Dang 2. Tính thể tích các khối đa diện(TH)

Câu 1.

B C D . Đường
[2H1-3.2-2] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
thẳng AB vng góc với đường thẳng nào sau đây?
C.
D .
A. B�
B. CD .
C. B��
D. BD�
.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng
Phản biện: Nguyễn Văn Đắc;Fb Đắc Nguyễn
Chọn A

Theo tính chất của hình hộp chữ nhật thì
Câu 2.

AB   BCC �
B�


mà

B�
C � BCC �
B�


C.
nên AB  B�

[2H1-3.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hình chóp S . ABC có SA  3a vng góc với
đáy và tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
3 3a 3
3 3a 3
3a 3
3a 3
V
V
V

.
V
2
4
2
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Tác giả: Tạ Tiến Thanh; Fb: Thanh Ta
Chọn D
Tam giác ABC đều cạnh a có diện tích

S ABC

3a 2

4 .

1
1
3a 2
3a 3
VS . ABC  SA.S ABC  .3a.

.
S . ABC :
3
3
4
4
Thể tích khối chóp
Câu 3.

[2H1-3.2-2] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều
ABC. A���
B C có AC �
 5a , đáy là tam giác đều cạnh 4a .
3
3
3
3

A. V  12a .
B. V  20a 3 .
C. V  20a .
D. V  12a 3 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn D


Tam giác ABC đều nên diện tích

SABC 

AB 2 3
 4a 2 3
4
.

2
 AC �
 AC 2  25a 2  16a 2  3a .
Xét tam giác vuông ACC �
, ta có CC �
.SABC  12a 3 3 .
B C là V  CC �
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC. A���


Câu 4.

[2H1-3.2-2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Cho hình lăng
B C có đáy là tam giác vng cân đỉnh A , AB  a , AA�
 2a , hình chiếu vuông
trụ ABC. A���
 ABC  là trung điểm H của cạnh BC . Thể tích của khối lăng trụ
góc của A�lên mặt phẳng
ABC. A���
B C bằng
a 3 14
a 3 14
a3 7
a3 3
2 .
4 .
A.
B.
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn B

Vì tam giác ABC vng cân đỉnh A có AB  a nên BC  a 2 ,
1
a2
S ABC  AB. AC 
2
2 .
Xét tam giác vng AA ' H có:

Vậy thể tích khối lăng trụ
Câu 5.

2
A�
H  AA�
 AH 2  4a 2 

�
VABC . A���
B C  S ABC . A H 

AH 

1
a 2
BC 
2
2 ,

2a 2 a 14

4
2 .

a 2 a 14 a3 14
.

2
2

4 .

[2H1-3.2-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hình lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , M là trung điểm BC . Biết tam giác


AA ' M đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thể tích khối chóp
A '.BCC ' B ' bằng
a3 3
a3
3a 3
3a 3 3
A. 4 .
B. 16 .
C. 8 .
D. 8 .
Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thuần; Fb:Xu Xu
Chọn D

Gọi H là trung điểm của AM . Vì tam giác AA ' M đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với
3
3 3
3
A' H 
AM 
.
a a
A ' H   ABC 
(

ABC
)
2
2 2
4 .
mặt phẳng
nên
và
Lại có

S ABC 

3 a 2 3 3a 3 3
a2 3
VABC . A ' B ' C '  A ' H .S ABC  a.

.
4 nên
4
4
16

1
2
a3 3
VA.BCC ' B '  VABC . A ' B 'C '  VA '. ABC  VABC . A ' B 'C '  VABC . A ' B 'C '  VABC . A ' B ' C ' 
.
3
3
8

Câu 6.

[2H1-3.2-2] (Chun KHTN lần2) (Chun KHTN lần2) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng a . Độ dài đường cao của hình chóp đã cho bằng
2a
3a
A. 2 .
B. a .
C. 2 .
D. 3a .
Lời giải
Tác giả:Phan Thanh Lộc; Fb:PhanThanhLộc
Phản biện: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn
Chọn A


2
2
2
Ta có: BD  a  a  2a  a 2

Suy ra:
Ta có:

OD 

BD a 2

2
2

SO   ABCD 

(gt) � SO  OD � SOD vuông tại O .

