Dang 1. Tìm tọa độ điểm, véc-tơ liên quan đến hệ trục Oxyz(TH)

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

[2H3-1.1-2] (Hùng Vương Bình Phước) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm
A ( - 1; 2; - 3) , B ( 1;0; 2) , C ( x; y; - 2)
thẳng hàng. Khi đó x + y bằng
11
11
x + y =x+ y =
x
+
y
=
1
x
+
y
=
17
5.
5 .
A.
.
B.
.
C.
D.
Lời giải

Chọn A
uuu
r
uuur
AB = ( 2; - 2;5) , AC = ( x +1; y - 2;1)
Có
.
�
3
�x =x +1 y - 2 1 �
5
�
=
= ��
� x + y =1
�
�
8
2
2
5
�
uuu
r uuur
y=
�
�
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương
� 5
.

r
r
r r r
a   1;  2;1
u
u
[2H3-1.1-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Tìm tọa độ véctơ biết rằng  a  0 và
.
r
r
r
r
u   3;  8;2 
u   1;  2;8
u   1;2; 1
u   6;  4;  6 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Đỗ Minh Đăng; Fb: Johnson Do
Chọn C
r r r
r
r

u  a  0 � u  a   1;2;  1
Ta có
.
[2H3-1.1-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho ba
A  1;0; 2  B  2;1;  3
C  1;  1;0 
điểm
,
và
. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành.
D  0; 2;  1
D  2;  2;5 
D  2; 2;5 
D  2; 2;  5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn B

D  a ;b;c
Gọi
.

uuu
r
AB   3;1;  5 
uuur
AC   2;  1;  2 
3 1
uuur
uuur
�
2

1
AB
Vì
nên
khơng cùng phương AC .
Suy ra tồn tại hình bình hành ABCD .

Suy ra ABCD là hình bình hành khi
Vậy
Câu 4.

D  2;  2;5 

3  1 a
a  2
�
�
uuu
r uuur

�
�
AB  DC � �
1  1  b � �
b  2
�
�
5  c
c5
�
�

.

.

A  1;1;1
[2H3-1.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm
. Tìm tọa
Oxz
 .
độ hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng


A.

 1;1;0  .

B.

 0;1;1 .

C.

 1; 0;1 .

D.

 0;1; 0  .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Thủy ; Fb: Đỗ Thủy
Chọn C
Vì

A  1;1;1

 Oxz  là  1;0;1 .
nên tọa độ hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng

A  3;1; 2 
[2H3-1.1-2] (Chuyên KHTN) Trong không gian Oxyz , cho
, tọa độ điểm A ' đối
xứng với điểm A qua trục Oy là
 3; 1; 2  .
 3; 1; 2  .
 3;1; 2  .
 3; 1; 2  .
A.
B.

C.
D.

Câu 5.

Lời giải
Tác giả:Phan Thị Hồng Cẩm ; Fb: lop toan co cam
Chọn C
Gọi

A  x; y; z  , A '( x '; y '; z ')

là điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy .

�x '   x
�
�y '  y
�z '   z
A '   3;1; 2 
Điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy nên �
. Do đó
.
Câu 6.

[2H3-1.1-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A  1; 2; 1 ; B  2; 1;3 ; C  3;5;1
. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành.
A. D  4; 8;  5
B. D  4; 8;  3 .

C. D  2;8; 3 .
D. D  2; 2;5  .
Lời giải
Tác giả: Fb: Hằng-RuBy-Nguyễn
Chọn B

uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB  1;  3; 4  AC   4; 3; 2 
AB
; AC không cùng phương hay A, B, C không thẳng
Ta có
;
nên
uuur
D  x; y; z  � DC   3  x; 5  y; 1  z 
hàng. Gọi
.
1  3  x
�
�x  4
uuur uuur
�
�
AB  DC � �3  5  y � �y  8 .
�4  1  z
�z  3

�
�
Lúc đó, ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
D  4;8;  3
Vậy
.

Câu 7.

