ MH = NH = 3 ⇒ IH = IM 2 − MH 2 = 4 .

lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

là trung điểm của

MN

suy ra

suy ra

M,N

tâm

I ( 3; − 5 )

nằm trên đường tròn

( C) .

IH ⊥ MN

ω = z1 + z2 − 6 + 10i = z1 − ( 3 − 5i ) + z2 − ( 3 − 5i )
uuur uur
uuur
⇒ ω = IM + IN = 2 IH = 2 IH = 8.
Câu 15. [2D4-1.2-3] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho số phức
hợp điểm biểu diễn của số phức
A. Một đường elip.
C. Một đoạn thẳng.

z

z

thỏa mãn

z + 2 + z − 2 = 4 . Tập

trên mặt phẳng tọa độ là
B. Một đường parabol.
D. Một đường tròn.
Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Phản biện: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan.

Chọn C
Gọi

M ( x; y)

Xét hai điểm

là điểm biểu diễn số phức

F1 ( − 2;0 ) , F2 ( 2;0 ) , khi đó theo giả thiết:

z+ 2 + z−2 = 4⇔
Mà

z = x + yi .

( x + 2)

2

+ y2 +

( x − 2)

2

+ y 2 = 4 ⇔ MF1 + MF2 = 4 .

F1F2 = 4 , nên MF1 + MF2 = F1 F2 .

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của

z

chính là đoạn thẳng

F1F2 .

Câu 16. [2D4-1.2-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho số phức

z−4+z + z−z ≥ 4

và số phức

(

w = ( z − 2i ) zi + 2 − 4i

)

z

thỏa mãn

có phần ảo là số thực không dương.

Trong mặt phẳng tọa độ
Diện tích hình
A.

( H)

Oxy , hình phẳng ( H )

là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

z.

gần nhất với số nào sau đây?
B. 17 .

7.

C. 21 .
Lời giải

D. 193 .

Tác giả: Lục Minh Tân; Fb: Lục Minh Tân
Chọn C
Gọi

M ( x; y )

Ta có:

là điểm biểu diễn của số phức

z = x + iy ( x 2 + y 2 > 0 )

z − 4 + z + z − z ≥ 4 ⇔ 2x − 4 + 2 y ≥ 4 ⇔ x − 2 + y ≥ 2

(

)

w = ( z − 2i ) zi + 2 − 4i = ( x + ( y − 2 ) i ) ( ( x − yi ) i + 2 − 4i )

(

* x + ( y − 2) i

) ( y + 2 + ( x − 4 ) i ) = x ( y + 2 ) − ( x − 4 ) ( y − 2 ) +  x ( x − 4 ) + y

Theo giả thiết, ta có:

2

− 4  i

x ( x − 4) + y2 − 4 ≤ 0 ⇔ x2 + y 2 − 4x − 4 ≤ 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức
đây:

z

 x − 2 + y ≥ 2
 2 2
thỏa:  x + y − 4 x − 4 ≤ 0 có miền là hình vẽ dưới

( H ) là phần khơng gian nằm bên ngồi hình vng cạnh bằng 2 và nằm bên trong
hình trịn ( C ) có tâm I ( 2;0 ) và bán kính R = 4 + 4 = 2 2
Hình phẳng

( )

2

2
2
Diện tích hình ( H ) là S = π .R − 2 = π . 2 2 − 4 = 8π − 4 ; 21.13


z

Câu 17. [2D4-1.2-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Xét các số phức

2.

B. 1 .

C. 2019
Lời giải

( z + 2i ) ( z + 2 )

w = ( 1 + i ) z + 2019 − 2019i

là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
đường trịn, bán kính đường trịn là
A.

thỏa mãn

2.

D.

là một

4.

Tác giả: Nghiêm Phương ; Fb: nghiêm Phương
Chọn A
Gọi số phức

z = a + bi , ( a, b∈ ¡ ) .

Ta có:

( z + 2i ) ( z + 2 ) = a + ( b + 2 ) i  ( a + 2 ) − bi  =  a ( a + 2 ) + b ( b + 2)  +  ( a + 2 ) ( b + 2) − ab i .

( z + 2i ) ( z + 2 )
Gọi số phức
Ta có

là số thuần ảo nên

a ( a + 2 ) + b ( b + 2 ) = 0 ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = 2 .

w = x + yi , ( x, y ∈ ¡ )

2

2

.

x + yi = ( 1 + i ) z + 2019 − 2019i = ( 1 + i ) ( a + bi ) + 2019 − 2019i

⇔ x + yi = a − b + 2019 + ( a + b − 2019 ) i

x+ y

 a = 2
 x = a − b + 2019 ⇒  y − x + 2.2019
⇔
b =
.
2
 y = a + b − 2019 
2

2

 x + y   y − x + 2.2019 
2
2
⇔
+ 1÷ + 
+ 1÷ = 2
Khi đó ( a + 1) + ( b + 1) = 2
2
 2
 


⇔ x 2 + y 2 − 4038 x + 4042 y + 8160789 = 0 .
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức

w là đường trịn có bán kính

R = 20192 + 20212 − 8160789 = 2 .
Câu 18. [2D4-1.2-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

z

gọi hình

( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức

| z + 2 − i |≤ 2


thỏa mãn điều kiện  x + y + 1 ≥ 0 . Tính diện tích ( S ) của hình phẳng ( H )

A. S

= 4π

.

1
S= π
B.
4 .

1
S= π
C.
2 .

Lời giải

D. S

= 2π

.