SO  SD 2  OD 2 ( áp dụng định lí pytago)
2

�a 2 �
2a
 a �
�
2
�2 �
.
2

Vậy
Câu 7.

h  SO 

2a
2 .

[2H1-3.2-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .
Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và SC  a 3 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.

6a 3

4 .

6a 3
B. 12 .

C.

3a 3
6 .

D.

3a 3
3 .

Lời giải
Tác giả: Lương Thị Hương Liễu; Fb: Lương Hương Liễu.
Chọn B


Ta có

SABC 

Thể tích
Câu 8.

a2 3
2
2

2
2
4 . Chiều cao SA  SC  AC  3a  a  a 2 .

VS . ABC

1
6a 3
 .S ABC .SA 
3
12 .

[2H1-3.2-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho khối hộp có một mặt là hình vng cạnh a
2
và một mặt có diện tích là 3a . Thể tích khối hộp là
3
A. 4a .

3
B. 2a .

3

C. 3a .

3
D. a .

Lời giải.
Chọn C

3
Số đo 3 cạnh của khối hộp là a, a , 3a nên V  3a .

Câu 9.

[2H1-3.2-2] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
0
vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 60 . Khi đó thể tích của khối
chóp là:
a3 2
a3 6
a3 6
a3 3
6 .
B. 3 .
C. 9 .
D. 3 .
A.
Lời giải
Tác giả:Lê Tuấn Duy; FB:Lê Tuấn Duy.
Chọn B

Ta có: AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABCD ) .
0
0
�
Suy ra: ( SC ,( ABCD ))  (SC, AC)  SCA  60 ; AC  a 2 , SA  AC tan 60  a 6.

Diện tích hình vng ABCD:

Thể tích khối chóp:

VS . ABCD 

S ABCD  a 2 .
a3 6
3 .

Câu 10. [2H1-3.2-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho khối
lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng, độ dài hai cạnh góc vng là 3a, 4a và chiều cao khối
lăng trụ là 6a . Thể tích của khối lăng trụ bằng
3
3
3
A. V  27a .
B. V  12a .
C. V  72a .
Lời giải

3
D. V  36a .

Tác giả: Lương Văn Huy ; Fb: Lương Văn Huy


Chọn D
Thể tích khối lăng trụ V  h.B .
Trong đó h  6a .
1
B  .3a.4a  6a 2

2
Diện tích đáy
.
2
3
Vậy V  6a.6a  36a

B C có đáy là một tam
Câu 11. [2H1-3.2-2] (Lý Nhân Tông) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. A���
 ABC  bằng 30�.Tính thể
giác vng tại A . Cho AC  AB  2a , góc giữa AC �và mặt phẳng
BC .
tích khối lăng trụ ABC. A���
2a 3 3
a3 3
4a 3 3
3
3 .
3 .
A.
B. 3 .
C. a 3 .
D.
Lời giải
Chọn D

Ta có:

S ABC 

1
1
AB. AC  .2a.2a  2a 2
2
2
.

  ABC 
B C là hình lăng đứng nên CC �
Vì ABC. A���
.
 ABC  bằng 30�nên ta có C��
AC  30�.
Góc giữa đường thẳng AC �và mặt phẳng
2a 3
��
CC �
 AC.tan C
AC  2a.tan 30�
3 .
Ta có:
� 2
VABC . A���
B C  S ABC .CC  2 a .

2a 3 4a 3 3

3
3 .

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh
Câu 12. [2H1-3.2-2] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho lăng trụ ABC. A���
3a
AA�

a,
2 . Biết rằng hình chiếu vng góc của A�lên  ABC  là trung điểm BC . Thể tích
B C là
của khối lăng trụ ABC. A���

a3 2
A. 8 .