[2H3-1.1-2] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x  3 y 1 z 1
d:


2
1
2 và điểm M  1; 2;  3 . Gọi M 1 là hình chiếu vng góc của M lên
OM 1
đường thẳng d . Độ dài đoạn thẳng
bằng
A. 2 2 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải


Tác giả: Nguyễn Thị Hương ; Fb: NT Hương
Chọn B

�x  3  2t
�
�y  1  t
�z  1  2t
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng d là: �
.
r
u   2;1; 2 
Một vtcp của d là
.
Gọi



làr mặt
r phẳng đi qua điểm
n  u   2;1;2 
có vtpt là
.
Phương trình mặt phẳng

M1

M  1; 2;  3


và vng góc với đường thẳng d . Khi đó  

   : 2  x  1  1 y  2   2  z  3  0 � 2 x  y  2 z  2  0 .


M
là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng d nên 1 là giao điểm của d và   .

�x  3  2t  1
�
�y  1  t  2 
�
�z  1  2t  3
�2 x  y  2 z  2  0 4
 
Xét hệ phương trình: �
Thay

 1 ,  2  ,  3

Suy ra

vào

 4

ta được:

�x  1
�
�y  2 � M 1  1;  2;  1
�z  1
�

Độ dài đoạn thẳng

OM 1

2  3  2t   1  t  2  1  2t   2  0 � 9t  9  0 � t  1
.

.

OM 1  12   2    1  6
2

là:

2

.

�x  3  2t
�
�y  1  t
�z  1  2t
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng d là: �
.
r
u   2;1; 2 
Một vtcp của d là
.
uuuuur
M 1 �d � M 1  3  2t ;  1  t ;1  2t  � MM 1   2  2t ;  3  t ; 4  2t 

uuuuur r
uuuuur r
MM

u
�
MM
1
1 .u  0 � 4  4t  3  t  8  4t  0 � t  1 .
Ta có
Suy ra

M 1  1;  2;  1

Độ dài đoạn thẳng
Câu 8.

.

OM 1

OM 1  12   2    1  6
2

là:

2

.

A  2; 4;1
B  4;5; 2 
[2H3-1.1-2] (Kim Liên) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
.

uuur uuur
C
OC
 BA có tọa độ là
Điểm thỏa mãn
A.

 6;  1;  1 .

B.

 2;  9;  3 .

C.
Lời giải

 6; 1;1 .

D.

 2; 9;3 .

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp

Chọn A
Gọi

C  x; y; z

Khi đó
Câu 9.

uuur
uuu
r
OC   x ; y ; z  BA   6;  1;  1
. Ta có
,
.

�x  6
uuur uuur �
OC  BA � �y  1
�x  1
�

. Vậy

C  6; 1; 1

.

[2H3-1.1-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz , cho

A  1;1; 2  , B  2;  1;1 , C  3; 2;  3
. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
 4; 2;  4  .
 0;  2; 6  .
 2; 4;  2  .
 4;0;  4  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Viết Thị Ánh; Fb: Viết Ánh
Chọn C

D x; y; z
Gọi tọauđộ
. uuur
uur điểm
AD   x  1; y  1; z  2  BC   1;3;  4 
Ta có:
,
.

�x  1 1
�x  2
uuur uuur �
�
� AD  BC � �y 1  3 � �y  4
�z  2   4 �z   2
�

�
Tứ giác ABCD là hình bình hành
D  2; 4;  2 
Vậy
.
A  3;1; 2 
Câu 10. [2H3-1.1-2] (Liên Trường Nghệ An) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
B  2; 3;5 
. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2 MB , tọa độ điểm M là
17 �
�3
�7 5 8 �
M � ; 5; �
M�; ; �
M  4;5; 9 
M  1; 7;12 
2 �.
�3 3 3 �.
A.
B.
.
C. �2
D.
.
Lời giải
Tác giả: Lê Hữu Đức ; Fb: Le Huu Duc
ChọnA
Gọi

M  x; y; z 

.

uuuur

uuur

Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2 MB � AM  2MB
� 7
�x  3
�x  3  2  2  x 
�
�
5
�
�7 5 8 �
� �y  1  2  3  y  � �y   � M � ;  ; �
3
�3 3 3 �
�
�
�z  2  2  5  z 
8
�
�z  3
�
.
�7 5 8 �
M�; ; �

�3 3 3 �.
Vậy

Câu 11. [2H3-1.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong khơng
M  1;3; 2 
gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi a , b , c lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến ba mặt
phẳng tọa độ

 Oxy  ,  Oyz  ,  Oxz  . Tính

P  a  b2  c3 ?