Tác giả: Đỗ Trang; Fb: Trang Đỗ
Chọn D

Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ; i 2 = − 1) . Theo đề bài, ta có:

| z + 2 − i |≤ 2 ⇔ | x + yi + 2 − i |≤ 2 ⇔ | ( x + 2 ) + ( y − 1) i |≤ 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) ≤ 2
2

2

⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) ≤ 4 . Đây là hình trịn tâm I ( − 2;1) , bán kính R = 2 .
2

Ta lại có,

2

x + y + 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ − x − 1 . Đây là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = − x − 1 và

chứa gốc tọa độ O

( 0;0 ) .

Vì đường thẳng y = − x − 1 đi qua tâm
một nửa diện tích của hình trịn.

Diện tích của hình trịn là:

I ( − 2;1) của hình trịn nên phần diện tích cần tính bằng

S = π .R 2 = π .22 = 4π

.

1
1
S1 = .S = .4π = 2π
Diện tích cần tính là:
.
2
2
Câu 19. [2D4-1.2-3] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho
là hai số phức thỏa mãn phương trình
thức

P = z1 + z2

3
A. 2 .

z1 , z2

2 z − i = 2 + iz , biết z1 − z2 = 1 . Tính giá trị của biểu

.
B.

3.

C.

2.

2
D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Sơn Nguyễn; Fb: Thanh Sơn Nguyễn Ngọc
Chọn B


Gọi

z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ )

ta có

2 z − i = 2 x + (2 y − 1)i

và

2 + iz = 2 − y + xi .

 z = 1
2 z − i = 2 + iz ⇔ 4 x 2 + (2 y − 1)2   = ( y − 2) 2 + x 2 ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇒ z = 1 ⇒  1
 z2 = 1
Khi đó
.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức
Gọi

z1 , z2

là đường trịn tâm

O , bán kính R = 1 .

M 1 ( z1 ) , M 2 ( z2 ) ⇒ OM1 = OM 2 = 1 .

uuuur uuuuur uuuuuur
Ta có z1 − z2 = OM 1  − OM 2 = M 2 M 1 = 1 ⇒ ∆ OM 1M 2 là tam giác đều.
uuuur uuuuur uuuur
z
+
z
=
OM
1 +  OM 2 = OM = OM với
Mà 1 2
M là điểm thỏa mãn OM1MM 2 là hình thoi cạnh
bằng 1 .

⇒ OM = 3  ⇒ P = 3 .
Câu 20. [2D4-1.2-3] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức

z1 , z2

thỏa mãn

z1 = 4, z2 = 6

z1 − z2
và z1 + z2 = 10 . Giá trị của
2 là
A. 1 .

B.

0.

C.

2.

D.

3.

Lời giải
Tác giả:Trịnh Ba ; Fb: trinh.ba.180.
Chọn A

z1 − z2
=1
Cách 1. Ta chọn luôn z1 = 4; z 2 = 6 thì z1 + z2 = 10 . Khi đó,
.
2
Cách 2. Gọi
nên

A, B, C

lần lượt là các điểm biểu diễn cho

OACB là hình bình hành và z1 − z2 = AB .

uuur uuur uuur
z1 , z2 , z1 + z2 . Khi đó, OC = OA + OB


z1 − z2
= AE
là đường trung tuyến của tam giác AOC nên
2
AO 2 + AC 2 OC 2 42 + 62 102
AE =
−
=
−
=1
⇒ AE = 1 .
2
4
2
4
2

Câu 21. [2D4-1.2-3] (THTT lần5) Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

z2 + 3 = 2 z + z

z − 4 + 3i = 3 ?
A. 1 .

B.

2.

C.

3.

D.

4.

Lời giải
Chọn B
Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )

có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm

Ta có:
*/

z 2 + 3 = 2 z + z ⇔ x 2 − y 2 + 3 + 2 xyi = 2 2 x

2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
⇔ ( x − y + 3) + 4 x y = 16 x ⇔ ( x + y ) − 6 ( x + y ) + 9 = 4 x
2

2

 x2 + y 2 − 3 = 2x
⇔
2
⇔
⇔ x2 + y 2 − 3 = 4x2  x2 + y 2 − 3 = − 2x

(

*/

)

 ( x − 1) 2 + y 2 = 4


 ( x + 1) 2 + y 2 = 4

z − 4 + 3i = 3 ⇔ ( x − 4 ) + ( y + 3) = 9 .
2

2

 ( x − 1) 2 + y 2 = 4
 
 ( x − 4 ) 2 + ( y + 3) 2 = 9

 ( x + 1) 2 + y 2 = 4
 
2
2

Khi đó, từ giả thiết bài tốn ta có:  ( x − 4 ) + ( y + 3) = 9
Gọi

( C1 )

là đường tròn tâm

I1 ( 1;0 ) , bán kính R1 = 2 .

( C2 )

là đường tròn tâm

I 2 ( − 1;0 ) , bán kính R2 = 2 .

( C)

là đường trịn tâm

I ( 4; − 3) , bán kính R = 3 .

Ta thấy:

( 1)
( 2)

M ( x; y ) .

và


R

nên

( C1 )

và

( C2 )

và

( C)

khơng cắt nhau. Do đó hệ (2) vô nghiệm.

+) R1 − R < I1 I = 3 2 < R1 +
có hai nghiệm phân biệt.
+)

I 2 I = 34 > R2 + R

Kết luận: Có

2

nên

số phức

z

thỏa mãn đề bài.

( C)

cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Suy ra hệ (1)