3a 3 2
8 .
B.

a3 6
C. 2 .

2a 3
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb:Hoàng Điệp Phạm


Phản biện: Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai.

Chọn B

A�
M   ABC 
Gọi M là trung điểm BC , khi đó
. Tam giác ABC đều cạnh a nên AM  BC
a 3
AM 
2
2 . Xét tam giác vuông A�
M 2  AM 2  AA�
AM vng tại M có A�
và
.
2

2
�3a � � 3 � a 6
� A�
M  AA� AM  � � �
�
� 2
2
�2 � �
� �
2

2

�
� VABC . A���
B C  A M .S ABC 

.

a 6 a 2 3 3a 3 2
.

2
4
8 .

Câu 13. [2H1-3.2-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp S . ABC có

SA   ABC 

 ABC  bằng 60�. Gọi M , N
, tam giác ABC đều , AB  a , góc giữa SB và
lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp S .MNC
a3
a3
a3
a3 3
A. 8 .
B. 4 .
C. 12 .
D. 16 .
Lời giải

Tác giả: Bùi Duy Nam ; Fb: Bùi Duy Nam
Chọn D

Ta có

�  60�
SB,  ABC     SB, AB   SBA
�
.

�  a.tan 60� a 3
SA  AB.tan SBA
.
1
1
a2 3 1 3
VS . ABC  .SA.S ABC  .a 3.
 a
3
3
4
4 .


VS .CMN SM SN 1

.
 � VS .CMN  1 VS .CAB  1 a 3
SA SB 4
4
16 .
Mà VS .CAB

Câu 14. [2H1-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 3a và thể
3
tích bằng 4a . Tính chiều cao h của khối chóp đã cho
A. h  4 3a .

B.

h

4a 3
3 .

C. h  4a .

D.

h

4a 3
.
9 .

Lời giải
Tác giả: Bùi Xuân Tồn ; Fb: Toan Bui
Chọn B

Diện tích đáy của khối chóp:

2
B



2

3a . 3
4

 3 3a 2 .

1
3V 3.4a 3 4a 3
V  B.h � h 


3
B 3 3a 2
3 .
Ta có:
Câu 15. [2H1-3.2-2] (Sở Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,
cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và SA  a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là .
a3 2
A. 6

3
B. a 2

a3 2
C. 4

a3 2
D. 3

Lời giải
Tác giả:Đặng Thị Phương Huyền; Fb: Phuong Huyen Dang
Chọn D

2
Diện tích đáy ABCD bằng : a

Chiều cao của khối chóp là : SA  a 2
1
1
a3 2
V  .S ABCD .SA  .a 2 .a 2 
3
3
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là :

Câu 16. [2H1-3.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng
.
cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 45�
Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
a3 2
a3 2
a3
3
A. 3 .
B. 6 .

C. a .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn D


S

A
B

D
C
SA   ABCD 

 ABCD 
nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng
�
Suy ra góc giữa SB và mặt phẳng đáy là góc SBA  45�.
SA
tan 45�
� SA  a
AB
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có
.
Ta có

1
a3

V  .a.a 2 
3
3 .
Thể tích khối chóp S . ABCD là

Câu 17. [2H1-3.2-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho hình chóp tam
�
giác đều S . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. 12 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần
Chọn A

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC .
a 3
SH   ABC  BH  3
Khi đó
,
.
�
�  60�
SB,  ABC    SBH

Theo đề bài ta có: 
.
SH  BH .tan 60�

Xét SBH vng tại H . Có
1
1 a 2 3 a3 3
VS . ABC  SH .S ABC  a.

3
3
4
12 .
Thể tích

a 3
. 3a
3
.