A. P  32 .

B. P  18 .

C. P  30 .
Lời giải

D. P  12 .

Tác giả:Nguyễn Thị Trang; Fb:Trang Nguyen
Chọn C
Với

A  xo ; yo ; zo  �(Oxyz )

Theo bài ra ta có:

. Khi đó

d  A ,  Oxy    zo d  A ,  Oxz    yo d  A ,  Oyz    xo
,
,
.

a  d  M ;  Oxy    2 b  d  M ;  Oyz    1 c  d  M ;  Oxz    3
;
,
.

P  a  b2  c 3  2  12  33  30 .
Câu 12. [2H3-1.1-2] (SGD-Nam-Định-2019) [2H2-1.2-2] (SGD-Nam-Định-2019) Cắt một hình trụ
bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng 3a .
Tính diện tích tồn phần của hình trụ đã cho.
27 a 2
9 a 2
13 a 2
2
2 .
A. 9a  .
B.
C. 2 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Quý; Fb: Nguyễn Quý
Chọn B
A

B

l
R

D

C

Do thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng có cạnh bằng 3a nên ta có bán kính đáy
3a
R
2 và độ dài đường sinh l  3a .
27 a 2
Stp  2 R  2 Rl 
2 .
Diện tích tồn phần hình trụ là:
uuu
r r r
r
Câu 13. [2H3-1.1-2] ( Sở Phú Thọ) Trong không gian (oxyz ) cho OA  i  2 j  3k , điểm B (3; 4;1) và
điểm C (2; 0; 1). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là
A. (1; 2;3).
B. (2; 2; 1).
C. (2; 2;1).
D. (1; 2; 3).
2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Chau Ngoc
Chọn C
uuu
r r r
r
OA  i  2 j  3k  A(1; 2;3).
Ta có
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

x A  xB  xC 1  3  2
�
x


2
G
�
3
3
�
y A  yB  yC 2  4  0
�

 2
�yG 
3
3
�
z A  z B  zC 3  1  1
�


1
�zG 
3
3
�
.


Vậy G (2; 2;1).
Câu 14. [2H3-1.1-2] (Sở Nam Định) Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình thang cân
ABCD có hai đáy AB , CD thỏa mãn CD  2 AB và diện tích bằng 27 , đỉnh A  1; 1;0  ,
x  2 y 1 z  3


2
1 . Tìm tọa độ điểm D biết
phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2
hồnh độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A .
D  2; 5;1
D  3; 5;1
D  2; 5;1
D  3; 5;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Lời giải
Tác giả:Trần Ngọc Uyên ; Fb:Tran Ngoc Uyen
Chọn A

Gọi điểm H là hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng CD .
uuur
H  2  2t; 1  2t ;3  t  � AH  3  2t ; 2t ;3  t 
Khi đó
.
r
u  2;2;1
Đường thẳng CD có vtcp là:
. Ta có:
uuur r uuur r
AH  u � AH .u  0 � 2  3  2t   2.2t  3  t  0 � t  1 � H  0; 3; 2  � AH  3
.
x 1 y 1 z


2
1
Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD � phương trình AB là: 2

B �AB � B  1  2a; 1  2a; a  � AB  3 a � CD  6 a

Theo bài ra ta có:

S ABCD 

a2
3 a 6 a
�
AB  CD
. AH �
.3  27 � a  2 � �
a  2
2
2
�

Với

a  2 � B  5; 5; 2 

Với

a  2 � B  3;3; 2 

Ta có:

(ktm).