Câu 18. [2H1-3.2-2] (n Phong 1) Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy, biết đáy ABC là
tam giác vng cân tại đỉnh B và có cạnh AC  SA  2a . Tính thể tích V của khối chóp.
a3
2a 3
4a 3
2a 3 2
V
V
V
V

3 .
2 .
3 .
9 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C


S

A

C

B

�AB  BC
� 2
AC  AB 2  BC 2 � AB  BC  a 2
Vì đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B nên �
2
Suy ra diện tích tam giác ABC là: S  a (đvdt).
1
2a 3
V  .2a.a 2 
3

3 (đvtt).
Khi đó thể tích V của khối chóp là:
Câu 19. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
�  1200
2a, AC  a 3, SAB là tam giác đều, SAD
. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
3 3a 3
2 3a 3
.
.
3
3
A. 3a .
B. 2
C. 6a .
D. 3
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung
Chọn A

Do SAB đều nên SA  AB  SB  2a
2
2
2
2
�
Xét SAD có SD  SA  AD  2SA. AD.cos SAD  12a � SD  a 12

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

AC 2
BD  2 BO  2 AB 
 a 13.
4
Khi đó:
2

 SBD 
Xét tứ diện A.SBD có AS  AD  AB  2a ,gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng
,dẫn đến H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD .


Áp dụng cơng thức Hêrơng ta tính diện tích SBD là

S SBD 
Ta lại có:

Ta có:

S SBD 

a 2 183
4

SB.SD.BD
SB.SD.BD
208
� SH 
a
4SH

4S SBD
61

AH  SA2  SH 2 

6a
1
a3 3
,VA.SBD  AH .S SBD 
� VS . ABCD  2VA.SBD  a 3 3.
3
2
61

PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 48
Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung
-

Đây là bài tốn tính thể tích khối chóp..

-

Đầu tiên, ta tính các cạnh có thể tính được.

Sau đó, ta dựa vào độ dài các cạnh đã tính được để tính thể tích khối chóp có tính
chất đặc biệt, để từ đó ta tính được thể tích khối chóp ban đầu..
Câu 20. [2H1-3.2-2] (Chun Vinh Lần 2) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh
a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vng tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng
 SAB  và  ABC  bằng 60�. Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a .
3a 3

3a 3
3a 3
3a 3
A. 8
B. 12
C. 6 .
D. 4
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung
Chọn B

D là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  , suy ra SD   ABC  .
AB   SBD  � BA  BD
Ta có SD  AB và SB  AB ( gt ) , suy ra
.

Tương tự có AC  DC hay tam giác ACD vuông ở C .
Dễ thấy SBA  SCA (cạnh huyền và cạnh góc vng), suy ra SB  SC . Từ đó ta chứng
minh được SBD  SCD nên cũng có DB  DC .
�
Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC .


a
�
3 . Ngồi ra góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  là
Ta có DAC  30�, suy ra
�  SD � SD  BD.tan SBD
�  a . 3a
tan SBD

�  60�
BD
3
SBD
, suy ra
.
DC 

1
1 a2 3
a3 3
VS . ABC  .SABC .SD  .
.a 
3
3 4
12 .
Vậy

Câu 21. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
�
�
�
 SCB  bằng
tại B , AB  BC  a 2 , SAB  SCB  90 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
a .Tính thể tích của khối chóp S . ABC .
A. a

3

3.

a3 2
.
B. 3

a3 2
C. 3 .
Lời giải

a3 2
.
D. 3

Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung
Chọn C

 ABCD  .
Gọi D là hình chiếu của S trên mặt phẳng
Ta có:

BA  AS �
�� BA  AD
BA  SD �
BC  CS �
�� BC  CD
BC  SD �
Tứ giác ABCD có ba góc vng và BA  BC , dẫn đến ABCD là hình vng.
Kẻ

DH  SC � DH  mp  SBC 

Ta có:

d  A,  SBC    d  D,  SBC    a � DH  a.
1
1
1


� DS  a 2
2
2
DS
DH 2
Xét DAC vng tại D có DH là đường cao: DC


1
a3 2
VS . ABC  SD.S ABC 
3
3
Câu 22. [2H1-3.2-2] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019)Cho
hình chóp S . ABC có cạnh SA vng góc với mặt đáy và SA  a 3 . Đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a . Tính thể tích khối chóp S . ABC .

a3 3
V
12 .
A.