(tmđk)
uuuu
r
uuu
r
DH  2 AB � D  2; 5;1

uuu
r r r r
OA
 i  2 j  3k , điểm B  3;  4;1 và
Oxyz
Câu 15. [2H3-1.1-2] (Sở Phú Thọ) Trong không gian
, cho
C  2;0;  1
điểm
. Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là
 1;  2;3 .
 2; 2;  1 .
 2;  2;1 .
 1; 2;  3 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Tác giả: Đoàn Thị Hường; Fb: Đoàn Thị Hường
Chọn C
uuu
r r r r
OA  i  2 j  3k � A  1;  2;3 
Từ
x A  xB  xC

�
2
�xG 
3
�
y A  yB  yC
�
 2
�yG 
3
�
z A  z B  zC
�
1
� zG 
3
�
G
ABC
Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là
Vậy tọa độ trọng tâm

 2;  2;1 .

:
uuur r r r
B  3;  4;1 C  2; 0;  1
Oxyz

Câu 16. . Trong không gian
, cho AO  i  2 j  3k , điểm
và
D  a ;b;c
điểm
sao cho B là trọng tâm tam giác ABD . Khi đó P  a  b  c bằng

B. 3 .

A. 1 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 17. [2H3-1.1-2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong không
 4;5; 5 .
B C D biết A  1; 0;1 , B  2;1; 2  , D  1; 1;1 , C �
gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. A����
Tọa độ của điểm A�là:
A�
A�
A�
A�
 4; 6; 5 .
 3; 4; 1 .
 3;5; 6  .
 3;5; 6  .
A.
B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram
Chọn C
Gọi

A�
 a; b; c 

uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuur uuuu
r uuu
r uuur
 AB  AD  AA�
� AA�
 AC �
 AB  AD (1)
ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình hộp � AC �
uuuu
r uuu
r uuur
uuu
r
uuur
uuuu
r
AC �

 AB  AD   2;5; 7 
AB   1;1;1 AD   0; 1; 0  AC �
  3;5; 6 
,
,

uuur
AA�
  a  1; b; c  1

a 1  2
a3
�
�
�
�
��
b5
 1 � �b  5
�
�
c  1  7
c  6
�
�

Vậy:

A�
 3;5; 6 

.


A  2;  2;1
Câu 18. [2H3-1.1-2] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
B  0;1; 2 
 Oxy  sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là
. Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng
M  4;  5;0 
M  2;  3;0 
M  0; 0;1
M  4;5; 0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thanh Trang; Fb: Trần Thị Thanh Trang
Chọn A
uuu
r
uuuu
r
M � Oxy  � M  x ; y ;0  AB   2;3;1 ; AM   x  2; y  2;  1

Ta có
;
.
x  2 y  2 1
uuur
uuuur


3
1
Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương , khi đó : 2
�x  4
��
�y  5 .
M  4;  5;0 
Vậy
.
Oxyz , véctơ ur vng góc với hai
Câu 19. [2H3-1.1-2] (Đặng Thành
Nam
Đề
15)
Trong
không
gian
r
r
r
r
a   1;1;1

b   1; 1;3
véctơ
và
; đồng thời u tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ u
r
bằng 3. Tìm véctơ u .
�
6
6�
�
� 6; 2 ; 2 �
�
�
A. �
. B.

�
�
6
6�
6 6�
 6;
;
�
�
�
�6 ; 2 ; 2 �
�
�
2 2 �

�
�. C. �
�. D.
Lời giải

�
6 6�
 6 ;
;
�
�
�
2 2 �
�
�.

Tác giả: Nguyễn Tiến Hà; Fb: Nguyễn Tiến Hà.
Chọn A
r
r
a
b
Ta có và khơng cùng phương đồng thời
r r
r
�
ua r r r
�
�  4;  2;  2  � u   2k ;  k ;  k 
a

,
b
�r r � u // �
� �
ub
�
.
r
6
r
u  3 � 4k 2  k 2  k 2  3 � k  �
2 . Mặt khác u tạo với tia Oz một góc tù nên
Do

r r
rr
cos u, k  0 � u.k  0 � 2k .0   k  .1  0 �   k  .1  0 � k  0

 

. Suy ra

k

6
2 .

r �
6 6�
u �

6
;

;
�
�
2 2 �
�
�.
Vậy

Câu 20. [2H3-1.1-2] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho các
điểm M (1; 1;1), N(2;0; 1), P(1; 2;1) . Xét điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình
hành. Tọa độ Q là
A. (2;1;3)

B. (2;1;3)

C. ( 2;1; 3)

D. (4;1;3)

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Huyền Trân ; Fb:Huyền Trân Nguyễn
Chọn A
Gọi Q( x; y; z ). Ta có


uuuu
r

uuu
r
MN  (1;1; 2), QP  ( 1  x; 2  y;1  z).

1  1  x
�
�x  2
uuuu
r uuur
�
�
� MN  QP � �
1  2  y � �y  1 .
�
�z  3
2  1  z
�
�
Tứ giác MNPQ là một hình bình hành
Vậy, Q(2;1;3) .
Câu 21. [2H3-1.1-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz ,
A  3;5;  1 B  7; x ;1
C  9; 2; y 
cho ba điểm
,
và
. Để A , B , C thẳng hàng thì giá trị x  y
bằng
A. 5 .
B. 6 .

C. 4 .
D. 7 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn A
uuu
r
uuur
AB   4; x  5; 2  AC   6;  3; y  1
Ta có
,
.
� 2
k
�
3
�
�
4  6k
� �x  3
�
� �x  5  3k
�y  2
uuur
uuur
�
�
2  k  y  1
�
�

Ba điểm A , B , C thẳng hàng � k ��: AB  k . AC
.

Vậy x  y  5 .
Câu 22. [2H3-1.1-2] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho hai điểm A  2;3; 4  , B  8; 5;6  . Hình chiếu vng góc của trung điểm I của đoạn
AB trên mặt phẳng  Oyz  là điểm nào dưới đây?
N  3; 1;5 
M  0; 1;5 
Q  0;0;5 
P  3;0;0  .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B

I  3; 1;5 
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên
.

 Oyz  là M  0; 1;5 .
Khi đó hình chiếu của I lên
M  2; 5; 4 
Câu 23. [2H3-1.1-2] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm
.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
 xOz  bằng 5 .
A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ
B. Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng

29 .

 yOz  là M �
 2;5; 4  .
C. Tọa độ điểm M �đối xứng với M qua mặt phẳng
M�
 2; 5; 4  .
D.Tọa độ điểm M �đối xứng với M qua trục Oy là
Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Hồng Hạnh
Chọn C


 xOz  bằng 5  5 nên A đúng.
+) Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ
+) Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng

22   5   29
2

nên B đúng.

 yOz  là I  0; 5; 4  .
+) Tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng
 yOz  là M '  2; 5; 4  nên C sai.

Suy ra tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua mặt phẳng
J  0; 5;0 
+) Tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M lên trục Oy là
.

M '  2; 5; 4 
Suy ra tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua trục Oy là
nên D đúng.
A  1;1;2 
Câu 24. [2H3-1.1-2] (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz cho ba điểm
,
B  0;1;  1 C  x  2; y; 2 
,
thẳng hàng. Tổng x  y bằng
7
8
2
1



A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn C
uuu
r

uuur
AB   1;0; 3 BC   x  2; y  1; 1
Ta có
,
.
uuur
uuur uuur
uuur
Ba điểm A, B, C thẳng hàng � AB và BC cùng phương � k : BC  k AB
� 5
�x  3
�x  2  k � �
�y  1
�
� 1
� �y  1  0
2
�k 
� x y  
�

1


3
k
3
�
�
3.