B.

V

a3
4 .

C. V  a

3

3.

D.

V

a3
12 .

Lời giải
Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn B

a 3
Ta có: đường cao trong tam giác đều cạnh bằng a là 2 .
Suy ra:

SABC

a2 3

4 .

1
1
a 2 3 a3
VSABC  .SA.S ABC  .a 3.

3
3
4
4 (đvtt).
Vậy
Câu 23. [2H1-3.2-2] (Sở Ninh Bình Lần1) Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều
cao bằng 4 là
A. 4.
B. 24 .
C. 12 .
D. 8 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thùy Linh; Fb:Nguyễn Thùy Linh
Chọn D
1
1
V  h. B  .4.6  8
3
3
.

Câu 24. [2H1-3.2-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hình chóp tam giác đều có
cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60�. Thể tích của khối chóp đó bằng
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. 6 .
B. 12 .
C. 36 .
D. 18 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú
Chọn B


Gọi M là trung điểm của BC , H là trọng tâm ABC
a 3
2
a 3
AM 
AH  AM 
�  60�
2 ,
3
3 , SAH
Ta có
� a
SH  AH .tan SAH

S ABC 

a2 3
4

Vì ABC đều nên
1
1 a2 3
a3 3
VS . ABC  . S ABC . SH  .
.a 
3
3 4
12 .
Vậy
Câu 25. [2H1-3.2-2] (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hình chóp S . ABC có SB  SC  BC  CA  a .
 ABC  và  SAC  cùng vng góc với mặt phẳng  SBC  . Tính thể tích khối
Các mặt phẳng
chóp S . ABC .
a3 3
a3 2
a3 3
a3 3
A. 4 .
B. 12 .
C. 12 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Đinh Văn Trường ; Fb: Đinh Văn Trường
Chọn C
A

a
S

a

C
a

a
B

Ta có SB  SC  BC  a nên tam giác SBC đều.
a2 3
S
4 .
Do đó, diện tích của tam giác SBC là:


 ABC 

Mặt khác, các mặt phẳng
AC   SBC 
.

Thể tích của khối chóp S . ABC là

và

 SAC 

V

cùng vng góc với mặt phẳng

 SBC 

nên

1 a 2 3 a3 3
1

AC.S SBC  .a.
3
4
12 .
3

B C D có thể tích bằng 1 . Thể tích
Câu 26. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho khối hộp ABCD. A����
C D bằng
khối tứ diện A.B���
1
1
1
1
A. 3 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 12 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn B

Đặt

h  d  A,  A����
BCD 

. Ta có

VABCD. A����
B C D  h.S A����
BCD

�
1
1
�
VABCD. A����
�� VA.B���
1
1 1
CD 
BCD 
6
6
VA.B���
h.S B���
h. .S A����

CD 
CD 
BCD �
3
3 2
�

.

Câu 27. [2H1-3.2-2] (CHUN THÁI NGUN LẦN 3) Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đơi
một vng góc với nhau. Biết diện tích các tam giác SAB, SAC , SBC lần lượt là
2a 2 , 3a 2 , 3a 2 . Thể tích của khối chóp bằng
3

A. a .

2 3a 3
3 .
B.

2a 3
C. 3 .

3a 3
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Trần Thủy ; Fb:Trần Thủy
Chọn B

�1
2
�2 .SA.SB  2a
�
2
�1
2
6
3
� .SB.SC  3a �  SA.SB.SC   48a � SA.SB.SC  4 3a .
2
�
�1
2
�2 .SC.SA  3a
Từ giả thiết bài tốn ta có �
1
1
1
2 3a 3
VS . ABC  SA. .SB.SC  .SA.SB.SC 
3
2
6
3 .
Vậy

Câu 28. [2H1-3.2-2] (Hải Hậu Lần1) Tính thể tích khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và góc
giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60�

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
V
V
V
V
12 .
4 .
24 .
8 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả:LêTrọngHiếu; Fb: Hieu Le
Chọn A

ABC � SO   ABC 
Gọi O là trọng tâm tam giác
Tam giác đều cạnh a �
Ta có : 

S ABC 

a2 3
4

SA,  ABC   �
 SA; OA  �SAO  60�


Mà

AO 

a 3
1
1 a 2 3 a3 3
� SO  AO.tan60� a � VS . ABC  SO.S ABC  a.