Câu 25. [2H3-1.1-2] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
H  2;1;1
. Gọi các điểm A, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho H là trực
tâm của tam giác ABC . Khi đó hồnh độ điểm A là:
A. 3 .
B. 5 .
C. 3.
D. 5
Lời giải
Tác giả: Trần Hữu Tân ; Fb: Tan Tran
Chọn C
Giả sử

A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0; c 

. Khi đó mặt phẳng

 ABC  :

x y z
  1
a b c

Ta có:
uuur
uuur
AH   2  a;1;1 ; BH   2;1  b;1
uuur
uuur
BC   0; b; c  ; AC   a;0; c 

�2 1 1
�H � ABC 
�a  b  c  1
a3
�
uuur uuur
�
�
�
�
b6
�AH .BC  0 � � b  c  0 � �
u
u
u
r
u
u
u
r
�
� 2a  c  0
�
c6
�
�BH . AC  0
�
�
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

Vậy

A  3;0;0 

r
r
u  2 v 1
Oxyz
Câu 26. [2H3-1.1-2] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian với hệ tọa độ
, biết
;
2

ur
r r
r
r
p

ku
 v vng góc với vectơ
k
u
v
3
và
bằng
. Tìm
để vectơ

r góc
r rgiữa hai vectơ và
q  u v.
A.

k

2
5.

B.

k

5
2.

k 

2
5.

C. k  2 .
D.
Lời giải
Tác giả:Phan Thị Tuyết Nhung; Fb: Phan Thị Tuyết Nhung

Chọn A
rr
r r

2
u.v  2.1.cos u, v  2.c os
 1
3
Ta có: ur
r r
r .r r
Vectơ p  ku  v vng góc với vectơ q  u  v khi và chỉ khi:
ur r
r r r r
2
ur 2
ur ur ur2
p.q  ku  v u  v  0 � ku   1  k  u .v  v  0 � 4k   1  k   1  0 � k 
5.

 







Câu 27. [2H3-1.1-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình

A  2;1;3 ,
hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' với
C  2;3;5  , B '  2; 4;  1 , D '  0; 2;1

A.

B  1;  3;3

.

B.

. Tìm tọa độ điểm B .

B  1;3;3

.

C  1;3;  3

B  1;3;3

C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Đổng Quang Phúc ; Fb: Đổng Quang Phúc

Chọn D

Gọi

B x; y; z

là điểm cần tìm.

I
I ' lần lượt là trung điểm AC và B ' D ' � I  0; 2; 4  và I '  1;3;0  .
Gọi
uuur và
I ' I   1;  1; 4 
uuuur
B ' B   x  2; y  4; z  1

Ta có:
Vậy

�x  2  1
�x  1
uuuur uuur �
�
B ' B  I ' I � �y  4  1 � �y  3
�z  1  4
�z  3
�
�

B  1;3;3

.

.

Câu 28. [2H3-1.1-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Trong khơng gian Oxyz , cho
A 1;2;0  B  3;1;0  C  0;2;1
D 1;2;2 
bốn điểm 
,
,
và 
. Trong đó có ba điểm thẳng hàng là
A. A , C , D .
B. A , B , D .
C. B , C , D .
D. A , B , C .
Lời giải
Tác giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần
Chọn A
uuur
uuur
AC   1;0;1 AD   2;0; 2 
Ta có:
,
uuur uuur r
uuur uuur
AC
�
AD

0
Mà
, nên hai vecto AC , AD cùng phương, hay ba điểm A, C , D thẳng hàng.

Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ Oxyz để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 29. [2H3-1.1-2] (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Trong không gian tọa độ
Oxyz , cho hai điểm A  1;0;0  , B  5;0;0  . Gọi  H  là tập hợp các điểm M trong không gian
uuur uuur
thỏa mãn MA.MB  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 H  là một đường trịn có bán kính bằng 4 .
A.
 H  là một mặt cầu có bán kính bằng 4 .
B.
 H  là một đường trịn có bán kính bằng 2 .
C.
 H  là một mặt cầu có bán kính bằng 2 .
D.
Lời giải
Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến
Chọn D
� I  3;0;0 
+ Gọi I là trung điểm AB
.
uuur uuur
uuu
r uu
r uuu
r uur
uuu
r uu
r uuu
r uu
r
MA.MB  0 � MI  IA . MI  IB  0 � MI  IA . MI  IA  0

Ta có :



� MI  IA  0
2

2





� MI 2  IA2 � MI 







1
1
AB  . 5  1  2
2
2
.

Suy ra tập hợp điểm M trong không gian là mặt cầu tâm I , bán kính bằng 2.
Vậy

H

là một mặt cầu có bán kính bằng 2 .

Câu 30. [2H3-1.1-2]
(HSG
Bắc Ninh) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ
r
r
r r
a   2; m  1;3 , b   1;3; 2n 
a
m
,
n
. Tìm
để các vectơ , b cùng hướng.
3
4
m  7; n  
m  7; n  
4.
3.
A.
B. m  4; n  3 .
C. m  1; n  0 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyen

Chọn A


�
�k  2
�2  k
�
�
 k  0  � �m  1  3k � �m  7
�
�
3
3
3  k  2n 
r
ur
�
r r
�n  
m  7; n  
a và b cùng hướng � a  kb
�
4 . Vậy
4
A  1;1; 3 B 3; 1;1
Câu 31. [2H3-1.1-2] (Sở Điện Biên) Trong không gian Oxyz , cho
,
. Gọi G là
uuur
trọng tâm tam giác OAB ,véc tơ OG có độ dài bằng:

2 5
A. 3 .

2 5
B. 5 .

3 5
C. 3 .

3 5
D. 2 .

Lời giải
Chọn A

�4 2 �
G � ;0; �
3 �.
G là trọng tâm tam giác OAB nên tọa độ �3
OG 
Ta có:

16
4 2 5
 0 
9
9
3

Câu 32. [2H3-1.1-2] (SGD-Nam-Định-2019) Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình

thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa mãn CD  2 AB và diện tích bằng 27 , đỉnh
x  2 y 1 z  3


A  1; 1;0 
2
1 . Tìm tọa độ
, phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2
điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A .
D  2; 5;1
D  3; 5;1
D  2; 5;1
D  3; 5;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả:Trần Ngọc Uyên ; Fb:Tran Ngoc Uyen
Chọn A

Gọi điểm H là hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng CD .
uuur
H  2  2t ; 1  2t ;3  t  � AH  3  2t ; 2t ;3  t 
Khi đó
.

r
u 2; 2;1
Đường thẳng CD có vtcp là: 
. Ta có:
uuur r
uuur r
AH  u � AH .u  0 � 2  3  2t   2.2t  3  t  0 � t  1 � H  0; 3; 2  � AH  3
.
x 1 y 1 z


2
1
Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD � phương trình AB là: 2


B �AB � B  1  2a; 1  2a; a  � AB  3 a � CD  6 a

Theo bài ra ta có:

S ABCD 

a2
3 a 6 a
�
AB  CD
. AH �
.3  27 � a  2 � �
a  2
2

2
�

Với

a  2 � B  5; 5; 2 

Với

a  2 � B  3;3; 2 

Ta có:

(ktm).

(tmđk)
uuuu
r
uuu
r
DH  2 AB � D  2; 5;1

Câu 33. [2H3-1.1-2] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019)Trong không gian với hệ trục tọa
A  2;3; 2  B  2; 1; 4 
độ Oxyz cho hai điểm
,
. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz sao cho E
cách đều hai điểm A, B .
� 1�
0;0; �

�
A. � 2 �.

� 1�
0;0; �
�
B. � 3 �.

C.

 0;0; 1 .

D.

 0;0;1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Hà; Fb: Hà Nguyễn Văn
Chọn D
Gọi

E  0; 0; t  �Oz

.

AE  BE � t 2  4t  17  t 2  8t  21 � t  1 � E  0;0;1 .