3
3
3
4
12 .

Câu 29. [2H1-3.2-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3 ,
0
cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Khi đó thể tích khối trụ là:
9 3
A. 4 .

9
B. 4 .

27
27 3

C. 4 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan .
Phản biện :Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai.

Chọn D

Diện tích đáy của lăng trụ là:

S ABC  32.

3 9 3

4
4 .

0
0
Vì cạnh bên tạo với đáy một góc 30 nên độ dài đường cao h  2 3 sin 30  3 .

Do đó thể tích của lăng trụ là:

V  S ABC .h 

9 3
27
. 3
4
4 .

B C D có đường chéo
Câu 30. [2H1-3.2-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hình lập phương ABCD. A����
. ABCD .
bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp A�
3
A. 2 2a .

a3
B. 3 .

3

C. a .
Lời giải

2 2a 3
D. 3 .

ChọnB

B C D có đường chéo bằng a 3 nên có cạnh bằng a .
Hình lập phương ABCD. A����


1
1
V  a.a 2  a 3
. ABCD có chiều cao AA�
 a , diện tích đáy a có thể tích là

3
3 .
Khối chóp A�
2

B C D có thể tích bằng 1 . Gọi O
Câu 31. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho khối hộp ABCD. A����
C D bằng
là trung điểm của đường chéo AC �Thể tích khối tứ diện O.B���
1
1
1
1
A. 3 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 12 .
Câu 32. [2H1-3.2-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hình chóp S . ABCD có
 SAB  là tam giác đều nằm trong
đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  2a , BC  a . Mặt bên
 ABCD  . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy
a3 3
2a 3 3
a3 3
a3 3
3 .
A. 6 .
B.
C. 2 .

D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh; Fb: Đỗ Phúc Thịnh
Chọn B

Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó SH  AB .
Ta có:
�
 SAB    ABCD 
�
 SAB  � ABCD   AB �� SH   ABCD 
�
SH  AB
�
2
Diện tích đáy: S ABCD  AB.BC  2a.a  2a .
Vì SH là đường cao của tam giác đều SAB nên
Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
1
1
2a 3 3
V  .SH .S ABCD  .a 3.2a 2 
3
3
3 .

SH  2a.

3
a 3

2
.

Câu 33. [2H1-3.2-2] (THTT lần5) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . SA vng
�
góc mặt đáy và SC tạo với mặt đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng.
3
A. a 6

a3 6
B. 9

a3 6
C. 2

a3 6
D. 3

Lời giải
Tác giả: Đặng Thị Phương Huyền; Fb: Phuong Huyen Dang


Chọn D

 ABCD  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABCD  .
Vì SA vng góc mặt phẳng
�
�  60�
 ABCD  . Suy ra SCA
Do đó SCA là góc giữa SC và mặt phẳng

.
Tam giác SCA vng tại A . Do đó SA  AC.tan 60� a 2. 3  a 6
1
1
a3 6
V  SA.S d  a 6a 2 
3
3
3 .
Diện tích đáy là: Sd  a . Thể tích chóp S . ABCD là:
2

1 3
a
Câu 34. [2H1-3.2-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Biết tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 3 .
Xác định AB .
a 2
A. a .
B. 2 .
C. a 2 .
D. 2a 2 .
Lời giải.
Chọn B

x2 3
Giả sử cạnh của tứ diện đều đó là x . Khi đó diện tích tam giác BCD là 4 .
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD . Khi đó AH là đường cao của tứ diện đều đó và

x 6
1 x 6 x2 3 1 3

AH  AB  BH 
.
.
 a �xa 2
3 . Nên ta có 3 3
4
3
.
2

2

B C D có tất cả các cạnh bằng
Câu 35. [2H1-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho khối hộp ABCD. A����
2a, có đáy là hình vng và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy khối hộp một góc bằng 60�.Thể
tích khối hộp bằng
3
3
3
3
A. 8a .
B. 2 3a .
C. 8 3a .
D. 4 3a .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng; Fb: Nguyễn Hoàng
Chọn D

Ta có

h
Hް
 sin 60 
�
�
(CC '; ( ABCD ))  C ' CH  60�
CC '
. Tam giác C ' HC vuông tại

� h  CC 'sin 60� 2 a

Diện tích đáy

3
 3a
2
.

S  4a 2 . Do đó V  Sh  4a 2 . 3a  4 3a 3 .

B C D . Biết thể tích khối tứ diện
Câu 36. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho khối hộp ABCD. A����
A.B���
C D bằng 1 , tính thể tích V của khối hộp ABCD. A����
BCD .
A. V  3 .
B. V  6 .
C. V  2 .

D. V  12 .
Câu 37. [2H1-3.2-2] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA   ABCD  , SA  2a 3 , góc giữa SD và
 ABCD  bằng 60�. Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
8a 3 3
4a 3 3
2a 3 3
3
3 .
3 .
A. 3 .
B.
C.
D. a 3 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Minh Tùng; Fb: Đỗ Minh Tùng
Chọn A

Do

SA   ABCD 

0
mp  ABCD 
�
nên góc giữa SD và
là SDA  60 .

SA  2a 3 � AD 

SA
 2a
tan 600
.


1
8a 3 3
2
V  SA.  2a  
3
3 .
Vậy
Câu 38. [2H1-3.2-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a ,
AD  a 3 , SA vng góc với đáy và mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60�. Tính thể
tích V của khối chóp S . ABCD ?
a3
3a 3
V

V

3
3
3 .
3 .
A. V  a .
B.
C. V  3a .
D.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Huyền Trang ; Fb: Nguyen Trang
Chọn A

+)
+)

SA   ABCD  � BC  SA
.
BC

SA
�
�
�BC  AB � BC   SAB  � BC  SB

Ta có ,

.

�
 SBC  � ABCD   BC
�
�SB  BC
�, AB
�AB  BC
� �
SBC  ,  ABCD   SB
�

 



tan 60o 

  SBA
�  60
.
o

SA
AB � SA  a 3 .

Trong tam giác vng SAB , ta có:
1
1
VS . ABCD  SA. S ABCD  a 3.a.a 3
 a3 .
3
3
Vậy

Câu 39. [2H1-3.2-2] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng
SA   ABCD  , SB  a 3.
cạnh a,
Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD theo a.
3
A. V  a 2

B.

V 

a3 2
6

C.

V 

a3 2
3

D.

V 

a3 3
3

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
Chọn C


Tam giác SAB vuông tại A nên

S

SA  SB 2  AB 2  2a. .
2
Diện tích hình vng ABCD là S ABCD  a .

Vậy thể tích khối chóp S . ABCD theo a là
V

1
2 3
SA.S ABCD 
a .
3
3

A

B

D
C


Câu 40. [2H1-3.2-2] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho khối chóp S . ABC có thể tích là
V . Gọi B�
C .
, C �lần lượt là trung điểm AB , AC Tính theo V thể tích của khối chóp S . AB��
1
1
1
1

V
V
V
V
A. 3 .
B. 2 .
C. 12 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: LêHoa; Fb:LêHoa
Chọn D

1
AB�
. AC �
.sin A
VS . AB��
S
AB�
. AC � 1
C
AB��
C
2




1
1

1
VS . ABC
S ABC
AB
.
AC
4 �V
VS . ABC  V
AB. AC.sin A
S . AB��
C 
2
4
4 .
Ta có
Câu 41. [2H1-3.2-2] (Cẩm Giàng)Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
BC  2a . Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với
đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
2a 3
a3
2a 3
V
V

V

3
3 .
3 .
3 .