A  3;1;0  B  0; 1;0 
Câu 34. [2H3-1.1-2] (HSG 12 Bắc Giang) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,

uuur uuur uuuu
r r
C  0; 0; 6 
B C có các đỉnh thỏa mãn hệ thức A�
A  B�
B  C�
C  0 thì tam
,
. Nếu tam giác A���
B C có tọa độ trọng tâm là
giác A���
 3; 2; 0  .
 2; 3;0  .
 1;0; 2  .
 3; 2;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thuần ; Fb: Phạm Thuần
Chọn C

uuu
r uuur uuur r
G  1;0; 2 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có
và GA  GB  GC  0 .
uuur uuur uuuu
r r

uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r r
�
�
�
�
�
�
A
A

B
B

C
C

0
�
GA

GA

GB

GB

GC


GC
0
Ta có:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r r
� GA  GB  GC  GA�
 GB�
 GC �� GA�
 GB�
 GC �
0.
BC .
� G là trọng tâm của tam giác A���
B C là  1;0; 2  .
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác A���
A  3; 4;3 
Câu 35. [2H3-1.1-2] (THPT ĐƠ LƯƠNG 3 LẦN 2)Trong khơng gian Oxyz , cho điểm
.
Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng
34
A. 34 .
B. 10 .
C. 2 .
D. 10  3 2 .
Lời giải
Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai

Chọn D
Gọi B , C , D lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox , Oy , Oz . Khi đó
uuu
r
�AB   0;  4;  3
�AB  5
�B  3;0;0 
�uuur
�
�
�
�C  0; 4;0  � �AC   3;0;  3 � �AC  3 2
�D  0;0;3
�uuur
�AD  5
�
�
�AD   3;  4;0 
.
Vậy tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ là d  AB  AC  AD  10  3 2 .
Câu 36. [2H3-1.1-2]
(Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
r
u
r
r r u
r
x  2;1;  3 , y  1; 0;  1
a


x

2
y
. Tìm rtọa độ của vectơ
r .
r
r
a  3;1;  4 
a  0;1;  1
a  4;1;  5 
a  4;1;  1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn D
u
r
r r u
r
2 y   2; 0;  2  � a  x  2 y   2  2;1  0;  3  2    4;1;  5 
Ta có

.

A  2; 0; 0  B  0; 2; 0 
Câu 37. [2H3-1.1-2] (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz . Cho điểm
,
,
C  0;0; 2 
D  2; 2; 2 
và
.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm của đoạn

MN là
A.

 1; 1; 2  .

B.

 1;1;0  .

C.

�1 1 �
� ; ;1 �
D. �2 2 �.

 1;1;1 .

Lời giải

Tác giả: Trần Minh ; Fb:Tran Minh
Chọn C
�x  x y  yB z A  z B �
M �A B ; A
;
�
2
2 �� M  1;1;0 
� 2
M là trung điểm của AB , ta có
�x  xD yC  yD zC  z D �
N �C
;
;
�
2
2 �� N  1;1; 2 
N là trung điểm của CD , ta có � 2
�x  xN yM  yN zM  z N �
I �M
;
;
�
2
2 �� I  1;1;1
I là trung điểm của MN , ta có � 2
rr r
O; i, j, k
Câu 38. [2H3-1.1-2] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ
, cho ba vectơ

r
r
ur
r r r r r
a   1;2;3 b   2;0;1 c   1;0;1
,
,
. Tìm tọa độ của vectơ n  a  b  2c  3i .



A.

r
n   6; 2;6 

.

B.

r
n   0; 2;6 

.

C.
Lời giải

r
n   6;2;  6 

.



D.

r
n   6;2;6 

.

Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên
Chọn D


r
r
r
r
a   1; 2;3 b   2;0;1 2c   2;0; 2  3i   3;0;0 
Ta có:
,
,
,
.
r
n   6;2;6 
Suy ra:
.

A  x; y; 3
Câu 39. [2H3-1.1-2] (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
;
B  6; 2; 4  C (3;7; 5)
;
. Giá trị x; y để A; B; C thẳng hàng là
x  1; y  5 .
B. x  1; y  5 .
C. x  1; y  5 .
D. x  1; y  5 .
A.
Lời giải
Chọn C
uuu
r
uuur
AB   6  x; 2  y;7 
BC   9;9; 9 
Ta có
và
.
uuur
uuur
x;
y
A
;
B
;
C

AB
Giá trị
để
thẳng hàng thỏa mãn:
cùng phương BC .
6  x 2  y 7
�


9
9
9 .

�x  1
��
�y  5 .