A.
B. V  a .
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Bùi Nguyên Sơn; Fb: Bùi Nguyên Sơn
Chọn D


SBC vuông cân tại S và ABC vuông cân tại A .
Gọi H là trung điểm của BC , suy ra AH  BC và SH  BC .
 SBC    ABC  nên SH   ABC  .
Mặt khác
1
AH  SH  BC  a
2
.
1 1
a3
1
1 1
V  S ABC .SH  . .BC. AH .SH  . .2a.a.a 
3 2
3 .
3
3 2
Vậy thể tích khối chóp S . ABC là
Câu 42. [2H1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A ,
�  120�
AB  AC  a BAC

. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc
với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
3
A. V  a .

B.

V

a3
8 .

C.

V

a3
2 .

3
D. V  2a

Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Thúy; Fb: Thúy Hoàng

Chọn B

� SH   SAB 
Gọi H là trung điểm của AB � SH  AB

Ta có:

SH 

2
a 3
1
� a 3
S ABC  AB. AC.sin BAC
2 ,
2
4


1
a3
VS . ABC  SH .SABC 
3
8
Suy ra:
Câu 43. [2H1-3.2-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC
 SAB  và  SAC  cùng vng góc với đáy và SB  a 3 .
là tam giác đều cạnh a . Hai mặt bên
Tính thể tích khối chóp S . ABC .
a3 6
a3 6
a3 6
2a 3 6
9 .
A. 4 .

B. 12 .
C. 3 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Lâm Nguyên ; Fb: Thầy tý
Chọn B

�
 SAC    ABC 
�
�
 SAB    ABC  � SA   ABC  . Khi đó SA  SB 2  AB 2  a 2 .
Ta có: �
Mặt khác
Vậy

VSABC

S ABC 

a2 3
4 .

1
a3 6
 SA.SABC 
3
12 .

Câu 44. [2H1-3.2-2] (Sở Ninh Bình Lần1) Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước 3 ; 4 ; 5

là
A. 60 .
B. 20 .
C. 30 .
D. 10 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc ; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn A
Gọi a , b , c lần lượt là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
Thể tích của khối hộp chữ nhật V  a.b.c  3.4.5  60 (đvtt).
Câu 45. [2H1-3.2-2] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Thể tích khối lăng trụ tam giác
đều có tất cả các cạnh bằng 2a là:
a3 3
a3 3
3
3
A. 2a 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. a 3 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Ngọc Tân ; Fb: Tân Ngọc Đỗ


Chọn A
Ta có

2
S�a�
y  (2a) .

3
2
 a2 3 � V  S�a�
3  2a3 3
y .h  2a.a
4
. Chọn đáp án A.

Câu 46. [2H1-3.2-2] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều
 SAB  và  SAC  cùng vuông góc với đáy và SB  a 3 . Tính thể tích
cạnh a . Hai mặt bên
khối chóp S . ABC .
a3 6
a3 6
a3 6
2a 3 6
9 .
A. 4 .
B. 12 .
C. 3 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Lâm Nguyên ; Fb: Thầy tý
Chọn B

�
 SAC    ABC 
�
�

 SAB    ABC  � SA   ABC  . Khi đó SA  SB 2  AB 2  a 2 .
Ta có: �
Mặt khác

S ABC

a2 3

4 .

1
a3 6
VSABC  SA.SABC 
3
12 .
Vậy

Câu 47. [2H1-3.2-2] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình hộp chữ
D
B C D có AB  a ; AD  a 2 , mặt phẳng  ABC ��
nhật ABCD. A����
tạo với đáy góc 45�
. Thể
tích của khối hộp đó là
2a 3
2a 3
3
3
A. 3 .
B. 3 .

C. 2a .
D. 2a .
Lời giải
Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn D